OBSAH 1 Úvod Cíl práce Metodika Teoretická východiska Aktiva Analýza cenných papírů

OBSAH 1

Úvod.......................................................................................................................... 3

2

Cíl práce.................................................................................................................... 4

3

Metodika ................................................................................................................... 5

4

Teoretická východiska .............................................................................................. 7 4.1

Aktiva................................................................................................................ 7

4.2

Analýza cenných papírů.................................................................................... 8

4.2.1

Přístupy k analýze cenných papírů ........................................................... 8

4.2.1.1

Fundamentální analýza ......................................................................... 9

4.2.1.2

Technická analýza............................................................................... 13 Určující činitele poptávky po aktivech ................................................... 15

4.2.2 4.2.2.1

Bohatství ............................................................................................. 15

4.2.2.2

Očekávaný výnos ................................................................................ 15

4.2.2.3

Riziko.................................................................................................. 16

4.2.2.4

Likvidita.............................................................................................. 18

4.3

Rozbor jednotlivých modelů teorie portfolia.................................................. 18

4.3.1

Markowitzův model................................................................................ 18

4.3.1.1

Efektivní množina............................................................................... 21

4.3.1.2

Bezrizikové aktivum ........................................................................... 22

4.3.1.3

Algoritmus hledání optimálního portfolia .......................................... 23

4.3.1.4

Metody řešení soustavy rovnic ........................................................... 25

4.3.2 4.3.2.1

Přmka CML ........................................................................................ 29

1.2.1.1

Přímka SML........................................................................................ 30

4.3.3 5

Model CAPM.......................................................................................... 27

Modifikovaný CAPM ............................................................................. 35

Vlastní práce ...................................................... Chyba! Záložka není definována. 5.1

Nalezení portfolia s minimálním rizikem (sell short povolen) – portfolio 1 .. 40

5.2

Nalezení portfolia s minimálním rizikem a požadovaným výnosem 15% p.q.

(sell short povolen) – portfolio 2 ................................................................................ 45 5.3

Nalezení portfolia s minimálním rizikem (sell short zakázán) – portfolio 3 .. 47

5.4

Nalezení portfolia s minimálním rizikem a požadovaným výnosem 15% p.q.

(sell short zakázán) – portfolio 4 ................................................................................ 49 5.5

Využití CAPM ................................................................................................ 51

5.6

Porovnání se skutečnými hodnotami .............................................................. 52 1

6

Diskuze ................................................................................................................... 55

7

Závěr ....................................................................................................................... 56

8

Seznam použité literatury ....................................................................................... 57

9

Přílohy..................................................................................................................... 58

2

1

ÚVOD

Tato práce vychází z teorie portfolia. Jedná o mikroekonomickou disciplínu, která řeší, jaké kombinace aktiv je vhodné držet, aby takto vytvořené portfolio mělo předem stanovené vlastnosti. Za zakladatele teorie portfolia bývá považován H. Markowitz, který ve svém článku z roku 1952 „Portfolio selection“ předpokládá, že investor má na počátku období k dispozici určité množství kapitálu, který bude investovat na předem určené časové období. Na investování Markowitz pohlíží jako na činnost, při které investor vybírá mezi investicemi s různými očekávanými výnosy a různou mírou jistoty, že očekávaného výnosu bude dosaženo. Přitom investor sleduje dva protichůdné cíle, a to maximalizaci výnosu a minimalizaci rizika. Dalším významným milníkem ve vývoji teorie portfolia bylo zavedení modelu oceňování kapitálových aktiv (CAPM – Capital Asset Pricing Model), jehož vznik je připisován W. F. Sharpovi, který ve svém článku z roku 1964 „Capital Asset Prices: A Theory of Market Equilibrium under Conditions of Risk“ rozšiřuje portfolio rizikových aktiv o bezrizikovou investici a přímku kapitálového trhu (CLM – Capital Market Line). V Sharpově pojetí je přímka kapitálového trhu úroková míra z rizikové investice, kterou je investor ochoten akceptovat v podmínkách, kdy na trhu existuje možnost bezrizikové investice. Následně Sharpe zavádí přímku cenného papíru (SLM – Security Market Line), z které lze odvodit očekávaný výnos jednotlivých aktiv i celého portfolia. Poslední kapitolou ve vývoji teorie portfolia je arbitrážní teorie oceňování (APT – Arbitrage Pricing Theory), jejíž odvození lze přisoudit S. A. Rossovi. Na rozdíl od předešlých teorií APT pouze předpokládá, že investoři dávají přednost vyšší úrovni bohatství před nižší a nepohlížejí na portfolio ve smyslu očekávaného výnosu a rizika. Toto téma je vybráno zejména proto, že obchodování s cennými papíry je velice zajímavé a v dnešní době i prakticky aplikovatelné. Teorii portfolia je například možné využít v institucích kolektivního investování (podílové fondy, investiční společnosti, penzijní fondy), jejichž portfolio je tvořeno cennými papíry, depozity u bank a dalšími aktivy, a jejich cílem je dosáhnout rozumné míry výnosnosti při snesitelné míře rizika.

3

2

CÍL PRÁCE

Cílem této práce je aplikace teorie portfolia v praxi, respektive její využití při sestavování

portfolia

za

reálných

současných

podmínek

obchodování

na

organizovaných akciových trzích. Práce by se měla vyjádřit k základní stanovené hypotéze, která je definována následovně: Optimální portfolio sestavené na základě Markowitzova Selektivního modelu přináší investorovi nejvyšší rizikově vážený výnos. Cílem této práce je tedy sestavení portfolia, které při daném riziku přináší investorovi nejvyšší výnos. Podle teorie portfolia jsou výnosy jednotlivých aktiv na trhu vzájemně korelovány a po zjištění vzájemných korelací a kovariancí je možné takové portfolio sestavit a tyto teoretické předpoklady vyslovené o sestaveném portfoliu porovnat se skutečnými hodnotami na reálném akciovém trhu. Takového postupu mohou následně využít burzovní makléři, portfolio manažeři a ostatní, pohybující se v oblasti této problematiky. Součástí práce je také stanovení charakteristik jednotlivých aktiv v portfoliu, které následně umožní rozhodovat se o změně sestavení portfolia při změnách pohybu trhu jako celku.

4

3

METODIKA

V této práci jsou využívány obecné metodické postupy jako jsou například analýza a syntéza, při řešení jsou pak zejména použity statistické postupy 1 , mezi které patří výpočty charakteristik úrovně (průměr, střední hodnota), charakteristik variability (rozptyl, směrodatná odchylka, korelace a kovariance zasazené následně do korelačních a kovariančních matic). Dále je zapotřebí využití matematických postupů,

a to

zejména lineární algebry 2 , což je disciplína, která se zabývá mimo jiné otázkami souvisejícími s řešením algebraických rovnic, studiem matic, determinantů a jejich aplikacemi. Součástí této práce je také využití funkcí programu Excel při optimalizaci portfolia3. Postup, při kterém je cílem sestavení nejvhodnějšího portfolia pro daného investora, začíná výběrem deseti akciových titulů, a to z emisí obchodovaných na BCPP v obchodním systému SPAD (Systém pro podporu trhu akcií a dluhopisů), kde se obchodují pouze vybrané, zpravidla nejlikvidnější emise cenných papírů. Zaměření pouze na tituly obchodující se na Pražské burze vyplývá z vyhnutí se problému s přepočítáváním cen akcií pomocí měnových kurzů, které se také vyvíjejí v čase. Po výběru jednotlivých titulů jsou pro každý samostatně spočítány podle uvedených postupů jednodenní a tříměsíční výnosnosti a rizika změny těchto výnosností. Následně jsou spočítány vzájemné korelace a kovariance historických výnosností cenných papírů, které jsou zasazeny do korelačních a kovariančních matic. Kvůli dále zmíněným důvodům je sestavena účelová funkce, při které se minimalizuje riziko změny výnosu a k této minimalizační úloze je vytvořena Lagrangeovu funkce. Pomocí modifikované kovarianční matice a zvolených omezujících podmínek je sestavena soustava rovnic, která je řešena pomocí pravidel o maticích v programu Excel. Takto se postupuje při tvorbě portfolií, při kterých není zakázán sell short. Pokud je však sell short zakázán, stejná úloha se stane úlohou kvadratického programování, která je již řešena využitím funkce Řešitel programu Excel. Na základě těchto postupů je sestaveno několik portfolií,

1

Minařík, B. Statistika. 2. vyd. Brno: Mendelova zemědělská a lesnická univerzita, 2006. 98 s.

ISBN 80-7157-928-9. 2

Černá, B. Matematika - lineární algebra. 2. vyd. Brno: Mendelova zemědělská a lesnická univerzita,

2004. 133 s. ISBN 80-7157-784-7. 3

Benninga, S. Financial Modeling. 2. vyd. Massachusetts, 1997. 414 s. ISBN 0-262-02437-3.

5

ze kterých je vybráno nejvhodnější portfolio pro našeho investora. Následně jsou porovnány předpoklady vycházející z výpočtů s reálnými daty na reálném akciovém trhu, a tím je zhodnocena úspěšnost, resp. neúspěšnost tohoto přístupu.

6

4

TEORETICKÁ VÝCHODISKA PRÁCE

4.1 Aktiva Jelikož předmětem teorie portfolia jsou zejména aktiva, je vhodné nejprve definovat, co to je aktivum a investice. Nejprve je vhodné pojednat o aktivech a investicích v obecné rovině, která nemusí vždy souhlasit s českou legislativou, a to zejména se zákonem č. 591/1992 Sb. o cenných papírech ve znění pozdějších předpisů. Aktivum je cokoli, co je předmětem vlastnictví, což jsou například cenné papíry, nemovitosti a movitý majetek. Investice je naopak aktivum, které přináší svému vlastníku tok důchodů, přičemž tento tok důchodů může být i záporný. Základní členění aktiv je následující: • Aktiva hmotná – movitý majetek, a to například zboží na skladě, automobil, stroje, výrobní zařízení apod. • Aktiva nehmotná – know-how, software apod. • Aktiva finanční – peníze, jak v hotovosti, tak na účtech, cenné papíry, dluhopisy, směnky, šeky apod. Pro teorii portfolia jsou nejdůležitější aktiva finanční, která dále dělíme na: • Hotovost a depozita • Cenné papíry Cenné papíry členíme na majetkové, dluhové a nárokové.

-

Majetkové cenné papíry

Majetkové cenné papíry dávají jeho majiteli právo na podíl z majetku a na jeho správě. Mezi takovéto cenné papíry patří akcie a podílové listy. Akcie umožňuje jeho majiteli (akcionáři) spolupodílet se na řízení společnosti, podílet se na zisku většinou formou dividend a v neposlední řadě umožňuje podílet se na likvidační kvótě z majetku společnosti. Akcie můžeme dále členit na akcie kmenové (standardní akcie emitované pro získání nebo zvýšení základního kapitálu), akcie prioritní (zajišťují svému majiteli výplatu pevně stanovených dividend) a akcie úrokové (vynášejí majiteli pevný úrok). Podílové listy zajišťují svému vlastníku podíl v instituci kolektivního investování.

-

Dluhové cenné papíry

Mezi dluhové cenné papíry patří směnka, splatné cenné papíry a kupóny a obligace – dluhopisy. Směnka je listina, která pokud obsahuje zákonem stanovené náležitosti, tak

7

jejímu majiteli vzniká právo na zaplacení peněžní pohledávky, která je na směnce uvedena. Obligace je cenný papír, na němž se emitent zavazuje jeho majiteli vyplatit dlužnou nominální částku a vyplácet výnosy k určitému datu. Obligace emitují stát (státní obligace – dluhopisy), průmyslové podniky (podnikové obligace), banky a orgány státní správy. Rozlišujeme i jednotlivé druhy obligací, kterými jsou například zástavní listy, vkladové listy (depozitní certifikáty), pokladniční poukázky ČNB a státní dluhopisy. Zástavní listy jsou obligace, u které je splacení závazku emitenta zajištěno hypotekárně jištěnými pohledávkami. Vkladové listy jsou krátkodobé cenné papíry, které vydávají banky výměnou za termínované vklady. Pokladniční poukázka je také krátkodobý cenný papír, který slouží ke krytí deficitu státního rozpočtu. Emituje je ministerstvo financí a mají velmi vysokou likviditu, protože zde existuje státní garance. Státní dluhopisy jsou naopak dlouhodobější cenné papíry, jejichž emitováním si organizace (firma, banka, stát) opatří potřebný kapitál. Další dělení obligací je na obligace s nulovým kupónem a kupónové obligace. Obligace s nulovým kupónem nepřinášejí úrok a jsou emitovány s diskontem. Obvyklejší jsou ovšem kupónové obligace, kdy úrok je vyplácen ve formě pravidelných kupónových plateb, jejichž doba výplaty je předem stanovena udávaná v procentech z nominální hodnoty obligace.

-

Nárokové cenné papíry

Mezi nárokové cenné papíry patří například pojistná smlouva. Pojistná smlouva je smlouva uzavřená mezi subjekty, z nichž jeden je oprávněn požadovat plnění od jiného subjektu, pokud nastane smlouvou specifikovaná událost.

Součástí našeho portfolia budou pouze akcie.

4.2 Analýza cenných papírů 4.2.1

Přístupy k analýze cenných papírů

V ekonomické praxi je využívána celá škála analytických metod, které mohou být použity různě a lze je úspěšně uplatňovat při řešení různých situací. Těmto analýzám bývají vystavovány všechny druhy cenných papírů. Vzhledem k dlouhodobosti existence a větší rizikovosti se jedná především o cenné papíry kapitálového trhu, a to nejčastěji o akcie veřejně obchodovatelné na organizovaných kapitálových trzích. Při

8

obchodování s akciemi je potřeba si uvědomit, že motivem jejich nákupu jako poměrně značně spekulativního a volatilního cenného papíru, je často snaha dosáhnout kapitálového zisku z rozdílu mezi jejich prodejní a nákupní cenou. Dále je třeba si uvědomit, že vedle kapitálového zisku existuje ještě zisk dividendový, který se odvíjí od dosažených výsledků hospodaření emitenta. Vzhledem k tomu, že situace na kapitálových trzích se mění prakticky ze dne na den, musí všichni vlastníci akcií, a tím i správci portfolií, neustále reagovat na změny. Tyto reakce odvisí jak od jejich vlastních názorů tak od výsledků provedených analýz. Za nejvyužívanější metody v tomto směru bývají považovány fundamentální, technická a psychologická analýza, jejichž použití odvisí zejména od toho, jestli je zamýšlená investice orientována dlouhodobě či krátkodobě. 4.2.1.1 Fundamentální analýza Fundamentální analýza je nejčastěji používanou metodou při analýze cenných papírů. Vychází z předpokladu, že na trhu existují cenné papíry, jejichž vnitřní hodnota, neboli teoreticky vypočítaná cena, se liší od aktuálního kurzu vytvořeného na organizovaném trhu. Je-li vnitřní hodnota akcie vyšší než aktuální kurz, jedná se o podhodnocenou akcii a je-li vnitřní hodnota nižší než aktuální kurz, jedná se o nadhodnocenou akcii. Fundamentální analýzu je možno považovat za nejkomplexnější druh akciové analýzy, který hledá podstatné faktory významně ovlivňující kurz i vnitřní hodnotu. Vzhledem ke skutečnosti, že žádný z podniků neexistuje v izolovaném prostředí, ale působí v reálných podmínkách příslušného státu, je nutno při zkoumání podniku sledovat i celý systém. Z těchto důvodů je nutno faktory, které podstatným způsobem ovlivňují chování podniku rozčlenit a postupně provést jejich zkoumání na makroekonomické, mikroekonomické i podnikové úrovni. Proto můžeme fundamentální analýzu dále členit, a to na analýzu na makroekonomické úrovni, analýzu odvětvovou a analýzu jednotlivých emitentů cenných papírů. • Analýza na makroekonomické úrovni Z makroekonomického hlediska působí na hospodářskou činnost podniků celá řada faktorů, přičemž za nejdůležitější můžeme považovat zejména: -

HDP

Vývoj akciových kurzů je vždy silně ovlivňován vývojem domácí ekonomiky ale i vývojem ekonomiky světové. Lze konstatovat, že akciové kurzy reagují svými růsty, 9

respektive poklesy, na probíhající hospodářské výkyvy příslušného ekonomického seskupení. Z dlouhodobého hlediska lze však vypozorovat, že toto jejich kolísání probíhá kolem základního vývojového trendu, který je možno označit jako neustálý několikaprocentní roční růst, který je způsoben postupným růstem ekonomické úrovně dané země. Ze střednědobého pohledu tato vazba již tak silná není, ale je patrné značné sepětí s jednotlivými etapami hospodářského cyklu. Vzhledem k faktu, že poptávka a nabídka na akciovém trhu odvisí spíše od očekávaných než od skutečných výsledků, je možno považovat za prokázanou skutečnost, že vývoj akciových trhů ze střednědobého pohledu předbíhá ve vyspělých zemích o několik měsíců vývoj ekonomiky, a změny na akciových trzích se tak stávají indikátorem ekonomického vývoje.

-

Fiskální politika vlády

Poměrně velký vliv na akciové kurzy mají daně z příjmů fyzických a právnických osob, které nejprve snižují jejich zisky, což se následně promítá do výše vyplácených dividend, a tyto dividendy se ještě dále daní. Vedle tohoto bývají ve většině zemí daněny i kapitálové příjmy (rozdíl mezi nákupní a prodejní cenou akcie), a to zejména při krátké době držby. Zmíněné vlivy značně snižují atraktivnost akcií a působí na snižování jejich cen.

-

Peněžní nabídka

Provede-li centrální banka v rámci své monetární politiky zvýšení peněžní nabídky při zachování konstantní poptávky po penězích, investoři umístí přebytečné peníze částečně i na akciových trzích. Protože v krátkém období lze považovat nabídku akcií za téměř fixní, dojde ke vzestupu jejich kurzů. Zmíněný vliv peněz na kurzy akcií je označován jako efekt likvidity. Jiný z názorů tvrdí, že zvýšení peněžní nabídky způsobí snížení úrokových sazeb, což podnítí investiční aktivitu firem, růst jejich očekávaných zisků a tak i růst kurzů jejich akcií. Z těchto důvodů je peněžní nabídka obecně považována za jeden z nejvýznamnějších faktorů, které ovlivňují chování cen akcií.

-

Úrokové sazby

Vysvětlení vlivu změn úrokových sazeb na akciové kurzy spočívá v prokázané skutečnosti, že růst úrokových sazeb z dluhopisových instrumentů snižuje poptávku po akciích a zvyšuje poptávku po dluhopisech, které dosahují vyšší míru výnosnosti. Jiné zdůvodnění spočívá v tom, že vyšší úrokové sazby zvyšují náklady firem na financování 10

investic, což snižuje jejich očekávané zisky a tím pádem i kurzy jejich akcií. Tyto úvahy vedou k jednoznačnému závěru, že růst úrokových sazeb způsobuje za jinak nezměněných podmínek pokles kurzů akcií a naopak.

-

Inflace

Teoreticky jsou akcie považovány za instrumenty, které jsou výhodnou investicí v případě očekávaného zvýšení míry inflace. Toto tvrzení je založeno na představě růstu nominálního zisku a z toho plynoucích vyšších dividend. Skutečnost však potvrzuje, že akcie nejsou schopny udržet svoji reálnou hodnotu přes skutečnost, že představují vlastnický nárok k reálným aktivům akciové společnosti. V současnosti existují některé hypotézy, které se tuto anomálii snaží vysvětlit. Jednou z nich je například hypotéza daňového efektu, která se zabývá odepisováním investičního majetku a ohodnocováním zásob firmy v období inflace. Ve většině zemí je způsob odepisování založen na odepisování z pořizovacích cen, takže vzhledem k inflaci reálná hodnota odpisů klesá, čímž se zároveň zvyšuje daňové zatížení společnosti, což vede následně k poklesu reálného zisku, k poklesu dividend a i tržních cen akcií. Podobné problémy podle této teorie způsobuje i oceňování zásob, a to zejména metoda FIFO (first-in-first-out). Navíc inflační prostředí zvyšuje celkovou nejistotu v ekonomice a pro investory tak stoupá na akciových trzích riziko, poptávka po akciích klesá a následně i jejich ceny.

-

Mezinárodní pohyb kapitálu

Pohyby zahraničního kapitálu mají obrovský vliv na volatilitu akciových kurzů. Příliv zahraničního kapitálu způsobuje růst akciových kurzů v dané zemi a naopak.

-

Ekonomické a politické šoky

Politické šoky (např. válečné konflikty, demise vlád, revoluce, neočekávané volební výsledky) i ekonomické šoky (např. ropné šoky, obchodní a cenové války, hyperinflace, výrazné změny devizových kurzů nejdůležitějších světových měn apod.) ovlivňují nepříznivě ceny akcií. • Odvětvová analýza Odvětvová analýza se zaměřuje na identifikaci charakteristických znaků jednotlivých odvětví. Provádí se proto, že jednotlivá odvětví nejsou stejně citlivá na celkový vývoj ekonomiky, existuje u nich různá míra zisku, jsou různě regulována státem apod. 11

Konkrétně se potom jedná o analýzu citlivosti odvětví na hospodářský cyklus. Z tohoto pohledu můžeme následně rozdělit odvětví na cyklická, neutrální a anticyklická.

-

Odvětví cyklická

Cyklická odvětví dosahují velmi dobrých výsledků v období expanze, naopak v recesi se dostávají do problémů. Produkce odvětví kopírujícího hospodářský cyklus je zaměřena do oblasti, kdy kupující může nákup odložit na pozdější dobu a realizovat jej až v příznivějším období. Z tohoto důvodu firmy rychle ztrácejí svůj odbyt, což se projeví ve výši jejich zisků a následně i kurzech jejich akcií. Mezi cyklická odvětví patří například stavebnictví, bankovnictví, automobilový průmysl apod.

-

Odvětví neutrální

Neutrální odvětví nejsou příliš ovlivněna hospodářským cyklem. V odvětvích tohoto typu se produkují nezbytné statky, jejichž koupi nelze odložit na pozdější dobu. Mezi takováto odvětví patří například potravinářský průmysl, farmaceutický průmysl, veřejná hromadná doprava apod.

-

Odvětví anticyklická

Anticyklická odvětví vykazují velmi dobré výsledky v období recese a špatné v období expanze. Je to způsobeno zejména tím, že produkce takového odvětví se zaměřuje na výrobu tzv. Giffenova zboží, neboli zboží nouze.

Na základě odvětvové analýzy se investoři snaží správně načasovat nákup těch akcií, které spadají právě do těch odvětví, která by podle jejich názoru měla v návaznosti na příslušnou fázi hospodářského cyklu dosahovat nejvyšší míry zisku. • Analýza jednotlivých emitentů cenných papírů Tato část je konkrétně zaměřena na získání odpovědi na otázku, zda je sledovaná akcie nadhodnocená či podhodnocená. K odpovědi dospějeme na základě vnitřní hodnoty akcie, kterou je možno chápat jako stavovou veličinu, jež udává, jaká by měla být spravedlivá tržní cena dané akcie. V krátkém období je možno vnitřní hodnotu akcie považovat za konstantní a je pak možno ji porovnávat s promptním kurzem. Je-li vnitřní hodnota akcie vyšší než její kurz, můžeme akcii považovat za podhodnocenou, a tudíž můžeme očekávat růst jejího kurzu a naopak. Zejména však v případě dlouhodobějších 12

investic je třeba kromě analýzy stavu sledovaného podniku věnovat velkou pozornost i vývojovým tendencím. Proto můžeme dále analýzu rozčlenit na tři na sebe vzájemně navazující etapy, kterými jsou retrospektivní analýza, analýza současné ekonomické situace podniku a analýza výhledová – perspektivní.

-

Retrospektivní analýza

V této části se zaměřujeme zejména na zkoumání nejvýznamnějších minulých vývojových trendů. Cílem je zejména sledování toho, jak se v minulosti vyvíjela podniková struktura, jaké finanční prostředky měl podnik k dispozici a jak se vyvíjely výnosy a náklady atd. Význam této analýzy spočívá v tom, že umožní zařadit mnoho analyzovaných ukazatelů do časové kontinuity, čímž vyloučí jejich případné okamžité výkyvy, ale umožní i je pochopit v časových souvislostech. Nemalý význam spočívá i v tom, že bez retrospektivní analýzy není možno vypracovat analýzu výhledovou, neboli odhadovat budoucí vývoj na základě delší časové řady minulých hodnot.

-

Analýza současné ekonomické situace podniku

V rámci druhé etapy fundamentální analýzy podniku jsou brány v úvahu především jeho současné náklady a výnosy, značná pozornost je však věnována i všem ostatním významným vlivům, které na výkonnost sledovaného podniku působí.

-

Analýza výhledová

Závěrečná část fundamentální analýzy podniku je zaměřena perspektivně, přičemž při odhadu budoucího vývoje podniku přihlíží i k předpokládanému vývoji celé ekonomiky, které je podnik součástí.

Fundamentální analýza se provádí pomocí různých metod. Mezi nejpoužívanější metody patří například dividendové diskontní modely, ziskové modely, bilanční modely a finanční analýza.

4.2.1.2 Technická analýza Technická analýza se snaží odhadovat budoucí pohyby kurzů akcií. Je prováděna na dvou úrovních. V první řadě je používána k analýze jednotlivých akcií, z širšího pohledu pak slouží k analýzám vývoje akciových trhů, reprezentovaných akciovými 13

indexy. Zastánci technické analýzy odmítají koncepci analýzy založené na vnitřní hodnotě akcií, naopak vycházejí obecně z přesvědčení, že rozhodujícími faktory jsou tržní nabídka a poptávka, na základě jejichž střetu je na organizovaných kapitálových trzích kurz tvořen. Techničtí analytici předpokládají, že historie cenových změn se v průběhu času neustále opakuje. Proto na základě cenových řad identifikují různé vývojové trendy a cenové rámce. Cílem technické analýzy je tedy graficky znázornit vývoj kurzů akcií a burzovních indexů a následnými rozbory vytvořených grafů zjišťovat budoucí směry jejich vývoje. Technická analýza je považována za analýzu krátkodobou, neboť dlouhodobým zkoumání bylo zjištěno, že v praxi existuje celá řada trendů, které se navzájem liší dobou svého trvání. V současnosti převažuje názor, že technickou analýzu je nutno provádět na základě údajů minimálně uplynulých šesti měsíců, neboť údaje za kratší časová období mohou být značně zavádějící. Technickou analýzu můžeme rozdělit podle nástrojů, které využívá na analýzu grafickou a analýzu založenou na technických indikátorech. • Grafická analýza Grafická analýza využívá dat, která následně zanáší do grafů. Mezi nejpoužívanější metody využívajících tyto grafy patří především čárové grafy, sloupkové grafy, point and figure graf a svícnové grafy. V průběhu vývoje grafické analýzy došlo k tomu, že se vytvořila řada standardizovaných grafických formací chování akciových kurzů, které umožňují snadněji identifikovat nákupní a prodejní pokyny. Tyto formace je možno rozdělit do tří základních skupin, kterými jsou grafické formace, trendy a trendové linie a hladiny podpory a odporu. • Analýza založená na technických indikátorech Technické indikátory jsou obecně rozděleny do tří skupin podle používaných dat. Nejvýznamější skupinou jsou indikátory cenové, které využívají pouze cenu. Druhou skupinu tvoří objemové indikátory, které využívají informace o zrealizovaných objemech obchodů, a třetí skupinou jsou indikátory cenově objemové, které zpracovávají informace jak o objemu, tak o ceně. Mezi základní indikátory technické analýzy patří zejména indikátor šíře trhu, nová maxima a nová minima, klouzavé průměry, pásmová analýza, anticyklické indikátory, index důvěry a oscilátory.

14

V poslední řadě je potřeba zmínit, že technická analýza má vedle svých zastánců i velmi mnoho odpůrců. Mezi jejich nevýznamější argumenty patří například to, že neexistují žádné exaktní důvody pro opakování historických formací kurzového průběhu v budoucnosti, nebo že provedené empirické studie nepotvrdily, že by používání technické analýzy umožňovalo dosahovat dlouhodobě nadprůměrných výsledků.

Určující činitele poptávky po aktivech

4.2.2

Nejdříve je třeba vytyčit obecná kritéria, která jsou pro každého investora důležitá při rozhodování o tom, jestli by měl určité aktivum začlenit či nezačlenit do svého portfolia. Investor při tomto rozhodování musí brát v úvahu zejména čtyři faktory, kterými jsou bohatství, očekávaný výnos, stupeň nejistoty a rizika a likvidita. 4.2.2.1 Bohatství Poptávka po aktivech reaguje na změnu bohatství různě. Obecně poptávka po aktivech s bohatstvím roste, ale poptávané množství každého sledovaného aktiva se s růstem bohatství zvyšuje rozdílně. Stupeň této reakce udává elasticita poptávky vzhledem k bohatství, která nám říká, o kolik procent se změní poptávané množství, změní-li se bohatství o 1% za podmínky ceteris paribus. V závislosti na velikosti elasticity poptávky vzhledem k bohatství následně rozlišujeme aktiva: • Nezbytná – procentní nárůst poptávaného množství je nižší než procentní nárůst bohatství, neboli ε < 1. Jedná se například o oběživo, vklady na požádanou apod. • Luxusní – procentní nárůst poptávaného množství je vyšší než procentní nárůst bohatství, neboli ε > 1. V tomto případě jde zejména o akcie, obligace, ale také zlato, stříbro apod. Zvyšování bohatství tedy zvyšuje poptávané množství aktiv, tento nárůst je však větší, jedná-li se o luxusní aktiva a menší, jedná-li se o aktiva nezbytná. 4.2.2.2 Očekávaný výnos Očekávaná míra výnosu je jedním z nejvýznamnějších kritérií, které ovlivňuje rozhodování potencionálního investora. Musíme rozlišit termín očekávaný výnos a očekávaná míra výnosu investice, neboli očekávaná výnosnost. Očekávaný výnos udává

15

pouze absolutní částku výnosu. Naproti tomu očekávaná míra výnosu je přesnější a vyjadřuje procentní změnu hodnoty aktiva. Pokud budeme uvažovat pouze kapitálový výnos (bez výnosu dividendového), potom můžeme vycházet z předpokladu, že očekávaný výnos z portfolia za dobu jeho trvání je tvořen součtem krátkodobých výnosů akcií za tuto dobu trvání. Tento postup určení očekávaného výnosu se nazývá Historická metoda očekávaného výnosu aktiva a přes určitá negativa patří k základním orientačním způsobům kvantifikace výnosu. Obvykle se tvrdí, že dividendový výnos je mnohem menší než výnos kapitálový. Potom výnosnost i-tého aktiva můžeme napsat jako:

ri tk = Kde:

P

itk

− Pit − k

P

it − k

rit je pozorovaná míra zisku i-té akcie (cenného papíru), Pit je tržní cena na začátku následujícího období, Pit-k je tržní cena i-té akcie na počátku období, t je čas, t = 1,2,3,…T, T je počet období.

V praxi se obvykle uvažuje k = 1, to znamená, že uvažujeme jednodenní změnu tržní ceny cenného papíru. Potom výnos i-tého aktiva za celou dobu existence portfolia T bude: ri =

1 T −k .∑ ritk T − k t =1

4.2.2.3 Riziko Dalším velmi významným kritériem ovlivňujícím investory při rozhodování je riziko, které je v podstatě stupněm nejistoty spojeným s očekávaným výnosem. Každá investice do finančních aktiv je spojena s určitou mírou nejistoty, je však třeba určit, o jaké druhy rizik se v konkrétních případech jedná. Rizikem se přitom myslí, že nastane jiný výnos než výnos očekávaný. Pro výpočet rizika se v praxi používají tyto metody: • Průměrná (absolutní) odchylka – čím větší je tato hodnota, tím větší je i riziko dané investice. • Směrodatná odchylka – je nejpřesnějším odhadem rizika a i zde platí uvedený vztah, že čím větší je hodnota směrodatné odchylky, tím větší je riziko investice.

16

Nejpoužívanější metodou pro výpočet rizika je právě směrodatná odchylka, která se vypočítá:

σi = Kde

1 2 .∑ (rit − ri ) T −1

ri je střední míra zisku odhadovaná z minulých pozorovaných hodnot

vypočtená následovně:

ri =

1 T .∑ rit T t =1

Abychom mohli vypočítat riziko změny výnosu celého portfolia musíme znát

kovariance mezi dvojicemi cenných papírů, které budou popisovat výnos z jednotlivých aktiv v portfoliu. Kovariance poskytuje informace o intenzitě vztahu mezi dvěma veličinami a zejména o tom, jak změna výnosnosti jednoho cenného papíru ovlivní výnosnost ostatních cenných papírů. Pro její určení se použije odhad z historických dat. Máme-li dva cenné papíry i a j, pak kovariance bude:

σ ij = Kde

1 T 2 2 .∑ (rit − ri ) .(r jt − r j ) T − 1 t =1

rit je výnosnost cenného papíru i, j za období t,

σ ij je kovariance výnosností mezi cennými papíry i, j.

Korelační koeficient má potom tvar:

ρ ij =

σ ij σ i .σ j

Po výběru cenných papírů do portfolia je však potřeba vyřešit vztahy mezi jednotlivými cennými papíry a jejich kovariance. K tomu slouží kovarianční a korelační matice.

Kovarianční matice: C =

σ 11 σ 12 Λ σ 21 σ 22 Λ Μ

Μ

σ n1 σ n 2

σ 1n σ 2n

Μ Μ Λ σ nn

Kovarianční matice je symetrická, protože logicky platí σ ij = σ ji

17

Pokud jsou již známy korelační koeficienty je možno kovarianční matici dopočítat na základě následujícíhovztahu:

σ ij = σ i .ρ ji .σ j

1 Korelační matice: C =

ρ12 Λ

ρ 21

1 Λ Μ Μ Μ ρ n1 ρ n 2 Λ

ρ1n ρ 2n Μ 1

Podobně jako kovarianční matice i matice korelační je symetrická, neboť platí, že

ρ ij = ρ ji a pro i = j je ρ ii = 1 . Z korelační matice je patrný přesný obraz závislosti výnosů jednotlivých cenných papírů. Čísla blížící se jedné vyjadřují silnou pozitivní závislost, to znamená, že pokud výnosnost jednoho cenného papíru bude růst, bude se stejně chovat i druhý cenný papír. Naopak záporná čísla znamenají negativní korelaci výnosů a platí nepřímá úměra mezi výnosností těchto dvou cenných papírů. Jestliže je korelace rovna nule, neexistuje mezi cennými papíry žádný vztah, což znamená, že výnosnost jednoho cenného papíru neovlivní výnosnost druhého cenného papíru.

4.2.2.4 Likvidita Likvidita je další faktor, který velmi významným způsobem ovlivňuje poptávku po aktivech, neboť určuje rychlost a náklady s jakými jsme schopni proměnit dané aktivum v hotové peníze. Čím více bude aktivum likvidní, tím bude pro investora atraktivnější.

4.3 Rozbor jednotlivých modelů teorie portfolia 4.3.1

Markowitzův model

Tento přístup k investování začíná předpokladem, že investor má v současné době k dispozici určité množství peněz, které budou investovány na určité časové období, kterému se říká doba držení portfolia. Na konci tohoto období investor prodá cenné papíry, které zakoupil. Začátek období je označen t = 0 a konec období je označe t = 1. V období t = 0 musí investor učinit rozhodnutí, které cenné papíry zahrne do svého portfolia, tzn. že vybírá optimální portfolio z množiny možných portfolií a tento postup bývá označován jako problém výběru portfolia. Při rozhodování ovšem investor nezná

18

výnosnosti cenných papírů v portfoliu, ale mohl by se snažit je odhadnout a investovat do cenných papírů s největší očekávanou výnosností. Současně však typický investor požaduje, aby bylo riziko změny výnosnosti co nejmenší. To znamená, že investor vlastně sleduje dva konfliktní cíle, které se musí vzájemně vyvážit. Markowitzův model bere oba cíle plně v úvahu. Metoda, která bývá použita při výběru nejžádanějšího portfolia, využívá křivek indiference, které reprezentují investorovy preference rizika a výnosnosti a mohou být tedy zakresleny v rovině, kde na svislé ose je očekávaná výnosnost a na vodorovné ose riziko měřené směrodatnou odchylkou.

Obr. 1 Mapy indiferenčních křivek

Na obrázku 1 vidíme čtyři mapy indiferenčních křivek. Každá jednotlivá čára představuje jednu křivku indiference daného investora, která reprezentuje všechny kombinace portfolií, jež by investor považoval za stejně žádoucí. Důsledkem toho je, že indiferenční křivky se nemohou protínat. Další jejich důležitou vlastností je skutečnost, že portfolio ležící na vyšší indiferenční křivce je pro investora více žádoucí než portfolio ležící na nižší indiferenční křivce. Podstatné také je, že investor má nekonečně mnoho křivek indiference. Z obrázku 1 je také patrné, že indiferenční křivky se mohou lišit svým tvarem. Pro tvar indiferenčních křivek je podstatný vztah investora k riziku. To znamená, že odlišní investoři mohou mít odlišné mapy křivek indiference. Investor, který má vysoký odpor k riziku, má indiferenční křivky se strmějším sklonem a naopak. Při Markowitzově přístupu se každý investor rozhoduje, jakým způsobem použije svůj počáteční kapitál k nákupu cenných papírů do portfolia. Portfolio je vlastně kolekce

19

cenných papírů, a tedy každý cenný papír přinese do portfolia svoji očekávanou výnosnost a riziko změny výnosnosti po dobu držení portfolia. Důležitý je však i podíl, který bude mít každý z těchto cenných papírů v daném portfoliu. Pokud jsou známy jednotlivé podíly cenných papírů v portfoliu lze očekávanou výnosnost portfolia vypočítat jako vážený průměr očekávaných výnosností zvolených cenných papírů: n

rp = ∑ X i .ri i =1

rp je očekávaná výnosnost portfolia,

Kde

Xi je podíl i-tého cenného papíru na portfoliu, ri je očekávaná výnosnost cenného papíru, n je počet cenných papírů v portfoliu.

Z toho plyne, že investor, který chce jen nejvyšší možnou očekávanou výnosnost, by měl držet pouze jeden cenný papír, a to ten, který má nejvyšší očekávanou výnosnost. Tím by však podstupoval velmi velké riziko, neboť každý cenný papír sebou kromě výnosnosti přináší do portfolia i riziko změny výnosnosti po dobu držení daného portfolia. A proto velmi málo investorů tvoří své portfolio pouze z jednoho cenného papíru. Pro portfolio, které se skládá z n cenných papírů lze vypočítat riziko jako:

 n n  σ p = ∑∑ X i X jσ ij   i =1 j =1 

1

2

σ ij je kovariance výnosností mezi cennými papíry i a j,

Kde

Xi, Xj jsou podíly jednotlivých cenných papírů v portfoliu. Dvojnásobné sčítání se provádí následujícím způsobem.



n

n



j =1



σ p = ∑∑ X i X j σ ij   i =1

1

2

n n  n X X X X ... X n −1 X j σ n −1 j σ σ + + + ∑ ∑ 1 j 1 j ∑ 2 j 2 j j =1 j =1 j =1 = n  + ∑ X n X jσ nj  j =1

 +    

1

2

 X 1 X 1σ 11 + X 2 X 2σ 22 + ... + X n X nσ nn + 2 X 1 X 2σ 12 + 2 X 1 X 3σ 13 + ... + 2 X 1 X nσ 1n  = + ... + 2 X 2 X 3σ 23 + ... + 2 X 2 X nσ 2 n + 2 X 3 X 4σ 34 + ... + 2 X 3 X nσ 3n + ... + + 2 X n −1 X nσ n−1, n 

[

= X 12σ 12 + X 22σ 22 + X 32σ 32 + ... + X n2σ n2 + ... + 2 X n −1 X nσ n −1,n

20

]

1

2

=

+    

1

2

=

Markowitzův přístup je založen na statistických metodách s předpokladem, že výnosnosti cenných papírů jsou náhodné veličiny. Náhodné veličiny mohou být porovnávány zkoumáním jejich statistických momentů. Markowitz tvrdil, že stačí znát dva momenty, a to očekávanou výnosnost a riziko změny výnosnosti měřené směrodatnou odchylkou. Jestliže je investor tedy schopen určit tyto dva momenty, může pak i učinit kvalifikované rozhodnutí o výběru optimálního portfolia z množiny portfolií.

4.3.1.1 Efektivní množina Nezodpovězenou otázkou ovšem zůstává, jak se má investor zachovat při výběru z nekonečně mnoha portfolií, neboť z množiny n cenných papírů může investor vytvořit nekonečný počet portfolií. Naštěstí však investor nemusí vyhodnocovat všechna možná portfolia, což by i z praktického hlediska bylo zcela neproveditelné. Investor by se měl zajímat pouze o podmnožinu dostupných portfolií, které se říká efektivní množina. Portfolia v této množině nabízejí maximální očekávanou výnosnost při různých úrovních rizika a minimální riziko při různých úrovních očekávané výnosnosti.

Obr. 2 Přípustná množina

Pro určení efektivní množiny je nejprve třeba znát umístění přípustné množiny (G), které ilustruje obrázek 2. Přípustná množina reprezentuje množinu všech portfolií, která mohou být vytvořena ze skupiny n cenných papírů. Efektivní množina portfolií musí splňovat dvě podmínky. Nejprve je nutné nalézt množinu portfolií, která splňují tu podmínku, že nabízejí maximální očekávanou výnosnost při různých úrovních rizika, což znázorňuje úsek Er na hranici přípustné množiny na obrázku 3.

21

Obr. 3 Efektivní množina

Množina portfolií, která nabízejí minimální riziko při různých úrovních výnosnosti, a tím tato množina portfolií splňuje druhou podmínku, je znázorněna na obrázku 3 úsekem Es na hranici přípustné množiny. Efektivní množinu potom podle Markowitze tvoří pouze portfolia, která leží na úseku EM na obrázku 3. Právě z této množiny efektivních portfolií si bude investor vybírat své optimální portfolio. Investor by měl potom nakreslit své indiferenční křivky do stejného obrázku jako efektivní množinu a vybrat takové portfolio které odpovídá bodu, kde se křivka indiference právě dotýká efektivní množiny, jak je patrno z obrázku 4.

Obr. 4 Optimální portfolio

4.3.1.2 Bezrizikové aktivum Podle Markowitze výnosnost bezrizikového aktiva rf je jistá. Z toho důvodu o konečné hodnotě bezrizikového aktiva není žádná pochybnost a riziko bezrizikového aktiva

σ f je rovno nule, což znamená, že kovariance mezi výnosností bezrizikového aktiva a libovolného rizikového aktiva je rovna nule. Za bezrizikové aktivum můžeme považovat například státní pokladniční poukázku. Po zavedení bezrizikového aktiva investor může vložit část svého kapitálu do bezrizikového aktiva a zbytek do

22

libovolného z rizikových aktiv v přípustné množině. Tím se významně rozšiřuje přípustná množina a co je důležitější, mění se umístění části Markowitzovy efektivní množiny.

4.3.1.3 Algoritmus hledání optimálního portfolia Nejprve je nutno zvolit účelovou funkci, jejíž extrém se bude hledat. V této fázi existují dvě možnosti. Buď lze maximalizovat očekávaný výnos portfolia a v tomto případě se maximalizuje funkce n

rp = ∑ X i .ri i =1

Pro tento typ úloh však neexistuje obecně vhodná metoda jejich řešení, protože ani rozepsáním nutných podmínek není obdržena soustava rovnic, která by byla nějakým analytickým způsobem řešitelná. Druhou možností je minimalizace rizika změny výnosu portfolia a tím pádem minimalizace funkce n

n

σ p2 = ∑∑ X i X j σ ij i =1 j =1

Dalším důležitým krokem je stanovení omezujících podmínek, které vyplývají z požadavků, které na portfolio investor klade. Jednou z obvyklých podmínek je požadavek, aby se součet relativních podílů jednotlivých cenných papírů v portfoliu rovnal jedné. n

∑X i =1

i

=1

Tato podmínka zaručí, že investor při tvorbě portfolia využije právě částku, kterou má k dispozici, a kterou si stanovil. Investor však může mít i jiné zvláštní požadavky. Například může zakázat operaci sell short, což znamená krátký prodej, kdy investor nejprve prodává vypůjčené cenné papíry, které následně koupí a vrací. Spekuluje tak na pokles kurzu cenného papíru. Podmínka, která to zakazuje má následující podobu: X i ≥ 0, i = 1,2,..., n Nebo může investor stanovit maximální riziko a, které je ochoten podstoupit. n

n

∑∑ X i =1 j =1

i

X j σ ij = a 2

23

Častým požadavkem také bývá stanovení požadovaného výnosu b, kterého musí portfolio dosáhnout. n

∑ X .r i =1

i

i

=b

ρ Z uvedených důvodů je zvolena pro výpočet účelová funkce σ p2 X , což znamená, že

( )

dochází k minimalizaci rizika změny výnosu portfolia. Optimální portfolio tedy bude

řešením minimalizační úlohy s kvadratickou účelovou funkcí a lineárními omezeními, které tvoří jednotlivé podmínky kladené na portfolio. Minimalizační úlohu lze přepsat do tohoto tvaru:

ρ f 0 X → min ρ f i X = 0, i = 1,2,..., m

( )

( )

K takto upravené minimalizační úloze je nutno vytvořit Lagrangeovu funkci: m ρ ρ ρ ρ L X = L X , λ , λ0 = ∑ λ k f k X , kde λ = (λ1 ,..., λ m )

( ) (

Čísla

λ0 , λ1 ,..., λm

jsou

)

( )

k =0

Lagrangeovy

multiplikátory.

Pravidlo

Lagrangeových

multiplikátorů 4 říká, že pokud je v bodě lokální extrém, pak existují Lagrangeovy multiplikátory, ne všechny současně rovny nule, pro něž platí: ρ ∂L X = 0 pro i = 1,2,…,n. ∂X i

( )

Předcházející výraz tvoří nutné podmínky pro existenci extrému. Aby však ještě platilo, že bod extrému je bodem minima, musí platit určité podmínky, které se nazývají postačující podmínky pro existenci minima. Postačující je však pouze konstatování, že ρ ∂L X tyto podmínky platí, pokud je matice A = aij , pro jejíž prvky platí a ij = , ∂X i X j

[ ]

( )

pozitivně definitní. Přičemž Sylvestrova věta5 definuje čtvercovou symetrickou nuanci

[ ]

A = a ij , řádu n jako pozitivně definitní, pokud jsou determinanty Di > 0 pro všechny i

= 1,…,n.

4

Čámský, F. Teorie portfolia. 1. vyd. Brno: MU, 2001. 138 s. ISBN 80-210-2509-3.

5

Čámský, F. Teorie portfolia. 1. vyd. Brno: MU, 2001. 138 s. ISBN 80-210-2509-3.

24

a11 , a12 ,..., a1i a 21 , a 22 ,..., a 2i kde Di = Μ a i1 , ai 2 ,..., a ii ρ Se zvolenou účelovou funkcí σ p2 X a lineárními omezujícími podmínkami matice A

( )

vypadá následovně:

 2σ 12  2σ A =  12  Μ  2σ 1n

2σ 12 Λ 2σ 22 Λ Μ 2σ 2 n Λ

2σ 1n   2σ 2 n  Μ  2σ n2 

A lze psát, že A = 2C, kde C je kovarianční matice.

Rozepsáním nutných podmínek a zapsáním vedlejších podmínek je získána soustava n + m rovnic o n + m neznámých, kde n je počet cenných papírů, ze kterých je portfolio sestaveno a m je počet omezujících podmínek, které vyplývají z požadavků kladených na portfolio. Řešením této soustavy bude optimální portfolio s požadovanými vlastnostmi.

4.3.1.4 Metody řešení soustavy rovnic • Jordanova metoda (úplná eliminační) Tato metoda je metodou lineárního programování. Nejprve se musí zkráceně zapsat soustava lineárních rovnic do matice soustavy, která obsahuje pouze koeficienty levých a pravých stran rovnic. Základní myšlenkou této metody je potom upravit matici levých stran soustavy na matici jednotkovou, která má na hlavní diagonále pouze jedničky. Pokud se to podaří, má matice soustavy pouze jedinné řešení a řešením je vektor pravých stran. Pokud se to však nepodaří, soustava v tomto případě buď nemá řešení nebo jich má nekonečně mnoho. Při odvození této metody se vychází ze vztahu: ρ ρ Ax T = b Vynásobí-li se tento vztah zleva maticí A-1 vznikne vztah: ρ ρ A −1 . Ax T = A −1 .b ρ ρ x T = A −1 .b

25

ρ Pokud se ještě zapíše do jednoho schématu matice A a vektor b a opět se vynásobí maticí A-1 zleva, výsledek je následující:

(A

(A bρ)

−1

ρ . A A −1 .b

)

(I xρ ) T

Tento zápis znamená, že jsme matici A převedli ekvivalentními úpravami na matici ρ jednotkovou (I). Pokud jsou tytéž úpravy provedeny se sloupcovým vektorem b , tak se ρ ρ tento sloupec transformuje ve sloupcový vektor x T , kde vektor x je řešením soustavy. • Wolfova metoda

Wolfova metoda je metodou kvadratického programování. Její předností je, že se opírá pouze o mírně pozměněnou simplexovou metodu, což je jedna z univerzálních metod

řešení lineárního programování. Nevýhodou ovšem je, že se při ní značně zvětší počet proměnných. Postup výpočtu spočívá v tom, že se maximalizuje funkce: ρ ρ ρ ρ ρ f X = α R T X − β X T CX ρ ρ ρ ρ Kde R = [r1 , r2 ,..., rn ] ,

( )

α > 0, β > 0, α + β = 1,

α je váha vyjadřující důležitost, jaká se přikládá výši účelové funkce, β je váha vyjadřující důležitost, jaká se přikládá spolehlivosti rozhodnutí.

ρ Pokud se zvolí za účelovou funkci funkce σ p2 X lze psát ρ ρ ρ f X = − X T CX

( )

( )

Riziko změny výnosu je pak minimalizováno vyřešením úlohy ρ ρ ρ f X = − X T CX → max ρ AX = b

( )

Xi ≥ 0 Aby se tato úloha kvadratického programování vyřešila, je zapotřebí vyřešit soustavu rovnic:

ρ ρ − 2CX + AT λ + ξ = 0

26

Kde

ρ

ρ ρ X Tξ = 0 ρ AX = b

λ je vektor Lagrangeových multiplikátorů první úlohy, ρ

ξ T = (ξ1 , ξ 2 ,..., ξ n ) je vektor tvořený z nových nezáporných proměnných. V dalším kroku jsou zavedeny nezáporné pomocné proměnné: ρ ρ z T = ( z1 , z 2 ,..., z n ) a wT = (w1 , w2 ,..., wm ) Následně pomocí simplexovy metody je minimalizována funkce (w1 , w2 ,..., wm ) při zavedení lineárních omezení

ρ ρ ρ − 2CX + AT λ + ξ + z = 0 ρ ρ ρ AX + w = b

ρ ρ Vychází se přitom z báze, ve které jsou sloupce koeficientů u proměnných w a z a při

výpočtu se musí zachovat pravidlo, že do báze nevstupuje žádná z proměnných ξ i a λi . Má-li tato úloha přípusté řešení, skončí první fáze vyloučením všech proměnných wi z báze. Po ukončení první fáze vypustíme ze soustavy všechny sloupce s proměnnými wi a těmi zi, které nejsou právě v bázi. Následně je minimalizován součet

∑z

i

, kde se

i

suma sčítá přes všechny proměnné zi, které v soustavě zbyly. Při výpočtu je však nutné zachovat pravidlo, že pokud je v bázi xi, není možné vzít do báze ξ i a obráceně. Výsledné hodnoty na pravé straně tabulky udávají hledané řešení úlohy kvadratického programování.

4.3.2

Model CAPM

Předchozí přístup k hledání optimálního portfolia lze chápat jako úlohu v normativní ekonomii, kde je investorům sdělováno, co mají dělat. Model určení cen kapitálových aktiv (CAPM – capital asset pricing model) však může být považován za přístup pozitivní ekonomie. Model CAPM je speciálním případem Markowitzova modelu portfolia, kde právě jedno z aktiv v portfoliu má nulovou rizikovost a kladnou výnosnost, a právě tento model se stal základem řady běžných praktik v odvětví investic.

Předpoklady CAPM • Investor investuje v jednom určitém časovém období. • Portfolio je hodnoceno podle očekávaného výnosu a rizika.

27

• Platí předpoklad nenasycenosti, tzn. ze dvou portfolií se stejným očekávaným

rizikem si investor vybere portfolio s vyšším výnosem. • Investor má odpor k riziku. • Jednotlivá aktiva je možno libovolně dělit, to znamená, že lze koupit i zlomek

akcie. • Existuje bezrizikové aktivum s úrokovou sazbou rf. • Nebereme v úvahu daně, poplatky a další transakční náklady. • Investoři jsou si rovni – všichni investují na stejné jedno období, bezriziková

sazba je pro všechny investory stejná, informace jsou dostupné všem stejně, investoři mají shodná očekávání výnosnosti, rizika i kovariance cenných papírů. Je patrné, že všechny tyto předpoklady splňuje pouze modelový trh. Na základě těchto předpokladů však lze analyzovat chování investorů i ceny jednotlivých cenných papírů.

Vzhledem ke shodným očekáváním dostanou všichni investoři stejné portfolio T a protože jsou všichni na stejném trhu, je efektivní množina i bezriziková sazba pro všechny stejná. Z těchto důvodů může být optimální kombinace rizikových cenných papírů stanovena bez znalosti investorových postojů k riziku a výnosnosti. Když se tedy na základě výše popsaného mechanismu dostane trh do rovnováhy, znamená to, že každý investor chce vlastnit určitý podíl na každém rizikovém cenném papíru, přičemž ceny cenných papírů odpovídají vyrovnání nabídky a poptávky po stejném počtu kusů a riziková sazba odpovídá vyrovnání množství peněz půjčených a vypůjčených. Výsledným portfoliem je tzv. tržní portfolio T (někdy označované jako portfolio M – market), které je tvořeno investicemi do všech cenných papírů v takovém poměru, že proporce investovaná do jednotlivého cenného papíru odpovídá jeho relativní tržní hodnotě, která je definovaná následovně:

Ri =

Ai n

∑ Aj j =1

Kde

=

ci .s i n

∑A j =1

j

Ai je agregovaná tržní hodnota cenného papíru, která je definovaná jako součin tržní ceny cenného papíru a počtu kusů i-tého cenného papíru, ci je tržní cena cenného papíru, si je počet kusů i-tého cenného papíru.

28

Relativní tržní hodnota je potom rovna agregované tržní hodnotě cenného papíru, dělené sumou agregovaných tržních hodnot všech cenných papírů.

Model oceňování kapitálových aktiv existuje ve dvou podobách, a to ve tvaru přímky cenných papírů tzv. model CML a nebo ve tvaru přímky cenného papíru tzv. model SML.

4.3.2.1 Přmka CML

T =M

Obr. 5 Přímka CML

Jak je patrno z obrázku 5 přímka CML (capital market line), neboli přímka kapitálového trhu, je tvořena různými kombinacemi rizika a výnosnosti získanými kombinováním tržního portfolia s bezrizikovým zapůjčováním nebo vypůjčováním. CML tedy představuje rovnovážný stav mezi očekávanou výnosností a směrodatnou odchylkou efektivních portfolií. Neefektivní portfolia potom leží pod přímkou CML. Směrnice přímky CML je rovna rozdílu mezi očekávanou výnosností tržního portfolia a očekávanou výnosností bezrizikového aktiva RM - Rf dělenému rozdílem jejich rizik

σ M − σ f , a protože riziko bezrizikového aktiva je rovno nule, rozdíl rizik je roven pouze σ M . Přímka, která charakterizuje CML má následující tvar: Rp = R f + Kde

RM − R f

σM

.σ p

R p je očekávaná výnosnost portfolia, R f je očekávaná výnosnost bezrizikového portfolia,

RM je očekávaná výnosnost tržního portfolia,

σ M je riziko tržního portfolia, 29

σ p je riziko portfolia. V bodě,

kde se přímka CML stává tečnou

množiny efektivních

portfolií

v Markowitzově smyslu, leží výsledné tržní portfolio T. V případě, že všichni investoři investují do portfolia T a jeho kombinací s bezrizikovým aktivem, existuje na trhu rovnováha. Přesný vztah mezi rizikem a výnosností v rovnovážném stavu lze zapsat ve tvaru: Ri = R f + Kde

(R

M

− Rf

σ M2

)

.σ iM

Ri je výnosnost i-tého aktiva,

σ iM je kovariance i-tého cenného papíru s tržním portfoliem M. Přímka CML má směrnici

RM − R f

σ M2

. Jelikož je tato směrnice kladná, je patrné, že

cenné papíry s vyššími kovariancemi σ iM budou mít vyšší očekávanou výnosnost Ri . Tomuto vztahu mezi kovariancí a očekávanou výnosností se říká přímka kapitálového trhu SML.

1.2.1.1 Přímka SML Přímku SML (security market line) lze odvodit pomocí přímky CML. Vybere se jeden z rizikových cenných papírů ležících uvnitř přípustné množiny a označíme se indexem i. Je uvažováno portfolio p, které se skládá z proporce Xi investované do cenného papíru i a proporce (1 - Xi) investované do tržního portfolia. Takové portfolio pak bude mít výnosnost:

R p = X i Ri + (1 − X i ).RM A riziko změny výnosnosti portfolia:

[

σ p = X i2σ i2 + (1 − X i )2 .σ M2 + 2. X i .(1 − X i )σ iM

]

1

2

Potom všechna tato portfolia budou ležet na křivce, jejíž tečna v bodě T = M na obrázku 5 má směrnici

(Ri − RM ).σ M σ iM − σ M2

. Tato směrnice se musí logicky rovnat směrnici přímky

CML. Můžeme tedy uvést rovnost:

(Ri − RM ).σ M σ iM − σ M2

30

=

RM − R f

σ M2

Řešením této rovnice vzhledem k výnosnosti cenného papíru i obdržíme přímku SML (kovarianční verzi přímky SML). Ri = R f +

(R

M

− Rf

σ M2

)

.σ iM

Přímku SML lze také vyjádřit v beta verzi jako Ri = R f + (RM − R f ).β i pokud se zavede substituce β i =

σ iM . σ M2

Tímto bylo ukázáno, že riziko cenného papíru se nemusí měřit pomocí jeho směrodatné odchylky, ale lze spočítat i na základě jeho kovariance s tržním portfoliem. Hodnota koeficientu β není ohraničená, přesto o ní můžeme říci: • je-li β > 1, jsou tyto cenné papíry považovány za agresivní, což znamená, že výnos roste rychleji než trh, • je-li β < 1, jsou cenné papíry klasifikovány jako defenzivní, což znamená, že výnos roste pomaleji než trh, • je-li β = 1, jsou cenné papíry považovány za neutrální, kolísají zároveň s trhem. Uvedené tvrzení platí i opačně. Koeficient β se považuje za míru rizika cenného papíru a je to alternativní způsob, jak vyjádřit kovarianční riziko cenného papíru. Beta portfolia je váženým průměrem beta jednotlivých cenných papírů, které tvoří portfolio a příslušnými váhami

(X1, X2, X3,…, Xn) jsou pak proporce investované do

těchto cenných papírů. β p můžeme spočítat jako: n

β p = ∑ X i βi i =1

Na přímce SLM tak budou ležet všechny cenné papíry a všechna portfolia z nich vytvořená. Důležité je, že na SLM budou ležet i portfolia neefektivní. To ovšem znamená, že efektivní portfolia leží jak na přímce CML, tak na přímce SML. Všechna neefektivní portfolia však leží jen na přímce SML.

Podle CAPM se budou aktiva nastavovat tak dlouho, dokud se nedosáhne rovnováhy a každý cenný papír bude ležet na SML. Při rovnováze bude očekávaná výnosnost i-tého cenného papíru v době držení dána vztahem:

Rie = R f + (RM − R f ).β i

31

Kde

Rie je rovnovážná očekávaná výnosnost cenného papíru.

Tato rovnice však neposkytuje informaci otom, jaká bude skutečná výnosnost cenného papíru za dobu držení. Tu nám poskytuje následující rovnice:

Ri − R f = (RM − R f ).β i + ε i Kde

Ri je skutečná výnosnost cenného papíru,

RM je skutečná výnosnost tržního portfolia,

ε i je náhodná chyba, což je náhodná veličina s nulovou očekávanou hodnotou a směrodatnou odchylkou.

Náhodnou chybu zavádíme i do rovnice SML, neboť tato rovnice nemusí přesně vystihnout situaci na trhu s i-tým aktivem a může dojít k drobným nepřesnostem působením různých faktorů, které do této rovnice zahrnuty nejsou, a přímka SLM pak vypadá následovně:

Ri = R f + (RM − R f ).β i + ε i

Pro rizikovost i-tého aktiva platí:

σ i2 = β i2 .σ M2 + σ ε2

i

Kde

σ i je rizikovost i-tého cenného papíru, β i2 .σ M2 je tržní (systematické) riziko i-tého aktiva, σ ε2i je jedinečné (netržní, nesystematické) riziko i-tého aktiva.

Systematické riziko odráží systematickou míru variability výnosů a je způsobeno faktory, které ovlivňují ceny všech obchodovaných cenných papírů. Mezi tyto faktory patří například makroekonomické změny (růst nebo pokles HDP, inflace), politické změny (válka či revoluce) a v neposlední řadě změny sociální (stávky, nezaměstnanost apod.). Systematické riziko nelze diverzifikovat. Podíl systematického rizika na celkovém riziku aktiva určuje koeficient determinace ρ 2 , který vyjadřuje schopnost tržního modelu vysvětlit změny ve výnosech jednotlivých cenných papírů na trhu a je zachycen v následujícím vzorci.

1− ρ = 2

σ ε2

i

σ i2

(

)

[ (

⇒ σ ε2 = σ i2 1 − ρ 2 ⇒ σ ε i = σ i2 1 − ρ 2 i

32

)]

1

2

Naopak nesystematické riziko je diverzifikovatelné. Jde vlastně o tu část rizika, která je jedinečná pro daný podnik či obor. Mezi faktory, které ovlivňují jedinečné riziko patří např. špatná činnost managementu, nové technologie, restrukturalizace apod. Jedinečné riziko s beta nesouvisí a tudíž tato část není odměňována výnosem a je udávána koeficientem nedeterminace. Doposud byla počítána pouze výnosnost aktiva, která pomůže určit výnosnost portfolia, pokud je ovšem známa váha aktiva na našem portfoliu. Jestliže máme portfolio P složené z n cenných papírů s váhami X1, X2, …, Xn, pak nadměrná výnosnost portfolia bude: n

R p − R f = ∑ X i Ri − R f i =1

Dále je známo, že: n

∑X i =1

i

= 1 a Rf = konst.

a proto lze předcházející rovnici přepsat do tvaru: n

n

i =1

i =1

R p − R f = ∑ X i Ri − ∑ X i R f R p − R f = ∑ X i (Ri − R f ) , n

i =1

dále je také známo, že: Ri = R f + (RM − R f ).β i + ε i , a dosazením do rovnice:

[

]

R p − R f = ∑ X (RM − R f ).β i + ε i =(RM − R f ).∑ X i β i + ∑ X i ε i =(RM − R f ).β p + ε p n

i =1

Kde

n

n

i =1

i =1

β p je beta portfolia počítaná jako vážený průměr beta cenných papírů n

β p = ∑ X i βi , i =1

ε p je náhodná chyba portfolia počítaná jako vážený průměr náhodných chyb n

cenných papírů ε p = ∑ X i ε i . i =1

Pro rizikovost celého portfolia platí:

σ p2 = β p2 .σ M2 + σ ε2

p

33

Kde

β p2 .σ M2 je systematické riziko portfolia, které nelze diversifikovat, σ ε2 je nesystematické riziko portfolia, které se dá snížit diversifikací, tzn. čím p

více různých typů cenných papírů do portfolia zahrneme, tím více bude klesat riziko tohoto portfolia.

Ceny cenných papírů a očekávané výnosnosti mohou, avšak nemusí být ve shodě s danou rovnovážnou teorií. Pokud některé cenné papíry této rovnovážné teorii nevyhovují, potom v jejich cenách a očekávaných výnosech existuje nerovnováha. Ohnisko problému spočívá v tom, že jsou srovnávány očekávané výnosnosti cenných papírů ri s rovnovážnou očekávanou výnosností rie , která je taková, jaká by měla být, kdyby cenné papíry byly ohodnoceny správně. Potom pokud označíme α cenných papírů jako rozdíl mezi očekávanou výnosností a rovnovážnou očekávanou výnosností, tak lze psát.

α i = Ri − Rie Jestliže α ≠ 0 , cenný papír je nesprávně ohodnocen. Pokud α > 0, dané aktivum je podhodnocené a leží nad přímkou SML. Pokud naopak α < 0, cenný papír je nadhodnocený a leží pod přímkou SML. Z toho logicky vyplývá, že je vhodné nakupovat cenné papíry, které leží nad přímkou SML a prodávat ty, které leží pod přímkou SML. Aktiva ležící na přímce SML by se měli držet. Z předcházejícího vztahu lze odvodit přímku nazývanou charakteristickou přímkou cenného papíru.

Ri − R f = α i + (RM − R f ).β i + ε i Tato přímka vyjadřuje, že očekávaná výnosnost cenného papíru má dvě části, kterými jsou: -

alfa cenného papíru,

-

součin očekávané nadměrné výnosnosti tržního portfolia a beta cenného papíru,

-

náhodná chyba cenného papíru.

V praxi jsou bohužel s aplikací CAPM spojeny značné obtíže, i když by se zdálo, že jde o vhodný analytický nástroj k popisu trhu. CAPM totiž slouží k oceňování všech existujících aktiv, nikoliv pouze akcií. Východiskem z této situace může být využití tržního modelu, který je popsán v následující části.

34

4.3.3

Modifikovaný CAPM

Základem tohoto modelu je tvrzení, že výnosy různých cenných papírů jsou mezi sebou propojeny prostřednictvím vztahu k nějakému základnímu faktoru, kterým může být například burzovní index. Dále už je výnos z investice do každého cenného papíru určen jen náhodnými vlivy. Oproti CAPM tedy dochází ke značnému zjednodušení, protože CAPM přijímá i předpoklady o chování investorů. Tržní model můžeme zapsat takto:

Ri = α i + β i R M + ε i . Z tohoto regresního modelu je patrné, že výnos každého cenného papíru je lineární funkcí očekávaného tržního výnosu. Koeficient beta představuje systematické riziko cenného papíru, které říká, jak reaguje výnos akcie na výnos trhu (burzovního indexu). Koeficient alfa naopak říká, o kolik procent vzroste nebo poklesne cena akcie, jestliže trh jako celek stagnuje. Náhodná odchylka ε i vyjadřuje nesystematické riziko a právě tato odchylka ve výnosu je nevysvětlitelná pohybem burzovního indexu. Při kombinování akcií v portfoliu ztrácí však toto riziko postupně na významu.

35

5

PRAKTICKÁ ČÁST

Podmínkou výběru titulů do portfolia bylo, že se obchodují na Burze cenných papírů Praha v systému pro podporu trhu akcií a dluhopisů (SPAD), kde se obchodují zpravidla nejlikvidnější emise cenných papírů. Do portfolia našeho investora jsou vybrány pouze cenné papíry z tohoto burzovního systému tzv. blue chips, které jsou součástí báze akciového indexu PX a jsou jedny z nejlikvidnějších cenných papírů obchodovaných na BCPP. Do portfolia tedy zařadíme následující cenné papíry: ČEZ, a.s., PHILIP MORRIS ČR, a.s., KOMERČNÍ BANKA, a.s., ZENTIVA, a.s., UNIPETROL, a.s., ORCO, a.s., TELEFÓNICA O2 C.R., a.s., ERSTE BANK, a.s. Zmíněné emise jsou vybrány také proto, že u nich existovaly historické kurzy alespoň za dva předcházející roky. Data ke zvoleným akciovým titulům byly získány z internetového serveru www.akcie.com, kde je možno dohledat otevírací, uzavírací, maximální i minimální denní kurzy daných akcií. Takto byla nashromážděna data u všech uvedených titulů od 2.2.2005 do 22.1.2007. Vybrané akcie jsou uvedeny v následující tabulce.

Tab. 1 Vybrané cenné papíry CP1 CP2 CP3 CP4 CP5 CP6 CP7 CP8

ČEZ PHILIP MORRIS ČR KOMERČNÍ BANKA ZENTIVA UNIPETROL ORCO TELEFÓNICA O2 C.R. ERSTE BANK

Zdroj: www.akcie.cz

Jak už bylo uvedeno v teoretické části, je důležité zvolit datum vytvoření portfolia, kterým je v našem případě 23.1.2007. Portfolio bude investor držet po dobu tří měsíců, což znamená, že datum jeho realizace bude 23.4.2007. Počáteční kapitál, který má investor k dispozici, je 8 000 000 Kč. Důležité je také zmínit, že ve vlastních výpočtech výnosnosti abstrahujeme od dividendových výnosů a v úvahu bereme pouze výnosy kapitálové.

Základem pro další práci je výpočet očekávané výnosnosti a rizika jednotlivých cenných papírů v portfoliu. Proto jsou pro jednotlivé tituly vypočítány na základě uvedeného vzorce 36

ri =

kde

ri tk =

P

itk

− Pit − k

P

1 T −k .∑ ritk , T − k t =1

,

it − k

očekávaná jednodenní výnosnost, kdy počet historických údajů byl T = 496 při uvažované jednodenní změně k = 1 a ze vzorce

1 2 .∑ (rit − ri ) T −1

σi =

riziko změny jednodenního výnosu pro jednotlivé akcie v portfoliu. Výsledky jsou patrny z následující tabulky.

Tab. 2 Jednodenní výnosnost a riziko cenných papírů Den 2.2.2005

CP1 351,3

CP2 18801,0

CP3 3405,0

CP4 790,0

CP5 127,4

CP6 1286,0

CP7 425,3

CP8 1148,0

3.2.2005

352,0

19138,0

3476,0

794,1

126,7

1309,0

420,5

1138,0

4.2.2005

356,1

18996,0

3463,0

789,8

121,2

1316,0

417,5

1138,0

7.2.2005

364,7

19655,0

3520,0

800,1

123,6

1289,0

415,0

1138,0

8.2.2005

366,9

19916,0

3524,0

795,5

124,5

1268,0

400,7

1156,0

Μ

Μ

Μ Očekávaný jednodenní výnos akcie riziko změny jednodenního výnosu

Μ

Μ

Μ

Μ

Μ

Μ

0,17%

-0,12%

-0,03%

0,08%

0,08%

0,17%

0,03%

0,06%

1,98%

1,96%

1,71%

1,86%

2,85%

1,62%

1,23%

1,37%

Zdroj: www.akcie.cz a vlastní výpočty

Nejprve je tedy vhodné vypočítat i tříměsíční výnosnost jednotlivých aktiv, které budou portfolio tvořit, a také riziko její změny. Výpočet probíhá stejně jako u jednodenní výnosnosti, pouze zvolíme k = 66 (předpokládáme, že 1 měsíc má v průměru 22 obchodních dní). Výsledky jsou patrny z následující tabulky.

37

Tab. 3 Tříměsíční výnosnost a riziko cenných papírů Den 2.2.2005

CP1 351,3

CP2 18801,0

CP3 3405,0

CP4 790,0

CP5 127,4

CP6 1286,0

CP7 425,3

CP8 1148,0

3.2.2005

352,0

19138,0

3476,0

794,1

126,7

1309,0

420,5

1138,0

4.2.2005

356,1

18996,0

3463,0

789,8

121,2

1316,0

417,5

1138,0

7.2.2005

364,7

19655,0

3520,0

800,1

123,6

1289,0

415,0

1138,0

8.2.2005

366,9

19916,0

3524,0

795,5

124,5

1268,0

400,7

1156,0

Μ

Μ

Μ očekávaný tříměsíční výnos akcie riziko změny tříměsíčního výnosu

Μ

Μ

Μ

Μ

Μ

Μ

10,01%

-8,65%

-1,22%

4,24%

2,84%

9,17%

1,44%

3,42%

13,76%

17,93%

9,28%

12,57%

22,78%

13,19%

7,76%

8,81%


Z uvedené tabulky je vidět, že nejvyšší výnos plyne z akcií ČEZ (10,01%) a ORCO (9,17%). Zároveň se však jedná o jedny z nejrizikovějších investic.

Od této chvíle se berou při výpočtech v úvahu pouze historické tříměsíční výnosnosti, na jejichž základě jsou sestaveny i korelační a kovarianční matice. Po výběru cenných papírů do portfolia je tedy potřeba vyřešit vztahy mezi jednotlivými cennými papíry a jejich kovariance. K tomu poslouží korelační a kovarianční matice. Korelační matice se sestaví následovně.

1 C=

ρ12 Λ

ρ 21

1 Λ Μ Μ Μ ρ n1 ρ n 2 Λ

ρ1n ρ 2n Μ 1

V této práci je však využita funkce NtMultiCorrel programu Excel a byla sestavena následující korelační matice.

38

Tab. 4 Korelační matice CP1

CP1 1,00

CP2 0,70

CP3 0,56

CP4 0,75

CP5 0,91

CP6 0,50

CP7 0,54

CP8 0,63

CP2

0,70

1,00

0,24

0,32

0,63

0,25

0,43

0,66

CP3

0,56

0,24

1,00

0,64

0,52

0,62

0,03

0,44

CP4

0,75

0,32

0,64

1,00

0,79

0,71

0,39

0,53

CP5

0,91

0,63

0,52

0,79

1,00

0,63

0,53

0,58

CP6

0,50

0,25

0,62

0,71

0,63

1,00

0,10

0,48

CP7

0,54

0,43

0,03

0,39

0,53

0,10

1,00

0,25

CP8

0,63

0,66

0,44

0,53

0,58

0,48

0,25

1,00

Zdroj: vlastní výpočty

Z korelační matice je vidět přesný obraz závislosti výnosů jednotlivých cenných papírů.

Čísla blížící se jedné vyjadřují vysokou pozitivní korelaci výnosů a čísla blížící se mínus jedné naopak. Čísla kolem nuly dokumentují vzájemnou nezávislost mezi cennými papíry. Je například patrné, že mezi akciemi ČEZ a UNIPETROL existuje vysoká pozitivní korelace ( ρ = 0,91) a naopak mezi akciemi KOMERČNÍ BANKA a TELEFÓNICA O2 C.R neexistuje téměř žádná závislost ( ρ = 0,03).

Při znalosti jednotlivých korelačních koeficientů je možno na základě vztahu:

σ ij = σ i .ρ ji .σ j sestavit následující kovarianční matici.

Tab. 5 Kovarianční matice CP1

CP1 189,21

CP2 172,41

CP3 72,00

CP4 129,07

CP5 283,93

CP6 90,40

CP7 57,57

CP8 76,32

CP2

172,41

321,38

40,55

72,63

258,68

58,08

59,28

104,46

CP3

72,00

40,55

86,20

74,28

110,76

76,05

1,81

36,05

CP4

129,07

72,63

74,28

158,09

224,91

116,91

38,42

59,17

CP5

283,93

258,68

110,76

224,91

518,79

188,88

93,93

116,49

CP6

90,40

58,08

76,05

116,91

188,88

173,88

9,90

55,70

CP7

57,57

59,28

1,81

38,42

93,93

9,90

60,15

17,24

CP8

76,32

104,46

36,05

59,17

116,49

55,70

17,24

77,55


Kovarianční matice je symetrická a na hlavní diagonále jsou rozptyly jednotlivých cenných papírů (zvýrazněné). Kovariance mezi dvojicemi cenných papírů informují 39

vždy o intenzitě vztahu mezi dvěma aktivy a zejména o tom, jak změna výnosnosti jednoho cenného papíru ovlivní výnosnost ostatních cenných papírů.

Doposud byly určeny potřebné charakteristiky jednotlivých cenných papírů a vztahů mezi nimi. V této fázi je tedy možno přistoupit k řešení optimalizační úlohy, kdy úkolem bude dospět k vahám jednotlivých cenných papírů na stanoveném portfoliu při zařazení omezujících podmínek. Úkolem bude sestavit čtyři portfolia. V prvním případě bude úkolem najít portfolio s minimálním rizikem. Druhý úkol bude doplněn o omezující podmínku požadovaného výnosu 15 % p.q.. Následně bude cílem najít portfolio s minimálním rizikem při zakázaném sell short. A posledním úkolem bude doplnit předcházející portfolio o požadovaný výnos 15 % p.q.

5.1 Nalezení portfolia s minimálním rizikem (sell short povolen) – portfolio 1 Nejprve je potřeba zvolit účelovou funkci, jejíž extrém se bude hledat. Jak už bylo zmíněno v teoretické části, existují v podstatě dvě možnosti. Z již dříve uvedených důvodů se bude minimalizovat riziko změny výnosu portfolia, což znamená, že se bude minimalizovat funkce 8

8

σ p2 = ∑∑ X i X jσ ij → min . i =1 j =1

Přičemž se bere v úvahu jediná omezující podmínka, a to požadavek, aby se součet relativních podílů jednotlivých cenných papírů v portfoliu rovnal jedné. 8

∑X i =1

i

=1

Potom Lagrangeova funkce této úlohy bude vypadat následovně:

ρ  8  L X = σ p2 + λ1  ∑ X i − 1 = X 12σ 12 + X 22σ 22 + ... + X 82σ 82 + 2 X 1 X 2σ 12 + 2 X 1 X 3σ 13 +  i =1  ... + 2 X 1 X 8σ 18 + 2 X 2 X 3σ 23 + ... + 2 X 7 X 8σ 78 + λ1 X 1 + λ1 X 2 + ... + λ1 X 8 − λ1

( )

[ ]

Aby platilo, že bod extrému je bodem minima, musí platit, že matice A = aij , pro jejíž ρ ∂L X prvky platí a ij = , je pozitivně definitní, přičemž Sylvestrova věta říká, že ∂X i X j

( )

40

matice A pozitivně definitní je, pokud jsou determinanty Di > 0 pro všechna i = 1,…,n. Protože víme, že A = 2C, kde C je kovarianční matice, můžeme vypočítat jednotlivé determinanty, které jsou patrny z následující tabulky.

Tab. 6 Determinanty D1

189,21

D2

31082,17

D3

1708744,08

D4

88249735,82

D5

6601588661,00

D6

4,2015E+11

D7

1,37898E+13

D8

4,31791E+14


Všechny determinanty jsou větší než nula a proto lze v souladu se Sylvestrovou větou konstatovat, že matice A je pozitivně definitní a že nalezený extrém bude tedy minimum. Následně lze řešit tuto soustavu rovnic ρ ∂L X = 2 X 1σ 12 + 2 X 2 σ 12 + 2 X 3σ 13 + ... + 2 X 8σ 18 + λ1 = 0 ∂X 1 ρ ∂L X = 2 X 2σ 22 + 2 X 1 σ 12 + 2 X 3σ 23 + ... + 2 X 8σ 28 + λ1 = 0 ∂X 2

( )

( )

Μ ρ ∂L X = 2 X 8σ 82 + 2 X 1 σ 18 + 2 X 2σ 28 + ... + 2 X 7σ 78 + λ1 = 0 ∂X 3

( )

X 1 + X 2 + ... + X 8 = 1 Soustava rovnic je zachycena v následující kovarianční matici.

41

Tab. 7 Kovarianční matice

X1

X2 2σ 12 2σ 22 2σ 23 2σ 24 2σ 25 2σ 26 2σ 27 2σ 28 1

2σ 2σ 12 2σ 13 2σ 14 2σ 15 2σ 16 2σ 17 2σ 18 1 2 1

X3 2σ 13 2σ 23 2σ 32 2σ 34 2σ 35 2σ 36 2σ 37 2σ 38 1

Čámský,

Zdroj:

F.

X4 2σ 14 2σ 24 2σ 34 2σ 42 2σ 45 2σ 46 2σ 47 2σ 48 1

Teorie

X5 2σ 15 2σ 25 2σ 35 2σ 45

X6 2σ 16 2σ 26 2σ 36 2σ 46 2σ 56 2σ 62 2σ 67 2σ 68 1

2σ 52 2σ 56 2σ 57 2σ 58 1

portfolia.

1.

vyd.

X7 2σ 17 2σ 27 2σ 37 2σ 47 2σ 57 2σ 67 2σ 72 2σ 78 1 Brno:

λ1

X8 2σ 18 2σ 28 2σ 38 2σ 48 2σ 58 2σ 68 2σ 78 2σ 82 1

PS 0 0 0 0 0 0 0 0 1

1 1 1 1 1 1 1 1 0

MU,

2001.

138

s.

ISBN 80-210-2509-3

Protože je kovarianční matice symetrická, je zřejmé, že v maticové notaci je možno soustavu zapsat takto:

Kde

ρ ρ 2CX + λ1e = 0 ρ ρ X Te =1

e je vektor, který obsahuje tolik jednotek, kolik je aktiv v portfoliu.

Dosazením za σ ij vznikne rozšířená matice soustavy, která je patrna z následující tabulky.

Tab. 8 Rozšířená matice soustavy rovnic 378,42

344,82

144,01

258,14

567,85

180,81

115,14

152,64

1

0

344,82

642,75

81,11

145,27

517,35

116,16

118,57

208,92

1

0

144,01

81,11

172,40

148,55

221,52

152,10

3,63

72,10

1

0

258,14

145,27

148,55

316,19

449,82

233,82

76,84

118,34

1

0

567,85

517,35

221,52

449,82

1037,59

377,76

187,85

232,98

1

0

180,81

116,16

152,10

233,82

377,76

347,77

19,81

111,40

1

0

115,14

118,57

3,63

76,84

187,85

19,81

120,31

34,48

1

0

152,64

208,92

72,10

118,34

232,98

111,40

34,48

155,10

1

0

1

1

1

1

1

1

1

1

0

1


42

Tuto soustavu devíti lineárních rovnic o devíti neznámých je již jednoduché vyřešit některou z metod řešení systému lineárních rovnic. V našem případě je tato úloha vyřešena pomocí programu Excel na základě následujících rovností: ρ ρ A. X = b ρ ρ A −1 . A. X = A −1 .b ρ ρρ e . X = A −1 .b ρ ϖ X = A −1 .b A je rozšířená matice soustavy rovnic z tabulky 8 bez posledního sloupce, ρ b je vynechaný poslední sloupec neboli vektor pravých stran. ρ Výsledkem je vektor X , který určuje relativní podíly jednotlivých cenných papírů Kde

v portfoliu a je patrný z následující tabulky.

Tab. 9 Váhy jednotlivých aktiv na portfoliu 0,030

X1

-0,016

X2

0,304

X3

-0,057

X4

-0,220

X5

0,132

X6

0,582

X7

0,247

X8


Optimální portfolio při minimalizaci rizika tedy bude mít složení, které nám ukazuje následující tabulka.

Tab. 10 Portfolio s minimálním rizikem ri

σi

portfolio

X1

10,01%

13,76%

0,030

X2

-8,65%

17,93%

-0,016

X3

-1,22%

9,28%

0,304

X4

4,24%

12,57%

-0,057

X5

2,84%

22,78%

-0,220

X6

9,17%

13,19%

0,132

X7

1,44%

7,76%

0,582

X8

3,42%

8,81%

0,247

Výnos portfolia (p.q.)

2,094%

Riziko portfolia

4,355%

Zdroj: vlastní výpočty 43

Výnos portfolia je dopočítán jako vážený průměr očekávaných výnosností jednotlivých cenných papírů podle vzorce: n

rp = ∑ X i .ri i =1

Riziko portfolia tímto způsobem však určit nelze, ale musí se dopočítat na základě následujícího vzorce:

 n n  σ p = ∑∑ X i X jσ ij   i =1 j =1 

1

2

Je patrné, že největší podíl na portfoliu při minimalizaci rizika mají akcie KOMERČNÍ BANKA, TELEFÓNICA O2 C.R. a ERSTE BANK. Na vzestup kurzu se bude spekulovat ještě s akciemi ČEZ a ORCO, u ostatních titulů bude proveden sell short. To znamená, že si určené množství cenných papírů investor vypůjčí, prodá a takto získaný obnos investuje do cenných papírů s kladnými podíly. Do propočtu jsou zahrnuty otevírací kurzy jednotlivých titulů ze dne 23.1.2007, tzn. otevírací kurzy po dni, ve kterém byla provedena analýza a bylo rozhodnuto o skladbě portfolia. Při počátečním kapitálu 8 000 000 Kč bude portfolio vypadat tedy následovně.

Tab. 10 Portfolio s minimálním rizikem při investici 8 000 000 Kč

CP1

ČEZ

CP2

PHILIP MORRIS ČR

CP3

KOMERČNÍ BANKA

CP4

ZENTIVA

CP5

UNIPETROL

CP6

ORCO

CP7

TELEFÓNICA O2 C.R.

CP8

ERSTE BANK PORTFOLIO

σi

Aktuální kurz CP

10,01%

podíl v % 13,76% 0,030

907,50

počet ks 260

Částka investovaná do jednotl. CP 235950,00

-8,65%

17,93%

-0,016

11251,00

-12

-135012,00

-1,22%

9,28%

0,304

3219,00

754

2427126,00

4,24%

12,57%

-0,057

1271,00

-361

-458831,00

2,84%

22,78%

-0,220

233,20

-7556

-1762059,20

9,17%

13,19%

0,132

3153,00

335

1056255,00

1,44%

7,76%

0,582

514,00

9059

4656326,00

3,42%

8,81%

0,247

1646,00

1199

1973554,00

2,094%

4,355%

1,000

ri

7993308,80


Investor nakoupí akcie v uvedených objemech. Při realizaci portfolia nakoupí zpět akcie, které předtím prodal formou sell short a předá je brokerovi, od kterého si je vypůjčil, a zároveň prodá akcie, které v portfoliu držel. Výsledkem by mělo být zhodnocení vložených prostředků 2,1 % p.q. s rizikem změny výnosnosti 4,4 %. Je vidět, že 44

výnosnost při minimalizaci rizika je poměrně malá na to, že se pohybujeme na akciových trzích, které jsou známy svou velkou volatilitou a rizikovostí. Proto by bylo vhodnější se zaměřit spíše na druhý úkol, kdy pro má cenu vstoupit na akciové trhy při výnosu alespoň 15 % p.q.

5.2 Nalezení portfolia s minimálním rizikem a požadovaným výnosem 15% p.q. (sell short povolen) – portfolio 2 V tomto případě se bude postupovat stejným způsobem jako v předcházejícím úkolu. Musí se však přidat jedna omezující podmínka. Úloha pak bude vypadat následovně. 8

8

σ p2 = ∑∑ X i X jσ ij → min i =1 j =1

8

∑X i =1

i

8

∑ X .r i =1

i

i

=1 = 15

Lagrangeova funkce této úlohy bude mít podobu:

ρ  8   8  L X = σ p2 + λ1  ∑ X i − 1 + λ 2  ∑ ri X i − 20  = X 12σ 12 + X 22σ 22 + ... + X 82σ 82 +  i =1   i =1  + 2 X 1 X 2σ 12 + 2 X 1 X 3σ 13 + ... + 2 X 1 X 8σ 18 + 2 X 2 X 3σ 23 + ... + 2 X 7 X 8σ 78 + λ1 X 1 +

( )

+ λ1 X 2 + ... + λ1 X 8 − λ1 + λ 2 r1 X 1 + λ 2 r2 X 2 + ... + λ 2 r8 X 8 − 15λ 2

A soustava rovnic má následující podobu: ρ ∂L X = 2 X 1σ 12 + 2 X 2 σ 12 + 2 X 3σ ,3 + ... + 2 X 8σ 18 + λ1 + λ 2 r1 = 0 ∂X 1 ρ ∂L X = 2 X 2σ 22 + 2 X 1 σ 12 + 2 X 3σ 23 + ... + 2 X 8σ 28 + λ1 + λ 2 r2 = 0 ∂X 2

( )

( )

Μ ρ ∂L X = 2 X 8σ 82 + 2 X 1 σ 18 + 2 X 2σ 28 + ... + 2 X 7σ 78 + λ1 + λ 2 r8 = 0 ∂X 3

( )

X 1 + X 2 + ... + X 8 = 1 r1 X 1 + r2 X 2 + ... + r8 X 8 = 15 Soustava rovnic je zasazena do následující kovarianční matice. 45

Tab. 11 Kovarianční matice

X1

X2 2σ 12 2σ 22 2σ 23 2σ 24 2σ 25 2σ 26 2σ 27 2σ 28 1 r2

2σ 2σ 12 2σ 13 2σ 14 2σ 15 2σ 16 2σ 17 2σ 18 1 r1 2 1

Zdroj:

X3 2σ 13 2σ 23 2σ 32 2σ 34 2σ 35 2σ 36 2σ 37 2σ 38 1 r3

X4 2σ 14 2σ 24 2σ 34

F.

Teorie

Čámský,

2σ 42 2σ 45 2σ 46 2σ 47 2σ 48 1 R4

X5 2σ 15 2σ 25 2σ 35 2σ 45

X6 2σ 16 2σ 26 2σ 36 2σ 46 2σ 56 2σ 62 2σ 67 2σ 68 1 r6

2σ 52 2σ 56 2σ 57 2σ 58 1 r5 portfolia.

1.

X7 2σ 17 2σ 27 2σ 37 2σ 47 2σ 57 2σ 67 2σ 72 2σ 78 1 r7 vyd.

X8 2σ 18 2σ 28 2σ 38 2σ 48 2σ 58 2σ 68 2σ 78 2σ 82 1 r8 Brno:

MU,

λ1

λ2

1 1 1 1 1 1 1 1 0 0

r1 r2 r3 r4 r5 r6 r7 r8 0 0 2001.

PS 0 0 0 0 0 0 0 0 1 15 138

s.

ISBN 80-210-2509-3 Dosazením za σ ij a ri vznikne rozšířená matice soustavy zobrazená v následující tabulce.

Tab. 12 Rozšířená matice soustavy rovnic 378,42

344,82

144,01

258,14

567,85

180,81

115,14

152,64

1 10,01

0

344,82

642,75

81,11

145,27

517,35

116,16

118,57

208,92

1

-8,65

0

144,01

81,11

172,40

148,55

221,52

152,10

3,63

72,10

1

-1,22

0

258,14

145,27

148,55

316,19

449,82

233,82

76,84

118,34

1

4,24

0

567,85

517,35

221,52

449,82

1037,59

377,76

187,85

232,98

1

2,84

0

180,81

116,16

152,10

233,82

377,76

347,77

19,81

111,40

1

9,17

0

115,14

118,57

3,63

76,84

187,85

19,81

120,31

34,48

1

1,44

0

152,64

208,92

72,10

118,34

232,98

111,40

34,48

155,10

1

3,42

0

1 10,01%

1 -8,65%

1 -1,22%

1 4,24%

1 2,84%

1 9,17%

1 1,44%

1 0 3,42% 0

0

1

0

15


Tuto soustavu rovnic je opět jednoduché vyřešit některou z metod řešení systému lineárních rovnic. V našem případě byla opět vyřešena v programu Excel stejným postupem jako v předcházející úloze. Výsledkem je následující tabulka s podíly jednotlivých aktiv na portfoliu.

46

Tab. 13 Váhy jednotlivých aktiv na portfoliu X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8

0,897 -0,291 -0,129 -0,281 -0,486 0,432 0,493 0,365


Je patrné, že při požadovaném výnosu 15 % je investován největší podíl kapitálu do akcií ČEZ, ORCO, TELEFÓNICA O2 a ERSTE BANK, u ostatních titulů se spekuluje na pokles jejich kurzů. Při počátečním kapitálu bude investice vypadat následovně.

Tab. 14 Portfolio s požadovaným výnosem při investici 8 000 000 Kč

CP1

ČEZ

CP2

PHILIP MORRIS ČR

CP3

KOMERČNÍ BANKA

CP4

ZENTIVA

CP5

UNIPETROL

CP6

ORCO

CP7

TELEFÓNICA O2 C.R.

CP8


σi

aktuální kurz CP

10,01%

Podíl v % 13,76% 0,897

907,50

počet ks 7906


-8,65%

17,93%

-0,291

11251,00

-207

-2328957,00

-1,22%

9,28%

-0,129

3219,00

-321

-1033299,00

4,24%

12,57%

-0,281

1271,00

-1768

-2247128,00

2,84%

22,78%

-0,486

233,20 -16678

-3889309,60

9,17%

13,19%

0,432

3153,00

1095

3452535,00

1,44%

7,76%

0,493

514,00

7679

3947006,00

3,42%

8,81%

0,365

1646,00

1775

2921650,00

15,00%

6,25%

1,000

ri

7997192,40


Investor bude následně postupovat jako v předcházejícím případě. Je patrné, že náš investor daleko raději vstoupí na akciové trhy s tímto portfoliem, které mu poskytuje výnos 15 % p.q. samozřejmě při o něco vyšším riziku 6,25 %.

5.3 Nalezení portfolia s minimálním rizikem (sell short zakázán) – portfolio 3 Doposud byl vždy sell short povolen a také se při tvorbě portfolia použil. Ne pokaždé však investor chce nebo také může této operace využít. 47

Při řešení úlohy se za účelovou funkci opět zvolí minimalizace rizika, takže se bude minimalizovat následující funkce: 8

8

σ p2 = ∑∑ X i X jσ ij → min i =1 j =1

Je potřeba přidat dvě omezující podmínky: 8

∑X i =1

i

=1

Výše uvedená podmínka zaručuje, že součet vah bude roven 1, resp. že bude použit právě připravený kapitál. Je však potřeba i podmínku zakazující sell short, která je patrná z následujícího vzorce. X i ≥ 0, i = 1,2,..., n

Při řešení této úlohy není využita Wolfova metoda, která by byla pro řešení také vhodná, ale je využita funkce Řešitel programu Excel. Pro zadání je zapotřebí ještě kovarianční matice z předcházejích případů, která je znázorněna v tab. 5. Postup řešení je součástí přílohy 1.

Výsledkem je opět vektor vah jednotlivých cenných papírů na portfoliu.

Tab. 15 Váhy jednotlivých aktiv na portfoliu při zakázání sell short X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8

0 0 0,309 0 0 0 0,506 0,185


Je patrné, že v tomto případě se bude investovat pouze do tří titulů, a to do akcií KOMERČNÍ BANKA, TELEFÓNICA O2 C.R. a ERSTE BANK. Portfolio s takovým složením bude mít při našem počátečním kapitálu následující charakteristiky.

48

Tab. 16 Portfolio s minimální rizikem při investici 8 000 000 Kč, sell short zakázán

σi

aktuální kurz CP

10,01%

Podíl v % 13,76% 0

907,50

počet ks 0


-8,65%

17,93%

0

11251,00

0

0,00

-1,22%

9,28%

0,309

3219,00

767

2468973,00

4,24%

12,57%

0

1271,00

0

0,00

2,84%

22,78%

0

233,20

0

0,00

9,17%

13,19%

0

3153,00

0

0,00

1,44%

7,76%

0,506

514,00

7880

4050320,00

3,42%

8,81%

0,185

1646,00

899

1479754,00

0,987%

5,848%

1,000

ri CP1

ČEZ

CP2

PHILIP MORRIS ČR

CP3

KOMERČNÍ BANKA

CP4

ZENTIVA

CP5

UNIPETROL

CP6

ORCO

CP7

TELEFÓNICA O2 C.R.

CP8


7999047,00


Z předcházející tabulky je zřejmé, že investor touto operací dosáhne výnosu 1 % během tří měsíců, což je velmi malé číslo na to, že operujeme na akciových trzích.

5.4 Nalezení portfolia s minimálním rizikem a požadovaným výnosem 15% p.q. (sell short zakázán) – portfolio 4 Při řešení této úlohy se bude postupovat stejně jako v úloze předcházející. Musí se však přidat ještě jedna omezující podmínka. 8

∑ X .r i =1

i

i

= 15

Tato podmínka je pouze přidána do funkce Řešitel programu Excel, který ovšem nenašel žádné řešení pro takto zadanou úlohu. Je to způsobeno tím, že při zakázaném sell short se operuje pouze s uvedeným počátečním kapitálem, kdežto při povoleném sell short je využita k investici daleko větší částka, která ani vlastně není k dispozici. Z toho důvodu je pro tuto úlohu výnos 15% p.q. příliš vysoký, což je patrné při pohledu na očekávané tříměsíční výnosnosti (tab. 3). Proto požadovaný výnos snížíme na 7% p.q. a zjistíme, že pro takto formulovanou úlohu Řešitel již našel řešení, které je znázorněno v následující tabulce. Postup je znázorněn v příloze 2.

49

Tab. 17 Váhy jednotlivých aktiv na portfoliu při zakázání sell short a požadovaném výnosu X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8

0,270 0 0 0 0 0,402 0,259 0,069


Je patrné, že v tomto případě investor bude investovat do čtyř titulů, a to do akcií ČEZ, ORCO, TELEFÓNICA O2 C.R. a ERSTE BANK. Portfolio s takovým složením bude mít při našem počátečním kapitálu následující charakteristiky.

Tab. 18 Portfolio s minimální rizikem a požadovaným výnosem

při investici

8 000 000 Kč, sell short zakázán

CP1

ČEZ

CP2

PHILIP MORRIS ČR

CP3

KOMERČNÍ BANKA

CP4

ZENTIVA

CP5

UNIPETROL

CP6

ORCO

CP7

TELEFÓNICA O2 C.R.

CP8


σi

aktuální kurz CP

10,01%

Podíl v % 13,76% 0,270

907,50

počet ks 2384


-8,65%

17,93%

0

11251,00

0

0,00

-1,22%

9,28%

0

3219,00

4,24%

12,57%

0

1271,00

0

0,00

2,84%

22,78%

0

233,20

0

0,00

9,17%

13,19%

0,402

3153,00

1018

3209754,00

1,44%

7,76%

0,259

514,00

4032

2072448,00

3,42%

8,81%

0,069

1646,00

335

551410,00

7,00%

9,09%

1,000

ri

0,00

7997092,00


Z tabulky je zřejmé, že investor touto operací dosáhne požadovaného výnosu 7 % během tří měsíců, což už je slušný výsledek na to, že operujeme na akciových trzích při zakázaném sell short. Zároveň se však zvýšilo riziko na 9,09%, což indikuje nejrizikovější portfolio ze všech. Je tedy potřeba pro našeho investora vybrat nejvhodnější portfolio, kterým bude portfolio 2 s minimálním rizikem a požadovaným výnosem 15% p.q., neboť ostatní portfolia nepředpokládají takový výnos, který by byl zajímavý. Jestli bude portfolio 50

úspěšné ukáže až poslední část této práce, ve které bude provedeno srovnání s reálnými hodnotami na skutečném akciovém trhu.

5.5 Využití CAPM Pomocí kurzů cenných papírů a burzovního indexu PX, kterým se aproximuje výnos trhu, lze zjistit koeficienty beta jednotlivých cenných papírů, z nichž je vytvořeno portfolio. Pomocí vzorce

βi =

σ iM a programu Excel bylo dospěno k výsledkům σ M2

uvedeným v následující tabulce.

Tab. 19: Hodnoty koeficientu beta jednotlivých cenných papírů

βi CP1 CP2 CP3 CP4 CP5 CP6 CP7 CP8

1,54 0,51 1,08 0,99 1,99 0,64 0,57 0,79


Je patrné, že hodnoty koeficientu beta se pohybují v obvyklém intervalu (0,5;2,0). Mezi agresivní cenné papíry se řadí např. akcie ČEZ a UNIPETROL, mezi defenzivní např. PHILIP MORRIS ČR a TELEFÓNICA O2 C.R. a za neutránlí akcie lze považovat např. akcie KOMERČNÍ BANKA a ZENTIVA.

n

Lze také dopočítat koeficient beta podle vzorce β p = ∑ X i β i u jednotlivých portfolií i =1

sestavených v předchozích částech. Výsledky jsou patrny z následující tabulky.

51

Tab. 20 Koeficient beta u jednotlivých portfolií

βi

Portfolio 1

Portfolio 2

Portfolio 3

CP1

ČEZ

1,54

0,030

0,897

0

CP2

PHILIP MORRIS ČR

0,51

-0,016

-0,291

0

CP3

KOMERČNÍ BANKA

1,08

0,304

-0,129

0,309

CP4

ZENTIVA

0,99

-0,057

-0,281

0

CP5

UNIPETROL

1,99

-0,220

-0,486

0

CP6

ORCO

0,64

0,132

0,432

0

CP7 TELEFÓNICA O2 C.R.

0,57

0,582

0,493

0,506

CP8

0,79

0,247

0,365

0,185

0,49

0,55

0,28

ERSTE BANK β PORTFOLIA

Portfolio 4 0,270 0 0 0 0 0,402 0,259 0,069 0,87


5.6 Porovnání se skutečnými hodnotami Pro investora bylo tedy vybráno portfolio č. 2. Dne 23.1.2007 nakoupil a také si vypůjčil (v případě sell short) cenné papíry v uvedených objemech a dne 23.4.2007 došlo k realizaci portfolia. Skutečné kurzy jednotlivých cenných papírů obsažených v portfoliu na BCPP ke dni realizace portfolia byly následující.

Tab. 21: Kurzy cenných papírů ke dni 23.4.2007 Otevírací kurz SPAD CP1

ČEZ

CP2

PHILIP MORRIS ČR

CP3

KOMERČNÍ BANKA

CP4

ZENTIVA

CP5

UNIPETROL

CP6

ORCO

CP7

TELEFÓNICA O2 C.R.

CP8

ERSTE BANK

987,00 9 650,00 4 032,00 1 472,00 244,10 3 505,00 622,20 1 686,00

Zdroj: www.akcie.cz

Realizace a výnosnost portfolia 2 by potom vypadala následovně.

52

Tab. 22 Realizace vybraného portfolia

CP1

ČEZ

CP2

PHILIP MORRIS ČR

CP3

KOMERČNÍ BANKA

CP4

ZENTIVA

CP5

UNIPETROL

CP6

ORCO

CP7

TELEFÓNICA O2 C.R.

CP8


Podíl v %

kurz CP nákup

0,897

907,50

-0,291

Kurz CP prodej

Podíl

ri

ri na

987,00

8,76%

portfoliu 7,86%

11251,00

9 650,00

-14,23%

4,14%

-0,129

3219,00

4 032,00

25,26%

-3,26%

-0,281

1271,00

1 472,00

15,81%

-4,44%

-0,486

233,20

244,10

4,67%

-2,27%

0,432

3153,00

3 505,00

11,16%

4,82%

0,493

514,00

622,20

21,05%

10,39%

0,365

1646,00

1 686,00

2,43%

0,89%

1,000

18,11%


Z uvedené tabulky je patrné, že portfolio bylo sestaveno správně a investorovi přineslo při počátečním kapitálu 8 000 000 Kč a výnosu 18,11% zisk 1 448 482 Kč, který ovšem musíme snížit o některé poplatky, jako jsou poplatky burzám, brokerům za zapůjčení akcií a v neposlední řadě také provizi makléři. Je patrné, že nejvíce se podařila spekulace na vzestup kurzu u akcií ČEZ a TELEFÓNICA O2 C.R., na pokles kurzu se naopak podařila spekulace pouze u akcií PHILLIP MORRIS ČR.

Zajímavý je také pohled na výsledky portfolií č. 1, 3 a 4.

Tab. 23 Realizace portfolia 1 a 3 Podíl kurz CP nákup

Kurz CP prodej

Porfolio 1

ri na

987,00

0,030

portfoliu 1 0,26%

11251,00

9 650,00

-0,016

KOMERČNÍ BANKA

3219,00

4 032,00

CP4

ZENTIVA

1271,00

CP5

UNIPETROL

CP6

Podíl Porfolio 3

ri na

0

portfoliu 2 0,00%

0,23%

0

0,00%

0,304

7,67%

0,309

7,80%

1 472,00

-0,057

-0,91%

0

0,00%

233,20

244,10

-0,220

-1,03%

0

0,00%

ORCO

3153,00

3 505,00

0,132

1,47%

0

0,00%

CP7

TELEFÓNICA O2 C.R.

514,00

622,20

0,582

12,25%

0,506

10,66%

CP8


1646,00

1 686,00

0,247

0,60%

0,185

0,45%

1,000

20,55%

1,000

18,91%

CP1

ČEZ

907,50

CP2

PHILIP MORRIS ČR

CP3


53

Tab. 24 Realizace portfolia 4

CP1

ČEZ

CP2

PHILIP MORRIS ČR

CP3

KOMERČNÍ BANKA

CP4

ZENTIVA

CP5

UNIPETROL

CP6

ORCO

CP7

TELEFÓNICA O2 C.R.

CP8


Podíl v %

kurz CP nákup

0,270

907,50

0

Kurz CP prodej

ri

Podíl

ri na

987,00

8,76%

portfoliu 2,37%

11251,00

9 650,00

-14,23%

0,00%

0

3219,00

4 032,00

25,26%

0,00%

0

1271,00

1 472,00

15,81%

0,00%

0

233,20

244,10

4,67%

0,00%

0,402

3153,00

3 505,00

11,16%

4,48%

0,259

514,00

622,20

21,05%

5,45%

0,069

1646,00

1 686,00

2,43%

0,17%

1,000

12,47%


Z výše uvedeného je nutno konstatovat, že i zamítnutá portfolia by byla úspěšná, i když propočty výnosností tomu zdaleka nenasvědčovaly, což mohlo být způsobeno daleko vyššími skutečnými tříměsíčními výnosnosti než výnosnostmi očekávanými a to zejména u akcií KOMERČNÍ BANKA, které v průběhu dvou let, ze kterých bylo vycházeno, přešlapovaly na místě, a za dobu držení našeho portfolia dosáhly výnosu 25,26%.

54

6

DISKUZE

Je nutné si uvědomit, že řešení zadaného úkolu vychází pouze z historických dat. Na základě historických údajů bylo pro investora vybráno portfolio, do kterého investoval nemalou částku. Výsledky nebyly špatné, naopak byly velmi příznivé. Je potřeba si však také uvědomit, že tento vývoj ovlivnil více než příznivý vývoj na většině akciových trhů. Pokud by se k takovéto investici na základě historických údajů přistoupilo například v březnu minulého roku, ztráty by byly obrovské, a přesto by tato metoda doporučila portfolia podobná. Je tedy nutné uvedené postupy používat pouze jako podpůrné a sledovat i celkový vývoj na akciových trzích. Rozhodně by se při rozhodování neměla opomenout analýza fundamentální, která hledá základní a podstatné faktory významně ovlivňující kurz akcie. Fundamentální analýza je však velmi náročná na provedení zejména v důsledku nedostupnosti velkého množství informací, a to zejména vnitřních informací o společnosti. Zajímavé by bylo také vědět, jaké pokyny by poskytly například analýza technická, psychologická, či nějaký expertní odhad. Přece jen zkušení burzovní makléři v průběhu své praxe nabyli alespoň částečný pojem o pohybech na akciových trzích a určitě jsou také schopni odhadovat vývoj akciových kurzů. Ne vždy samozřejmě správně. Zejména oni se již mnohokrát přesvědčili, že vývoj na akciových trzích je mnohdy značně nevyspytatelný. Technická analýza by zřejmě nepodala o moc jiné informace, neboť vychází také pouze z historických údajů, i když metody a postupy jsou poněkud odlišné. Naproti tomu by byla zajímavá psychologická analýza, která vychází z předpokladu, že akciové kurzy jsou pod silným vlivem masové psychologie burzovního publika. Je zapotřebí tedy konstatovat, že neexistuje obecně platný postup pro sestavení portfolia a že uvedený postup je pouze jedním z možných přístupů k této problematice. Pro řešení systému lineárních rovnic a úloh kvadratického programování také existuje celá řada postupů zmíněných v teoretických východiscích této práce. V této práci však byly upřednostněny funkce programu Excel pro svoji rychlost a jednoduchost.

55

7

ZÁVĚR

V této práci bylo cílem na základě teorie portfolia sestavit portfolio pro skutečného investora majícího zájem se svým kapitálem vstoupit na akciový trh. Výsledkem uvedených postupů byl výběr portfolia, které pokud by se transakce uskutečnila ve skutečnosti, by bylo ziskové. Portfolio pro našeho investora bylo vybíráno ze čtyř vypočítaných portfolií na základě jejich charakteristik, a to výnosu a rizika. Jako optimální se jevilo portfolio 2 s očekávanou mírou výnosu 15% p.q. a rizikem změny tohoto výnosu 6,25%. Skutečný výnos tohoto portfolia by byl 18,11% p.q. Další tři portfolia se však co se týče očekávaného a skutečného výnosu v těchto charakteristikách značně lišily. Očekávané výnosy portfolií 1, 3 a 4 byly v pořadí za sebou 2,094% p.q., 0,987% p.q. a 7% p.q. Skutečné míry výnosů těchto portfolií však vyšly následovně: 20,55% p.q., 18,91% p.q. a 12,47% p.q. Je tedy patrné, že mezi očekávanými a skutečnými hodnotami je značný rozdíl. Tento rozdíl byl způsoben zejména nadprůměrným růstem akciových trhů nejen u nás, ale i v zahraničí. Pozitivní skutečností je, že všechna sestavená portfolia byla nějakým způsobem zisková. Následně je tedy zapotřebí se vyslovit k naznačené hypotéze. Podle provedených výpočtů nemůžeme naši hypotézu, že optimální portfolio sestavené na základě Markowitzova Selektivního modelu přináší investorovi nejvyšší rizikově vážený výnos, zamítnout. Na základě jednoho případu samozřejmě nelze dělat obecné závěry o platnosti tohoto postupu, neboť předpoklady o ostatních portfoliích které pro investora nebyla vybrána, se nepotvrdily. Makléř či analytik navíc nemůže vycházet pouze z analýz založených na historických datech, ale musí brát v úvahu i ostatní okolnosti ovlivňující chod kapitálových trhů. Musí vědět, že jednotlivé trhy se navzájem ovlivňují. Proto by měl sledovat obchodování v zámoří. Velmi důležité jsou také fundamentální informace o jednotlivých emitentech a jejich výsledky hospodaření, které mohou ovlivnit akciový kurz velkou měrou. Lze ovšem tvrdit, že uvedený či podobný postup by mohl sloužit pouze jako základní kámen pro následující rozhodování. V současné době také skuteční makléři takovouto podporu ve formě analytiků spracovávajících nejrůznější analýzy mají a v nemalé míře ji využívají.

56

8

SEZNAM POUŽITÉ LITERATURY (1) Akcie.cz. Kurzy cenných papírů [online]. 2005 – 2007 [cit. 2007-01-23]. Dostupný z WWW: (2) Benninga, S. Financial Modeling. 2. vyd. Massachusetts, 1997. 414 s. ISBN 0-262-02437-3 (3) Brada, J. Teorie portfolia. 1. vyd. Praha: VŠE, 1996. 160 s. ISBN 80-7079-259-0. (4) Burza cenných papírů Praha, a.s. Data z obchodování [online]. 2005 – 2007 [cit. 2007-01-23]. Dostupný z WWW: (5) Čámský,

F.

Teorie

portfolia.

1.

vyd.

Brno:

MU,

2001.

138

s.

ISBN 80-210-2509-3 (6) Černá, B. Matematika - lineární algebra. 2. vyd. Brno: Mendelova zemědělská a lesnická univerzita, 2004. 133 s. ISBN 80-7157-784-7. (7) Minařík, B. Statistika. 2. vyd. Brno: Mendelova zemědělská a lesnická univerzita, 2006. 98 s. ISBN 80-7157-928-9. (8) Rejnuš, O. Teorie a praxe obchodování s cennými papíry. 1. vyd. Praha: Computer Press, 2001. 257 s. ISBN 80-7226-571-7. (9) Zmeškal,

Z.

Finanční

modely.

ISBN 80-86119-87-4.

57

Praha:

Ekopress,

2004.

236 s.

9

PŘÍLOHY

Příloha 1: Použití funkce řešitel při sestavení portfolia 3

=L9^2*A9+L10^2*B10+L11^2*C11+L12^2*D12+L13^2*E13+L14^2*F14+L15^2*G15+L16^2*H16+2*L9 *L10*B9+2*L9*L11*C9+2*L9*L12*D9+2*L9*L13*E9+2*L9*L14*F9+2*L9*L15*G9+2*L9*L16*H9+2* L10*L11*C10+2*L10*L12*D10+2*L10*L13*E10+2*L10*L14*F10+2*L10*L15*G10+2*L10*L16*H10+2 *L11*L12*D11+2*L11*L13*E11+2*L11*L14*F11+2*L11*L15*G11+2*L11*L16*H11+2*L12*L13*E12+ 2*L12*L14*F12+2*L12*L15*G12+2*L12*L16*H12+2*L13*L14*F13+2*L13*L15*G13+2*L13*L16*H13 +2*L14*L15*G14+2*L14*L16*H14+2*L15*L16*H15

58

Příloha 2: Použití funkce Řešitel při sestavení portfolia 4

L16*P16

59

OBSAH 1 Úvod Cíl práce Metodika Teoretická východiska Aktiva Analýza cenných papírů

Recommend Documents