Oleh: Untung Sumotarto

Universitas Indonesia - Magister Eksplorasi Geothermal MK Geologi Geothermal

Dasar-Dasar

Heat and Mass Transfer (Aliran Panas dan Masa)

Oleh: Untung Sumotarto

Conduction

Heat Transfer

Convection Radiation

http://www.aos.wisc.edu/~aalopez/aos101/wk5.html

An Ideal Geothermal Systems

Cap Rock & Seal

Reservoir Rock Fluid Flow & Migration

Source Rock

Skema sebuah sistem geothermal

Model sistem geothermal lapangan Koroit (Australia)

Penampang arah Timur-Barat sistem geothermal Koroit (Australia)

Model Sederhana Sistem Geothermal Assume Conductive Heat Transfer

Source Rock

Assume Conductive Heat Transfer

Cap Rock & Seal

Reservoir Rock

Conductive Heat Transfer

• Conduction (heat transfer by diffusion) adalah perpindahan energi (panas) dalam suatu media akibat adanya perbedaan temperatur. Mekanisme fisikanya adlh aktifitas atomik atau molekuler yang bergerak secara acak.

• Hukum yang mengatur hantaran panas melalui konduksi disusun pertama kali oleh Fourier (disebut dg Fourier’s Law). Hukum ini dikenal fenomenal, karena dikembangkan dari fenomena (empiris) yang diamati, bukan hukum yang diturunkan secara teoritis (melalui dasar2 atau prinsip2 fisika).

• Dengan demikian persamaan laju aliran panas konduksi dari Fourier’s Law ini merupakan generalisasi yang lebih berdasarkan bukti2 eksperimental (empiris).

• Sebagai contoh lakukan eksperimen aliran panas konduksi dengan moda steady-state (aliran stabil) yakni suatu kondisi dimana temperatur di setiap titik tdk tergantung pada waktu.

• Sebuah batang silindris yang diketahui bahannya diisolasi pada permukaannya, sedangkan bagian ujungnya dijaga panasnya pada T berbeda dimana T1>T2. Perbedaan T menyebabkan terjadinya aliran panas secara konduksi pada arah x positif.

• Eksperimen ini dapat mengukur laju aliran panas qx, dan coba menentukan bagaimana qx tergantung pada variabel2 berikut ini: DT, perbedaan T; Dx, panjang batang; dan A, luas penampang batang.

Eksperimen Konduksi Panas Steady-State

• Dengan mengubah2 variabel tersebut ditemukan hubungan sbb:

qx  A

DT Dx

• Ketika jenis material diubah (y.i. dari metal ke plastik), ditemukan bahwa kesebandingan tsb tetap berlaku. Akan tetapi ditemukan pula bhw untuk harga2 A, Dx, dan DT yang sama, harga qx mjd lebih kecil pada plastik dibanding pada metal.

• Hal ini menunjukkan bahwa kesebandingan tsb dapat dikonversikan ke kesamaan dg memperkenalkan suatu koefisien k yg mencerminkan ukuran perilaku material. Sehingga, dapat dituliskan rumus persamaan sbb: q x  kA

DT Dx

• dimana k, konduktifitas termal (W/m.K), adl daya hantar panas material. Evaluasi atas pers ini dengan limit Dx  0, kita dapatkan persamaan laju aliran panas (heat rate) sbb:

• Atau dapat dinyatakan dengan heat flux sbg:

q x  kA q"x  k

dT dx

dT dx

• Tanda negatif mengindikasikan bahwa panas selalu berpindah pada arah temperatur yang menurun.

Breaking Notes: A T2 Assume Conductive Heat Transfer

Dx=h

Cap Rock & Seal

T1

Source Rock

Assume Conductive Heat Transfer

Model Sederhana Sistem Geothermal

Reservoir Rock

DT

T2

Penentuan parameter gradien T pada sebuah sumur landaian T.

Dx

T1

• Hukum Fourier menunjukkan bhw heat flux adalah besaran arah (directional quantity). Secara khusus, arah besaran qx” adalah tegak lurus pada penampang luasan A.

• Atau dapat dikatakan bhw arah aliran heat flux akan selalu tegak lurus pada permukaan T konstan, disebut permukaan atau bidang isothermal.

• Gambar berikut memperlihatkan arah heat flux qx” pada sistem koordinat satu dimensi ketika gradien T dT/dx negatif. Karena itu persamaan heat flux menjadi bernilai positif. Catatan: Bidang isothermal adalah bidang yang tegak lurus arah x.

• Setelah mengenali bhw heat flux merupakan besaran vektor, dapat ditulis pernyataan yang lebih umum tentang persamaan laju konduksi (Fourier’s Law) sbb:  T T T   q  kT  k  i j k y z   x " x

• dimana  adalah operator del tiga-dimensi dan T(x,y,z) adalah medan temperatur skalar. Implisit dlm pers tsb bhw heat flux berpindah pada arah tegak lurus bidang2 T isotermal. Bentuk alternatif Fourier’s " qn   k Law , karena itu mjd: n

• dimana qn” adl heat flux pada arah n, yang tegak lurus pada isotherm, spt diperlihatkan pada kasus dua-dimensi dalam Gambar berikut:

• Perpindahan panas terjadi karena adanya gradien temperatur sepanjang n. Perlu dicatat pula bahwa heat flux vector dapat diuraikan dalam dua komponen demikian rupa shg dalam koordinat Cartesian, bentuk umum q” adalah: q"  iq"x  jq"y  kq"z

• dimana, dengan persamaan sebelumnya menjadi: T q  k x " x

T q  k y " y

T q  k z " z

• Masing2 pers tsb menghubungkan heat flux yg melewati suatu permukaan dg gradien T pada arah tegak lurus permukaan tsb.

• Persamaan heat flux sebelumnya secara implisit memperlihatkan bahwa medium dimana konduksi terjadi adalah medium isotropic. Pada medium semacam ini, harga konduktivitas termal tidak tergantung pada arah koordinat.  T T T    q  kT  k  i j k y z   x " x

Ringkasan

• Fourier’s Law merupakan basis dp perpindahan panas konduksi. Ini bukan persamaan yang diturunkan dari prinsip dan dasar fisika; tetapi merupakan generalisasi yg didasarkan pd bukti eksperimental.

• Persamaan ini juga mendefinisikan sifat material yg penting, yakni konduktifitas termal. Sbg tambahan, Fourier’s Law merupakan persamaan vektor yg mengindikasikan bhw heat flux bergerak tegak lurus pada suatu isotherm dan pada arah temperatur yg menurun. Fourier’s Law juga berlaku untuk seluruh jenis material tidak pandang keadaannya; padat, cair, ataupun gas..

Sifat Panas Materi

• Penggunaan Fourier’s Law membutuhkan pengetahuan tentang konduktifitas termal. Sifat ini, yang dirujuk sebagai transport property, memberikan indikasi besarnya laju dimana energi berpindah melalui proses difusi.

• Sifat tsb tergantung pada struktur fisik materi, atomik dan molekuler, yang berhubungan dg keadaan (fasa) materi tsb. Pada bagian ini akan dibahas bermacam materi, mengidentifikasi bermacam aspek penting perilakunya serta menampilkan nilai2 sifat tertentu.

Thermal Conductivity (Daya Hantar Panas)

• Dari Fourier’s Law, thermal conductivity didefinisikan sbg: q"x k  (T / x)

• Dapat dilihat bhw pada gradien T tertentu, heat flux secara konduksi meningkat dengan naiknya thermal conductivity. Pada umumnya konduktifitas zat padat lebih besar dari zat cair, yang lebih besar dari zat gas. Spt pd gbr berikut, konduktifitas panas zat pada bisa lebih dari empat kali pada gas. Ini diakibatkan karena perbedaan pada jarak intermolekuler pada kedua fasa tsb.

PURE METALS

ALLOYS NON METALIC SOLIDS INSULATION SYSTEMS

LIQUIDS GASES

Kisaran thermal conductivity untuk berbagai keadaan materi pada T dan P normal.

The Heat Diffusion Equation (Persamaan Difusi Panas)

• Tujuan utama dalam analisis konduski adl untuk menentukan medan temperatur (temperature field) dalam suatu medium yg diakibatkan oleh kondisi2 yg diterapkan pada batas2nya. Jadi, perlu dipahami distribusi temperatur (temperature distribution), yang mencerminkan bagaimana T bervariasi thd posisi di dalam medium tsb.

• Sekali distribusi ini diketahui, heat flux pada setiap titik dalam medium atau pada permukaannya dapat dihitung dari Fourier ‘s Law. Besaran penting lainnya dapat ditentukan.

• Persamaan Difusi Panas dapat diturunka dengan prosedur umum: Tentukan differential control volume, identifikasikan proses2 perpindahan energi yng relevan, serta tentukan persamaan2 laju aliran yang sesuai.

• Hasilnya berupa persamaan diferensial yang solusinya, untuk kondisi2 batas yg ditentukan, memberikan gambaran distribusi temperatur di dalam medium tsb.

• Misalkan sebuah medium homogen memiliki gradien T dan distribusi T(x,y,z) ditampilkan dalam koordinat Cartesian. Menggunakan metode di atas serta menerapkan prinsip konservasi energi, pertama tentukan (differential) control volume yang tak terhingga kecil, dx.dy.dz, spt diperlihatkan dlm gambar berikut.

• Berikutnya menentukan proses2 energi yg relevan pada control volume ini. Jika ada gradien T, perpindahan panas konduksi akan terjadi menyeberangi masing2 control volume. Laju aliran panas tegak lurus pada masing2 sisi control volume ditandai dengan qx, qy, dan qz.

Differential control volume, dx dy dz, untuk analisis konduksi dalam koordinat Cartesian.

• Laju aliran panas konduski pada sisi2 berlawanan kemudian dapat dinyatakan sebagai ekspansi Taylor series dimana dg mengabaikan bagian order tinggi menghasilkan: q x  2 q x dx   3q x dx   qx  dx  2  3  ..... x x 2 x 6  High Order Terms (neglected ) 2

q x  dx

q x q x  dx  q x  dx x q y q y  dy  q y  dy y q z q z  dz  q z  dz z

3

• Persamaan ini secara sederhana mengatakan bhw komponen x dp laju perpindahan panas pada x+dx sama dg besarnya pada komponen x ditambah jumlah perubahannya thd x kali dx.

• Di dalam medium mungkin juga ada sumber energi yang berasosiasi dg laju penciptaan energi termal. Bagian ini dinyatakan sbg:   Eg  q dx dy dz

• dimana q

adl laju penciptaan energi per unit volume medium (W/m3). Selanjutnya mungkin terjadi perubahan2 jumlah energi termal yang disimpan oleh medium ini di dlm control volume. Dalam basis kecepatan, bagian energi tersimpan ini dinyatakan sbg: T  Est   c p dx dy dz t

• dimana  c (T / t)

adl kecepatan waktu perubahan energi internal dp medium per unit volume. p

• Perlu dicatat Eg dan Est adalah proses2 fisika yang berbeda. Bagian penciptaan energi Eg adl manifestasi suatu proses konversi energi yang melibatkan energi termal di satu sisi serta energi kimia, elektrik, atau nuklir di bagian lain. Bagian ini berharga positif (suatu source) jika energi termal tercipta di dalam materi karena perubahan dari bentuk energi lain; dan berharga negatif (suatu sink) jika energi termal terkonsum. si. Sebaliknya penyimpanan energi Est mengacu secara khusus pada laju perubahan energi internal yang tersimpan dalam materi tsb.

• Tahap berikutnya adalah menetapkan konservasi energi menggunakan pers2 berikut. Pada basis laju aliran, bentuk umum konservasi energi adl: E in  E g  E out  E st

• Dengan mengenali bhw laju konduksi tersusun oleh energi masuk Ejn dan keluar Eout serta memasukkan dalam persamaan sebelumnya diperoleh: qx  q y  qz  q dx dy dz  qx  dx  q y  dy  qz  dz  c p

T dx dy dz t

• Substitusi dari persamaan2 sebelumnya diperoleh: q y qx q T  dx  dy  z dz  q dx dy dz  c p dx dy dz x y z t

• Laju aliran panas konduksi dapat dievaluasi dg Fourier’s Law: T qx  k dy dz x

T q y  k dx dz y

T qz  k dx dy z

• dimana masing2 komponen heat flux telah dikalikan dengan luas (differential) area control surface yang sesuai untuk mendapatkan laju perpindahan panas. Substitusi kedua persamaan sebelum ini serta dibagi dengan control volume (dx dy dz) diperoleh:   T    T    T  T    k  k  k  q   c     p   x  x  y  y  z  z  t

• Persamaan di atas merupakan bentuk umum persamaan difusi panas (heat diffusion equation) dlam koordinat Cartesian. Pers ini dikenal juga dengan persamaan panas (heat equation), yang menjadi alat dasar dalam analisis konduksi panas. Dari pers ini dapat diperoleh distribusi temperatur T(x,y,z) sebagai fungsi waktu (t).

• Perlu dipahami makna fisik masing2 term yang muncul dlm

pers tsb. Misalnya, term d(kdT/dx)/dx menjelaskan heat flux konduksi bersih ke dalam control volume untuk arah x. Sehingga,   T  " " k   qx  qx  dx x  x 

dengan ekspresi yang sama untuk arah y dan z.

• Pers difusi panas menyatakan bahwa pada setiap titik di dalam medium, laju aliran panas konduksi ke dalam satu satuan volume ditambah laju volume penciptaan energi termal sama dengan laju perubahan energi panas yang tersimpan di dalam medium.

• Sering pula digunakan versi yang lebih sederhana. Misalnya, jika konduktifitas panas konstan, persamaan panas menjadi  2T  2T  2T q 1 T  2  2   2 x y z k a t

dimana a = k/cp adl thermal diffusivity.

• Sifat termofisika yang penting ini adalah perbandingan antathermal conductivity k medium dengan thermal capasitance cp. Harga a yang besar (k besar dan/atau cp kecil) menandakan bahwa medium tsb lebih efektif dalam mengalirkan panas dengan konduksi dibanding kemampuan menyimpan energi.

• Penyederhanaan pers panas lbh lanjut dimungkinkan. Misalnya, pada kondisi steady-state, dapat terjadi tidak ada perubahan energi yang tersimpan, sehingga pers berubah menjadi:   T    T    T     k k    k   q  0 x  x  y  y  z  z 

• Selanjutnya jika perpindahan panas pada satu-dimensi (y.i. pada arah x) dan tidak ada penciptaan energi, pers menyusut menjadi:   T  k 0 x  x 

• Implikasinya adalah bhw pada kondisi steady-state, satu-dimensi, dan tidak ada penciptaan energi, heat flux terjadi secara konstan pada arah perpindahannya (dq”x/dx=0).

• Pers panas juga dapat dinyatakan dalam koordinat silindris dan bola (spheris). Differential control volume utk kedua sistem koordinat ini ditunjukkan dalam gambar2 berikut. Dengan menerapkan metodologi yang sama dengan pada koordinat Cartesian dapat diperoleh bentuk2 umum pers panas pada kedua sistem koordinat tsb.

• Pada Koordinat Silindris: 1   T  1   T    T  T    kr  k  k  q   c   2   p   r r  r  r     z  z  t

• Pada Koordinat Bola (Spheris): 1   2 T  1   T  1   T  T    kr  k  k sin   q   c     p r 2 r  r  r 2 sin 2      r 2 sin      t

Finite-Difference Heat Equations

• Dengan perkembangan teknologi komputer, banyak persamaan matematika kini dipecahkan teknik numeric atau finite difference.

• Berbeda dg solusi analitik yg dapat menghitung T pada setiap titik, solusi numerik bisa menghitung T hanya pada titik2 diskret.

• Cara ini dilakukan membagi2 objeknya ke dalam sejumlah bagian2 kecil dengan memberikan harga referensi pada bagian pusatnya. Titik referensi ini sering dinamakan titik nodal (atau cukup node), dan kumpulan bagian2 kecil tsb sering dinamakan nodal network, grid atau mesh. Titik2 nodal ini diberi nomor misalnya untuk koordinat 2-D seperti pada gambar berikut. Lokasi x dan y ditandai dengan indeks m dan n.

Konduksi dua-dimensi: a) Nodal Network, b) Pendekatan finite-difference.

• Setiap node mewakili bagian tertentu dan T-nya adalh T ratarata pada bagian itu.

• Keakuratan perhitungan numerik trgantung pada jumlah titik nodal. Jika jumlahnya sedikit (coarse grid/mesh), misalnya pada perhitungan manual, ketelitiannya terbatas. Tetapi, jika digunakan komputer jumlah titik nodal dapat diperbanyak (fine mesh/grid) dan dapat diperoleh ketelitian yang tinggi.

Bentuk Finite-Difference Persamaan Panas

• Perhitungan T secara numerik mengharuskan pers konservasi (energi) ditulis untuk setiap titik nodal. Satu set persamaan yang dihasilkan kemudian dipecahkan secara bersama2 untuk T di setiap node.

• Jika sistem persamaan tsb ditempatkan dalam nodal network, perlu dituangkan dalam bentuk approximate atau finite-difference.

• Suatu pers finite-difference untuk pers panas yang tidak ada penciptaan untuk node2 dalam sistem dua-dimensi dapat diawali dengan persamaan berikut.  2T  2T  2 0 2 x y

• Perhatikan bagian derivative untuk x. Dari gambar sebelumnya, harga derivative pada titik nodal m,n dapat didekati sebagai:  2T x 2

m,n

T  x

T x Dx

m 1/ 2 , n 

m 1/ 2 , n

• Besarnya gradien T kemudian dapat dinyatakan sbg fungsi temperatur nodal. Sehingga:

• Substitusi ketiga persmaan:  2T x 2

m,n



Tm1,n  Tm1,n  2Tm,n

Dx 2

T x T x

m 1 / 2 , n



m 1 / 2 , n



Tm 1,n  Tm,n Dx Tm,n  Tm 1,n Dx

• Dengan cara yang sama, dapat ditunjukkan pada ordinat y:  2T y 2

m,n



T y

T y Dy

m 1/ 2 , n 

m 1/ 2, n



Tm,n 1  Tm,n 1  2Tm,n

Dy 2

• Menggunakan grid dimana Dx = Dy dan substitusi dua pers ke dalam persamaan panas:  2T  2T  2  0  Tm,n1  Tm,n1  Tm1,n  Tm1,n  4Tm,n  0 2 x y

• Dg demikian untuk node m,n pers panas yang sebenarnya exact differential equation terreduksi menjadi approximate algebraic equation.

• Pendekatan, bentuk finite-difference pers panas ini dpt diterapkan pada node interior yg berjarak sama dari empat node tetangganya. Hanya dilakukan dengan menjumlahkan temperatur yang berasosiasi dengan empat tetangganya yg sama dengan empat kali temperatur node yang sedang diamati.

Metode Kesetimbangan Energi • Persamaan finite-difference pada suatu node dpt pula diperoleh dg mengaplikasikan konservasi energi pada sebuah control volume di sekitar daerah nodal. Karena arah aliran panas yg sebenarnya tdk diketahui (masuk atau keluar node), dapat diformulasikan kesetimbangan energi dg mengasumsikan bhw seluruh aliran panas masuk ke dalam node dengan ekspresi yang benar. Untuk kondisi steady-state dengan penciptaan, bentuk persamaan konservasi energi adlh:  Ein  E g  0

• Dg menerapkan pers di atas pada suatu control volume di sekitar node m,n seperti gambar berikut, untuk kondisi duadimensi, petukaran energi dipengaruhi oleh konduksi antara m,n dan empat node tetangganya serta oleh penciptaan, persamaan di atas dapat ditulis menjadi:

4

q i 1

( i ) ( m , n )

 q Dx  Dy 1  0

dimana i adalah node-node tetangga, q(i)(m,n) adalah laju konduksi antara node2 itu dengan asumsi kedalaman =1.

• Untuk mengevaluasi term laju konduksi, diasumsikan bhw perpindahan konduksi terjadi secara khusus melalui lajur2 yang terorientasi pada arah x atau y. Konduksi ke dalam node interior dari node-node di sekitarnya.

• Bentuk sederhana Fourier’s law kemudian dapat digunakan. Misalnya, kecepatan dimana energi berpindah dengan konduksi dari node m-1,n ke m,n dapat dinyatakan sbg:

q( m1,n )( m,n )  k Dy 1

Tm1,n  Tm,n Dx

• Besaran (Dy.1) adl luas bidang perpindahan panas,

dan (Tm-1,n – Tm,n)/Dx adaTm 1,n  Tm,n lah pendekatan finite-diff- q( m 1,n )( m,n )  k Dy 1 Dx erence thd gradient temTm,n 1  Tm ,n peratur pada batas antara q ( m , n 1) ( m , n )  k Dx 1 dua node. Laju konduksi siDy sanya dapat dinyatakan Tm,n 1  Tm ,n q( m ,n 1)( m ,n )  k Dx 1 sebagai: Dy

• Dalam mengevaluasi masing2 laju konduksi, temperatur pada node m,n telah dikurangkan pada temperatur node di sekitarnya. Konvensi ini diperlukan dengan asumsi bhw aliran panas berarah ke dalam m,n dan ini konsisten dengan arah anak panah pada gambar.

• Dg mensubstitusikan pers2 di atas ke dalam kesetimbang-

an energi dengan catatan Dx = Dy, selanjutnya pers finitedifference untuk node interior dengan penciptaan adalh: q Dx  Dy  Tm,n1  Tm,n1  Tm1,n  Tm1,n   4Tm,n  0 k

• Jika tidak ada sumber energi terdistribusi di dalamnya (q=0), q  0 persamaan ini terreduksi menjadi Tm,n1  Tm,n1  Tm1,n  Tm1,n  4Tm,n  0

Program Komputer Persamaan Panas

• Mengacu pada persamaan dasar panas:   T    T    T  T    k  k  k  q   c     p   x  x  y  y  z  z  t

• Sebuah program komputer telah dikembangkan menggunakan persamaan dasar spt di bawah ini. Bandingkan dengan persamaan dasar di atas.

• Persamaan panas dalam program komputer menggunakan koordinat Cartesian dua-dimensi (x dan y) serta thermal conductivity kt dengan temperatur T.

• Persamaan tsb dipecahkan dengan teknik numerical finitedifference dua-dimensi.

• Pelajarilah kedua persamaan tersebut dan coba jalankan program komputer tsb sebagai latihan.

Model Sederhana Sistem Geothermal Assume Conductive Heat Transfer

Source Rock

Assume Conductive Heat Transfer

Cap Rock & Seal

Reservoir Rock

Grid-Blocks for Finite-Difference Numerical Solutioan Of Heat Diffusivity Equation Computer Programming 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

Back-up Slides

Model Sistem Geothermal Assume Conductive Heat Transfer Cap Rock & Seal

Reservoir Rock

Fluid Flow & Migration

Source Rock