Orbit Bintang Ganda Visual; Theori dan Aplikasi. Oleh Dr.Suryadi Siregar DEA

S.Siregar

Orbit Bintang Ganda Visual; Theori dan Aplikasi

___________________________________________________________________________

Orbit Bintang Ganda Visual: Teori dan Aplikasi Oleh Dr.Suryadi Siregar DEA

Prodi Astronomi FMIPA-ITB Bandung, 2008 1

S.Siregar


___________________________________________________________________________

Kata Pengantar Alasan didirikannya Observatorium Bosscha di Lembang pada tahun 1923 adalah untuk menyingkap tabir rahasia bintang bintang disebelah selatan langit, bintang berdua visual adalah objek eksotis yang merupakan riset andalan pada awal berdirinya Observatorium Bosscha. Itulah sebabnya kenapa teropong Zeiss-60cm adalah instrument pertama yang diletakkan di atas sebuah bukit di selatan desa Lembang. Tulisan ini merupakan upaya untuk mewariskan pengalaman ketika mengerjakan Tugas Ahir dibawah bimbingan Dr. Elsa van Albada van Dien dan Co-Pembimbing Dr.B.Hidayat, pada tahun tujuhpuluhan. Pekerjaan itu diselesaikan penulis awal tahun 1976, yang merupakan salah satu syarat untuk memperoleh gelar doktarandus. Kini tiga puluh tahun setelah itu, domain telaah bintang ganda telah jauh berbeda. Teknologi Informasi sudah merambah disemua segi kehidupan, mengimbas pada kemajuan teknologi, mulai dari teknologi perekaman informasi, akuisisi data, basis data, system informasi manajemen, teknologi digital, pengolahan citra dan segala ilmu yang bertautan dengannya. Semua ini telah memungkinkan astronom menyelesaikan pekerjaan dalam waktu yang relatif singkat, tepat dan cepat, dibandingkan dengan tigapuluh tahun yang lalu. Tabel yang digunakan pada saat itu seperti tabel logaritma, tabel Kepler, tabel presesi dan sebagainya kini tinggal kenangan sejarah, yang hanya bisa kita temukan di museum. Ada ungkapan kuno yang masih relevan, pisau yang baik hanya bisa diperoleh dari pukulan dan tempaan, bukan dengan cara mengelus-elus. Pekerjaan menentukan orbit bintang ganda visual bukan hanya melibatkan kemahiran dalam menurunkan rumus, hitung menghitung, tapi ada sentuhan perasaan dan kesabaran yang harus kita miliki. Metoda Least Square yang sering digunakan untuk menentukan koefisien regresi suatu kurva, ternyata tidak dapat diaplikasikan pada saat kita mencari konstanta Kepler. Komputer memang membantu tapi tidak menentukan apakah kurva regresi itu sudah memenuhi kaedah Keplerian. Menggambar kurva Kepler, lebih merupakan seni ketimbang komputasi, inilah yang merupakan bagian tersulit dalam pekerjaan menghitung orbit bintang ganda visual, penulis berharap ada peneliti yang mau menelaah problema kurva Kepler. Akhir kata semoga catatan ini bisa memberikan manfaat dan inspirasi dalam pekerjaan kita sebagai seorang astronom. Wassalam Bandung, Awal 2008 Penulis

2

S.Siregar


___________________________________________________________________________

Daftar Isi

hal

Bab 1. Landasan Teori 1.1 Definisi 1.2 Metoda Pengamatan 1.3 Penurunan persamaan Ellips 1.3.1 Berdasarkan sifat suatu ellips 1.3.2 Berdasarkan hokum Kepler II 1.3.3 Konstanta Kepler C

1 1 2 2 3 4 5

1.4 Elemen yang menentukan suatu lintasan 1.4.1 Elemen yang menentukan lintasan pada bidang orbit yang sebenarnya(P,T dan e) 1.4.2 Elemen yang menentukan orientasi (a,Ω,ω dan i )

6 6 7

1.5 Hubungan antara ellips benar dan ellips semu 1.6 Menentukan koordinat titik-titik utama ellips semu 1.7 Menentukan sumbu panjang dan sumbu pendek sebuah ellips 1.8 Menentukan persamaan dasar Thiele 1.9 Menentukan periode revolusi (P) 1.10 Menentukan anomali eksentrik (E) dan eksentrisitas (e) 1.11 Pengaruh presesi Luni-Solar terhadap lingkaran jam dan sudut arah θ 1.12 Metoda Least Square untuk menghitung konstanta Thiele dan Innes 1.13 Massa dan luminositas

7 10 13 14 15 17 18

Bab 2. Aplikasi pada bintang ganda visual ADS 1733 2.1 Urutan pekerjaan 2.1.1 Data yang diperlukan 2.1.2 Proses dasar

31 31 31 32

2.2 Pelaksanaan 2.2.1 Menentukan nilai μ = μ0 2.2.2 Menghitung eksentrisitas (e) dan anomaly eksentrik (E) 2.2.3 Menghitung saat komponen sekunder melalui periastron 2.2.4 Menghitung M,E,X dan Y pada tiap epoch 2.2.5 Menghitung konstanta Thiele dan Innes 2.2.6 Menentukan kesalahan konstanta Thiele dan Innes 2.2.7 Menghitung elemen orientasi 2.2.8 Hitung Massa dan jarak 2.2.9 Hasil akhir 2.2.10 Ephemeris bintang ganda ADS 1733

35 41 42 43 44 45 47 51 53 54 55

Bab 3. Proposal untuk pekerjaan selanjutnya 3.1 Sistem Bintang Ganda Visual ADS 8119 AB

57 57

3

20 22

S.Siregar


___________________________________________________________________________

3.2 Studi sebelumnya 3.3 Penentuan konstanta Kepler

59 59

Daftar Pustaka

63

Daftar Gambar Gambar 1.1 Gambar 1.2 Gambar 1.3 Gambar 1.4 Gambar 1.5 Gambar 1.6 Gambar 1.7 Gambar 1.8 Gambar 1.9 Gambar 1.10 Gambar 2.1 Gambar 2.2 Gambar 2.3 Gambar 3.1 Gambar 3.2

Hal

Gambaran pasangan Bintang Ganda Visual lewat okuler teleskop Lingkaran Bantu Kepler untuk menurunkan parameter orbit Luas daerah yang disapu persatuan waktu adalah tetap. S1t3t4=S1t1t2 Lingkaran Bantu Kepler, anomaly eksentrik dan anomaly benar Projeksi bidang orbit bintang ganda visual pada bidang langit Bidang orbit nyata dan lingkaran Bantu Kepler Konstanta Thiele – Innes dan makna geometri Orbit ellip, anomali eksentrik dan anomaly benar untuk dua waktu yang berbeda Akibat Presesi Luni-Solar mengubah sudut posisi bintang ganda Flowchart hitung massa dan paralak bintang ganda visual Panorama bintang ganda ADS 1733 (sumber http://aladin.u-strasb.fr) Lintasan bintang ganda visual ADS 1733 (Horeschi, 1958) Separasi sudut dan sudut posisi untuk tiga epoch Grafik separasi sudut (ρ) bintang ganda ADS 8119 AB sebagai fungsi waktu Grafik sudut posisi (θ) bintang ganda ADS 8119 AB sebagai fungsi waktu

Daftar Tabel Tabel Tabel Tabel Tabel Tabel Tabel Tabel

2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7

1 3 5 6 8 13 14 15 18 18 26 35 40 61 61

Hal Elemen dinamik ADS 1733 Elemen orientasi ADS 1733 Ephemeris ADS 1733 Posisi ADS 1733 menurut Worley (1975) Harga ρ dan θ yang telah dikoreksi Hasil perhitungan untuk menentukan nilai Δqp Hasil perhitungan untuk mencari μ0 4

33 34 34 36 38 40 41

S.Siregar


___________________________________________________________________________

Tabel

2.8

Tabel

2.9

Tabel

2.10

Tabel

2.11

Tabel

2.12

Tabel

2.13

Tabel

2.14

Tabel

2.15

Tabel Tabel Tabel

3.1 3.2 3.3

Hasil perhitungan untuk menentukan saat terakhir kali lmelalui periastron Hasil perhitungan dengan menggunakan (1.3.2-3), (1.3.1-1) dan (1.3.1-2)

44

Hasil perhitungan dengan menggunakan persamaan (1.12-3),(1.12-4) dan (1.12-6) Menunjukkan hasil perhitungan untuk menentukan kesalahan konstanta Thiele dan Innes Elemen orbit bintang ganda ADS 1733 menurut Siregar(1976) Ephemeris bintang ganda ADS 1733 menurut Siregar(1976) dari tahun 2006 sampai tahun 2020 Elemen orbit bintang ganda ADS 1733 menurut Soderhjelm(1999) Ephemeris bintang ganda ADS 1733 Soderhjelm(1999) untuk semester II tahun 2006 Informasi system bintang ganda ADS 8119 AB Elemen orbit hasil studi bintang ganda ADS 8119 AB Nilai separasi sudut dan sudut posisi bintang ganda ADS 8119 AB

46

5

45

49 55 56 56 56 58 59 63

S.Siregar


___________________________________________________________________________

Bab 1 Landasan Teori

1.1 Definisi Beberapa definisi yang digunakan pada studi bintang ganda visual antara lain: 1. Komponen primer (S1), adalah bintang yang paling terang dalam sistem bintang ganda. 2. Komponen sekunder (S2), adalah komponen bintang yang memiliki cahaya lebih lemah dari komponen primer. 3. Jarak sudut ( ρ ), adalah jarak yang diukur dari komponen primer ke komponen sekunder dan dinyatakan dalam detik busur. 4. Sudut posisi/sudut arah ( θ ), adalah sudut yang diukur dari arah utara ke arah komponen sekunder melalui timur. Sudut posisi dinyatakan dalam derajat. Bayangan bintang yang dapat dilihat melalui teleskop digambarkan pada gambar 1.1-1

Gambar 1.1-1 Gambaran pasangan bintang ganda visual lewat okuler teleskop

6

S.Siregar


___________________________________________________________________________

x dan y menyatakan perbedaan asensiorekta ( α ) dan deklinasi ( δ ) dari komponen primer dan sekunder. Hubungan komponen tersebut adalah

x = ρ sin θ = α cos δ y = ρ cos θ = δ ,

(1.1-1)

y = ρ cos θ = δ .

(1.1-2)

Beberapa nilai sudut arah yang khusus antara lain:

θ = θ = 90o bila komponen sekunder berada di Timur θ = 180o bila komponen sekunder berada di Selatan θ = 270o bila komponen sekunder berada di Barat

θ = 360o atau 0o, bila komponen sekunder berada di Utara

1.2. Metode Pengamatan Bayangan yang kita lihat melalui teleskop adalah kedudukan bintang pada bidang langit, bukan bidang orbit yang sebenarnya. Gerakan bintang ganda merupakan gerak keplerian yang berarti bahwa orbitnya merupakan salah satu penampang irisan kerucut, pada umumnya adalah ellips. Komponen primer berada pada salah satu titik fokusnya dan komponen sekunder bergerak dalam orbit yang berbentuk ellips.

1.3. Penurunan Persamaan Ellips Gambar 1.3.1 menggambarkan komponen sekunder (S2) yang bergerak dalam orbit yang berbentuk ellips, dengan komponen primer pada salah satu titik fokusnya.

7

S.Siregar


___________________________________________________________________________

Gambar 1.3-1 Lingkaran bantu Kepler untuk menurunkan parameter orbit

Bentuk lingkaran pada gambar di atas merupakan lingkaran bantu Kepler dengan jejari a. Sedangkan bentuk ellips merupakan orbit komponen sekunder. Elemen tambahan

pada sebuah lintasan antara lain, anomali benar (ν ), anomali eksentrik (E), radius vektor (r), setengah sumbu panjang ellips (a), setengah sumbu pendek ellips (b).

1.3.1. Berdasarkan Sifat Suatu Ellips Dengan menggunakan gambar 1.3-1, dan menerapkan sifat suatu ellips dapat dibuktikan (Appendiks A) bahwa

X=

r cosν = cos E − e , a

(1.3.1-1)

Y=

r sinν = 1 − e 2 sin E , a

(1.3.1-2)

dan tan

ν 2

=

1+ e E tan . 1− e 2

(1.3.1-3)

8

S.Siregar


___________________________________________________________________________

1.3.2. Berdasarkan Hukum Kepler II Pada saat T, komponen sekunder berada pada titik A dan pada saat t kemudian pada titik S2 (lihat gambar 1.3-1), periode revolusi dari komponen sekunder dinyatakan oleh P. Dapat diturunkan bahwa Luas S1S2A =

π ab P

(t − T ) ,

⎛ 2π ⎞ ⎜ ⎟ (t − T ) , ⎝ P ⎠

=

ab 2

=

abM a . 2

Dimana didefinisikan M a = (t − T )

2π . P

(1.3.2-1)

Ma disebut anomali menengah. Selanjutnya akan dihitung luas S1S2A sebagai jumlah luas S1S2K dan S2KA Luas S1S2A = luas S1S2K + S2KA, abM a 2

=

1 (S1K ×S 2K ) + b luas LKA, 2 a

=

1 b 1 1 r cos(ν )r sin(ν ) + ( a 2 E − a 2 sin E cos E ) , 2 a 2 2

=

a ab (cos E − e)(b sin E ) + ( E − sin E cos E ) , 2 2

M a = (cos E − e) sin E + ( E − sin E cos E ) .

Atau

M a = E − e sin E = μ (t − T ) ,

dengan μ =

(1.3.2-3)

2π . P

9

S.Siregar


___________________________________________________________________________

1.3.3. Konstanta Kepler C Hukum Kepler II menyatakan bahwa luas daerah yang dilingkupi oleh radius vektor yang dibentuk oleh sebuah titik yang bergerak pada orbit ellips dalam waktu yang sama adalah konstan, C. Konstanta Kepler adalah C = ρ2

dθ . dt

Gambar 1.3-2 Luas daerah yang disapu persatuan waktu adalah tetap

Dari gambar 1.3-2 c ρ 2 dθ = = luas ellips : periode revolusi 2 2 dt

=

Jadi

πab P

.

C ρ 2 dθ πab = = , P 2 2 dt

atau C = ρ 2

=

dθ 2πab = , dt P

2πa 2 1 − e 2 . P

(1.3.3-1)

10

S.Siregar


___________________________________________________________________________

1.4. Elemen yang menentukan suatu lintasan 1.4.1. Elemen yang Menentukan Lintasan pada Bidang Orbit yang Sebenarnya (P, T, dan e)

Pada Bab ini didefinisikan beberapa besaran sebagai berikut: P = Periode revolusi dalam tahun surya menengah. T = Saat terakhir kali komponen sekunder melalui titik terdekat antara komponen primer

dan sekunder (Periastron).

e = Eksentrisitas ellips yang merupakan lintasan sebenarnya (ellips benar).

Gambar 1.4.1-1 Lingkaran bantu Kepler, anomali eksentrik dan anomali benar

Dari gambar 1.4.1-1. kita dapat melihat bahwa Periastron terjadi bila E = ν = 0° .

1.4.2. Elemen yang Menentukan Orientasi (a, Ω, ω, dan i). Elemen yang menentukan orientasi lintasan, antara lain a = setengah sumbu panjang ellips benar.

11

S.Siregar


___________________________________________________________________________

Ω = sudut arah yang diukur dari garis simpul ke arah utara sepanjang lintasan. Sudut arah mempunyai harga 0° ≤ Ω ≤ 180° . ω = sudut posisi, diukur pada lintasan sebenarnya dari garis simpul ke periastron dalam arah gerakan komponen sekunder. Sudut posisi mempunyai nilai 0° ≤ ω ≤ 360° . i = inklinasi, sudut yang dibentuk oleh bidang lintasan sebenarnya dan bidang langit. Untuk gerakan direct inklinasi mempunyai nilai 0° ≤ i ≤ 90° , sedangkan untuk gerakan retrogade bernilai 90° ≤ i ≤ 180° .

1.5. Hubungan Antara Ellips Benar dan Ellips Semu Arti geometri elemen orbital dan hubungan analitis elemen tersebut dapat kita cari dengan menggunakan gambar 1.5-1, dan menggunakan hubungan trigonometri yang berlaku.

Gambar 1.5-1 Projeksi bidang orbit bintang ganda visual pada bidang langit

12

S.Siregar


___________________________________________________________________________

Dapat dilihat bahwa:

ρ cos(θ − Ω) = r cos(ν + ω ) , dan ρ sin(θ − Ω) = r sin(ν + ω ) cos i . Persamaan di atas dapat dituliskan

ρ (cos θ cos Ω + sin θ sin Ω ) = r (cosν cos ω − sin ν sin ω ) ,

(1.5-1)

ρ (sin θ cos Ω + cos θ sin Ω ) = r (sin ν cos ω + cosν sin ω ) cos i .

(1.5-2)

Persamaan (1.5-1) dikalikan dengan cos Ω , dan persaman (1.5-2) dikalikan dengan − sin Ω , kemudian dijumlahkan maka diperoleh:

ρ cos θ = r cosν (cos ω cos Ω − sin ω sin Ω cos i ) + r sin ν (− sin ω cos Ω − cos ω sin Ω cos i ) r r = cosν [a(cos ω cos Ω − sin ω sin Ω cos i )] + sinν [a(− sin ω cos Ω − cos ω sin Ω cos i )] . a a Dari persamaan (1.1-1) dan (1.1-2) persamaan di atas dapat dinyatakan dalam bentuk y = ρ cos θ = AX + FY ,

(1.5-3)

dengan A = a(cos ω cos Ω − sin ω sin Ω cos i ) , F = − a(sin ω cos Ω + cos ω sin Ω cos i ) .

(1.5-4)

Selanjutnya persamaan (1.5-1) dan (1.5-2) masing-masing dikalikan dengan sin Ω dan cos Ω , kemudian dijumlahkan diperoleh:

ρ sin θ = r cosν (cos ω sin Ω + sin ω cos Ω cos i ) + r sin ν (− sin ω sin Ω + cos ω cos Ω cos i ) r r = cosν [a(cos ω sin Ω + sin ω cos Ω cos i )] + sin ν [a(− sin ω sin Ω + cos ω cos Ω cos i )] . a a Dan dengan menggunakan persamaan (1.1-1) dan (1.1-2) persamaan di atas dapat kita tuliskan dalambentuk: x = ρ sin θ = BX + GY ,

(1.5-5) 13

S.Siregar


___________________________________________________________________________

dimana B = a(cos ω sin Ω − sin ω cos Ω cos i ) , F = a(− sin ω sin Ω + cos ω cos Ω cos i ) .

(1.5-6)

Dari persamaan (1.5-3), (1.5-4), (1.5-5), (1.5-6) dapat diturunkan (Appendiks B) beberapa hubungan seperti di bawah ini: A + G = 2a cos(ω + Ω ) cos 2

i , 2

(1.5-7)

A − G = 2a cos(ω − Ω ) sin 2

i , 2

(1.5-8)

B − F = 2a sin (ω + Ω ) cos 2

i , 2

(1.5-9)

− (B + F ) = 2a sin (ω − Ω ) sin 2

i , 2

(1.5-10)

tan(ω − Ω) =

B+F , G−A

(1.5-11)

tan(ω + Ω) =

B−F . G+A

(1.5-12)

Dari persamaan (1.5-11) dan (1.5-12) terlihat bahwa sin(ω-Ω) mempunyai tanda yang sama dengan (B+F), demikian juga dengan sin(ω+Ω) mempunyai tanda yang sama dengan (B-F). Akibatnya kuadran (ω-Ω) dan (ω+Ω) sudah tertentu. Untuk menghitung i, dapat digunakan persamaan tan 2

i A − G cos(ω + Ω ) = . 2 A + G cos(ω − Ω )

(1.5-13)

Dalam rumus-rumus di atas A, B, F, dan G disebut konstanta Thiele dan Innes.

1.6. Menentukan Koordinat Titik-Titik Utama Ellips Semu

14

S.Siregar


___________________________________________________________________________

Ditinjau persamaan (1.5-5), (1.3.1-1), (1.3.2-1) r cosν = cos E − e a r Y = sinν = 1 − e 2 sin E a X =

Pada periastron E = 0° dan Y = 0 . Jadi X p = cos 0° − e = 1 − e

(1.6-1)

Yp = 0

Substitutsi (1.6-1) pada (1.5-3) dan (1.5-6), sehingga diperoleh x p = BX p + GY p = (1 − e) B

(1.6-2)

y p = AX p + FY p = (1 − e) A

Pada Apastron E = 180° dan Y = 0 X A = cos180° − e = −(1 + e)

(1.6-3)

YA = 0 Substitutsi (1.6-3) pada (1.5-3) dan (1.5-6) sehingga diperoleh x A = BX A + GY A = −(1 + e) B

(1.6-4)

y A = AX A + FY A = −(1 + e) A Koordinat pusat ellips adalah 1 1 ( x p + x A ) = [− (1 + e) B + (1 − e) B ] = −eB 2 2 1 1 y c = ( y p + y A ) = [− (1 + e) A + (1 − e) A] = −eA 2 2

xc =

Jadi xc = −eB

(1.6-5)

y c = −eA Pada posisi dimana nilai E = 90° , diperoleh

15

S.Siregar


___________________________________________________________________________

X 90° = cos 90° − e = −e Y90° = 1 − e 2 sin 90° = 1 − e 2 Sehingga x90° = BX 90 + GY90 = − Be + 1 − e 2 G y 90° = AX 90 + FY90 = − Ae + 1 − e 2 F

Bila titik utama tersebut dihitung dari titik pusat ellips, maka diperoleh 1. Koordinat Periastron

x p ,0 = x p − xc = (1 − e) B − (−eB) = B

y p ,0 = y p − y c , = (1 − e) A − (−eA) = A . Jadi x p , 0 = B , dan y p ,0 = A .

(1.6-6)

2. Koordinat Apastron

x A, 0 = x A − x c ,

= −(1 + e) B − (−eB) = − B . y A, 0 = y A − y c , = −(1 + e) A − (−eA) = − A . Jadi x A,0 = − B , dan y A, 0 = − A . 3. Koordinat utuk nilai E = 90°

x90,0 = x90 − xc ,

(

)

= − Be + 1 − e 2 G − (−eB) , = 1 − e2 G .

16

(1.6-7)

S.Siregar


___________________________________________________________________________

y 90, 0 = y 90 − y c ,

(

)

= − Ae + 1 − e 2 F − (−eA) , = 1 − e2 F .

Jadi x90,0 = 1 − e 2 G , dan y 90, 0 = 1 − e 2 F .

(1.6-8)

Dari persamaan di atas (1.6-6), (1.6-8) dapat dilihat bahwa konstanta Thiele Innes A, B, F, dan G menyatakan proyeksi koordinat siku-siku ekuatorial dari titik periastron dan titik anomali eksentrik E = 90° yang terletak pada bidang orbit sebenarnya ke bidang langit.

1.7. Menentukan Sumbu Panjang dan Sumbu Pendek Sebuah Ellips. Untuk menentukan sumbu panjang ellips semu, dapat dilakukan langkah berikut.

Gambar 1.7-1 Bidang orbit nyata dan lingkaran bantu Kepler

17

S.Siregar


___________________________________________________________________________

Gambar 1.7-1 menggambarkan bidang orbit yang sebenarnya dengan lingkaran bantu Kepler yang memiliki jejari=1/2 sumbu panjang ellips. Apabila gambar 1.7-1 diproyeksikan pada bidang langit akan diperoleh: i. Lingkaran bantu Kepler menjadi ellips bantu Kepler. Dengan setengah sumbu panjang, a dan setengah sumbu pendek, b. Dalam hal ini b = a cos i . ii. Lintasan benar (ellips benar) menjadi lintasan semu (ellips semu).

Gambar 1.7-2 Konstanta Thiele-Innes dan makna geometri

Gambar 1.7-2 menunjukkan bahwa konstanta Thiele dan Innes A, B, F, dan G menyatakan proyeksi periastron dan titik dimana E mencapai 90° . Dengan menerapkan teorema Apollonius pada gambar tersebut, kita dapat memperoleh (Apendiks C).

a 2 (1 + cos 2 i ) = A2 + B 2 + F 2 + G 2 a 2 (1 + cos 2 i ) = A2 + B 2 + F 2 + G 2 ,

(1.7-1)

dan U + V = E31 = E3 − E1 a 2 cos 2 i = AG − BF .

18

(1.7-2)

S.Siregar


___________________________________________________________________________

1.8. Menentukan Persamaan Dasar Thiele Misalkan Δ qp menyatakan dua kali luas segitiga yang dibentuk oleh radius vektor pada saat komponen sekunder bergerak dari epoch t p ke tq .

Gambar 1.8-1 Orbit elip, anomali eksentrik dan anomali benar untuk dua waktu yangberbeda

Dengan menggunakan gambar 1.8-1, dan hasil yang sudah diperoleh dari 1.3.1, 1.3.2, dan 1.3.3, dapat dibuktikan (Apendiks D) bahwa persamaan dasar Thiele mempunyai bentuk Δ qp ⎛ ⎜ tqp − C ⎝

⎞ ⎟ μ = Eqp − sin Eqp , ⎠

(1.8-1)

dengan Δ qp = 2 x luas segitiga S1S 2 S 2' , tqp = tq − t p ,

(1.8-2)

Eqp = Eq − E p .

(1.8-3)

19

S.Siregar


___________________________________________________________________________

1.9. Menentukan Periode Revolusi (P) Periode revolusi (P) dapat ditentukan dengan langkah sebagai berikut. Diambil tiga buah titik pengamatan saat t1 , t2 , dan t3 . Dari persamaan dasar Thiele, dapat diturunkan Δ ⎞ ⎛ E21 − sin E21 = μ ⎜ t21 − 21 ⎟ , C ⎠ ⎝

(1.9-1)

Δ ⎞ ⎛ E32 − sin E32 = μ ⎜ t32 − 32 ⎟ , C ⎠ ⎝

(1.9-2)

Δ ⎞ ⎛ E31 − sin E31 = μ ⎜ t31 − 31 ⎟ , C ⎠ ⎝

(1.9-3)

Misalkan U = E21 = E2 − E1 , V = E32 = E3 − E2 . Jadi U + V = E31 = E3 − E1

(1.9-4)

Persamaan (1.9-1), ( 1.9-2), ( 1.9-3) dapat dituliskan menjadi U − sin U = μ (t21 −

Δ 21 ), C

(1.9-5)

V − sin V = μ (t32 −

Δ 32 ), C

(1.9-6)

(U + V ) − sin (U + V ) = μ (t31 −

Δ 31 ). C

(1.9-7)

Karena harga t21 , t32 dan t31 diketahui, demikian juga

Δ Δ 21 Δ 32 , dan 31 dapat , C C C

dihitung atau dengan perkataan lain, U dan V hanya bergantung pada harga μ yang dipilih.

20

S.Siregar


___________________________________________________________________________

μ harus dipilih sehingga (U+V) yang diperoleh dari penjumlahan (1.9-5) dan (1.9-6) sesuai dengan (U+V) yang diperoleh dari rumus (1.9-7). Nilai yang memenuhi syarat tersebut dinyatakan dengan μ = μ0 , masing-masing dengan U0 dan V0 . U = U 0 = E2 − E1 , V = V0 = E3 − E2 .

(1.9-8)

Periode revolusi P dihitung dari hubungan μ = μ0 =

2π 2π atau dapat dinyatakan P = . μ0 P

1.10. Menentukan Anomali Eksentrik (E) dan Eksentrisitas (e) Perhatikan persamaan (1.8-1) dan (1.8-3). Dengan memisalkan e = sin ϕ , atau 1 − e 2 = cos ϕ , U = E2 − E1 , V = E3 − E2 , U + V = E3 − E1 ,

(1.10-1)

dengan memanipulasi (1.8-3) dan menggunakan (1.10-1) diperoleh hubungan (Appendiks E) sin ϕ sin E2 =

Δ 23 sin U − Δ12 sin V , Δ12 + Δ 23 − Δ13

(1.10-2)

sin ϕ cos E2 =

Δ 23 cos U + Δ12 cos V − Δ13 . Δ12 + Δ 23 − Δ13

(1.10-3)

Penggabungan (1.10-2) dan (1.10-3) akan menghasilkan tan E2 =

Δ 23 sin U − Δ12 sin V . −Δ12 cos V + Δ 23 cos U − Δ13

(1.10-4)

21

S.Siregar


___________________________________________________________________________

E2 dapat ditentukan dari persamaan di atas, bila ruas kanan bisa dihitung. Selanjutnya E1 dan E3 dapat diperoleh karena U dan V telah diketahui dari 1.9. Eksentrisitas dapat dihitung dengan menggunakan (1.10-2) atau (1.10-3).

1.11. Pengaruh Presesi Luni-Solar Terhadap Lingkaran Jam dan Sudut arah θ

Van de Kamp (1969) mendefinisikan Presesi Luni-Solar sebagi bergesernya vernal equinox sepanjang ekliptika dengan mengecilnya longitude. Peristiwa ini terjadi akibat gaya gravitasi diferensial Bulan dan Matahari terhadap Bumi. Pengaruh Presesi Luni-Solar dapat dilihat pada gambar 1.11-1.

Gambar 1.11-1 Akibat presesi Luni-Solar pada sudut posisi bintang ganda

P1 = kutub ekuator sebelum mengalami presesi Luni-Solar.

22

S.Siregar


___________________________________________________________________________

P2 = kutub ekuator sesudah mengalami presesi Luni-Solar. S1 = Titik potong lingkaran jam pada bidang ekuator sebelum mengalami presesi LuniSolar. S2 = Titik potong lingkaran jam pada bidang ekuator sesudah mengalami presesi LuniSolar. Δθ = perubahan sudut posisi selama satu tahun.

n = Pergeseran kutub P1 ke P2 selama satu tahun. Hubungan matematis antara Δθ , n, α , dan δ dapat diperoleh dengan memperhatikan segitiga bola SP1P2 :

sin Δθ sin α = , sin n sin ( 90° − δ ' ) atau sin Δθ sin α = ; dapat juga dinyatakan sin n cos δ ' sin Δθ =

sin α sin n . cos δ '

Karena Δθ dan n mempunyai harga yang cukup kecil, maka persamaan di atas dapat dinyatakan sebagai Δθ = n sin α sec δ ' . Newcomb (vide, Van de Kamp, 1969) memberikan harga n = 20".0495 /tahun atau n = 0°.00557 /tahun. Nyatakan δ dengan δ ' maka 1.11-1 dapat dituliskan menjadi Δθ = 0°.00557 sin α sec δ /tahun,

pada epoch 2000. Sehingga untuk menentukan Δθ pada epoch t, persamaan (1.11-2) ditambah dengan faktor (2000-t), menjadi Δθ = 0°.00557 sin α sec δ (2000 − t ) . 23

S.Siregar


___________________________________________________________________________

1.12. Metode Least Square untuk Menghitung Konstanta Thiele dan Innes Tinjau kembali persamaan (1.5-3) dan (1.5-5) x = BX + GY y = AX + FY Pernyataan ini dapat ditulis sebagai x BX = +G , Y Y

(1.12-1)

y AX = +F. Y Y

(1.12-2)

Misalkan Δ menyatakan perbedaan nilai

x y atau yang diamati dan nilai Y Y

⎛x⎞ ⎜ ⎟ ⎝Y ⎠

'

'

⎛ y⎞ atau ⎜ ⎟ yang dihitung dari persamaan (1.12-1) dapat dinyatakan: ⎝Y ⎠ Δ=

x ⎛ BX ⎞ −⎜ +G⎟, Y ⎝ Y ⎠

kemudian dikuadratkan 2

⎡ x ⎛ BX ⎞⎤ Δ = ⎢ −⎜ + G ⎟⎥ , ⎠⎦ ⎣Y ⎝ Y 2

untuk n pengamatan. 2

⎡ x ⎛ BX ⎞⎤ ∑1 Δ = ∑1 ⎢⎣ Y − ⎜⎝ Y + G ⎟⎠ ⎥⎦ . n

2

n

(1.12-3) n

B dan G ingin ditentukan supaya harga

∑Δ

2

minimum, untuk itu persamaan (1.12-3)

1

kita turunkan terhadap B dan G dan kemudian hasilnya kita samakan dengan nol, diperoleh:

24

S.Siregar


___________________________________________________________________________

2

⎛X⎞ ⎛X B∑ ⎜ ⎟ + G∑ ⎜ ⎝Y ⎠ ⎝Y

⎞ ⎛ x ⎞⎛ X ⎟ = ∑⎜ ⎟⎜ ⎠ ⎝ Y ⎠⎝ Y

⎞ ⎟, ⎠

2

x ⎛X⎞ B ∑ ⎜ ⎟ + nG = ∑ . Y ⎝Y ⎠

B dan G dapat ditentukan dari determinan ⎛X⎞ ∑ ⎜⎝ Y ⎟⎠

⎛ X ⎞⎛ x ⎞ ⎛ X ⎞ ∑ ⎜⎝ Y ⎟⎜ ⎟∑⎜ ⎟ ⎠⎝ Y ⎠ ⎝ Y ⎠ ⎛x⎞

B=

n

∑ ⎜⎝ Y ⎟⎠ ⎛X⎞ ∑ ⎜⎝ Y ⎟⎠

2

⎛X⎞ ∑ ⎜⎝ Y ⎟⎠

, dan G =

2

⎛ x ⎞⎛ X ⎞

∑ ⎜⎝ Y ⎟⎠ ⎜⎝ Y ⎟⎠

⎛X ⎞ ⎛x⎞ ⎜ ⎟ ⎝Y ⎠

∑ ⎜⎝ Y ⎟⎠

⎛X⎞ ∑ ⎜⎝ Y ⎟⎠

⎛X⎞ n ∑ ⎜⎝ Y ⎟⎠

2

⎛X⎞ ∑ ⎜⎝ Y ⎟⎠

.

⎛X⎞ n ∑ ⎜⎝ Y ⎟⎠

Hal yang sama dapat kita lakukan pada (1.12-2) maka kita akan memperoleh nilai A dan F. Persamaan least square dari (1.12-2) adalah 2

⎛X⎞ ⎛X A∑ ⎜ ⎟ + F ∑ ⎜ ⎝Y ⎠ ⎝Y

⎞ ⎛ y ⎞⎛ X ⎞ ⎟ = ∑⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎠ ⎝ Y ⎠⎝ Y ⎠

2

⎛X⎞ ⎛ y⎞ A∑ ⎜ ⎟ + nF = ∑ ⎜ ⎟ ⎝Y ⎠ ⎝Y ⎠

A dan F dihitung dari determinan:

25

S.Siregar


___________________________________________________________________________

⎛Y ⎞ ∑ ⎜⎝ Y ⎟⎠

⎛ y ⎞⎛ Y ⎞ ⎛ X ⎞ ∑ ⎜⎝ Y ⎟⎠ ⎜⎝ Y ⎟⎠ ∑ ⎜⎝ Y ⎟⎠ ⎛ y⎞

A=

⎛X⎞ ∑ ⎜⎝ Y ⎟⎠

2

⎛X⎞ ∑ ⎜⎝ Y ⎟⎠

⎛ y ⎞⎛ X ⎞

∑ ⎜⎝ Y ⎟⎠ ⎜⎝ Y ⎟⎠

⎛X⎞

n

∑ ⎜⎝ Y ⎟⎠

2

, dan F =

⎛ y⎞

∑ ⎜⎝ Y ⎟⎠ ∑ ⎜⎝ Y ⎟⎠

⎛X⎞ n

∑ ⎜⎝ Y ⎟⎠

⎛X⎞ ∑ ⎜⎝ Y ⎟⎠

2

⎛X⎞ ∑ ⎜⎝ Y ⎟⎠

.

⎛X⎞ n

∑ ⎜⎝ Y ⎟⎠

1.13. Massa dan Luminositas Dalam system bintang berdua visual dikenal beberapa pernyataan yang dapat digunakan untuk menghitung jarak dan massa bintang Paralak dinamik p=

a 3

P 2 (M 1 + M 2 )

Dalam hal ini; a-setengah sumbu panjang dalam detik busur P-periode revolusi dinyatakan dalam tahun Mi massa bintang ke- i 1) Hubungan magnitude bolometric (magnitude untuk seluruh panjang gelombang) M b = mb + 5 + 5 Logp

Mb – magnitude absolute bolometric mb – magnitude semu bolometrik p –paralak 2) Hubungan massa-luminositas Log M = 0,1 (4,6-Mb ) bila 0 < Mb < 7,5 Log M = 0,145 (5,2 - Mb ) bila 7,5 < Mb < 11 Dalam hal ini M – massa bintang

26

S.Siregar


___________________________________________________________________________

Flowchart hitung masa dan luminositas

Start

a, p0, P, dan ε ,mb(1), mb(2) 2 For I=1,2

Mb (i) = mb (i) + 5 + 5Logp0 M b (1) = mb (1) + 5 + 5Logp 0 M ( 2) ( 2) 5 5 L

tidak

ya M b ( I ) ≤ 7 ,5

LM ( I ) = 0,145 (5,2 − M b ( I ) )

LM ( I ) = 0,1(4,6 − M b ( I ) )

M ( I ) = 10 LM ( I )

Next I

p =

a 3 P (M (1) + M (2) ) 2

1

27

S.Siregar


___________________________________________________________________________

1

│p-p0│≤ εp

2

p0 = p

p, Mb(1),Mb(2), M(1),M(2)

Stop

Flowchart Hitung Massa dan Paralak Bintang Ganda Visual. Data masukan: p0 tebakan paralak dinamik awal. P – priode dalam tahun, ε presesi relatif . mb(1) – magnitudo semu bolometrik bintang primary, mb(2)-magnitudo semu bolometrik secondary dan a – setengah sumbu panjang dalam detik busur Data keluaran M(1)-massa bintang primary, M(2)- massa bintang secondary, paralak dinamik p, magnitudo absolut bolometrik primary Mb(1) dan magnitudo absolut bolometrik secondary Mb(2). Catatan : jarak d= 1/p dalam hal ini d jarak binang dalam parsek

28

S.Siregar


___________________________________________________________________________

Bab 2. Aplikasi pada bintang ganda visual ADS 1733

Bintang ganda ADS 1733 sudah lama diketahui orang tentang orbitnya, bintang ini terletak dibelahan langit selatan langit mudah diamati pada bulan September, informasi mengenai separasi sudut, sudut posisi dan luminositas cukup tersedia di internet maupun di perpustakaan

Gambar 2. Panorama bintang ganda ADS 1733 (sumber http://aladin.u-starsbg.fr/)

2.1. Urutan Pekerjaan Setelah diperoleh semua data yang diperlukan untuk menurunkan suatu lintasan, barulah pekerjaan ini dapat kita selesaikan.

2.1.1. Data Yang diperlukan

29

S.Siregar


___________________________________________________________________________

i. Koordinat ekuatorial α dan δ pada epoch yang dipilih. Untuk pekerjaan ini diambil pada epoch 2000. ii. Sudut arah, θ, yang telah dikoreksi terhadap pengaruh presesi dan dinyatakan dalam derajat. iii. Jarak sudut,ρ, dinyatakan dalam detik busur. iv. Saat pengamatan dilakukan, t.

2.1.2. Proses Dasar. i. Kita buat grafik yang memberikan hubungan antara θ dan t. Demikian juga ρ terhadap t, pada masing-masing epoch. ii. Kemudian diperiksa apakah hukum kekekalan luas (Hukum Kepler II) dipenuhi yaitu

ρ t ρ t + Δt

dθ = konstan = C dt

Kalau belum, kita koreksi grafik sehingga hukum Kepler II dipenuhi. iii. Harga ρ dan θ yang telah memenuhi syarat dapat segera dibaca dari grafik tadi. iv. Langkah terakhir adalah menggunakan rumus pada Bab 1 untuk menentukan konstanta dan elemen lintasan. A. Tujuan Penelitian Studi ini bertujuan untuk menentukan orbit sistem bintang ganda visual, menurunkan beberapa besaran fisis pada sistem tersebut, dan memperkirakan bagaimana sistem bintang ganda tersebut pada masa yang akan datang (ephemeris). Studi ini menggunakan obyek ADS 1733 dengan koordinat (epoch 2000)

α = 2h15m.8

δ = -18o14’ 30

S.Siregar


___________________________________________________________________________

Alasan dipilihnya objek ini adalah: 1. Lintasannya sudah dapat ditentukan Data yang digunakan pada studi ini berasal dari data yang dikumpulkan oleh Worley tahun 1975, dimana sebagian besar data terdiri dari data yang terdapat pada studi oleh Horeschi (1958). 2. Kelas spektrum sudah diketahui Studi oleh Horeschi menyatakan adanya tiga buah kelas spektrum untuk obyek ini yang merupakan hasil dari tiga buah studi yang lain, yaitu: a. Kelas spektrum K0 dari catalog Henry Draper. b. Kelas spektrum dK4 dari studi oleh Wilson c. Kelas spektrum K3 dari studi oleh Kuiper Informasi mengenai kelas spektrum digunakan dalam salah satu langkah dalam penentuan massa bintang. B. Penyelidikan Sebelumnya Horeschi (1958) telah mempelajari sistem ADS 1733 dan memperoleh elemen orbit sebagai berikut:

Elemen dinamik: Tabel 1. Elemen dinamik ADS 1733 Periode

P

168.6 tahun

Eksentrisitas

E

0.48

Inklinasi

i

± 31o.25

Elemen Orientasi:

31

S.Siregar


___________________________________________________________________________

Tabel 2. Elemen orientasi ADS 1733 Setengah sumbu panjang ellips benar

a

1”.70

Longitude Periastron

ω

71.72

Sudut posisi titik simpul naik

Ω

103o.13

Pergesaran sudut per tahun

μ

2o.135

Waktu pada saat komponen sekunder melewati

T

1987.0

Periastron

Ephemeris ADS 1733 Tabel 3. Ephemeris ADS 1733 t

θ

ρ

1958.0

61o.19

1”.567

1960.0

65 o.06

1”.525

1962.0

69 o.15

1”.482

1964.0

73 o.50

1”.435

1966.0

78 o.15

1”.386

1968.0

83 o. 15

1”.334

1970.0

88 o.57

1”.278

1987.0

172 o.00

0”.770

Pada gambar 1 ditunjukkan lintasan ADS 1733 dari studi oleh Horeschi (1958).

32

S.Siregar


___________________________________________________________________________

Gambar 1. Lintasan bintang ganda visual ADS 1733 (Horeschi, 1958)

2.2. Pelaksanaan Diketahui : ADS 1733 = BDS 1179 = Hasting I = Lalande 4219 α = 2h15m.8

( Epoch 2000 )

δ = -18o14’

Untuk bintang tersebut diperlukan koreksi sudut arah sebesar Δθ = 0.00557 sin α sec δ (2000 − t ) , dengan data di atas diperoleh Δθ = 0.003145(2000 − t ) ,

dinyatakan dalam tiga desimal, menjadi

33

S.Siregar


___________________________________________________________________________

Δθ = 0.003(2000 − t ) .

(1.2-1)

Tabel I. Posisi ADS 1733, menurut Worley (1975). No 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29

t 1679.92 1885.04 1886.87 1887.06 1888.5 1889.95 1890.95 1890.95 1891.03 1891.76 1899.77 1903.63 1909.76 1915.4 1926.98 1928.65 1930.04 1930.54 1930.78 1933.11 1933.6 1933.79 1934.99 1936.86 1936.98 1937.81 1937.87 1938.67 1942.59

θ0 311.8 334.4 336.7 338.9 340.2 340.5 343.6 341.4 340.3 341.7 349.5 353.9 359.2 364.2 387.8 379.3 378.6 380.1 383.7 384.6 384.7 386.1 387 388.6 389.6 389 388 391.3 394.8

θc 312.16 333.74 337.04 340.54 340.83 343.93 343.93 341.73 340.63 342.03 349.81 354.19 359.47 364.45 388.02 379.51 378.81 380.31 383.91 384.8 384.9 386.3 387.2 388.79 389.79 389.2 388.2 391.49 395

ρ 2.22 2.299 1.96 2.18 2.8 2.36 2.06 2.21 2.21 2.09 2.22 2.42 2.1 2.06 1.87 2.04 2.19 2.07 1.7 1.19 1.94 2.06 1.98 1.92 1.78 1.92 2.3 1.89 1.89

OBS HL HL LV HL LV LV HL BU LV LV DOO Din OL OL FIN VOU WAL OL BRT WRH VOU VBS B SNW FIN KUI VAT VOU VOU

Jum. Malam 2 3 3 4 7 4 3 3 3 2 5 1 2 2 1 4 4 3 3 3 4 2 4 4 1 1 1 3 4

30

1945.85

399

399.16

1.88

GTB

1

31

1945.89

401.2

401.36

1.93

WCY

1

32

1945.92

401.5

401.66

1.74

GTB

1

33 34 35 36 37 38 39 40 41 42

1945.97 1946.37 1946.89 1948.76 1948.96 1949.79 1951.64 1953.76 1954.66 1955.93

403.1 404.1 401.5 403.8 405.5 405.87 408.46 410.33 413.22 418.6

403.26 404.26 401.66 404 405.65 406.02 408.6 410.47 416.36 418.73

2.03 1.9 1.78 1.66 1.71 1.737 1.726 1.628 1.659 3.14

GTB BRT WCY VBS B LEM LEM LEM LEM MOH

1 4 1 2 4

1

34

Referensi Mem.R.Astron.Soc. V44, 141 Pub. Univ. Pennsylvania V1, PT3 Pub. US. Naval Obs. V6, 117 Lick Obs. Bul. V5, 185 Astron. J. V30, 063, 157 Union Obs. Circ No 112, 104 Ann Bosscha Obs. Lembang V6, PT1 Ann Bosscha Obs. Lembang V6, PT2 Pub. Univ. Pennsylvania V5, PT1, sec 1 Pub. Univ. Pennsylvania V5, PT1, sec 2 Pub. Univ. Pennsylvania V6, PT4, 03 Ann Bosscha Obs. Lembang V6, PT4 Pub. Yerkes Obs. V8, 047 Union Obs. Circ No 94, 149 Ann Bosscha Obs. V9, PT1 Union Obs. Circ No 112, 104 Astrophys. J. Supp. V6, 001 Vatican Catalog 1930, Appendix 3 Ann Bosscha Obs. Lembang V6, PT4 Manuscript, see J. Obs. V38, 109. Mem. Commonw. Obs. Mt. Stromlo, V2, N4,19 Mem. Commonw. Obs. Mt. Stromlo, V2, N4,19 Mem. Commonw. Obs. Mt. Stromlo, V2, N4,19 Mem. Commonw. Obs. Mt. Stromlo, V2, N4,19 Pub. Univ. Pennsylvania V7, PT1, sec 1 Mem. Commonw. Obs. Mt. Stromlo, V2, N09 Pub. Yerkes Obs. V8, 159 Union Obs. Circ No 111, 013 Ann. Bosscha Obs. Lembang, V9, PT2 Ann. Bosscha Obs. Lembang, V9, PT2 Ann. Bosscha Obs. Lembang, V9, PT2 Ann. Bosscha Obs. Lembang, V9, PT2 -

S.Siregar


___________________________________________________________________________

43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54

1956.02 1957.71 1957.73 1958 1959.87 1961.76 1961.94 1962.92 1964.29 1965.98 1965.98 1968.79

415.1 421.33 418.8 421.5 421.3 426.6 429.9 427.3 430.8 435.5 433.5 441.4

415.23 421.46 418.93 421.63 421.42 426.71 430.01 427.41 430.91 435.6 433.6 441.49

1.6 1.483 1.66 1.56 1.46 1.54 1.5 1.5 1.55 1.48 1.39 1.44

B LEM B VBS KNP B MRC KNP B NBG KNP NBG

1 3 3 3 4 1 1 3 4 1 1

Union Obs. Circ No 115, 266 Ann. Bosscha Obs. Lembang, V9, PT2 Astrophys. J. Supp. V4, No. 36, 045 Pub. Yerkes Obs. V9, PT2 Union Obs. Circ No 119, 331 Astron. J. V67, 555 Obs. Nacional Brasil No.21, 1966 Rep. Obs. Circ. No. 122, 025. Rep. Obs. Circ. No. 125, 093. Rep. Obs. Circ. No. 125, 105. Rep. Obs. Circ. No. 128, 177. Rep. Obs. Circ. No. 128, 184.

Dimana Indeks nama yang terdapat pada kolom OBS adalah BRT = Barton, S.G.

HL = Hall, A.

LV = Leavenworth, F.

WRH = Wilson, R.H., Jr.

WOY = Wolley, R.U.D.

BU = Burnham, S.W.

VBS = Van Biesbroeck, G.

LEM

B = Van den Bos, W.H.

Observatory)

DW = Dinwiddie, W.W.

SMW = Simonow, G.V.

MOH =

OL = Olivier, C.P.

KUI = Kuiper, G.P.

KNP = Knipe, G.H.G.

FW = Finsen, W.S.

VAT = Vatican

MRG = Morgan, H.R.

VOU = Voute

GTB = Gottlieb, K.

NBG = Newberg, I.L.

WAL = Wallenquist, A.

= Lembang (Bosscha DOO = Doolittle, E.

θo = harga θ yang diamati θc = harga θ setelah dikoreksi terhadap pengaruh presesi

Selanjutnya kita baca nilai θ dan ρ dari grafik yang telah memenuhi Hukum Kepler II, dan kemudian kita buat tabel 1.2-2.

35

S.Siregar


___________________________________________________________________________

Tabel 2.2-2. Harga θ dan ρ yang telah dikoreksi. No 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

t 1902 1906 1910 1914 1918 1922 1926 1930 1934 1938 1942 1946 1950 1954 1958 1962 1966

θ 351.23

355.22 359.2 363.19 367.31 371.66 376.04 380.48 385.12 390.11 395.1 400.59 406.57 413.06 420.05 427.04 435

ρ 2.18

2.17 2.16 2.13 2.1 2.06 2.04 2.01 1.97 1.93 1.88 1.82 1.73 1.67 1.61 1.6 1.49

x -0.332 -0.181 -0.03 0.119 0.267 0.416 0.564 0.703 0.836 0.968 1.081 1.184 1.256 1.335 1.395 1.473 1.439

dari tabel 2.2-2., terlihat bahwa :

36

y 2.155

Δθ

C

3.99

18.88

3.98

18.66

3.99

18.36

4.12

18.43

4.35

18.82

4.38

18.41

4.44

18.21

4.64

18.37

4.99

18.97

4.99

18.11

5.49

18.78

5.98

18.83

6.49

18.75

6.99

18.79

6.99

18.01

7.96

18.89

2.162 2.16 2.127 2.083 2.017 1.961 1.883 1.784 1.67 1.538 1.382 1.189 1.004 0.804 0.624 0.386

S.Siregar


___________________________________________________________________________

1. Dalam pekerjaan ini pengamatan sebelum tahun 1902 tidak diikut sertakan dalam analisa, karena: i. Kurang lengkapnya referensi; bagaimana data tersebut diperoleh. ii. Pengamatan sebelum tahun 1902 dianggap mempunyai bobot ketelitian yang kecil. 2. Dari Tabel 2.2-2., dapat diperoleh bahwa, C yang dapat diturunkan adalah: C = 18.585 [derajat][detik busur]2 /4 tahun, σ = 0.313 [derajat][detik busur]2 /4 tahun.

Jika dinyatakan dalam satuan [radian][detik busur]2 pertahun, diperoleh C = 0.081 [radian][detik busur]2 /tahun, σ = 0.001 [radian][detik busur]2 /tahun.

C adalah C rata-rata yang dihitung dengan C =

∑C n

i

. Sedangkan σ

adalah standard deviasi, ditentukan dengan menggunakan hubungan

∑ (C − C )

2

σ=

i

n −1

.

Selanjutnya akan ditentukan nilai U o = E 21 = E 2 − E1 Vo = E32 = E3 − E 2 U o + Vo = E31 = E3 − E1

Dengan menggunakan tiga buah titik dari tabel 2.2-2. akan ditentukan harga Δqp. Ketiga titik tersebut adalah 1. Titik ujung, epoch t= 1906 2. Titik tengah, epoch t=1936 3. Titik Akhir, epoch t = 1966. 37

S.Siregar


___________________________________________________________________________

Tabel 2.2-3. Hasil perhitungan untuk menentukan nilai Δqp No 1 2 3

T 1906 1936 1966

θ 355.22 387.55 435

ρ 2.171 1.937 1.491

y 2.163 1.717 0.386

x -0.181 0.896 1.44

Δqp 2.25 2.129 3.185

tqp 30 30 60

θqp 32.33 47.45 79.78

Arti notasi, yang terdapat pada tabel di atas dapat dilihat dengan memperhatikan gambar (2.21). S 180o t3=1966 ρ3

t2=1936 ρ2

S1

θ1 θ2 θ3

ρ1

t1=1906

U 0o Gambar 2.2-1 Separasi sudut dan sudut posisi untuk tiga epoch acuan

Δ21 = 2 x luas segitiga s1t1t2 = 2.250 (detik busur)2, Δ32 = 2 x luas segitiga s1t2t3 = 2.129 (detik busur)2, Δ31 = 2 x luas segitiga s1t1t3 = 3.185 (detik busur)2.

Sedangkan θ21 = θ2 - θ1 = 32o.33, θ32 = θ3 - θ2 = 47o.45,

38

S.Siregar


___________________________________________________________________________

θ31 = θ3 - θ1 = 79o.78.

2.2.1. Menentukan nilai μ = μ0 Untuk menentukan μ = μ0, rumus yang akan digunakan adalah persamaan dasar Thiele (1.8.1). Data untuk tqp dan Δqp diambil dari tabel 1.2-3 dan C = 0.081 [radian][detik busur]2 /tahun.

Tabel 2.2.1-1. Hasil perhitungan untuk mencari μ0 NO

t- Δqp/C

Eqp

μ=2o.135

μ=2o.137

μ=2o.139

1 2 3

30 30 60

E21 E32 E31

45.852 54.685 100.532

45.867 54.703 100.567

45.881 54.721 100.602

Dari tabel di atas dapat dilihat bahwa yang memenuhi syarat agar E31=E32+E21, adalah μ = 2o.139/tahun. Harga E yang memenuhi adalah: E21 = 45o.881 = U, E32 = 54o.721 = V, E31 = 100o.602 = (U+V).

39

S.Siregar


___________________________________________________________________________

2.2.2. Menghitung eksentrisitas (e) dan anomali eksentrik (E). Untuk menghitung e dan E, digunakan persamaan (1.10-2) dan (1.10-3). Sedangkan data diambil dari tabel 2.2.1-1 kolom ketujuh. sin φ sin E 2 =

Δ 23 sin U − Δ 12 sin V , Δ 12 + Δ 23 − Δ 13

=

2.129 sin(45°.881) − 2.250 sin(54°.721) , 2.250 + 2.129 − 3.185

=

− 0.309 , 1.194

atau sin φ sin E 2 = −0.259 .

(2.2.2-1)

Hal yang sama kita lakukan pada persamaan yang berikut sin φ cos E 2 =

Δ 23 cos U + Δ 12 cos V − Δ 13 , Δ 12 + Δ 23 − Δ 13

akan diperoleh hasil sebagai berikut: sin φ cos E 2 = −0.338 .

(2.2.2-2)

Dengan menggunakan (2.2.2-1) dan (2.2.2-2) diperoleh : sin φ sin E 2 − 0.259 , = sin φ cos E 2 − 0.338

atau, tan E 2 = 0.776 , E 2 = 37°.462 + 180° k ; k=0,1,2,…

Untuk memilih harga k, E2 harus memenuhi persamaan (2.2.2-1) dan (2.2.2-2). Dari persamaan (2.2.2-1) sin φ =

− 0.259 − 0.259 atau e = . sin E 2 sin E 2

Jadi sin E 2 < 0 atau 180° < E 2 < 360° .

(2.2.2-3)

40

S.Siregar


___________________________________________________________________________

Dari persamaan (2.2.2-2) sin φ =

− 0.259 − 0.259 atau e = . cos E 2 cos E 2

Berarti cos E 2 < 0 , jadi 90° < E 2 < 270° .

(2.2.2-4)

Dengan memperhatikan syarat (2.2.2-3) dan (2.2.2-4), dapat ditarik kesimpulan bahwa 180° < E 2 < 270° , atau dengan kata lain k yang memenuhi adalah k = 1. E 2 = 37°.462 + 180° × 1 ,

= 217o.462. Jadi dengan begitu E1 dan E3 dapat ditentukan dan diperoleh E1 = 171o.581, E3 = 272o.183. Selanjutnya e dihitung dengan menggunakan hubungan e cos E 2 = −0.338 , e=

− 0.338 , cos(217°.462 )

e = 0.426.

2.2.3 Menghitung Saat Komponen Sekunder Melalui Periastron T Rumus yang akan digunakan adalah persamaan (1.3.2-3) M = E − e sin E = μ (t − T ) ,

sedangkan data diambil dari 2.1. dan 2.2. , dimana μ = 2o.139/tahun dan e = 0.426

41

S.Siregar


___________________________________________________________________________

Tabel 2.2.3-1. Hasil perhitungan untuk menentukan saat terakhir kali melalui Periastron No 1 2 3

t 1906 1936 1966

E M T0 171.481 168.007 1827.46 217.462 232.308 1827.39 272.183 296.379 1827.44

Dengan mengambil nilai rata-rata To dari tabel diatas, saat terakhir melalui Periastron dapat ditentukan T0 = 1827.430, standard deviasi σ = 0.071. Karena periode P =

2π

μ

, maka P dapat

dihitung, yaitu P=

360° , atau 2°.139

P = 168.303 tahun. Dengan ekstrapolasi dapat ditentukan saat berikutnya melalui Periastron, yaitu : T = T0 + P, = 1827.430 +168.303, = 1995.733. Jadi epoch Periastron T = 1995.733.

2.2.4. Menghitung M, E, X dan Y pada tiap Epoch. Rumus yang akan digunakan adalah (1.3.2-3) , (1.3.1-1) dan (1.3.1-2). Sedangkan e = 0.426 dan μ = 2o.139/tahun. Hasil perhitungan diperlihatkan di bawah ini.

42

S.Siregar


___________________________________________________________________________

Tabel 2.2.4-1. Hasil perhitungan dengan menggunakan (1.3.2-3), (1.3.1-1) dan (1.3.1-2) No

t

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

1902 1906 1910 1914 1918 1922 1926 1930 1934 1938 1942 1946 1950 1954 1958 1962 1966

M

E

159o.583 165o.583 168.061 171.618 176.617 177.627 185.173 183.618 193.729 189.642 202.285 195.686 210.841 201.783 219.397 207.955 227.953 214.226 236.509 220.619 245.065 227.166 253.621 233.9 262.177 240.859 270.733 248.089 279.289 255.645 287.845 263.591 296.401 272.009

X

Y

-1.395 -1.415 -1.425 -1.424 -1.412 -1.389 -1.355 -1.309 -1.235 -1.185 -1.106 -1.015 -0.913 -0.799 -0.674 -0.538 -0.391

0.225 0.132 0.037 -0.057 -0.152 -0.245 -0.336 -0.424 -0.509 -0.589 -0.664 -0.731 -0.79 -0.84 -0.877 -0.899 -0.904

2.2.5. Menghitung Konstanta Thiele dan Innes Rumus yang digunakan adalah persamaan (1.12-3), (1.12-4), (1.12-5) dan (1.12-6). Sedangkan data dari tabel 2.2.4-1.

43

S.Siregar


___________________________________________________________________________

Tabel 2.2.5-1. Hasil perhitungan dengan menggunakan persamaan (1.12-3), (1.12-4) dan (1.12-6) No 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

t 1902 1906 1910 1914 1918 1922 1926 1930 1934 1938 1942 1946 1950 1954 1958 1962 1966 Σ

x/X y/Y (x/Y)(X/Y) (y/Y)(X/Y) X/Y (X/Y)2 -6.2 38.44 -1.476 9.578 9.151 -59.384 -10.72 114.918 -1.371 16.379 14.697 -175.583 -38.514 1483.328 -0.811 58.378 31.235 -2284.37 24.982 624.1 -2.088 -37.316 -52.162 -932.228 9.289 86.294 -1.757 -13.704 -16.321 -127.296 5.669 32.142 -1.698 -8.233 -9.626 -46.673 4.033 16.263 -1.679 -5.836 -6.771 -23.537 3.087 9.531 -1.658 -4.441 -5.118 -13.709 2.462 6.061 -1.642 -3.505 -4.043 -8.629 2.012 4.048 -1.643 -2.835 -3.306 -5.704 1.666 2.776 -1.628 -2.316 -2.712 -3.858 1.389 1.929 -1.62 -1.891 -2.25 -2.627 1.156 1.336 -1.59 -1.505 -1.838 -1.74 0.951 0.904 -1.589 -1.195 -1.511 -1.136 0.769 0.951 -1.591 -0.917 -1.223 -0.705 0.598 0.358 -1.638 -0.694 -0.98 -0.415 0.433 0.187 -1.592 -0.427 -0.689 -0.185 3.062 2423.566 -27.071 -0.48 -53.467 -3687.779

Dengan menggunakan rumus-rumus dari 1.12 , nilai A, B, F dan G dapat − 3 .651 .779 − 0 .480 dihitung A = 2423 .206 3 .062

3 .062 17 − 62078.773 = , 3 .062 41185.126 17

A = -1”.507. − 53.467 − 27.071 B = 2423.206 3.062

3.062 17 − 826.048 = , 3.062 41185.126 17

B = -0”.020.

44

S.Siregar


___________________________________________________________________________

2423.206 3.062 F = 2423.206 3.062 =

10018.608 41185.126

− 3651.779 − 0.480 , 3.062 17

,

F = 0”.243, 2423.206 − 53.467 − 27.071 3.062 − 65434.894 = , G = 2423.206 3.062 41185.126 3.062 17

G = -1”.589.

2.2.6. Menentukan Kesalahan Konstanta Thiele dan Innes. Untuk menentukan kesalahan A, B, F dan G dapat digunakan metode Worthing dan Geffner (1943), dimana kesalahan dalam B adalah : 2 2 ⎡ ⎧⎪ ⎛ X ⎞ ⎛ X ⎞ ⎫⎪⎤ τ B = ⎢ n / ⎨n ∑ ⎜ ⎟ − ⎜ ∑ ⎟ ⎬⎥ ⎝ Y ⎠ ⎝ Y ⎠ ⎪⎭⎥⎦ ⎢⎣ ⎪⎩

1/ 2

τY . 1

Kesalahan dalam G adalah 2 2 ⎡ ⎛ X ⎞ 2 ⎧⎪ ⎛ X ⎞ ⎛ X ⎞ ⎫⎪⎤ τ G = ⎢ ∑ ⎜ ⎟ / ⎨n ∑ ⎜ ⎟ − ⎜ ∑ ⎟ ⎬⎥ ⎝ Y ⎠ ⎝ Y ⎠ ⎪⎭⎥⎦ ⎢⎣ ⎝ Y ⎠ ⎪⎩

1/ 2

τY , 1

τ Y dapat dihitung dari : 1

τY

1

2 ⎡ ⎧ x ' ⎤ ⎫⎪ x ⎪ ⎞ ⎛ ⎛ ⎞ ⎢ = ∑ ⎨⎜ ⎟ − ⎜ ⎟⎬ /(n − 2)⎥ ⎢ ⎪⎩⎝ Y ⎠ ⎝ Y ⎠⎪⎭ ⎥ ⎣ ⎦

1/ 2

.

45

S.Siregar


___________________________________________________________________________

Persamaan Least square-nya adalah : ⎛x⎞ ⎛X ⎜ ⎟ = B⎜ ⎝Y ⎠ ⎝Y

⎞ ⎟+G, ⎠

⎛x⎞ ⎛X ⎜ ⎟ = −0.020⎜ ⎝Y ⎠ ⎝Y

⎞ ⎟ − 1.589 , ⎠

(2.2.6-1)

'

⎛x⎞ ⎛x⎞ ⎜ ⎟ = nilai ⎜ ⎟ yang dihitung dari (2.2.6-1) ⎝Y ⎠ ⎝Y ⎠ ⎛x⎞ ⎜ ⎟ = harga yang diamati, dari tabel 2.2.5-1 ⎝Y ⎠ Hal yang sama untuk persamaan least square yang berbentuk : ⎛ y⎞ ⎛X⎞ ⎜ ⎟ = A⎜ ⎟ + F , ⎝Y ⎠ ⎝Y ⎠ ⎛ y⎞ ⎛X⎞ ⎜ ⎟ = −1.507⎜ ⎟ + 0.243 . ⎝Y ⎠ ⎝Y ⎠

(2.2.6-2)

Kesalahan dalam A adalah : 2 2 ⎡ ⎧⎪ ⎛ X ⎞ ⎛ X ⎞ ⎫⎪⎤ τ A = ⎢ n / ⎨n ∑ ⎜ ⎟ − ⎜ ∑ ⎟ ⎬⎥ ⎝ Y ⎠ ⎝ Y ⎠ ⎪⎭⎥⎦ ⎢⎣ ⎪⎩

1/ 2

τY . 2

Kesalahan dalam F adalah 2 2 ⎡ ⎛ X ⎞ 2 ⎧⎪ ⎛ X ⎞ ⎛ X ⎞ ⎫⎪⎤ τ F = ⎢ ∑ ⎜ ⎟ / ⎨n ∑ ⎜ ⎟ − ⎜ ∑ ⎟ ⎬⎥ ⎝ Y ⎠ ⎝ Y ⎠ ⎪⎭⎥⎦ ⎢⎣ ⎝ Y ⎠ ⎪⎩

1/ 2

τY 2 .

Sedangkan

τY

2

2 ⎡ ⎧ y ' ⎤ ⎫⎪ y ⎪ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎢ = ∑ ⎨⎜ ⎟ − ⎜ ⎟⎬ /(n − 2)⎥ ⎢ ⎪⎩⎝ Y ⎠ ⎝ Y ⎠⎪⎭ ⎥ ⎣ ⎦

1/ 2

.

'

⎛ y⎞ ⎛ y⎞ ⎜ ⎟ = nilai ⎜ ⎟ yang dihitung dari (2.2.6-2) ⎝Y ⎠ ⎝Y ⎠

46

S.Siregar


___________________________________________________________________________

⎛ y⎞ ⎜ ⎟ = nilai yang diamati, dari tabel 2.2.5-1. ⎝Y ⎠ Dengan menggunakan rumus (2.2.6-1) dan (2.2.6-2), data dari tabel 1.2.5-1 dapat diturnkan Tabel 2.2.6-1.

Tabel 2.6-1. Menunjukkan hasil perhitungan untuk menentukan kesalahan konstanta Thiele dan Innes t

X/Y

(X/Y)2

(x/Y)'

(x/Y)

1903.6 1909.76 1915.4 1926.98 1928.65 1930.04 1933.11 1934.99 1936.98 1938.67 1942.59 1945.85 1948.76 1951.64 1953.76 1955.93 1957.71 1959.87 1961.76 1964.29 1965.98 1968.79

-7.57 -31.756 15.889 3.787 3.384 3.104 2.605 2.357 2.132 1.967 1.636 1.412 1.236 1.08 0.975 0.873 0.791 0.696 0.617 0.513 0.443 0.326

57.303 1008.42 252.457 14.338 11.453 9.635 6.783 5.554 4.547 3.868 2.678 1.993 1.529 1.167 0.95 0.762 0.625 0.484 0.381 0.263 0.197 0.106

-1.438 -0.954 -1.907 -1.665 -1.657 -1.651 -1.641 -1.636 -1.632 -1.628 -1.622 -1.617 -1.614 -1.611 -1.609 -1.606 -1.605 -1.603 -1.601 -1.599 -1.598 -1.596

-1.317 -0.422 -1.778 -2.466 -1.733 -1.669 -1.023 -1.717 -1.599 -1.648 -1.615 -1.635 -1.497 -1.601 -1.506 -3.136 -1.491 -1.44 -1.576 -1.624 -1.478 -1.593

Σ

6.497

1385.49

-35.09

-35.564

2 2 ⎡ ⎧⎪ ⎛ X ⎞ ⎛ X ⎞ ⎫⎪⎤ τ B = ⎢ n / ⎨n ∑ ⎜ ⎟ − ⎜ ∑ ⎟ ⎬⎥ ⎝ Y ⎠ ⎝ Y ⎠ ⎪⎭⎥⎦ ⎢⎣ ⎪⎩

1/ 2

τY , 1

47

(Δ x/Y)2

(Δ y/Y)2

(y/Y)'

(y/Y)

0.015 0.283 0.017 0.642 0.006 0 0.382 0.007 0.001 0 0 0 0.014 0 0.011 2.341 0.013 0.027 0.001 0.001 0.014 0

11.651 48.099 -23.702 -5.464 -5.343 -4.435 -3.683 -3.309 -2.97 -2.721 -2.222 -1.885 -1.62 -1.385 -1.226 -1.073 -0.949 -0.806 -0.687 -0.53 -0.425 -0.248

12.946 46.667 -22.822 -4.638 -4.893 -4.901 -2.213 -3.342 -2.725 -2.691 -2.307 -2.008 -1.551 -1.41 -1.242 -1.904 -0.811 -0.784 -0.678 -0.562 -0.435 -0.238

1.677 2.051 0.774 0.682 0.203 0.217 2.161 0.001 0.06 0.001 0.007 0.015 0.005 0.001 0 0.691 0.019 0 0 0.001 0 0

3.775

-4.933

-2.542

8.566

S.Siregar


___________________________________________________________________________

= [22 / (22 × 1385.488 − 42.211)] τ Y 1 , 1/ 2

= [22 / (30438.525)] τ Y 1 , 1/ 2

= [0.001] τ Y 1 , 1/ 2

= 0.027τ Y 1 . 2 2 ⎡ ⎛ X ⎞ 2 ⎧⎪ ⎛ X ⎞ ⎛ X ⎞ ⎫⎪⎤ τ G = ⎢ ∑ ⎜ ⎟ / ⎨n ∑ ⎜ ⎟ − ⎜ ∑ ⎟ ⎬⎥ ⎝ Y ⎠ ⎝ Y ⎠ ⎪⎭⎥⎦ ⎣⎢ ⎝ Y ⎠ ⎪⎩

1/ 2

τY , 1

= [1385.488 / (22 × 1385.488 − 42.211)] τ Y 1 , 1/ 2

= [1385.488 / (30438.525)] τ Y 1 , 1/ 2

= 0.213τ Y 1 .

Sedangkan τ Y 1 adalah

τY

1

2 ⎤ ⎡ ⎧ x ' ⎫⎪ x ⎪ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎢ = ∑ ⎨⎜ ⎟ − ⎜ ⎟⎬ /(n − 2)⎥ ⎥ ⎢ ⎪⎩⎝ Y ⎠ ⎝ Y ⎠⎪⎭ ⎦ ⎣

⎡ 3.775 ⎤ =⎢ ⎣ 20 ⎥⎦

1/ 2

,

1/ 2

,

= 0.434. dan

τY

2

2 ⎡ ⎧ y ' ⎤ ⎫⎪ y ⎪ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = ⎢∑ ⎨⎜ ⎟ − ⎜ ⎟⎬ /( n − 2)⎥ ⎢ ⎪⎩⎝ Y ⎠ ⎝ Y ⎠⎪⎭ ⎥ ⎣ ⎦

⎡ 8.558 ⎤ =⎢ ⎣ 20 ⎥⎦

1/ 2

,

1/ 2

,

= 0.654.

48

S.Siregar


___________________________________________________________________________

Jadi

τB = 0.027 x 0.434 = 0.012, τG = 0.213 x 0.434 = 0.093. Hal yang sama untuk kesalahan A dan F

τA = 0.027 x 0.654 = 0.018, τF = 0.213 x 0.654 = 0.139. Konstanta Thiele dan Innes dapat ditulis A = -1”.507 ± 0”.018, B = -0”.020 ± 0”.012, F = 0”.243 ± 0”.139, G = -1”.589 ± 0”.093.

2.2.7. Menghitung elemen Orientasi Rumus- rumus yang digunakan adalah persamaan (1.5-11), (1.5-12) dan (1.5-13) dan data dari bab 2.2.5. Dari rumus (1.5-11) dan (1.5-12) tan (ω + Ω ) =

B − F − 0.263 = = 0.085 , A + G − 3.096

(ω+Ω) = 4°.856 + k x 180°. Sin (ω+Ω) bertanda sama terhadap B-F, dan B-F ≤ 0. Jadi sin (ω+Ω) ≤ 0, berada pada daerah 180° ≤ (ω+Ω) ≤ 360°. Dengan perkataan lain harga k yang memenuhi adalah k=1. (ω+Ω) = 4°.856 + 180°, = 184°.856 . tan (ω − Ω ) =

(2.2.7-1)

− ( B + F ) − 0.223 = = −2.720 , A−G 0.082 49

S.Siregar


___________________________________________________________________________

(ω-Ω) =-69°.814 + k x 180°. Sin (ω-Ω) bertanda sama dengan -(B+F) dan –(B+F) ≤ 0. Jadi Sin (ω-Ω) ≤ 0, terletak pada rentang 180° ≤ (ω-Ω) ≤ 360°. Harga k yang memenuhi adalah k = 2. Jadi (ω-Ω) = -69°.814 + 360°, = 290°.186.

(2.2.7-2)

Dari (1) dan (2)

ω = 237°.521, Ω = -52°.665 . Jadi nilai ω dan Ω yang memenuhi adalah

ω = 237°.521- 180°, ω = 57°.521. Ω = -52°.665 + 180°, Ω = 127°.335 . Untuk menghitung inklinasi, digunakan rumus

⎛ i ⎞ B + F sin(ω + Ω) tan 2 ⎜ ⎟ = , ⎝ 2 ⎠ F − B sin(ω + Ω) =

0.223 sin(57°.521 + 127°.335) , 0.263 sin(57°.521 − 127°.335)

=

0.223 × 0.085 , 0.263 × 0.939

=

0.019 , 0.247

= 0.077, tan (i/2) = ± 0.277,

50

S.Siregar


___________________________________________________________________________

i/2 = ± 15.486. Karena gerakannya direct maka i = 30°.972. Selamjutnya untuk menghitung a, gunakan rumus (1.7-1) a2 cos i = AG – BF, Nilai A, G, B dan F dari 1.2.4 dan i = 30°.972. a2 =

AG − BF , cos i

=

1.507 × 1.589 + 0.020 × 0.243 , cos 30°.972

=

2.395 + 0.05 , 0.857

= 2.800, a = 1”.673. Untuk menghitung setengah sumbu pendek (b), gunakan hubungan b = a 1 − e2 ,

= 1.673 1 − (0.426) 2 , = 1.673 x 0.905, b = 1”.514.

2.2.8. Hitung massa dan jarak Dengan menggunakan persamaan yang telah diturunkan pada paragraf sebelumnya dan penerapan teknik iterasi pada persamaan tersebut, diperoleh hasil perhitungan sebagai berikut:

51

S.Siregar


___________________________________________________________________________

Iterasi 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

p 0,04356 0,04699 0,049559 0,051372 0,052598 0,053402 0,05392 0,054248 0,054455 0,054585 0,054665

M1 + M2 2 1,593243 1,358145 1,219344 1,13605 1,085478 1,054529 1,035489 1,023737 1,016466 1,011963

1

Mb

6,305457 6,470037 6,585597 6,66363 6,714845 6,747805 6,768743 6,781931 6,790193 6,795352 6,798566

2

Mb

7,305457 7,470037 7,585597 7,66363 7,714845 7,747805 7,768743 7,781931 7,790193 7,795352 7,798566

M1 0,691367 0,654402 0,629634 0,613442 0,603042 0,596442 0,592287 0,589685 0,58806 0,587049 0,586419

M2 0,495118 0,468646 0,450909 0,439313 0,431865 0,427138 0,424163 0,422299 0,421136 0,420411 0,41996

Hasil iterasi r 1. Paralak dinamik dari bintang ganda tersebut adalah 0”,054; 2. Massa dari bintang ganda tersebut adalah M1 = 0,58 M0 dan M2 = 0,42 M0 3. Magnitudo absolut bolometrik bintang tersebut adalah 1Mb = 6,79 dan 2Mb = 7,79

2.2.9 Hasil Akhir Dari perhitungan terdahulu diperoleh nilai-nilai sebagai berikut : i. Elemen Dinamik e = 0.426. T = 1995.303. P = 168.303 tahun. ii. Elemen Orientasi i = 30°.972 .

ω = 57°.521 . Ω = 127°.335 . iii. Konstanta Thiele dan Innes A = -1”.507. B = -0”.020 . 52

S.Siregar


___________________________________________________________________________

F = 0”.243 . G = -1”.589 . iv. Ukuran geometris dari Ellips a = 1”.673 . b = 1”.514 . v. Gerakan sudut per tahun

μ = 2°.139 vi Jarak , massa dan luminositas Karena paralak p = 0,054 → jarak r =

1 = 18,5 parsek p

Massa bintang bintang primer M1 = 0,58 M0 dan bintang sekunder M2 = 0,42 M0 Magnitudo absolut bolometrik bintang primer 1Mb = 6,79 dan bintang sekunder 2Mb = 7,79

2.2.10 Ephemeris bintang ganda ADS 1733 Berikut diberikan ephemeris Bintang ADS 1733 untuk tahun 2006 Nama (designation) yang lain untuk bintang ini adalah : HD 14001, HIP 10542 Tabel 2.12 Elemen orbit bintang ganda ADS 1733 menurut Siregar(1976) No 1 2 3 4 5 6 7

Elemen P

Siregar (1976) 168.303 tahun

μ e i ω Ω T

2.o139 0.426 30.972 57.521 127.335 1995.733

Ephemeris untuk elemen orbit bersangkutan diragakan pada table berikut ini

53

S.Siregar


___________________________________________________________________________

Tabel 2.13 Ephemeris bintang ganda ADS 1733 menurut Siregar(1976) untuk semester II tahun 2006 No

t (tahun)

M (o)

E (o )

1 2 3 4 5 6 7 8

2006.25 2006.33 2006.41 2006.5 2006.58 2006.67 2006.75 2006.84

22.496 22.67 22.84 23.03 23.2 23.394 23.565 23.758

37.282 37.545 37.801 38.087 38.343 38.634 38.89 39.179

ν(o) 55.998 56.358 56.708 57.098 57.496 57.841 58.188 58.578

ρ (") 1.017 1.048 1.079 1.117 1.149 0.987 0.987 0.994

θ (o ) 244.26 244.653 245.044 245.471 245.845 246.282 246.788 247.094

Sebagai pembanding berikut dilampirkan elemen orbit menurut Soderhjelm(1999). Data pada epoch 2000. Tabel 2.14 Elemen orbit bintang ganda ADS 1733 Menurut Soderhjelm(1999) No 1 2 3 4 5 6 7

Elemen P

Soderhjelm(1999) 225 tahun

μ e i ω Ω T

1.o600 0.14 41.000 57.521 170.000 1803

Sedangkan ephemeris untuk elemen orbit table diatas diragakan pada table 2. 15 Tabel 2.15 Ephemeris bintang ganda ADS 1733 menurut Soderhjelm(1999) untuk semester II tahun 2006 No t (tahun) 1 2 3 4 5 6 7 8

2006.25 2006.33 2006.41 2006.5 2006.58 2006.67 2006.75 2006.84

M (o)

E (o )

325.2 325.328 325.456 325.6 325.728 325.872 326 326.144

320.027 320.171 320.315 320.476 320.62 320.782 320.926 321.087

54

ν (o ) -45.442 -45.283 -45.123 -45.944 -45.785 -44.605 -44.445 -44.265

ρ (") 1.706 1.708 1.708 1.708 1.712 1.712 1.71 1.71

θ (o ) 149.444 149.544 149.696 149.847 149.948 150.1 150.252 150.404

S.Siregar


___________________________________________________________________________

55

S.Siregar


___________________________________________________________________________

Bab 3. Proposal untuk pekerjaan selanjutnya

3.1 Sistem Bintang Ganda Visual ADS 8119 AB Bintang ganda visual ADS 8119 AB atau lebih dikenal dengan nama Xi Ursae Majoris (ζ Uma) merupakan salah satu bintang ganda visual di rasi Ursa Mayor. Pasangan bintang ini ditemukan oleh Sir William Herschel pada 2 Mei 1780 dan merupakan sistem bintang ganda yang orbitnya berhasil dihitung pertama kali oleh Savary pada tahun 1828. Oleh karena itu bintang ini mempunyai posisi historis yang sangat penting dalam studi bintang ganda visual. Merupakan sistem bintang ganda yang pertama kali dihitung elemen orbitnya dan juga merupakan sistem bintang ganda yang pertama kali digunakan untuk membuktikan kebenaran kaedah hukum Kepler III. Sistem ini terdiri dari dua buah bintang utama pada sistem ADS 8119 AB, yaitu bintang HD 98231 (ADS 8119 A) sebagai komponen primer dan HD 98230 (ADS 8119 B) merupakan komponen sekundernya (informasi mengenai sistem ini dapat dilihat pada tabel 3.1).

56

S.Siregar


___________________________________________________________________________

Tabel 3.1. Informasi Sistem Bintang Ganda ADS 8119 AB No

Aspek

Data

1

Posisi

HD 98231 R.A.

= 11h 18m 10s.90

(J2000.0) Deklinasi

= +310 31’ 44”.9

(J2000.0) HD 98230 R.A.

= 11h 18m 10s.95

(J2000.0) Deklinasi

= +310 31’ 45’’.7

(J2000.0) 2

Magnitudo (V)

HD 98231 = 4.41 magnitudo HD 98230 = 4.87 magnitudo

3

Kelas Spektrum

HD 98231 = G0V HD 98230 = F8.5V

4

Nama WDS

11182+3132

Kedua komponen utama ini juga merupakan sistem bintang ganda spektroskopik. Bintang HD 98231 merupakan bintang ganda spektroskopi dengan periode 1.8 tahun sedangkan bintang HD 98230 mempunyai periode yang lebih pendek, yaitu 3.98 hari . Data yang akan digunakan pada pekerjaan ini diperoleh dari katalog WDS (Washington Double Star). Dari data yang dikumpulkan sejak tahun 1780 sampai akhir tahun 2004 diperoleh jumlah pengamatan sebanyak 1536 buah dan sudah melengkapi orbit selama tiga periode. Pada penentuan elemen orbit sistem bintang visual ini akan dipergunakan titiktitik data pada periode ketiga, yaitu antara tahun 1933.22 sampai dengan 1992.42 sejumlah 586 data pengamatan (data diberikan pada lampiran 1).

57

S.Siregar


___________________________________________________________________________

Kolom pertama merupakan epoch pada saat pengamatan dilakukan, kolom kedua adalah sudut posisi dari pengamatan, sedangkan separasi sudutnya ditampilkan pada kolom ketiga. Informasi mengenai jumlah pengamatan dan ukuran teleskop yang digunakan diberikan pada kolom keempat dan kelima, berikutnya kolom keenam adalah informasi mengenai referensi yang digunakan pada katalog WDS. Untuk kolom ketujuh yaitu informasi mengenai koreksi sudut posisi karena presesi Luni-Solar, dan kolom kedelapan mengenai sudut posisi yang sudah dikoreksi efek presesi, akan dijelaskan pada bagian III.

3.2 Studi Sebelumnya Data pengamatan yang banyak menunjukkan juga jumlah studi yang telah dilakukan mengenai sistem bintang ganda ADS 8119 AB. Hasil yang akan diperoleh pada ini akan dibandingkan dengan hasil dari studi oleh Heintz (1967) dan Mason et al. (1995). Dari studi keduanya diperoleh data menegenai elemen orbit sistem tersebut, sebagai berikut

Tabel 3.2. Elemen Orbit Hasil Studi Sistem Bintang Ganda ADS 8119 AB No 1 2 3 4 5 6 7

Aspek Periode, P [Tahun] Setengah sumbu panjang, a [''] Inklinasi , i [o] Eksentrisitas, e Longitude periastron , ω [o] Sudut arah titik simpul naik, Ω [o] Waktu terakhir melewati Perisatron, T [YYYY,yy]

Heintz (1967) Mason et al. (1995) 59.84 59.878 2.53 2.536 122.65 122.13 0.414 0.398 127.53 127.94 101.59 101.85 1935.17

3.2 Penentuan Konstanta Kepler

58

1935.195

S.Siregar


___________________________________________________________________________

Metode yang digunakan pada penentuan elemen orbit sistem bintang ganda ADS 8119 AB pada studi ini adalah metode grafis, sehingga untuk menentukan konstanta Kepler juga menggunakan grafik. Pada dasarnya tujuan menentukan konstanta Kepler adalah untuk menentukan ellips yang tampak dari pengamatan. Langkah-langkah yang tempuh untuk menentukan konstanta Kepler antara lain: 1. Membuat grafik separasi sudut (ρ), sudut posisi (θ) yang sudah dikoreksi terhadap efek presesi sebagai fungsi waktu pengamatan. Kemudian digambarkan kurva garis yang menggambarkan titik-titik data tersebut (lihat Gambar3.1 dan Gambar 3.2). Koreksi efek presesi Luni-Solar mengikuti perumusan oleh Van de Kamp tahun 1969 . Koreksi sudut posisi tersebut sebesar,

Δθ = 0.00557 sin α sec δ (2000 − t ) ,

dengan informasi mengenai posisi sitem bintang ganda ADS 8119 AB maka kita dapat menetukan besarnya koreksi pada tiap waktu pengamatan. Hasilnya ditunjukkan pada lampiran 1 kolom ketujuh (Δθ) dan kolom kedelapan (θc). Berikut diperlihatkan kurva θ dan ρ sebagai fungsi dari waktu . Kurva ini belum memenuhi hukum Kepler, baru memenuhi prinsip least-square

59

S.Siregar


___________________________________________________________________________

Kurva Rho Sebagai Fungsi Waktu 3.5

3

2.5

Rho

2

1.5

1

0.5

0 1930

1940

1950

1960

1970

1980

1990

2000

Tahun

Gambar 3.1. Grafik separasi sudut (ρ) sebagai fungsi waktu. Kurva Theta Sebagai Fungsi Waktu 400

350

300

Theta

250

200

150

100

50

0 1930

1940

1950

1960

1970

1980

Tahun

Gambar 2. Grafik sudut posisi sebagai fungsi waktu. 2. Pada satu waktu tertentu hukum kekekalan luas harus dipenuhi, yaitu

60

1990

2000

S.Siregar


___________________________________________________________________________

h = ρ2

dθ . dt

(1)

Perubahan sudut posisi terhadap waktu ,

dθ , dapat ditentukan dari grafik. Hasil yang dt

diperoleh mempunyai satuan derajat per tahun dapat diubah ke satuan radian per tahun. Untuk memenuhi persamaan (1) maka kita akan mengubah grafik pada ordinatnya dan akan terus diubah sampai kita memperoleh nilai h yang sama untuk setiap waktu. 3. Setelah memperoleh nilai h, maka kita akan menentukan nilai konstanta Kepler dari titiktitik yang sudah memenuhi persamaan (1). Nilai separasi sudut (ρ) dan sudut posisi (θ) yang sudah dikoreksi melalui grafik ditampilkan pada tabel 3.1. 4. Dengan menggunakan tabel 3.1, diperoleh nilai konstanta Kepler C untuk iterasi pertama adalah C = 39.073 [derajat][detik busur]2 /4 tahun, C = 0.170 [radian][detik busur]2 / tahun. Dengan standard deviasi-nya sebesar σ = 6.763 [derajat][detik busur]2 /4 tahun,

= 0.029 [radian][detik busur]2 / tahun. Hasil belum cukup memuaskan, karena bila dihitung kembal nilai C belum menunjukkan harga yang konstan. Dalam arti standar deviasinya masih cukup besar 5. Koreksi terhadap kurva Kepler masih harus dilanjutkan

61

S.Siregar


___________________________________________________________________________

Tabel 3.1 Nilai separasi sudut (ρ) dan sudut posisi (θ)

No 1

Waktu 1934

θ [0 ] 335

ρ[″ ] 1.6

C 36

2

1938

290

2 36

3

1942

260

2.4 39

4

1946

235

2.7 40.625

5

1950

210

2.4 37.5

6

1954

185

2.4 31.2

7

1958

165

2.7 39

8

1962

145

3.1 41.625

9

1966

130

3.8 41.625

10

1970

125

3.8 56.25

11

1974

115

5.3 30

12

1978

110

5.3 45.6

13

1982

105

3.1 41.8

14

1986

85

2.7 30.8

15

1990

50

1.6

Selanjutnya akan dibicarakan kasus BGV lainnya WDS 04403-5857 berikut ini

62

S.Siregar


___________________________________________________________________________

3.5 BINTANG GANDA WDS 04403-5857 WDS 04403-5857 atau HR 1504 adalah bintang ganda yang sudah diamati sejak lama, bahkan sejak tahun 1835. Bintang ganda ini terdiri dari dua buah bintang yang hampir sama terang. Komponen primernya memiliki magnitudo visual sekitar 7 magnitudo dan kelas spektrumnya G5V. Bintang ini dipilih sebagai bintang ganda yang akan ditentukan parameter orbitalnya karena perlu dilakukan tinjauan ulang pada orbitnya. Diharapkan akan diperoleh parameter orbital yang lebih baik dengan data yang lebih baru.

Sumber Data Data lengkap dari WDS 04403-5857 diperoleh dari http://ad.usno.navy.mil/wds/ . Data yang diambil dari website tersebut terdiri dari waktu dilakukannya pengamatan, sudut posisi, separasi, magnitudo primer dan sekunder, referensi untuk tiap pengamatan, serta parameter orbital dari bintang ganda tersebut. Data WDS 04403-5857 yang akan digunakan untuk menghitung parameter orbitnya diberikan pada lampiran.

Tujuan Penelitian Pekerjaan ini dilakukan untuk menghitung kembali parameter orbit bintang ganda WDS 04403-5857. Melalui pekerjaan sebelumnya ternyata diketahui bahwa orbit bintang ganda ini perlu dihitung ulang karena parameter orbit yang lama sudah tidak sesuai dengan data-data terbaru.

63

S.Siregar


___________________________________________________________________________

Parameter Fisis 1. Koordinat (epoch 2000.0): -

asensiorekta

: α = 04h 40m 17s.72

-

deklinasi

: δ = - 58° 56΄ 39˝.5

-

Observer code : HJ 3683

2. Elemen orbital (Brendley & Mason, 2006): Parameter orbit

Simbol

Besar

Periode

P

326.17 tahun

Setengah sumbu semi-mayor

a

2˝.435

Inklinasi

i

100°.9

Sudut posisi simpul naik (node)

Ω

263.6

Waktu sekunder melewati

T

1919.36

Eksentrisitas

e

0.95

Longitude periastron

ω

338.1

Orbit grade

G

4 (preliminary)

periastron

3. Efemeris (Brendley & Mason, 2006): t

θ

ρ

2005

89.8

3.526

2006

89.8

3.547

2007

89.8

3.568

2008

89.7

3.588

2009

89.7

3.608

Orbit Bintang Ganda

64

S.Siregar


___________________________________________________________________________

Dari studi terakhir yang dilakukan pada bintang ganda WDS 04403-5857 (2002) diketahui bahwa orbit yang telah diturunkan sebelumnya sudah tidak cocok lagi dengan data-data observasi terbarunya. Pada gambar 1 ditampilkan orbit bintang WDS 04403-5857 dari tahun 2002 dan 2006. Dari kedua gambar tersebut jelas terlihat bahwa parameter orbital bintang ini harus diubah agar sesuai dengan data observasinya.

Gambar 1a. Orbit WDS 04403-5857 pada tahun 2002, dengan data terakhir diambil pada tahun 1999.

Gambar 1b. Orbit WDS 04403-5857 pada tahun 2007, dengan data terakhir diambil pada tahun 2002.

65

S.Siregar


___________________________________________________________________________

Lampiran Data WDS 04403-5857 Observations ============ Date P.A. 1835.48 81.2 1836.40 81.2 1874.38 74.4 1874.90 71.5 1879.10 79.1 1879.10 80.6 1891.02 77.0 1897.06 85.1 1897.07 79.5 1903.16 80.6 1913.96 77.4 1913.98 78.4 1914.92 83.4 1916.93 77.5 1920.93 72.2 1922.06 . 1922.93 59. 1922.94 63.9 1923.10 . 1925.06 115.2 1925.07 83. 1926.02 103.4 1926.70 92.2 1926.95 99.0 1928.05 97.4 1928.82 95.5 1928.92 96.4 1929.06 97.5 1930.04 94.5 1930.10 95.6 1930.14 96.4 1930.24 96.2 1930.82 95.4 1931.08 95.7 1931.64 93.6 1932.75 95.1 1934.10 95.0 1934.17 94.7 1934.49 94.7 1936.74 94.0 1938.39 94.1 1939.97 93.5 1942.22 93.2 1942.68 93.0 1943.22 93.0 1944.77 92.3 1945.07 93.1 1946.70 90.1 1946.94 91.7 1947.01 92.3 1947.06 93.7 1951.13 92.1 1951.883 91.36 1952.888 92.09 1952.912 91.49 1955.13 91.4

Sep. Mag-a Mag-b 3. 7.5 7.5 3.82 8.0 8.0 2.23 . . 3.16 . . 3.46 7. 7. 3.32 . . 1.88 7. 7. 0.92 8. 7.8 1.00 . . 1.54 . 0.1 1.14 . . 1.04 . 0.2 0.91 8.0 7.5 0.91 7.9 8.0 0.60 7.8 8.0 . . . 0.15 . . 0.12 . . . . . 0.47 . . 0.3 . . 0.36 . 0.3 0.63 . . 0.57 . 0.4 0.67 . 0.3 0.77 . . 0.75 . 0.2 0.71 . 0.2 0.88 . . 0.80 . 0.2 0.75 . 0.2 0.88 . 0.2 0.82 . . 0.91 7.6 7.7 0.95 7.5 7.7 0.99 6.7 6.7 1.05 7.2 7.4 1.08 7.6 7.7 1.15 7.0 7.1 1.18 . . 1.32 6.8 6.9 1.22 . . 1.69 . . 1.57 . . 1.47 . 0.0 1.57 7.1 7.4 1.58 . 0.1 1.93 . 0.1 2.02 . . 1.67 . . 1.86 . . 1.82 7.0 7.3 1.782 . . 1.973 . . 1.981 . . 2.07 7.0 7.3

# 2 2 1 5 1 1 2 3 2 1 4 2 1 4 4 2 1 1 1 1 1 4 5 2 4 5 4 4 4 3 4 2 4 3 3 6 4 3 5 4 3 2 1 3 3 4 3 3 3 3 1 4 1 1 1 1

RefCode Aperture HJ_1847a 18 HJ_1847b 05 Gou1897A Gou1897A R__1871a 11 Hrg1871 07 Slr1893b 11 See1898c 24 Cog1898b 24 I__1905 18 Vou1925a 07 VdS1914 09 Hu_1912c 17 Daw1918 17 Daw1922 17 I__1948 09 Daw1937 17 Daw1937 17 Daw1937 17 I__1948 09 I__1948 09 B__1928b 26 Vou1926 07 B__1928b 26 B__1928b 26 Vou1932 24 B__1929a 09 Fin1929a 26 Wal1934 15 B__1932b 26 Fin1932a 26 Jsp1964 27 Vou1932 24 Daw1937 17 B__1932b 26 Fin1934b 26 B__1935c 26 Daw1937 17 Fin1936b 26 Smw1951 15 Fin1951a 26 Smw1951 24 Hir1943a 07 Vou1955 15 Hir1946 07 B__1950c 26 Hir1950 07 WoH1948 11 Woy1948a 09 Smw1948 09 Gtb1948 09 B__1953a 26 The1970 24 The1970 24 The1970 24 B__1956a 26

66

Method B A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A H H H A

Codes

S S

S.Siregar


___________________________________________________________________________

1956.793 1957.713 1957.786 1959.03 1959.04 1964.08 1965.59 1975.071 1975.099 1975.12 1975.727 1977.327 1978.691 1979.03 1980.25 1980.710 1980.786 1981.18 1982.781 1983.155 1984.863 1986.825 1986.977 1987.711 1991.18 1991.25 1991.65 1994.051 1995.025 1995.8527 1996.168 1996.1832 1997.1005 1999.7790 1999.7844 1999.7845 1999.85 2001.8624 2001.8624 2001.8815 2001.8815 2001.8842 2001.8842 2001.8870 2001.8870 2001.8897 2001.8897 2002.704

91.43 92.45 91.80 89.6 90.5 91.1 91.5 89.7 91.0 91.9 91.0 89.31 90.50 90.9 91.8 90.78 90.5 92.0 91.19 91.9 91.50 90.4 91.77 88.73 90.7 90.1 90.2 90.8 91.77 90.2 90.2 . 90.1 90.0 90.1 90.3 89.1 89.5 89.4 89.3 89.4 89.3 89.5 89.4 89.6 89.4 89.2 89.3

2.128 2.134 2.158 2.08 2.09 2.32 2.36 2.83 2.69 2.65 2.85 2.822 2.852 2.78 2.96 2.878 3.17 3.06 2.945 3.00 2.995 2.91 3.126 3.11 3.05 3.217 3.257 3.22 3.25 3.351 3.54 . 3.341 3.47 3.44 3.44 2.71 3.501 3.503 3.505 3.520 3.510 3.508 3.507 3.507 3.494 3.479 3.37

. . . . . . 7.0 7.3 . . 7.0 7.2 7.0 7.2 . . . 0.0 . 0.0 . 0.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . -0.1 . . . 0.3 . . . . . . 7.32 7.53 7.33 7.45 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 1 1 4 2 4 4 1 4 3 2 2 2 3 4 1 1 3 1 2 1 4 1 1 2 1 1 4 5 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2

The1970 The1970 The1970 B__1959d Knp1960 B__1965a B__1967 Rak1981 Hln1975b Hln1976a Wor1978 vAd1985 vAd1985 Val1980c Fra1986 Jas1995 Tob2005a WRH1982 vAd1987 Wor1989 Pan1991 Sca1989 Pan1991 Jas1994 Hei1992a HIP1997a TYC2000c ADP1995 ADP1998 Hor2001b Pri1997a Msn1998b Hor1997 Hor2000 Hor2000 Hor2000 TMA2003 Hor2006 Hor2006 Hor2006 Hor2006 Hor2006 Hor2006 Hor2006 Hor2006 Hor2006 Hor2006 Ant2004

Keterangan: kolom 1 = tahun pengamatan kolom 2 = sudut posisi kolom 3 = separasi kolom 4 = magnitudo komponen primer kolom 5 = magnitudo komponen sekunder kolom 6 = katalog observasi WDS kolom 7 = kode referensi kolom 8 = apertur 67

24 24 24 26 26 26 26 40 40 40 60 24 24 26 04 24 48 26 24 36 24 15 24 24 24 54 07 40 40 84 26 157 24 24 24 24 51 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 14

H H H A A A A W B B B H H A A H G A H B H A H H B T T F F S A S S S S S E S S S S S S S S S S F

Q

Q

Q S R K R R R R B

S.Siregar


___________________________________________________________________________

kolom 9 = metode pengambilan data kolom 10 = kode (catatan)

Daftar Pustaka

Argyle, B., 2004 Observing and Measuring Visual Double Stars, Springer-Verlag, London Brendley, M. & Mason, B., IAUDS, 160R, 1B (6th Orbit Catalog) Heintz, W.D. 1967, Astronomische Nachrichten, 289, 269. Horeschi, E. 1958. Astronomische Nachrichten. 284, 57 Mason, B.D. 1995, Astronomical Journal, 109, 332. Siregar,S., 1976 Menentukan orbit ADS 1733 dengan koordinat α = 2h 15m.8 dan

δ = -180 14’ epoch 2000 dengan cra Thiele-Innes, Tugas Akhir Departemen Astronomi ITB Soderhjelm, S. 1999. Astronomy & Astrophysics. 341, 121.

68

Orbit Bintang Ganda Visual; Theori dan Aplikasi. Oleh Dr.Suryadi Siregar DEA

Recommend Documents