UNIVERZITA KOMENSKÉHO, FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY Otázky na štátne záverečné skúšky pre odbor: učiteľstvo všeobecno-vzdelávacích predmetov ALGEBRA 1. Homogénne sústavy lineárnych rovníc. Báza priestoru riešení. Gaussova eliminačná metóda. 2. Nehomogénne sústavy lineárnych rovníc. Frobeniova veta. 3. Grupa, podgrupa. Podgrupa generovaná prvkom grupy. Cyklické podgrupy. Izomorfizmus grúp. 4. Pravý a ľavý rozklad grupy podľa podgrupy. Konečné grupy. Langrangeova veta a jej dôsledky. 5. Faktorova grupa. Normálna podgrupa. Homomorfizmy grúp. Základná veta o homomorfizmoch grúp. 6. Okruhy, obory, integrity, polia. Charakteristika okruhu a oboru integrity. 7. Faktorový okruh. Ideál. Homomorfizmy okruhov. Základná veta o homomorfizmoch okruhov. 8. Podielové pole. Konštrukcia poľa racionálnych čísel Q. 9. Okruhy polynomických funkcií a polynómov nad poľom. Korene polynómu, viacnásobné korene. Taylorov rozvoj polynómu. Súvis derivácie a násobnosti koreňov. 10. Ireducibilné polynómy. Veta o existencii a jednoznačnosti rozkladu polynómu. Veta o delení so zvyškom. Najväčší spoločný deliteľ a najmenší spoločný násobok polynómov. 11. Polynómy nad Z, Q, R a C. 12. Celkový prehľad o zavedení číselných oborov N0, Z, Q, R a C (bez usporiadania). 13. Konštrukcia poľa R všetkých reálnych čísel. 14. Usporiadané množiny. Usporiadané okruhy. Množina normálnych prvkov v okruhu. Usporiadanie číselných oborov N0, Z, Q, R. Nemožnosť usporiadania poľa C. 15. Definícia a existencia odmocniny v poli R. Mocniny s reálnymi exponentami. Definícia a existencia logaritmu. 16. Definícia množiny celých nezáporných čísel N0 v teórii množín. 17. Kardinálne čísla a ich aritmetika. Mohutnosti množín vyskytujúcich sa najčastejšie v školskej matematike. 18. Aritmetika v množine všetkých celých čísel Z. Deliteľnosť. Prvočísla. Základná veta aritmetiky. 19. Kongruencie na Z. Kritériá deliteľnosti. Veta Eulerova, Langrangeova a Wilsonova. 20. Základné aritmetické funkcie (počet deliteľov, súčet deliteľov). Ich základné vlastnosti. Eulerova funkcia.
UNIVERZITA KOMENSKÉHO, FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY Otázky na štátne záverečné skúšky pre odbor: učiteľstvo všeobecno-vzdelávacích predmetov MATEMATICKÁ ANALÝZA 1. Limita funkcie, limita postupnosti. Základné vety o limitách. Cauchyho-Bolzanovo kritérium. L´Hospitalovo pravidlo. 2. Limity monotónnych postupností, číslo "e". Existencia konvergentných podpostupností ohraničených postupností. 3. Spojitosť funkcie, vety o spojitých funkciách (súčtu, súčinu, …). Darbouxova vlastnosť. Spojitosť monotónnej a inverznej funkcie na intervale. 4. Vlastnosti spojitých funkcií na ohraničených uzavretých intervaloch. 5. Derivácia funkcie, súvis existencie derivácie so spojitosťou. Základné vety o derivácii (súčtu, súčinu, podielu, zloženej funkcie, inverznej funkcie). 6. Základné vety diferenciálneho počtu (Fermatova, Rolleho, Lagrangeova, Cauchyho). 7. Vyšetrovanie priebehu funkcie pomocou diferenciálneho počtu (rast, klesanie, konvexnosť, konkávnosť, extrémy, asymptoty). 8. Riemanov integrál. Nutné a postačujúce podmienky integrovateľnosti. Triedy integrovateľných funkcií. 9. Newtonov-Leibnizov vzorec, integrál ako funkcia hornej hranice a existencia primitívnej funkcie k spojitej funkcii. 10. Číselné rady, nutná podmienka konvergencie, konvergencia radov s kladnými členmi (porovnávacie, Cauchyho, D´Alembertovo, Raabeho, integrálne). 11. Absolútna a relatívna konvergencia, rady so striedavými znamienkami, Leibnizovo kritérium. 12. Mocninové rady, polomer, interval, obor konvergencie. Taylorove rady. 13. Pojem parciálnej derivácie, derivácia v smere. Nutná podmienka existencie lokálnych extrémov. Postačujúca podmienka existencie lokálnych extrémov (bez dôkazu). 14. Dvojný integrál a jeho prevod na dvojnásobný na elementárnych oblastiach. 15. Diferenciálne rovnice, Cauchyho úloha. Základné typy diferenciálnych rovníc 1. rádu riešiteľných integrovaním (separovaná, separovateľná, homogénna, lineárna diferenciálna rovnica s pravou stranou, Bernoulliho). 16. Lineárne diferenciálne rovnice vyšších rádov, špeciálne s konštantnými koeficientami. 17. Limita, spojitosť, derivácia funkcie komplexnej premennej. 18. Pojem metrického priestoru príklady metrických priestorov (C 〈a, b〉, l1, l2, priestor s diskrétnou metrikou) a konvergencia v nich podľa metriky. 19. Spojitosť zobrazenia metrického priestoru do metrického priestoru. Heineho definícia spojitosti. 20. Úplné metrické priestory, Banachova veta o pevnom bode a jej aplikácie.
UNIVERZITA KOMENSKÉHO, FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY Otázky na štátne záverečné skúšky pre odbor: učiteľstvo všeobecno-vzdelávacích predmetov DIDAKTIKA MATEMATIKY 1. a) Základné koncepcie matematického vzdelávania. Konštruktivizmus. Nové trendy s využitím IKT. b) Kombinatorika. (MS EXCEL, grafický kalkulátor). 2. a) Poznávací proces v matematike. b) Pravdepodobnosť a štatistika. 3. a) Vývoj dieťaťa a poznávací proces. Piaget a neopiagetizmus. b) Teória čísel. (JAVA APPLETY). 4. a) Deformácie poznávacieho procesu v matematike. b) Celé čísla. Iracionálne čísla. 5. a) Význam IKT pri vyučovaní matematiky. Štruktúra vyučovacej hodiny. b) Zlomky, percentá. 6. a) Interakcia učiteľ – žiak. (Dialogická interakcia, prístupová stratégia, odvetná stratégia). Diferenciácia a individuálny prístup pri vyučovaní. b) Základy planimetrie (rovinné útvary, uhly v mnohouholníkoch, kružniciach, množiny všetkých bodov s danou vlastnosťou). (CABRI GEOMETRY). 7. a) Skúšanie, hodnotenie, klasifikácia, pedagogická diagnostika. b) Geometrické zobrazenia v rovine. (CABRI GEOMETRY). 8. a) Príprava a hodnotenie písomnej skúšky z matematiky. b) Rovnice a nerovnice, sústavy. (DERIVE, grafický kalkulátor). 9. a) Prirodzené čísla. Fylogenéza a ontogenéza. b) Definícia a základné vlastnosti funkcií. (DERIVE, grafický kalkulátor, CABRI GEOMETRY). 10. a) Pojmotvorný proces. Didaktická analýza pojmu. b) Goniometrické funkcie. (DERIVE, grafický kalkulátor, CABRI GEOMETRY). 11. a) Matematické poznanie z historického hľadiska (paralela fylogenézy a ontogenézy matematického poznania). b) Elementárne funkcie (bez goniometrických). (DERIVE, grafický kalkulátor, CABRI GEOMETRY). 12. a) Logika, množiny, jazyk matematiky, symbolika. b) Trigonometria. (DERIVE, grafický kalkulátor, CABRI GEOMETRY). 13. a) Argumentácia, dôkaz. b) Stereometria. (CABRI GEOMETRY). 14. a) Didaktická analýza tematického celku. b) Postupnosti a rady reálnych čísel. 15. a) Využitie INTERNETU pri vyhľadávaní učebných materiálov. b) Vektorová algebra. 16. a) Problem solving, projektové vyučovanie. b) Analytická geometria. (DERIVE). 17. a) Testy, špecifikačná tabuľka pre prípravu testov. b) Infinitezimálny počet. 18. a) Motivácia v matematike. Konkrétna ukážka motivácie. b) Dôkazy. 19. a) Diagnostická analýza žiackych prác. b) Grafy funkcií. (DERIVE, grafický kalkulátor, JAVA APPLETY). 20. a) Využitie histórie pri vyučovaní matematiky. b) Premenná, výrazy, symbolika, IKT - konkrétne ukážky využitia v matematike. Ukážková náplň časti b. 5. b) Zlomky, percentá. Prvé stretnutie so zlomkom, zlomok ako mnohosť, zlomok ako operátor, operácie so zlomkami, model čokoláda, model torta, model úsečka, zlomok a desatinné číslo, idea
percenta, základ, počet percent, hodnota príslušná k počtu percent, prevod percentazlomky-desatinné čísla. 18. b) Dôkazy. Dôkazy výrokov – priamo, sporom, dôkazy implikácií – priamo, nepriamo, sporom, obrátený postup, dôkazy ekvivalencií, dôkaz matematickou indukciou, analýza obtiažnosti.
Učiteľstvo všeobecnovzdelávacích predmetov - MATEMATIKA Geometria 1. Parametrické vyjadrenie lineárnych variet v An. Sústava všeobecných rovníc lineárnej variety, rovnica nadroviny v An (príklady v A2 a v A3). 2. Vzájomná poloha lineárnych variet v An. Incidencia, prieniky a rovnobežnosť základných geometrických útvarov v syntetickej geometrii roviny a priestoru. Priečky mimobežiek (synteticky aj analyticky). 3. Skalárny súčin vektorov a jeho využitie v geometrii. Uhol dvoch priamok v E2 a v E3, uhol dvoch rovín a uhol priamky s rovinou v E3 (analyticky aj synteticky). 4. Kolmosť a totálna kolmosť lineárnych variet v En (analyticky). Kolmosť a vzdialenosti základných geometrických útvarov v E2 a v E3 (synteticky aj analyticky). Os mimobežiek. 5. Klasifikácia kužeľosečiek (afinná a metrická). Všeobecná rovnica kužeľosečky. Stred kužeľosečky. 6. Analytické vyjadrenie kužeľosečiek (kružnica, elipsa, hyperbola a parabola v E2). Priemery, osi a vrcholy kužeľosečiek zadaných všeobecnou rovnicou. 7. Afinné zobrazenia. Základná veta o afinných zobrazeniach. Samodružné body a samodružné smery afinných transformácií. 8. Homogénna zložka afinného zobrazenia, analytické vyjadrenie. Grupa dilatácií v An. Skladanie rovnoľahlostí a posunutí. 9. Základná (nadrovinová) afinita v An. Smer a koeficient. Rozklad afinnej transformácie v An na súčin základných afinít. 10. Zhodnostné zobrazenia. Analytické vyjadrenia, kritériá. Základná veta o zhodnostných zobrazeniach. Klasifikácia zhodnostných transformácií v E2. 11. Nadrovinová súmernosť. Rozklad zhodnostnej transformácie v En na súčin nadrovinových súmerností. Klasifikácia zhodnostných transformácií v E3. 12. Podobnostné zobrazenia. Analytické vyjadrenia, kritériá. Základná veta o podobnostných zobrazeniach. Rozklad podobnosti na rovnoľahlosť a zhodnosť. 13. Axiomatická výstavba geometrie. Axiomy incidencie, usporiadania, zhodnosti a rovnobežnosti a niektoré ich dôsledky. Nutné a postačujce podmienky rovnobežnosti priamok. 14. Zhodnosť v axiomatickej výstavbe geometrie roviny. Porovnávanie úsečiek a uhlov. Vety o zhodnosti trojuholníkov. Trojuholníkové nerovnosti. Kolmosť priamok. 15. Kružnica. Obvodový a stredový uhol. Priamka a kružnica. Vzájomná poloha dvoch kružníc. Kružnica opísaná mnohouholníku a kružnica vpísaná do mnohouholníka. 16. Geometria kružníc (mocnosť bodu vzhľadom na kružnicu, chordála dvojice kružníc, zväzok kružníc). Kružnicová inverzia (základné pojmy a vlastnosti). Využitie v riešení úloh. 17. Metódy riešenia planimetrických úloh s využitím zhodnostných a podobnostných zobrazení. Demonštrácie na konkrétnych prípadoch. Eulerova priamka, Feuerbachova kružnica. 18. Telesá. Eulerova veta. Prienik priamky a roviny s telesom. 19. Riešenie polohových úloh v Mongeovom zobrazení (incidencia, vzájomná poloha priamky a roviny, vzájomná poloha dvoch rovín, priečky mimobežiek). 20. Riešenie metrických úloh v Mongeovom zobrazení. (sklápanie roviny, otáčanie roviny, priamka kolmá na rovinu, pravouhlý priemet kružnice).
