OBVOD A OBSAH ROVNOB ŽNÍKU 2 HODINY
Obvod rovnob žníku: stejn jako u p edchozích geometrických rovinných útvar
(trojúhelník, ty úhelník) získáme obvod rovnob žníku tak, že se teme délky všech hrani ních úse ek rovnob žníku. Protože všechny druhy rovnob žníku ( tverec, obdélník, koso tverec, kosodélník) se skládají ze ty stran a, b, c, d a navíc platí a c; b d ; vypo te se obvod rovnob žníku vždy stejným zp sobem:
o o o
a b c d a b a b 2.a 2.b
o
2.(a b)
/a
c;b
d
Obsah rovnob žníku: Chceme-li popsat, jaký prostor (kolik místa) v rovin zaujímá
daný geometrický útvar, vyjád íme to veli inou, které íkáme obsah rovinného geometrického útvaru. Obsah, jak již jist víš, zna íme velkým písmenem S. Jednotky obsahu jsou: m2 ;cm2 ;dm2 ;cm2 ;mm2 (budeme je užívat nej ast ji). Dalšími jednotkami jsou km2; ar (zna íme a) a hektar (zna íme ha). Nyní uvedu p ehled základních vztah mezi jednotkami obsahu (k jednotám ar, hektar, km2 se v p ípad nutnosti vrátím v p íkladech): Základní jednotka obsahu : 1 metr tvere ný
1 m2
obsah tverce o stran 1 m
Vedlejší jednotky obsahu : 1 dm2
1 decimetr tvere ný
obsah
tverce o stran 1 dm
1 m2 = 1 m . 1 m = 10 dm . 10 dm = 100 dm2 1 dm2 = 1 dm . 1 dm = 0,1 m . 0,1 m = 0,01 m2 1 cm2
1 centimetr tvere ný
obsah tverce o stran 1 cm
1 dm2 = 1 dm . 1 dm = 10 cm . 10 cm = 100 cm2 1 m2 = 1 m . 1 m = 100 cm . 100 cm = 10000 cm2 1 cm2 = 1 cm . 1 cm = 0,1 dm . 0,1 dm = 0,0001 dm2 1 mm2
1 milimetr tvere ný
obsah tverce o stran 1 mm
1 cm2 = 1 cm . 1 cm = 10 mm . 10 mm = 100 mm2 1 dm2 = 1 dm . 1 dm = 100 mm . 100 mm = 10000 mm2 1 m2 = 1 m . 1 m = 1000 mm . 1000 mm = 1000000 mm2 1 mm2 = 1 mm . 1 mm = 0,1 cm . 0,1 cm = 0,01 cm2 1 mm2 = 1 mm . 1 mm = 0,01 dm . 0,01 dm = 0,0001 dm2 A na záv r p ehledná tabulka: m2
dm2
cm2
mm2
m2
1
100
10000
1000000
dm2
0,01
1
100
10000
cm2
0,0001
0,01
1
10
mm2
0,000001
0,0001
0,01
1
Pro lepší p ehlednost budeme obsah rovnob žníku ABCD (pozd ji trojúhelníku ABC zna it následujícím zp sobem: S ABCD S ABC
obsah rovnob žníku ABCD obsah trojúhe ln íku ABC
Nejprve si zopakujeme výpo et obsahu tverce a obdélníku: tverec:
SABCD = a . a = a2 Obdélník:
SABCD = a . b
Nyní se nau íš vypo ítat obsah každého rovnob žníku: Koso tverec, kosodélník: ? Myslíš si, že se obsah koso tverce nebo kosodélníku vypo te pomocí sou inu dvou sousedních stran a . b stejn jako u tverce a obdélníku ? Pokud myslíš, že ano, podívej se na následující obrázek – jsou na n m dva kosodélníky mající délky stran 6 cm a 4 cm:
? Mají oba kosodélníky stejný obsah ?
Ur it nemají, žlutý kosodélník má v tší obsah, p estože oba kosodélníky mají stejné rozm ry stran. Podobné by to bylo i s koso tvercem. Obsah kosoúhelník (koso tverce, kosodélníku) se tedy nespo te pomocí sou inu a . b. ? Jak tedy spo teme obsah kosoúhelníku ? P iprav si papír, rýsovací pot eby a n žky. Na papír si narýsuj libovolný kosoúhelník ABCD a vyst ihni si jej.
Úkol: Pokus se kosoúhelník vhodným st íháním p em nit na pravoúhelník o stejném obsahu Neda í se Ti ? Mám pro Tebe malou nápov du. Vyzna si v Tvém kosodélníku jednu výšku – nap íklad ve výšku va na stranu a:
Rozst ihni si sv j kosoúhelník na dv pravoúhelník:
ásti odd lené výškou va a pokus se z nich složit
Poda ilo se Ti sestavit pravoúhelník stejn jako mn ?
? Jaký pravoúhelník jsi nakonec dostal ? Dostal jsem obdélník se stranami a, va ? Jak tedy spo teš obsah kosodélníku ? S a.v a ? Jak by si spo etl obsah kosodélníku v p ípad , že by si zvolil jinou výšku – nap íklad výšku vb vedenou z vrcholu kosodélníku na stranu b ? Nabízím Ti podobný postup, jako v p edchozím p ípad :
? M žeš íci, že se obsah každého rovnob žníku ( tverce, obdélníku, koso tverce, kosodélníku) vypo te S a.v a b.vb ? Ur it ano, u kosodélníku jsme si to ukázali, u koso tverce by se postupovalo stejn . U tverce je výškou va na stranu a strana a:
U obdélníku je výškou va na stranu a strana b
:
! ZAPAMATUJ
SI !
Obsah každého rovnob žníku je roven sou inu délky strany a výšky p íslušné k této stran
S = a . va = b . vb
P íklad 1: Vypo ítej obsah rovnob žníku, jehož jedna strana má délku 9 cm a výška p íslušná k této stran je 7,5 cm a 9 cm v a 7,5 cm S ? cm 2 ___________
S
a.v a
S
9.7,5 cm 2
S
67,5 cm 2
Rovnob žník má obsah 67,5 cm2.
P íklad 2: Vypo ítej obvod a obsah koso tverce ABCD, má-li strana koso tverce délku 11,2 cm a výška na stranu koso tverce je 65 mm. a 11,2 cm v
65 mm
o
? cm
6,5 cm
S ABCD ? cm 2 __________________
S ABCD
a.v a
S ABCD
11,2.6,5 cm 2
S ABCD
72,8 cm 2
o ABCD
4.a
o ABCD
4.11.2 cm
o ABCD
44,8 cm
Obvod koso tverce je 44,8 cm, jeho obsah je 72,8 cm2.
P íklad 3: Vypo t te obsah kosodélníku ABCD zakresleného v centimetrové tvercové síti na obrázku (1 tverec má délku hrany 1 cm):
Na obrázku jsem Ti již vyzna il výšku v na stranu a. Je to nejkratší (kolmá) vzdálenost dvou rovnob žných stran. N kdy se m že stát, že výška vedená z bodu (nap . D) na prot jší stranu (AB) tuto stranu neprotne. Proto vedeme stranou AB p ímku. Pr se ík p ímky a výšky ozna íme nap . X. Vzdálenost DX je pak hledaná výška rovnob žníku.
S ABCD
a.v a
AB . DX
S ABCD
2.6 cm 2
S ABCD
12 cm 2
Obsah rovnob žníku vyzna eného ve tvercové síti je 12 cm2.
P íklad 4 : Vypo t te obsah kosodélníku ABCD zakresleného v centimetrové tvercové síti na obrázku (1 tverec má délku hrany 1 cm):
S
b.vb
AD . CX
S
4.3 cm 2
S
12 cm 2
Obsah rovnob žníku vyzna eného ve tvercové síti je 12 cm2.
P íklad 5 : Vypo t te obsah rovnob žníku ABCD zakresleného v centimetrové tvercové síti na obrázku (1 tverec má délku hrany 1 cm):
Úloha vypadá na první pohled obtížn . Nemáme-li navíc k dispozici pravítko, zdá se, že nejsme schopni obsah spo ítat. Pokusíme se tedy ást rovnob žníku (trojúhelník i ty úhelník) p emístit tak, abychom byli schopni obsah spo ítat. Na prvním obrázku je zelenou barvou vyzna ena ást rovnob žníku, kterou budu p emís ovat, na druhém pak tvar rovnob žníku po p emíst ní:
S ABCD
a.v a
AB . BC
S ABCD
3.5 cm 2
S ABCD
15 cm 2
Obsah rovnob žníku vyzna eného ve tvercové síti je 15 cm2.
P íklad 6 : Vypo t te obsah koso tverce ABCD, je- li dáno: AD
AD va
b vb
a 10cm 6cm platí pro koso tverec
S ? cm 2 _________________________________
10cm; v a
6cm
A koliv známe velikost strany b a výšku na stranu a, v koso tverci to nevadí (strany mají stejnou délku, ob výšky mají stejnou velikost):
S ABCD
b.vb
b.v a
S ABCD
10.6 cm 2
S ABCD
60 cm 2
Obsah koso tverce je 60 cm2.
P íklad 7 : Vypo t te obsah rovnob žníku, je-li dáno: o ABCD
vb
7cm; vb
8cm
36cm
o ABCD CD
36cm; CD
a
7cm
8cm
S ? cm 2 _______________ Nejprve si spo teme délku strany b
BC
o ABCD
AD :
2. a b
36 2.(7 b) 36 14 2.b 22 2.b
/ - 14 /: 2
b 11 cm Poté si spo teme obsah rovnob žníku ABCD: S ABCD
b.v b
S ABCD
11.8 cm 2
S ABCD
88 cm 2
Obsah rovnob žníku je 88 cm2.
P íklad 8 : Rovnob žník má obsah 276 cm2, jedna jeho strana má délku 2,3 dm. Vypo t te výšku p íslušnou k této stran ! S
276 cm 2
a
2,3 dm
va
? cm
23 cm
______________
S
a.v a
S a
va
va va
/:a
276 cm 23 12 cm
Výška p íslušná ke stran rovnob žníku je 12 cm.
P íklad 9 : Koso tverec ABCD má obsah 352 cm2, jedna z jeho výšek má velikost 0,16 m. Vypo t te obvod koso tverce! 352cm 2
S ABCD v
0,16m 16cm
a
?
cm
o
?
cm
________________ Koso tverec má ob výšky stejn dlouhé. Nejprve spo teme délku strany koso tverce:
S ABCD
a.v a
S ABCD va
a
a a
/ : va
352 cm 16 22 cm
Koso tverec má všechny strany stejn dlouhé. Obvod koso tverce tedy spo teme: o ABCD
4.a
o ABCD
4.22 cm
o ABCD
88 cm
P íklad 10 : V rovnob žníku ABCD je dáno: AB a 80mm; AD Vypo t te obsah rovnob žníku a velikost výšky na stranu a. AB
a
80mm
AD
b
6cm
vb
0,5dm
S ABCD va
?
?
8cm
5cm cm 2 cm
_____________________ Nejprve si spo teme obsah rovnob žníku:
b
6cm; vb
0,5dm .
S ABCD
b.vb
S ABCD
6.5 cm 2
S ABCD
30 cm 2
Dále využijeme následujícího poznatku o obsahu rovnob žníku: S a.v a b.vb Z výše uvedeného vztahu spo teme velikost výšky na stranu a: S a.v a /:a
S a va va
va 30 cm 8 3,75 cm
Obsah rovnob žníku je 30 cm2, velikost výšky na stranu a je 3,75 cm.
CVI
ENÍ
Nejprve si zkus sám spo ítat obsahy a obvody rovnob žník , poté si své výsledky, pop ípad ešení zkontroluj s mým, které je uvedeno za zadáním cvi ení. Hodn zdaru!
Úloha 1: Vypo t te obsah rovnob žníku ABCD v jednotkách uvedených v hranatých závorkách, je-li dáno:
a) AB
7,5cm; v a
5cm
cm 2
b) BC
65mm; vb
0,08m
dm 2
Úloha 2: Vypo t te obsah a obvod koso tverce ABCD, je-li dáno: CD
10cm; vb
77cm 2 ; b 1,1dm
Úloha 3: Vypo t te chyb jící stranu obdélníku a jeho obvod, je-li dáno: S Úloha 4: Vypo t te obvod a AB 8,5cm; BC 12,5cm; vb 6cm
obsah
kosodélníku
Úloha 5: Vypo t te obsah koso tverce, je-li dáno: o ABCD
64cm; v
Úloha 6: V rovnob žníku ABCD je dáno: BC 1,6dm; CD obsah rovnob žníku a velikost výšky na stranu b. Úloha 7: Vypo t te obvod rovnob žníku, je-li dáno: S ABCD
ABCD,
je-li
dáno:
9cm
120mm; v a
42cm 2 ; vb
Úloha 8: Rozhodni, o jaký rovnob žník ABCD se jedná, je-li dáno:
0,09m
8cm . Vypo t te
6cm; CD
8cm
a) S ABCD
35dm 2 ; AB
b) S ABCD
28cm 2 ; vb
va
7cm
c)o ABCD
20cm; AB
vb
5cm
d ) S ABCD
48m 2 ; v a
e) S ABCD
32dm 2 ; o ABCD
24dm; vb
f ) AB
BC
15cm; vb
7 dm; AD
8m; v b
8cm; v a
50cm
6m 8dm 12cm
Úloha 9: Vypo ti obsahy rovnob žník zakreslených v centimetrové tvercové síti:
Úloha 10: Vypo ti obsahy rovnob žník zakreslených v centimetrové tvercové síti:
Úloha 11: Vypo ti obsah rovnob žníku zakresleného v centimetrové tvercové síti:
EŠENÍ ÚLOH, NÁPOV DA K ÚLOHÁM Úloha 1:
7,5.5cm 2
a) S
a.v a
b) S
BC .vb
37,5cm 2
0,65.0,8dm 2
0,52dm 2
Úloha 2: Koso tverec má všechny strany stejn dlouhé: o Obsah koso tverce je S
CD .vb
BC .vb
4. CD
10.9cm
2
40cm
90cm 2
Úloha 3: S
a.b
a
S b
o
2( a b )
S
BC .vb
o
2(8,5 12,5)cm
77 cm 11
7cm
2(7 11)cm
36cm
Úloha 4: 12,5.6cm 2
75cm 2
42cm
Úloha 5: o
4.a
a
o 4
S
a.v 16.9cm 2
64 cm 16cm............strana koso tverce 4 144cm 2
Úloha 6:
12.8cm 2
S
CD .v a
S
BC .vb
vb
S BC
96 cm 16
42 cm 6
7cm
6cm
Úloha 7: S BC
o
BC .vb S vb 2.( BC
CD )
2.(7 8)cm
30cm
Úloha 8: a) Jelikož platí, že AB . AD S ABCD a AB AD , jedná se o obdélník b) Protože má zadaný rovnob žník ob výšky stejn dlouhé, jedná se o tverec ( a v a b vb ) nebo koso tverec a v a . Snadno si spo teme stranu rovnob žníku S (a 4cm) . Jelikož se velikosti strany a p íslušné výšky neshodují, jedná se o va koso tverec. c) Jedná se o tverec, protože v rovnob žníku platí AB CD 5cm . Pokud je podle zadání o ABCD
20cm , zbývá na zbývající dv shodné strany 10 cm, na jednu tedy 5
cm. Znamená to tedy, že BC AD vb 5cm . Délka strany je totožná s výškou na ni sestrojenou, jedná se tedy o tverec. d) Všimni si, že v a .vb S ABCD , což platí u obdélníku nebo tverce. Jelikož mají výšky r znou délku, jedná se o obdélník. S e) Ze zadaného obsahu a jedné výšky ur íme stranu rovnob žníku ( b 4dm) . vb Známe-li délku jedné strany a obvod rovnob žníku, snadno dopo ítáme délky
zbývajících stran ( b
d
4cm; a
c
24 2.4 dm 2
8dm) . Rovn ž snadno ur íš
S 8dm . Jedná se tedy o rovnob žník, jehož sousední strany a mají r znou délku (koso tverec nebo kosodélník) a výšky mají rovn ž r znou velikost – jedná se tedy o kosodélník. f) Jedná se rovnob žník mající všechny strany stejn dlouhé ( tverec nebo koso tverec). Výšky rovnob žníku však mají r znou velikost, což neplatí pro tverec ani pro koso tverec. Uvedený rovinný útvar není rovnob žník. chyb jící výšku v a
Úloha 9:
S1
4.4cm 2
16cm 2
S2
2.5cm 2
10cm 2
S3
3.1,5cm 2
4,5cm 2
Úloha 10: Vyzna si na obrázku základnu z a výšku v a ur i jejich velikosti: S1
z.v
3.2cm 2
S2
z.v
2,5.6cm 2
6cm 2 15cm 2
Úloha 11: Vyzna si na obrázku základnu z a výšku v a ur i jejich velikosti:
S
z.v
3.6cm 2
18cm 2
