Oleh : Bambang Supraptono, M.Si. Referensi : Kalkulus Edisi 9 Jilid 1 (Varberg, Purcell, Rigdom) Hal 56 - 211
BAB 01 1. Limit Fungsi Definisi: Pengertian presisi tentang limit Mengatakan bahwa lim f ( x) L berarti bahwa untuk tiap
0 yang diberikan (betapun kecilnya), terdapat
x c
berpadanan sedemikian rupa sehingga f ( x) L
asalkan bahwa 0
0 Contoh soal 1: Buktikan bahwa lim (3x 7) x
x c
x c
yaitu:
f ( x) L
5
4
Penyelesaian: Analisis Pendahuluan: akan ditentukan Ruas kanan (3x 7) 5
sedemikian rupa sehingga 0 x 4 (3x 7) 5
3x 12 3( x 4) 3 x 4
x 4 Dengan demikian
yang dipilih adalah
3 3
0 , pilih
. Maka, dari 0 x 4 diperoleh: 3 (3x 7) 5 3x 12 3( x 4) 3 x 4 3
Bukti Formal: Misal diberikan
Contoh soal 2:
x2 11x 5 x 5 x 5
Buktikan bahwa lim
Penyelesaian Bukti Formal: akan ditentukan
9 sedemikian rupa sehingga
0 Ruas kanan: untuk x
x2 11x 5 9 x 5
x 2 11x 5 x 5
x 5
5 (ini diperlukan agar penyebutnya tidak nol)
(2 x 1)( x 5) 9 x 5
(2 x 1) 9
2x 10 2( x 5) 2 ( x 5) ( x 5) Dengan demikian
yang dipilih adalah
2
2
9
0 yang
Bukti Formal: Misal diberikan
x2 11x 5 9 x 5
0 , pilih
2
. Maka, dari 0
(2 x 1)( x 5) 9 x 5
diperoleh:
x 5
(2 x 1) 9
2 x 10
2( x 5)
2x 5
2
Soal untuk dibuktikan sendiri: Dengan menggunakan definisi pengertian presisi limit, buktikan bahwa: A.
x2 25 10 x 5 25
2 x2 x x x 0
B.
lim
lim
1
2. Teorema Limit Perhatikan Teorema A! Teorema B Jika f fungsi polinomial atau fungsi rasional, maka
lim f ( x) x
f (c)
c
Asalkan f (c) terdefinisi, jika f fungsi rasional nila penyebut pada c tidak nol. Teorema C: Jika f ( x) g ( x) untuk semua x di dalam suatu interval terbuka yang mangandung bilangan c, terkecuali mungkin pada bilangan c itu sendiri, dan jika lim g ( x) ada, maka lim f ( x) ada dan lim f ( x) = lim g ( x) x
c
x
c
x
c
x
c
Tips: Untuk menyelesaikan soal-soal tentang limit fungsi rasional, ikuti diagram alir berikut
Subtitusi
Apakah
tidak Gunakan teorema B
selesai Ingat bentuk bentuk berikut:
x2
a2
3
3
x
a
( x a)( x a) ( x a)( x 2
ax a 2 )
Contoh Soal 3: Selesaikan : a.
lim (2 x 2 x
4 x 2)
2
Solusi: gunakan terorema B
lim (2 x 2 x
2
4 x 2)
2( 2) 2 4( 2) 2 18
ya
Gunakan teorema C Lakukan: Faktorisasi atau kalikan dengan bentuk sekawan, bagilah faktor yang sama
b.
x2 1 x 0 x Solusi: gunakan terorema B lim
x2 1 (0)2 1 1 0 0 x 0 x Ingat! Kita tidak pernah membaginya dengan nol, tetapi kita membaginya dengan bilangan yang sangat dekat dengan nol. lim
c.
x2 1 lim 2 x 1x 1 Solusi: gunakan terorema B x2 1 lim 2 x 1x 1
d.
x2
lim x
1
1 1 1 1
0 2
0
x 2 x 1
Solusi:
0 , gunakan teoreme C 0
Karena f ( 1)
x2
x 2 ( x 1)( x 2) lim lim ( x 2) x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 Gunakan teorema B pada bentuk terakhir lim ( x 2) ( 1) 2 3 lim
x
e.
1
lim x
3
2 x2 7 x 3 x2 9
Solusi: Gunakan teorema C
lim x
f.
3
lim
2 x2 7 x 3 x
2
9
(2 x 1)( x 3) x 3 ( x 3)( x 3)
(2 x 1) x 3 ( x 3)
lim
lim
2(3) 1 (3) 3
5 6
x 2 9 ( x 1) x2
25 Solusi: Kalikan dengan bentuk sekawannya x
5
lim x
5
x 2 9 ( x 1) x
2
=
lim x
25 =
25
5
5
5
2
9
( x 1) ( x 1)
2 x 1)
x2 9
( x 5)( x 5)
( x 1)
2 x 10 x2
( x 5)( x 5)
9
( x 1)
9
( x 1)
2( x 5) x2
( x 5)( x 5) 2
lim x
x
x2 9 ( x2
lim x
=
5
2
x2 9
( x 1)
lim x
=
x
5
lim x
=
x2 9
( x 5)
x
2
9
( x 1)
2
=
(5 5)
25 9
(5 1)
2 10(4 4)
1 40
Soal – soal untuk dikerjakan sendiri Tentukanlah nilai limit berikut: 1.
x
2.
x2
lim
lim
2
7 x 10 x 2
2 x2
x2
x
x
4 2
6x
3 x3 3 3 2x 6
lim
3.
x2 lim x 2 x
4.
2
5.
lim x
3
x2 x
5
( x 1)
2
9
2 2
3. Limit Tak Berhingga Cara menyelesaikan limit tak hingga (biasanya dalam bentuk rasional) adalah dengan cara membagi pembilang dan penyebut dengan variabel berpangkat tertinggi Contoh soal 4: Selesaikan limit berikut: a.
lim
2 x 2 3x 7 1 x2
x
Solusi: pangkat tertinggi adalah 2, jadi bagilah pembilang dan penyebut dngan x2
lim
2x
x
b.
lim x
2
2
3x 7
1 x
x
= lim
2
x2 2
x
1 x 2 x2
3
x
7
2
x2
x
2
1
x
x2
x2
2(1) 3(0) (0) (0) 1
2 1
2
x3
3x2 11x 4
Solusi: pangkat tertinggi adalah 3, jadi bagilah pembilang dan penyebut dngan x3
1 lim x
c.
lim
1 x 2x 3x
x2 Solusi
x
d.
lim
x
3
x
2 x2
x3
3 3 x3 x3 lim x 2x x 3x 11x 4
11x 4
x3
x3
0 0 1 0
0 1
0 0 0 1 0 0 0
1
x3
2x 1
x
lim
2
2
4
2x 1 x
2
4
2x
1
2
lim x 2 x x
x2 4
x2
x2
0
x2 3x 1 ( x 4)
x
Solusi: munculkan bentuk
lim x
x2 3x 1 ( x 4)
dengan mengalikan bentuk sekawannya = lim
x2 3x 1 ( x 4)
x
= lim x
= lim x
x 2 3x 1 ( x 2 8 x 16) x 2 3x 1 ( x 4) x2 3x 1 ( x2 8 x 4) x 2 3x 1 ( x 4)
x 2 3x 1 ( x 4) x 2 3x 1 ( x 4)
5x x
= lim x
15 x
x
2
3x
1
x
2
2
2
x
x
(
x x
5 0 1 0 0 (1 0)
4 ) x
5 2
Soal untuk dikerjakan sendiri: Tentukan nilai limit berikut: 1.
lim
2 x3 3 x 2
2.
lim
2x 3
1 9 x x3
x
4 x2 8x 1 (2 x 3)
x
4. Limit Fungsi Trigonometri Perhatikan Teorema A Teorema B: Limit Fungsi Trigonometri Khusus sin x 1 cos x 1. lim 2. lim 1 x x x 0 x 0 Secara umum: sin ax lim x 0 bx
a b
tan ax 0 bx
lim x
Contoh Soal 5: cos x a. lim x 0 x 1 Solusi: cos x 0 0 lim 0 0 1 1 x 0 x 1 sin 3x b. lim x 0 tan 5 x Solusi: sin 3x sin 3x 3x 5x lim lim x 0 tan 5x x 0 tan 5 x 3x 5 x c.
0
a b
ax 0 sin bx
a b
lim x
sin 3x 5x 3x lim lim 3x x 0 tan 5x x 0 5x
ax 0 tan bx
lim x
3 5
11
3 5
3x tan 2 x
lim
sin3 2 x Solusi: perhatikan pangkat masing-masing fungsinya! x
0
3x tan 2 x
lim x
d.
lim x
0
0
lim t
3x tan 2 x x2
lim
3
x
sin 2 x
0
3
sin 2 x
x
2
2x 2x
3 3
lim x
0
tan 2 x x
2
1 cos 2t 3t 2
0
Solusi: Ingat rumus cos 2t 1 2sin 2 t
lim t
0
1 cos 2t 3t 2
lim t
0
2sin 2 t 3t 2
Soal untuk dikerjakan sendiri: Tentukan nilai limit berikut: 3x sin 4 x lim x 0 tan 2 3x 1 cos 4 x lim x 0 sin 2 3 x
1 cos 2t
2 sin 2 t lim 2 3t 0 t
2sin 2 t
2 1 3
2 3
lim x
2x
0 sin
3
3
lim 2x
x
0
3x x 2 2x
3
11
3 8
3 8
a b
BAB 02 1. TURUNAN FUNGSI Defisi Turunan Turunan fungsi f adalah fungsi lain f ' (dibaca “f aksen”) yang nilainya pada sebarang bilangan c adalah f (c h) f (c) f '(c) lim h h 0 Asalkan limit ini ada dan bukan atau Notasi Leibniz
dy dx
f '( x)
lim h
0
f (c h ) h
f (c )
Contoh 1: Jika f ( x) 3x 2 2 x , tentukan f '( x)! PENYELESAIAN f (c h) f (c) f '( x) = lim h h 0
3( x h)2
2( x h)
= lim h
2 xh h) 2( x h)
= lim
3x 2
2x
h
0
3x
2
6 xh 3h
2
= lim h
2x
h
0
3( x 2 h
3x 2
2 x 2h)
3x 2
2x
h
0
6 xh 2h 3h h h 0 = lim 6 x 2 3h
2
= lim h
0
= 6x 2 Soal untuk dicoba sendiri: Dengan menggunakan definisi turunan, tentukanlah turunan fungsi berikut: 1. 2.
f ( x) f ( x)
2 x2
4x 1
3 2x
2
2. ATURAN MENCARI TURUNAN FUNGSI Tiga notasi untuk turunandari fungsi f , yaitu f '( x) atau
dy atau D x f ( x) dx
Resume dari Teorema A s.d. H A. Jika f ( x) k , maka f '( x) B. Jika f ( x) C. Jika f ( x) D. Jika f ( x) E. Jika f ( x) Jika f ( x) G. Jika f ( x) F.
H. Jika f ( x)
0 x, maka f '( x) 1
axn , maka f '( x) naxn 1 kg ( x), maka f '( x) k.g '( x) u ( x) v( x), maka f '( x) u '( x) v '( x) u ( x) v( x), maka f '( x) u '( x) v '( x) u( x)v( x), maka f '( x) u '( x)v( x) u( x)v '( x) u '( x)v( x) u ( x)v '( x) u ( x) , maka f '( x) v( x) v 2 ( x)
Contoh Soal 2: Tentukan turunan setiap fungsi berikut: a.
b.
f ( x) 3 x 7 Solusi Teorema C sangat sering digunakan! f ( x)
axn , → f '( x)
f '( x)
7 3x7
1
naxn
1
21x6
f ( x) 4 x2 3x 12 Solusi: C B A f '( x) 8x 3 0
Turunan x = 1
f '( x) 8x 3 Begini ceritanya …… 4 x2
f ( x) c.
Turunan konstanta = 0 →
3x 12
f '( x)
2 4 x2
1
31 0
f ( x) x Solusi: sederhanakan menjadi pangkat rasional 1
d.
f ( x)
x
f '( x)
1 12 x 2
x2 1
1 2
1 x 2
1 2
1
1
1 x2
2 x
f ( x) 3 3 x 2 Solusi: Sederhanakan menjadi pangkat rasional 1 3
f ( x)
3x 2
1 2
3x 2 3
33 x 3 1
1 1 1 2 1 2 32 1 1 x 3 3 2 x 3 3 3 x 3 …. Ingat 3 an Bila dijadikan pangkat positif, maka diperoleh 1 1 1 f '( x) 2 1 1 3 9x 33 x 3 32 x 3
33
f '( x)
e.
f ( x) (3x 1) x3 Solusi: gunakan teorema G f ( x) u( x)v( x), → f '( x) u '( x)v( x) u( x)v '( x)
f '( x) 3 x3 f.
am a n dan n a
(3x 1)(3x2 ) 3x3 9 x3 3x2 12 x3 3x2
2 x2 (3x 1) Solusi: gunakan teorema I u '( x)v( x) u ( x)v '( x) u ( x) , → f '( x) f ( x) v( x) v 2 ( x) f ( x)
f '( x)
4 x(3x 1) 2 x2 3 2
12 x2
(3x 1) Soal untuk dicoba sendiri: Tentukan turunan setiap fungsi berikut: 5x 4
4
1.
f ( x)
2.
f ( x)
3.
f ( x) 12 x3 6 x 2
x5
3x
11 x
4 x 6 x2
(3x 1)
2
6 x2
4x
(3x 1)2 4.
f ( x)
3x 2
2 x 3 x3
5.
f ( x)
15x2 (1 3x)
am n
3. TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI Teorema A
Dx (sin x) cos x dan Dx (cos x)
sin x
Teorema B
Dx (tan x) sec2 x
Dx (cot x)
csc2 x
Dx (sec x) sec x tan x
Dalil rantai
Dx ( f ( g ( x)))
f '( g ( x)) g '( x) atau
dy dx
dy du du dx
Contoh Soal 3: Tentukan turunan fungsi berikut:
f ( x)
1.
(4 x 2)12
Solusi: misal f ( x)
f '( x)
dy dx
u12 , maka u
(4x 2) sehingga
dy du du dx 12u11 4 48(4 x 2)11
2.
f ( x) sin 4x Solusi: Misal f ( x) sin u, maka u f '( x)
3.
dy dx
4 x sehingga
dy du du dx cos u 4 4 cos x
f ( x) sin3 x Solusi: Bila dipandang sebagai komposisi fungsi, maka f ( x) u3 ; u sin x sehingga dy dy du 3u 2 cos x 3sin 2 x cos x dx du dx Dengan rumus sin 2x 2sin x cos x , dapat disederhanakan menjadi 3 3 f '( x) 3sin 2 x cos x sin x(2sin x cos x) sin x sin 2 x 2 2
4.
f ( x) 4 cos 2 (3x 1) Solusi: f ( x) 4u 2 ; u cos v; v 3x 1 dy dy du dv 8u ( sin v) 3 dx du dv dx
24 cos(3x 1)sin(3x 1) 12(2sin(3x 1) cos(3x 1) 12sin(2(3x 1)) 12sin(6 x 2)
Soal untuk diselesaikan sendiri: Tentukan turunan masing-masing fungsi berikut:
(3 2 x)10
1.
f ( x)
2.
f ( x)
2x 1
3.
f ( x)
6sin 4 5 x
4.
f( )
24
3cos4 (2 x)3
Dx (csc x)
csc x cot x
4. TURUNAN TINGKAT TINGGI Turunan kedua dari fungsi f dinotasikan dengan f ''( x) atau
d2y dx
2
atau Dx2 y
Contoh Soal 4: Tentukan turunan pertama dan kedua fungsi f ( x) PENYELESAIAN
x3 sin3 (2 x)2
3 x 2 3sin 2 (2 x) 2 cos(2 x) 2 2(2 x) 2
f '( x)
3x 2
24sin 2 4 x 2 cos 4 x 2
3 x 2 12sin 4 x 2 sin 8 x 2 f ''( x)
6 x 12(8 x sin 4 x 2 sin 8 x 2 sin 4 x 2 16 x sin 8 x 2 ) 6 x 288 x sin 4 x 2 sin 8 x 2
5. APLIKASI TURUNAN a. Persamaan garis singgung suatu kurva Y Q
P g
h x
X
Perhatikan gambar di samping gradien garis PQ adalah f ( x h) f ( x ) mPQ h Jika titik Q digeser sepanjang kurva sedekat mungkin dengan titik P maka diperoleh garis singgung. Dengan demikian, gradien garis singgungnya adalah f ( x h) f ( x ) mg lim f '( x) h h 0
Contoh soal: Tentukan persamaan garis singgung pada kurva y Solusi: m f '( x)
y' 1
y' 1 x
2
2x 2 1
x 2 2 x yang mempunyai kemiringan 1.
nilai y diperoleh dengan mensubtitusikan nilai x pada persamaan kurvay. Sehingga diperoleh titik singgung (3, 12) dan
2
x 2x 3 0 ( x 3)( x 1) 0 x1 3; x2 1 y1 12; y2
1 x3 3
8 3
Di titik (3, 12) persamaan garis singgungnya adalah:
Tentukan persamaan garis yang lainnya.
Soal untuk diselesaikan: 1.
Tentukan persamaan garis singgung pada kurva y
2.
Tentukan y
x2 2 x 1 di titik (2, 1)
2 x x 2 yang mempunyai kemiringan garis
1.
b. Maksimum dan Minimum Teorema A. Jika f kontinu pada interval tertutup a, b , maka f mencapai nilai maksimum dan minimum di sana B. Titik kritis: misal f didefinisan pada interval I yang memuat titik c. Jika f (c) adalah nilai ekstrim, maka c haruslah berupa suatu titik kritis, dengan kata lain c adalah salah satu dari: (i) Titik ujung dari I (ii) Titik stasioner dari f ; yakni titik di mana f '(c) 0 (iii) Titik singular dari f ; yakni di mana f '(c) tidak ada C. Misalkan f kontinu pada interval I dan terdeferensial pada setiap titik dalam I (i) Jika f '( x) 0 untuk semua titik dalam I , maka f naik pada I (ii)
Jika f '( x) 0 untuk semua titik dalam I , maka f turun pada I
D. Misalkan f terdeferensialkan dua kali pada setiap titik dalam I (i) Jika f ''( x) 0 untuk semua titik dalam I , maka f cekung ke atas pada I (ii) Jika f ''( x) 0 untuk semua titik dalam I , maka f cekung ke bawah pada I E. Uji turunan pertama untuk maksimum dan minimum Misal kontinu pada interval terbuka (a, b) yang memuat sebuah titik c.
F.
(i)
Jika f '( x) 0 untuk semua x dalam (a,c) dan f '( x) 0 untuk semua x dalam (c,b) maka f (c) adalah nilai maksimum lokal f .
(ii)
Jika f '( x) 0 untuk semua x dalam (a,c) dan f '( x) nilai minimum lokal f .
0 untuk semua x dalam (c,b) maka f (c) adalah
(iii) Jika f '( x) bertanda sama pada kedua pihak c, maka f (c) bukan nilai ekstrim lokal f . Uji turunan kedua untuk maksimum dan minimum (i) Jika f ''( x) 0 , maka f (c) adalah nilai minimum lokal f . (ii) Jika f ''( x) 0 , maka f (c) adalah nilai maksimum lokal f .
Contoh soal: Diketahui fungsi y
4 x3 3x 2 6 x 12 . Tentukanlah:
a.
Titik kritis f Interval di mana f naik dan di mana f turun c. Nilai maksimum dan nilai minimum f d. Titik maksimum dan minimum f PENYELESAIAN f '( x) 0 Tanda di sekitar titik kritis b.
12 x 2 6 x 6 0 2 x2 x 1 0 (2 x 1)( x 1) 0 x1
1 2
f ( 12 ) a.
+++
--------
1
dan x2 1 55 4
+++
; f (1)
7
Titik kritis ( f '(c) 0 ) Yaitu titik ( 1 , 55 ) dan (1, 7) 2
b.
4
Perhatikan perubahan tada pada f '( x)
, 1 ) atau pada (1, ) .
f ( x) akan naik jika f '( x) > 0, yaitu pada interval ( Dengan notasi lain, f ( x) naik pada interval x
1 2
2
atau pada x 1
f ( x) akan turun jika f '( x) < 0, yaitu pada interval ( 1 ,1) 2
c.
Nilai maksimumnya adalah f ( 12 )
55 4
, dan nilai minimumnya adalah f (1)
(coba menggunakan uji turunan ke dua) d.
Titik maksimumnya ( 1 , 55 ) dan titik minimumnya (1, 7) 2
4
7
Contoh Soal lagi: Kotak segi empat tanpa tutup akan dibuat dari selembar kartun dengan panjang 26 cm dan lebar 9 cm dengan cara memotong keempat sudut kartun dengan bentuk persegi yang identik. Tentukan volume kotak maksimum yang dapat dibuat, hitunglah volume maksimal tersebut. PENYELESAIAN Misalkan ukuran sisi persegi yang harus dipotong pada keempat sudutnya adalah x. Maka volume kotak tersebut adalah V (24 2 x)(9 2 x)( x)
(216 48 x 18 x 4 x 2 )( x) 216 x 66 x 2 4 x3 Perhatikan bahwa ukuran potongan tidak akan melebihi 4,5 cm. Titik kritis
f '( x)
0
216 132 x 12 x 2
0
12( x 2 11x 18) ( x 2)( x 9) x1 2; x2 Hanya ada sebuah titik x = 2, dan f (2)
Tanda
0 0 9 kritis yang memenuhi yaitu pada
216(2) 66(2)2
4(2)3
di sekitar titik kritis
+++
-------2
+++ 9
200
Nilai ekstrim a) Uji tanda f '( x) Disekitar x = 2 tanda berubah dari (+) menjadi (–) atau dengan kata lain, di sekitar x = 2 funggsi f berubah dari naik menjadi turun. Ini berarti bahwa f melalui titik maksimum. b) Uji turunan kedua
216 132 x 12 x 2 132 24 x 132 24(2) 84 0 Jadi f (2) maksimum Dengan demikian, agar volume kotak yang terbentuk maksimum, maka ukuran kotak terbut harus: Panjang = 24 – 2x = 24 – 2(2) = 20 cm Lebar = 9 – 2x = 9 – 2(2) = 5 cm Tinggi = x = 2 cm f '( x) f ''( x) f ''(2)
Volume terbesarnya = 20 x 5 x 2 = 200 cm3
