5. Práce a energie 5.1. Základní poznatky Práce W − jestliže se hmotný bod pohybuje po trajektorii mezi body (1) a (2), je práce definována křivkovým integrálem ( 2)
( 2) ( 2) r r ( 2) W = ∫ F dr = ∫ F x dx + ∫ F y dy + ∫ F z dz . (1)
(1)
(1)
(1)
Okamžitý výkon P
P=
dW r r = F ⋅v . dt
Potenciální energie Ep(x, y, z) Fx = −
∂E p ∂x
Fy = −
,
∂E p ∂y
Fz = −
,
∂E p ∂z
.
a) potenciální energie tělesa o hmotnosti m v homogenním tíhovém poli Země Ep = mgoh.
Poznámka − tento vztah lze použít pro výpočet rozdílu potenciální energie pouze za předpokladu, že g = konst. b) potenciální energie elastická (např. pro případ deformované pružiny o tuhosti k) E pe =
1 2 ky . 2
Kinetická energie částice, pohybující se rychlostí v Ek =
1 mv 2 . 2
Věta o kinetické energii ( 2)
r r
1
1
∫ F dr = 2 mv 2 − 2 mv1 . 2
2
(1)
Věta o zachování mechanické energie Ek + Ep = konst. Poznámka − platí pro ryze mechanické děje při působení konzervativních sil. Síly nekonzervativní (dissipativní) − síly tření, síly odporu prostředí. Ek + Ep = konst. – Wd, kde Wd je práce nekonzervativních sil. Práce nekonzervativních sil je funkcí dráhy, z čehož plyne, že součet (Ek + Ep) není podél trajektorie stálý.
46
5.2. Otázky a problémové úlohy 5.2.1.
Vysvětlete dráhový účinek síly.
5.2.2.
Na hmotný bod působí proměnná síla po určité dráze. Vyjádřete práci, kterou tato síla vykoná na úseku dráhy od sl do s2.
5.2.3.
Znázorněte graficky práci vykonanou proměnnou silou po dráze s.
5.2.4.
Jaké podmínky musí být splněny, aby bylo možné vyjádřit práci vztahem W = F⋅s? Definujte na základě tohoto vztahu jednotku práce v soustavě SI.
5.2.5.
V jakém případě lze práci vyjádřit jednoduchým vztahem W = F⋅s⋅cos α? Co znamená úhel α? Pro které úhly α síla koná práci a pro které práci spotřebuje? Ve kterém případě síla práci nekoná?
5.2.6.
Hmotný bod se pohybuje rovnoměrným kruhovým pohybem. Koná síla působící na hmotný bod práci?
5.2.7.
Hmotný bod se pohybuje po kružnici rovnoměrně zrychleným pohybem. Vyjádřete práci, kterou koná síla působící na bod.
5.2.8.
Na vlak pohybující se po přímé vodorovné trati působí konstantní tažná síla lokomotivy, která je rovna síle tření. Jaký pohyb vlak koná? Jaký je výkon lokomotivy a jakou práci vykoná tažná síla po dráze s?
5.2.9.
Jak spolu souvisejí jednotky joule, watt a kilowatthodina? Které veličiny v těchto jednotkách měříme?
5.2.10. Těleso je posouváno vzhůru po nakloněné rovině rovnoměrným pohybem. Vyjádřete práci, kterou musíme vykonat při posunutí tělesa o dráhu s, je-li součinitel tření a) roven nule, b) různý od nuly. 5.2.11. Jak je definován průměrný výkon a jak okamžitý výkon? 5.2.12. Automobil se rozjíždí z klidu rovnoměrně zrychleně působením konstantní tažné síly motoru. Odvoďte vztah pro okamžitý výkon motoru. Tření a odpor vzduchu zanedbejte. 5.2.13. Jak souvisí práce s mechanickou energií? 5.2.14. Nakreslete graf závislosti kinetické energie tělesa o hmotnosti m na okamžité rychlosti. 5.2.15. Vyslovte větu o zachování mechanické energie. Za jakých podmínek tato věta platí? 5.2.16. Jak je obecně definována potenciální energie?
47
5.2.17. Odvoďte vztah pro výšku výstupu při svislém vrhu vzhůru pomocí věty o zachování mechanické energie. 5.2.18. Pro volný pád tělesa v blízkosti povrchu Země stanovte a) pohybovou rovnici, b) závislost výšky tělesa na čase za předpokladu, že pro čas t0 = 0 je z = h a v0 = 0 , c) kinetickou a potenciální energii a určete jejich součet, d) rychlost dopadu tělesa na zemský povrch, r e) směr vektoru rychlosti v v okamžiku dopadu. 5.2.19. Pro pohyb tělesa v blízkosti povrchu Země stanovte a) pohybovou rovnici, b) závislost polohy tělesa na čase za předpokladu, že pro čas t0 = 0 je x0 ≠ 0, y0 ≠ 0, z0 ≠ 0 a v0 ≠ 0, c) kinetickou a potenciální energii, r d) rychlost dopadu tělesa na zemský povrch a směr vektoru rychlosti v v okamžiku
dopadu. 5.2.20. Určete energii mechanického oscilátoru (závaží na pružině) kmitajícího v tíhovém poli Země. 5.2.21. Těleso bylo vrženo šikmo vzhůru ve vakuu. Ve kterém bodě trajektorie má nejmenší kinetickou energii? Ve kterém bodě trajektorie má nejmenší potenciální energii? Dokažte, že celková mechanická energie tělesa je konstantní. 5.2.22. Síly, které lze odvodit z potenciální energie, se nazývají konzervativní. Proč? 5.2.23. Může být kinetická energie hmotného bodu záporná? 5.2.24. Může být potenciální energie hmotného bodu záporná? 5.2.25. Formulujte obecný princip zachování energie. 5.2.26. Vyložte přeměny energie při pádu tělesa v odporujícím prostředí a při pohybu tělesa po nakloněné rovině s třením. V jaký druh energie se mění mechanická energie? 5.3. Řešené úlohy 5.3.1.
Na těleso o hmotnosti m ležící na vodorovné podložce působí ve vodorovném směru stálá síla F. Jakou práci W tato síla vykoná, dosáhne-li těleso na konci dráhy s rychlosti v? Součinitel tření mezi tělesem a podložkou je f.
48
Řešení Na těleso působí výsledná síla o velikosti Fv = F − mgf ve směru pohybu. Protože se těleso pohybuje po vodorovné podložce, nemění tedy svou potenciální energii a práce výsledné síly Fv se spotřebuje na zvýšení kinetické energie tělesa, tedy Fv s =
1 mv 2 . 2
Pro práci síly F platí vztah W = F⋅s, tedy po dosazení za Fv do předchozí rovnice a po úpravě dostaneme W= 5.3.2.
(
)
m 2 v + 2 fgs . 2
Těleso o hmotnosti m koná rovnoměrný přímočarý pohyb s rychlostí v. Je potřeba jej zastavit bržděním po dráze s0. Velikost brzdící síly F klesá lineárně s uraženou dráhou s tak, že na konci působení (těleso se zastavilo) klesne její velikost na polovinu původní hodnoty F0. Určete velikost brzdící síly F0 na počátku brždění. Řešení: Pro brzdící sílu F platí vztah (síla F je klesající lineární funkcí dráhy s(t)) F = F0 − k⋅s(t), kde k je koeficient úměrnosti. Dosazením koncového bodu (s(t) = s0, F =
F0 ) 2
dostaneme pro koeficient k po úpravě vztah k=
F0 . 2s 0
Pro práci síly F platí s0
W = − ∫ Fds , 0
r kde znaménko minus je z důvodu opačných směrů síly F
r a posunutí ds .
Dosazením za sílu F, integrací a úpravou dostaneme vztah W =−
3 F0 s 0 . 4
Potenciální energie tělesa se nemění, a proto se tato práce musí spotřebovat pouze na snížení kinetické energie z hodnoty
1 mv 2 na hodnotu 0 (těleso má na konci pohybu 2
nulovou rychlost, tedy i kinetickou energii), tedy
49
Ek + W =
1 3 mv 2 − F0 s 0 = 0 , 2 4
odkud dostaneme pro hledanou sílu F0 F0 =
5.3.3.
2mv 2 . 3s 0
Kulička o hmotnosti m je zavěšena na niti neměnné délky l. Kuličku uvedeme do rovnoměrného pohybu po kružnici tak, aby nit, na které je kulička zavěšena, opisovala kuželovou plochu a aby rovina, ve které kulička rotuje, se nacházela v poloviční vzdálenosti od bodu závěsu než v případě klidu. Určete práci W, kterou je třeba při tom vykonat, a tahovou sílu F, kterou působí kulička na vlákno. Řešení: Nejdříve určíme, jakou rychlostí v se kulička pohybuje po kružnici. Musí platit, že r výsledná síla F má směr vlákna, jinak by docházelo ke změně úhlu odklonu a kulička by se nepohybovala po kružnici. Tedy (viz obr. 25) l 3 Fo r = = 2 = 3, l FG l 2 2 kde r jsme vypočetli z Pythagorovy věty. Jednotlivé síly se vypočítají podle vztahů Fo = m
v2 2 ⋅ v2 =m⋅ ; FG = mg . r l⋅ 3
obr. 25 Po dosazení do předchozí rovnice a po úpravě dostaneme pro hledanou rychlost v následující vztah v2 =
3 gl . 2
Na počátku byla kulička v klidu ve vzdálenosti l od bodu závěsu. Práce, kterou je třeba vykonat se spotřebuje na zvýšení potenciální a kinetické energie kuličky. Tedy
50
W = Ek + Ep =
1 l 1 3 l 5 mv 2 + mg = m ⋅ gl + mg = mgl . 2 2 2 2 2 4
Z podobnosti trojúhelníků plyne
l 1 = cos ϕ = 2 = , F l 2
FG tedy
F = 2FG = 2mg. 5.3.4.
Určete periodu periodického pohybu tělesa, které klouže po dvou nakloněných rovinách, které svírají s vodorovnou rovinou úhly α a β, jestliže v čase t = 0 s je volně puštěno z polohy A ve výšce h (viz obr. 26). Tření i ztráty kinetické energie při přechodu z jedné nakloněné roviny na druhou zanedbejte.
obr. 26 Řešení: Protože nedochází ke ztrátám energie, musí platit zákon jejího zachování. Odtud plyne, že na druhé nakloněné rovině vystoupá těleso do stejné výšky h jako na první a poté se vrátí zpět do bodu A na první nakloněné rovině. Označme t1 a s1 čas a dráhu tělesa na první nakloněné rovině a t2 a s2 čas a dráhu tělesa na druhé nakloněné rovině. Velikost zrychlení tělesa a1 na první nakloněné rovině a a2 na druhé nakloněné rovině jsou a1 = g⋅sin α,
a2 = g⋅sin β.
Pro dráhy na obou nakloněných rovinách platí s1 =
h 1 2 1 2 a1t1 = gt1 sin α = , 2 2 sin α
s2 =
1 1 h a 2 t 22 = gt 22 sin β = . 2 2 sin β
Odtud vyjádřením časů t1 a t2 dostaneme doby pohybu tělesa v jednom směru po jednotlivých nakloněných rovinách. Celková perioda tohoto pohybu potom bude ⎛ 2h T = 2 ⋅ (t1 + t 2 ) = 2 ⋅ ⎜ + ⎜ g sin 2 α ⎝ 5.3.5.
⎞ ⎟ = 2 ⋅ 2h ⋅ ⎛⎜ 1 + 1 ⎞⎟ . 2 g ⎜⎝ sin α sin β ⎟⎠ g sin β ⎟⎠ 2h
Z otvoru o průřezu S vytéká proud vody ve vodorovném směru stálou rychlostí v a dopadá na svislou stěnu, která se pohybuje v tomtéž směru rychlostí u (u < v). Jak 51
velikou silou F působí voda na svislou stěnu, předpokládáme-li, že se vodní paprsek po nárazu na stěnu rozptýlí rovnoměrně do všech stran (vliv tíhy vody zanedbáváme)? Při jaké rychlosti u je výkon P maximální? Hustota vody je ρ. Řešení:
r Síla F , kterou voda působí na stěnu, je dána časovou změnou hybnosti malého elementu hmotnosti vody dm, pro který platí dm = ρ⋅S⋅v⋅dt. Tedy pro velikost síly F je F=
dv dp d (mv 0 ) dm = = v0 + m 0 , dt dt dt dt
kde v0 je rychlost pohybu elementu dm vody vzhledem ke svislé stěně. Protože je tato rychlost konstantní (v0 = v − u), je druhý člen v předchozím vztahu nulový a po dosazení za dm a v0 dostaneme F = ρ⋅S⋅v⋅(v − u). Pro výkon P vodního paprsku platí P=
dW d(Fs ) dF ds s+F = = , dt dt dt dt
kde s je posunutí stěny. Ze vztahu pro sílu je zřejmé, že síla F je konstantní v čase, a tedy první člen v předchozím vztahu je nulový. Derivace posunutí s podle času je rychlost posunu svislé stěny, tedy platí P=F
(
)
ds = F ⋅ u = ρSv ⋅ (v − u ) ⋅ u = ρSv ⋅ uv − u 2 . dt
Aby byl výkon P maximální, musí být jeho derivace podle u rovna nule, tj. dP = ρSv ⋅ (v − 2u ) = 0 du a tedy pro rychlost pohybu stěny musí platit u=
v . 2
Druhá derivace výkonu P podle rychlosti u je rovna −2⋅ρSv, a je tedy vždy záporná, a proto je pro vypočtenou rychlost u výkon P opravdu maximální.
52
5.4. Úlohy 5.4.1.
Koule plave v kapalině o hustotě ρ tak, že je do ní ponořená právě do poloviny. Jakou práci W vykonáme při vytáhnutí koule nad hladinu kapaliny? Poloměr koule je R.
5.4.2.
W=
5 πR 4 ρg 12
Lokomotiva o hmotnosti m se začíná pohybovat z klidu tak, že se její rychlost mění podle vztahu v = c s , kde c je konstanta a s dráha. Najděte celkovou práci W všech sil, působících na lokomotivu za prvních t sekund od začátku pohybu.
5.4.3.
1 W = mc 4 t 2 8
Lokomotiva se stálým výkonem P = 600 kW táhne vlak o hmotnosti m = 5⋅105 kg. Součinitel tření je f = 0,01. Určete zrychlení a vlaku v okamžiku, kdy je jeho rychlost v = 10 m⋅s-1, a maximální rychlost vmax, které může při daném výkonu vlak dosáhnout. Vlak jede po vodorovných kolejích.
5.4.4.
a=
P P − fg = 0,022 m⋅s-2, v max = = 12,23 m⋅s-1 mv fmg
Malé těleso klouže po nakloněné rovině, která na konci přechází ve válcovou plochu o poloměru R (viz obr. 27). Určete a) do jaké výšky h1 těleso vystoupí, klouže-li z výšky h, b) jaká musí být výška h, aby těleso vykonalo celou obrátku.
a) h1 =
5 2h + R , b) h = R 2 3
obr. 27 5.4.5.
Na těleso, které se pohybuje po přímé dráze, působí proměnná síla. Počáteční hodnota síly je F0 = 5 N, síla rovnoměrně roste tak, že se její velikost na každém
53
metru dráhy zvětší o hodnotu k = 2 N⋅m-1. Vypočtěte práci W, kterou síla vykoná po dráze s = 16 m, jestliže má směr dráhy.
5.4.6.
W = F0 s +
1 2 ks = 336 J 2
Jaký impuls I udělí stěna pružné kuličce o hmotnosti m = 200 g, která na ni narazí ve směru svírajícím s normálou ke stěně úhel α = 60°? Rychlost kuličky je v = 20 m⋅s-1.
5.4.7.
I = 2 mv cos α = 4 kg⋅m⋅s-1
Jak velkou práci W vykonal motor nákladního auta, jestliže auto o hmotnosti m = 3000 kg zvýšilo na vodorovné silnici rychlost z v1 = 12 m⋅s-1 na v2 = 20 m⋅s-1? Tření a odpor vzduchu zanedbejte.
5.4.8.
W=
(
)
1 m ⋅ v 22 − v12 = 3,84⋅105 J 2
Zvedací zařízení výtahu o celkové hmotnosti m = 1000 kg zvedá výtah s konstantním zrychlením a = 2 m⋅s-2. Určete práci W, kterou zařízení vykoná za prvních t = 5 s zvedání.
5.4.9.
W=
1 ma ⋅ (a + g ) ⋅ t 2 = 2,95⋅105 J 2
Určete výkon P motoru osobního automobilu o hmotnosti m = 750 kg, jestliže se pohybuje po vodorovné silnici rychlostí v = 60 km⋅h-1. Součinitel tření je f = 0,07. Odpor prostředí zanedbejte.
P = fmgv = 8,58 kW
5.4.10. Dřevěný válec je ponořený ve vodě do
2 své výšky h. Poloměr válce je r = 10 cm a 3
výška h = 60 cm. Určete práci W potřebnou na vytažení válce z vody.
2 W = πr 2 h 2 ρg = 24,64 J 9
5.4.11. Těleso o hmotnosti m bylo vytaženo na vrcholek pomocí síly F, která má v každém okamžiku směr tečny k dráze (obr. 28). Vypočtěte práci W této síly, jestliže je výška vrcholku h, délka jeho základny l a koeficient tření f.
W = mg (h + f⋅l)
54
obr. 28 5.4.12. Na vrcholu dokonale hladké koule o poloměru R leží malé těleso. V jaké hloubce h (viz obr. 29) se těleso oddělí od koule, začne-li klouzat a) s nulovou počáteční rychlostí, b) s počáteční rychlostí v0 ≠ 0. c) Jaká musí být počáteční rychlost v0, aby se těleso oddělilo od koule hned na jejím vrcholu?
gR − v 02 R , c) v 0 ≥ gR a) h = , b) 3 3g
obr. 29 5.4.13. Vypočtěte frekvenci f harmonického pohybu hmotného bodu o hmotnosti m = 20 g, je-li amplituda kmitání A = 10 cm a celková energie E = 1 J.
f =
1 2E ⋅ = 15,92 s-1 2πA m
5.4.14. Těleso o hmotnosti m = 100 kg se pohybuje rychlostí v0 = 20 km⋅h-1. Jakou konstantní silou F musíme na těleso působit, máme-li jej zastavit na dráze s = 20 m?
F=
mv 02 = 77,16 N 2s
5.4.15. Jaká je hmotnost m automobilu, který se pohybuje po vodorovné silnici rychlostí v = 50 km⋅h-1, při výkonu motoru P = 7 kW? Koeficient tření je f = 0,07.
m=
P = 733,9 kg fgv 55
5.4.16. Jakou práci W je třeba vykonat, abychom břemeno o hmotnosti ml = 200 kg zvedli do výšky h = 40 m pomocí lana, jehož hmotnost je m2 = 40 kg?
1 ⎛ ⎞ W = gh ⋅ ⎜ m1 + m 2 ⎟ = 8,6⋅104 J 2 ⎝ ⎠
5.4.17. Míč o hmotnosti m = 100 g jsme nárazem uvedli do pohybu s rychlostí v = 10 m⋅s-1. Jak velkou silou F jsme do něj udeřili, trval-li náraz po dobu t = 0,01 s?
F=
mv = 100 N t
5.4.18. Těleso o hmotnosti m = 0,8 kg bylo vystřeleno svisle vzhůru. Jakou maximální výšku hmax těleso dosáhne, jestliže ve výšce h = 10 m mělo kinetickou energii Ek = 196,2 J?
hmax = h +
Ek = 35 m mg
5.4.19. Střela o hmotnosti m = 20 g zasáhne rychlostí v0 = 400 m⋅s-1 strom. Do jaké hloubky h pronikne, je-li průměrná síla odporu dřeva vůči pohybu kulky F = 104 N?
s=
mv 02 = 16 cm 2F
5.4.20. Jakou mechanickou energii E má matematické kyvadlo o délce l = 1 m a hmotnosti m = 1 kg, je-li jeho maximální výchylka od rovnovážné polohy ϕ = 30°? Jakou silou F je namáhán závěs při průchodu kyvadla rovnovážnou polohou?
E = mgl (1 – cos ϕ) = 1,31 J, F = mg (3 – 2 cos ϕ) = 12,44 N
56
