Obhajoba dizertační práce. Pavel Bakala. školitel : prof. RNDr. Zdeněk Stuchlík, CSc. konzultant : RNDr. Stanislav Hledík, Ph.D

Obhajoba dizertační práce

K některým aspektům optických efektů v blízkosti černých děr a neutronových hvězd Pavel Bakala školitel : prof. RNDr. Zdeněk Stuchlík, CSc. konzultant : RNDr. Stanislav Hledík, Ph.D. Ústav fyziky Filozoficko-přírodovědecké fakulty Slezské univerzity v Opavě 24.6.2010

Obsah 

Virtuální výlet k horizontu černé díry a povrchu neutronové hvězdy • • • • •



QPOs : pohled z nekonečna •

• • • •



Kvaziperiodické oscilace (QPOs) ve výkonových spektrech světelných křivek rentgenového záření LXMB s neutronovou hvězdou kHz QPOs, twin-peaks kHz QPOs a frekvenční korelace Klastrování detekcí v okolí poměrů malých celých čísel Relativistický precesní model a preferované orbity * Circinus X1: odhad hmotnosti a spinu

Magnetická pole • • • • • •



Motivace a kontext Sféricky symetrická nabitá řešení Einsteinových rovnic Konstrukce a vlastnosti optické projekce Softwarová implementace Vizualizační výstupy simulací

Observační motivace Dipólové magnetické pole na pozadí Schwarzschildovy prostoročasové geometrie * Frekvence perturbovaného kruhoveho orbitálního pohybu * Existence a stabilita kruhových orbit * Aplikace na relativistický precesní model * Perspektiva dalšího výzkumu: magnetické pole pomalu rotující neutronové hvězdy

Odpovědi na otázky oponentů

* English slides

Virtuální výlet k horizontu černé díry a povrchu neutronové hvězdy

Motivace a kontext

•

Vzhled oblohy (zobrazení vzdáleného vesmíru) pro pozorovatele v těsné blízkosti černé díry či neutronové hvězdy

•

Ilustrace efektů optiky v silně zakřiveném prostoročase Experimentálně netestovatelná úloha, avšak užitečná pro intuitivní vhled do vlastností silně zakřivených prostoročasů

•

Extrémní gravitační lensing pro pozorovatele v silném poli Slabý (weak) lensing byl prvním observačním testem OTR, dnes je významným observačním nástrojem (vzdálený vesmír, temná hmota, exoplanety).

•

Sféricky symetrická metrika, přítomnost elektrického či slapového náboje a kosmologické konstanty

•

Softwarová simulace a vizualizace pro statického i volně padajícího pozorovatele (vícenásobné obrazy, redshift, blueshif,, amplikace intenzity)

Virtuální výlet k horizontu černé díry a povrchu neutronové hvězdy Sféricky symetrická nabitá řešení Einsteinových rovnic v přítomnosti repulzivní kosmologické konstanty Reissner-Nordströmova-de Sitterova metrika ( černoděrové i nahosingulární prostoročasy) 1

 2M   2 2  2M   2 ds 2   1   2  r  dt  1   2  r  dr 2  r 2 d  2 r r 3  r r 3    Parametry : hmotnost M, slapový náboj β, elektrický náboj Q2 =β, kosmologická konstanta Λ Horizonty  gtt  0  : Cauchyho  0 Černoděrový    min    , max     Kosmologický   min    Superextrémní RNdS černá díra Lext =

2 M 9

2

Qext 2 =

9 2 M 8

Fotonové orbity (nestabilní a stabilní) rph =

1 ćç ç3M ± 2 çč

Statický poloměr rs4 L b = Mrs 3

ö 9M 2 - 8b ÷ ÷ ÷ ř

Virtuální výlet k horizontu černé díry a povrchu neutronové hvězdy Konstrukce a vlastnosti optické projekce ć ö E ççç- 1, m 1 - b2r - 2gtt (r , M , b , L ), 0, b÷ ÷ ÷ č ř (sférická symetrie, pohyb v ekvatoriální rovině)

Čtyřhybnost fotonu Pm = Binetův vzorec dj = ± du

Pt = - E , Pj = F = bE

Podmínka existence pohybu fotonů

1 b- 2 - u 2 + 2Mu 3 - b u 4 +

Impaktní parametr F bş E

Integrály pohybu

, L 3

u=

1 r

ć-2 Lö 2 3 4 ç ÷ł 0 C (b, u, M , b , L ) ş ççb - u + 2Mu - b u + ÷ ÷ 3 ř÷ č

Maximální impaktní parametr pro pozorovatele na robs > rph -

bmax

ć 2 Lö 3 4 ç ÷ = ççu - 2Mu + b u - ÷ ÷ 3 č ř÷

Kritický impaktní parametr bcrit : záchyt na nestabilní kruhové fotonové orbitě Vcházející geodetiky s b > bcrit dopadají na černoděrový horizont , s b < bcrit dosahují bodu obratu rturn > rph .

Finální implicitní rovnice pro impaktní parametr (integrace Binetova vzorce)

D j (b, uobs , usource , M , b , L) + j source + 2k p = 0

Řád obrazu (počet a orientace paprskem opsaných smyček

(

k Î - Ą ...., - 2, - 1, 0, 1, 2,.... Ą

)

1 2

Virtuální výlet k horizontu černé díry a povrchu neutronové hvězdy konstrukce a vlastnosti optické projekce Parametry obrazu generovaného nulovou geodetikou – paprskem s impaktním parametrem b Směrový úhel cos a = -

Frekvenční posuv (redshitf, blueshift)

P (r ) (b, robs ) P (t ) (b, robs )

g= -

P (t ) (b, robs ) P (t ) (b, rsource )

• Sférická symetrie optické projekce

• Přímé ( k ł 0 ) a nepřímé ( k < 0 ) obrazy Nekonečný počet koncentrických obrazů vesmíru

• Invertovaný charakter nepřímých obrazů

• Zdánlivá úhlová velikost černé díry

 max  lim  (b, M ,  , , robs ), S  2    max  b bcrit

Černý region na pozorovatelově obloze

• Einsteinovy kroužky Zobrazení zdrojů na optické ose

Aangular ® Ą

Časová a úhlová amplifikace

Atotal = g 4Aangular

Virtuální výlet k horizontu černé díry a povrchu neutronové hvězdy

Softwarová implementace

•

Implementace v C++, objektová architektura

•

Modulární struktura kódu (moduly jako C++ třídy) • Modul vstupů : Definice zářících objektů pomocí C++ třídy radiating_object, grid na povrchu zářícich objektů, buňky s odlišnými •

časově proměnnými vyzařovacími vlastnostmi, namapování vstupního obrázku na nekreslenou pozorovatelovu oblohu Modul relativistického raytracingu : určení parametrů paprsku (nulové geodetiky) spojujícího zdroj a pozorovatele, paprsky pro první dva přímé i nepřímé obrazy s k Î - 2, - 1, 0, 1 , architektura umožňující nahradit doplnit kód o kompatibilní moduly pro raytracing v odlišných prostoročasech, přesnost D b » 10- 15 , klíčová funkce : void Raytracing_Proccessing::Get_Ray(int p_order,double p_radius,double p_theta, double p_phi, double *Amplification, double *f_shift, double *x, double *y, double *time_delay)

(

•

)

Modul zpracování výstupů Výstup : Bitmapové obrázky obou hemisfér pozorovatelovy oblohy

Virtuální výlet k horizontu černé díry a povrchu neutronové hvězdy

Simulace pro statického pozorovatele, robs=27M

Virtuální výlet k horizontu černé díry a povrchu neutronové hvězdy

Simulace pro statického pozorovatele, robs=27M

Virtuální výlet k horizontu černé díry a povrchu neutronové hvězdy

Simulace pro statického pozorovatele, robs=2.7M

Virtuální výlet k horizontu černé díry a povrchu neutronové hvězdy

Simulace pro volně padajícího pozorovatele

Virtuální výlet k horizontu černé díry a povrchu neutronové hvězdy Simulace vzhledu superkompaktní hvězdy, R=2.4M, Ω=2000Hz

QPOs : pohled z nekonečna: Kvaziperiodické oscilace (QPOs) ve výkonových spektrech světelných křivek rentgenového záření LXMB s neutronovou hvězdou

rychlá rentgenová variabilita LMXB zdrojů: píky ve výkonové spektru (kvaziperiodické oscilace (QPOs)

QPOs mohou být interpretovány pomocí skupiny oscilátorů nebo jako časový vývoj jednoho oscilátoru

power

Sco X-1

• Nizkofrekveční QPOs (do 100Hz)

• hecto-hertz QPOs (100-200Hz) • kHz QPOs (~200-1500Hz): dolní a horní QPO mód simultánní detekce: twin peak QPOs

Fig: nasa.gov

frequency

Vznik kHz QPO zůstává otázkou , velmi často je díky pozorovaným frekvencím předpokládána souvislost s orbitálním pohybem ve vnitřní části akrečních disků.

QPOs : pohled z nekonečna: kHz QPOs, twin-peaks kHz QPOs a frekvenční korelace

Téměř lineární korelace frekvencí horních a dolních QPOs Klastrování detekcí v okolí poměrů malých celých čísel

Dva reprezentativní zdroje s neutronovou hvězdou, Circinus X1 a 4U 1636-53.

QPOs : pohled z nekonečna: kHz QPOs, twin-peaks kHz QPOs a frekvenční korelace Faktor kvality Q rms amplituda A Signifikance S

QPOs : pohled z nekonečna: kHz QPOs, twin-peaks kHz QPOs a frekvenční korelace

Orbital motion in a strong gravity

Geodesic motion models: orbital motion in a strong gravity

Imply the existence of the periastron and nodal (Lense-Thirring) precession

Periastron precession frequency Nodal ( declination ) precession frequency Total precession frequency

 k  r  k     r

The relativistic precesion model (in next RP model) introduced by Stella and Vietri, (1998, ApJ) indetifies the upper kHz QPO frequency as orbital (keplerian) frequency and the lower kHz QPO frequency as the periastron precesion frequency. The low frequency is identified as nodal (orbitral plane) precesion frequency.

The geodesic frequencies are the functions of the parameters of spacetime geometry (M, j, q) and the appropriate radial coordinate of circular orbit of radiating hot spot..

Fitování kHz QPO dat LMXB zdrojů frekvenčními relacemi relativisticky precesního modelu.

M=2Msun

(Převzato a upraveno z : T. Belloni, M. Mendez, J. Homan, 2007, MNRAS)

RP model : NS vysokých hmotností v aproximaci Kerrovy metriky

Torok et al., (2010),ApJ

NS prostoročasy jsou popisovány Hartleovou-Thorneovou metrikou s třemi parametry M,j,Q. Nicméně, pro velmi hmotné kompaktní NS lze s vysokou přesností použít jednoduchou a elegantní aproximaci Kerrovým řešením. Použitelnost aproximace je ilustrována chováním ISCO orbitální frekvence:

Navíc jsou odhady hmotnosti založené na RP QPO modelu vyšší, pokud není použita aproximace nerotující metriky.

Kerrova metrika a relativistický precesní model Frekvence orbitálního pohybu v Kerrově prostoročase

Výsledná relace mezi frekvencemi horního a dolního QPO:

použitelná k fitování observačních dat a získání odhadu hmotnosti M a spinu j.

Obě frekvence škálují s 1/M a jsou sensitivní k j. Pro úspěšnou analýzu dat je klíčová otázka, zda existují identické či podobné křivky pro odlišné páry M aj.

Relativistický precesní model – neurčitost v M a j. Pro každý pár parametrů M, j RP model poskytuje odlišnou frekvenční relaci a tak i odpovídající křivku v rovině frekvence – frekvence. Lze však nalézt třídy téměř identických křivek, pro které jsou parametry svázány relací: M = Ms[1+0.75(j+j2)]. Parametr Ms je hmotnost odpovídající čistě schwarzschildovské relaci.

Torok et al., (2010), ApJ

M = 2.5….4 MSUN Ms = 2.5 MSUN M ~ Ms[1+0.75(j+j2)]

Pro každou hmotnost Ms nerotující neutronové hvězdy lze tak najít množinu podobných křivek implikovaných relací M (Ms, j).

Nejlepší fit dat daného zdroje tak lze dosáhnout pro všechny kombinace M a j svázané relací a lze jej chápat jako funkci jednoho parametru, schwarzschildovské hmotnosti Ms .

Relativistický precesní model a data zdroje Circinus X-1 Barevně kódovaná mapa χ2 [M,j,106 bodů] dobře odpovídající předpokládané neurčitosti fitů v M a j. M= Ms[1+0.55(j+j2)], Ms = 2.2M_sun Nejlepší χ2 numericky Nejlepší χ2 pro přesné Kerrovo řešení Nejlepší χ2 pro inearizované Kerrovo řešení

Relativistický precesní model a data zdroje 4U 1636-53 Barevně kódovaná mapa χ2 [M,j,106 bodů] dobře odpovídající předpokládané neurčitosti fitů v M a j. M= Ms[1+0.75(j+j2)], Ms = 1.78M_sun Nejlepší χ2 pro přesné Kerrovo řešení

Negeodetické korekce Aproximace vlivu tlakových gradientů, viskozity, magnetického pole :

Negeodetické korekce a data vysokofrekvečního zdroje 4U 1636-53

Exact calculations of non-geodesics correction induced by the magnetic field of the star.  Slowly rotating neutron star, spacetime described by Schwarzschild metric

 Dominating static exterior magnetic field generated by intrinsic magnetic dipole moment of the star μ perpendicular to the equatorial plane

 Negligible curents and related magnetic field in the disc  Slightly charged orbiting matter

Exact calculations of magnetic non-geodesics correction.  The equation of equatorial circular orbital motion with the Lorentz force

 Two (±) solution for clockwise and counter-clockwise orbital motion  Components of the four-velocity and the orbital angular frequency

Behavior of corrected orbital angular velocity.  Keplerian geodesic limit  The symmetry of ± solutions with respect to simultaneous interchange of Ω orientation and sign of the specific charge. In the next only “+” will be analyzed.  Different behavior for attracting and repulsing region of Lorentz force

 Repulsive Lorentz force lowers Ω  Ω grows in attractive region  Existence of orbits near the horizon  Opposite orientation of Ω under circular photon orbit in attractive region

Epicylic frequencies as a tool for a investigation of a stability of circular orbits  Existence of epicyclic behavior implies stability of the circular orbits Aliev and Galtsov (1981, GRG) aproach to perturbate the position of particle around circular orbit

 The radial and vertical epicyclic frequencies in the composite of Schwarzschild spacetime geometry and dipole magnetic field

Epicylic frequencies as a tool for a investigation of a stability of circular orbits  In the absence of the Lorenz force new formulae merge into well-known formulae for pure Scharzschild case

 Localy measured magnetic field for observer on the equator of the star

 Model case

Behavior of the radial and vertical epicyclic frequency  Different regions of stability with respect to radial and vertical perturbations

 The radial epicyclic frequency grows with specific charge, while the vertical one displays more complex behaviour.

Global stable region  Region of global stability as a intersection of regions of vertical and radial stability.  Significant shift of ISCO orbit, position of magnetic ISCO orbits strongly depends on specific charge.  Critical specific charge qcrit lying in the repulsive region  for q< qcrit MISCO is given by ωθ=0 curve  for q> qcrit MISCO is given by ωr=0 curve  In the attractive region MISCO is shifted away from the neutron star  In the repulsive region the position of MISCO could be shifted toward to horizon  The lowest MISCO(q=qcrit) at 2.73 M with Ω/2π=3124Hz ( M=1.5 Msun , μ=1.06 x 10-4 m-2)

Different behavior of the corrected frequencies

Origin of the nodal precession  Violence of spherical symmetry - equality of the orbital frequency and the vertical epicyclic frequency  Lense – Thirring like nodal precession frequency  Different phase in attractive and repulsive region

Repulsive region

Attractive region

Implications for the relativistic precession Khz QPO model  Desired correction coresponds to the behavior of frequencies for small charge of orbiting matter in attractive region  Significant lowering of radial epicyclic frequency  Significant shift of marginaly stable orbit ( MISCO) away

 Weak violence of spherical symmetry

Applications to the relativistic precession kHz QPO model  Lowering of NS mass estimate obtained by the fitting of twin kHz QPO data

 Lowering of NS mass estimate obtained from highest observed frequency of the source ( ISCO estimate)

Perspektiva dalšího výzkumu: Magnetické pole pomalu rotující neutronové hvězdy  Lenseova-Thiringova metrika

 Dipólové magnetické pole jako řešení Maxwellových rovnic na pozadí LT metriky  Shodná složka čtyřpotenciálu , navíc časová složka dopovídající elektrickému poli indukovanému rotací hvězdy

 Nový parametr pole : moment hybnosti hvězdy, dán distribucí hmotnosti (stavovou rovnicí hvězdného materiálu) a frekvencí rotace povrchu .  Složitější řešení pro atraktivní a repulzivní Lorentzovu sílu a současně pro korotující i protirotující orbity nabitých testovacích částic .  Zahrnutí vlivu rotace umožňuje fitování kHz QPO dat konkrétních zdrojů.

Odpovědi na otázky oponentů

posudek doc. RNDr. Oldřicha Semeráka, Dr. 1 ćç ççč3M ± 2

ö 9M 2 - 8b ÷ ÷ ÷ ř

•

Poloha fotonové orbity

•

Idealizovaná simulace spíše ilustruje zpracování Dopplerova jevu, význam frame-draggingu je dán velikostí J, která nabyla pro hračkový model hvězdy specifikována. Modul raytracingu je koncipován s možností nahrazení kompatibilním modulem pro „rotující“ axiálně symerické prostoročasy.

•

Korelace twin-peaks kHz dat a RP model : Data pro jednotlivé zdroje jsou klastrovány v okolí poměrů malých celých čísel a naznačují tak přítomnost preferovaných orbit. Odhady hmotností a spinů na základě orbitálních interpretací jsou řádově správné. Pro realistické fitování dat konkrétních zdrojů je nutno zahrnout negeodetické korekce (viskozita, tlakové gradienty, elektromagnetické síly).

•

Tvar lineární závislosti nebyl testován a byl převzat z :

± rph =

Odpovědi na otázky oponentů

posudek doc. RNDr. Oldřicha Semeráka, Dr.

•

Radiální perturbace : V sféricky symetrickém řešení radiální perturbace nemění moment hybnosti a tedy i tvar efektivního potenciálu, v axiálně symetrické metrice je situace složitější. V ergosféře Kerrova řešení je pojem radiálni perturbace diskutabilní a je skutečně vhodnější hovořit o perturbaci neměnící moment hybnosti.

•

Globálně stabilní orbita : orbita stabilní vůči radiálním i vertikálním perturbacím polohy.

•

Citace v kapitole 1 : Byly navazováno na citované zásadní práce

Citace přílohy 1 z NASA ADS

•

Zahrnutí spinu neutronové hvězdy umožní realističtější modelování magnetického pole a i orbit nabitých testovacích částic

Odpovědi na otázky oponentů

posudek doc. RNDr. Vladimíra Karase, DrSc. •

Současná verze počítá pouze změny celkové fotometrické intenzity a používá aproximační proceduru ke změně RGB komponent pro vizualizaci. Spektrální rozklad může být předmětem dalšího vývoje.

•

Rozhraní modulu relativistického raytracingu konkrétním prostoročase.

•

Perturbace metriky magnetickým polem Einsteinovy rovnice

1 8 G R   Rg   4 T  2 c

Tenzor energie hybnosti E-M pole

T

Hustota energie magnetického pole

mn

=

je navrženo tak, aby nebylo závislé na

, ve vakuu R   0

ö 1 ćç ma n 1 mn a b ÷ çF F a - g F Fa b ÷ ÷ ÷ 4p çč 4 ř

e = T 00 =

1 E2 + B2 8p

(

)

Hvězda s M=1.5 Msun = 2.22 km , R=4M

NS s B na povrchu=107 Gauss=2.875 x 10-16 m-1 = 6.325 x 10-12 M-1 magnetar s B na povrchu =1012 Gauss=2.875 x 10-11 m-1 = 6.325 x 10-8 M-1

Perturbace vakuového řešení magnetickým polem NS jsou zcela nevýznamné.