Kružnice
Kružnice
je množina všech bodů roviny, které mají
od zadaného bodu , vzdálenost . Bod
je střed,
je poloměr kružnice.
Délka spojnice dvou bodů kružnice, která prochází středem je průměr kružnice . Platí:
Úsečka
, jejímiž krajními body jsou
body kružnice Body
je její tětivou.
rozdělují kružnici
na dva oblouky
Bod , pro který
leží vně kružnice,
Bod , pro který
leží uvnitř kružnice.
Kruh Kruh
je množina všech bodů roviny, které mají
od zadaného bodu , vzdálenost menší nebo rovnu . Bod
Dva poloměry
je střed,
je poloměr kruhu.
rozdělí kruh na dvě
části, které nazýváme kruhové výseče Tětiva
rozdělí kruh na dvě části
nazývané kruhové úseče
Vzájemná poloha přímky a kružnice
je sečna
je tečna
právě dva společné body
je nesečna
právě jeden společný bod
žádný společný bod
Vzájemná poloha dvou kružnic a) Dvě kružnice v rovině se společným středem jsou soustředné
b) Dvě kružnice s různými středy jsou nesoustředné. Úsečka jejímiž krajními body jsou středy obou kružnic se nazývá středná. Stejně označujeme i její délku. leží vně sebe
mají vnější dotyk
s
s
žádný společný bod
s
právě jeden společný bod dotyku
mají vnitřní dotyk právě jeden společný bod dotyku
se protínají
právě dva společné průsečíky
leží uvnitř žádný společný bod
Úhly v kružnici Úhel, jehož vrcholem je střed kružnice S, a ramena prochází krajními body oblouku AB se nazývá středový úhel příslušný k oblouku AB.
V
S
A
B
Úhel, jehož vrcholem je bod kružnice, který nenáleží oblouku AB, a ramena prochází body A, B se nazývá obvodový úhel příslušný k oblouku AB. Pro středový úhel a libovolný obvodový úhel platí:
Thaletova věta
A
B S
Obvodový úhel příslušný k půlkružnici je pravý.
Vztahy pro výpočet : Délka kružnice = obvod kruhu: je ludolfovo číslo, přibližně
Délka oblouku kružnice:
Obsah kruhu:
Obsah kruhové výseče:
Obvod kruhové výseče:
je příslušný středový úhel
d
Příklady k procvičení: 1. Vypočtěte délku kružnice, je-li dáno: a) b) 2. Délka kružnice je
3. Obvod kruhu je
vypočtěte její poloměr. vypočtěte jeho průměr.
4. Hřídel rumpálu má průměr nabírá-li se voda z hloubky
. Kolikrát se musí otočit klikou rumpálu, ?
5. Vypočtěte obsah kruhu, je-li dáno: a) b) 6. Obsah kruhu je
7. Průřez plechové roury je je roura stočena ?
. Vypočtěte poloměr tohoto kruhu.
. Jaká je minimální šířka plechu, ze kterého
8. Vypočtěte, jakou rychlostí se pohybuje bod na rovníku při otáčení Země kolem osy, je-li poloměr Země . 9. Poloměr kruhu je . Vypočtěte délku oblouku a obsah kruhové výseče je-li velikost příslušného středového úhlu . 10. Vypočtěte velikost úhlu, který svírají dvě spojnice čísel na ciferníku hodin. První spojuje číslo 1 s číslem 4 a druhá číslo 1 s číslem 7.
11. V kružnici poloměru 10 cm je dán středový úhel a) Délku oblouku příslušného tomuto úhlu b) Obsah kruhové výseče s tímto středovým úhlem
. Vypočtěte:
12. Body A,B,C leží na kružnici . Dělí kružnici na tři oblouky v poměru 1:2:3. Vypočtěte : a) velikosti středových úhlů příslušných k těmto obloukům . b) obsahy kruhových výsečí příslušných k těmto obloukům.
13. V kruhu její obsah.
je kruhová výseč s obvodem
. Vypočtěte
14. V kružnici o poloměru 10 cm je vepsán trojúhelník ABC tak, že jeho vrcholy dělí kružnici na tři oblouky v poměru 2:3:4. Vypočtěte obvod tohoto trojúhelníku. 15. Průměr kruhového divadelního sálu je . Pódium a hlediště jsou odděleny tětivou o délce . Vypočtěte obsah plochy jeviště a hlediště. Předpokládejte, že jeviště je menší částí sálu.
Příklady k domácí přípravě 1. Vypočtěte obsah kruhu, jehož obvod je 70 cm. 2. Kruh má obsah je
. Vypočtěte jeho průměr a obvod.
3. Kruhová verze naší státní vlajky je tvořena třemi kruhovými výsečemi. Vypočtěte obsah každé z nich, má-li kruh průměr 20 cm a středový úhel modré výseče velikost .
4. Vypočtěte délku kruhového oblouku, je-li poloměr úhel .
a středový
5. Určete velikost úhlu, který svírá úsečka spojující čísla 12 a 3 s úsečkou spojující čísla 12 a 8 na hodinovém ciferníku.
