Onderhoud van rekenvaardigheid in groep 8 van de basisschool

Joost Meijer, Martie de Pater, Hannelore Veltman en José van der Hoeven

Onderhoud van rekenvaardigheid in groep 8 van de basisschool Onderzoeksrapportage

Onderhoud van rekenvaardigheid in groep 8 van de basisschool Onderzoeksrapportage

Joost Meijer Martie de Pater Hannelore Veltman José van der Hoeven

’s-Hertogenbosch, KPC Groep, 2013

Colofon Deze publicatie is ontwikkeld door KPC Groep voor ondersteuning van het regulier en speciaal onderwijs in opdracht van het ministerie van OCW. KPC Groep vervult op het gebied van R&D een scharnierfunctie tussen wetenschap en onderwijsveld.

Illustratie omslag: Marinus van der Hoeven Het is toegestaan om in het kader van educatieve doelstellingen (delen van) teksten uit deze publicatie te gebruiken, te verveelvoudigen, op te slaan in een geautomatiseerd gegevensbestand of openbaar te maken in enige vorm zodanig dat de intentie en de aard van het werk niet worden aangetast. Bronvermelding is in alle gevallen vereist en dient als volgt plaats te vinden: Meijer, J., Pater, M. de, Veltman, H. & Hoeven, J. van der (2013). Onderhoud van rekenvaardigheid in groep 8 van de basisschool. Onderzoeksrapportage. ’s-Hertogenbosch: KPC Groep in opdracht van het ministerie van OCW. © 2013, KPC Groep, ’s-Hertogenbosch

Inhoud

1 Inleiding

3

2 Probleemstelling en onderzoeksvragen 2.1 Probleemstelling 2.2 Onderzoeksvragen

5 5 5

3 Onderzoeksopzet 3.1 Inleiding 3.2 Enquête leerkrachten over onderhouds- en beschikbaarheidsproblematiek 3.2.1 Reasultaten enquête 3.2.2 Conclusies enquête 3.3 Haropdenk-onderzoek 3.3.1 Conclusies 3.4 Interventie: algoritmische en heuristische conditie 3.4.1 Participanten 3.4.2 Procedure bij de interventies 3.4.3 Resultaten 3.4.4 Conclusies uit de interventie

7 7 8 8 11 12 17 18 20 21 22 27

4 Nabeschouwing

29

Literatuur

31

Bijlagen Bijlage 1 – Enquête beschikbaarheids- en onderhoudsproblemen Bijlage 2 – Referentiekader rekenen met opmerkingen van respondenten Bijlage 3 – Hardopdenk-instructie Bijlage 4 – Hardopdenk-opgaven en bijbehorende hints Bijlage 5 – Opgavenboekjes experimentele lessenserie Bijlage 6a – Algoritmische hints bij de lessenserie Bijlage 6b – Heuristische hints bij de lessenserie Bijlage 7 – Opbouw lessenserie en goede antwoorden op de opgaven Bijlage 8 – Handleiding rekenonderzoek

33 34 35 41 42 47 69 91 113 114

Inhoud 1

2

Onderhoud van rekenvaardigheid in groep 8 van de basisschool

1 Inleiding

In het algemeen kan worden gesteld dat rekenen en rekenvaardigheid hoog op de beleidsagenda staan. In april 2010 is het wetsvoorstel ‘Referentieniveaus Nederlandse taal en rekenen’ aangenomen door de Tweede Kamer (Meijerink, 2009). Het wetsvoorstel heeft betrekking op de zichtbaarheid van het beheersingsniveau, het garanderen van doorlopende leerlijnen en geeft een aanzet tot een doordachte didactiek op het gebied van taal en rekenen in vrijwel alle onderwijssectoren. In de ‘Kwaliteitsagenda PO’ (Ministerie van OCW, 2007) staat het verbeteren van taalen rekenprestaties van kinderen op de eerste plaats, omdat deze basisvaardigheden onmisbaar zijn voor het succes van kinderen in andere vakken op school, in hun verdere schoolloopbaan en in de maatschappij. Als één van de doelstellingen wordt aangemerkt dat in 2011 de gemiddelde leerprestaties voor alle groepen leerlingen op taal en rekenen aantoonbaar gestegen zijn ten opzichte van 2005. Bij instroom in het voortgezet onderwijs hebben leerlingen niet altijd het verwachte rekenvaardigheidsniveau. Sterker nog, er wordt gesproken van een terugval in rekenvaardigheid in groep 8 (Jansen, Van der Schoot & Hemker, 2005). Een laag rekenvaardigheidsniveau leidt tot problemen in de schoolloopbaan en later ook in de beroepsloopbaan. De vraag is hoe het rekenvaardigheidsniveau in groep 8 op peil gehouden kan worden en daar waar mogelijk verbeterd kan worden. In de periodieke peilingen van het onderwijsniveau blijkt dat de rekenvaardigheid gedurende de schoolloopbaan toeneemt tot medio groep 8. Dan is er sprake van een terugval in het vaardigheidsniveau, vaak tot het niveau eind jaargroep 7. Met name op het terrein bewerkingen is in de Periodieke Peiling Onderwijsniveau (PPON) voor rekenen in 2004 een sterke achteruitgang geconstateerd (Jansen, Van der Schoot & Hemker, 2005; KNAW-Commissie rekenonderwijs basisschool, 2009). Dat geldt zowel voor optellen en aftrekken als voor vermenigvuldigen en delen en de samengestelde bewerkingen. De belangrijkste oorzaak lijkt te liggen in het feit dat leerlingen deze opgaven ten onrechte niet op papier uitrekenen, maar de opgaven ‘uit het hoofd’ proberen op te lossen. Daarnaast blijkt ook het gebruik van zowel het kolomsgewijze als traditionele algoritme minder succesvol. Voor de onderwerpen verhoudingen en breuken is een lichte terugval in de periode 1997-2004 gevonden en voor het oplossen van toepassingsopgaven op het gebied van meten tekende zich ook een negatieve tendens af. Nederland is het in de internationale peilingen PISA (Gille, Loijens, Noijons & Zwitser, 2010) en TIMMS (Netten et al., 2012) de laatste jaren nauwelijks slechter gaan doen, maar de door experts bepaalde standaard ‘voldoende’ werd bij meer dan de helft van de onderwerpen uit PPON 2004 door 50% of minder van de leerlingen behaald (Verbeeck & Verschuren, 2010). Voor het onderwerp bewerkingen was dit zelfs slechts 30%. In 2008 blijken leerlingen halverwege de basisschool nauwelijks flexibel gebruik te maken van verschillende strategieën, terwijl dat een uitdrukkelijke doelstelling is van leren rekenen (Kraemer, 2009). Opmerkelijk is dat de inspectie constateert dat er verschillen zijn in leerstofaanbod tussen rekensterke en rekenzwakke scholen. Rekensterke scholen bieden de leerstof vaker voor veel leerlingen aan tot en met groep 8. Zwakke scholen komen vaak niet toe aan het behandelen van de gehele leerstof, terwijl dit wel binnen de mogelijkheden van de leerling ligt (Inspectie van het Onderwijs, 2009).

1 Inleiding

3

Naast het toeschrijven van een stagnatie in de rekenontwikkeling aan leerstofaanbod is ook aandacht voor het leerproces van de leerling onontbeerlijk. Bekend is dat zwakke rekenaars met extra oefening en instructie beter kunnen presteren en dat het automatiseren en onderhouden van basisvaardigheden noodzakelijk is (Gelderblom, 2007).

4


2

Probleemstelling en onderzoeksvragen

2.1 Probleemstelling Een belangrijke vraag is of de geconstateerde terugval in rekenvaardigheid veroorzaakt wordt door een onderhoudsprobleem of een beschikbaarheidsprobleem (Meijer, Vermeulen-Kerstens, Schellings & Van der Meijden, 2006). Bij een onderhoudsprobleem wordt ervan uitgegaan dat de benodigde declaratieve en procedurele kennis weliswaar niet meer paraat is, maar nog wel beschikbaar. Het opnieuw ophalen van kennis en hernieuwd oefenen van strategieën zou dan in principe moeten volstaan om het niveau terug op peil te brengen. Een beschikbaarheidsprobleem betekent dat de benodigde declaratieve en procedurele kennis eenvoudigweg niet meer voorradig is. Fouten worden dan veroorzaakt door gebruik van verkeerde of onvolledige strategieën of gebrek aan kennis. Strategieën die tot onjuiste antwoorden leiden, zijn vaak gebaseerd op misconcepties omtrent de getalstructuur, meeteenheden, verhoudingen of wiskundige verbanden. Diagnose van dergelijke strategieën en misconcepties kunnen aanleiding geven tot specifieke ingrepen in de didactiek en aldus remediëring (Van Lehn, 1983). Een andere vraag is of het aanbieden van meervoudige strategieën binnen alle domeinen voor leerlingen van alle niveaus wel haalbaar is. Leerlingen die bij bepaalde onderwerpen rekenzwak zijn, zouden wellicht meer baat kunnen hebben bij het leren toepassen van eenduidige strategieën nadat zij instructie hebben gekregen over de principes van verschillende oplossingsstrategieën voor eenzelfde type rekenkundig of wiskundig probleem. Zo is het ook de meeste leerlingen in het voortgezet onderwijs niet gegeven om verschillende bewijzen voor de stelling van Pythagoras te leveren. Ook is bekend dat benaderingsstrategieën soms een onevenredige belasting van het werkgeheugen opleveren in verhouding tot algoritmen (Van de Craats, 2007). Met andere woorden, wellicht zou differentiatie van didactiek naar cognitieve capaciteit en onderwerp kunnen helpen bij het verminderen van beschikbaarheidproblematiek casu quo onderhoudsproblematiek.

2.2 Onderzoeksvragen De volgende onderzoeksvragen zijn aan de orde: • Berust de terugval in rekenprestaties in groep 8 op een beschikbaarheidsprobleem of op een onderhoudsprobleem? • Kan er door diagnose bij rekenzwakke leerlingen worden vastgesteld of het gaat om een beschikbaarheidsprobleem of om een onderhoudsprobleem? • Kan didactische differentiatie bijdragen aan verhoging van het rekenniveau in groep 8?

2 Probleemstelling en onderzoeksvragen 5

6


3 Onderzoeksopzet

3.1 Inleiding In deze paragraaf beschrijven we kort de fases in het onderzoek. Deze worden verder toegelicht in de volgende paragrafen. Enquête leerkrachten: onderhouds- en beschikbaarheidsproblematiek Omdat het op voorhand nog niet duidelijk is of rekenzwakke leerlingen met een beschikbaarheidsprobleem of een onderhoudsprobleem door middel van een diagnostische procedure van elkaar kunnen worden onderscheiden, zijn ook gegevens verzameld onder leerkrachten. Door middel van een enquête is nagegaan waaraan leerkrachten de terugval in rekenprestaties onder leerlingen in groep 8 wijten. Er zijn open vragen gesteld om naast beschikbaarheids- en onderhoudsproblemen andere mogelijke oorzaken op het spoor te kunnen komen. Het gaat in dit deel van het onderzoek om het genereren van hypothesen omtrent gebrek aan beschikbaarheid en gebrek aan onderhoud. Onderzoek declaratieve en procedurele kennis: hardopdenk-onderzoek Er zijn hardopdenk-protocollen van leerlingen die rekenkundige problemen oplossen verzameld teneinde een diagnose van gebrek aan beschikbaarheid versus gebrek aan onderhoud te kunnen stellen. Door leerlingen hulp aan te bieden kan worden nagegaan in hoeverre declaratieve en procedurele kennis echt opnieuw moeten worden aangeboden dan wel opgefrist, wil de leerling een probleem kunnen oplossen dat hij of zij zonder hulp niet aankan. Met deze procedure zijn in eerder onderzoek naar de zone van naaste ontwikkeling goede ervaringen opgedaan (Meijer, 2001; Meijer & Elshout, 2001). In dit deel van het onderzoek wordt dus een aantal vergelijkende casestudies uitgevoerd. Vergelijking algoritmische en heuristische instructie: interventie Om na te gaan of differentiatie naar niveau effect kan opleveren is een algoritmische instructie met een heuristische instructie vergeleken. De algoritmische instructie bestond uit eenduidige strategische aanwijzingen in de vorm van conditie-actie-koppelingen. De condities bestaan uit soorten rekenproblemen, de acties zijn oplossingsregels in de vorm van aanwijzingen of hints. Deze oplossingsregels leiden – indien correct toegepast – tot een juist antwoord. De heuristische instructie bestaat uit het leren toepassen van benaderingsstrategieën die niet gegarandeerd tot een goede oplossing hoeven te leiden, maar globale aanwijzingen geven om tot een juiste oplossing te geraken (Riemersma, 1991; Van Streun, 1990). Een voorbeeld van een algoritme is: als je de oppervlakte van een rechthoek wilt uitrekenen, vermenigvuldig dan de lengte met de breedte van de rechthoek. Een voorbeeld van een heuristiek is: ga na wat er precies gevraagd wordt en welke gegevens je hebt. Verondersteld wordt dat rekenzwakke leerlingen meer zullen profiteren van algoritmische instructie, terwijl sterkere leerlingen beter uit de voeten zullen kunnen met heuristische instructie. De resultaten van leerlingen op het eindonderzoek basisonderwijs worden als voortoets gebruikt. Verwacht wordt dat dit bijna altijd de eindtoets basisonderwijs van het Cito is. Er is een natoets rekenen geconstrueerd op grond van de Cito-toets rekenen M8. De helft van de deelnemende klassen (groepen 8) volgt een heuristische instructiemethode, de andere helft een algoritmische

3 Onderzoeksopzet

7

instructiemethode. Door de leerlingen aan de hand van de resultaten op de voortoets in te delen in rekenzwakke en rekensterke leerlingen (zwakke leerlingen onder de mediane score en sterke leerlingen daarboven) en ze te kruisen met de twee niveaus van de instructiemethode (heuristisch versus algoritmisch) wordt een factorieel onderzoeksontwerp verkregen. De prestaties op de natoets worden aan variantie-analyse onderworpen, waarbij de hypothese is dat de rekenzwakke leerlingen hoger zullen scoren in de algoritmische instructie dan in de heuristische instructie, terwijl voor rekensterke leerlingen het omgekeerde zal gelden. Voorspeld wordt dus dat er sprake zal zijn van een interactie-effect. Naast analyse van de totaalscores op voortoets en natoets kunnen ook analyses worden verricht op de deelscores op de verschillende domeinen binnen rekenen, aangezien de Cito-toetsen rekenen hierin voorzien. Op deze manier kan inzicht worden verkregen in mogelijk specifieke effecten binnen bepaalde onderwerpen.

3.2

Enquête leerkrachten over onderhouds- en beschikbaarheidsproblematiek In de eerste fase van het onderzoek heeft KPC Groep een enquête gehouden over beschikbaarheids- en onderhoudsproblemen in het rekenen van leerlingen in groep 8 van het basisonderwijs onder leerkrachten die lesgeven in deze groep. Bij een gebrek aan beschikbaarheid zijn de benodigde kennis en vaardigheid niet aanwezig, zodat deze opnieuw moeten worden aangeboden. Bij een gebrek aan onderhoud zijn de benodigde kennis en vaardigheid wel aanwezig, maar zodanig weggezakt dat zij slechts met grote moeite of begeleiding uit het geheugen teruggehaald kunnen worden. Dan zou kunnen worden volstaan met herhaling en extra oefening. Er zijn vier open vragen opgenomen in de enquête (zie bijlage 1). De eerste vraag betrof de beschikbaarheidsproblemen die de leerkrachten aantreffen bij hun leerlingen, de tweede vraag betrof de onderhoudsproblemen van leerlingen in groep 8. De derde vraag betrof eventuele andere rekenproblemen en in de laatste vraag kon de leerkracht opmerkingen en suggesties kwijt. De vragen zijn bewust zeer open gehouden om de leerkrachten in de gelegenheid te stellen hun expertise zo veel als mogelijk ten toon te spreiden en zoveel mogelijk rekenproblemen op het spoor te komen. De enquête is door adviseurs van KPC Groep uitgezet onder leerkrachten uit groep 8 van het basisonderwijs. Er werden 12 reacties ontvangen. De antwoorden van de leerkrachten werden ingedeeld aan de hand van het referentiekader rekenen. Daarin worden vier domeinen onderscheiden, te weten: getallen, verhoudingen, meten en meetkunde, en verbanden (zie bijlage 2). Daarnaast wordt een onderscheid gemaakt tussen het paraat hebben van kennis en vaardigheid en het functioneel gebruik ervan.

3.2.1

Resultaten enquête Problemen bij metriek werden het meest frequent genoemd: 16 maal. Dit is meer dan het aantal respondenten en komt omdat sommige respondenten kennis en vaardigheid omtrent metriek zowel als een beschikbaarheidsprobleem als een onderhoudsprobleem hebben gekenmerkt. Daarnaast heeft één respondent de vragenlijst beantwoord zonder onderscheid te maken tussen beschikbaarheid en onderhoud. Deze respondent heeft twee onderwerpen binnen de metriek aangegeven die voor leerlingen in groep 8 problematisch zijn, i.e., oppervlakte van ongelijknamige figuren en inhoud. Onder de overige respondenten hebben er vier zowel een beschikbaarheidsprobleem als onderhoudsprobleem bij metriek aangegeven, vier andere alleen een beschikbaarheidsprobleem en twee alleen een onderhoudsprobleem. De genoemde problemen kunnen binnen het referentiekader grotendeels worden ondergebracht bij het paraat hebben van meten en meetkunde, in het bijzonder omtrek, oppervlakte en inhoud.

8


Problemen omtrent automatisering van de tafels van vermenigvuldiging worden negen maal genoemd. Vier respondenten geven aan dit een onderhoudsprobleem te vinden, in vijf gevallen wordt dit een beschikbaarheidsprobleem genoemd. Vijf van de negen respondenten geven aan dat hierdoor tevens problemen ontstaan met delingen. Daarnaast worden ook gerelateerde problemen met breuken en procenten genoemd. Eén respondent vindt dat automatisering rondom tafels wordt belemmerd doordat het doortellen en aftellen op de getallenlijn niet vlot en soepel verloopt, met name bij de sprongen van 10, 100 en 1000. In het referentiekader vallen de problemen rondom automatisering grotendeels onder het paraat hebben van getallenkennis, meer in het bijzonder om het uit het hoofd kennen van de producten uit de tafels van vermenigvuldiging tot en met 10. Zeven respondenten noemen expliciet redactieopgaven als een belangrijk probleem voor leerlingen in groep 8. De respondent die zijn antwoorden niet naar onderhoudsproblematiek of beschikbaarheidsproblematiek heeft gespecificeerd, noemt één maal redactieopgaven in het algemeen en één maal specifiek redactieopgaven waarin met procenten gerekend moet worden. Twee respondenten vinden redactierekenen een beschikbaarheidsprobleem, twee andere respondenten rangschikken het onder onderhoudsproblemen en de overige twee vinden dat het hierbij gaat om problematiek van een andere aard. Eén respondent specificeert de problemen naar herkenning van breuken en kommagetallen in redactieopgaven. Eén respondent uit het speciaal onderwijs brengt de problemen in verband met dyslexie. Ten slotte constateert één respondent, die redactieopgaven niet expliciet noemt, niettemin dat de taligheid van het rekenonderwijs met name voor taalzwakke leerlingen een struikelblok vormt. In het referentiekader gaat het hier in het algemeen om het functioneel gebruik binnen het domein getallen en dan met name om het vertalen van een eenvoudige situatie naar een berekening. Breuken en kommagetallen worden ook frequent als bron van problemen genoemd. Eén respondent noemt begrip van breuken als een belemmering, een andere noemt alleen het onderwerp breuken. De andere respondenten noemen voornamelijk de bewerkingen op breuken. Daarbij wordt optellen en aftrekken van breuken drie keer genoemd, vermenigvuldigen en delen van breuken vaker: zeven maal. Het omzetten van breuken in percentages wordt door één respondent aangegeven; het positioneren of plaatsen van kommagetallen op de getallenlijn door twee respondenten. Eén respondent noemt deelsommen met een rest als breuk of kommagetal. Ten slotte noemt één respondent het schattend vermenigvuldigen met kommagetallen als lastig. De respondenten zijn opnieuw verdeeld over de vraag of het hier onderhoudsproblemen dan wel beschikbaarheidsproblemen betreft. De helft vindt dat er sprake is van gebrek aan beschikbaarheid, de andere helft vindt dat het om een onderhoudsgebrek gaat. Het is lastig om de genoemde onderwerpen te categoriseren in het referentiekader. Het gaat deels om het paraat hebben van getalrelaties en meer specifiek om het omzetten van eenvoudige breuken in decimale getallen en het optellen en aftrekken van veelvoorkomende gelijknamige en ongelijknamige breuken binnen een betekenisvolle situatie. Voor een ander deel gaat het om het functioneel gebruik van verhoudingen, in het bijzonder om het omzetten van eenvoudige verhoudingen in procenten en het herkennen van de notatie van breuken (horizontale breukstreep), decimale getallen (kommagetal) en procenten (%). Het is overigens opvallend dat op niveau 1F van het referentiekader niet wordt gerept van het vermenigvuldigen en delen van breuken, maar alleen van het vermenigvuldigen van een breuk met een geheel getal. Pas op niveau 1S wordt het vermenigvuldigen en delen van breuken expliciet genoemd. Cijferen wordt vier keer genoemd als een bron van problemen. Daarbij wordt één keer naar cijferen in het algemeen verwezen, één keer naar het cijferend optellen en aftrekken en twee maal naar cijferend vermenigvuldigen en delen. Cijferen wordt door twee respondenten als een onderhoudsprobleem gezien, door de andere twee als een beschikbaarheidsprobleem. Binnen het referentiekader valt dit onder de categorie paraat hebben van operaties op getallen.

3 Onderzoeksopzet

9

Meer specifiek hebben problemen met cijferen betrekking op het optellen en aftrekken met gehele getallen en eenvoudige decimale getallen, het vermenigvuldigen van een getal met één cijfer met een getal met twee of drie cijfers, het vermenigvuldigen van een getal van twee cijfers met een getal van twee cijfers en het delen van getallen met maximaal drie cijfers door een getal met maximaal twee cijfers, al dan niet met een rest. Een zevental onderwerpen wordt door telkens twee respondenten genoemd. Het eerste onderwerp betreft het schattend delen met gehele getallen, eventueel in combinatie met cijferend delen. Door één respondent wordt de aard van het probleem niet nader gespecificeerd, de ander vindt dit een onderhoudsprobleem. In het referentiekader valt dit onder het paraat hebben van getalrelaties, meer specifiek om het nemen van een deel uit een geheel getal. Het tweede onderwerp betreft de uitspraak en notatie van tijd, zowel analoog als digitaal. Digitale tijden worden als een onderhoudsprobleem opgevat, tijd in het algemeen als een beschikbaarheidsprobleem. In het referentiekader gaat het hier om het paraat hebben van kennis omtrent meten en meetkunde. Het derde door twee respondenten benoemde onderwerp is het gebruik van verhoudingstabellen. Zij vinden dit een onderhoudsprobleem. Dit is een specifiek geval van het paraat hebben van kennis omtrent verbanden, te weten het gebruiken van een eenvoudige tabel om informatie uit een situatiebeschrijving te ordenen. Het vierde onderwerp dat door twee respondenten wordt genoemd betreft de correcte uitspraak van grote getallen en kommagetallen. Eén respondent vindt dit een onderhoudsprobleem, de andere een beschikbaarheidsprobleem. In het referentiekader valt dit onder het functioneel gebruik van getallen, meer in het bijzonder om de uitspraak en schrijfwijze van gehele getallen, breuken en decimale getallen. Het vijfde onderwerp betreft deelsommen. Eén van de respondenten benoemt dit als een onderhoudsprobleem, de ander benadrukt dat het maken van deelsommen met behulp van de zogenaamde inzichtelijke methode zeer veel tijd vergt en stelt dat de conventionele staartdeling veel sneller gaat en ook gepaard gaat met meer begrip. Ze ziet dit als een beschikbaarheidsprobleem. Deze leerkracht is overigens werkzaam in het speciaal onderwijs. In het referentiekader hebben deelsommen geen prominente plaats, maar het ligt voor de hand dat het uitrekenen van delingen uit de tafels tot en met 10 hiervoor voorwaardelijk is. Dat valt onder het paraat hebben van getallenkennis. Het zesde door twee respondenten genoemde onderwerp is schaal. Eén respondent vindt dit een beschikbaarheidsprobleem, de ander is niet specifiek. In het referentiekader hoort dit bij functioneel gebruik van meten en meetkunde, meer specifiek het in betekenisvolle situaties de samenhang kennen tussen enkele (standaard)maten, bijvoorbeeld van kilometer naar meter, van meter naar decimeter en centimeter et cetera. Ten slotte wordt het lezen en gebruiken van tabellen en grafieken door twee respondenten genoemd, waarvan één het als een gebrek aan onderhoud beschouwt en de ander als een gebrek aan beschikbaarheid. In het referentiekader gaat het hier om functioneel gebruik van verbanden, meer in het bijzonder het lezen en interpreteren van eenvoudige globale grafieken en diagrammen voor de beschrijving van een situatie. Ten slotte is er nog een zestal problemen dat door slechts één respondent wordt benoemd: het rekenen tot 100, met name het optellen en aftrekken tot 100, komt als een onderhoudsprobleem naar voren. In het referentiekader valt dit onder het paraat hebben van getalsfeiten, specifiek het uit het hoofd splitsen, optellen en aftrekken van getallen onder de 100, ook met eenvoudige decimale getallen.

10


Het tweede onderwerp betreft de al eerder genoemde deelsommen, maar nu specifiek deelsommen met een rest als breuk of kommagetal. Dit valt in het referentiekader onder het paraat hebben van getalsoperaties en is verwant aan het omzetten van eenvoudige breuken in decimale getallen. Het derde onderwerp dat door slechts één respondent wordt benoemd betreft het rekenen met procenten en wordt gekenschetst als een onderhoudsprobleem. In het referentiekader is dit gerangschikt onder het paraat hebben van kennis omtrent verhoudingen, meer specifiek het rekenen met eenvoudige percentages. Een vierde onderwerp betreft de beschikbaarheid van parate kennis over de uitspraak en notatie van (euro)bedragen binnen het domein meten en meetkunde. Als vijfde onderwerp noemt een respondent de onbekendheid met begrippen zoals gros, decennia, maanden van het jaar, dagen in een jaar, kwartaal en seizoen. De respondent kenschetst dit als een probleem van andere aard dan gebrek aan beschikbaarheid of onderhoud. Binnen het referentiekader gaat het hier om parate kennis van meten en meetkunde, meer in het bijzonder de uitspraak en notatie van data met behulp van de kalender. Als laatste wordt het draaien en spiegelen van figuren als een beschikbaarheidsprobleem genoemd. In het referentiekader is dit verwant aan parate kennis van meten en meetkunde. Meer specifiek gaat het bijvoorbeeld om het herkennen van een tweedimensionale representatie van een driedimensionaal object zoals een foto, een plattegrond, een landkaart (inclusief legenda) of een patroontekening. Sommige leerkrachten signaleren nog andere problemen die niet binnen het referentiekader vallen. Voorbeelden zijn priemgetallen, het werken met haakjes en het berekenen van een gemiddelde. De leerkracht uit het speciaal onderwijs stelt dat sociaal-emotionele problemen ook een rol spelen bij rekenachterstanden. Een andere leerkracht pleit voor meer structuur in rekenmethoden, zoals het vooraf uitleggen van doelen die voor bepaalde episoden gelden en de zin van het gebruiken van bepaalde strategieën. Weer een andere leerkracht vindt dat het vasthouden aan de rekenmethode beperkingen oplegt in de zin dat onvoldoende recht wordt gedaan aan specifieke onderwijsbehoeften van leerlingen. Deze leerkracht merkt ook op dat beschikbaarheidsproblemen zichtbaar kunnen worden gemaakt door gegevens uit leerlingvolgsystemen te onderwerpen aan trendanalyses en dergelijke. Ten slotte signaleert een leerkracht dat onderhoudsproblemen zich op velerlei gebied voordoen.

3.2.2

Conclusies enquête Ten eerste moet worden vastgesteld dat het onderscheid tussen beschikbaarheidsproblematiek en onderhoudsproblematiek voor leerkrachten lang niet altijd duidelijk is, althans niet per onderwerp. Wellicht dat het vervolg van het onderzoek hier meer licht op kan werpen. Ten tweede lijken de voornaamste rekenproblemen op te treden bij metriek, automatisering van met name de tafels van vermenigvuldiging en redactieopgaven. Bij metriek valt op dat het rekenen met omtrek, oppervlakte en inhoud vaak wordt genoemd. Gebrek aan automatisering van de tafels van vermenigvuldiging kan een belangrijke beperking zijn bij het verwerven van hogere orde rekenstrategieën. Als eenvoudige vermenigvuldigingen bij voortduring moeten worden berekend in plaats van uit het langetermijngeheugen te kunnen worden gehaald, wordt het werkgeheugen eerder overbelast, zodat dergelijke strategieën moeilijker kunnen worden geleerd. De problemen rondom redactieopgaven zijn niet nieuw. Ook uit ander onderzoek blijkt dat het vertalen van een realistisch probleem naar een rekenkundige of wiskundige representatie een notoir probleem is voor veel leerlingen (Meijer & Riemersma, 1986; Meijer, 1996).

3 Onderzoeksopzet

11

Waarschijnlijk trekken dergelijke opgaven ook een vrij zware wissel op de cognitieve capaciteit van leerlingen. Daarnaast kan er sprake zijn van een systeemscheiding tussen realistische problemen en rekenen en wiskunde in de zin dat leerlingen het verband tussen beide niet inzien.

3.3 Haropdenk-onderzoek Om na te gaan welke onderhoudsproblemen en beschikbaarheidsproblemen zich voordoen bij leerlingen uit groepen 7 en 8 is een hardopdenk-onderzoek uitgevoerd. Hierbij zijn enkele rekenopgaven aan leerlingen van drie verschillende scholen voorgelegd. Hen werd gevraagd hun gedachten tijdens het oplossen te verbaliseren. Hardop denken geeft de mentale handelingen van personen doorgaans getrouw weer, hoewel het oplossingsproces door de extra activiteit enigszins vertraagd kan verlopen (Ericsson & Simon, 1993). Het is echter wel van belang dat proefleiders zich onthouden van commentaar, het geven van aanwijzingen, het doen van suggesties et cetera. Daarom werd er gehandeld conform de hardopdenk-instructie die te vinden is in bijlage 3. Er waren drie onderzoekers die optraden als proefleiders op drie scholen. Op één van de scholen maakte de onderzoeker aantekeningen, op de andere twee scholen werden de protocollen opgenomen en getranscribeerd. Op de eerste school namen zeven leerlingen deel aan het onderzoek, op de tweede school tien leerlingen en op de derde school 13 leerlingen. Omdat het de bedoeling was om beschikbaarheidsproblematiek te kunnen scheiden van onderhoudsproblematiek werd elke opgave voorzien van twee hints, die indien nodig aan de leerling zouden worden gegeven. De aanname daarbij was dat er bij een onderhoudsprobleem zou kunnen worden volstaan met een vrij eenvoudige aanwijzing, terwijl er bij een beschikbaarheidsprobleem hulp van fundamentelere aard zou moeten worden geboden. De hint waarvan werd verondersteld dat die een onderhoudsprobleem zou kunnen oplossen, werd altijd als eerste gegeven. Door een van de onderzoekers zijn er voor enkele opgaven zogenaamde diagnostische hints toegevoegd. Deze zouden slechts worden gegeven als de tweede hint er niet toe leidde dat de oplossing alsnog werd gevonden. Deze derde hint was bedoeld om na te gaan welk probleem er bij de leerling speelde. De opgaven met hints zijn te vinden in bijlage 4. De opgaven werden voor de leerlingen op landscape formaat papier afgedrukt met een groot lettertype (Arial 28 pt.) met op elke zijde één opgave. Dit papier kon tegelijkertijd als kladpapier dienen. Hierna worden per opgave enkele zaken besproken. Het gaat dan om de strategieën waarvan leerlingen zich bedienden, de hints die al dan niet moesten worden gegeven en enkele bijzonderheden zoals typische fouten of misverstanden.

1 Hoeveel is 2004 gedeeld door 4? De meeste leerlingen hanteren hier de strategie van splitsen (2000 : 4 + 4 : 4) of handig rekenen (204 : 4 = 51, dus 2004 : 4 = 501) of een combinatie van beide (20 : 4 = 5, dus 2000 : 4 = 500, verder als splitsstrategie). Eén leerling cijfert (staartdeling). Als een leerling er niet uitkwam, moest vaak zowel de beschikbaarheids- als de onderhoudshint worden gegeven, die echter niet tot de juiste oplossing leidden. Er moesten dan nog meer deelstappen worden aangeboden.

12


2 15 x 9 = Opnieuw hier frequent gebruik van de splitsstrategie (9 x 10 + 9 x 5) en handig rekenen (10 x 15 = 150, daar 15 af is 135) of een combinatie van beide (9 x 10 is 90, 9 x 5 = 2 x 9 is 18, verdubbelen is 36 + 9 is 45). Hints waren niet nodig. Een probleem hier is het niet beschikbaar hebben van de tafels van vermenigvuldiging, zoals bij de gecombineerde strategie hiervoor, waar de uitkomst van 9 x 5 niet onmiddellijk uit het langetermijngeheugen beschikbaar is.

3 Nederland heeft ongeveer 16,5 miljoen inwoners. Hoe schrijf je 16,5 miljoen in cijfers? Meestal wordt het antwoord beredeneerd of afgeleid, bijvoorbeeld 1 miljoen is zes nullen, 16 miljoen is 16 met 6 nullen, een half miljoen heeft 5 nullen). Soms gingen leerlingen hiermee de mist in met fouten zoals 16 0500 000 of 16 0500 00), maar meestal leidde de onderhoudshint tot de goede oplossing. Af en toe was de beschikbaarheidshint ook nodig. Soms was er sprake van een splitsstrategie (16 miljoen is 16 met zes nullen, een half miljoen is 500.000, dat moet ik optellen). Leerlingen die fouten maakten, lijken het tientallig stelsel niet onder de knie te hebben.

4 2368 – 385 = Er werd relatief veel gecijferd (getallen onder elkaar zetten en standaardalgoritme gebruiken). Daarbij werden soms rekenfouten gemaakt bij het lenen of door het omdraaien van getallen, maar meestal niet als er met kladpapier werd gewerkt. Daarnaast probeerden veel leerlingen de opgave uit het hoofd te doen, waarbij relatief veel fouten werden gemaakt. Hints waren niet nodig. Een derde populaire strategie was rijgen (bijvoorbeeld 2368 – 368 is 2000, nog 17 er af is 1983). Bij deze opgave vonden we ook een enigszins opmerkelijke strategie (385 + 15 + 600 is 1000, telt daarna 15 + 600 + 1368 op, want 1368 is 2368 – 1000).

5 41 x 178 = Er werd bij deze som veel gecijferd, hetgeen meestal tot het goede antwoord leidde. Hoofdrekenen of handig proberen te rekenen uit het hoofd ging vaak mis (41 x 100 is 4100, 41 x 7 is 4 x 7 is 280 plus 7 is 287, 41 x 8 is 320 + 8 = 32, dan alles optellen. Dat doe ik onder elkaar). Deze leerling komt met het antwoord 4715, door het vergeten van een extra nul achter 280, het moet immers 41 x 70 zijn en niet 41 x 7. Een merkwaardig antwoord was 224. Daar blijkt een verkeerde representatie van het standaardalgoritme aan ten grondslag te liggen. De leerling voert het algoritme in spiegelbeeld uit. Hij zet bovendien het grootste getal onder het kleinste getal. Onder de streep komt hij eerst tot 112, doordat hij 8 x 4 uitrekent (2 opschrijven, 3 onthouden) en daarna 8 x 1 (plus 3 is 11). Vervolgens berekent hij 7 keer 4 (8 opschrijven, 2 onthouden) en 7 maal 1 (plus 2 is 9) en schrijft onder de 112 het getal 98. Onder de 98 schrijft hij vervolgens 14 (1 x 10 + 4) en telt deze drie getallen op en komt dan inderdaad correct tot 224. Nadat de proefleider hem verzoekt na te gaan of dit antwoord wel goed is, besluit hij tot een andere strategie. Hij splitst het probleem op en berekent achtereenvolgens 40 x 100 (4000), 40 x 70 (2800), 40 x 8 (320), 1 x 100 (100), 1 x 70 (70) en 1 x 8 (8) en telt deze zes getallen op en komt tot het goede antwoord (7298). Het is duidelijk dat deze leerling het standaardalgoritme niet beheerst, maar ook niet ‘zomaar wat doet’. Achter elke handeling zit een systematiek, er is geen sprake van trial and error (zie ook Meijer & Riemersma, 1986; Meijer, 1996). Bovendien is deze leerling in staat de opgave met behulp van een andere strategie correct op te lossen. In het algemeen hadden sommige leerlingen hints nodig, zowel qua onderhoud als qua beschikbaarheid. De hints leidden meestal tot de goede oplossing.

3 Onderzoeksopzet

13

6 De 435 leerlingen van basisschool de Blaak moeten voor de sportdag in 8 gelijke groepen worden verdeeld. Leerlingen die overblijven, mogen helpen bij de gymtoestellen. Hoeveel leerlingen zijn dat? De meeste leerlingen gaan hoofdrekenen of cijferen (staartdeling). Enkele leerlingen rekenen handig bij het hoofdrekenen (400 : 8 = 50, 35 over. Daar haal ik er 32 uit, want dat gaat 4 keer. Er blijven 3 leerlingen over). Sommige leerlingen rekenen de som in één keer uit het hoofd uit (54 keer 8 is 432, dus je houdt 3 leerlingen over), anderen doen het stap voor stap (eerst 400 delen door 8, dan 3 keer 8 is 24, 11 over, past nog een keer 8 in, dus 3 leerlingen over). Eén van de leerlingen schrijft tijdens het hoofdrekenen tussenuitkomsten op, blijkbaar om het werkgeheugen te ontlasten. De staartdeling verloopt soms moeizaam. Sommige leerlingen maken rekenfouten bij de staartdeling en hebben een hint nodig, meestal alleen de onderhoudshint. Leerlingen die de beschikbaarheidshint ook nodig hebben, moeten vaak nog verder door de proefleider begeleid worden om het eindantwoord te vinden. Eén leerling realiseert zich wel dat er een rest overblijft bij de staartdeling, maar begrijpt aanvankelijk niet dat dit het eindantwoord is.

7 Schrijf ¾ als een percentage en als een kommagetal. Het begrip percentage was niet bij alle leerlingen bekend. Wanneer de term procent door de proefleider werd genoemd, begrepen de leerlingen dit onmiddellijk. Bij sommige leerlingen was de omzetting volledig geautomatiseerd; zij gaven onmiddellijk beide goede antwoorden. Andere leerlingen herleidden bij het percentage het goede antwoord vanuit ¼ = 25%. Sommige leerlingen hebben alleen de onderhoudshint nodig, anderen ook de beschikbaarheidshint. De beschikbaarheidshint was vaak nodig bij het bepalen van het kommagetal. Bij enkele leerlingen was er verwarring omtrent het begrip kommagetal. Daarbij dachten deze leerlingen vaak aan een geheel getal met daarachter enkele decimalen, zoals 75,00 in plaats van 0,75.

8 12,99 + 1,99 = De strategieën die bij deze opgave het meest geobserveerd werden, waren handig rekenen (bijvoorbeeld 15 minus 0,02 of 1,99 min 0,01 is 1,98 en 12,99 plus 0,01 is 13 plus 1,98 = 14,98), rijgen (12,99 plus 1 is 13,99 plus 0,99 is 14,98) en cijferen (onder elkaar zetten en kolomsgewijs rekenen). In het algemeen waren er geen hints nodig. Als leerlingen de onderhoudshint nodig hadden, leidde deze meestal tot de oplossing. Eén leerling wil eigenlijk met het antwoord ‘ongeveer 15’ volstaan, maar geeft het accurate antwoord na aandringen door de proefleider.

9 Hoeveel blikken van 0,5 liter kun je halen uit een kan van 10 liter? Bij de meeste leerlingen was deze kennis vrijwel geautomatiseerd, zij gaven onmiddellijk het goede antwoord (dat zie ik meteen, want 0,5 is een halve liter). Andere leerlingen gebruiken een tussenstap (10 blikken is 5 liter of 2 halfjes is 1 liter). Ook wordt er wel met ‘kommaschuiven’ gewerkt (0,5 keer 10 is 5, 10 keer 10 is 100 gedeeld door 5 is 20). Een enkele leerling heeft beide hints nodig of begint eerst met een staartdeling.

14


10 Froukje koopt een broek van 80 euro. Bij de kassa krijgt ze 10% korting. Hoeveel euro moet Froukje nu betalen voor de broek? De meeste leerlingen maken gebruik van de relatie met breuken (10% is één tiende is 8) en trekken daarna 8 euro af van 80 euro. Sommige leerlingen hebben beide hints nodig. Een enkele leerling heeft nog meer hulp nodig dan beide hints, deze realiseren zich niet dat 100% (‘alles’) in dit geval 80 euro is. Anderen lijken het kortingsbedrag te berekenen via een vuistregel, dat wil zeggen 10% is ‘een nulletje eraf’. Eén leerling weet wel dat 10% van honderd 10 is, maar heeft zeer veel moeite om het antwoord te vinden. Een paar leerlingen hebben de tussenstap naar één procent nodig. Eén leerling maakt een verhoudingstabel met 100 naar 10 en 80 naar 8.

11 Wat is ongeveer de oppervlakte van een duimnagel? Alle leerlingen vinden het juiste antwoord door het elimineren van de onwaarschijnlijke antwoordalternatieven (een meter is best wel groot en 100 centimeter kan ook niet). Er waren geen hints noodzakelijk. Sommige leerlingen kijken naar hun eigen duimnagel. Veel leerlingen verwarren oppervlakte en lengte en denken dat 10 cm2 gelijk is aan 1 vierkante meter (honderd centimeter en één meter is hetzelfde). Eén leerling heeft de onderhoudshint nodig na grote verwarring omtrent het omrekenen naar millimeters (als je in millimeters rekent zijn dat 2 nullen erbij. Dan krijg je 10000 x 10000, vier nullen erbij is honderd miljoen x 100, 2 nullen erbij, is …). Een enkele leerling heeft moeite met het kwadraatteken (dat tweetje, wat is dat ook alweer?).

12 Hoeveel blokjes van 1 cm³ passen er in dit doosje?

4 cm 2 cm 6 cm De meeste leerlingen gebruiken de formule voor inhoud (lengte keer breedte keer hoogte). Enkele leerlingen gebruiken abusievelijk ‘lengte plus breedte plus hoogte’. Enkele andere leerlingen tellen alleen de blokjes aan de buitenkant. Sommige leerlingen werken met ‘plakjes’ in plaats van ‘laagjes’, i.e., zij werken van links naar rechts of andersom in plaats van beneden naar boven. De onderhoudshint was vrij frequent nodig, de beschikbaarheidshint zelden. Bij de leerlingen die met ‘plakjes’ werken, komt de onderhoudshint niet aan. Enkele leerlingen beheersen het begrip ‘kubieke’ onvoldoende en vermenigvuldigen tussenuitkomsten met drie. Anderen tellen de blokjes van één laag mentaal en tellen vervolgens de blokjes per laag op. Bij leerlingen die moeite hebben met de opgave, lijkt het maken van een tekening niet erg te helpen.

3 Onderzoeksopzet

15

13 Wat is de omtrek van deze tuin?

67 m

43 m De meeste leerlingen passen de formule omtrek = 2 x lengte + 2 x breedte toe. Bij veel leerlingen bestaat er verwarring tussen omtrek en oppervlakte. Deze leerlingen passen abusievelijk de formule lengte x breedte toe. Bij één leerling blijkt dat zelfs nog bij het geven van het juiste antwoord na het raadplegen van beide hints; achter het antwoord schrijft ze geen m, maar m2. Meestal leiden de hints, met name de onderhoudshint, echter wel tot een oplossing van dit conflict. Er wordt weer veel uit het hoofd gerekend, waardoor ook rekenfouten worden gemaakt (bijvoorbeeld 67 + 43 = 100 x 2 = 200).

14 In welke maand was de verkoop van frisdrank het hoogst?

Alle leerlingen op twee na zoeken eerst de lijn die bij frisdrank hoort en lezen vervolgens bij het hoogste punt op de y-as de maand op de x-as af. Eén leerling vergeet eerst de lijn die bij frisdrank hoort te zoeken en concludeert dat ‘maart het hoogste punt is’. Na de onderhoudshint geeft deze leerling alsnog het goede antwoord. Een andere leerling identificeert tevens eerst maart als het goede antwoord, maar denkt aanvankelijk ook dat er twee goede antwoorden zijn. Deze leerling geeft pas een goed antwoord nadat de proefleider beide hints heeft gegeven.

16


15 Hoeveel graden Celsius was de temperatuur om 5 uur ’s middags?

De oplossingsstrategie voor deze opgave bestaat uit het omrekenen van 5 uur ’s middags naar 17 uur en vervolgens de temperatuur aflezen, waarbij wel rekening moet worden gehouden met de schaalverdeling op de y-as, omdat de temperatuur op dit tijdstip niet exact kan worden afgelezen. Een enkele leerling geeft dan ook ‘ongeveer 25½ graden’ als oplossing in plaats van circa 27 graden. Veel leerlingen vergeten het omzetten naar 17 uur, waarna ze na de onderhoudshint alsnog het juiste antwoord geven. Dit maakt de opgave een beetje tot een ‘instinker’, dat wil zeggen: ook rekensterke leerlingen kunnen hier intrappen. Een van de leerlingen twijfelt geruime tijd of hij 5 of 17 uur moet kiezen. Een andere leerling moet door de proefleider naar het goede antwoord worden toegeleid, omdat ze bij rekenen met groep 7 meedoet en daarom dergelijke grafieken nog niet heeft gehad.

16 Welke soort boeken heeft de school het meest?

Alle leerlingen zoeken eerst naar het grootste segment in het taartdiagram en lezen dan de legenda af. Er hoefden geen hints te worden gegeven. Alle leerlingen hadden de opgave in één keer goed. Deze opgave is voor de leerlingen enigszins triviaal.

3.3.1

Conclusies Het valt op dat leerlingen veel hoofdrekenen, ook bij opgaven waarbij deze strategie tot een vrij zware overbelasting van het werkgeheugen kan leiden. Daardoor worden relatief veel rekenfouten gemaakt (zie ook Kraemer, 2009). Sommige leerlingen schrijven tussentijdse uitkomsten op, zodat ze hun werkgeheugen gedeeltelijk ontlasten. Het verdient aanbeveling om leerlingen te leren wanneer ze van het maken van aantekeningen of het opschrijven van tussentijdse uitkomsten kunnen profiteren. Er zijn ook enkele idiosyncratische oplossingsstrategieën gevonden. Het sterkste voorbeeld hiervan is de leerling die het standaardalgoritme voor het vermenigvuldigen van grotere getallen

3 Onderzoeksopzet

17

(onder elkaar zetten en kolomsgewijs cijferen) niet goed beheerste. Deze leerling werkte hierbij in spiegelbeeld en kwam daardoor tot een merkwaardige oplossing. De oplossing werd ook niet spontaan gecontroleerd op plausibiliteit, terwijl ze uiterst onwaarschijnlijk was gezien de grootte van de te vermenigvuldigen getallen. Overigens is dit een vrij algemeen verschijnsel onder leerlingen in zowel basis- als voortgezet onderwijs. Wat verder opvalt is dat een substantieel deel van de leerlingen rekenfeiten niet heeft geautomatiseerd. Dat wil zeggen: eenvoudige rekenfeiten kunnen niet onmiddellijk uit het langeduurgeheugen worden teruggehaald. Een voorbeeld is een leerling die 9 keer 5 uitrekent als 2 keer 9 is 18, dan verdubbelen is 36 plus 9 is 45. Wellicht elegant, maar ook bijzonder omslachtig, waardoor ook een sterke wissel op het werkgeheugen wordt getrokken. Er is dan minder resterende capaciteit over om het overkoepelende probleem op te lossen (Van de Craats, 2007). Er bestaat frequent verwarring tussen de begrippen omtrek, oppervlakte en inhoud. Soms worden omtrek en oppervlakte verwisseld, waarbij dan ook de verkeerde formules worden ingezet (bijvoorbeeld oppervlakte is gelijk aan twee maal de lengte plus de breedte). Bij het berekenen van inhoud worden soms merkwaardige mentale strategieën ingezet, zoals het alleen tellen van de eenheden aan de buitenkant van het lichaam. Het minste moeite lijken de leerlingen te hebben met de opgaven uit het domein verbanden. Hierbij gaat het bijna altijd om het aflezen uit grafieken, tabellen of diagrammen. Dit lijkt overigens wel iets dat leerlingen moeten leren, getuige de leerling die rekenles kreeg met groep 7 en bijzondere moeite had met het interpreteren van grafieken. In tegenstelling tot de resultaten van de enquête betreffende onderhoudsproblematiek en beschikbaarheidsproblematiek, waaruit bleek dat leerkrachten moeite hadden om rekenproblemen in één van beide categorieën onder te brengen, lijkt het erop dat de onderhoudshint en de beschikbaarheidshint wel differentiëren. Bij leerlingen die alleen de eerste hint nodig hadden, wordt blijkbaar voldoende voorkennis geactiveerd om het probleem alsnog op te kunnen lossen. Bij leerlingen die beide hints nodig hadden, lijkt de problematiek ingewikkelder. Vaak moest de proefleider deze leerlingen nog meer hulp bieden voordat ze het juiste antwoord konden geven. Soms moest de oplossing bijna worden voorgedaan. Het lijkt er dus op dat de hardopdenk-procedure met hints gebruikt kan worden om een onderscheid te maken tussen leerlingen met onderhoudsproblemen en leerlingen met beschikbaarheidsproblemen. Wellicht kunnen leerkrachten van dergelijke semigestructureerde diagnostische gesprekken gebruikmaken om specifieke rekenproblemen bij leerlingen vast te stellen.

3.4

Interventie: algoritmische en heuristische conditie De interventie is erop gericht om een antwoord te vinden op de derde onderzoeksvraag, i.e., kan didactische differentiatie bijdragen aan verhoging van het rekenniveau in groep 8? Daartoe zijn twee verschillende didactische methoden uitgeprobeerd in drie klassen van groep 8 in het basisonderwijs. In beide methoden kregen leerlingen gedurende acht weken in één lesuur per week zes rekenopgaven voorgeschoteld. De opgaven waren voorzien van hints die de leerlingen desgewenst konden raadplegen. Ook waren de goede antwoorden met uitleg op papier beschikbaar, zodat de leerlingen hun eigen werk konden nakijken. Er werden twee condities gerealiseerd. De hints en de uitleg verschilden van elkaar in deze condities. In de algoritmische conditie werd de oplossing uitgelegd met een strategie, die – mits correct toegepast – altijd tot het goede antwoord leidt. In deze conditie bestonden de hints uit een aanzet tot een algoritmische oplossingsstrategie.

18


In de heuristische conditie bestond de uitleg uit een benaderende probleemoplossingsstrategie, waarbij het antwoord stap voor stap wordt benaderd. In deze conditie bestonden de hints uit een aanzet tot dergelijke strategieën. Het belangrijkste verschil is dus dat een algoritmische strategie toegepast wordt als een soort kookboekmethode, maar wel efficiënt en in principe foutloos is. Bij de heuristische strategie is een juist antwoord niet gegarandeerd, maar het voordeel is dat common sense kan worden gebruikt waardoor deze strategieën in principe een groter bereik hebben. De heuristische methode is duidelijk minder gestructureerd dan de algoritmische methode (Meijer et al., 1985). Een voorbeeld van de verschillende methoden zijn beide typen hints bij de volgende opgave: ‘Reken uit: 41 x 178 =’. De algoritmische hint hierbij is: Zet de getallen onder elkaar en vermenigvuldig ze cijferend met elkaar. 178 41 x 178 ?2. Hoe ga je verder? De heuristische hint bij deze opgave is de volgende: Splits het probleem op in losse sommen. 1. 2.

40 x 100 = ? ?

Hoe ga je verder? De twee didactische methoden zijn vergeleken om na te kunnen gaan in hoeverre verschillende leerlingen profiteren van beide methoden. Er wordt verondersteld dat zwakke leerlingen meer zullen profiteren van de algoritmische instructiemethode, terwijl sterke leerlingen meer zullen profiteren van de heuristische instructiemethode. Deze veronderstelling is gebaseerd op de gedachte dat zwakke leerlingen meer behoefte hebben aan structuur, terwijl sterke leerlingen meer gebaat zullen zijn bij instructiemethoden met minder structuur waarin ze hun cognitieve vermogens optimaal kunnen inzetten (De Leeuw, Meijer, Perrenet & Groen, 1988). Naast deze verschillende vormen van uitleg en hints werd van de leerkrachten van de zes klassen ook verwacht dat ze hun instructie zo veel mogelijk conform de conditie waarin hun klassen zich bevonden, vormgaven. De leerkrachten in de algoritmische conditie werden geïnstrueerd om hun leerlingen algoritmische oplossingsmethoden bij te brengen, terwijl de leerkrachten in de heuristische conditie werden geïnstrueerd om heuristisch rekenonderwijs te geven. De opgavenboekjes van de lessenreeks zijn weergegeven in bijlage 5; de hints in bijlagen 6a en 6b en de antwoorden in bijlage 7. Leerlingen konden hun antwoorden zelf nakijken. Door een onnauwkeurigheid is er bij opgave 4 van week 4 een fout antwoord in de antwoordboekjes terecht gekomen. Het antwoord moet niet zijn: ‘ongeveer 400.000’, maar: ‘ongeveer 450.000’. De opgaven werden ontleend aan de rekenmethode Pluspunt en verscheidene websites (leestrainer, beterrekenen, thiememeulenhoff, math4all, rekenen-oefenen en taalenrekenen). Aan de leerlingen werd gevraagd hun hintgebruik bij te houden en van elke gebruikte hint aan te geven of deze wel of niet hielp bij het vinden van de uiteindelijke oplossing. Hiervoor was ruimte gereserveerd aan het einde van elk opgavenboekje. De opzet van de lessenserie is weergegeven in bijlage 7. Er is gewerkt met een ontwerp waarbij de vier rekendomeinen regelmatig terugkeerden om recency-effecten zoveel als mogelijk tegen te

3 Onderzoeksopzet

19

gaan. In de eerste vier weken werden per les steeds vier opgaven van hetzelfde domein behandeld en twee opgaven van een ander domein, zodanig dat er na de eerste vier weken uit alle vier domeinen in totaal zes opgaven aan de orde waren gekomen. In de laatste vier weken werden per les drie opgaven per domein gegeven. De twee domeinen uit de vijfde week werden ook weer in de achtste week behandeld. Aan het eind van de lessenreeks werd een natoets van 32 opgaven afgenomen die werd samengesteld uit items van de rekentoets M8 van het Cito, die normaal gesproken halverwege het midden van groep 8 wordt afgenomen. De 32 items waren evenredig verdeeld over de vier rekendomeinen, dat wil zeggen: acht items, elk voor getallen, verhoudingen, meten en meetkunde en verbanden. De scholen is gevraagd om de Cito-eindtoetsgegevens van de deelnemende leerlingen aan te leveren. Deze gegevens zouden worden gebruikt als achtergrondgegeven, met name om een indicatie te verkrijgen van het a priori cognitief niveau van de leerlingen. De veronderstelling dat er een interactie bestaat tussen het cognitief niveau van leerlingen en de mate van profijt van beide instructiemethoden kan met behulp van deze gegevens en de prestatie op de natoets onderzocht worden.

3.4.1 Participanten De experimentele lessenreeks is op een vijftal scholen uitgeprobeerd. Het betreft hier de basisscholen de Tamboerijn te Alphen aan de Rijn, De Ceder te Veenendaal, De Regenboog te Urk, Dr. W. van den Berghschool te Voorthuizen en de Bernhardschool te Steenwijk. Met uitzondering van De Ceder namen alle scholen deel met één klas; De Ceder nam deel met twee klassen. Alle leerlingen zaten in groep 8. In totaal werden van 141 leerlingen gegevens verzameld, inclusief eindonderzoeksgegevens. Slechts 116 leerlingen namen deel aan de natoets. De verdeling van leerlingen over de scholen casu quo klassen en de beschikbare gegevens is weergegeven in tabel 1. Tabel 1 – Aantallen leerlingen per groep en gegevenstype

School

Natoets

Eindonderzoek

Lessenreeks

Conditie

Tamboerijn

16

16

12

Heuristisch

Dr. W. van den Berghschool

18

19

13

Algoritmisch

Ceder 8A

23

26

18

Heuristisch

Ceder 8B

23

24

20

Algoritmisch

Regenboog

17

26

13

Heuristisch

Bernhard

19

22

16

Algoritmisch

Totaal

116

133

92

Er zijn slechts volledige gegevens over de lessenreeks beschikbaar van 92 leerlingen. Dit komt door afwezigheid tijdens één of meer lessen als gevolg van ziekte en dergelijke. Zeventien leerlingen misten één les, de overige misten twee of meer lessen.

20


Het matchen van de gegevens was niet voor alle leerlingen mogelijk. De leerlingen hadden meestal alleen hun voornaam op het natoetsboekje gezet, zodat twee leerlingen met dezelfde voornaam in één klas niet van elkaar konden worden onderscheiden. Dat was voor zes leerlingen het geval, dus drie paren met dezelfde voornaam in één klas. Voorts was er nog één leerlinge wier voornaam op het overzicht van de eindonderzoeksscores onleesbaar was. Deze leerlingen zullen niet in de analyses betrokken kunnen worden als het om gekoppelde gegevens gaat.

3.4.2

Procedure bij de interventies Aan dit deel van het onderzoek deden 124 leerlingen mee uit zes verschillende groepen 8. Drie groepen zaten in de heuristische conditie en drie groepen in de algoritmische conditie. Voorafgaand aan de interventie is met iedere groepsleerkracht de procedure doorgenomen aan de hand van de opgestelde handleiding (zie bijlage 8). Eén van de onderzoekers heeft tijdens de interventie bij iedere groepsleerkracht een les bijgewoond om er zeker van te zijn dat de lessen werden gegeven volgens de richtlijnen zoals beschreven in de handleiding. Naast het maken van de opgaven werd de leerlingen gevraagd om aan het eind van elke interventieles in te vullen of ze al dan niet één of meer hints hadden gebruikt en zo ja, of deze hint hen had geholpen. Na de interventie is de leerkrachten gevraagd een aantal vragen te beantwoorden rondom het verloop van de interventie en konden zij hun mening geven over de gegeven hints. Uitvoering van de lessen In vier van de zes groepen bespreekt de leerkracht de werkwijze aan het begin van de les. In twee van deze groepen herhaalt de leerkracht de werkwijze. Opvallend is dat – op één na – alle groepen zeer serieus werken aan de opgaven, het gebruik van de hints en het nakijken. In alle groepen liggen de hints en de antwoorden niet naast elkaar. In enkele groepen liggen bijvoorbeeld de hints voor in de klas en de antwoorden achter in de klas. Twee groepen waren vergeten het hintgebruik in te vullen. Dit hebben ze met terugwerkende kracht ingevuld voor de voorgaande weken. De klassenbezoeken overziend hebben de deelnemende leerkrachten en leerlingen zich goed aan de werkwijze, zoals beschreven in de handleiding, gehouden. Vragen na afloop van de interventie: algemene ervaringen Eén van de leerkrachten geeft aan dat de leerlingen het lastig vonden om goed op te schrijven hoe ze hadden gerekend. Ze maakten stappen in hun hoofd en konden dit dan niet goed verwoorden op papier. Een andere leerkracht geeft aan dat ze merkte dat er veel opgaven waren die al een tijd niet meer behandeld waren. Ze merkte dat basisleerlingen die extra aandacht nodig hebben vaak een stap vergaten of de manier van uitrekenen niet meer wisten. “Vaak herhalen en opnieuw aanbieden en inslijpen is van belang’’, volgens deze leerkracht. Opgaven die lastig waren gingen in één groep vooral over het metriek stelsel en contextopgaven. Leerlingen vonden het lastig om de goede som uit het verhaal te halen. Een andere leerkracht geeft aan dat haar groep vooral de opgaven van week 5 en 6 lastig vonden en de opgave ‘Schrijf 0,001 als percentage’. In een andere groep werd opgave 6 van week 5 als lastig ervaren, ook met hint. Een andere groep had moeite met opgaven rondom omtrek, inhoud en oppervlakte. Leerlingen haalden de formules voor oppervlakte en inhoud regelmatig door elkaar. In deze groep hadden de leerlingen, net als andere groepen, moeite met de opgaven van week 5 (met name 4, 5 en 6). Lastig bij opgave 6 was hoeveel 40% is van 35%. “Dit soort sommen hebben de leerlingen nooit gehad. 2/3 deel van 35% lukt wel”, aldus de leerkracht.

3 Onderzoeksopzet

21

Commentaren op de hints Er was een aantal hints die volgens de leerkrachten niet zo passend waren bij de manieren waarop de leerlingen hebben geleerd te rekenen. Algoritmische conditie • Bij de hint bij week 1, opgave 1 zou onder 178 ‘20’ moeten staan in plaats van ‘?2.’. • Bij de hint bij week 2, opgave 1 zou in plaats van ‘De korting is € 35,--. Hoeveel is 280 gedeeld door 35?’ moeten staan: ‘280 = 100%, 35 = ? %’. • De hint bij week opgave 6: ‘Vermenigvuldigen met 1/3 is hetzelfde als delen door 3’ werd door de leerlingen niet begrepen. • Bij de tweede opgave in week 3 moesten de leerlingen de omtrek van een tuin berekenen. De hint die werd gegeven was: ‘De formule voor omtrek is: 2 x (lengte + breedte). Deze begrepen de leerlingen niet, in de klas wordt hen geleerd: ‘omtrek is l + b + l + b’. • Een leerkracht suggereerde om bij de eerste opgave in week 5 in plaats van de gegeven hint, de hint: ‘Maak de breuken gelijknamig’ te geven, maar dat is praktisch dezelfde hint als die in de heuristische conditie. • Ten slotte merkte een leerkracht op dat de getallen bij de hint bij de tweede opgave van week 8 niet recht onder elkaar staan. Heuristische conditie • Eén van de leerkrachten gaf aan dat bij sommige hints alleen een som stond en verder geen woordelijke uitleg. Dit vonden de leerlingen nog wel eens lastig te interpreteren. • Een losse opmerking van een leerkracht was dat ze heeft ontdekt dat de leerlingen in haar groep weinig gebruikmaakten van hints en dat leerlingen die de hints wel pakten, ze te haastig lazen en snel om hulp vroegen aan de leerkracht. De groep was niet heel zelfstandig en erg gemakkelijk. “Dit was voor mij met betrekking tot deze groep wel een eyeopener’’, aldus deze leerkracht. Er kan worden geconcludeerd dat er aanzienlijk meer commentaar was op de hints die bij de algoritmische conditie hoorden dan op de hints van de heuristische conditie.

3.4.3 Resultaten Scores uit het eindonderzoek Aan de scholen is gevraagd om de uitslag van de eindtoets basisonderwijs voor elke leerling. Er werd aanvankelijk verondersteld dat de Cito-toets hiervoor op alle scholen werd gebruikt, maar dit bleek niet het geval. Op twee scholen werd bij wijze van eindonderzoek een toets afgenomen en geanalyseerd door een particulier toetsbureau. Deze toets bestaat gedeeltelijk uit items uit de Cito-toets, maar er zijn tevens andere items aan toegevoegd. Er worden wel aparte scores voor taal, rekenen en studievaardigheid gerapporteerd, analoog aan de eindtoets van het Cito. Van de overige drie scholen beschikten we in elk geval over de ruwe score (aantal goed) van de Cito-eindtoets taal, rekenen en studievaardigheid. De scores voor taal, rekenen en studievaardigheid van de twee scholen die het eindonderzoek door een extern bureau laten uitvoeren, zijn echter geschaald op een verdeling met een gemiddelde van 100 en een standaardafwijking van 15, zoals ook gebruikelijk is bij intelligentietests. Om toch over min of meer vergelijkbare gegevens met betrekking tot de cognitieve capaciteit van de leerlingen te kunnen beschikken, zijn de ruwe Cito-eindtoetsscores ook geconverteerd naar een verdeling met een gemiddelde van 100 en een standaardafwijking van 15. Dat is gedaan met lineaire equivalering met behulp van de volgende transformatie: sdN sdN N= * O + (MN — MO * ) sdO sdO

22


waarin: O = oude score, N = nieuwe score, MO = gemiddelde van de oude scoreverdeling, MN = gemiddelde van de nieuwe scoreverdeling, sdO = standaarddeviatie van de oude scoreverdeling en sdN = standaarddeviatie van de nieuwe scoreverdeling. De eerste term is een gewicht waarmee de oude score wordt vermenigvuldigd, de tweede factor is een constante. Voor taal, rekenen en studievaardigheid zijn de constanten respectievelijk 42.48, 59.96 en 68.33. De waarden van de gewichten zijn respectievelijk 0.87, 0.94 en 0.95. Voor de drie scholen die met de Cito-eindtoets werkten, leverde dat verdelingen op voor taal, rekenen en studievaardigheid met gemiddelden van respectievelijk 100.26, 100.16 en 100.28 en standaardafwijkingen van respectievelijk 15.11, 15.01 en 15.10. De kleine afwijkingen zijn een gevolg van het afronden van de waarden voor de constanten en gewichten. Voor de scholen die niet met de Cito-eindtoets werkten, zijn de gemiddelde waarden respectievelijk 98.60, 100.80 en 104.90 en de waarden van de standaardafwijkingen 18.83, 19.98 en 22.84. De afwijkingen op deze twee scholen zijn waarschijnlijk een gevolg van steekproeffluctuatie. De gezamenlijke verdelingen over alle vijf scholen zijn weergegeven in figuur 1.

M = 99.66, sd = 16.50, N = 133

M = 100.40, sd = 16.90, N = 133

M = 101.95, sd = 18.33, N = 133

Figuur 1 – Totale scoreverdeling voor taal, rekenen en studievaardigheid

De verdelingen van taal en studievaardigheid zijn scheef, die van taal naar rechts en die van studievaardigheid naar links. Er is tevens een gemiddelde score over de drie domeinen berekend. De verdeling van deze gemiddelde score is weergegeven in figuur 2. Het is duidelijk dat beide typen eindonderzoeken inhoudelijk slechts voor een deel vergelijkbaar zijn. De resultaten van de analyses waarin deze cijfers zijn betrokken, moeten dan ook met de grootste terughoudendheid worden geïnterpreteerd.

M = 100.67, sd = 13.93, N =133 Figuur 2 – Verdeling van de gemiddelde score over taal, rekenen en studievaardigheid

3 Onderzoeksopzet

23

Natoets Zoals al eerder vermeld is de natoets door 116 leerlingen gemaakt. De betrouwbaarheid van de toets stemt tot tevredenheid, zij bedraagt .87 (Cronbach’s α). Slechts één item had een item-rest correlatie lager dan .20, de overige items hadden item-rest correlaties rond de .40 of hoger. Op grond hiervan is een totaalscore berekend; deze had een gemiddelde van 19.44 en een standaardafwijking van 6.48. De laagste score van 3 punten werd behaald door twee leerlingen, slechts één leerling maakte alle opgaven goed (score 32 punten). De frequentieverdeling van de scores is in figuur 3 weergegeven.

Figuur 3 – Scoreverdeling van de natoets rekenen

Lessenserie Het gemiddeld aantal goed gemaakte opgaven van de 92 leerlingen die alle acht lessen bijwoonden, bedroeg 21.88 met een standaardafwijking van 9.33. De betrouwbaarheid van de opgavenserie bedraagt .89 (Cronbachs’s α). Er zijn wel een aantal opgaven met negatieve of erg lage item-rest correlaties. Dit zijn item 6 van week 2 (-.14), items 5 en 6 van week 4 (respectievelijk -.32 en -.01), item 6 van week 5 (.03), item 2 van week 6 (.31), item 1 van week 7 (.11) en items 1 en 4 van week 8 (.03 en .09). Een deel van deze opgaven gaat over de al bij de hardopdenkprotocollen beschreven knelpunten, e.g., breuken en kommagetallen en oppervlakte en omtrek. Vergelijking van beide condities Er werd verwacht dat sterke leerlingen meer zouden profiteren van de heuristische instructiemethode, terwijl zwakke leerlingen meer zouden profiteren van de algoritmische instructiemethode. Leerlingen werden gekenmerkt als zwak of sterk aan de hand van hun gemiddelde score op taal, rekenen en studievaardigheid. Leerlingen die onder de mediaan (100.67) scoorden, werden als zwakke leerlingen beschouwd, en leerlingen die gelijk aan of boven de mediaan scoorden, werden als sterke leerlingen beschouwd. Vervolgens werd een variantie-analyse uitgevoerd met de natoetsscore als afhankelijke variabele en conditie (algoritmisch versus heuristisch) en cognitief niveau (zwak of sterk) als factoren. De hypothese voorspelt een significant interactie-effect, i.e., sterke leerlingen in de heuristische conditie en zwakke leerlingen in de algoritmische conditie scoren hoger dan zwakke leerlingen in de heuristische conditie en sterke leerlingen in de algoritmische conditie. Tabel 2 geeft een overzicht van de gemiddelde scores in de vier cellen van het analyse-ontwerp.

24


Tabel 2 – Gemiddelde scores per conditie en cognitief niveau

Conditie

Algoritmisch Heuristisch Totaal

Cognitief niveau Laag 15.61 (6.55) 26 16.32 (6.89) 22 15.94 (6.44) 48

Hoog 22.45 22.27 22.36

(4.11) (5.35) (4.72)

31 30 61

Totaal 19.33 19.75 19.53

(6.32) (6.68) (6.47)

Noot. Standaardafwijkingen tussen haakjes

Uit tabel 2 is op te maken dat cognitief niveau er veel toe doet. Leerlingen wier gemiddelde score op het eindonderzoek basisonderwijs boven de mediaan ligt, scoren beduidend hoger dan leerlingen die onder de mediaan scoorden; het verschil bedraagt circa 6½ punt, dat is ongeveer een hele standaarddeviatie (F(1, 105) = 33.70, p < .001). Noch het hoofdeffect van conditie, noch de interactie tussen conditie en cognitief niveau is statistisch significant. Uit tabel 2 is dat ook eigenlijk al te zien: de verschillen tussen de condities en de verschillen tussen leerlingen van verschillend niveau in beide condities zijn marginaal. Omdat het mogelijk is dat rekenvaardigheid meer van belang is bij het profiteren van algoritmische versus heuristische instructie dan algemene cognitieve capaciteit is dezelfde analyse nog eens gedaan met het rekenvaardigheidsniveau als factor in plaats van de gemiddelde score op taal, rekenen en studievaardigheid. Dit leverde bijna exact hetzelfde resultaat op. Alleen het effect van rekenvaardigheid op de natoetsscore bleek significant (F(1, 105) = 52.43, p < .001). Noch het hoofdeffect van conditie, noch de interactie tussen conditie en het rekenvaardigheidsniveau doen ertoe. De analyses zijn ook nog per domein verricht, dus apart voor getallen, verbanden, meten en meetkunde en verhoudingen. In alle gevallen waren de uitkomsten hetzelfde. Er was steeds alleen een effect van rekenvaardigheid en geen effecten van conditie en de interactie tussen conditie en rekenvaardigheid. Er moet dus worden geconcludeerd dat de hypothese omtrent de interactie tussen algoritmisch versus heuristisch en cognitief niveau dan wel rekenvaardigheidsniveau verworpen dient te worden. Leerlingen van beide niveaus profiteren evenveel van beide soorten instructie. Tabel 3 geeft een overzicht van de correlaties tussen de drie vaardigheidsdomeinen in het eindonderzoek basisonderwijs en de natoets rekenen die in dit onderzoek is gebruikt. Tabel 3 – Correlaties tussen taal, rekenen, studievaardigheid en de natoets rekenen

Taal Rekenen Studievaardigheid Natoets

Taal 1.00 .51 .39 .42

Rekenen

Studievaardigheid

Natoets

1.00 .52 .70

1.00 .34

1.00

Noot. Alle correlaties: p < .001

Er zijn zoals verwacht substantiële correlaties tussen taal, rekenen en studievaardigheid in het eindonderzoek basisonderwijs onderling en met de natoets rekenen. De hoogste correlatie bestaat er tussen de rekenscore van het eindonderzoek basisonderwijs en de score op de natoets rekenen. Dat is een ondersteuning voor de validiteit van de in dit onderzoek gebruikte natoets rekenen. De correlaties tussen taal, rekenen, studievaardigheid, de natoets rekenen en het aantal goed gemaakte opgaven in de lessenserie geven een merkwaardig beeld. Zij bedragen respectievelijk -.41, -.20, -.02 (N = 87) en -.18 (N = 84). Ofschoon alleen de eerste correlatie statistisch significant is bij een overschrijdingskans van .05, is het beeld consistent in strijd met de verwachting.

3 Onderzoeksopzet

25

57 52 109

In figuur 4 is het verband tussen taal en de prestatie in de lessenserie aanschouwelijk gemaakt met behulp van een strooidiagram. Duidelijk is te zien dat het aantal goed beantwoorde opgaven gemiddeld afneemt naarmate de taalscore hoger is.

Figuur 4 – Verband tussen taalscore en aantal goed beantwoorde opgaven in de lessenserie

Naar de oorzaak van deze onverwachte uitkomst kan slechts gegist worden. Wellicht hebben minder taalvaardige leerlingen sneller de goede antwoorden geraadpleegd, die immers beschikbaar waren, en deze gewoon overgenomen. Misschien werden ze sneller geholpen door de leerkracht. Een andere mogelijkheid is dat vaardiger leerlingen minder inzet vertoonden tijdens de lessen. In het algemeen zijn de hints weinig geraadpleegd. In tabel 4 staat een overzicht van hints die door meer dan 10 leerlingen zijn geraadpleegd. Tabel 4 – Geraadpleegde hints (door meer dan 10 leerlingen)

Week

Opgave

2 2 3 3 3 4 5 5 5 6 6 8

1 6 3 4 6 5 4 5 6 1 6 5

Aantal maal geraadpleegd 12 16 15 10 17 16 30 20 38 16 16 22

Het is op voorhand niet duidelijk welke kenmerken van opgaven hintgebruik door leerlingen stimuleren, maar er kan verwacht worden dat de moeilijkheidsgraad hierbij een rol speelt. Dat zou betekenen dat de p-waarde van een opgave negatief zou samenhangen met de frequentie van hintgebruik. Er is echter een positieve correlatie tussen de p-waarde van de items en het aantal leerlingen dat een hint heeft geraadpleegd bij de items (r = .36, p = .013). Dat zou impliceren: hoe makkelijker een opgave, hoe meer hints er worden gebruikt. Zeer waarschijnlijk moet dit verband anders worden geïnterpreteerd, omdat de leerlingen immers na het raadplegen

26


van een hint alsnog de opgave konden beantwoorden. In deze zin is de positieve samenhang tussen p-waarden en frequentie van hintgebruik dus op te vatten als een ondersteuning voor het positieve effect van de hints. Ten slotte is nog gekeken naar de relatieve moeilijkheid van de vier domeinen, i.e., getallen, verbanden, meten en meetkunde en verhoudingen. Een multivariate variantie-analyse (herhaalde metingen) wijst uit dat de domeinen significant verschillen wat betreft hun moeilijkheidsgraad (Roy’s V = .23, F(3, 107) = 8.20, p < .001). Uit contrasten blijkt dat getallen en meten en meetkunde makkelijker zijn dan verbanden en verhoudingen. Op de acht opgaven over het domein getallen wordt significant hoger gescoord dan op de acht opgaven over verhoudingen (M = 5.12 versus 4.72, F(1, 109) = 5.95, p = .016). Ook op de opgaven voor meten en meetkunde wordt significant hoger gescoord dan op de opgaven voor verhoudingen (M = 5.20 voor meten, F(1, 109) = 11.89, p = .001). Op verbanden wordt nog lager gescoord dan op verhoudingen (M = 4.62), maar dit verschil is niet significant. Omdat er bij contrasten altijd maar één referentiecategorie is, worden de overige verschillen niet getoetst, maar gezien de geringe omvang ervan mogen we aannemen dat deze niet significant zijn.

3.4.4

Conclusies uit de interventie De veronderstelde differentiële effecten van de algoritmische en de heuristische instructiemethode zijn niet gevonden. Er is geen sprake van een verschillend profijt van de algoritmische en de heuristische instructiemethode, afhankelijk van het cognitief niveau casu quo het rekenvaardigheidsniveau van leerlingen. Timmermans en Van Lieshout (2003) vonden dat leerlingen van laag cognitief niveau die op constructivistische wijze waren geïnstrueerd weliswaar meer strategieën inzetten, maar dat niet op flexibele wijze deden. Ook leidde deze vorm van instructie niet tot meer transfer. De auteurs stellen dat het toepassen van meervoudige strategieën metacognitieve vaardigheid vereist, terwijl leerlingen van laag cognitief niveau waarschijnlijk over onvoldoende metacognitieve vaardigheid beschikken. Zij twijfelen dan ook aan de effectiviteit van constructivistische instructie voor leerlingen van laag cognitief niveau. In het huidige onderzoek is geen steun gevonden voor deze hypothese. Daar moeten echter wel enige kanttekeningen bij worden geplaatst. De heuristische instructie uit dit onderzoek is niet helemaal vergelijkbaar met een constructivistische instructie, hoewel ze wel gelijkenis vertonen. Hier werden voornamelijk heuristische hints gegeven. Ofschoon aan de leerkrachten is gevraagd hun instructie overeenkomstig de conditie waarin zij zaten, te geven, is natuurlijk nooit helemaal zeker dat zij zich daar getrouw aan hebben gehouden. In de lessen die zijn geobserveerd, was dit overigens wel het geval. Naast dit implementatievraagstuk waren de leerlingen van laag cognitief niveau in dit onderzoek leerlingen die op het eindonderzoek basisonderwijs onder de mediaan scoorden, terwijl ze in het onderzoek van Timmermans en Van Lieshout (2003) een gemiddeld intelligentiequotiënt rondom de 80 hadden. Een bijkomend probleem is dat het eindonderzoek in sommige gevallen uit de eindtoets basisonderwijs van het Cito bestond en in andere gevallen een toets van een particulier testbureau. De scores op beide toetsen zijn weliswaar geëquivaleerd, maar dit biedt geen enkele garantie voor een inhoudelijke overeenkomst. De merkwaardige bevinding dat de taalscore uit het eindonderzoek basisonderwijs negatief samenhangt met het aantal goed opgeloste opgaven in de lessenserie kan wellicht verklaard worden door de positieve correlatie tussen het aantal goed opgeloste opgaven en het aantal geraadpleegde hints. Het ligt voor de hand dat minder vaardige leerlingen meer hints raadplegen. Omdat de hints bijdragen aan het vinden van een goed antwoord, zullen deze leerlingen meer opgaven goed beantwoorden. Overigens zien we dat niet terug in de eindtoets, maar daar werden ook geen hints gegeven.

3 Onderzoeksopzet

27

De hints kunnen leerlingen dus helpen bij het oplossen van de opgaven. Didactisch gesproken is dat winst, omdat de meeste leerlingen op deze wijze zelfstandig aan de slag kunnen, terwijl de leerkracht dan de tijd heeft om zich aan zwakkere, dan wel sterkere leerlingen te wijden.

28


4 Nabeschouwing

Onderzoeksvraag 1 Berust de terugval in rekenprestaties in groep 8 op een beschikbaarheidsprobleem of op een onderhoudsprobleem? De eerste onderzoeksvraag betrof de aard van de rekenproblemen in groep 8 van het basisonderwijs. Gaat het hier om een onderhoudsprobleem of om een beschikbaarheidsprobleem? Er is getracht de vraag te beantwoorden door leerkrachten een enquête voor te leggen waarin hen werd gevraagd onderhoudsproblemen en beschikbaarheidsproblemen bij hun leerlingen te beschrijven. Leerkrachten noemden een groot aantal problemen, maar er bestond weinig overeenstemming over de aard van de problematiek. Onderwerpen die bij de ene groep leerkrachten werden gekenschetst als onderhoudsproblemen, werden door een andere groep leerkrachten juist gezien als beschikbaarheidsproblemen en vice versa. Enigszins strijdig is het gegeven dat leerkrachten de meeste problemen constateerden bij het onderwerp metriek, terwijl uit de gegevens van het interventieonderzoek blijkt dat opgaven over meten en meetkunde in de eindtoets gemakkelijker waren dan opgaven over verbanden en verhoudingen. De eerste onderzoeksvraag kan dus eigenlijk niet beantwoord worden wegens het gebrek aan overeenstemming onder leerkrachten. Onderzoeksvraag 2 Kan er door diagnose bij rekenzwakke leerlingen worden vastgesteld of het gaat om een beschikbaarheidsprobleem of om een onderhoudsprobleem? De tweede onderzoeksvraag betrof de diagnose van de aard van de rekenproblematiek, dat wil zeggen: kan er door diagnose bepaald worden of er bij rekenzwakke leerlingen sprake is van een onderhoudsprobleem dan wel een beschikbaarheidsprobleem? Als diagnostische methode is gekozen voor de hardopdenk-methode. Het hardopdenk-onderzoek werd overigens niet beperkt tot rekenzwakke leerlingen. Leerlingen kregen een zestiental opgaven voorgelegd met het verzoek deze hardopdenkend op te lossen. Als een leerling hulp nodig bleek te hebben, werden gestandaardiseerde hints aangeboden. De eerste hint was een aanwijzing die bij een onderhoudsprobleem het vinden van de juiste oplossing zou moeten faciliteren. Als een leerling niet profiteerde van deze hint werd een volgende hint gegeven die het vinden van het juiste antwoord in het geval van een beschikbaarheidsprobleem zou moeten ondersteunen. Bij sommige opgaven werd nog een derde hint gegeven indien noodzakelijk. Deze diagnostische hint was erop gericht het specifieke probleem van de leerling bij het vinden van de oplossing te achterhalen. Leerlingen hanteerden diverse strategieën die in het algemeen het onderwijs in de verschillende rekenmethoden weerspiegelden. Binnen het domein getallen werden rijgen splitsstrategieën aangetroffen. Ook werd er veel handig gerekend. En er werd veel uit het hoofd gerekend, wat bij sommige opgaven tot fouten leidde. Bij het domein verhoudingen waren breuken en percentages voor enkele leerlingen een struikelblok. Binnen meten en meetkunde werden omtrek en oppervlakte frequent verward. De opgaven over verbanden bleken voor de meeste leerlingen het makkelijkst. Overigens was dat niet geval bij de eindtoets, waar opgaven over verbanden en verhoudingen moeilijker bleken dan opgaven over meten en meetkunde en getallen.

4 Nabeschouwing

29

De hardopdenk-methode bleek zich te lenen voor diagnose. Sommige leerlingen bleken inderdaad aan één hint voldoende te hebben om de oplossing te kunnen vinden. De tweede hint leidde vaak tot succes als dat na de eerste hint was uitgebleven, maar in een substantieel aantal gevallen moesten er door de proefleider daarna nog extra aanwijzingen worden gegeven voordat de leerling tot een oplossing kwam. In sommige gevallen moest het goede antwoord door de proefleider worden gegeven en de oplossingsstrategie worden voorgedaan. Beschikbaarheidsproblematiek is in sommige gevallen dus ernstiger dan voorzien. Leerkrachten zouden de hardopdenk-methode wellicht ook kunnen toepassen als een vorm van diagnostisch gesprek bij rekenzwakke leerlingen of leerlingen die bij sommige onderwerpen extra hulp behoeven. Problemen bij het rekenen behoeven niet altijd te berusten op een algemeen rekendeficiet. Zo bleek een leerling bij het hardopdenk-onderzoek het standaardalgoritme bij vermenigvuldigen niet te beheersen, maar wist de opgave wel op te lossen met behulp van een splitsstrategie. In zo’n geval zou de leerkracht extra aandacht kunnen besteden aan het standaardalgoritme en de leerling hiermee extra laten oefenen na zorgvuldige uitleg. Onderzoeksvraag 3 Kan didactische differentiatie bijdragen aan verhoging van het rekenniveau in groep 8? De derde onderzoeksvraag had betrekking op de effectiviteit van differentiatie. Er werd verondersteld dat cognitief zwakke leerlingen of meer specifiek rekenzwakke leerlingen meer zouden profiteren van een algoritmische instructiemethode, terwijl cognitief sterke leerlingen of meer specifiek rekensterke leerlingen juist meer zouden profiteren van een heuristische instructiemethode. Er zijn twee lessenseries uitgeprobeerd binnen zes groepen 8 in het basisonderwijs, verdeeld over vijf scholen. De opgaven in de lessenseries waren voorzien van algoritmische dan wel heuristische hints of aanwijzingen. Leerlingen konden deze naar believen raadplegen als zij hulp nodig hadden bij het vinden van een oplossing. Aan de leerkrachten is gevraagd hun onderwijsaanpak in overeenkomst te brengen met het type hints van de lessenserie. Bij enkele lesobservaties leken leerkrachten hieraan grotendeels te voldoen. Er waren dus twee condities, een conditie waarin leerlingen algoritmisch rekenonderwijs kregen en een conditie waarin leerlingen heuristisch rekenonderwijs kregen. Er werd een interactie verwacht tussen het cognitief niveau of meer specifiek het rekenniveau van leerlingen en het profijt dat de leerlingen zouden hebben van het type rekenonderwijs, oftewel de conditie. Rekenzwakke leerlingen in de algoritmische conditie en rekensterke leerlingen in de heuristische conditie zouden hoger moeten scoren op de eindtoets dan rekenzwakke leerlingen in de heuristische conditie en rekensterke leerlingen in de algoritmische conditie. Deze interactie is niet gevonden en de bijbehorende hypothese dient derhalve verworpen te worden. Of hiermee de derde onderzoeksvraag ontkennend beantwoord dient te worden, is echter de vraag. De geraadpleegde hints blijken leerlingen te helpen bij het vinden van de oplossingen van de opgaven in de lessenserie. Dit biedt ruimte voor differentiatie, omdat de leerlingen op deze wijze zelfstandig kunnen werken en de leerkracht extra aandacht kan geven aan leerlingen die dat nodig hebben en daar van kunnen profiteren. Of dit tot een verhoging van het rekenniveau kan leiden, valt niet te zeggen, omdat er in dit onderzoek geen echte controlegroep deelnam.

30


Literatuur

KNAW-Commissie rekenonderwijs basisschool (2009). Rekenonderwijs op de basisschool. Analyse en sleutels tot verbetering. Amsterdam: Koninklijke Nederlandse Akademie van Wetenschappen. Craats, J. van de (2007). Waarom Daan en Sanne niet kunnen rekenen. Nieuw Archief voor Wiskunde, 5/8(2), 132-136. Ericsson, K.A. & Simon, H.A. (1993). Protocol analysis: Verbal reports as data. Cambridge: MIT Press. Gelderblom, G. (2007). Elk kind kan rekenen! Effectieve zorg in de rekenles en de rol van de schoolleider. BasisschoolManagement, 20(7), 1-6. Gelderblom, G. & Oosterman, J. (red.) (2008). Taal en rekenen op de grens van primair en voortgezet onderwijs. Amersfoort: CPS. Gille, E., Loijens, C., Noijons, J. & Zwitser, R. (2010). Resultaten PISA-2009. Praktische kennis en vaardigheden van 15-jarigen. Arnhem: Cito. Inspectie van het Onderwijs (2009). School, maak het verschil. Utrecht: Inspectie van het onderwijs. Janssen, J., Schoot, F. van der & Hemker, B. (2005). Balans van het reken-wiskundeonderwijs aan het einde van de basisschool 4. PPON-reeks, 32. Arnhem: Cito. Kraemer, J.M. (2009). Balans over de strategieën en procedures bij het hoofdrekenen halverwege de basisschool. Arnhem: Stichting Cito Instituut voor Toetsontwikkeling. Leeuw, L. de, Meijer, J., Perrenet, J.C. & Groen, W.E. (1988). De constructie en validering van een transfertest voor wiskunde-onderwijs met gebruikmaking van items met gefaseerde hulp. Amsterdam: Vrije Universiteit. Lehn, K. van (1983). On the Representation of Procedures in Repair Theory. In: H.P. Ginsburg (Ed.), The Development of Mathematical Thinking, 201-252. New York: Academic. Meijer, J. (1996). Learning potential and fear of failure. A study into the predictive validity of learning potential and the role of anxious tendency. Amsterdam: Bauer. Meijer, J. (2001). Learning Potential and Anxious Tendency: Test Anxiety as a Bias Factor in Educational Testing. Anxiety, Stress and Coping, 14(3), 337-362. Meijer, J. & Elshout, J.J. (2001). The Predictive and Discriminant Validity of the Zone of Proximal Development. British Journal of Educational Psychology, 71, 93-113.

Literatuur 31

Meijer, J., Perrenet, J.C., Zeillemaker, C.W., Leeuw, L. de, Groen, W.E. & Kok, D. (1985). A transfertest for mathematics, containing items with cumulative hints. Proceedings of the Ninth International Conference for the Psychology of Mathematics Education (Individual Contributions), 393-412. Oaxtepec: PME. Meijer, J. & Riemersma, F. (1986). Analysis of thinking aloud protocols. Instructional Science, 15(1), 3-19. Meijer, J., Vermeulen-Kerstens, L.M., Schellings, G. & Meijden, A. van der (2006). Reken- en taalvaardigheid van instromers lerarenopleiding basisonderwijs. Voorstellen ter verbetering van de rekenen taalvaardigheid van instromende studenten lerarenopleiding basisonderwijs, gebaseerd op een kleinschalig verkennend onderzoek. Amsterdam / Rotterdam: SCO-Kohnstamm Instituut / RISBO. Meijerink, H.P. (2009). Referentieniveaus taal en rekenen. Enschede: Ministerie van OCW. Ministerie van OCW (2007). Kwaliteitsagenda PO. Scholen voor morgen. Samen op weg naar duurzame kwaliteit in het primair onderwijs. Den Haag: ministerie van OCW. Netten, A., Droop, M., Verhoeven, L., Meelissen, M.R.M., Drent, M. & Punter, R.A. (2012). Trends in leerprestaties in lezen, rekenen en natuuronderwijs. PIRLS TIMMS 2011. Nijmegen / Enschede: Radboud Universiteit Nijmegen / Universiteit Twente. Riemersma, F S.J. (1991). Leren oplossen van wiskundige problemen in het voortgezet onderwijs. Amsterdam: Stichting Kohnstamm Fonds voor Onderwijsresearch. Streun, A. van (1990). Heuristisch Wiskunde-Onderwijs. Groningen: Rijksuniversiteit Groningen. Timmermans, R.E. & Lieshout, E.C.D.M. van (2003). Influence of instructiion in mathematics for low performing students on strategy use. European Journal of Special Needs Education, 18(1), 5-16. Verbeeck, K. & Verschuren, M. (2010). Het kwartje valt. Doelgericht rekenen in anders georganiseerd onderwijs. ‘s-Hertogenbosch: KPC Groep in opdracht van het ministerie van OCW.

32


Bijlagen

De volgende bijlagen zijn opgenomen: 1 Enquête beschikbaarheids- en onderhoudsproblemen 2 Referentiekader rekenen met opmerkingen van respondenten 3 Hardopdenk-instructie 4 Hardopdenk-opgaven en bijbehorende hints 5 Opgavenboekjes experimentele lessenserie 6a Algoritmische hints bij de lessenserie 6b Heuristische hints bij de lessenserie 7 Opbouw lessenserie en goede antwoorden op de opgaven 8 Handleiding rekenonderzoek

Bijlagen 33

Bijlage 1 – Enquête beschikbaarheids- en onderhoudsproblemen Beste leerkracht, Recent is enige zorg gerezen omtrent de rekenvaardigheid van leerlingen aan het einde van het basisonderwijs. Om meer zicht te krijgen op problemen rondom het niveau van beheersing van deze leerlingen voert KPC Groep een onderzoek uit onder leerkrachten die aan groep 8 rekenonderwijs verzorgen. Deze problemen kunnen betrekking hebben op een gebrek aan beschikbaarheid van benodigde kennis en vaardigheid of op een gebrek aan onderhoud van kennis en vaardigheid. Bij een gebrek aan beschikbaarheid zullen benodigde kennis en vaardigheid opnieuw aangeboden moeten worden, bij een gebrek aan onderhoud zou kunnen worden volstaan met enige herhaling en oefening. Wij vragen u om uw visie op deze problematiek weer te geven. Zou u kunnen aangeven welke beschikbaarheids- of onderhoudsproblemen u in uw praktijk tegenkomt? Het kan natuurlijk ook zo zijn dat u van mening bent dat er geen problemen spelen op dit vlak of dat er een geheel andere problematiek speelt. Wilt u dat dan ook aangeven? We hebben gekozen voor open vragen om een zo uitputtend mogelijke inventarisatie van expertoordelen te verkrijgen. Bij voorbaat heel hartelijk dank voor uw medewerking! Mw. Dr. J. van der Hoeven Dr. J. Meijer ___________________________________________________________________________________________________________________________________

Naam leerkracht: School: Welke beschikbaarheidsproblemen (dus de leerling weet of kent dit gewoon niet en had dat in feite moeten weten of kennen) komt u bij rekenen in uw groep tegen? _______________________________________________________________________________________ Welke onderhoudsproblemen (de leerling weet het wel, maar is het weer vergeten en het dient weer opgefrist te worden, maar de basis ligt er wel; hij reageert in de zin van ‘Oh ja, hoe zat dat alweer?’) komt u in uw praktijk tegen? _______________________________________________________________________________________ Zijn er rekenproblemen van geheel andere aard in uw groep? _______________________________________________________________________________________ Heeft u nog andere opmerkingen of suggesties? _______________________________________________________________________________________

Heel hartelijk dank voor het invullen!

34


Bijlage 2 – Referentiekader rekenen met opmerkingen van respondenten Noot: (O): onderhoudsprobleem, (B): beschikbaarheidsprobleem, (A): probleem van andere aard Paraat hebben Getallen De relaties groter/kleiner dan Breuknotatie met horizontale streep Teller, noemer, breukstreep Tienstructuur Onderliggend aan automatisering rondom tafels blijkt het doortellen en aftellen op de getallenlijn, sprongen van 10, 100, 1000 niet vlot en soepel te verlopen (B) Getallenrij Getallenlijn met gehele getallen en eenvoudige decimale getallen Uit het hoofd splitsen, optellen en aftrekken onder 100, ook met eenvoudige decimale getallen Rekenen tot 100: optellen en aftrekken tot 100 (O) Producten uit de tafels van vermenigvuldiging (tot en met 10) uit het hoofd kennen Onvoldoende automatisering van de tafeltjes (B) Automatiseren van de tafels en de daarbij behorende deelsommen (O) Keer- en deeltafels (B) Tafels van vermenigvuldiging en deling niet geautomatiseerd (B) Tafels van vermenigvuldiging en deling (O) Automatisering van tafels is niet bij alle kinderen aanwezig (terwijl deze in voorafgaande jaren in orde was, getraind is). Dit is duidelijk te merken bij de toepassing en verdieping breuken (B) De kennis / automatisering rondom de tafels is beneden de maat, hierdoor veel problemen met de deelsommen, de breuken en de procenten. Leerlingen raken gedemotiveerd en vinden rekenen niet meer uitdagend… (B) De problemen liggen binnen ons SBO met name op het gebied van automatisering, de basis is nauwelijks aanwezig (O) Tafeltjes (O) Delingen uit de tafels (tot en met 10) uitrekenen Uit het hoofd optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen met ‘nullen’, ook met eenvoudige decimale getallen Efficiënt rekenen (+, -, ×, :) gebruikmakend van de eigenschappen van getallen en bewerkingen, met eenvoudige getallen Optellen en aftrekken (waaronder ook verschil bepalen) met gehele getallen en eenvoudige decimale getallen Vermenigvuldigen van een getal met één cijfer met een getal met twee of drie cijfers Vermenigvuldigen van een getal van twee cijfers met een getal van twee cijfers Getallen met maximaal drie cijfers delen door een getal met maximaal 2 cijfers, al dan niet met een rest Cijferen onvoldoende (B) Cijferend vermenigvuldigen en delen (B) Cijferend optellen en aftrekken (O) Cijferend vermenigvuldigen en meer nog cijferend delen (O) Vergelijken en ordenen van de grootte van eenvoudige breuken en deze in betekenisvolle situaties op de getallenlijn plaatsen Grote kommagetallen plaatsen op de getallenlijn Begrip van breuken (B) Rekenen met grote getallen (B) Positioneren van kommagetallen (B)

Bijlagen 35

Paraat hebben Getallen Omzetten van eenvoudige breuken in decimale getallen Deelsommen met rest als breuk of kommagetal Optellen en aftrekken van veelvoorkomende gelijknamige en ongelijknamige breuken binnen een betekenisvolle situatie Optellen en aftrekken van breuken (O) Breuken optellen en aftrekken (vermenigvuldigen en delen) (B) Breuken (O) Breuken optellen/aftrekken/vermenigvuldigen en vereenvoudigen van breuken (O) Geheel getal (deel van nemen) Schattend delen met gehele getallen Schatten in combinatie met o.a. cijferend delen (O) In een betekenisvolle situatie een breuk vermenigvuldigen met een geheel getal Verhoudingen Een vijfde deel van alle Nederlanders korter schrijven als ‘1/5 deel van ...’ 3,5 is 3 en 5/10 ‘1 op de 4’ is 25% of ‘een kwart van’ Geheel is 100% Eenvoudige relaties herkennen, bijvoorbeeld dat 50% nemen hetzelfde is als ‘de helft neemt’ of hetzelfde als ‘delen door 2’ Rekenen met eenvoudige percentages (10%, 50%, ...) Met procenten rekenen (O) Meten en meetkunde Uitspraak en notatie van: • (Euro)bedragen Geld (B) • Tijd (analoog en digitaal) Digitale tijden (O) Tijd (B) • Kalender, datum (23-11-2007) Sommige begrippen zijn niet bekend, bijvoorbeeld gros, decennia, maanden van het jaar, dagen in een jaar, kwartaal, seizoen (A) • Lengte-, oppervlakte- en inhoudsmaten • Gewicht • Temperatuur Omtrek, oppervlakte en inhoud Oppervlakte van ongelijknamige figuren Metriek stelsel, met name inhoud Metriek stelsel (B) Metriek stelsel (B) Oppervlaktematen (B) Metriek stelsel (O) Oppervlaktematen (O) Meten en gewicht: berekenen van oppervlakte en inhoud en herleiden van oppervlaktematen en inhoudsmaten (O) Metriek stelsel: omzetten van maten, optellen van verschillende maten (B) Metriek stelsel (O) Meten, tijd en geld blijft een moeilijkheid (vooral meten en tijd). Inhoudsmaten, oppervlakte et cetera (B) Meten – herleidingen (sommen als 1 dm2 = … cm2 of 1 dm3 = ... cm3) (B) →

36


Paraat hebben Meten en meetkunde Meten inhoud (B) Meten omtrek / oppervlakte (O) Metriek stelsel: kent te weinig concrete invulling. Leerlingen hebben vaak geen notie van wat de maat voorstelt (B) Metriek stelsel breed (O) Namen van enkele vlakke en ruimtelijke figuren, zoals rechthoek, vierkant, cirkel, kubus, bol Veelgebruikte meetkundige begrippen zoals rond, recht, vierkant, midden, horizontaal etc. 1 dm3 = 1 liter = 1000 ml Een 2D-representatie van een 3D-object zoals foto, plattegrond, landkaart (inclusief legenda), patroontekening Draaien en spiegelen van figuren (B) Schattingen maken over afmetingen en hoeveelheden Oppervlakte benaderen via rooster Omtrek en oppervlakte berekenen van rechthoekige figuren Routes beschrijven en lezen op een kaart met behulp van een rooster Verbanden Informatie uit veelvoorkomende tabellen aflezen zoals dienstregeling, lesrooster Eenvoudige tabel gebruiken om informatie uit een situatiebeschrijving te ordenen Op de juiste manier verhoudingstabellen gebruiken en toepassen (O) Verhoudingstabellen (O) Eenvoudig staafdiagram maken op basis van gegevens

Bijlagen 37

Functioneel gebruiken Getallen Uitspraak en schrijfwijze van gehele getallen, breuken en decimale getallen Uitspraak van getallen – grote getallen, maar zeker ook kommagetallen (O) Correct uitspreken of benoemen van kommagetallen (B) Getalbenamingen zoals driekwart, anderhalf en miljoen Vertalen van eenvoudige situatie naar berekening Procenten toegepast in verhaaltjes Redactiesommen waarbij veel taal wordt gebruikt Verhalen lezen en daar de juiste som uithalen (B) Redactierekenen (B) Redactierekenen (O) In contextsommen breuken en kommagetallen herkennen en daarna vermenigvuldigen (O) De taligheid van het rekenonderwijs is voor veel taalzwakke kinderen een groot struikelblok (B) Ja, vooral de redactionele sommen, met name bij de leerlingen met dyslexie. Ze moeten alles op alles zetten om de tekst te lezen, het lijkt alsof er dan geen ‘puf’ meer is om de som te bedenken die hierbij hoort (A) Omgaan met vraagstukjes: het goed kunnen lezen van de vraagstukjes, het analyseren van het vraagstukje, het formuleren van de rekenvraag, het komen tot de juiste bewerkingen (A) Afronden van gehele getallen op ronde getallen Globaal beredeneren van uitkomsten Splitsen en samenstellen van getallen op basis van het tientallig stelsel Globaal (benaderend) rekenen (schatten) als de context zich daartoe leent of als controle voor rekenen met de rekenmachine In contexten de rest (bij delen met rest) interpreteren of verwerken Verstandige keuze maken tussen zelf uitrekenen of rekenmachine gebruiken (zowel kaal als in eenvoudige dagelijkse contexten zoals gelden meetsituaties) Kritisch beoordelen van een uitkomst Verhoudingen Notatie van breuken (horizontale breukstreep), decimale getallen (kommagetal) en procenten (%) herkennen Schattend vermenigvuldigen met kommagetallen Vermenigvuldigen van breuken met elkaar Vermenigvuldigen en delen met breuken (O) Breuken delen (B) Bewerkingen (vermenigvuldigen en delen) met kommagetallen (B) Taal van verhoudingen (per, op, van de) Verhoudingen herkennen in verschillende dagelijkse situaties (recepten, snelheid, vergroten/ verkleinen, schaal enzovoort) Beschrijven van een deel van een geheel met een breuk Deelsommen (O) Het maken van de deelsommen (inzichtelijke wijze) vraagt zeer veel tijd. De oude staartdeling maken de kinderen veel sneller (en ze begrijpen wat ze doen) (B) Breuken met noemer 2, 4, 10 omzetten in bijbehorende percentages Eenvoudige verhoudingen in procenten omzetten, bijvoorbeeld 40 op de 400 Breuken omzetten in procenten en omgekeerd (O) Eenvoudige verhoudingsproblemen (met mooie getallen) oplossen Problemen oplossen waarin de relatie niet direct te leggen is: 6 pakken voor 18 euro, voor 5 pakken betaal je dan ...

38


Functioneel gebruiken Meten en meetkunde Meetinstrumenten aflezen en uitkomst noteren; liniaal, maatbeker, weegschaal, thermometer enzovoort Verschillende tijdseenheden (uur, minuut, seconde, eeuw, jaar, maand) Aantal standaard referentiematen gebruiken (‘een grote stap is ongeveer een meter’, in een standaard melkpak zit 1 liter) Eenvoudige routebeschrijving (linksaf, rechtsaf) In betekenisvolle situaties samenhang tussen enkele (standaard)maten: • km → m • m → dm, cm, mm • l → dl, cl, ml • kg → g, mg Rekenen met schaal Schaal (B) Tijd (maanden, weken, dagen in een jaar, uren, minuten, seconden) Afmetingen bepalen met behulp van afpassen, schaal, rekenen Maten vergelijken en ordenen Veel voorkomende maateenheden omrekenen Liniaal en andere veelvoorkomende meetinstrumenten gebruiken Verbanden Eenvoudige globale grafieken en diagrammen (beschrijving van een situatie) lezen en interpreteren Samengestelde grafieken lezen en conclusies trekken (B) Grafieken/tabellen lezen en gebruiken (O) Eenvoudige legenda Eenvoudige patronen (vanuit situatie) beschrijven in woorden, bijvoorbeeld: vogels vliegen in V-vorm. Er komen er steeds 2 bij. Kwantitatieve informatie uit tabellen en grafieken gebruiken om eenvoudige berekeningen uit te voeren en conclusies te trekken, bijvoorbeeld: in welk jaar is het aantal auto’s verdubbeld ten opzichte van het jaar daarvoor? Overige De methode Rekenrijk is voor de doorsneeleerling al erg moeilijk. Daarbij is de I-lijn (voor zwakke rekenaars) wel erg fijn Priemgetallen (B) In groep 8b heb ik op dit moment geen rekenproblemen. In groep 7b heb ik 1 kind dat er veel moeite mee heeft (B) De basis komt steeds terug in herhalingen. Automatiseren is zelfs in de bovenbouw nog steeds van toepassing. Het oh ja-verhaal komt nog heel bekend voor. Ligt vaak ook aan de methode, die slingeren nieuwe sommen in de stof, oefenen deze gedurende 4 à 5 lessen en brengen deze weer terug na 3 blokken. Dan zit het bij de meesten er nog niet goed in. Van omgang met breuken, metriek stelsel en zo kan ik er nog veel opnoemen (O) Op dit moment heb ik 1 kind dat er echt veel moeite mee heeft. Ze struikelt vooral over de vraag wat moet ik hier nou eigenlijk uitrekenen. De sommen met context kan ze dus echt niet. Met haar mondeling aan de slag 1 op 1, dan komt ze eruit. Kale sommen dat lukt haar wel, daarbij maakt ze afgebakende stof (A) De bovenstaande punten zijn duidelijk naar voren gekomen tijdens de analyses van Cito-toetsen, trendanalyse en groepsbesprekingen (B)

Bijlagen 39

Functioneel gebruiken Overige Veel leerlingen met zware sociaal-emotionele problemen, het lijkt alsof ze geen ‘ruimte’ hebben om sommen te (willen) maken. Hierdoor vaak grote achterstanden op het gebied van rekenen (A) Rekenlessen worden vaak volgens de methode gegeven, maar deze past, vooral in bovenbouw met grote verschillen, niet bij het aanbod, wat wel wenselijk is Veel duo’ers, invalleerkrachten maken het moeilijk om het juiste aanbod te geven. Er wordt dan gauw naar een methode gegrepen en vervolgens weten de leerlingen niet hoe ze de som moeten aanpakken, veel frustratie bij leerkracht en leerling Gemiddelde berekenen (B) Werken met haakjes (B) Geen probleem, maar wel bepalend voor didactiek. Wat mij betreft erg belangrijk steeds opnieuw accent te leggen op vergroten van inzicht bij kinderen in het waarom van het kiezen voor een bepaalde strategie. Helder maken welke vaardigheid nu eigenlijk geoefend wordt door een bepaalde som te maken. Gaat het om onderhouden van vaardigheden, inzicht in strategieën, strategie die mogelijk bij andere sommen ook toe te passen is. Zoals bij de taalen spellingmethode in het boek vermeld staat wat het doel van de les is, zou dit wellicht ook bij rekenen kunnen. Een blok bovenaan de les met daarin vermeld wat geleerd of geoefend/ getraind gaat worden. Groeperen van sommen onder kopjes als: Trainen / Oefenen / Nieuw o.i.d. Ik denk dat dit kinderen zowel inzicht geeft in het waarom als ook uitdaagt en daarmee de betrokkenheid bij het leerproces vergroot wordt (A)

40


Bijlage 3 – Hardopdenk-instructie Lees aan het begin de volgende instructie voor: “Wij willen graag weten wat je denkt terwijl je de sommen maakt die ik je straks zal geven. Omdat we dat niet kunnen afleiden uit wat je doet, vragen we je tijdens het maken van de sommen hardop te denken. Dit houdt in dat je alles wat je denkt ook gewoon hardop moet zeggen. Je hoeft dus niet speciaal samenvattingen te geven van wat je hebt gedacht of extra uitleg: gewoon zeggen wat je denkt. Probeer wel duidelijk genoeg te zijn in wat je zegt. Dus, bijvoorbeeld: “Nu tel ik 6 en 8 bij elkaar op” in plaats van: “Dan tel ik nu dit getal en dat andere getal op”. Tijdens de taken blijf ik erbij zitten en zal ik als ik denk dat je vergeet hardop te denken je daar aan herinneren. Omdat we willen vastleggen wat je tijdens het maken van de sommen hebt gedaan, maken we geluidsopnamen.” Controleer of de leerling de instructie heeft begrepen. Vraag daartoe aan de leerling of hij/zij wil uitleggen wat hij of zij nu precies moet doen. Als leerlingen tijdens de hardopdenk-sessies stil vallen, spoor ze dan aan om te blijven doorgaan met hardop denken. Gebruik daarvoor de volgende aanmoedigingen: • “Blijf hardop denken.” • “Wil je hardop denken?” • “Blijf praten alsjeblieft. • “Wat ben je nu aan het doen?” Ga niet met leerlingen in discussie en verleen ook geen inhoudelijke hulp. Als proefleider moet je niet met de proefpersoon mee gaan praten. Dat heeft invloed op het denkproces van de leerling en moet absoluut worden voorkomen. Geef de leerlingen voorafgaande aan de taken en toetsen gelinieerd papier en dring erop aan dat ze daarvan gebruikmaken.

Bijlagen 41

Bijlage 4 – Hardopdenk-opgaven en bijbehorende hints Getallen 1

Hoeveel is 2004 gedeeld door 4?

Onderhoud Beschikbaarheid Diagnostisch

2

15 x 9 =

Onderhoud Beschikbaarheid Diagnostisch

3

Zet de getallen onder elkaar. Eerst onderhoud. Trek dan de tientallen af. Kun je er eentje lenen?

Reken uit: 41 x 178 =

Onderhoud Beschikbaarheid

42

Hoe schrijf je 1 miljoen? Eerst onderhoud en dan: 0,5 miljoen is ½ miljoen. Dat is vijfhonderdduizend. Hoe schrijf je dat in cijfers?

Reken uit: 2368 – 385 =

Onderhoud Beschikbaarheid 5

Kun je de getallen zó uit elkaar halen dat je twee makkelijkere sommen krijgt? Hoeveel is 10 x 9? Hoeveel is 5 x 9? Wat moet je nu doen om het antwoord te krijgen? Kun je een verhaal/tekening bedenken bij deze som? (Begrip van vermenigvuldiging checken)

Nederland heeft ongeveer 16,5 miljoen inwoners. Hoe schrijf je 16,5 miljoen in cijfers?


4

Kun je de getallen zó uit elkaar halen dat je twee makkelijkere sommen krijgt? Hoeveel is 2000 gedeeld 4? En 4 gedeeld door 4? Eerst 1. Tel beide uitkomsten bij elkaar op. Hoe kun je nu je antwoord controleren?

Zet de getallen onder elkaar met het kleinste getal onderaan. 178 41 178 …… Welk getal komt er onder de 8 te staan? Of als de leerling kolomsgewijs aan het rekenen is: 178 41x 1 x 8 1 x 70 ……


6

De 435 leerlingen van basisschool de Blaak moeten voor de sportdag in 8 gelijke groepen worden verdeeld. Leerlingen die overblijven, mogen helpen bij de gymtoestellen. Hoeveel leerlingen zijn dat?


Je moet 435 door 8 delen om de grootte van elke groep te berekenen. Je houdt dan een rest over. 400 : 8 = ….. Hoeveel leerlingen moet je nog in groepjes verdelen? Hoeveel groepjes kun je nog maken? Hoeveel leerlingen blijven over?

Verhoudingen 7

Schrijf ¾ als een percentage en als een kommagetal.

Onderhoud Beschikbaarheid Diagnostisch 8

Reken uit: 12,99 + 1,99 =


Diagnostisch 9

Kun je hier handig rekenen bij gebruiken? En als je aan geld denkt? Bij welk getal ligt 12,99 dicht in de buurt? En nu je dit weet, kun je dan de som uitrekenen? 12,99 is 0,01 (spreek uit: 1 honderdste) minder dan 13,00. Kun je het antwoord schatten?

Hoeveel blikken van 0,5 liter kun je halen uit een kan van 10 liter?

Onderhoud

Beschikbaarheid Diagnostisch 10

Hoeveel procent is ¼? ¼ is 25%. Hoe schrijf je dat als kommagetal? En als je aan geld denkt? Teken de breuk. (Begrip breuken)

Hoe vaak gaat een half in 10? Of: Wat moet je doen om de komma uit de opgave te halen? (Beide met 10 vermenigvuldigen) 1 blik is een halve liter. Hoeveel passen er dan in 1 liter? Kun je de opgave tekenen?

Froukje koopt een broek van 80 euro. Bij de kassa krijgt ze 10% korting. Hoeveel euro moet Froukje nu betalen voor de broek?


Hoeveel korting krijgt ze? Wat is dan de nieuwe prijs? Wat is 1%? Of: Het hoeveelste deel is 10%? Trek dit van de oorspronkelijke prijs af.

Bijlagen 43

Meten en meetkunde 11

Wat is ongeveer de oppervlakte van een duimnagel?


12

Schat de oppervlakte van jouw duimnagel. Kun je dit omrekenen naar de andere maten? Hoe groot is een cm? 1 cm2 is gelijk aan 1 x 1 cm. 1 cm2 is gelijk aan … x … mm.

Hoeveel blokjes van 1 cm³ passen er in dit doosje?

4 cm 6 cm


13

2 cm

Als je alleen de bodem van het doosje met blokjes van 1cm³ zou bedekken, hoeveel blokjes heb je dan nodig? Hoeveel lagen heb je nodig om het doosje helemaal te vullen? Hoeveel blokjes heb je dan dus nodig?

Wat is de omtrek van deze tuin?

67 m

43 m Onderhoud Beschikbaarheid Diagnostisch

44

Hoe reken je de omtrek uit? Stel je voor dat je een hek om de tuin moet zetten. Hoeveel meter moet dit zijn? Wijs de omtrek aan.


Verbanden 14

In welke maand was de verkoop van frisdrank het hoogst?


15

Wat kun je in de grafiek aflezen? Wat is de lijn van frisdrank? Bij welke maand komt de grafiek het hoogst?

Hieronder zie je een grafiek die laat zien hoe de temperatuur in de loop van een dag verandert. Hoeveel graden Celsius was de temperatuur om 5 uur ’s middags?


Wat kun je in de grafiek aflezen? Hoe kun je 5 uur ’s middags anders schrijven? Waar kun je de temperatuur aflezen?

Bijlagen 45

16

Welke soort boeken heeft de school het meest?


46

Welk vlak is het grootst? Welke soort boeken horen bij het gearceerde vlak?


Bijlage 5 – Opgavenboekjes experimentele lessenserie

Rekenonderzoek

School:

__________________________________________________________________

Naam:

__________________________________________________________________

Groep:

________________

Noot Bij de opgaven voor de leerlingen was het volgende aangegeven: • Maak eerst alle 6 de sommen. Snap je iets niet, sla het dan over. • Daarna mag je de hints bekijken voor de sommen die je niet begreep. • Snap je het nog niet? Vraag dan je juf om uitleg. • Kijk de sommen aan het eind van de les na.

Bijlagen 47

Opgaven week 1

1

Reken uit: 41 x 178 = __________

2

Reken uit: 2368 – 385 = __________

3

Vul het goede getal in.

4

Reken uit. Vereenvoudig je antwoord als het kan.

3

5

Hoeveel blikken van 0,5 liter kun je halen uit een kan van

10 liter?

__________ blikken

6

Froukje koopt een broek van 80 euro. Bij de kassa krijgt ze

10% korting.

Hoeveel euro moet Froukje nu betalen voor de broek?

__________ euro

48

1 3 – 2 = __________ 4 8


Opgaven week 2

1

2

Maak de tabel af. Oude prijs

Korting (%)

Nieuwe prijs

€ 280

…. %

€ 245

Oude prijs

Korting (%)

Nieuwe prijs

€ 120

18%

€ ….

Maak de tabel af.

3

Ik fiets in 45 minuten naar mijn broer, 20 km verderop.

Hoe lang moet ik fietsen naar mijn oom, die 12 km

hiervandaan woont? Ik rijd altijd met dezelfde snelheid.

__________ minuten

4

In de tijd dat Homer 5 stukjes vlees eet, eet zijn vrouw

Marge 2 stukjes vlees.

Hoeveel stukjes vlees heeft Marge opgegeten, als Homer

20 stukjes vlees op heeft?

__________ stukjes

5

Reken uit: 2,4 : 0,3 = __________

6


6

3 1 x = __________ 8 3

Bijlagen 49

Opgaven week 3

1

Hoeveel blokjes van 1 cm3 passen er in dit doosje?

4 cm __________ blokjes 2

2 cm

6 cm


67 m

43 m

De omtrek is __________ meter.

3

Hoeveel liter past er in? Reken uit.

300 mm 15 cm

50

0,5 m

De inhoud is __________ liter.


4

Wat is de omtrek van de figuur hieronder? __________

65 mm

35 mm

1 cm

6 cm

5

In deze grafiek zie je het aantal toeristen in een stad.

Wat is ongeveer het verschil tussen de rustigste en de drukste maand?

__________

Bijlagen 51

6

Op het kaartje staan de afstanden door de lucht aangegeven.

Wat moet er in de tabel op de plaats van het blauwe vraagteken

ingevuld worden?

__________

52


Opgaven week 4

1

Kijk in de grafiek. Vul in hoeveel procent.

De vakjes ‘aantal’ hoef je niet in te vullen.

Techniek Aantal %

Muziek Aantal

%

Leuk

….. %

….. %

Niet leuk

….. %

….. %

Weet niet

31

10%

93

30%

Totaal

310

100%

310

100%

Bijlagen 53

2

Bekijk de afstandentabel van België.

Welke steden liggen het verst van elkaar?

De steden die het verst van elkaar liggen zijn:

________________________________________________________

3

Bekijk de staafgrafiek. Hoeveel bezoekers waren er vrijdag?

__________ bezoekers

54


4

Bekijk de grafiek.

Hoeveel kinderen van 12 jaar waren er ongeveer in 2003?

__________ kinderen

Bijlagen 55

5

Wat is de oppervlakte van de figuur hieronder?

De oppervlakte is __________

65 mm

35 mm

1 cm

6 cm

6

Wat is de omtrek van de figuur hieronder?

De omtrek is __________ cm 30 cm

20 cm 500 mm

2,5 dm

2 dm

60 cm 56


Opgaven week 5

1

Reken uit. Vereenvoudig je antwoord als het kan. 3 1 3 – 1 = __________ 4 3

2

Waar ongeveer moet het middelste kaartje op de getallenlijn komen te

hangen? Trek een lijn.

3

Zet onder elkaar en reken uit: 2.539,037 + 592,88 = __________

4

16% van de bewoners van de plaats Hoofddam is ouder dan 70 jaar.

Schrijf dit als een breuk.

__________ 5

Op basisschool De Kameleon bestaat 45% van de leerlingen uit meisjes.

Er zitten 180 meisjes op De Kameleon.

Hoeveel kinderen zitten er totaal op

De Kameleon?

__________ kinderen

Bijlagen 57

6 Het water van de Rijn verspreidt zich als het Nederland binnenkomt over meerdere rivierarmen. Eerst gaat 65% naar de Waal en 35% van het water naar de Nederrijn. Vervolgens splitst de Nederrijn zich vlak voor Arnhem en gaat 60% van het water naar de Lek en 40% naar de IJssel. Hoeveel procent van het Rijnwater komt in het IJsselmeer terecht? __________

58


Opgaven week 6

1

Hoeveel liter water zit er in een kubieke meter water (1 m3)?

__________ liter

2

Een foto van 12 bij 18 cm wordt 3 keer verkleind.

Wat wordt de oppervlakte van de verkleinde foto?

__________

3

Reken uit Punt A

Punt B -----------

63,80 km

68,20 km

Hoeveel kilometer is er afgelegd tussen punt A en punt B? __________ km

Bijlagen 59

4 De Internationale Schaatsunie ISU publiceert op haar website een overzicht van hoe de schaatsrecords zich in de loop van de tijd ontwikkeld hebben. De onderstaande figuur geeft aan op welk moment welke records behaald zijn door mannen met klapschaatsen op de 10.000 meter lange baan in een indoorbaan in de periode 1998 – 2007. De verschillende recordtijden zijn als punten in de onderstaande figuur weergegeven. Wanneer werd het schaatsrecord het meest verbeterd? ____________

60


5

Hoe langer een kaars brandt, hoe korter hij wordt.

Er is een verband tussen de brandtijd en de lengte van een kaars.

Bij dit verband is een grafiek getekend.

Hoeveel cm wordt deze kaars elk uur korter?

__________ cm

6

Van een rechthoek is de oppervlakte 600 m2.

Bereken de lengte van de rechthoek als de breedte 15 m is.

De lengte is __________

Bijlagen 61

Opgaven week 7

1

Stel dat de blokken voor de inhoud van een melkpak staan.

In het pak past 4,5 liter.

Hoeveel ml zit er nog in het pak? ____________ ml

2

Wat is de oppervlakte van het grijze vlak? __________

62


3

Wat is de oppervlakte van 1 driehoek?

__________ cm2

4 Hoveniersbedrijf Jongman rekent voor het winterklaar maken van een tuin € 75,- plus € 4, - per m2.

Meneer Van Gils heeft zijn tuin laten opknappen.

Hij kreeg een rekening van € 475,-.

Hoe groot is de tuin van meneer Van Gils?

__________

Bijlagen 63

5 Jan is 1,90 m lang en weegt 99 kilo. Hoeveel moet hij op zijn minst afvallen om een normaal gewicht te krijgen?

____________ kg

6

Franny en Stefan maken een wandeltocht van 12 km.

Ze starten om 11.45 uur.

Na de tocht is van deze wandeling een grafiek gemaakt.

Hoe laat gingen ze voor de tweede keer rusten?

Om __________ uur.

64


Opgaven week 8

1

Reken uit: 0,034 x 1,4 = __________

(Zet de getallen onder elkaar.)

2

Reken uit: 489543 + 719568 = __________

3

Trek het getal 842070 af van het getal 922945.

Het antwoord is __________

4

Schrijf 0,001 als een percentage.

__________

5

We gaan limonade maken voor de hele school.

1 fles limonade moet aangelengd worden met 8 flessen water:

Voor elke groep is 1 fles limonade en 8 flessen water genoeg.

De school heeft 8 groepen.

Hoeveel flessen water zijn er nodig voor de hele school?

__________ flessen water

6

Recept: gebruik 10 kopjes meel voor 20 personen.

Hoeveel kopjes moet je dan gebruiken voor 4 personen?

_________ kopjes

Bijlagen 65

Heb je hints gebruikt? Week 1 Ik heb deze les wel/geen hints gebruikt. Als je wel hints hebt gebruikt, bij welke som(men)?  1

hint hielp wel / niet

 2


 3


 4


 5


 6


Week 2 Ik heb deze les wel/geen hints gebruikt. Als je wel hints hebt gebruikt, bij welke som(men)?  1


 2


 3


 4


 5


 6




 2


 3


 4


 5


 6


66




 2


 3


 4


 5


 6




 2


 3


 4


 5


 6




 2


 3


 4


 5


 6


Bijlagen 67



 2


 3


 4


 5


 6




 2


 3


 4


 5


 6


68

Hartelijk dank voor jullie hulp!!!


Bijlage 6a – Algoritmische hints bij de lessenserie Op de volgende pagina’s zijn de algoritmische hints van de acht lessen weergegeven.

Bijlagen 69

Hints week 1 (A) 1


Zet de getallen onder elkaar en vermenigvuldig ze cijferend met elkaar. 178 41 x 178 ?2. Hoe ga je verder?

2

Reken uit: 2368 – 385 =

Zet het getal wat je er af moet halen onder het getal waar je iets van moet aftrekken en trek cijferend af. 1 2368 385 ??83 Hoe ga je verder?

3


Na 1,1 komt 1,11; 1,12; 1,13 …… Tel zo door.

70


4


31 – 23 4 8 Maak de breuken gelijknamig voordat je gaat uitrekenen.

5


Je kunt beide getallen met 10 vermenigvuldigen.

6 Froukje koopt een broek van 80 euro. Bij de kassa krijgt ze 10% korting.

Hoeveel euro moet Froukje nu betalen voor de broek? 80 euro is 100%. 1% is hoeveel euro?

Bijlagen 71

Hints week 2 (A) 1


Korting (%)

Nieuwe prijs

€ 280

…. %

€ 245

De korting is € 35,-. Hoeveel is 280 gedeeld door 35?

2


Korting (%)

Nieuwe prijs

€ 120

18

€ ….

Hoeveel is 1% van de oude prijs?

3


Hoe lang moet ik fietsen naar mijn oom, die 12 km hiervandaan woont? Ik rijd altijd met dezelfde snelheid.

Gebruik een verhoudingstabel.

afstand 20 km tijd 45 minuten

72

:5

x3

4 km ?

12 km ?

:5

x3


4 In de tijd dat Homer 5 stukjes vlees eet, eet zijn vrouw Marge 2 stukjes vlees. Hoeveel stukjes vlees heeft Marge opgegeten, als Homer 20 stukjes vlees op heeft? Maak een verhoudingstabel.

5

Reken uit: 2,4 : 0,3 =

Schuif de komma van beide getallen één positie naar rechts.

6

Reken uit. Vereenvoudig je antwoord als het kan. 3 1 6 x = __________ 8 3

Vermenigvuldigen met

1 is hetzelfde als delen door 3. 3

Bijlagen 73

Hints week 3 (A) 1


4 cm

2 cm

6 cm

De formule voor inhoud is: lengte x breedte x hoogte.

2

Wat is omtrek van deze tuin?

67 m

43 m

De formule voor omtrek is: 2 x (lengte + breedte).

3


300 mm 15 cm 0,5 m De formule voor inhoud is: lengte x breedte x hoogte.

74


4


65 mm

35 mm

1 cm

6 cm 65 mm = 6,5 cm 35 mm = 3,5 cm

5 In deze grafiek zie je het aantal toeristen in een stad. Wat is ongeveer het verschil tussen de rustigste en de drukste maand?

Maart is de drukste maand en mei de rustigste.

Bijlagen 75

6


Wat moet er in de tabel op de plaats van het blauwe vraagteken ingevuld worden?

Hoe vind je de afstand tussen Amsterdam en Athene?

76


Hints week 4 (A) 1


De vakjes ‘aantal’ hoef je niet in te vullen .

Techniek Aantal %

Muziek Aantal

%

Leuk

….. %

….. %

Niet leuk

….. %

….. %

Weet niet

31

10%

93

30%

Totaal

310

100%

310

100%

Hoeveel procent is de afstand tussen twee streepjes in de grafiek?

Bijlagen 77

2



Zijn er steden die meer dan 300 km van elkaar liggen?

3

Bekijk de staafgrafiek.

Hoeveel bezoekers waren er vrijdag?

Vrijdag is de vijfde dag van de week.

78


4

Bekijk de grafiek.


Je moet niet naar de rode en blauwe staafjes kijken.

Bijlagen 79

5


65 mm

35 mm

1 cm

6 cm Verdeel de figuur in een rechthoek en een driehoek.

6


30 cm

20 cm

500 mm

2,5 dm

2 dm

60 cm De omtrek is gelijk aan de som van alle zijden. 80


Hints week 5 (A) 1


? 3 ? 1 3 3 = 12 , 1 4 = 12

2 Waar ongeveer moet het middelste kaartje op de getallenlijn komen te hangen? Trek een lijn.

Is 5 450 000 kleiner dan 5½ miljoen of groter?

3

Zet onder elkaar en reken uit: 2.539,037 + 592,88 = __________

592,88 is gelijk aan 592,880

4 16% van de bewoners van de plaats Hoofddam is ouder dan 70 jaar.

Schrijf dit als een breuk.

4% is

1 van 100% 25

Bijlagen 81

5

Op basisschool De Kameleon bestaat 45% van de leerlingen uit meisjes.


Hoeveel kinderen zitten er totaal op De Kameleon?

5% is dus 1/9 van 45% 45% = 180 Dus 5% = 1/9 van 180 Hoeveel kinderen zijn dat?

6 Het water van de Rijn verspreidt zich als het Nederland binnenkomt over meerdere rivierarmen.

Eerst gaat 65% naar de Waal en 35% van het water naar de Nederrijn.

Vervolgens splitst de Nederrijn zich vlak voor Arnhem en gaat 60% van het water naar de Lek en 40% naar de IJssel. Hoeveel procent van het Rijnwater komt in het IJsselmeer terecht?

35% van het Rijnwater komt in de Nederrijn. Van die 35% komt vervolgens 40% in het IJsselmeer terecht. Hoeveel is 40% van 35%?

82


Hints week 6 (A) 1


1 liter is 1 dm3 1 m is 10 dm

2 Een foto van 12 bij 18 cm wordt 3 keer verkleind. Wat wordt de oppervlakte van de verkleinde foto?

De formule voor oppervlakte is lengte x breedte. Door welk getal moet je deze oorspronkelijke oppervlakte delen om de oppervlakte van de verkleinde foto te berekenen?

3

Reken uit

Punt A

Punt B -----------

63,80 km

68,20 km

Hoeveel kilometer is er afgelegd tussen punt A en punt B?

Moet je de km van punt A van de km van punt B aftrekken of andersom?

Bijlagen 83

4 De Internationale Schaatsunie ISU publiceert op haar website een overzicht van hoe de schaatsrecords zich in de loop van de tijd ontwikkeld hebben. De onderstaande figuur geeft aan op welk moment welke records behaald zijn door mannen met klapschaatsen op de 10.000 meter lange baan in een indoorbaan in de periode 1998 – 2007. De verschillende recordtijden zijn als punten in de onderstaande figuur weergegeven.

Wanneer werd het schaatsrecord het meest verbeterd?

Welke twee punten liggen (verticaal) het verst van elkaar?

84


5





Na 5 uur brandtijd is de kaars 25 – 15 cm korter geworden.

6


Bereken de lengte van de rechthoek als de breedte 15 m is. De formule voor oppervlakte is lengte keer breedte.

Bijlagen 85

Hints week 7 (A) 1



Hoeveel ml zit er nog in het pak?

Hoeveel is

2

1 van 4,5 liter? 5

Wat is de oppervlakte van het grijze vlak?

De formule voor oppervlakte is lengte x breedte.

86


3


De formule voor oppervlakte is lengte x breedte. Maak van de driehoek een vierkant. Wat moet je dan nog doen om de oppervlakte van de driehoek uit te rekenen?

4 Hoveniersbedrijf Jongman rekent voor het winterklaar maken van een tuin € 75,- plus € 4, - per m2. Meneer Van Gils heeft zijn tuin laten opknappen. Hij kreeg een rekening van € 475, -. Hoe groot is de tuin van meneer Van Gils?

Als je het vaste bedrag van € 75,- afhaalt van de rekening, hou je het extra bedrag over dat meneer Van Gils over het totaal aantal vierkante meters die zijn tuin groot is, moet betalen.

Bijlagen 87

5 Jan is 1,90 m lang en weegt 99 kilo. Hoeveel moet hij op zijn minst afvallen om een normaal gewicht te krijgen?

Wat is een normaal gewicht voor iemand van 1,90 m?

6



Na de tocht is van deze wandeling een grafiek gemaakt. Hoe laat gingen ze voor de tweede keer rusten?

Als je rust, leg je geen afstand af en blijft de afgelegde afstand in de grafiek dus een tijdje hetzelfde.

88


Hints week 8 (A) 1

Reken uit: 0,034 x 1,4 =

(Zet de getallen onder elkaar.)

Laat de komma’s weg. Dan wordt de som 14 x 34 = Reken deze som onder elkaar uit. Waar komt de komma?

2

Reken uit: 489543 + 719568 =

Zet de getallen onder elkaar: 489543 719568 ????111

3


Zet de getallen onder elkaar: 922945 842070 ??870

4


1 = 100%

Bijlagen 89

5





Hoeveel flessen water zijn er nodig voor de hele school? Maak een verhoudingstabel.

6


Hoeveel kopjes moet je dan gebruiken voor 4 personen? Maak een verhoudingstabel.

90


Bijlage 6b – Heuristische hints bij de lessenserie Op de volgende pagina’s zijn de heuristische hints van de acht lessen weergegeven.

Bijlagen 91

Hints week 1 (H) 1


Splits het probleem op in losse sommen. 1. 40 x 100 = ? 2. ? Hoe ga je verder?

2

Reken uit: 2368 – 385 =

Haal eerst eens 368 er vanaf.

3


Welk getal hoort bij 1 streepje vóór 1,2?

4


3

3 1 – 2 8 4

Hoeveel achtsten moet je bij 2

3 optellen om 3 te krijgen? 8

En hoeveel achtsten moet je er dan nog bij optellen om 3

92

1 te krijgen? 4


5


0,5 liter is een halve liter, dus er passen 2 blikken in een liter.

6

Froukje koopt een broek van 80 euro. Bij de kassa krijgt ze

10% korting.

Hoeveel euro moet Froukje nu betalen voor de broek? 10% is een tiende deel.

Bijlagen 93

Hints week 2 (H) 1

Maak de tabel af.

Oude prijs

Korting (%)

Nieuwe prijs

€ 280

…. %

€ 245

Hoeveelste deel van € 280 is de korting in euro’s?

2

Maak de tabel af.

Oude prijs

Korting (%)

Nieuwe prijs

€ 120

18%

€ ….

Hoeveel is 1/5 van de oude prijs?

3


Hoe lang moet ik fietsen naar mijn oom, die 12 km hiervandaan woont? Ik rijd altijd met dezelfde snelheid. 12 km is gelijk aan 3 van 20 km. 5 4 In de tijd dat Homer 5 stukjes vlees eet, eet zijn vrouw Marge 2 stukjes vlees. Hoeveel stukjes vlees heeft Marge opgegeten, als Homer 20 stukjes vlees op heeft? Hoeveel stukjes vlees zou Marge eten als Homer 10 stukjes zou eten?

94


5

Reken uit: 2,4 : 0,3 =

Maakt het uit wanneer je de getallen met 10 vermenigvuldigt?

6


6

1 3 x = __________ 3 8

Maak er 2 losse sommen van.

Bijlagen 95

Hints week 3 (H) 1


4 cm

2 cm

6 cm

Als je alleen de bodem van het doosje belegt, hoeveel blokjes heb je dan nodig?

2


67 m

43 m

Als je een hek om de tuin zou moeten zetten, hoeveel meter zou je dan nodig hebben?

96


3


300 mm 15 cm 0,5 m Je moet de inhoud van de doos berekenen in liters, oftewel dm3 (kubieke decimeters). Wat is de oppervlakte van de bodem in dm2?

4


65 mm

35 mm

1 cm

6 cm Je kunt eerst het beste de lengte van de zijden omrekenen naar dezelfde eenheid, dus centimeters of millimeters.

Bijlagen 97

5

In deze grafiek zie je het aantal toeristen in een stad.

Wat is ongeveer het verschil tussen de rustigste en de drukste maand?

Wat is de drukste maand? En wat is de rustigste maand?

6


Wat moet er in de tabel op de plaats van het blauwe vraagteken

ingevuld worden?

Wat betekenen de getallen in het kaartje?

98


Hints week 4 (H) 1


De vakjes ‘aantal’ hoef je niet in te vullen.

Techniek Aantal %

Muziek Aantal

%

Leuk

….. %

….. %

Niet leuk

….. %

….. %

Weet niet

31

10%

93

30%

Totaal

310

100%

310

100%

Bij muziek zijn er drie keer zoveel leerlingen die ‘Weet niet’ hebben geantwoord, dan bij techniek.

Bijlagen 99

2



Moet je de hele tabel nakijken om het antwoord te vinden?

3

Bekijk de staafgrafiek.

Hoeveel bezoekers waren er vrijdag?

De hoeveelste dag van de week is vrijdag? 100


4

Bekijk de grafiek.


Naar welke kleur staaf moet je kijken?

Bijlagen 101

5


65 mm

35 mm

1 cm

6 cm Kijk naar de figuur en maak er 2 losse figuren van.

6


30 cm

20 cm

500 mm

2,5 dm

2 dm

60 cm Hoe lang is de onderste zijde van de driehoek?

102


Hints week 5 (H) 1


Hoe maak je de breuken gelijknamig?

2 Waar ongeveer moet het middelste kaartje op de getallenlijn komen te hangen? Trek een lijn.

Waar ligt 5½ miljoen op de getallenlijn?

3

Zet onder elkaar en reken uit: 2.539,037 + 592,88 =

Is 592,88 gelijk aan 592,880?

4

16% van de bewoners van de plaats Hoofddam is ouder dan 70 jaar.

Schrijf dit als een breuk. 1 Hoeveel procent is 25 van 100?

Bijlagen 103

5

Op basisschool De Kameleon bestaat 45% van de leerlingen uit

meisjes.


Hoeveel kinderen zitten er totaal op De Kameleon?

55% van de kinderen op De Kameleon zijn jongens. Hoeveel zijn dat er?

6 Het water van de Rijn verspreidt zich als het Nederland binnenkomt over meerdere rivierarmen. Eerst gaat 65% naar de Waal en 35% van het water naar de Nederrijn. Vervolgens splitst de Nederrijn zich vlak voor Arnhem en gaat 60% van het water naar de Lek en 40% naar de IJssel. Hoeveel procent van het Rijnwater komt in het IJsselmeer terecht?

Het water uit de Rijn dat in het IJsselmeer terecht komt, komt via de Nederrijn. Dus waar moet je 40% van nemen?

104


Hints week 6 (H) 1


1 liter is 10 x 10 x 10 cm3

2

Een foto van 12 bij 18 cm wordt 3 keer verkleind.

Wat wordt de oppervlakte van de verkleinde foto? Wat worden de lengte- en breedtematen van de verkleinde foto?

3

Reken uit

Punt A

Punt B -----------

63,80 km

68,20 km

Hoeveel kilometer is er afgelegd tussen punt A en punt B? Wat is het beginpunt en wat is het eindpunt in km?

Bijlagen 105

4 De Internationale Schaatsunie ISU publiceert op haar website een overzicht van hoe de schaatsrecords zich in de loop van de tijd ontwikkeld hebben. De onderstaande figuur geeft aan op welk moment welke records behaald zijn door mannen met klapschaatsen op de 10.000 meter lange baan in een indoorbaan in de periode 1998 – 2007. De verschillende recordtijden zijn als punten in de onderstaande figuur weergegeven.

Wanneer werd het schaatsrecord het meest verbeterd?

Een verbetering is de (verticale) afstand tussen twee punten.

106


5





Hoeveel korter is de kaars na 5 uur brandtijd?

6


Bereken de lengte van de rechthoek als de breedte 15 m is. 15 m x ? m = 600 m2

Bijlagen 107

Hints week 7 (H) 1



Hoeveel ml zit er nog in het pak?

Hoeveel past er in één blok?

2

Wat is de oppervlakte van het grijze vlak?

Hoeveel centimeter moet je eraf halen om de oppervlakte van het grijze vlak te weten?

108


3


Maak van de driehoek een nieuw figuur. Wat moet je dan nog doen om de oppervlakte van de driehoek te berekenen?

4 Hoveniersbedrijf Jongman rekent voor het winterklaar maken van een tuin € 75,- plus € 4, - per m2. Meneer Van Gils heeft zijn tuin laten opknappen. Hij kreeg een rekening van € 475, -. Hoe groot is de tuin van meneer Van Gils? Uit welke twee delen bestaat het tarief van hoveniersbedrijf Jongman?

Bijlagen 109

5

Jan is 1,90 m lang en weegt 99 kilo.

Hoeveel moet hij op zijn minst afvallen om een normaal gewicht te krijgen?

Naar welke kleur lijn moet je kijken?

6



Na de tocht is van deze wandeling een grafiek gemaakt. Hoe laat gingen ze voor de tweede keer rusten?

Wat is het verschil tussen wandelen en rusten in de grafiek?

110


Hints week 8 (H) 1

Reken uit: 0,034 x 1,4 =

(Zet de getallen onder elkaar.) Hoeveel getallen staan er achter de komma bij 0,034? En bij 1,4?

2

Reken uit: 489543 + 719568 =

Is de uitkomst groter dan 1 miljoen?

3


Is de uitkomst kleiner dan 100.000?

4


1% is een honderdste.

Bijlagen 111

5





Hoeveel flessen water zijn er nodig voor de hele school? Hoeveel groepen zijn er op school?

6


Hoeveel kopjes moet je dan gebruiken voor 4 personen?

Wat is de verhouding tussen het aantal kopjes meel en het aantal personen?

112


Bijlage 7 – Opbouw lessenserie en goede antwoorden op de opgaven Noot: G: getallen, VH: verhoudingen, M: meten en meetkunde, VB: verbanden Week 1

Week 2

Week 3

Week 4

Week 5

Week 6

Week 7

Week 8

G1 G2 G3 G4 VH1 VH2 VH3 VH4 VH8 VH5 G5 G6 M1 M2 M3 M4 VB11 VB12 VB1 VB2 VB3 VB4 M7 M8 G7 G8

1. 2. 3. 4. 5. 6. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 1. 2.

G9 VH9 VH10 VH12 M9 M10 M11 VB5 VB6 VB7 M12 M5 M6 VB8 VB9 VB10 G10 G11 G12 VH11 VH6 VH7

3. 4. 5. 6. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 1. 2. 3. 4. 5. 6.

7298 1983 1,18 7/8 20 € 72,12½% € 98,40 27 minuten 8 stukjes 8 21/8 48 220 meter 22½ liter 17 cm 35.000 2175 1e kolom: 60%, 30%, 2e kolom: 50%, 20% Oostende en Aarlen 120 400.000 21 cm2 180 cm 17/12

1946,157 4/25

400 14% 1000 liter 72 cm2 4,4 km Januari 07 2 cm 40 m 2700 ml 8,5 cm2 6 cm2 100 m2 9 kg Om 14:15 (kwart over twee) 0,0476 1.209.111 80875 0,1% 64 flessen 2 kopjes

Bijlagen 113

Bijlage 8 – Handleiding rekenonderzoek Algemeen Het onderzoek bestaat uit een voormeting (resultaten Cito-eindtoets), een interventie van 8 weken en een natoets. Het is de bedoeling dat u één keer per week uw methoderekenles vervangt door een set van 6 losse opgaven die u door ons krijgt aangereikt. Het is van belang dat de interventielessen steeds door dezelfde leerkracht worden gegeven. Tijdens de interventie woont een van de onderzoekers een keer een rekenles bij. Dit bezoek is bedoeld om te zien hoe de uitvoering verloopt. In overleg met u wordt deze datum bepaald. De resultaten van het onderzoek zullen worden geanonimiseerd en kunnen daardoor niet terug worden herleid naar individuele scholen. Het is wel mogelijk om de resultaten van uw eigen school in te zien. Eerste les • •

• •

Vertel de leerlingen dat ze de komende 8 weken één keer per week niet uit het rekenboek rekenen, maar dat ze 6 sommen gaan uitrekenen die u hen geeft. Vertel de leerlingen dat het niet erg is wanneer ze een som niet snappen of moeilijk vinden. Het gaat er niet om dat ze alles goed hebben (wat wij voornamelijk willen onderzoeken is of de hints resultaat geven). Wanneer ze een som niet snappen, mogen ze kijken bij de hints die u achterin de klas (of in een map o.i.d.) hebt liggen. Wanneer ze het dan nog niet begrijpen, mogen ze u om hulp vragen (zie ook ‘lesopzet’). Vertel de leerlingen dat het belangrijk is dat ze opschrijven hoe ze hebben gerekend. Wanneer de ze 6 sommen af hebben, kunnen ze nakijken met behulp van de antwoordbladen die u ook achterin de klas (of in een map o.i.d.) hebt zitten. Bij het antwoordvel staat ook per som aangegeven hoe hij uitgerekend moet worden. Deze uitleg moeten ze dan lezen.

Lesopzet • •

• • •

U legt de leerlingen de set van 6 rekenopgaven voor. Het is de bedoeling dat ze deze opgaven zelfstandig maken en hun berekeningen opschrijven. Wanneer een leerling er niet uit komt, kan de leerling achterin de klas (of in een map) een hint vinden bij de opgave. Wanneer deze hint onvoldoende blijkt te helpen, mag u de leerling verder helpen door door te gaan op de weg die in de hint is begonnen. Wijs de leerlingen erop dat als ze twijfelen, ze de hint mogen bekijken. De gemaakte sommen kijken ze zelf na. Wanneer ze een som fout hebben, kunnen ze naar de hint te kijken, zodat ze het een volgende keer wellicht wel weten.

Andere aandachtspunten • • •

114

Het is van belang dat u zich goed houdt aan de aangeleverde hints. Dit omdat daar juist het verschil in zit met de andere onderzoeksgroepen. Het is van belang dat u alle sets opgaven laat maken. Wanneer er weken tussenuit vallen is dit namelijk van invloed op de eindresultaten. Mocht er tijdens de interventie zaken anders lopen dan hierboven, laat dit dan direct weten aan ons via mail of telefoon.


Planning Week 1 Week 2 Week 3 Week 4 Week 5 Week 6 Week 7 Week 8

4 opgaven getallen en 2 opgaven verhoudingen 4 opgaven verhoudingen en 2 opgaven getallen 4 opgaven meten/meetkunde en 2 opgaven verhoudingen 4 opgaven verbanden en 2 opgaven meten/meetkunde 3 opgaven getallen en 3 opgaven verhoudingen 3 opgaven meten/meetkunde en 3 opgaven verbanden 3 opgaven meten/meetkunde en 3 opgaven verbanden 3 opgaven getallen en 3 opgaven verhoudingen

Activiteit

Wie

Wanneer (2013)

Uitleg interventie

Onderzoeker

Week 14

Interventie 1 keer per week de opgaven uitvoeren Klassenbezoeken

Deelnemende leerkrachten

2-5 april Week 16 – 24 (8 weken)

Onderzoeker

15 april – 14 juni Week 17 – 18

Afname nameting

Deelnemende leerkrachten

Week 27

Bijlagen 115

Onderhoud van rekenvaardigheid in groep 8 van de basisschool

Recommend Documents