Stabilitás Input / output rendszerek
2006.09.14.
1
Stabilitás - bevezetés • egyszerűsített szemlélet • példa • zavarás után a magára hagyott rendszer • visszatér a nyugalmi állapotába • kvázistacionárius állapotba kerül • „végtelenbe” tart • alapjelváltás Stabilitás_IOr./2
Stabilitás • definíciók • BIBO stabilitás – külső stabilitás a bementek – kimenetek viszonyára tesz megkötést • aszimptotikus stabilitás a kimenetek határértékére tesz megkötést
Stabilitás_IOr./3
BIBO stabilitás • Definíció: BIBO stabilitás Egy rendszert BIBO stabilnak nevezünk, ha tetszőleges -∞< t0 ≤ t < ∞ időintervallumon alkalmazott korlátos bemenet hatására, |u(t)| < M1, a kimenete is korlátos lesz: |y(t)| < M2, a t0 ≤ t < ∞ időintervallumon (ahol M1, M2 < ∞, és t0 a kezdőidőpont) . Stabilitás_IOr./4
BIBO stabilitás • Tétel: BIBO stabilitás teljesülése Egy rendszer akkor és csak akkor BIBO stabil, ha ∞
∫ h(t ) dt < M < ∞ 0
azaz a súlyfüggvény abszolút integrálja korlátos.
Stabilitás_IOr./5
Aszimptotikus (nulla bemeneti) stabilitás • Legyen n-ed rendű lineáris, időinvariáns rendszer bemenete zérus, a kimenete pedig a kezdeti értékek miatt y(t). Ekkor y(t) a következő módon fejezhető ki: n −1
y (t ) = ∑ g k (t ) ⋅ y (k ) (t0 ) k =0
ahol gk(t) jelöli az y(k)(t0) kezdeti értékek miatti, a nulla bemenetre adott válasz (k+1)-dik komponensét és
k d y (t ) (k ) y (t0 ) = dt k t =0
Stabilitás_IOr./6
Aszimptotikus (nulla bemeneti) stabilitás • Definíció: Aszimptotikus stabilitás Egy lineáris időinvariáns rendszert tetszőleges, nem minden esetben zérus kezdeti feltételek esetén nullabemeneti stabilitásúnak nevezzük, ha megválasztható egy M korlát ∃M(y(t0), y(1)(t0),…, y(n-1)(t0)) > 0, úgy, hogy |y(t)| ≤ M < ∞, ∀t ≥ t0 és
lim y (t ) = 0 t →∞
Stabilitás_IOr./7
Aszimptotikus (nulla bemeneti) stabilitás • Ha egy rendszerben konstans nulla bemenet és adott, legalább egy esetben nemzérus kezdeti feltételek esetén a kimenet nullához tart tetszőlegesen nagy idő eltelte után, akkor ezt a rendszert nulla bemeneti stabilitásúnak (vagy aszimptotikusan stabilnak) nevezzük. Egyébként a rendszer instabil.
Stabilitás_IOr./8
Aszimptotikus (nulla bemeneti) stabilitás • a stabilitás feltétele y (t ) =
n −1
n −1
n −1
∑ g (t )⋅ y (t ) ≤ ∑ g (t ) ⋅ y (t ) < ∑ g k (t ) < ∞ , (k )
k
k =0
0
(k )
k
k =0
0
∀t ≥ t0
k =0
mivel a kezdeti feltételek végesek y(t0), y(1)(t0),…, y(n-1)(t0) < ∞
Stabilitás_IOr./9
Stabilitás – Általános feltétel • Induljunk ki
an y (n ) (t ) + an −1 y (n −1) (t ) + K + a0 y (t ) = bmu (m ) (t ) + K + b0u (t ) • inhomogén differenciálegyenlet megoldás: homogén általános megoldása + inhomogén partikuláris megoldása
Stabilitás_IOr./10
Stabilitás – Általános feltétel • homogén egyenlet: egyenlet bal oldala nullával egyenlővé téve an y (n ) (t ) + an −1 y (n −1) (t ) + K + a0 y (t ) = 0
bal oldalon kimenet és deriváltjai ennek megoldása a magára hagyott rendszer válasza nulla bemeneti stabilitás • inhomogén megoldás: új egyensúlyi állapot jellemzőinek meghatározása Stabilitás_IOr./11
Stabilitás – Általános feltétel • A homogén egyenlet általános megoldása: y (t ) = c1e
n
p1t
+ c2 e
p2t
+ K + cn e
pn t
= ∑ ck e p k t k =1
• ahol p1, p2,…, pn a homogén egyenletnek megfelelő karakterisztikus egyenlet gyökei, ci konstansok • Stabilitás lim y (t ) = 0 t →∞
• teljesül: ha ezek a gyökök negatív valósak, vagy negatív valós részű komplex gyökpárok: Re{pi} < 0, ∀pi, i=1,…,n Stabilitás_IOr./12
Stabilitás – Általános feltétel • a homogén egyenlet y(t) megoldása tulajdonképpen a rendszer súlyfüggvénye hiszen így, ha akkor
Y(s) = G(s)⋅U(s) u(t) = δ(t) Y(s) = G(s) ⇒
y(t) = h(t)
azaz a stabilitás lim h(t ) = 0 t →∞
Stabilitás_IOr./13
Stabilitás – Általános feltétel • Operátor tartományban • Átviteli függvény Y (s ) bm s m + K + b0 b0 (s − z1 ) ⋅ K ⋅ (s − z m ) G (s ) = = = ⋅ n U (s ) an s + K + a0 a0 (s − p1 ) ⋅ K ⋅ (s − pn )
ahol a p1, p2,…, pn gyökök a nevező polinomjának gyökei, azaz a pólusok, és megfelelnek a homogén differenciál egyenlethez tartozó karakterisztikus egyenlet gyökeinek • Így a rendszer stabilitáshoz ezeknek a gyököknek az előjelét kell ellenőrizni ⇒ komplex sík baloldali félsíkjára esnek-e /14 Stabilitás_IOr.
Stabilitás – Általános feltétel • Inhomogén egyenlet an y (n ) (t ) + an −1 y (n −1) (t ) + K + a0 y (t ) = b0u (t )
• legyen u(t) = 1(t) ugrásjel • ekkor a megoldás általános alakja
(
y (t ) = K 1(t ) + c1e p1t + c2 e p2t + K + cn e pnt
)
ahol K = b0/a0 a rendszer erősítése • így stabil rendszer esetén lim y (t ) = K t →∞
Stabilitás_IOr./15
Stabilitás - összehasonlítás • BIBO stabilitás: korlátos bemenetre korlátos válasz • Aszimptotikus stabilitás: • impulzus bemenetre nullához tartó kimenet • ugrás jel bemenetre az erősítés által meghatározott végértékhez tartó válasz ⇓ • Aszimptotikusan stabil rendszer ⇒ BIBO stabil is • BIBO stabil rendszer nem feltétlenül aszimptotikusan stabil Stabilitás_IOr./16
Példák
G1 (s ) =
20 (s + 1)(s + 2)(s + 3)
p1 = −1, p2 = −2, p3 = −3
20 G2 (s ) = (s − 1) s 2 + 2s + 1
p1 = 1, p2 ,3 = −1
20(s + 1) G3 (s ) = (s + 2) s 2 + 4
p1 = −2 , p2 ,3 = ±2 j
(
)
(
)
20 G4 (s ) = (s + 0,5) s 2 − 0,2s
(
)
p1 = −0 ,5, p2 = 0 , p2 = 0,2 Stabilitás_IOr./17
Stabilitásvizsgálati módszerek • szükségességük • fajtáik • algebrai: Routh-Hurwitz módszer • frekvencia tartomány: Nyquist-kritérium Bode-kritérium • geometriai: gyökhelygörbe módszer
Stabilitás_IOr./18
Routh-Hurwitz kritérium • módszercsalád • cél: az eredő átviteli függvény karakterisztikus egyenlete alapján a stabilitás meghatározása G (s ) legyen az eredő átviteli függvény: Ge (s ) = 1 + G (s )H (s )
az ehhez tartozó karakterisztikus egyenlet: K (s ) = 1 + G (s )H (s )
illetve polinomiális alakban: K (s ) = an s n + an −1s n −1 + K + a1s + a0 Stabilitás_IOr./19
Routh-Hurwitz kritérium • A stabilitás szükséges és elégséges feltétele: • Minden együttható legyen pozitív ∀ai > 0, i = 1,…,n • A H Hurwitz-determináns valamennyi főátlóra támaszkodó aldeterminánsa legyen pozitív: ∆1 ∆2 ∆3 ∆n
∆=
an −1
an − 3
an − 5
K
0
an 0
an − 2 an −1
an − 4 an − 3
K K
0 0
0
an
an − 2
K
0
M
M
M
O
M
0
0
K
K
a0
Stabilitás_IOr./20
Nyquist-kritérium • a hurokátviteli függvényen alapuló geometria kritérium • elv: a felnyitott kör helygörbéjéből következtetünk a zárt rendszer stabilitási viszonyaira • kiindulás
Stabilitás_IOr./21
Nyquist-kritérium • Az átviteli függvény: Go (s ) Go (s ) G (s ) = = 1 + Go (s )Gm (s ) 1 + Ge (s )
• A karakterisztikus egyenlet: 1+Ge(s)=0 melyből a pólusokat megkapjuk • Áttérve frekvenciatartományba 1+Ge(jω)=0 Stabilitás_IOr./22
Nyquist-kritérium • Az 1+Ge(jω)=0 összefüggés fizikai értelme:
• van-e a zárt rendszernek csillapítatlan szinuszos rezgésű állandósult megoldása ∃ω0 : Ge(jω0) = -1 • ha igen: akkor ezzel az ω0 frekvenciával gerjesztve a zárt rendszert csillapítatlan rezgéseket kapunk Stabilitás_IOr./23
Nyquist-kritérium • a kritérium: Ha a felnyitott kör Ge(jω0) amplitúdófázis görbéje – miközben frekvencia 0≤ ω < ∞ tartományon változik – éppen áthalad a komplex számsík -1 pontján, akkor a rendszer a stabilitás határán van
Stabilitás_IOr./24
Nyquist-kritérium • Magyarázat: Induljunk ki a visszacsatolt körből:
B K
• legyen w=0 • vágjuk fel a kört a B-K pontok között • legyen a felnyitott kör Nyquist-diagramja olyan, hogy átmegy a -1 ponton Stabilitás_IOr./25
Nyquist-kritérium • gerjesszük a rendszert a B pontban ω0 frekvenciájú szinuszos yb jellel e = w-yb B
yb
K
yk = Ge·e=yb
• a különbségképző után e = -yb • a K ponton pedig ismét yb jelenik meg: Ge(jω0)= Ge(jω0) Ge(jω0)= -1 Stabilitás_IOr./26
Nyquist-kritérium • összekötés után is fenn marad ez a jel, a gerjesztés megszűnése esetén is • valós rendszer – egységugrás gerjesztés
Stabilitás_IOr./27
Nyquist-kritérium • stabilitás kritérium • Ha a felnyitott kör Nyquist göbéje a valós tengelyt • a -1 ponttól jobbra metszi, akkor a zárt kör stabil; • pontosan a -1 pontban metszi, akkor a zárt kör a stabilitás határán van; • a -1 ponttól balra metszi, akkor a zárt kör instabil. Stabilitás_IOr./28
Nyquist-kritérium
instabil stabilitás határán stabil Stabilitás_IOr./29
Nyquist-kritérium • fázis tartalék ϕt = π - ϕ • ha ϕ < π, ϕt > 0 ⇒ a rendszer stabil • ha ϕ = π, ϕt = 0 ⇒ a rendszer stabilitás határán • ha ϕ > π, ϕt < 0 ⇒ a rendszer instabil • általában ϕt > π/6 legyen
Stabilitás_IOr./30
Nyquist-kritérium • erősítési tartalék κ = az origó és a metszéspont közötti távolság • ha κ < 1 ⇒ a rendszer stabil • ha κ = 1 ⇒ a rendszer stabilitás határán • ha κ > 1 ⇒ a rendszer instabil Stabilitás_IOr./31
Bode-kritérium • Bode diagram: a frekvencia függvényében az amplitúdóviszony és fázisszög ábrázolása • Nyquist diagram egység sugarú kör ⇒ Bode diagram 0 dB tengely • Bode kritérium alapja: az amplitúdógörbe és a 0 dB tengely metszés pontjához milyen fázisszög érték tartozik
Stabilitás_IOr./32
Bode-kritérium
Stabilitás_IOr./33
Bode-kritérium • Stabilitási kritérium: Ha az amplitúdógörbe és a 0 dB-es tengely metszéspontjához tartozó ϕ fázisszög • nagyobb -180o-nál, akkor a rendszer stabil; • egyenlő -180o-kal, akkor a rendszer a stabilitás határán van; • ha kisebb -180o-nál, akkor instabil. Stabilitás_IOr./34
Bode-kritérium • Fázistartalék • ϕt
• erősítési tartalék • |κ| [dB] • fizikai értelmezés Stabilitás_IOr./35
Gyökhelygörbe • módszer célja: • stabilitásvizsgálat • minőségi jellemzők hozzávetőleges meghatározása • Evans, 1948 • alkalmazható SISO és MIMO rendszerekre • Definíció: Gyökhelygörbe A gyökhelygörbe a zárt rendszer pólusainak mértani helye a komplex síkon, miközben a rendszer valamely paraméterét zérus és végtelen között változtatjuk. /36 Stabilitás_IOr.
Gyökhelygörbe • kiindulás
• legyen
k (s + z1 )(s + z 2 ) ⋅ K ⋅ (s + z m ) Go (s ) = (s + p1 )(s + p2 ) ⋅K ⋅ (s + pn )
ahol k - erősítés, -z1,…, -zm – zérushelyek, -p1,…, -pn - pólusok Stabilitás_IOr./37
Gyökhelygörbe • a visszacsatolt kör eredő átviteli függvénye: Go (s ) k (s + z1 ) ⋅ K ⋅ (s + z m ) G (s ) = = 1 + Go (s ) (s + p1 ) ⋅ K ⋅ (s + pn ) + k (s + z1 ) ⋅K ⋅ (s + zm )
• a karakterisztikus egyenlet:
(s + p1 ) ⋅K ⋅ (s + pn ) + k (s + z1 ) ⋅K ⋅ (s + zm ) = 0 azaz a gyökhelygörbe a karakterisztikus egyenlet gyökeinek mértani helye a komplex síkon, midőn az erősítést 0 és ∞ között változtatjuk Stabilitás_IOr./38
Gyökhelygörbe • a karakterisztikus egyenletet átalakítva: k (s + z1 ) ⋅ K ⋅ (s + z m ) = −1 (s + p1 ) ⋅K ⋅ (s + pn )
• azaz
Go(s)= -1
• miután általános esetben a gyökök komplexek, és a komplex számok felírhatók z = A·ejϕ alakban, így -1 = e±jlπ ahol l = 1,3,5,… vagy -1 = 1∠±l·180o Stabilitás_IOr./39
Gyökhelygörbe • Összefoglalva: A gyökhelygörbe bármely pontjának két feltételt kell kielégítenie: a valós és a képzetes részeknek a k (s + z1 ) ⋅ K ⋅ (s + z m ) = −1 (s + p1 )⋅K ⋅ (s + pn ) egyenlet mindkét oldalán külön-külön meg kell egyezniük • szögfeltétel • abszolútérték feltétel Stabilitás_IOr./40
Gyökhelygörbe • legyen a k-dik zérushely: s + zk = Ck ·ejγk = Ck∠γk k= 1,… m , ahol m a zérushelyek száma • legyen a i-dik pólus: s + pi = Di ·ejδi = Di∠δi i = 1,… n , ahol n a pólusok száma
Stabilitás_IOr./41
Gyökhelygörbe • Szögfeltétel: ∠γ1 +∠γ2 +…+∠γm -∠δ1 - ∠δ2 -… -∠δn = n m o (l = 1, 3, 5,…) =Σ k=1 ∠γk - Σ i=1 ∠δi =±l ·180 azaz egy s pont akkor és csak akkor tartozik a gyökhelygörbéhez, ha a zérushelyekből kiinduló és az s–be mutató vektorok szögének összegéből levonva a pólusokból kiinduló és az s–be mutató vektorok szögeinek összegét, akkor o ±l ·180 –t kapunk.
Stabilitás_IOr./42
Gyökhelygörbe • az abszolútérték feltétel: s + z1 ⋅ s + z 2 ⋅ K ⋅ s + z m
Π mk=1Ck 1 1 = n = = s + p1 ⋅ s + p2 ⋅ K ⋅ s + pn Π i =1 Di k k
azaz egy s pont akkor és csak akkor tartozik a gyökhelygörbéhez, ha a zérushelyekből az s– be mutató vektorok abszolút értékeinek szorzatát elosztva a pólusokból az s–be mutató vektorok abszolút értékeinek szorzatával az erősítés reciprokát kapjuk meg. Stabilitás_IOr./43
Gyökhelygörbe • a gyökhelygörbe előállítása • karakterisztikus egyenlet megoldásával • grafikus úton próbálgatással • szerkesztési módszerek • számítógépes programok • tulajdonságok alapján közelítve
Stabilitás_IOr./44
Gyökhelygörbe tulajdonságai 1. A gyökhelygörbéneknek annyi ága van, amennyi a zárt rendszer pólusainak a száma. 2. A gyökhelygörbe mindig szimmetrikus a valós tengelyre nézve.
Stabilitás_IOr./45
Gyökhelygörbe tulajdonságai
3. Legyen n a pólusok száma, m a zérushelyek száma a felnyitott körben • ha n>m, akkor a gyökhelygörbe a felnyitott kör pólusaiból indul ki, és m számú ág a felnyitott kör zérushelyeibe, n-m számú ág a végtelenbe tart, • ha n=m, akkor a gyökhelygörbe teljesen a végesben van, • ha n<m, akkor m-n számú ág a végtelenből indul ki (nem reális eset). Stabilitás_IOr./46
Gyökhelygörbe tulajdonságai 4. A valós tengelyen akkor és csak akkor lehetnek gyökhelygörbe szakaszok, ha a vizsgált ponttól jobbra a pólusok és a zérushelyek együttes száma páratlan. 5. A gyökhelygörbe aszimptótáinak irányát az ± l ⋅180o α= n−m
összefüggés adja meg.
Stabilitás_IOr./47
Gyökhelygörbe - példák • példák csoportosítása • nevező fokszáma n • számláló fokszáma m (nullad- vagy elsőrendű pol.) • vizsgált kör
G (s ) • az eredő átviteli függvény: Ge (s ) = 1 + G (s ) Stabilitás_IOr./48
Gyökhelygörbe - példák • legyen n = 1, m = 0 K • ha G (s ) = s
K ⇒ Ge (s ) = s+K
Stabilitás_IOr./49
Gyökhelygörbe - példák • ha K K ⇒ Ge (s ) = G (s ) = τs + 1 τs + 1 + K
Stabilitás_IOr./50
Gyökhelygörbe - példák • legyen n = 1, m = 1 K (Ts + 1) K (Ts + 1) G (s ) = ⇒ Ge (s ) = (τ + KT )s + 1 + K τs + 1
ha τ > T
Stabilitás_IOr./51
Gyökhelygörbe - példák • legyen n = 2, m = 0 és ξ > 1 K K G (s ) = ⇒ Ge (s ) = (τ1s + 1)(τ2 s + 1) τ1 ⋅ τ 2 s 2 + (τ1 + τ 2 )s + 1 + K
Stabilitás_IOr./52
Gyökhelygörbe - példák • legyen n = 2, m = 0 és 0 < ξ < 1 K K G (s ) = 2 2 ⇒ Ge (s ) = 2 2 T s + 2ξTs + 1 T s + 2ξTs + 1 + K
Stabilitás_IOr./53
Gyökhelygörbe - példák • legyen n = 2, m = 1 és ξ > 1 K (Ts + 1) K (Ts + 1) G (s ) = ⇒ Ge (s ) = (τ1s + 1)(τ2 s + 1) τ1 ⋅ τ 2 s 2 + (τ1 + τ 2 + KT )s + 1 + K
• ha τ1> T > τ2
Stabilitás_IOr./54
Gyökhelygörbe - példák • ha τ1> τ2> T Im
1
1 2
1
Re
1
Stabilitás_IOr./55
Gyökhelygörbe - példák • legyen n = 2, m = 1 és 0 < ξ < 1 K K G (s ) = 2 2 ⇒ Ge (s ) = 2 2 T s + 2ξTs + 1 T s + 2ξTs + 1 + K
Stabilitás_IOr./56
Gyökhelygörbe - példák • legyen n = 3, m = 0 K G (s ) = (τ1s + 1)(τ 2 s + 1)(τ3 s + 1)
ha τ1> τ2 > τ3
Stabilitás_IOr./57
Gyökhelygörbe - példák K G (s ) = 2 2 T s + 2ξTs + 1 (τs + 1)
(
)
Stabilitás_IOr./58
Gyökhelygörbe - példák • legyen n = 3, m = 1 G (s ) =
K (Ts + 1) (τ1s + 1)(τ2 s + 1)(τ3 s + 1)
ha τ1> τ2 > τ3 > T
Stabilitás_IOr./59
