1
Pálfalvi Józsefné: A nagy ugrás. Tapasztalatok a felmérő dolgozatok és a bevezető matematika gyakorlatok alapján az ELTE Matematika alapszakon. A gimnáziumi tagozatokon, a kiemelt fakultációkon az emelt szintű matematikát tanulók közül sokan viszonylag könnyen megbirkóznak az átmenet nehézségeivel és az egyetemen is sikeresen folytatják matematikai tanulmányaikat. A felmérő dolgoztok tapasztalatai alapján azonban a középiskola és az egyetem közötti átmenet az elsőéves hallgatók nagy többsége számára valóban nagy ugrásnak bizonyul. 2006 óta a matematika és a többi természettudományos BSC szak tantervében szerepel a bevezető matematika felzárkóztató kritériumtárgy, amely a tanév eleji szintfelmérő dolgozattal indul. A tárgy célja, hogy segítséget kapjanak azok a hallgatók, akiknek nem sikerült elérniük a szintfelmérő dolgozattal a megfelelt minősítést A továbbiakban néhány rendszeresen visszatérő problémát mutatok be feladatok segítségével. Fogalmak megértése, helyes rögzítése. Egyszerű feladatok 1. Van-e megoldása a valós számok halmazán a következő egyenleteknek? 1. , 2. 3. , 4. A hallgatók közül sokan nehezen találták meg a helyes választ (1. , 2. , 3. nincs megoldás, 4. x tetszőleges nem pozitív szám) A hibásan válaszolók ilyeneket mondtak: „az 1.-nek nincs megoldása, mert a gyök alatt nem lehet negatív szám”, „a 2.- nek nincs megoldása, mert a logaritmus nem lehet negatív szám, ”, „a 4. -nek nincs megoldása, mert az abszolút érték nem lehet negatív szám”. A hibás válaszok jelzik a hiányosságokat néhány alapfogalom megértésében elmélyítésében. Előfordult az is, hogy a 3.-nak viszont „találtak megoldást”, úgy hogy 2-vel osztottak és a egyenletet oldották meg, általában a -ot megadva gyöknek. A trigonometrikus kifejezések használata terén az általános algebrai rutin hiánya mellett a konkrét ismeretek hiánya is nehezíti a helyzetet. A hallgatók nagy része számára a szögfüggvények fogalma megmarad a hegyesszögek tartományán és a pontatlan emlékezetből próbálják felidézni a derékszögű háromszögekben a megfelelő arányokat. Részben nem tanulják, vagy csak érintik a szögfüggvények általános értelmezését és nem tanulják, nem használják az általános összefüggéseket. Általában nincs fogalmuk arról, hogy mit jelent az, hogy a szögfüggvényeket a valós számok halmazán értelmezzük. Például a következő kérdésre csak kevesen adtak helyes választ: 2. Melyik nagyobb? vagy sin5 ? Ha azt kértem, hogy próbálkozzanak megbecsülni ezeket az értékeket, többen mindkét számot „a 0-hoz nagyon közeli” értéknek mondták, mert úgy gondolták, hogy csak lemaradt a szögek jelzése. Kevesen ismerték fel, hogy az 5 ívmértékű szög szinusza negatív, hiszen 5 a π és a 2π közé esik. Gyakran okoz nehézséget egy-egy kifejezés nem ismert használata. Ilyen például az „eltérés” szó jelentése a következő feleletválasztós példában:
2 3. Legyen d egy valós szám. Ekkor az eltérést a 3d és a 5 között a következő formula fejezi ki: A) B) C) D) Az eltérést nem lehet kifejezni, mert d nem ismert. Nem minden hallgató számára volt egyértelmű, hogy a helyes válasz a C. A negatívumok mellett pozitívumokat is tapasztalhattunk. Az utóbbi években javult a hallgatók tudása a kombinatorika, a gráfok, a valószínűség-számítás és statisztika terén. Ez valószínűleg elsősorban az újabb évek érettségi feladatainak köszönhető. Emellett azért még ezeken a területeken is van mit javítani. Például általános problémát okozott az alábbi feladat: 4. 20 különböző magasságú embert véletlenszerűen 2 egyenlő csoportba osztunk. Mi a valószínűsége, hogy a két legmagasabb ember ugyanabba a csoportba kerül? Bár született többféle jó megoldás is, de sokan hibáztak. Főleg abban, hogy a 20 fő 2 egyenlő csoportra osztásának az összes lehetőségére a -et jelölték meg és nem gondoltak arra, hogy ez a szám minden kettéosztást kétszer ad meg. (Helyes válasz: ). Egyre több hiányosságot tapasztalunk az egyetemre bekerülő hallgatók elemi geometriai ismereteiben. A hallgatók is egyre bizonytalanabbnak érzik geometriai tudásukat. Ezt jelzi, hogy egy feleletválasztós tesztben a következő feladat megoldásával legtöbben nem is próbálkoztak. 5. Egy szabályos háromszög területének mérőszáma megegyezik a beírt kör sugara háromszorosának mérőszámával. Ekkor a háromszög oldalának mérőszáma: A) B) 2 C) 1 D nem meghatározható Bár a tantervek előírják a valós szám fogalmának kialakítását, a célkitűzés megvalósításában már nagy eltéréseket tapasztalhatunk. Ezt jelzi a következő feladat is: 6. A táblázat első mezőjében található törteket kell elhelyezni a táblázat többi oszlopaiban a tizedes tört alakjuk szerint. véges tizedes tört
→
végtelen szakaszos tizedes tört
végtelen nem szakaszos tizedes tört
Akármelyik csoportban került is sorra ez a feladat, mindig voltak, akik nem hagyták üresen az utolsó oszlopot, például a hetedeket vagy tizenharmadokat sokan odatették. Nehezen tudták kiválasztani, hogy melyeknek van véges tizedestört alakjuk, az pedig még kevesebb hallgatónak ment, hogy belássák, hogy mindegyik tört felírható végtelen szakaszos tizedestört alakjában. Gondot okozott a zsebszámológép használata is. Tisztázni kellett, hogy a zsebszámológép mindig véges tizedestörtekkel számol valamilyen adott pontosságig. Így biztosan nem alkalmas annak eldöntésére, hogy a kérdéses szám elvileg milyen tizedestört alakba írható, vagyis az hogy racionális-e vagy sem.
3 Rendszeresen visszatérő probléma az egyenlőtlenségek megoldása, az abszolút érték megfelelő használata, az egyenletek és egyenlőtlenségek ekvivalenciája. Erre mutatok példákat hallgatói dolgozatokból. 7. Oldjuk meg az alábbi egyenlőtlenséget a valós számok halmazán: | x + 3 | +| x –9| < 1
1. 2. 3.
4.
Többen is az alábbi „megoldást” adták be „ eset x+3+x –9 < 1, azaz 2x – 6 < 1, tehát x < 3,5 eset x + 3 –x + 9 < 1, azaz 12< 1 nincs megoldás eset –x – 3 + x –9 < 1, azaz –12< 1 , (ezzel nem igen tudtak mit kezdeni, de volt, aki odaírta, hogy ez jó.) eset –x – 3–x + 9 < 1, azaz –2x + 6 < 1, tehát x > 2,5 „ (volt, ahol így végződött: „tehát 2.5 < x < 3,5”, de volt, aki nem írt semmilyen választ)
A megoldó nehezen értette meg, hogy ez miért 0 pont, pedig ő minden esetben jól számolt. Nyílván a gyakorlott szemű tanár hamar észreveszi, hogy nincs megoldás, hiszen a baloldali kifejezés minimuma: 12. Természetesen a hallgatók között is volt, aki jól oldotta meg, például úgy, hogy három intervallumban, az x< –3, –3 ≤ x ≤ 9 és x > 9 feltételekkel oldotta meg az egyenlőtlenséget és megállapította, hogy egyik esetben sincs megoldás. Ugyancsak helyes választ adtak, azok is, akik grafikusan oldották meg – jól. A hibázók gondolkodás nélkül, mechanikusan jártak el, külön- külön vizsgálták a két abszolút értékes kifejezést és így négy esettel dolgoztak, ilyenkor a hibák oka általában az volt, hogy nem találták a logikai kapcsolatot az egyes esetekben végzett számítások eredménye és az eseteket meghatározó feltételek között. 8. Oldjuk meg az alábbi egyenlőtlenséget a valós számok halmazán: „Mindkét oldalt négyzetre emelte:
Átrendezve, egyszerűsítve egyenlőtlenség megoldása: A helyes megoldás:
. A nullhelyek: 4,5 és 7. Az „ Hol a hiba?
Ebben szinte mindenki elkövette azt a hibát, hogy nem figyelt arra, hogy a négyzetre emelésnél nem ekvivalens átalakítást hajtott végre. Általában nem vették észre, hogy a jobboldalon álló kifejezés lehet negatív is (ha x<5,5), és ilyenkor az értelmezési tartomány minden idetartozó eleme (2,5 x<5,5) megoldás, hiszen a baloldal nem negatív, tehát nagyobb a jobboldalon álló negatív számnál. Ennél a feladatnál azok voltak a „szerencsések”, akiknek eszébe jutott a grafikus megoldás, arról észrevehették, ha algebrai hibát követtek el.
4 A bevezető matematika gyakorlat tematikájában a feladatsorok összeállításában elsősorban az az elv vezérelt, hogy lehetőleg minden olyan ismeretre kerüljön sor, amelyre az egyetemi képzés úgy kíván támaszkodni, mint ismert középiskolás anyagra. Ez azt is jelenti, hogy nem valamelyik iskolai tanterv volt az elsődleges irányadó. Az egyes tantervek eltérései, a viszonylag gyakori tantervi változások miatt nem is lenne ésszerű bármelyiket is tematikai alapnak tekinteni. A lehetőségekhez képest, természetesen érdemes figyelni az iskolai tananyagot aktuálisan meghatározó dokumentumokra: NAT, kerettantervek. Néhány példa kerettantervekből: 2008 Nincs Viete formulák Az egyenes egyenletei közül az egyik ismerete Sorozatok: csak számtani és mértani
2012 Van Viete formulák Nincs kiemelve az egyik Sorozatok megadása rekurzióval, képlettel és számtani, mértani a 9-10. végén: Az időszak végére elvárható a valós számkör biztos ismerete. Irracionális szám létezése
A valós szám szemléletes fogalma, kapcsolata a számegyenessel, a valós számok tizedes tört alakja, példák irracionális számokra Hiányzik: permutáció, variáció, kombináció elnevezések (feladatok vannak), van faktoriális, van binomiális együttható, Nincs kerületi szögek tétele Nincs húrnégyszög, érintő négyszög Nincs: addíciós tételek „Egyszerű feladatok”, pl. egy abszolút értékes, egy négyzetgyökös egyenletek Idézet a 2012-es kerettantervből: „A fejlesztés várt eredményei a két évfolyamos ciklus végén (11-12): – A matematikai tanulmányok végére a matematikai tudás segítségével önállóan tudjanak megoldani matematikai problémákat. – – A feladatmegoldások során helyesen használják a tanult matematikai szakkifejezéseket, jelöléseket. – Fejlődjön a bizonyítási, diszkussziós igényük… – – A tanulók váljanak képessé a pontos, kitartó, fegyelmezett munkára, törekedjenek az önellenőrzésre, legyenek képesek várható eredmények becslésére…” Ezeknek a fejlesztési céloknak a megvalósítása terén gyakran mutatkoznak jelentős hiányosságok az egyetemre bekerült hallgatóknál.
A tanév eleji felmérő dolgozatokra különböző feladatsorokat adtunk a matematika alapszakosoknak és a többi természettudományos alapszakosoknak, esetenként a megfelelt minősítés határa is eltért. Általában megállapítható, hogy kiváló eredményt azok a hallgatók értek el, akik emelt szinten érettségiztek matematikából. Példaként álljon itt a 2012. szeptemberi matematika alapszakosok szintfelmérő dolgozata, és az eredmények összesítése.
5 Matematika szintfelmérő 2012. szeptember Matematika BSC 1. Mennyi az szám utolsó előtti számjegye, ha az utolsó számjegye a 4 és az n természetes szám? 2. Egy sorozatot a következő képlettel adunk meg: , ahol n tetszőleges pozitív egész szám. Hány 2-nél kisebb nemnegatív tagja van a sorozatnak?
12 pont 13 pont
3. A derékszögű koordináta rendszer síkjában adott egy négyszög négy csúcsával: A(-2;-3), B(4;-3), C(4;11), D(-2;11) és egy kör az egyenletével: 12 pont . Határozza meg annak az egyenesnek az egyenletét, amely felezi a négyszögnek és a körnek is a területét. 4. Egy autóbuszvonal két végállomása egy lejtős út két végén van. Az alsó végállomásról elindul egy busz felfelé, majd 6 perc elteltével elindul egy másik busz a felső végállomástól lefelé és az út felénél találkoznak. A lefelé haladó az alsó végállomáson 6 percet várakozik, majd elindul felfelé. Eközben az első busz felér a felső végállomásra és azonnal visszafordul. 12 pont A két busz az alsó végállomástól számított harmadrésznél találkozik. Mekkora a menetidő lefelé és felfelé? 5. Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán: 11 pont 6. Péter és Tamás kézilabdázók, szorgalmasan gyakorolják a góllövést. Hogy ne legyen unalmas a gyakorlás, versenyeznek egymással. Péter általában a jobb góllövő, az eddigi tapasztalatok alapján 0,6 valószínűséggel talál be a hálóba, míg Tamás 50% valószínűséggel. Egy játszmában mindegyikük egyszer dob, megállapodnak a dobások sorrendjében először Péter, aztán Tamás dob. Péter nyer, ha ő talál be és Tamás nem, illetve Tamás nyer, ha ő talál 13 pont és Péter nem. Minden más esetben döntetlen az eredmény. Mennyi a valószínűsége annak, hogy két egymást követő játszma egyikében Péter nyer és a másikban az eredmény döntetlen? 7. Egy AB szakasz fölé félkört rajzolunk, és a körívet felosztjuk hat egyenlő részre. A B végponttól számítva az első osztópont legyen a C, a második pedig a D pont. Ezekből az osztópontokból merőlegest állítunk az AB átmérőre, a talppontok legyenek C’ és D’. A félkör területének hányad része az így kapott CDD’C’ síkidom területe?
13 pont
8. Oldja meg a következő paraméteres egyenletet az egész számok halmazán, ha p valós paraméter: 14 pont
Kérjük, hogy minden lapon tüntesse fel a nevét. A dolgozat megírására 120 perc áll rendelkezésre. Ennek során zsebszámológépet használhat. Minden egyéb segédeszköz használata tilos.
Eredmények összesítése Dolgozatot írt: 211 fő Nem felelt meg (0-tól 54 pontig) Megfelelt (55-től 74 pontig) Kiválóan megfelelt (75-től 100 pontig)
132 fő 44 fő 35 fő
62% 21% 17%
