Optimale instelling centrale verwarming

Modelleren B 2WH02

Optimale instelling centrale verwarming

Michiel Schipperen (0751733)

Stephan van den Berkmortel (0770298)

Opdrachtgever: Jan ten Thije Begeleider: Georg Prokert

18 januari 2013

1

Summary

The aim of this project is to investigate what the optimal settings are for central heating if you want your room to be 21◦ C at 7.30AM, given that the room does not need to be heated during nighttime. The model used to solve the problem is derived from the temperature based power balance that can be denoted for systems consisting of a single room or multiple neighbouring rooms. This power balance will lead to a set of differential equations that, after solving it, describes all the rooms’ temperatures over time. The differential equations will be numerically solved using Matlab and plots and tables showing the amount of energy used for heating the room(s) during 2.5 days will be made for several different settings of coefficients concerning the room’s insulation and the room’s heat capacity. With these plots, questions about the use of a thermostat, as well as about the use of increasing the windows’ insulation will be answered. It turns out that lowering the thermostat overnight still costs more energy than turning it completely off. Another conclusion that can be deduced from the simulations is that bigger rooms have a bigger increase of saved energy when adding extra insulation to the room. The same goes for lowering the thermostat by one degree Celsius.

1

Inhoudsopgave 1 Summary

1

2 Inleiding 2.1 Probleemstelling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Doelstelling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Plan van aanpak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 3 3 3

3 E´ en-kamer model 3.1 Aannames en definities . . . . . . . 3.2 Vermogensbalans . . . . . . . . . . 3.3 De differentiaalvergelijking . . . . . 3.3.1 Analytisch oplossen . . . . 3.3.2 Numeriek oplossen . . . . . 3.4 Simulatie . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1 Literatuurwaarden . . . . . 3.4.2 Implementatie thermostaat 3.5 Tussenresultaten . . . . . . . . . . 3.5.1 De gesimuleerde kamer . . . 3.5.2 Fout in parameters . . . . . 3.5.3 Verklaring van de fout . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

4 4 4 5 5 6 6 6 7 8 8 9 11

4 Twee-kamer model 4.1 Definities . . . . . . . . . . . . . 4.2 Vermogensbalans . . . . . . . . . 4.3 Stelsel differentiaalvergelijkingen 4.4 De implementatie . . . . . . . . . 4.5 Méér kamers . . . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

12 12 12 14 14 15

5 Eindresultaten en conclusies 5.1 Deelvraag 1 . . . . . . . . . 5.2 Deelvraag 2 . . . . . . . . . 5.2.1 Eén kamer . . . . . . 5.3 Deelvraag 3 . . . . . . . . . 5.4 Deelvraag 4 . . . . . . . . . 5.5 Conclusies . . . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

15 15 16 16 17 19 19

. . . .

21 21 22 22 22

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

6 Appendix 6.1 Uitwerking differentiaalvergelijking . 6.2 Literatuurwaarden . . . . . . . . . . 6.2.1 Temperatuurmetingen KNMI 6.2.2 R-waarden . . . . . . . . . . 7 Bronvermelding

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

23

2

2

Inleiding

2.1

Probleemstelling

Fossiele brandstoffen worden steeds schaarser en energieprijzen gaan (onder andere hierdoor) omhoog. Toch wil ieder zijn huis in de koelere perioden kunnen verwarmen tot een comfortabele temperatuur. Over het algemeen wordt voor het verwarmen van een huis gebruik gemaakt van een CV-ketel (Centrale Verwarming), die zijn energie verkrijgt door het stoken van aardgas. Om zijn klanten tevreden te houden en nieuwe klanten aan te trekken is een producent van CV-ketels ge¨ınteresseerd in de optimale instelling voor zijn ketels. Een voorbeeld voor optimalisatie is het uitschakelen van de ketel gedurende de avond en nacht, wanneer niemand in de kamer aanwezig is, terwijl de kamer tijdens de rest van de dag natuurlijk wel op een comfortabele 21◦ C gehouden moet worden.

2.2

Doelstelling

Om een optimale instelling te vinden voor de verwarmingsketels - dat houdt in dat het gasverbruik zo laag mogelijk gehouden wordt zonder concessies te maken op het gebied van comfort - wil de producent het volgende weten: • Wanneer de CV ’s avonds en ’s nachts wordt uitgeschakeld, hoe laat moet deze in de ochtend weer worden ingeschakeld om het huis om 7.30u weer op een temperatuur van 21◦ C te krijgen? • Kost het minder energie wanneer ’s nachts de verwarming niet brandt en pas kort voordat de morgen aanbreekt gaat branden, dan wanneer ’s nachts de temperatuur op een bepaalde waarde wordt gehouden (en er ’s ochtends dus minder hard gestookt hoeft te worden om de kamer op 21◦ C te krijgen)? Als dit laatste het geval is, wat is dan de optimale temperatuur die de kamer moet hebben? • Hoeveel energie wordt bespaard indien de temperatuur in het huis overdag op 20◦ C gehouden wordt in plaats van op 21◦ C? • Wat is de energiebesparing wanneer het enkel glas van het huis wordt vervangen door dubbel glas?

2.3

Plan van aanpak

Onze aanpak begint bij het opstellen van een vermogensbalans voor iedere kamer. Wanneer gezocht wordt naar uitdrukkingen voor de vermogens die de balans opstellen, vinden we een (stelsel) differentiaalvergelijking(en) als resultaat. Als nu nog een ‘thermostaat’, die de aan- en uitschakeling van de CV regelt, ge¨ımplementeerd wordt, kan gekeken worden naar antwoorden op de deelvragen.

3

3

E´ en-kamer model

3.1

Aannames en definities

Aannames Om te beginnen worden nu een aantal aannames gemaakt die essentieel zijn voor de werking van het één-kamer model. Ten eerste wordt aangenomen dat de temperatuur in ieder punt van de kamer op elk willekeurig tijdstip bij benadering gelijk is. Met andere woorden nemen we aan dat de kamer gelijkmatig opwarmt/afkoelt zonder invloeden van warmtestraling en warmtestromingen in de kamer.i Ten tweede wordt er aangenomen dat de omgevingstemperatuur ook geldt voor de grond (of eventueel lucht) onder de vloer van de kamer. Ten derde wordt aangenomen dat de omgevingstemperatuur niet be¨ınvloed wordt door de warmte die van het huis naar buiten stroomt. Het effect van de warmte-energie uit het huis naar buiten toe is dus verwaarloosbaar. Verder wordt er in dit model in eerste instantie aangenomen dat de verwarming maar op één stand kan staan wanneer deze aan staat. Oftewel: hij levert een vast vermogen. Ten slotte wordt (voorlopig) aangenomen dat de ruimte slechts gevuld is met lucht en er dus geen meubilair in de kamer aanwezig is. Definities Nu worden enkele functies en coëfficiënten gedefinieerd die in heel dit hoofdstuk gebruikt zullen worden. Voor iedere functie/coëfficiënt is tevens zijn eenheid gegeven. Functies/coëfficiënten T (t) f (t) Pw (t) α β

3.2

beschrijving De temperatuur in de kamer op tijdstip t De omgevingstemperatuur op tijdstip t Het vermogen dat de radiator in de kamer levert op tijdstip t De warmte-overdrachtscoëfficiënt van de muren en het plafond van de kamer De warmtecapaciteit van de lucht in de kamer

eenheid [T ] = K [f ] = K [Pw ] = W [α] =

W K

[β] =

J K

Vermogensbalans

Met voorgenoemde definities en aannames kan nu de differentiaalvergelijking opgesteld worden. Dit wordt gedaan door een vermogensbalans op te stellen; het ‘effectieve’ vermogen Pef f (netto in-/uitstromend vermogen) is gelijk aan het vermogen Pw , dat wordt toegevoegd aan de kamer door de verwarming, m´ın het vermogen Pverl , dat via de muren, vloer en het plafond aan de kamer wordt onttrokken. Dit ziet er als volgt uit: Peff (t) = Pw (t) − Pverl (t).

(1)

Een schematische weergave van de kamer, met daarbij de vermogensstromen, is te zien in Figuur 1 i

In werkelijkheid is er wel degelijk sprake van warmtestromingen en -straling die een ongelijke temperatuur in de kamer teweeg brengen.

4

Figuur 1: Plattegrond van de kamer met bijbehorende vermogensstromen De drie termen die de vergelijking opstellen zijn als volgt gedefinieerd: • Pw : het vermogen van de verwarming zoals deze gedefinieerd is in Sectie 3.1. Er is aangenomen dat de CV twee waarden aan kan nemen: Pw = 0 ∨ Pw = a, waarbij a > 0 het vastgelegde vermogen van de verwarming is. • Pverl : dit is het vermogen dat ten gevolge van het verschil tussen binnen- en buitentemperatuur de kamer uitstroomt (of juist instroomt). Dit vermogen is recht evenredig met het verschil tussen de twee temperaturen T (t) en f (t). De proportionaliteitsconstante hierbij is de warmteoverdrachtscoëfficiënt α, die in Sectie 3.1 is gedefinieerd. Vermenigvuldiging van het temperatuurverschil met deze coëfficiënt levert de volgende uitdrukking: Pverl (t) := α(T (t) − f (t)). (2) NB: Pverl is positief wanneer er vermogen verloren gaat t.g.v. het warmteverschil tussen binnen en buiten. • Peff : het ‘effectieve’ vermogen. Met ‘effectief’ wordt het netto vermogen bedoeld dat aan de kamer wordt toegevoegd (Pw − Pverl ≥ 0) of aan de kamer onttrokken wordt (Pw − Pverl < 0). Peff (t) is dus de mate van verandering in warmte-energie in de kamer op een tijdstip t. Met andere woorden is dit vermogen proportionaal aan de temperatuur in de kamer afgeleid naar de tijd. De hierbij horende proportionaliteitsconstante is β, die in Sectie 3.1 gedefinieerd is. β legt de relatie tussen hoeveelheid materie en de gevoeligheid van die materie voor temperatuursveranderingen vast. De uitdrukking ziet er als volgt uit: dT Peff (t) := β · . (3) dt De drie termen in vermogensbalans (1) zijn nu volledig uitgedrukt in de definities uit Sectie 3.1. Uit substitutie van de uitdrukkingen in hun respectievelijke termen, ontstaat de differentiaalvergelijking voor het één-kamer probleem: β·

3.3 3.3.1

dT = Pw (t) − α(T (t) − f (t)). dt

(4)

De differentiaalvergelijking Analytisch oplossen

Vergelijking (4) geeft de eerste orde lineaire differentiaalvergelijking voor het één-kamer probleem. Deze kan relatief eenvoudig worden opgelost met behulp van bijvoorbeeld de integre5

rende factor methode. Dit geeft met beginvoorwaarde T (0) = T0 de oplossing gegeven door 5. De uitwerking kan teruggevonden worden in de Appendix, Sectie 6.1. Z t Pw (s) −kt ek(s−t) ( T (t) = T0 · e + + kf (s)) ds. (5) β 0 In het belang van overzichtelijkheid wordt de nieuwe variabele k := αβ ge¨ıntroduceerd. Wanneer alle componenten van de differentiaalvergelijking bekend zijn, geeft deze formule (5) de exacte temperatuur op een willekeurig tijdstip t ≥ 0. Hoewel deze formule een analytische beschrijving is van de kamertemperatuur, en deze voor een continue f (s) op te lossen is, zullen in de simulaties numerieke methoden toegepast worden. Hier is voor gekozen omdat voor f (s) een ge¨ınterpoleerde functie gebruikt zal worden en omdat het analytisch (laten) oplossen van de differentiaalvergelijking anders onnodig veel tijd zal gaan kosten. 3.3.2

Numeriek oplossen

Wanneer waarden voor de verschillende parameters en functies bekend zijn, kan numeriek een oplossing gevonden worden voor de differentiaalvergelijking. Hoewel deze methode natuurlijk onnauwkeuriger is dan de exacte oplossing, is deze methode beter bruikbaar voor het maken van simulaties vanwege zijn kortere rekentijd in vergelijking met de exacte methode. Alle simulaties van het één-kamer model zijn gemaakt met behulp van het programma Matlab (2012b). In Matlab kan met behulp van het algoritme ode45, dat standaard ge¨ımplementeerd is om (stelsels) differentiaalvergelijkingen op te lossen, de differentiaalvergelijking (4) numeriek opgelost worden. Een handige bijkomstigheid van dit algoritme is dat de gewenste nauwkeurigheid van de numerieke benadering aangepast kan worden. Hiermee kan de benadering dus dermate nauwkeurig gemaakt worden dat de fout onbeduidend is voor de doeleinden van dit project, natuurlijk wel deels ten koste van de rekensnelheid van het programma aangezien meer iteratiestappen gemaakt worden.

3.4

Simulatie

In dit deel van het verslag wordt uitgelegd hoe de gevonden oplossing van de differentiaalvergelijking gebruikt is om de onderzoeksvragen te beantwoorden, welke waarden gebruikt zijn als input voor de simulatie en welke afwegingen en keuzes er gemaakt zijn wat betreft α en β. 3.4.1

Literatuurwaarden

De functie van de buitentemperatuur die telkens gebruikt wordt in dit project is er een die gebaseerd is op temperatuurmetingen van drie opeenvolgende novemberdagen in Eindhoven, uitgevoerd door het KNMI. Deze meetwaarden zijn te vinden in de Appendix (Sectie 6.2.1). Om een functie te maken van metingen die slechts eens per uur verricht zijn, is gebruik gemaakt van het ‘spline-interpolatiealgoritme’ met behulp van de Matlab-functie interp1, waarmee een functie gemaakt wordt die de ingevoerde punten interpoleert. De warmtecapaciteit van de lucht in de kamer, (β), is afhankelijk van de massa van de lucht en van de soortelijke warmte - een stofeigenschap - ervan. Omdat de massa van de lucht afhangt van het formaat van de kamer, is geen vaste β te geven. Echter is er wel een uitdrukking voor te geven: β := c · m = c · ρ · Vkamer (6) 6

Hierin is c de soortelijke warmte van lucht in

J K·kg ,

m de massa van de lucht in kg, ρ de

kg m3

en Vkamer het volume van de kamer in m3 . dichtheid van de lucht in Voor het berekenen van α zijn gegevens nodig van het plafond, de muren, de vloer, en de ramen: het moet bekend zijn van wat voor soort materiaal ze zijn gemaakt, hoe dik dit materiaal is en hoe groot het oppervlak ervan is. Het materiaal (of de materialen) waarvan bijvoorbeeld een muur gemaakt is, bepaalt zijn zogenaamde ‘R-waarde’, een stofeigenschap die de mate waarin de stof warmte doorlaat aangeeft. Hoe beter een stof isoleert, hoe hoger zijn R-waarde is. Een tabel met een aantal veel voorkomende materialen en hun bijbehorende R-waarden is te vinden in de Appendix (Sectie 6.2.2). Met behulp van deze waarden en de gegevens over de formaten van alle wanden van de kamer is de warmte-overdrachtscoëfficiënt α als volgt te berekenen: A α= . R·d 2

Hierin is R de R-waarde van de muur, met als eenheid K·s·m J·in , is d de dikte van de muur in in en is A het oppervlak van de muur in m2 . Nu hoeft alleen nog het vermogen dat de verwarming kan leveren bepaald te worden. Hiervoor is het handig gebleken om gebruik te maken van een applicatie op de website van ‘P erfectk eur’ (zie Bronvermeldingen, Sectie 7). De website geeft namelijk een indicatie van hoeveel vermogen de verwarming ongeveer moet hebben voor het opwarmen van een kamer van een ingevoerd formaat en mate van isolatie. 3.4.2

Implementatie thermostaat

Om te beheersen wanneer de verwarming aan of uit moet afhankelijk van de temperatuur in de kamer, moet een thermostaat ge¨ımplementeerd worden in de simulatie. Dit wordt gedaan door voor het volgende tijdsinterval, zeg 10 minuten, de huidige temperatuur te ‘meten’ en aan de hand van deze waarde te beslissen of de verwarming aan of uit moet voor dat tijdsinterval. Voor de implementatie van de simulatie betekent dit dat het oplossen van de differentiaalvergelijking wordt opgedeeld in stukken van 10 minuten. Om de ‘volledige’ oplossing te krijgen, ontstaat er nu een soort van recursie. Zoals verwacht, begint de simulatie bij de startwaarde T0 . Aan de hand van deze waarde wordt besloten of de verwarming de eerste 10 minuten van de simulatie aan of uit moet staan. Met deze beslissing wordt het eerste tijdsinterval gesimuleerd met T0 als beginwaarde en met de verwarming aan of uit. De resultaten hiervan worden weggeschreven naar een array. Voor de volgende 10 minuten wordt nu, aan de hand van de laatst berekende kamertemperatuur uit de array, beslist of de verwarming voor de volgende 10 minuten aan moet staan en wordt vervolgens de differentiaalvergelijking verder opgelost met de laatst berekende kamertemperatuur als startwaarde. De resultaten van dit interval worden achteraan de array toegevoegd. Dit proces blijft zich herhalen tot de lengte van het gewenste totale tijdsinterval is bereikt, waarbij de array op dat moment de volledige numerieke oplossing heeft van de differentiaalvergelijking. Naast de ‘basis’ van de thermostaat moet ook de dag- en nachtcyclus ge¨ımplementeerd worden. Daarvoor is het niet handig om de simulatie te laten beginnen om 12 uur ’s nachts. De verwarming staat dan namelijk uit en het is niet bekend hoe het temperatuurverlies precies loopt gedurende die periode, dus kan er geen initiële temperatuur gekozen worden. Daarom is er besloten om in de eerste dag vanaf 12 uur ’s middags te beginnen met simuleren (er wordt dus slechts 2,5 dag gesimuleerd). Van deze starttemperatuur is namelijk aangenomen dat deze 7

de gewenste temperatuur, 20◦ C of 21◦ C, is. Met deze nieuwe startwaarde kan gemakkelijk een tijdstip gekozen worden om de verwarming uit te zetten, bijvoorbeeld 18:00u voor kantoren of 23:00u voor een woning (in dit verslag wordt uit gegaan van een kantoor). Vanaf het punt waarop de thermostaat wordt uitgeschakeld (of lager wordt gezet), tot het punt waar deze weer wordt ingeschakeld, wordt nu met behulp van rekenen in mod(24) het vermogen dat de verwarming levert in deze periode lager/uit gezet. Dit resulteert in de simulatie van een nachtcyclus.

3.5 3.5.1

Tussenresultaten De gesimuleerde kamer

Voor de kamer die gesimuleerd wordt, is een kantoorwerkruimte gekozen van 6 × 4 meter met een hoogte van 2.60m. Er bevindt zich één raam van enkel glas met afmetingen 3 × 1.5 meter aan de korte zijde van de kamer. Voor de muren is een opbouw gekozen gelijkend aan die van een spouwmuur. Een spouwmuur bestaat uit twee bakstenen muren (3.5 inch dik) met een ruimte (3 inch) ertussen. Deze ruimte kan gevuld zijn met louter lucht, maar er kan ook isolatiemateriaal worden aangebracht tussen de muren voor extra isolatie. Dit laatste wordt bij deze simulatie toegepast. Als materiaal voor de vloer en het plafond is gekozen voor gegoten beton van 5 inch dikte. Een extra eigenschap van dit beton is dat er luchtbellen in zijn ingesloten, wat het isolatievermogen bevordert. De applicatie van ‘P erfectk eur’ adviseert aan de hand van bovengenoemde gegevens om een verwarming met een vermogen van 5103 Watt. Verder kan aan de hand van bovenstaande gegevens de warmte-overdrachtscoëfficiënt α en de warmtecapaciteit β berekend worden. Met al deze gegevens (en de temperatuurfunctie gedefinieerd in Sectie 3.4.1) kan een eerste simulatie gemaakt worden met starttemperatuur en gewenste temperatuur van 21◦ C (294 K). De plot van deze simulatie is weergegeven in Figuur 2. 80 Temperatuur kamer Buitentemperatuur 70

Temperatuur (graden Celsius)

60

50

40

30

20

10

0 −10

0

10

20 Tijd (uren)

30

40

50

Figuur 2: Plot met parameters en functies aan de hand van de literatuur 8

In dit figuur is duidelijk te zien dat iets in de parameters niet klopt. Zo koelt de kamer af met een gemiddelde snelheid van ongeveer 5.5 graden per uur. Dit zou betekenen dat een kamer ’s nachts van 21 ◦ C in 4 uur dezelfde temperatuur heeft als buiten, terwijl normaliter een kamer gedurende een nacht hooguit afkoelt naar ongeveer 10 ◦ C met de gespecificeerde buitentemperatuur. Daarnaast is het opmerkelijk dat de temperatuur binnen 10 minuten stijgt van 20◦ C naar 70◦ C. Alhoewel het ideaal zou zijn om een hele kamer te kunnen verwarmen met een aantal kaarsen, leert de werkelijkheid dat dit niet het geval is. 3.5.2

Fout in parameters

Er is besloten het geadviseerde vermogen voor de verwarming als waar te veronderstellen. De onrealistische resultaten van Figuur 2 worden gecorrigeerd via de parameters α en β. De keuze om juist deze parameters aan te passen (in plaats van de capaciteit van de verwarming) is gemaakt, omdat de nadruk bij dit project ligt op het gebruik en de energiebesparing van de verwarming. Meerdere bronnen (terug te vinden in Sectie 7) gaven hetzelfde advies voor het vereiste vermogen van deze kamer. Dit geeft enige mate van betrouwbaarheid en daarnaast is het dan ook aannemelijk dat deze vermogens daadwerkelijk worden gehandhaafd. Voor de correctie van α en β wordt aangenomen dat de verwarming krachtig genoeg is om een enigszins ge¨ısoleerde kamer van 10◦ C terug naar 21◦ C te kunnen verwarmen in ongeveer 2 uur. Daarnaast wordt verondersteld dat met de gebruikte gegevens voor de buitentemperatuur de kamer gedurende een nacht niet verder af zal koelen dan 10 ◦ C. Om geschikte α en β waarden te vinden die de differentiaalvergelijking laten voldoen aan genoemde criteria, worden verschillende simulaties uitgevoerd die de twee parameters uit de literatuur verschalen met ieder een bepaalde correctiefactor. Voor zowel de waarde α als de waarde van β bleek te gelden dat deze groter moest worden; α is namelijk gecorrigeerd met een factor 4.7 en β met een factor 40 (deze factoren blijken ook te werken voor andere afmetingen van de kamer). Dat het model met de nieuwe parameters voldoet aan het criterium van afkoeling, wordt geverifieerd door een simulatie te doen met de parameters zonder invloed van een verwarming (het afkoelingsproces blijft dus over). Een plot van de resultaten is te vinden in Figuur 3.

9

25 Temperatuur kamer Buitentemperatuur


20

15

10

5

0

−5

−10

0

10

20 Tijd (uren)

30

40

50

Figuur 3: Plot met nieuwe parameters die een realistisch temperatuurverloop beschrijven, zonder verwarming

Uit deze plot volgt dat het circa 10 uur duurt om de kamer af te laten koelen naar de buitentemperatuur. In de plot is ook het isolerende effect van de spouwmuren nu goed terug te zien. Zo is de binnentemperatuur nauwelijks vatbaar voor de temperatuurschommelingen in het tijdsinterval [-6, 8] en wordt ook warmte buiten gehouden (zie bijvoorbeeld tijdsinterval [10, 16]). Kortom kan uit Figuur 3 geconcludeerd worden dat de verhouding tussen α en β nu goed is. Door simpelweg de verwarming weer aan te zetten met het geadviseerde vermogen en te simuleren, is ook te zien dat nu ook het opwarmen van de kamer verloopt zoals verwacht en ontstaat dus de gewenste realistische situatie. De resultaten van deze simulatie zijn te zien in Figuur 4.

10

25


20

15

10

5

0 Temperatuur kamer Buitentemperatuur −5

−10

0

10

20 Tijd (uren)

30

40

50

Figuur 4: Plot met het geadviseerde vermogen en gecorrigeerde α en β 3.5.3

Verklaring van de fout

De precieze oorzaak van de onrealistische resultaten bij het gebruiken van waarden uit de literatuur kan aan meerdere dingen te wijten zijn. Zo zitten er bijvoorbeeld geen deuren, kieren schoorstenen en dergelijke in de gesimuleerde kamer, waar warmte uit kan ontsnappen naar buiten (en koude lucht de kamer in kan komen). Daarnaast heeft deze afsluiting van de kamer met de buitenlucht ook tot gevolg dat de lucht zich anders gaat gedragen bij temperatuurveranderingen. Wanneer een gas namelijk warmer wordt, zal ofwel het gas uitzetten (volume wordt groter) ofwel de druk groter worden in de ruimte (denk bijvoorbeeld aan een fluitketel). In een doorsnee huis zou sprake zijn van het eerste geval, doordat warme lucht via de kieren en openingen ontsnapt en de druk in de kamer onveranderd blijft. In het geval van de gespecificeerde kamer, waar geen openingen zijn, zou de druk dus groter moeten worden gezien het gas uit wil zetten maar nergens heen kan. Hier is in het model geen rekening mee gehouden, wat de foutieve waarde van β kan verklaren. Wat ook invloed kan hebben op de foute waarde van β is de aanname dat de kamer gevuld is met enkel lucht. Andere (vaste) materialen en voorwerpen hebben grotere dichtheden en misschien ook een hogere soortelijke warmte, waardoor het meer energie kost om alle materialen, gassen en voorwerpen te verwarmen tot de gewenste temperatuur. Het ontbreken van kieren en openingen heeft misschien ook invloed op α. Bij het berekenen van α worden alleen de muren, de vloer en het plafond (en het raam) als mogelijke oppervlakken beschouwd waar warmte door naar buiten kan stromen, wat betekent dat ook hier geen rekening gehouden wordt dat warmte sneller en makkelijker door openingen wegstroomt. Ook kan het zijn dat de α gevonden in de literatuur niet van toepassing is op dit model, met de reden dat de aannames die gemaakt zijn voor het berekenen van α in de literatuur niet overeenkomen met de aannames die gemaakt zijn voor dit model. De toepassing van α in de

11

literatuur kan bijvoorbeeld bedoeld zijn voor modellen die wèl rekening houden met warmtestromingen. De precieze aannames die gemaakt zijn voor α zijn echter niet teruggevonden in de literatuur en het gewicht van deze verklaring is daarom discutabel.

4

Twee-kamer model

Dit deel van het verslag zal gaan over de uitbreiding van het model waarmee naar twee aangrenzende kamers wordt gekeken in plaats van een enkele kamer. In de rest van dit verslag zal gerefereerd worden naar “kamer 1” en “kamer 2”. Dit zijn de namen die gegeven zijn aan de verschillende kamers. Beide kamers kunnen verschillende formaten hebben, hebben hun eigen, apart in te stellen verwarming en kunnen zelfs wanden hebben van ander materiaal en dikte. Om deze reden, zullen er nieuwe definities moeten komen voordat er een nieuw model gemaakt kan worden.

4.1

Definities

Alle definities zullen in grote lijnen hetzelfde zijn als van het 1-kamer model. We definiëren: Functies/coëfficiënten Ti (t) f (t) Pi (t) αi α21 βi

4.2

beschrijving De temperatuur in kamer i ∈ {1, 2} op tijdstip t De omgevingstemperatuur op tijdstip t Het vermogen dat de radiator in kamer i ∈ {1, 2} levert op tijdstip t De warmte-overdrachtscoëfficiënt van de muren en het plafond van kamer i ∈ {1, 2} De warmte-overdrachtscoëfficiënt van de muur die kamers 1 en 2 scheidt De warmtecapaciteit van de lucht in kamer i ∈ {1, 2}

eenheid [Ti ] = K [f ] = K [Pi ] = W [αi ] =

W K

[α21 ] = [βi ] =

W K

J K.

Vermogensbalans

Net als bij het 1-kamer systeem, kan voor dit systeem gemakkelijk een vermogensbalans opgesteld worden. Echter zullen er nu meerdere vergelijkingen opgesteld moeten worden, omdat er nu gekeken wordt naar het effectieve vermogen in elk van beide kamers. Wederom zal in beide kamers het ‘effectieve’ vermogen gelijk zijn aan het ‘instromende’ vermogen min het ‘uitstromende’ vermogen. Dit ziet er als volgt uit: ( P1 eff (t) = P1 (t) + P2→1 (t) − Pverl1 (t) (7) P2 eff (t) = P2 (t) − P2→1 (t) − Pverl2 (t). Een schematische weergave van het systeem met daarin de ‘vermogensstromen’ is te zien in Figuur 5

12

Figuur 5: Schematische plattegrond van een 2-kamer systeem

De termen die de vergelijkingen opstellen zijn als volgt gedefinieerd: • Pi : het vermogen van de verwarming in kamer i ∈ {1, 2}, zoals deze in Sectie 4.1. Er is, net als bij Pw in het 1-kamer model, aangenomen warmingen een vast vermogen kunnen leveren. Echter hoeft het niet de twee verwarmingen dezelfde capaciteit hebben. Er geldt dus: P1 = P2 = 0 ∨ P2 = b voor a, b > 0.

gedefinieerd is dat beide verzo te zijn dat 0 ∨ P1 = a en

• Pverl i : het vermogen dat ten gevolge van het verschil tussen binnen- en buitentemperatuur kamer i ∈ {1, 2} uit- of instroomt. Dit vermogen is recht evenredig met het verschil tussen de temperaturen Ti (t) en f (t). De proportionaliteitsconstante hierbij is warmteoverdrachtscoëfficiënt αi , die in Sectie 4.1 is gedefinieerd. Vermenigvuldiging van het temperatuurverschil met deze coëfficiënt levert de volgende uitdrukking: Pverl i := αi (Ti (t) − f (t)). NB: Pverl i is zo gedefinieerd dat hij positief is wanneer er vermogen uit de kamer verloren gaat naar buiten. • P2→1 : het vermogen dat van kamer 2 naar kamer 1 stroomt, ten gevolge van het temperatuurverschil tussen beide kamers. Dit vermogen is proportioneel aan het temperatuurverschil (T2 (t) − T1 (t)) en P2→1 (t) is positief wanneer T2 (t) > T1 (t). De bijbehorende lineariseringsconstante is α21 . Dit levert: P2→1 (t) := α21 (T2 (t) − T1 (t)). • Pi eff : het netto vermogen dat aan kamer i ∈ {1, 2} wordt toegevoegd (of onttrokken, wanneer Pi eff < 0). Pi eff (t) is evenredig met de mate van verandering in warmteenergie in kamer i op tijdstip t en dus met de temperatuur in de kamer afgeleid naar de

13

tijd. De hierbij horende proportionaliteitsconstante is βi , die gedefinieerd is in Sectie 4.1. De uitdrukking ziet er dus als volgt uit: Pi

eff (t)

:= βi ·

dTi . dt

Substitutie van alle bovengenoemde uitdrukkingen in vermogensbalans 7 levert het volgende stelsel differentiaalvergelijkingen: ( 1 β1 · dT dt = P1 (t) + α21 (T2 (t) − T1 (t)) − α1 (T1 (t) − f (t)) (8) 2 β2 · dT dt = P2 (t) − α21 (T2 (t) − T1 (t)) − α2 (T2 (t) − f (t)).

4.3

Stelsel differentiaalvergelijkingen

Het gevonden stelsel differentiaalvergelijkingen kan genoteerd worden als een vectorwaardige differentiaalvergelijking - lijkend op de differentiaalvergelijking (4) van het 1-kamer model d van de vorm dt T = AT + P + F . De termen in deze vergelijking zijn als volgt gedefinieerd: ! • A :=

−α21 −α1 β1 α21 β2

α21 β1 −α21 −α2 β2

• T (t) :=

T1 (t) T2 (t)

!

• P (t) :=

P1 (t) β1 P2 (t) β2

• F (t) :=

α1 f (t) β1 α2 f (t) β2

een matrix van constanten

!

De vectorwaardige differentiaalvergelijking ziet er dan als volgt uit: ! ! α21 −α21 −α1 P1 d T1 T 1 β1 β1 β1 = + + α21 −α21 −α2 P2 T2 dt T2 β2 β2 β2

α1 f β1 α2 f β2

! .

(9)

Met beginvoorwaarde T (0) = Tˆ0 , is de oplossing van deze differentiaalvergelijking als volgt: T (t) = e−At Tˆ0 +

Zt

eA(s−t) (P + F )ds

(10)

0

4.4

De implementatie

Om dezelfde redenen als bij het 1-kamer model wordt niet voorgenoemde analytische oplossing van de differentiaalvergelijking, maar een numerieke benadering gebruikt voor het beantwoorden van de onderzoeksvragen. Dit wordt wederom gedaan gebruikmakend van het ode45 algoritme in Matlab. De methoden om alle parameters (inclusief de functie f (t)) te bepalen zijn gelijk aan die bij het 1-kamer model, evenals de implementatie van de thermostaat. Nu is er echter geen sprake meer van een vaste verhouding α : β. Wel zal het nu zo 14

2 moeten zijn dat αβ = αβ11 +α +β2 , naast het feit dat het ’s nachts afkoelen van beide kamers nog steeds realistisch moet verlopen. Om consistentie tussen het 1-kamer en het 2-kamer model te handhaven, moet wel een nieuw criterium worden ingevoerd. Wanneer in een systeem met 2 kamers de tussenmuur verwaarloosbaar gemaakt wordt, dus α21 = 0, zal een een 1-kamer systeem moeten ontstaan die hetzelfde temperatuurverloop vertoont. Om dit te realiseren moet gelden dat de som van de twee warmte-overdrachtscoëfficiënten en de som van de warmtecapaciteiten gelijk moet zijn aan de respectievelijke coëfficiënten α en β van het bijbehorende 1-kamer geval. Verder kunnen bij de thermostaat nu verschillende temperaturen ingesteld worden voor de twee kamers.

4.5

M´ e´ er kamers

Natuurlijk bestaat een gemiddeld huis uit meer dan twee kamers. Daarom wordt nu een vooruitblik gegeven over hoe een gebouw met meerdere verdiepingen en een willekeurig aantal kamers gesimuleerd kan worden. Zo’n probleem heeft namelijk veel weg van het 2-kamer probleem, alleen kan nu een kamer door meerdere kamers (ook van boven en onder) omgeven worden, waardoor meerdere warmtestromen tussen de kamers kunnen lopen. Voor het simuleren van n ∈ N kamers moet dus een stelsel van n differentiaalvergelijkingen worden opgelost, waarbij de vergelijkingen meerdere termen Pj→i kunnen bevatten. Pj→i is hier het vermogen dat van kamer j naar kamer i stroomt. Het temperatuurverloop van kamer j = 1 . . . n wordt beschreven door differentiaalvergelijking 11. n X dTj βj · αji (Tj (t) − Ti (t)) (t) = Pj (t) − αj (Tj (t) − f (t)) − dt

(j = 1 . . . n)

(11)

i=1,i6=j

Hierin geldt dat αji = αij omdat deze coëfficiënt betrekking heeft op het oppervlak dat kamer i van kamer j scheidt. Wanneer twee kamers i en j niet in directe verbinding staan, zijn Pj→i en Pi→j 0. Door het stelsel van n differentiaalvergelijkingen numeriek op te lossen, kan dus een benadering gegeven worden voor het temperatuurverloop in iedere kamer. Omdat een kamer nu door een groot aantal andere kamers omgeven kan worden die allemaal hun individuele verwarming hebben, kan het zijn dat sommige kamers al voldoende verwarmd worden door de warmte die binnenstroomt vanuit zijn omliggende kamers.

5 5.1

Eindresultaten en conclusies Deelvraag 1

Door het genereren van nieuwe parameters α en β om de onrealistische resultaten te corrigeren, brengt het beantwoorden van deze deelvraag problemen met zich mee. De tijd die de verwarming nodig heeft om de kamer(s) te verwarmen, is namelijk afhankelijk van deze ‘gevonden’ parameters. Daardoor kan ieder gewenst verwarmingsinterval gecreëerd worden door α en β aan te passen, waardoor het beantwoorden van deze deelvraag met het huidige model geen overtuigend resultaat biedt. Wat wel noemenswaardig is, is dat de mate van opwarming zich bij benadering lineair gaat gedragen als de parameters α en β de criteria beter benaderen. Wanneer één keer metingen gedaan worden om de mate van opwarming te bepalen gedurende een nacht, kan met de volgende methode bepaald worden wanneer de verwarming aan zou moeten gaan om om 7.30u 15

weer de gewenste temperatuur in de kamer te hebben: Stel op de eerste plaats de gewenste temperatuur voor de kamer vast. Bepaal vervolgens het verloop van de kamertemperatuur door vanaf 7.30u (met als temperatuur de gewenste temperatuur) de grafiek lineair af te laten lopen naar links met als helling de mate van verwarming (als het ware wordt terug in de tijd gerekend). De verwarming moet worden aangezet op het tijdstip tstart , wanneer de binnentemperatuur op tijdstip tstart overeenkomt met de temperatuur tijdens het lineaire deel op tstart . Deze methode is ook toe te passen op het twee (of meer) kamer systeem, door voor iedere individuele kamer een gewenste temperatuur vast te stellen en vervolgens analoog aan het één-kamer probleem de starttijden van de verwarmingen te bepalen.

5.2 5.2.1

Deelvraag 2 E´ en kamer

Bij het analyseren van deze deelvraag is de kamer meerdere malen gesimuleerd met verschillende instellingen van de thermostaat om na te gaan of bij één of meer instellingen het totale energieverbruik lager is dan het energieverbruik bij uitschakeling van de thermostaat gedurende de nacht. Ook is bij het onderzoeken van deze deelvraag de aanname geschrapt dat de verwarming slechts één stand heeft (dus de verwarming heeft een variabel vermogen gekregen). Dit is gedaan om te onderzoeken of extra aanpassingen aan de verwarming betere resultaten kunnen leveren. De ‘nachtthermostaat’ zal met verschillende vermogens worden gesimuleerd (deze aangepaste vermogens worden alleen ’s nachts gebruikt). Per vermogensinstelling zullen ook verschillende thermostaattemperaturen gesimuleerd worden om de ideale instelling van de thermostaat in te sluiten. De resultaten voor de 6×4 kamer, gespecificeerd in Sectie 3.5.1 staan in Tabel 1. Vermogen nachtverwarming (kW)

Temperatuur nachtthermostaat (◦ C)

Uitgeschakeld 5,10

4,08

3,06

2,04

11 14 15 11 14 15 11 14 15 11 12 14 15

Verbruikte energie (MJ)

Verschil t.o.v. uitschakeling (MJ)

134.7 134.7 143.9 147.0 135.3 142.7 147.6 134.7 140.8 146.4 134.1 137.8 142.1 145.7

0 +9.2 +12.3 +0.6 +8.0 +12.9 0 +6.1 +11.7 -0.6 +3.1 +7.4 +11.0

Tabel 1: Verschillende instellingen van de nachtthermostaat in een kamer van 6×4 meter Wat opvalt is dat bij een lage temperatuurinstelling èn een lager vermogen gedurende de 16

25

25

20

20



nacht minder energie verbruikt wordt, dan wanneer de verwarming ’s nachts helemaal wordt uitgeschakeld. Dit is strijdig met de overige resultaten, gezien het energieverbruik van andere instellingen veel groter is. Om na te gaan wat er precies gebeurt, worden de plotjes van de kamer waarin de verwarming ’s nachts uit staat en betere thermostaatinstellingen (vermogen van de verwarming ’s nachts is 2,04 kW en de thermostaat is ingesteld op 11◦ C) langs elkaar gelegd.

15

10

5

15

10

5

0

0

Temperatuur kamer Buitentemperatuur

Temperatuur kamer Buitentemperatuur −5

−5 −10

0

10

20 Tijd (uren)

30

40

50

Figuur 6: Thermostaat uit

−10

0

10

20 Tijd (uren)

30

40

Figuur 7: Energiebesparende instelling

De kans is groot dat de energiebesparing bij toeval tot stand gekomen is. De kleine sprongetjes gedurende de nacht compenseren waarschijnlijk voor de eerste 10 minuten die de verwarming op maximaal (= het geadviseerde) vermogen had moeten stoken bij de ‘standaard’ nachtcyclus. In Figuur 7 geeft de nachtthermostaat een klein zetje bij het stoken voor de ochtend waardoor de temperatuur nét iets eerder 21◦ C bereikt en de thermostaat de verwarming dus een keer uitzet in plaats van aan. Dit is de oorzaak van het feit dat deze instelling energie bespaart. Omdat deze instelling bij toeval energie bespaart en de methode waarop deze de energiebesparing teweeg brengt moeilijk reproduceerbaar is, wordt geconcludeerd dat deze uitblinker niet als representatief moet worden opgevat.

5.3

Deelvraag 3

Om te bekijken hoeveel energie bespaard wordt wanneer de thermostaat een graad lager gezet wordt, zijn simulaties gedaan van een 6×4 kamer en een 10×7 kamer. De waarden van α en β zijn dezelfde als die gebruikt zijn bij het beantwoorden van Deelvraag 2 en de simulaties zijn uitgevoerd met de thermostaat op 20 ◦ C en ter vergelijking op 21 ◦ C. De resultaten van deze simulaties zijn te vinden in Tabel 2 en 3. Energieverbruik Bij 294 K Bij 293 K 134.7 MJ 128.6 MJ Besparing 4.5%

Energieverbruik Bij 294 K Bij 293 K 371.5 MJ 345.0 MJ Besparing 7.1%

Tabel 2: 6×4 meter kamer

Tabel 3: 10×7m kamer

Uit de resultaten in deze tabellen blijkt dat de energiebesparing ten gevolge van het lager instellen van de thermostaat procentueel gezien groter is wanneer sprake is van een grotere 17

50

kamer. Dit is te verklaren doordat, wanneer het oppervlak van de vloer toeneemt, de muren en het plafond ook nog eens groter worden, waardoor er meer oppervlak is waar warmte door kan ontsnappen. In het twee-kamer model kunnen nog enkele andere effecten gesimuleerd worden die een mogelijke alternatieve oplossing bieden voor deze deelvraag. Zo kan in een twee-kamer (of n-kamer) model overwogen worden om in plaats van beide thermostaten een graad lager te zetten, één van de twee in zijn huidige staat te laten staan en de ander volledig uit te zetten. Dit blijkt nuttig te zijn in het geval dat een grote en een kleine kamer aan elkaar grenzen. Er is een twee-kamer simulatie uitgevoerd, waarbij in een grote kamer van 8× 5 meter de verwarming wordt aangezet bij een thermostaatinstelling van 21◦ C. Een kleine kamer van 3× 1.5 meter waarvan de verwarming uitstaat grenst met zijn lange zijde aan de grote kamer en lift dus mee op de verwarming van de grote kamer. De twee temperatuurgrafieken zijn weergegeven in Figuur 8. 25


20

15

10

5

0

−5

Temperatuur kamer 1 Temperatuur kamer 2 Buitentemperatuur −10

0

10

20 Tijd (uren)

30

40

50

Figuur 8: 8×5 kamer (1) met 3×1.5 kamer(2) aangrenzend; verwarming 1 aan, verwarming 2 uit

Hierin is te zien dat het kleine kamertje voor een groot deel wordt opgewarmd door de verwarming van de grote kamer. Wanneer het kleine kamertje niet vaak in gebruik is of maar korte perioden in gebruik is (bijvoorbeeld bij een wc), hoeft de temperatuur daar niet gedurende de hele dag een comfortabele temperatuur te hebben. Om de energiebesparing van deze methode te berekenen, is het energieverbruik van het ‘standaard’ geval (beide verwarmingen staan aan op hun geadviseerde vermogen) uitgezet tegen die van de nieuwe methode. De resultaten zijn te vinden in Tabel 4 Energieverbruik Beide kamers 294 K Eén kamer 294, één kamer uit 234.1 MJ 232.5 MJ Besparing 1% Tabel 4: 6×4 meter kamer Deze besparing van 1% is natuurlijk nog niet veel, maar wanneer verder wordt uitgebreid naar 18

een systeem van meerdere kamers, kunnen kamers die worden ingesloten hier veel baat bij hebben. Dit zou de opdrachtgever verder kunnen laten onderzoeken voor andere methoden van energiebesparing.

5.4

Deelvraag 4

De laatste deelvraag kan beantwoord worden door meerdere simulaties uit te voeren met verschillende waarden voor α. Als extra toevoeging wordt daarnaast ook nog gekeken naar de invloed van het formaat van de ruimte. De resultaten van deze simulaties staan in Tabel 5 en 6. Verlaging van α (%) 0% 1% 2% 5% 10% 15% 20%

Energieverbruik (MJ) 134.7 134.7 131.7 128.6 125.5 119.4 113.3

Besparing (%) 0% 0% 2.2% 4.5% 6.8% 11.4% 15.9%

Tabel 5: Kamer van 6×4 meter, met één raam van 3×1.5 meter Verlaging van α (%) 0% 1% 2% 5% 10% 15% 20%

Energieverbruik (MJ) 317.5 362.7 362.7 353.8 336.1 318.4 309.6

Besparing (%) 0% 2.4% 2.4% 4.8% 9.5% 14.3% 16.7%

Tabel 6: Kamer van 10×7 meter, met twee ramen van 6×1.5 meter Het blijkt zo te zijn dat de effecten van isoleren groter zijn bij een grotere kamer. Dit is wederom te verklaren doordat het totale oppervlak van de muren, plafond en vloer bij elkaar sneller toeneemt dan het oppervlak van enkel de vloer. Hierdoor is er een groter vlak dat ge¨ısoleerd kan worden.

5.5

Conclusies

De gestelde onderzoeksvragen zijn, gebruikmakend van het model, te beantwoorden voor elke kamer of elk tweetal aan elkaar grenzende kamers, mits er voldoende informatie verschaft wordt. In ieder geval is het zo dat het ’s nachts instellen van de thermostaat op een lage temperatuur, in plaats van hem helemaal uit te zetten, niet zorgt voor een lager energieverbruik. Hoe laat de verwarming aan moet springen om het om 7.30u weer kamertemperatuur te laten 19

zijn, is afhankelijk van hoe groot de ruimte is, hoe goed deze is ge¨ısoleerd en natuurlijk van de capaciteit van de verwarming. Het is echter een gemakkelijk te berekenen gegeven doordat de opwarming van de kamer t.g.v. de verwarming bij benadering lineair verloopt. Hoeveel energie bespaard wordt wanneer de thermostaat een graad lager gezet wordt, hangt vooral af van hoe groot de kamer is. Hoe groter de ruimte namelijk is, des te groter is de energiebesparing wanneer men de thermostaat lager zet. Doordat in ons model het gebruik van literatuurwaarden van α en β niet zinvol bleek te zijn, kan geen concreet antwoord gegeven worden op de vraag hoe nuttig het is om enkel glas door dubbel glas te vervangen. Wel kan geconcludeerd worden dat ook bij het verbeteren van de isolatie, het energieverbruik sneller daalt bij grotere kamers. Om echt concrete antwoorden te kunnen geven op de deelvragen, toegepast op een echte situatie, zullen metingen in de betreffende kamer(s) gedaan moeten worden om goede waarden voor α en β te vinden. Wanneer geen meetwaarden beschikbaar zijn, maar alleen gegevens over de diktes, groottes en materialen van alle wanden, zal dit model te soepel zijn om realistische uitkomsten te kunnen geven.

20

6 6.1

Appendix Uitwerking differentiaalvergelijking

βT (t)0 = Pw (t) − α(T (t) − f (t)) Pw (t) α α T (t)0 = − T (t) + f (t) β β β P (t) α w T (t)0 + kT (t) = + kf (t) (k = ) β β Pw (t) (ekt T (t))0 = ekt ( + kf (t)) β Zt Pw (s) kt + kf (s))ds e T (t) = C + eks ( β 0

T (t) = C · e−kt +

Zt

ek(s−t) (

Pw (s) + kf (s))ds β

0

Z0

T (0) = T0 = C · e0 +

ek(s) (

Pw (s) + kf (s))ds = C · 1 + 0 = C β

0 −kt

T (t) = T0 · e

Zt +

ek(s−t) (

0

21

Pw (s) + kf (s))ds β

6.2 6.2.1

Literatuurwaarden Temperatuurmetingen KNMI uur 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

2011-11-14 Temperatuur (◦ C) 9.3 9.5 9.9 9.4 7.7 2.8 2.9 5.4 1.6 0.8 0.8 -0.4 3.2

uur 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

2011-11-15 Temperatuur (◦ C) -0.2 1.1 -0.2 0.1 -0.6 -1.6 0.4 0.9 2.4 4.4 6.2 8.0 8.9 8.7 8.4 6.6 5.0 4.4 4.2 3.8 3.7 3.2 3.2 2.4

uur 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

2011-11-16 Temperatuur (◦ C) -1.1 0.4 1.0 1.1 1.0 0.0 0.7 1.3 3.0 4.5 6.4 7.9 8.9 9.1 8.6 6.9 5.9 5.0 3.7 1.7 0.1 -0.2 -1.2 -0.6

Bron: Koninklijk Nederlands Meteorologisch Instituut (http://www.knmi.nl/) 6.2.2

R-waarden Materiaal Enkel glas Baksteen Hardhout Dubbel glas Steenwol Beton (met luchtbellen)

ii

R-waarde m2 K/(W · in) 0.0250 0.0300 0.1200 0.3500ii 0.5000 0.6900

Dubbel glas heeft een vaste dikte, de eenheid van deze R-waarde is m2 K/W .

22

7

Bronvermelding

- KNMI Uurgegevens - Vermogen radiator - Rwaarden - Soortelijke warmte - Eigenschappen spouwmuur - Newton’s Law of Cooling

-

http://www.knmi.nl/klimatologie/uurgegevens/#no http://www.perfectkeur.nl/Kennisbank/cv-capaciteit.html http://www.radiatorplaats.nl/radiator/radiator-vermogen-berekenen/ http://en.wikipedia.org/wiki/R-value_(insulation) http://en.wikipedia.org/wiki/Insulated_glazing http://nl.wikipedia.org/wiki/Soortelijke_warmte http://nl.wikipedia.org/wiki/Spouwmuur http://en.wikipedia.org/wiki/Newton%27s_law_of_cooling#Newton.27s_law_of_cooling http://en.wikipedia.org/wiki/Lumped_capacitance_model#Newton.27s_law_of_cooling

23

Optimale instelling centrale verwarming

Recommend Documents