5.1 Pangkat Positif
Apa yang akan kamu pelajari? À Menjelaskan pengertian bilangan berpangkat dengan pangkat positif, negatif dan nol À Mengubah pangkat positif menjadi negatif dan sebaliknya. À Mengenal arti pangkat positif dan negatif À Mengenal bentuk akar Kata Kunci • Pangkat Positif • Pangkat Negatif • Pangkat Nol • Bentuk akar
Dalam pelajaran biologi atau fisika kadang-kadang dijumpai bilangan yang sangat besar. Contohnya bilangan Avogadro 6,02205 × 1023 atau massa bumi 3,98 × 1024 kg. Demikian juga sering dijumpai bilangan yang sangat kecil seperti konstanta gravitasi Newton 6,67 × 10-11
atau
diameter sel darah merah 7,75 × 10-7 m. Bilangan-bilangan yang sangat besar atau sangat kecil ini ditulis dalam notasi ilmiah atau notasi baku a × 10n, dengan 1 ≤ a < 10 dan n bilangan bulat Pada penulisan a × 10n , n disebut pangkat. Karena n bilangan bulat maka n dapat berupa bilangan postif, negatif atau nol.
Dari pelajaran sebelumnya kalian sudah memahami bahwa: 32 = 3 × 3 (-2)3 = (-2) × (-2) × (-2) 54 = 5 × 5 × 5 × 5 210 = 2 × 2 × ….. × 2 10 faktor a6
= a × a × ….. × a 6 faktor
Secara umum bilangan berpangkat dapat dinyatakan sebagai perkalian berulang pada bilangan yang sama.
Jika a sebarang bilangan dan n bilangan bulat positif maka an = a × a × ….. × a n faktor a disebut bilangan pokok atau basis n disebut pangkat atau eksponen Bagaimana jika n = 1? Disepakati a1 = a.
Contoh 1: Tentukan nilai dari a. 123
b. 3,45
c. (-6) 7
Jawab: a. 123 = 12 × 12 × 12 = 1728 b. 3,45 = 3,4 × 3,4 × 3,4 × 3,4 × 3,4 = 454.35424 c. (-6) 7 = -6 × -6 × -6 × -6 × -6 × -6 × -6 = -279936
Pangkat Negatif Di depan kalian dapat menyatakan konstanta gravitasi Newton 0,0000000000667 dalam notasi baku sebagai 6,67 × 10 −11 . Perhatikan 6,67 × 10 −11 = 0,0000000000667 1 = 6,67 × 100000000000 1 = 6,67 × 10 11
Maka 10-11 =
1 10 11
Dapatkah kamu menyatakan diameter sel darah merah 0,000000775 m dalam bentuk pangkat? Secara umum, jika a sebarang bilangan tidak nol dan n bilangan bulat maka 1 a −n = an
Mengapa a ≠ 0?
94
Contoh 2: Tentukan nilai dari a. 2-3
b. 1,2-4
c. (-3) -5
Jawab: a. 2-3 =
1 1 1 = = = 0,125 23 2 × 2 × 2 8
b. 1,2-4 = c. (-3) -5
1 1 ,2 4
=
=
1 − 35
1 1 = = 0.4823 1 ,2 × 1 ,2 × 1 ,2 × 1 ,2 2 ,0736 =
1 1 = − 3 × −3 × −3 × −3 × −3 − 243
= -0.0041
Pangkat Nol Perhatikan bentuk pangkat berikut 23 = 8 22 = 4 21 = 2 Berapakah 20 ? Pada ruas kiri dari atas ke bawah, pangkatnya berkurang satu. Pada ruas kanan dari atas ke bawah selalu dibagi 2. Dengan demikian 20 = 1. Berapakah 30? 50? a0?
Ingat Semua bilangan kecuali nol jika dipangkatkan nol hasilnya 1.
Bentuk Akar Aulia mempunyai sehelai saputangan yang berbentuk persegi dengan luas 900 cm persegi. Supaya indah, Aulia akan menambahkan renda di salah satu sisinya. Berapa panjang renda yang diperlukan Aulia?
mu
ngan at
akar at n
Misal panjang sisi saputangan adalah n cm maka Aulia harus menentukan Dalam hal ini n = 30 karena 30 × 30 = 900 atau 302 = 90.
n × n = 900.
Menentukan n = 30 berarti melakukan penarikan akar dari 900 dan ditulis sebagai Bentuk
900
900 = 30.
dibaca ” akar kuadrat dari 900 ”.
Berapakah nilai dari
5
?
Kita tidak dapat menentukan suatu bilangan rasional n sedemikian hingga n2 = 5. Selanjutnya ” akar kuadrat
5 dan
dari 5 ” tetap ditulis dalam bentuk akar
5 merupakan bilangan irrasional.
4 , 7 , 121 , 200 , merupakan bilangan irrasional? Mengapa ? Jika 2 × 2 × 2 = 23 = 8 maka dapat ditulis 3 8 = 2. Apakah
Jika -3 × -3 × -3 × -3 × -3 = -243 maka 5 − 243 Tetapi walaupun -5 × -5 = 25 nilai dari
= −3
25 = 5. Untuk akar pangkat genap hanya digunakan nilai yang
positif. Secara umum, Jika n bilangan genap dan a suatu bilangan positif maka an = b berarti n b Jika n bilangan ganjil maka an = b berarti n b
=a
Menyederhanakan Bentuk Akar Jika a, b bilangan positif maka
ab = a × b = a × b
Contoh 3: Sederhanakan bentuk akar berikut:
96
=a
a.
b.
8
500
Jawab: a.
8 =
b.
500 =
4×2 =
4 × 2 = 2× 2 = 2 2
100 × 5 =
100 × 5 = 10 × 5 = 10 5
1. Nyatakan dalam bentuk bilangan berpangkat a. 7 × 7 × 7 × 7 × 7
b. 3,4 × 3,4 × 3,4 × 3,4
b. 8 × 32
d. n × n × n × n × n × n
2. Tentukan nilai dari a. 4 5
⎛2⎞ b. ⎜ ⎟ ⎝3⎠
4
c. − 53
3 ⎛ 3⎞ d. ⎜ − ⎟ ⎝ 5⎠
3. Carilah bilangan yang terbesar yang merupakan bentuk perpangkatan dari bilangan 3 dan -4. 4. Ubahlah dalam pangkat negatif 1 1 b. a. a5 32 5.
Ubahlah dalam pangkat positif a. 2 − 4 b. a − 3
c.
2 p3
d.
5 x4
c. 2 p − 5
d. (3x )−6
d. 3 − 343
6. Tentukan nilai dari a.
144
b.
256
c. 3 125
b.
80
c.
7. Sederhanakan a.
128
50a 4
8. Ambil seutas benang atau tali, kemudian potong menjadi tiga bagian. Satukan ketiga bagian tersebut kemudian potong lagi menjadi tiga bagian.
Berapa potong benang/tali yang akan diperoleh? Perkirakan berapa potong benang/tali yang akan diperoleh jika dilakukan pemotongan sebanyak 5 kali.
9. Sebuah bank menerapkan sistem bunga majemuk atau berganda, dimana bunga yang diterima dibungakan lagi. Misal bank tersebut menerapkan bunga majemuk 1% per bulan. Jika Aulia menabung Rp 100.000,00 maka 1 bulan kemudian tabungan Aulia menjadi: 100000 + (100000 × 1%) = 100000 + (100000 × 0,01) = 100000 × ( 1 + 0,01) = 100000 × 1,01 Dua bulan kemudian tabungan Aulia menjadi (100000 × 1,01) + ((100000 × 1,01) × 1%) = (100000 × 1,01) + ((100000 × 1,01) × 0,01) = (100000 × 1,01) × ( 1 + 0,01) = 100000 × 1,01 × 1,01 = 100000 × 1,012 Tiga bulan kemudian tabungan Aulia menjadi (100000 × 1,01 × 1,01 ) + ((100000 × 1,01 × 1,01) × 1%) = (100000 × 1,01 × 1,01) + ((100000 × 1,01 × 1,01) × 0,01) = (100000 × 1,01 × 1,01) × (1 + 0,01) = 100000 × 1,01 × 1,01 × 1,01 = 100000 × 1,013 Nyatakan besar tabungan Aulia dalam bentuk pangkat selama satu tahun. 10. Penampang melintang sebuah batang tumbuhan dikotil di musim hujan mempunyai ukuran tertentu. Pada musim kemarau mengkerut sejauh
x seperti
pada gambar. Hitunglah prosentase penyusutan luas penampang batang tumbuhan dikotil tersebut.
98
√x √x
•
√x
√x
5.2 Apa yang akan kamu pelajari? À Menyelesaikan operasi kali, bagi, tambah, kurang, dan pangkat pada bilangan berpangkat À Menyelesaikan operasi yang melibatkan bentuk akar À Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan bilangan berpangkat dan bentuk akar
Operasi pada Bilangan Berpangkat Setelah mengenal bilangan berpangkat dan bentuk akar, berikut ini kalian akan mempelajari operasi yang berlaku pada bilangan berpangkat dan bentuk akar serta bagaimana menggunakannya untuk menyelesaikan masalah.
Masalah 1
Kata Kunci
1. Lengkapilah • Merasionalkan 52 × 53 = (5 × 5) × (5 × 5 × 5) penyebut = 5 × 5 × ... × ... × ... = 5... 2. Dengan menggunakan arti bilangan berpangkat sederhanakan a. 34 × 33 b. (-2)3 × (-2)4 c. b2 × b5 d. 3-2 × 3-3 e. (-5)-4 × (-5)-2 f. a-3 × a-6 3. Jika a sebarang bilangan dan m, n bilangan bulat, apakah bentuk sederhana dari am × an ?
Masalah 2 1. Lengkapilah 25 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = ...× ... 22 = ... × ... × ... = 2...
2. Dengan menggunakan arti bilangan berpangkat, sederhanakan: 35 (− 2 )6 b. a. (− 2 )3 32 ( −2 )− 6 c2 c. d. c5 ( −2 )− 4 e.
x−4 x −3
f.
a−5 a −6
3. Jika a sebarang bilangan tidak nol dan m, n bilangan bulat, apakah bentuk am ? sederhana dari an
Masalah 3 1. Lengkapilah (32)3 = 32 × 32 × 32 = (3 × 3) × (... × ...) × (... × ...) = 3...
2. Dengan menggunakan arti bilangan berpangkat, sederhanakan: a. (23)4 b. ((-3)2)5 2 ⎛ ⎛ 1 ⎞3 ⎞ c. (c2)4 d. ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜⎝ 3 ⎠ ⎟ ⎝ ⎠ e. (c-5)2
f. (a-3)-1
3. Jika a sebarang bilangan dan m, n bilangan bulat, apakah bentuk sederhana dari (am)n
Masalah 4 1. Lengkapilah (a × b)3 = (a × b) × (a × b) × (a × b) = (a × a × a) × (… × ... × ...) = a... × b... 2. Dengan menggunakan arti bilangan berpangkat, sederhanakan: a. (-2 × 3)5 b. (3 × 5)2 c. (p × q)4 d. (x × y)5(3 × 2)-3 e. (a × b)-2 f. (x × y)-5 3. Jika a dan b sebarang bilangan, n bilangan bulat , apakah bentuk sederhana dari: (a × b)n ?
100
Masalah 5 1. Lengkapilah 4 2 2 2 2 ⎛2⎞ ⎜ ⎟ = × × × 3 3 3 3 ⎝3⎠ 2 × 2 × ... × ... = 3 × 3 × ... × ... 2... = 3... 2. Dengan menggunakan arti bilangan berpangkat sederhanakan: 3 5 ⎛−2⎞ ⎛ 3 ⎞ a. ⎜ b. ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 5 ⎠ ⎝− 4⎠ 3 4 ⎛ p⎞ ⎛7⎞ ⎜ ⎟ c. ⎜ ⎟ d. ⎜ ⎟ , q ≠ 0 ⎝2⎠ ⎝q⎠
⎛2⎞ e. ⎜ ⎟ ⎝3⎠
−3
⎛p⎞ f. ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝q⎠
−2 ,q≠0
3. Jika a dan b sebarang bilangan, b ≠ 0, dan m bilangan bulat positif apakah bentuk m ⎛a⎞ sederhana ⎜ ⎟ ? ⎝b⎠
Rangkuman Jika m dan n bilangan bulat, dan a, b sebarang bilangan maka berlaku sifat-sifat berikut. 1. am × an = am+ n
2.
(am )n = amn
am 3. = am − n , a ≠ 0 n a 4.
(a × b )n = an × bn
⎛a⎞ 5. ⎜ ⎟ ⎝b⎠
m
am ,b≠0 = bm
Menggunakan Kalkulator Untuk menghitung nilai bilangan berpangkat dapat digunakan kalkulator. Kalkulator jenis scientific biasanya memuat tombol untuk menentukan nilaix yx y atau tombol
untuk menentukan akar pangkat dua.
Contoh 1: 6
Hitunglah 3,45 Jawab: Tekan tombol
3
.
4
5
xy
=
akan menghasilkan nilai1686.221298140625 Contoh 2: Hitunglah 789 Jawab: Tekan tombol
7
8
9
akan menghasilkan nilai28.089143810376278537410115784912 Contoh 3: Hitunglah 5 456 Jawab: 1
5
456 = 456 5 = 456 0 ,2
Tekan tombol
4
5
6
xy
.
akan menghasilkan nilai3.4024595321284907652092505444728
102
2
=
Menggunakan Komputer Beberapa software komputer dapat digunakan untuk menghitung nilai bilangan berpangkat, diantaranya Microsoft Excel. Contoh 4: Hitunglah 5,67-8 Jawab: Pada salah satu sel ketiklah: =5.67^-8 atau =POWER(5.67,-8) Hasil 9.36129E-07 berarti
9,36129 × 10 −7 = 0,000000736129
Contoh 5: Hitunglah
789
Jawab: Pada salah satu sel ketiklah: =SQRT(789)
Contoh 6: Hitunglah 5 456 1
0 ,2 Jawab: 5 456 = 456 5 = 456 Pada salah satu sel ketiklah: =POWER(456,1/5)
1. Tentukan nilai dari
a.
82 × 84
b. (-3)2 × (-3)4
b.
48 46
(− 3)5 f. (− 3)3
⎛2⎞ c. ⎜ ⎟ ⎝5⎠
g. (53)5
5
d. (3 × 105) × (5 × 106) ⎛⎛ 1 ⎞2 ⎞ h. ⎜ ⎜ − ⎟ ⎟ ⎜⎝ 3 ⎠ ⎟ ⎝ ⎠
6
2. Jika a, b, dan c sebarang bilangan dan tidak nol, sederhanakan a 3b 4c 5 a. (2a3)4 b. (4a5b2)2 × (2a3b-5)5 c. (-8(2c)-3)4 d. a 5b 2 c 4 3. Carilah bilangan yang terbesar yang merupakan hasil operasi perpangkatan dari bilangan 2, 3, dan 4. 4. Ubah bentuk-bentuk di bawah ini dalam pangkat negatif 2 5 b. a. 4 a4 3
1 1 × 3 4 35 2 ⎛ 2a ⎞ e. ⎜ ⎟ ⎝ b ⎠ c.
5.
d.
1 1 × a7 a 4
f.
1 3a5
Ubahlah bentuk-bentuk di bawah ini dalam pangkat positif. a. 3-2 × 3-5
b. 33 × 3-4
c. (-2)-2 × (-2)-4
d. (-3)3 × (-3)-5 ( −4 )− 3 f. ( −4 )5
e.
(− 4 )− 5 ( −4 )−6
6. Penalaran. Apakah an × bm = (ab)n+m ? Jika ya beri alasan. Jika tidak beri contoh. 7. Hitunglah jika a ≠ 0 a. (5 a2)0
104
b. (22 × a0)4
8. Produksi baju suatu perusahaan garmen mengikuti 5 , dengan t bilangan bulat positif fungsi b = −3 − 1 2 3 t
(
)
yang menya-takan waktu berjalan dalam tahun. Keuntungan perusa-haan dinyatakan oleh p dari al-irsyad0.tripod.com persamaan p = b × (10-3 × 22)-3. Berapakah keuntungan perusahaan selama 3 tahun? (Gunakan kalkulator atau komputer bila perlu)
9. Bank A menerapkan bunga majemuk 1% per bulan. Bank B menerapkan bunga majemuk 12,5% per tahun. Jika Aulia ingin menabungkan uang Rp 100.000,00 selama 3 tahun, bank manakah yang menghasilkan tabungan lebih banyak? (Gunakan kalkulator atau komputer bila perlu) 10. Salah satu tolok ukur tingkat kemakmuran suatu negara diukur dari besarnya Gross National Product (GNP). Kenaikan GNP suatu negara setelah n tahun (Tn) dihitung dengan rumus Tn = GNP × tn, dimana t adalah rata-rata pertumbuhan GNP. Pada tahun 1986, GNP di www.i-mrt.jp Jepang 1.204 trilyun dolar, dengan rata-rata pertumbuhan GNP 4.85 % per tahun. Jika diasumsikan rata-rata pertumbuhan GNP Jepang tidak berubah, tentukan kenaikan GNP Jepng pada tahun 1990 dibandingkan tahun 1986. (Gunakan kalkulator atau komputer bila perlu)
Pangkat Pecahan Bentuk
2 × 2 = 2 dapat dinyatakan dalam bentuk bilangan berpangkat
sebagai 2 x × 2 x = 2 1 . Ini berarti x + x = 1, atau x = 1 . 2 Dengan demikian dapat dinyatakan
1
2 = 22 .
Bentuk 3 2 dibaca ”akar pangkat 3 dari 2” yang berarti 3 2 × 3 2 × 3 2 = ( 3 2 )3 = 2. Dalam bentuk bilangan berpangkat dapat dinyatakan 2y × 2y × 2y = (2y)3 = 2 1
sehingga y = 1 . Dengan demikian 3 2 = 2 3 . 3
Masalah 6 Tulislah dalam bentuk akar 1
a. 4 3 1
b. 3 5 1
c. 5 3 1
Nyatakan a n dalam bentuk akar. Selidikilah syarat-syarat untuk a dan n. Apakah syarat a untuk n genap? Masalah 7 1
Di depan sudah dipahami makna dari a n = n a , a ≥ 0 , a bilangan positif, n > 1 untuk n genap dan a bilangan sebarang untuk n ganjil. m
Sekarang apakah makna dari a n , dengan m, n bilangan bulat lebih dari 1? Berikut 2 cara untuk menunjukkan hubungan akar dan pangkat pecahan. Cara 1 Cara 2 2 ⎛ 1 ⎞2 2 1 ⎜ ⎟ 2 7 3 = ⎜7 3 ⎟ 73 = 7 3 ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 3 = ⎛⎜ 7 2 ⎞⎟ 2 ⎝ ⎠ = 37
( )
( )
m Ubahlah a n dalam bentuk akar!
106
Operasi pada Bentuk Akar Masalah 8
Kalian telah memahami bahwa
( )
( )
n n m n m n a = a , ab = n a . n b dan am = amn.
Gunakan ketiga hal di atas untuk menghitung: 2 1. 3
( )
2.
⎛ 3 42 ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠
3
4 ⎞ 3. ⎛⎜ 2 3 3 ⎟ ⎠ ⎝
2
3 4 . ⎛⎜ 3 a 2 ⎞⎟ ⎝ ⎠
6
6 4 ⎞ 5 . ⎛⎜ 2 x 2 ⎟ ⎠ ⎝ k n ⎞ 6. ⎛⎜ a m ⎟ , jika a > 0, m, n bilangan bulat positif ⎠ ⎝
Masalah 9
Sederhanakan dengan menggunakan sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan.
Ingat Sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan a(b + c) = ab + ac (a + b)c = ac + bc
1.
a c +b c
2.
a c −b c
3.
4 2 +3 2
4.
2 3+5 3+3 3
5.
2 5 −3 5 +7 5
6.
6 + 54 + 250
7.
4 3 − 3 3 −2 3
(
)
Masalah 10
Di atas kalian sudah mempelajari sebagai perkalian bentuk akar
ab = a × b . Bentuk ini dapat juga ditulis
a × b = ab .
Hitunglah: a.
2× 3
b. c.
12 × 3 3 9 × 3 81
d.
5 35 4 2 . 3
f.
a. b , a > 0 , b > 0 n a .n b , a > 0, b > 0, n bilangan bulat positif
g.
n mn k a . b , a > 0 , b > 0, m, n bilangan bulat positif
e.
Merasionalkan Penyebut Bentuk Akar
Kalian sudah memahami bahwa √2, √3, √5, √7 adalah bilangan irrasional. 1 1 1 1 Demikian juga merupakan bilangan irrasional. Penyebut dari , , , 2 3 5 7 pecahan-pecahan tersebut dapat diubah menjadi bilangan rasional, dan pengubahan ini disebut merasionalkan bentuk akar. Contoh 1: Rasionalkan bentuk 1 a. 2 3 b. 2 3
Jawab: a.
108
1 1 2 = × (pembilang dan penyebut dikalikan √2) 2 2 2 Ingat 2 = 4 (a + b)(a - b) = a2 – b2 2 1 2 = atau 2 2
b.
3 2 3
=
3 2 3
×
3 (pembilang dan penyebut dikalikan √3) 3
3 3 2 9 3 3 1 = = 3 2×3 2
=
1. Hitunglah
1 a. 256 4
1 b. 15 2
1 7 e. 7 4 × 7 4
⎛ 3⎞ ⎜ ⎟ f. ⎜ 5 4 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠
4
5 c. 64 6
2 d. 27 3
3 16 4 g. 1 16 4
2 − ⎛ −1 ⎞ 3 ⎜ ⎟ h. ⎜ 8 2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠
3
d. 5 32 x 5 y 8
−
2. Nyatakan dalam bentuk pangkat
a.
a6 b 3
b. 4 8x 2 y 8
c.
125 a 2 b 3
3. Nyatakan dalam bentuk akar 2
5
3
b. (7a )8 b 8
a. x 3
1
2
4
c. 4 3 a 3 y 3
4. Mengapa n p tidak terdefinisi jika n genap dan p < 0? 5. Tulis bentuk lain yang ekuivalen dengan 3 46
6.
Sederhanakan
a.
5√3 + 4√3 + 6√2 - 3√2
b.
√6 + √54 - √200
c.
2 2 a 3 + 32 a 3 − a 18 a
d.
(3 + √2)(3 - √2)
1
4
3
d. a 6 b 6 c 6
e. f.
(√a - √b)(√a + √b)
a 3b 2 a 4 b 5
7. Arsitektur. Seorang arsitek akan membuat dinding dengan mengambil ide dari gelembung sabun jika luas permukaan gelembung sabun a maka volumenya v diberikan oleh persamaan v = 0 ,94 a 3 . Tentukan luas permukaan gelembung jika volumenya 7,5 cm3. (Gunakan kalkulator atau komputer bila perlu) 8.
Brasouw.tripod.com
Periode orbit dari satelit yang mengelilingi bumi adalah 90 menit, jari-jari bumi adalah 6400 km. Diberikan
r=
rumus
gmt 2 , 4π 2
disini
r
menyatakan jarak dalam meter dari pusat bumi ke satelit, g = 6,67 x 10-11, t menyatakan waktu dalam detik, m menyatakan massa bumi yaitu www.censolar.es 5,98 x 1024 kg. Tentukan jarak bumi dengan satelit. (Gunakan kalkulator atau komputer bila perlu) 9. Rasionalkan bentuk akar berikut 2 18 1 a. b. c. 4b 8 6
d.
6
e.
3 2 8
3 5
1 ⎛ 1 1 ⎞ 3 ⎟⎟ . Ubahlah + 10. Dalam pelajaran fisika terdapat persamaan ⎜⎜ ⎝ a3 b3 ⎠ −
persamaan tersebut dalam bentuk paling sederhana tanpa pangkat negatif.
110
