Optimisasi Terpadu Persoalan Inventori dan Persoalan Transfortasi dengan Metode ITIO ( Inventory Transfortation Integrated Optimization)

Prosiding Semirata FMIPA Universitas Lampung, 2013

Optimisasi Terpadu Persoalan Inventori dan Persoalan Transfortasi dengan Metode ITIO ( Inventory Transfortation Integrated Optimization) T.P.Nababan, Sukamto , Karinda Puspita N Jurusan Matematika Universitas Riau E-mail: [email protected] Abstrak. Makalah ini akan membahas metode ITIO ( Inventory Transfortation Integrated Optimization) yang merupakan solusi alternatif dari Optimisasi terpadu Persoalan Inventori dan Persoalan Transfortasi dengan produk tunggal. Keywords: Inventori, Transportasi

PENDAHULUAN Persoalan transportasi merupakan kasus khusus dari persoalan program linear dengan perencanaan pembiayaan minimum untuk mengatur pengiriman suatu produk yang sama dari sejumlah sumber ke sejumlah destinasi atau tempat tujuan. Perluasan model transportasi ini secara langsung meliputi situasi praktis dalam bidang inventori. Persoalan inventori muncul bila diperlukan untuk menyediakan atau pemesanan stok barang atau komoditas dengan tujuan untuk memenuhi permintaan sepanjang waktu tertentu, berhingga atau takberhingga. Persoalan transportasi dan inventori sangat berkaitan dengan persoalan optimisasi terpadu. Untuk menyelesaikan persoalan optimisasi terpadu pada inventori dan transportasi ini akan digunakan sebuah model alternatif yang disebut model ITIO (InventoryTransportation Integrated Optimization).

Persoalan Transportasi Dan Persoalan Inventori a. Persoalan Transportasi Persoalan transportasi merupakan kasus khusus dari persoalan program linear dengan perencanaan pembiayaan minimum untuk mengatur pengiriman suatu produk tunggal dari sejumlah sumber ke sejumlah destinasi atau tempat tujuan. Sebuah model transportasi dari suatu siklus dengan m sumber dan n tujuan, dimana ai adalah jumlah persediaan barang dari sumber i, dan b j adalah permintaan barang dari tempat tujuan j . Misalkan cij adalah biaya pengiriman per unit barang dari sumber i ke tujuan j dan xij adalah jumlah unit barang yang akan dikirimkan dari sumber i ke tujuan j , i  1, 2,, m dan j  1, 2,, n . Dengan demikian secara umum formulasi program linear dari persoalan transportasi adalah sebagai berikut [5: h. 93]

min z  m n c x   ij ij i 1

kendala

x i 1

n

x j 1

ij

j 1

m

ij

 b j , j  1, 2, , n

 ai , i  1, 2, , m

(kendala permintaan)

(kendala persediaan)

(1)

xij  0 , i  1, 2, , m ; j  1, 2, , n .

Semirata 2013 FMIPA Unila |537

T.P.Nababan dkk: Optimisasi Terpadu Persoalan Inventori dan Persoalan Transfortasi dengan Metode ITIO ( Inventory Transfortation Integrated Optimization) b. Persoalan Inventori Persoalan inventori muncul bila diperlukan untuk menyediakan atau memesan stok barang atau komoditas dengan tujuan untuk memenuhi permintaan sepanjang waktu tertentu, berhingga atau tak berhingga. Huanco Tang et al. [5: h. 93] menyatakan pada model inventori ini diasumsikan bahwa tidak ada shortage, permintaannya tetap dan kontinu, persediaan akan ditambah lagi setiap waktu t , banyaknya permintaan harus memenuhi kebutuhan Rt selama siklus dengan: Q  Rt Q = jumlah permintaan C1 = holding cost C 2 = ordering cost K = harga barang Sehingga diperoleh Biaya pemesanan = C2  KRt , (2) Rata-rata biaya pemesanan pada waktu C t = 2  KR, t 1 Rata-rata jumlah persediaan = Rt , 2 Rata-rata biaya menyimpan persediaan 1 = C1 Rt . 2 Diketahui rata-rata total biaya persediaan dalam siklus dinyatakan dalam bentuk matematis .: C (t ) 

C2 1  KR  C1 Rt t 2

(3)

Untuk mendapatkan nilai t yang membuat C(t) minimum dengan menggunakan kalkulus diperoleh min

t0 

2C2 C1 R

(4)

Kemudian uji persamaan (3) dengan uji turunan ke dua. Dari uji turunan ke dua dapat dilihat bahwa t0 adalah harga minimum yang membuat C(t) minimum, maka min C (t )  C (t 0 )  2C1C2 R (5) Berdasarkan persamaan (2), karena t0 minimum maka jumlah permintaannya

2C2 R (6) C1 Untuk menyatukan siklus permintaan, haruslah melakukan penyesuaian jumlah permintaan. Kemudian tentukan siklus standarnya menggunakan persanaan (5) sehingga jumlah permintaan setelah penyesuaian adalah sebagai berikut P  Q0  t 0  R (7) Model Itio Model ITIO (Inventory-Transportation Integrated Optimization) ini merupakan persoalan optimisasi terpadu yang sangat berkaitan dengan persoalan inventori dan persoalan transportasi. Diasumsikan bahwa pada tujuan tidak ada stok, persediaan tidak shortage, permintaan antar titik permintaan deterministik dan terjadi pada kelajuan konstan, total jumlah permintaan dari semua jumlah permintaan dari semua titik permintaan ditentukan. Misalkan m sumber dan n tujuan. Maka bentuk optimal model ITIO dapat ditulis sebagai berikut: Q0  Rt 0 

m n n m n 1 C   cij xij   ( w j   j ) h j   rij xij i 1 j 1 j 1 2 i 1 j 1

kendala

wj   n

w j 1

i 1

j 1

j

Q ,

ij

 wj ,

j

ij

 Bi ,

i

n

x

 Sj,

j

m

x

j

(8)

xij  0,

538| Semirata 2013 FMIPA Unila

j

Prosiding Semirata FMIPA Universitas Lampung, 2013

dengan cij = ordering cost dari sumber i ke tujuan j xij = jumlah barang yang dikirim dari sumber i ke tujuan j w j = jumlah barang yang dibutuhkan tujuan j

j

= persediaan awal tujuan j

h j = biaya penyimpanan unit barang tujuan j s j = stok aman (safe stock) tujuan j

Q = jumlah barang yang dibutuhkan rij = biaya pengiriman barang dari sumber i ke tujuan j

Bi = kapasitas persediaan sumber i Disini, wj dan xij adalah variable strategi. Pada persoalan (8), hal pertama yang dimaksudkan adalah biaya pemesanan, kedua adalah biaya inventori, ketiga adalah total biaya transportasi. Kendala pertama menunjukan bahwa penyimpanan pada setiap titik permintaan untuk setiap barang melebihi stok amannya, kedua menunjukan jumlah yang dibutuhkan dari semua titik permintaan untuk barang adalah total jumlah permintaannya, ketiga menunjukan bahwa total transportasi jumlah barang tujuan j adalah jumlah barang yang dibutuhkan, keempat menunjukan bahwa jumlah transportasi barang tujuan i lebih rendah dari kapasitas persediaannya. Contoh Persoalan Optimisasi Terpadu Distribusi perusahaan minyak pusat A1 dan A2 mengirimkanan satu jenis minyak ke empat pompa bensin, yaitu B1, B2, B3 dan B4. Tingkat permintaan R1 dari B1 adalah 15 ton per tahun, holding cost C1 adalah $160 per ton setiap tahun, ordering cost C2 adalah $240 setiap waktu pemesanan, harga barang $1000 per ton, dengan stok aman S1 adalah 1.4 ton; Untuk pompa bensin B2, dengan tingkat permintaan R2 adalah 25 ton per tahun, stok aman S2 adalah 2.8 ton, biaya yang lain di samakan dengan pompa bensin B1; Untuk pompa bensin B3, tingkat permintaan R3 adalah 20 ton per tahun, stok aman S3 adalah 2.2 ton, biaya yang

lain sama dengan pompa bensin B1; Untuk pompa bensin B4, tingkat permintaan R4 adalah 16 ton per tahun, stok aman S4 adalah 1.8 ton, biaya yang lain sama dengan pompa bensin B1. Dalam setiap siklus, perusahaan minyak pusat A1 dapat menyediakan 16 ton dan A2 dapat menyediakan 18 ton, Tabel 3.1 menunjukkan biaya pengiriman antara produk minyak pusat dan pompa bensin. Tabel 3.1 Tabel Biaya Pengiriman B3 UTC B2 B4 B1

A1 1300 1280 1050 1570 A2 1160 1440 1310 1250 Penyelesaian Model Inventori Penyelesaikan model inventori dari contoh permasalahan dengan menentukan persediaan akan ditambah lagi setiap waktu t dan banyaknya jumlah permintaan adalah dengan menggunakan persamaan (4) dan (6), diperoleh :  Untuk pompa bensin B1 : 2C 2 2  240 t0    0.45 tahun = 160  15

C1 R1

1

5,4 bulan Q01 

2C 2 R1  C1

2  240  15 160

= 6,7 ton

 Untuk pompa bensin B2 : t 02  0.35 tahun  4.2 bulan

Q02  8.7 ton  Untuk pompa bensin B3 : t 03  0.39 tahun  4.7 bulan

Q03  7.7 ton  Untuk pompa bensin B4 : t 04  0.43 tahun  5.2 bulan

Q04  6.9 ton Sebagai siklus pengiriman empat pompa bensin yang berbeda, untuk menurunkan biaya transportasi, haruslah menyatukan siklus ke empat pompa bensin tersebut. Untuk menyatukan siklus ke empat pompa bensin adalah dengan menentukan C(t) minimum, yaitu dengan menggunakan persamaan (5), diperoleh Semirata 2013 FMIPA Unila |539

T.P.Nababan dkk: Optimisasi Terpadu Persoalan Inventori dan Persoalan Transfortasi dengan Metode ITIO ( Inventory Transfortation Integrated Optimization) Kemudian untuk memperoleh rata-rata  min total persediaan dengan C (t 01 )  2C1C2 R1  2  160  240  15  $1073.31biaya menggunakan persamaan (3), maka min C (t 02 )  $1385.64 diperoleh  min C (t 03 )  $1239.35  Biaya persediaan dari B1 C 1  min C (t 04 )  $1108.51 C (t 01 )  2  KR1  C1 R1t 01 t 01 2 dari semua nilai min C (t ) dapat dilihat 0

240 1 5.4 bahwa nilai yang paling minimum adalah  5.4  1000  15   160  15  min C (t 01 ), maka t 01  5.4 merupakan ( 12 ) 2 12 siklus standar, maka berdasarkan = $.16073.persamaan (7) jumlah permintaan setelah Biaya persediaan dari B2 : C(t0 =$.26433. penyesuaian adalah  Biaya persediaan dari B3 : C(t0) = B1  Jumlah permintaan setelah $.21253. penyesuaian  Biaya persediaan dari B4 : C(t0) = t 01  t 01 $.17109. P1  Q01   R1 12 Jadi, jumlah total biaya persediaan = 5.4  5.4 B1  B2  B3  B4  6.7   15  6.7 ton 12 = $16073 + $26433 + $21253 + $17109 = B2  Jumlah permintaan setelah $ 80868.penyesuaian : P2 = 11.2 ton. Penyelesaian Persoalan Transportasi Fungsi tujuan dari persoalan B3  Jumlah permintaan setelah transportasi ini adalah meminimumkan penyesuaian : P3 = 8.9 ton B4  Jumlah permintaan setelah total biaya transportasi pada persoalan (1), yaitu : penyesuaian : P4 = 7.2 ton min z  1300 x11  1280 x12  1050 x13  1570 x14  1160 x21  1440 x22 

1310 x23  1250 x24 x11  x12  x13  x14  16 x 21  x 22  x 23  x 24  18 x11  x 21  6.7 Kendala x12  x 22  11.2 x13  x 23  8.9 x14  x 24  7.2 xij  0, i  1, 2,, m; j  1, 2,, n.

(9)

Tabel 1. Solusi Awal Persoalan Transportasi

B1 A1 A2 Permintaan 540| Semirata 2013 FMIPA Unila

1300 1160 6.7 6.7

B2 1280 7.1 1440 4.1 11.2

B3

B4

1050 8.9 1310

1570

8.9

Persediaan 16

1250 7.2 7.2

18 34

Prosiding Semirata FMIPA Universitas Lampung, 2013

Tabel 2. Solusi Optimal Persoalan Transportasi B3 B2 B1 1300

A1

-300

1280 7.1

1050 8.9

1160

1440

1310

A2

6.7

4.1

-100

Permintaan

6.7

11.2

8.9

B4 Persediaan 1570 -480

7.2

7.2

16

18 34

Persoalan transportasi ini dinamakan Sedangkan untuk menyelesaikan seimbang karena total jumlah permintaan persoalan transportasi ini digunakan sama dengan total persediaan. Solusi awal metode simpleks transportasi. Tabel 2 dari persoalan transportasi ini dapat di merupakan solusi optimal dari persoalan lihat pada Tabel 1. transportasi. Dari Tabel 2, dapat dilihat bahwa bahwa solusi optimal sudah diperoleh, yaitu x11  0, x12  7.1, x13  8.9, x14  0, x21  6.1, x22  4.2, x23  0, x24  7.2. . Dengan nilai fungsi tujuan z'  z  16 (0)  18 (160)  6.7 (1000)  11.2 (1280)  8.9 (1050)  7.2 (1090)  41109 . Jadi, biaya transportasi adalah $41109. Sehingga total biaya logistik transportasi dan inventori = $80868 + $41109 = $121977. Penyelesaian Optimisasi Terpadu Model ITIO Dalam menggunakan model ITIO, sesuai dengan jumlah persediaan yang dibutuhkan untuk mengirim barang, daripada pengiriman dilakukan saat tujuan membutuhkan. Jadi, ordering cost dapat diabaikan. Model ITIO pada persoalan (8) adalah sebagai berikut. 2 4 1  min C  1000 xij   ( w1  w2  w3  w4 )  160  1300 x11  1280 x12 2  i 1 j 1  1050 x13  1570 x14  1160 x21  1440 x22  1310 x23  1250 x24

w1  1.4 w2  2.8 w3  2.2 w4  1.8 w1  w2  w3  w4  34 Kendala

x11  x 21  w1  0

(10 )

x12  x 22  w2  0 x13  x 23  w3  0 x14  x 24  w4  0 x11  x12  x13  x14  16 x 21  x 22  x 23  x 24  18 xij  0, i  1, 2, , m; j  1, 2, , n.

Semirata 2013 FMIPA Unila |541

T.P.Nababan dkk: Optimisasi Terpadu Persoalan Inventori dan Persoalan Transfortasi dengan Metode ITIO ( Inventory Transfortation Integrated Optimization) Perhatikan kembali contoh soal di atas. Seluruh informasi yang ada dapat dilihat pada Tabel 3. Angka-angka yang ada dalam persegi kecil adalah nilai rij .Tabel 3 Solusi Awal Model ITIO

A1 A2 Permintaan

B1

B2

B3

B4

1300

1280

1050

1570

Persediaan 16

1160

1440

1310

1250 18

w1  1.4

w2  2.8

w3  2.2

w4  1.8

34

Untuk menyelesaikan persoalan optimisasi terpadu ini digunakan metode simpleks. Tabel 3.5 menunjukan bahwa solusi optimal sudah diperoleh, yaitu x11  0, x12  2.8, x13  13.2, x14  0, x21  16.2, x22  0, x23  0, x24  1.8. Tabel 3.5 Solusi Optimal Model ITIO

B1

B2

B3

1300

1280

1050

A1

2.8

1160

1440

2.8

16

1310

16.2

16.2

Persediaan

1570

13.2

A2

Permintaan

B4

13.2

1.8

18

1.8

34

Maka nilai fungsi tujuannya 1  z  1000  (0  2.8  13.2  0  16.2  0  0  1.8)    34  160   1300(0)  1280(2.8) 2   1050(13.2)  1570(0)  1160(16.2)  1440(0)  1310(0)  1250(1.8)  75206. Jadi, total biaya logistik model ITIO = $75206. Total biaya logistik transportasi dan Operations Research Edisi Keempat. inventori adalah $121977 dan total biaya Terj. dari Theory and Problems of logistik model ITIO adalah $75206. Operations Research, oleh Wospakrik, Sehingga dapat dilihat bahwa dengan H.J. Penerbit Erlangga, Jakarta. menggunakan model ITIO dapat Gamal, M. D. H. 2007. Program Linear menghemat total biaya logistik dari pada dan Integer. Penerbit Pusat menggunakan penyelesaian optimisasi Pengembangan Pendidikan Universitas persoalan transportasi dan inventori. Riau, Pekanbaru.

DAFTAR PUSTAKA Bronson, R. 1996. Teori dan Soal-soal

542| Semirata 2013 FMIPA Unila

Hillier, F. S. & G. J. Lieberman. 1995. Pengantar Riset Operasi Edisi Kelima : Jilid 1. Terj. dari Introduction to

Prosiding Semirata FMIPA Universitas Lampung, 2013

Operations Research, Fifth Editions, oleh Gunawan, E. & A. W. Mulia. Penerbit Erlangga, Jakarta. Siagian, P. 1987. Penelitian Operasional: Teori dan Praktek. Penerbit Universita Indonesia, Jakarta. Huanco Tang, Lixin Tian & Lin Jia. 2009. Inventory-Transportation Integrated

Optimization Problem: A Model of Product Oil Logistics. International Journal of Nonlinear Science. 1(8), 9296. Winston, W.L. 2004. Operations Research: Applications and Algorithms. International Student 4th Edition. Belmont, USA.

Semirata 2013 FMIPA Unila |543