Optimalizace tvaru geometrie šikmých ozubených kol za pomoci MKP použitím podélných a příčných modifikací Ing., Karel, PETR Abstrakt Článek popisuje metodiku výpočtu podélných a příčných modifikací šikmých ozubených kol za pomoci metody konečných prvků. Do metody je zahrnut vliv změn polohy a tvarů jednotlivých členů převodové skříně určených na základě MKP výpočtů a měření v provozu. Podélnou nebo příčnou modifikací dosáhneme lepších záběrových poměrů rovnoměrnějším rozložením zatížení po šířce zubu. Abstract This article describes the calculation method of longitudinal and transverse modifications of helical gears with help of finite element method. Impact of changes in location and shapes of individual part of gearbox are included in this method. Better gear mesh is achieved by modification at more uniform load distribution through a width of tooth. Klíčová slova Podélná a příčná modifikace, ozubená kola, MKP, převodová skříň, dotykový tlak 1. Úvod Tento článek se zabývá problematikou změny polohy a tvaru ozubených kol v záběru při zatížení a metodikou, která řeší kompenzaci těchto negativních jevů. Aplikace metody konečných prvků (MKP) na výpočet ozubení s respektováním reálných tvarů jednotlivých členů převodového ústrojí může proces optimalizace záběru ozubení velmi urychlit. Výsledky výpočtů slouží k posouzení změn v záběru boků zubů pod zatížením, především z hlediska nerovnoměrnosti zatížení zubů po šířce. Cílem metodiky je návrh optimalizovaného profilu ozubení s aplikací příčných a podélných modifikací získaných na základě analýzy výpočtového modelu MKP. 2. Důvody ovlivňující zatížení zubu po šířce Konečné záběrové podmínky ovlivňuje několik faktorů. Mezi nejvýznamnější patří odchylky od ideálních tvarů, vůle, montážní odchylky a deformace součástí převodového ústrojí. V tabulce 1 jsou znázorněny jednotlivé skupiny ovlivňující nerovnost zatížení zubu a důvody vzniku odchylky od ideálního tvaru.
Převodová skříň
Tabulka 1. Hlavní důvody nesprávného sezení ozubení Schéma Důvod
Způsob vyčíslení
Výrobní úchylka rovnoběžnosti os
Měření na tříosém měřícím centru
Deformace skříně
Výpočet MKP
Ložiska Hřídele Ozubení
Vůle v ložiscích
Data od výrobce ložisek
Deformace ložisek
Data od výrobce, nebo výpočet
Nesouosost konstrukčních válcových ploch
Měření nesouososti
Deformace hřídelí
Výpočet MKP
Deformace ozubení
Výpočet MKP
Výrobní odchylky ozubení
Měření - Klingelnberg
Konečnou polohu spoluzabírajících kol ovlivňuje zatížená geometrie převodové skříně, hřídele, ložisek a ozubených kol. Tyto součásti mají mezi sebou pevně stanovené vztahy, které jsou znázorněny na obrázku 1. Přev. skříň Konečná pozice uložení ložisek Ložiska Kon. úchylka v ložiscích
∑
Hřídel Deformovaný hřídel
Ozubení Deformované ozubení
Záběr
Obr.1. Vztahy ovlivňující záběr ozubení Zásadním členem, který ovlivňuje výpočtový postup, je hřídel. Dalším důležitým prvkem je převodová skříň, jejíž optimalizovaná konstrukce musí vykazovat dostatečnou tuhost pro uložení ložisek. Členem, který výpočet ovlivňuje na nižší úrovni, je ložisko. Samostatným problémem je tuhost vlastního zubu. 3. Metodiky návrhu modifikovaných ozubených kol pomocí MKP Metoda je záměrně rozdělena do několika etap a skupin součástí. Na obrázku 2 je znázorněn diagram metody. Postup při modelování a výpočtech vychází z možnosti separace dílčích úloh. Výstupní parametry získané v předchozím kroku jsou využity jako vstupní parametry kroku následujícího, ale zpětně také mohou být výsledky z vyššího kroku přenášeny do kroku nižšího s cílem optimalizace konstrukce.
Převod. skříň
Ložiska
Hřídele
Ozubení
Návrh převod. skříně
Výběr ložisek
Návrh hřídelí
Návrh ozub. kol
1
2
Příprava MKP skříně
Výroba skříně
MKP Výpočet skříně
Měření skříně
Pozice uložení ložisek
Získání dat o ložiskách
Příprava MKP hřídelí
Výroba hřídelí
MKP výpočet hřídelí
Měření hřídelí
Příprava MKP ozubení
Výrova ozubení
Měření ozubení
Deform. hřídele
MKP výpočet ozubení
3 Deform. ozubení
4
Dokončovací operace ozubení
Stanovení konečného profilu
Optimalizace profilu
Obr.2. Diagram metody V první etapě je proveden konstrukční návrh celé převodové skříně v 3D CAD systému. V druhé etapě je provedena příprava MKP výpočtů a paralelně se provádí výroba součástí a jejich důkladné proměření. CAD modely jsou zjednodušeny a připraveny v programu ABAQUS na MKP výpočty. Součásti převodové skříně, hřídelí a ozubení jsou připraveny v separátních modelech. Modely je nutné připravit na možnost parametrické změny geometrie, která bude později modifikována podle měření. Model skříně je zatížen v bodech představující průsečík osy hřídele a radiální osy symetrie ložiska pomocí reakcí. Výpočet tvaru ozubení, deformovaného při zatížení, je nejsložitější částí výpočtu. Pro stanovení optimalizovaného tvaru metodou konstantních kontaktních tlaků je nutné model připravit na kontaktní úlohu se zadáním kroutících momentů a uložení v poloze ozubení po započtení odchylek a deformací. Tento model ozubení vychází z [2]. Na konci druhé etapy probíhají MKP výpočty skříně a hřídelí v pořadí dle obrázku 2. Na základě výsledků získaných v předchozí etapě probíhá MKP výpočet ozubení s upraveným modelem. Pro porovnání probíhá i současně výpočet ozubení při ideálních záběrových poměrech a s podélnou modifikací. Cílem čtvrté etapy je stanovení konečného profilu ozubení. Optimalizace tvaru ozubení je řešena aplikací podélných a příčných modifikací, jejich vliv je ověřován výpočtem MKP.
3.1 MKP výpočet skříně Výsledkem výpočtu jsou prostorové dispozice bodů, které charakterizují vstupní polohu bodů hřídelí ( f xUi _ deform , f yUi _ deform _ i ). Na obrázku 3 vlevo je znázorněno uložení hřídelí ve skříni (ve skutečnosti jsou zuby šikmé) a na obrázku vpravo jsou znázorněny výslednice posuvů středů ložisek na skříň od sil vycházejících se záběru ozubených kol.
Obr.3. Směry posuvů bodů na skříň a vyznačení uložení hřídelí ve skříni Na obrázku 4 jsou znázorněny deformace na skříni a na obrázku 5 vlevo napětí od zatížení silami vznikajících při záběru ozubení, tedy od reakcí vzniklých od sil Fa, Fr a Ft.
Obr.4. Zobrazení deformace na skříni
Obr.5. Zobrazení napětí na skříni a síly působící na skříň od ozubení 3.2 MKP výpočet hřídelí Na obrázku 6 jsou znázorněny průhybové křivky na hřídelích získané z MKP výpočtu. Na základě těchto průhybu byly určeny úhly natočení ozubených kol, jež je vidět na obrázku 7. Průhyb hřídele (Pastorek)
Průhyb hřídele
0,04
0,02
0,0357807 Průhyb ve směru osy X Průhyb ve směru osy Y
0,0319569
0,03
0,0369581
Průhyb ve směru osy Y Průhyb ve směru osy X
0,00748541
0,015
0,00502022
0,02
0,01
0
100
200
300
400
500
600
-0,01
Průhyb [mm]
0
0,005
0 0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
-0,02 -0,0109205
-0,005
-0,0104054
-0,03
-0,0104837
-0,01 -0,04
-0,0141561 -0,011727 -0,015
-0,05
Délka hřídele [mm]
Délka hřídele [mm]
Obr.6. Zobrazení průhybových křivek na hřídelích Úhel natočení pastorku v rovině XZ
Úhel natočení pastorku v rovině YZ
330
340
350
360
370
380
-0,01044 -0,01046 -0,01048
0,005969743°
0,038
320
y [mm]
x [mm]
-0,0104 -0,01042310
9,34637E-05°
0,036 0,034 0,032 0,03 310
-0,0105
320
330
z [mm]
0,008
0,003362976°
-0,01 -0,011220 y [mm]
0,006 0,005 240
260 z [m m ]
350
360
370
380
Úhel natočení kola v rovině YZ
0,007
0,004 220
340
z [m m ]
Úhel natočení kola rovině XZ
x [mm]
Průhyb [mm]
0,01
280
300
240
260
-0,012 -0,013 -0,014 -0,015
0,003313742° z [mm ]
Obr.7. Zobrazení natočení kol od průhybů hřídelí
280
300
500
Odchylky podpory i hřídele ve směru x a z se vypočtou dle vztahů (1) a (2). Na obrázku 8 je znázorněna nová poloha hřídelí vypočtená dle vztahů (1)(2). Výsledkem výpočtu je prostorové uspořádání hřídele dané vlivem geometrie zúčastněných prvků a vlivem deformací od vnějších sil, jež jsou zobrazena na obrázku 6 jako průhybové čáry. Na obrázku 9 je vidět deformace hřídele s pastorkem.
kde
f xL _ i = f xU _ vyrob _ i + f xU _ deform _ i + ( f L _ vule _ i + f L _ deform _ i ) ⋅ sin ε i
(1)
f yL _ i = f yU _ vyrob _ i + f yU _ deform _ i + ( f L _ vule _ i + f L _ deform _ i ) ⋅ cos ε i
(2)
f xU _ vyrob _ i - výrobní odchylka od ideální polohy podpory ve směru x, f xUi _ deform _ i - odchylka daná deformací skříně ve směru x, f L _ vule _ i - radiální vůle ložiska i při zatížení, f L _ deform _ i - radiální odchylka daná deformací ložiska i,
ε - úhel směru zatížení ložiska i v rovině XZ. dělící rovina skříně
y uložení 2
z
ideální poloha hřídele
fyL_1
x
uložení 4
fxL_1 uložení 1
deformovaný hřídel uložení 3
nová poloha hřídele
pozice středu ozubení tenzor orientace ozubení
Obr.8. Zobrazení deformace na hřídeli
Obr.9. Zobrazení deformace hřídele s pastorkem 3.3 MKP výpočet ozubení Řešení kontaktní úlohy je prováděno v sestavě modelů ozubení, které jsou uloženy v souřadnicích průsečíků osy hřídele a čelních rovin ozubení na deformovaném hřídeli v dané rovině, mají nadefinovaný kontakt v záběru a jsou zatíženy momentem zátěže.
Na obrázku 10 je zobrazeno tlakové napětí při záběru. Na obrázku si můžete všimnout i záběrové přímky.
Obr.10. Zobrazení tlakového a Misesova napětí při záběru ozubení Obrázek 11 reprezentuje kontaktní tlak na pastorku při ideálním záběru šikmých ozubených kol v obecné poloze. Na obrázku 12 je zobrazen kontaktní tlak na pastorku při změně úhlu sklonu zubu o 0,015mm na konci. U obou variant začíná záběr z levé strany. Tlak na pastorku (ideální záběr)
Dotykové tlakovénapětí na boku zubu [MPa]
2000 1800 1600 1400 1200 1000 800 600 400 200 0 5
10
15
20
25
Šířka zubu [mm]
30
35
40
45
Obr.11. Zobrazení kontaktního tlaku na pastorku při ideálním záběru
Tlak na pastorku (podélná modifikace 0,015)
Dotykové tlakovénapětí na boku zubu [MPa]
2000 1800 1600 1400 1200 1000 800 600 400 200 0 5
10
15
20
25 Šířka zubu [mm]
30
35
40
45
Obr.12. Zobrazení kontaktního tlaku na pastorku při změně úhlu sklonu zubu o 0,015mm
4. Optimalizace profilu Při řešení se předpokládá iterační proces, který spočívá v parametrickém přetvarování ozubení. Stanovení konečné geometrie ozubení je možné uspíšit úpravou standardního profilu ozubení úhlovou modifikací. Na základe změn dotykových linií ve dvou rovinách XZ a YZ je určen úhel ∆β = ∆β x + ∆β y pro úhlovou modifikaci, kde je nutné dodržet znaménka dané smyslem šroubovice [1]. Změna polohy ozubení v rovině XZ a YZ je charakterizována na obrázku 13 pohybem bodu středu ozubení O12 a O34 o příslušné posuvy. δxO_12
z
ideální poloha hřídele
x O12
δxL_12
dxO_12
δx
nová poloha hřídele δxL_34
dxO_12
δxO_34
O34
deformovaný hřídel
nová poloha hřídele
δyO_12
O12 δyO_34
δy δyL_12
dyO_12 dyO_34 δyL_34
O34
y z
deformovaný hřídel ideální poloha hřídele
Obr.12. Pohyby kol v rovinách XZ a YZ Následné vyhodnocování probíhá metodou konstantních tlaků, která je náročnější na zkušenosti výpočtáře a zároveň na samotnou optimalizaci profilu. Tato metoda předpokládá zpracování posledního kroku výpočtu ve výpočtovém prostředí MKP softwaru ABAQUS. Je založena na postupném iteračním výpočtu, během kterého je upravován parametricky zadaný tvar zubů tak, aby došlo ke snižování kontaktního tlaku na spoluzabírajících plochách. Konec výpočtu je v okamžiku dosažení konstantních tlaků na spoluzabírajících plochách.
5. Závěr Způsob dosažení definitivního (modifikovaného) tvaru ozubení vychází ze zvyklostí předepisování příčných a podélných modifikací a zároveň je nutné se co nejvíce přiblížit optimalizovanému tvaru. V současné době jsou provedeny MKP výpočty na ozubení a to pro ideální záběr i pro záběr s uvažováním všech vstupních parametrů dle obrázku 2. V dalších krocích práce bude pomocí metody konstantních tlaků navržené modifikace ozubení porovnány mezi sebou a zároveň bude provedeno experimentální měření při zkrácených životnostních zkouškách ozubených kol. Další možnost porovnání se nabízí s komplexně řešenou kontaktní úlohou MKP celé sestavy v jednom kroku.
Poděkování Tato práce je součástí projektu MPO FT-TA2/017. Seznam použité literatury [1] MORAVEC, V., "Konstrukce strojů a zařízení II. Čelní ozubená kola (teorie, výpočet konstrukce, výroba, kontrola)“, Montanex a.s. Ostrava, 2001. [2] PETR, K., "Vliv tvaru paty zubu ozubeného kola na lokální stav napjatosti“, ČVUT Praha, 2007. [3] ZAK, P., DYNYBYL, V., "Metodika výpočtu podélných a příčných modifikací metodou konečných prvků“, ČVUT Praha, 2007. [4] BOŠANSKÝ, M., et al., "Možnosti vyhodnotenia poškodenia boku zubu pittingom", Zborník Vedeckých prác Nové trendy v konštruovaní a v tvorbe technickej dokumentácie, Nitra SK, 2006, s. 17-20.
