Váení zákazníci, dovolujeme si Vás upozornit, e na tuto ukázku knihy se vztahují autorská práva, tzv. copyright. To znamená, e ukázka má slouit výhradnì pro osobní potøebu potenciálního kupujícího (aby ètenáø vidìl, jakým zpùsobem je titul zpracován a mohl se také podle tohoto, jako jednoho z parametrù, rozhodnout, zda titul koupí èi ne). Z toho vyplývá, e není dovoleno tuto ukázku jakýmkoliv zpùsobem dále íøit, veøejnì èi neveøejnì napø. umisováním na datová média, na jiné internetové stránky (ani prostøednictvím odkazù) apod. redakce nakladatelství BEN technická literatura
[email protected]
3.
SYMBOLICKOKOMPLEXNÍ METODA (SKM)
Tato kapitola je vìnována prajednoduché metodì, kterou s výhodou pouíváme pøi popisu a analýze obvodù v harmonickém ustáleném stavu. Ze zkuenosti vím, e tato metoda dìlá nìkterým studentùm a neuvìøitelné potíe. Do první úlohy jsem proto zaøadil i struèný popis podstaty této metody.
ÚLOHA 3.1 Jaká ja podstata symbolicko-komplexní metody? Symbolicko-komplexní metoda umoòuje jednoduchou práci se soustavami v harmonickém ustáleném stavu; je zaloena na elementárních poznatcích z teorie komplexních èísel. Na obr. 3.1 bod v komplexní (neboli Gaussovì) rovinì vyznaèuje komplexní èíslo A = a1 + ja2 . a1 je reálná a a2 imaginární èást komplexního èísla A; symbolicky zapsáno je a1 = = Re[A] a a2 = Im[A]. Absolutní hodnota komplexního èísla A je
$ =D=
D + D
a v uvaovaném mìøítku je rovna délce úseèky spojující poèátek komplexní roviny s bodem vyznaèujícím komplexní èíslo A. D
$
,P
D
Obr. 3.1 K úloze 3.1; komplexní èíslo A v Gaussovì rovinì
j
5H D
Úseèka svírá s kladnou reálnou poloosou úhel j. Tento úhel je orientovaný, kladná orientace je (podle dohody) proti smìru hodinových ruèièek. Vechno uvedené ilustruje obr. 3.1. Je zøejmé, e
D = D FRV j a
D = D VLQ j
46
Jiøí Myslík: Elektrotechnika jinak aneb dalí hlavolamy z elektrotechniky
a nae komplexní èíslo mùeme vyjádøit ve tvaru
$ = DFRVj + M DVLQj = D(FRVj M VLQj ) Nyní na chvíli odboème a pøipomeòme si, jak je moné nakreslit prùbìh sinusového napìtí Umsin(wt + j) (podobnì bychom nakreslili tøeba prùbìh sinusového proudu). Nakresleme ve zvoleném mìøítku úseèku, její délka odpovídá velikosti amplitudy Um. V èase t = 0 tato úseèka svírá s vodorovnou osou úhel j. V èase t1 bude nae úseèka svírat úhel wt1 + j v èase t2 úhel wt2 + j atd. Jak nakreslíme odpovídající body sinusoidy ukazuje obr. 3.2. X
wWj
8
P
Obr. 3.2 K úloze 3.1; konstrukce sinusoidy
j
VLQ wWj
P
8
wW
wW
wW
8
P
Nyní nechme úseèku Um rotovat v komplexní rovinì. Jeden koncový bod úseèky nechme v poèátku této roviny, druhý se zøejmì bude pohybovat po krunici (o polomìru Um). V okamiku t = 0 bude bod na krunici odpovídat komplexnímu èíslu Um(cosj + j . sinj), v t1 komplexnímu èíslu Um[cos(wt1 + j) + j . sin(wt1 + j)], v t2 komplexnímu èíslu Um[cos(wt2 + j) + j . sin(wt2 + j)] atd. Pouitím Eulerovy vìty mùeme uvedené vztahy zapsat ve tvaru 8 PH Mj , 8 PH M w +j , 8 PH M w +j atd. A nyní ji jsme u podstaty metody. Je zøejmé, e (
W
)
W
(
)
8 PVLQj = ,P 8 PH Mj
[
8 P VLQ(w + j ) = ,P W
8
[
8 P VLQ(w + j ) = ,P W
8
PH
PH
M w +j W
(
)
M w +j (
W
] )
]
atd., take pro libovolný okamik t platí
[
8 P VLQ(w + j ) = ,P W
8
PH
M w +j (
W
)
]= [
,P 8 P H
Mw H Mj W
]
Naemu napìtí v okamiku t odpovídá na imaginární ose úsek (v uvaovaném mìøítku) dlouhý Umsin(wt + j). Jiøí Myslík: Elektrotechnika jinak aneb dalí hlavolamy z elektrotechniky
47
Podívejme se na obr. 3.3. Uvaujme, e známe proudy i1(t) = Im1sin(wt + j1) a i2(t) = Im2sin(wt + + j2) a máme urèit proud i3(t) = Im3sin(wt + j3). Pro uzel B podle proudového (prvního) Kirchhoffova zákona platí
( )=
L W
(w + j ) =
, P VLQ
W
(w + j ) +
, P VLQ
W
(w + j )
, P VLQ
Pokud by okamité hodnoty proudù byly dány èíselnì, èekalo by nás sice triviální, ale pøesto ponìkud nepøíjemné poèítání. A co teprve, kdybychom museli seèítat (nebo odeèítat) tøeba dvacet proudù! Pokud si dobøe promyslíme poznatky z naeho výletu do úvodu teorie o komplexních èíslech vidíme, e rov. (a) mùeme napsat ve tvaru
[
,P , P H
[
M wWj (
)
,P , PH M w +j W
(
] = [ P M ,P ,
)
H
L
L
L
% Obr. 3.3 K úloze 3.1; tøi vìtve spojené v jednom uzlu
] [
]
wW H Mj = ,P , H M wW +j + P
] ,P[ PH M ,
(a)
W
(
] [
wW H Mj + ,P , H MwW H Mj P
)
]
Znovu zdùraznìme, e tato rovnice je vlastnì rov. (a) zapsaná jen ponìkud jinak. Chceme-li získat imaginární èást souètu (èi rozdílu) dvou nebo více komplexních funkcí, seèteme (odeèteme) jednodue imaginární èásti tìchto funkcí. Nyní celý postup udìláme zdánlivì sloitìjí. Abychom dostali rov. (a) mùeme také postupovat tak, e nejprve seèteme komplexní funkce èasu , PH Mw H Mj a , PH Mw H Mj . Dostaneme komplexní funkci èasu , PH Mw H Mj a z té vezmeme její imaginární èást. To, co jsme uvedli nyní zapime: W
W
W
, PH
Mw H Mj = , H Mw H Mj + , H Mw H Mj P P W
W
W
Zastavme se u této rovnice. Je vidìt, e ji mùeme vykrátit èlenem ejwt. Namísto abychom seèítali komplexní funkce èasu postaèí, abychom seèetli komplexní konstanty, co je jistì jednoduí: , PH
Mj = , H Mj + , H Mj P P
Pokud budeme chtít znát okamitou hodnotu proudu i3(t), staèí získanou komplexní konstantu vynásobit èlenem ejwt a z výsledku vzít imaginární èást. Jetì jednou vechno shròme. Namísto toho, abychom seèítali (èi odeèítali) funkce èasu, budeme seèítat (èi odeèítat) komplexní konstanty, co je podstatnì jednoduí. Nyní se dohodnìme, e komplexní èísla , PH Mj , , PH Mj a , PH Mj budeme znaèit Im1, Im2 a Im3 a nazývat komplexní amplitudy. Podobnì I1 = Im1/ , I1 = Im1/ a I3 = Im3/ jsou komplexní efektivní hodnoty. Uvedené velièiny se oznaèují jako fázory.
48
Jiøí Myslík: Elektrotechnika jinak aneb dalí hlavolamy z elektrotechniky
Uvaujme rotující fázor Aejwt. Zøejmì platí
G GW
( $H w ) = Mw$H w M
W
M
W
a Ï
$H w GW = M
W
Mw
$H w M
W
Namísto obecnì platné rovnice pro induktor
X= /
GL GW
nyní mùeme pro harmonicky promìnné velièiny psát rovnici
8P
w/ , P
M
nebo
8
w/ ,
M
V tìchto vztazích je jwL komplexní indukèní reaktance. Podobnì namísto obecnì platné rovnice pro kapacitor (uvaujeme nulovou poèáteèní podmínku)
X=
Ï L (x )Gx & W
dostaneme
8P
w&
M
,P = -
M
, w& P
nebo
8
Mw&
, =-M
w&
,
kde 1/(jwC) = j/(wC) je komplexní kapacitní reaktance. Uvaujme obecný pasivní dvojpól, který je v harmonickém ustáleném stavu. Takový dvojpól mùeme charakterizovat komplexní impedancí
=
8P 8 = ,P ,
Jiøí Myslík: Elektrotechnika jinak aneb dalí hlavolamy z elektrotechniky
49
nebo komplexní admitancí
<
,P , = = 8P 8 =
Z a Y se oznaèují jako komplexní imitance. Impedance je = = a admitance < < .
ÚLOHA 3.2 Napìtí je dáno vztahem u = 5sin(wt 45°) V. Urèeme jeho komplexní amplitudu a komplexní efektivní hodnotu. Komplexní amplituda napìtí je 8 P =
8 = H
- MR
H - M
R
9
a komplexní efektivní hodnota pak
9
ÚLOHA 3.3 Komplexní efektivní hodnota proudu je I = 3 j . 2 A. Jeho okamitá hodnota je i = Imsin(wt + j). Urèeme tuto hodnotu. Amplituda proudu je ,P
= , = + ( -)
a úhel
j = DUFWJ
[ ] = DUFWJ - 5H[ , ] ,P ,
Mùeme vak také pøímo psát
(
L W
[
) = ,P
,H
]
«
wW = ,P Ã
M
ì
+ ( -)
MDUFWJ
H
-
H
á
wW ³ =
M
³ã
+ ( -)
VLQ
- ± » ª w W + DUFWJ ² ½ Õ
ÚLOHA 3.4 Bylo by moné zavést pojem impedance i bez pouití symbolicko-komplexní metody? Samozøejmì, moné by to bylo, ale toto zavedení by bylo dosti komplikované. Ukáeme to na jednoduchém pøíkladu. Zabývejme se obvodem na obr. 3.4. a dejme si za úkol urèit proud, který jím protéká. Tuto úlohu bychom bez znalosti SKM museli øeit tak, e bychom vyli z diferenciální rovnice
50
Jiøí Myslík: Elektrotechnika jinak aneb dalí hlavolamy z elektrotechniky
