ORTOGONALISASI GRAM-SCHMIDT YANG DIPERUMUM UNTUK MEMBANGUN FRAME PARSEVAL
TUGAS AKHIR Diajukan untuk Memenuhi Persyaratan Sidang Sarjana Program Studi Matematika ITB
Disusun oleh: Maria Anestasia 10103014
Program Studi Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Teknologi Bandung 2007
Untuk kita, yang sedang bertumbuh dan berjuang...
“Think big, but be satisfied with small positive steps.” -Dave Larson
“Tell me and I forget, Teach me and I remember, Involve me and I learn.” -Ben Franklin.
“If the facts don’t fit the theory, change the facts.” -Albert Einstein.
Abstract Frames play a fundamental role in signal processing. A frame expansion of vector, which corresponds to overcomplete generalizations of basis expansion, is more effective than bases itself in dealing with errors detecting of signal transmissions. Parseval frames are the particular class of frames having similar properties as orthonormal bases, which grow rapidly because of its simplicity to compute. In this final project, we will discuss the Hilbert spaces that lead us to the frames theory, some properties of Parseval frames, as well as an algorithm to compute Parseval frames for a subspace generated by an arbitrary finite sequence of vectors in a finite-dimensional Hilbert spaces. For the last section, several examples will be given to visualize further insight into the algorithm.
iii
Abstrak Frame memegang peranan penting dalam pemrosesan sinyal. Ekspansi vektor oleh frame, yang berhubungan dengan ekspansi basis yang ’berlebih’, menawarkan efektivitas dalam pendeteksian kesalahan dalam proses transmisi sinyal yang lebih baik dibanding basis. Frame Parseval adalah kelas khusus dari frame dengan sifat yang mirip seperti basis ortonormal, yang berkembang dengan pesat karena sifatnya yang lebih mudah untuk dihitung. Pada tugas akhir ini kita akan membahas ruang Hilbert yang menjadi dasar bagi teori frame, ciri-ciri frame Parseval, serta algoritma untuk menghitung frame Parseval atas subruang yang dibangun oleh sebarang barisan hingga vektor input di ruang Hilbert berdimensi hingga. Untuk lebih memahami algoritma tersebut, di bagian akhir diberikan beberapa contoh penerapannya.
iv
Prakata Puji dan syukur penulis panjatkan ke hadirat Allah atas kasih setia-Nya. Setelah menempuh perjalanan panjang, penulis berhasil menyelesaikan tugas akhir ini. Sering penulis melupakan dan berpaling dari Dia, Sang Tritunggal Kudus, namun berkat yang tak berkesudahan tetap Ia limpahkan kepada penulis dari awal masa studi penulis hingga akhirnya tugas akhir ysng berjudul “Ortogonalisasi GramSchmidt yang Diperumum untuk Membangun Frame Parseval” ini dapat penulis persembahkan. Dalam penyusunan tugas akhir ini, juga selama menjalani masa perkuliahan di Institut Teknologi Bandung, penulis mendapat banyak bantuan dari berbagai pihak yang terlibat secara langsung maupun tidak pada setiap hambatan dan proses hidup yang dijalani penulis. Oleh karena itu, penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada: 1. Keluarga penulis yang telah mencurahkan kasih sayang dan senantiasa memberikan dorongan serta doa sehingga memotivasi penulis untuk memberikan hasil terbaik pada tugas akhir ini. 2. Prof. Dr. Hendra Gunawan selaku dosen pembimbing yang telah memberikan bimbingan, bantuan, saran, dan kritik sehingga tugas akhir ini dapat diselesaikan. 3. Dr. Hilda Assiyatun selaku dosen wali yang telah memberikan bimbingan dan arahan kepada penulis selama menjalani masa perkuliahan di Matematika Institut Teknologi Bandung. v
PRAKATA
vi
4. Dr. Saladin Uttunggadewa M.Si selaku Ketua Program Studi Matematika Institut Teknologi Bandung serta seluruh staff dosen dan tata usaha Program Studi Matematika ITB. 5. Terima kasih pula penulis ucapkan kepada seluruh teman-teman MA’03 atas semua kekompakan, kebersamaan, dan keceriaan yang telah mewarnai hidup penulis selama 4 tahun ini. Mudah-mudahan kekompakan kita dapat tetap terjaga selamanya. 6. Seluruh pihak yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu, atas segala bantuan dan dorongan yang kalian berikan pada penulis. Penulis menyadari masih banyak keterbatasan pengetahuan yang dimiliki dan kekurangan pada tugas akhir ini. Oleh karena itu, saran dan kritik terhadap tugas akhir ini akan sangat penulis hargai. Akhir kata semoga tugas akhir ini dapat berguna bagi para pembaca pada umumnya dan juga bagi penulis khususnya.
Bandung, September 2007 Penulis
Maria Anestasia
