Opgaven in Nederlands. Alle opgaven hebben gelijk gewicht. Opgave 1 Gegeven is een kasstroom x = (x0 , x1 , · · · , xn ). Veronderstel dat de contante waarde van deze kasstroom gegeven wordt door P . De bijbehorende “annual’s worth” A dient te worden bepaald zodanig dat de kasstroom (0, A, · · · , A) ook de contante waarde P heeft. De interestvoet wordt gegeven door r. Ga na r (1 + r)n P A= . (1 + r)n − 1 Opgave 2 Geef een korte uitleg van elk van de volgende concepten: • “Continuously compounded interest.” • “Internal Rate of Return.” • De “Yield-to-Maturity of a coupon bond.” • De “Yield curve.” • De “Value-at-Risk (at level α = 0.01)” van een bedrijf. Opgave 3 Beschikbaar zijn een 5% en een 10% “coupon bond,” beide met looptijd (“maturity”) drie jaar en beide met “face value” 1000 Euro. De couponbetalingen vinden eens per jaar plaats. De prijs van de 5% coupon bond is 772 Euro en de prijs van de 10% coupon bond is 886 Euro. Bereken de driejaarsrente (d.w.z., de “yield to maturity” van een “zero coupon bond” met looptijd drie jaar). Opgave 4 Stel je begint een nieuwe bedrijf. Om het bedrijf te runnen (d.w.z., om dingen te huren en om bijkomende kosten te dekken, enz.) moet aan het einde van elk jaar een bedrag van B$ worden betaald. Je bedrijf heeft elk jaar een “rate of return” van r van elke ge¨ınvesteerde dollar, d.w.z., als je 1$ investeert in 1
jaar t, dan heb je (1 + r)$ in jaar t + 1. Veronderstel dat je nu A$ investeert in dit bedrijf en dat je elk jaar de opbrengst geheel herinvesteert in het bedrijf. a) Wat is de kasstroom van dit bedrijf voor t = 0, t = 1 en t = 2? b) Stel dat je het bedrijf runt en dat je elk jaar eindigt met precies het bedrag A$. Wat is dan B? Geef een uitdrukking voor B in termen van A en r. Opgave 5 Beschouw een nominale jaarlijkse rentevoet r = 12%, en een project met de volgende kasstroom: tijd “Cash”
0 1 2 3 4 -600 100 200 300 200
a) Veronderstel dat tijd is gemeten in jaren. Bereken de contante waarde en de bijbehorende “annual’s worth” van deze kasstroom. Is het project winstgevend? b) Veronderstel dat tijd is gemeten in maanden. Bereken de contante waarde en het bijbehorende maand-equivalent van de “annual’s worth” van deze kasstroom. Is het project winstgevend? Opgave 6 Annette heeft een nieuwe auto nodig voor haar woonwerkverkeer gedurende de eerstvolgende drie jaar. Nadat ze heeft gekozen voor een speciaal autotype is de vraag wat goedkoper is: leasen van de auto of de auto kopen. De auto kost 15.000 Euro en heeft verwachte onderhoudskosten 1.000 Euro per jaar (te betalen aan het begin van elk jaar). Na drie jaar kan ze de auto verkopen voor 8.000 Euro. De lease-maatschappij biedt Annette de mogelijkheid de auto te leasen voor 380 Euro per maand. De (nominale) interestvoet is 10% per jaar. 1. Maak gebruik van de netto contante waarde als evaluatiecriterium om te beslissen of kopen of leasen van de auto goedkoper is voor Annette. 2. Bij welk maandelijks leasebedrag zal Annette indifferent zijn tussen kopen en leasen (vanuit het perspectief van evaluatie op basis van de contante waarde)?
2
Exercises in English. All exercises have the same weight. Exercise 1 Consider the cash flow x = (x0 , x1 , · · · , xn ). Assume that this cash flow’s present value is given by P . The corresponding annual’s worth A is to be determined such that the cash flow (0, A, · · · , A) is also having the present value P . Let the interest rate be given by r. Verify A=
r (1 + r)n P . (1 + r)n − 1
Exercise 2 Briefly explain each of the following concepts: • Continuously compounded interest. • Internal Rate of Return. • The Yield-to-Maturity of a coupon bond. • The Yield curve. • The Value-at-Risk (at level α = 0.01) of a firm. Exercise 3 Consider a 5% and 10% coupon bond both with maturity three years and both having face value 1000 Euro. The coupons are paid once a year. The price of the 5% coupon bond is 772 Euro and the price of the 10% coupon bond is 886 Euro. Calculate the three years interest rate (i.e., the yield to maturity of a zero coupon bond with maturity three years). Exercise 4 Suppose you start up your own business. To run it (i.e., to rent some properties and to cover some additional costs, etc.), you need to pay B$ at the end of each year. Your business brings you a rate of return of r each year from any invested dollar, i.e., if you invest 1$ in year t, you get (1 + r)$ in year t + 1. Suppose that you invest A$ to this business now and that you 3
reinvest the whole outcome of this business each year. a) Write down the cash flow of this business for t = 0, t = 1, and t = 2. b) Suppose that you run this business and that you find out that each year you end up with exactly A$. What is B in this case? Express your B in terms of A and r. Exercise 5 Consider a nominal annual interest rate r = 12%, and a project with the following cash flow: time Cash
0 1 2 3 4 -600 100 200 300 200
a) Suppose that time is given in years. Compute the present value and the corresponding annual’s worth of this cash flow. Is the project profitable? b) Suppose that time is given in months. Compute the present value and the corresponding month equivalent of the annual’s worth of this cash flow. Is the project profitable? Exercise 6 Annette needs a new car to commute to her work during the next three years. After she decided for a special car type the question is whether leasing or purchasing is cheaper for her. The car costs 15, 000 Euro and is expected to have maintenance costs of 1, 000 Euro per year (payable at the beginning of each year). After three years she can sell the car for 8, 000 Euro. The leasing company made Annette an offer to lease the car for 380 Euro per month. The (nominal) interest rate is 10% per year. 1. Using the net present value evaluation criterion, decide if purchasing or leasing the car is cheaper for Annette. 2. For which monthly leasing payment would Annette be indifferent between purchasing and leasing (from a present value evaluation point of view)?
4
Answers in English. Exercise 1 Start from P =
n X i=0
Define c = 1/(1 + r). Then
n
X A xi = . (1 + r)i (1 + r)i i=1
n X
A (1 + r)i i=1 ! ! n n X X c − cn+1 1−c i i = A c =A c =A 1 − c 1−c i=1 i=1 ! n+1 1 1 − 1+r 1+r = = A 1 1 − 1+r n A 1 = 1− . r 1+r
P =
Expressing A as function of P then yields the answer. Exercise 2 Briefly explain each of the following concepts: • Continuously compounded interest: see Luenberger (1998), p15-16. • Internal Rate of Return: see Luenberger (1998), section 1.4. • The Yield-to-Maturity of a coupon bond: see Luenberger (1998), section 3.4. • The Yield curve: See lecture notes (lectures 3/4). • The Value-at-Risk (at level α = 0.01) of a firm: See lecture notes (lectures 2/3). Exercise 3 Consider a portfolio consisting of buying two 5% coupon bonds and selling one 10% coupon bond. This portfolio has price −1 × 886 + 2 × 772 = 658 5
Euro, zero coupon, and face value −1 × 1000 + 2 × 1000 = 1000 Euro. Thus, with r3 standing for the three years interest rate, we have 658 =
1000 ⇔ r3 ≈ 0.15. (1 + r3 )3
Exercise 4 a) ( −A, (1 + r)A − B, (1 + r)((1 + r)A − B) − B ). b) (1 + r)A − B = A ⇔ B = rA. Exercise 5 a) Present value: 100 200 300 200 + + + = −10.64. 2 3 1.12 1.12 1.12 1.124
P = −600 +
The annual’s worth then equals (using formula in exercise 1) 0.12 (1 + 0.12)4 (−10.64) A= = −3.50. (1 + 0.12)4 − 1 The project is not profitable. b) Present value (r is now 0.12/12 = 0.01): P = −600 +
100 200 300 200 + + + = 178.44 2 3 1.01 1.01 1.01 1.014
The monthly “annual’s worth” then becomes (using formula in exercise 1) A=
0.01 (1 + 0.01)4 (178.44) = 45.73. (1 + 0.01)4 − 1
The project is profitable.
6
Exercise 6 1. Present value purchasing the car: −15000 − 1000
3 X 1 1 + 8000 = −10725. i 3 1.1 1.1 i=1
Present value leasing the car P = −380
12×3−1 X i=0
1 = −11875. (1 + 0.1/12)i
Purchasing the car is cheaper. Remark: We use the present value formula, based on exercise 1: n X
n+1
X A A i = (1 + r) (1 + r) (1 + r)i i=0 i=1 n+1 ! A 1 1− = (1 + r) r 1+r n A 1 = (1 + r) − , r 1+r
P =
with A = −380, r = 0.1/12, and n = 12 × 3 − 1 = 35. 2. Solve x from −10725 = −x
12×3−1 X i=0
This gives x = 343.21.
7
1 . (1 + 0.1/12)i
