obecné definice, princip tepelného stroje izochorický děj izobarický děj izotermní děj adiabatický děj Joule-Thomsonův koeficient

 obecné definice, princip tepelného stroje  izochorický děj  izobarický děj  izotermní děj  adiabatický děj  Joule-Thomsonův koeficient  příklady na procvičení

Carnotův cyklus

Princip tepelného stroje: 1/ médium o teplotě T2 přijme teplo q1 od tepelného zásobníku a vykoná práci w1 2/ adiabatická expanze – vykoná se práce w2 3/ příjem práce w3 a předání tepla q3 okolí (= chladnější médium) 4/ adiabatická komprese – příjem práce w4 …. návrat do počátečního stavu vyměněné teplo:

q  q1  q2

vykonaná práce:

w  w1  w2  w3  w4

cyklus:

U  q  w  0

předpoklad vratných dějů ! předpoklad: množství náplně se nemění opačný princip: chladničky

Tepelný stroj

např. pára z parního kotle – vede se do parní turbiny

Tepelný stroj zprostředkovává výměnu q + w

ustálený stav → přivedená energie = odvedená energie; konstantní hmotnostní průtok

1 1 U1  p1V1  m1v12  m1gh1  q  wt  U 2  p2V2  m2v22  m2 gh2 2 2 U1  p1V1  q  wt  U 2  p2V2 H1  q  wt  H 2

H  H 2  H1  q  w

jiná forma I. věty TD zákon o zachování energie u tepelných strojů a ustáleným tokem média (zanedbány potenciální a kinetická energie proudů)

Technická práce wtech (w+) objemová práce vratné děje

dwobj   pdV V2

wobj    pdV V1

p=f(T,V)

p2

1/ nasávání otevřený ventil Vt1, tlak p1, objem V0→ V1

p1

2/ komprese (izotermní nebo adiabatická) uzavřené ventily V1 → V2

wtech    Vdp

p1 → p2

3/ vytlačování

wt  wnasavani_ plynu  wkomprese  wvytlaceni_ plynu wt   p1 V1  V0  

otevřený ventil Vt2, tlak p2, objem V2 → V0

V2

 pdV  p2 V0  V2 

V1

wt  p2V2  p1V1 

V2

 pdV

V1

Technická práce wtech (w+)

H  H 2  H1  q  w



w+…vztažená na průchod 1 molu tepelným strojem - lze vyjádřit pomocí objemové práce:

U  q  w

H  U  p2V2  p1V1  q  w  p2V2  p1V1  q  w  w   p2V2  p1V1  w  p2V2  p1V1 

V2

 pdV

V1

w+…technická práce 

integrace per partes:

p2



w  Vdp p1

od objemové se liší o rozdíl objemových prací potřebných na vtlačení a vytlačení pracovního média do tepelného stroje ideální plyn, izoterm. děj

w +=w

Praxe: rozdíl může být velký ( vznik či zánik plynné fáze..parní turbina)

qw

nejsou stavové veličiny  jejich velikost při přechodu ze stavu 1 na stav 2 závisí na cestě

Výpočet q, w, w+ Děj

q=

w=

w+ =

Izochorický

U = U2 – U1

0

V (p2 – p1)

Izobarický

H = H2 – H1

- p (V2 – V1)

0

0

U = U2 – U1

H = H2 – H1

T S

A = U - T S

G = H - T S

Adiabatický Izotermní (vratný)

IZOCHORICKÝ DĚJ

V=konst.

př. autokláv…..výpočet tepla na ohřátí nebo ochlazení média

T2

q  ΔU  U 2  U1  U T2 ,Vm , x   U T1 ,Vm , x   cVm dT



T1

pro výpočet nutno znát teplotní závislost cV …..obtížné (obvykle známe pro ideální plyn)

 U je stavová funkce….můžeme zvolit cestu

T2

T1

IZOCHORICKÝ DĚJ

1/ izotermní expanse (T1)…..1→1´

T2

p….p1→0

ΔU1  U T1 , p1  0  U T1 , p1    U d T1 , p1 

T1

2/ ohřátí při nekonečně velkém objemu = ve stavu ideálního plynu

T2 ΔU 2   cV dT T1 m

T2

q  cV m dT  U d T2 , p2   U d T1 , p1 



3/ izotermní komprese (T2)…2→2´ p…. 0→ p2

T1

ΔU 3  U T2 , p2   U T2 , p  0  U d T2 , p2  T2

častý případ… plyn, známe objem  stavové rovnice Redlich – Kwong:



ΔU  cV m dT  T1 T2

Vm 3 a T1  T2 ln  2b Vm  b T1 T2

 cV m dT  R T2 QU 2  T1 QU 1 



T1

IZOBARICKÝ DĚJ

p=konst. T2

q  ΔH  H 2  H1  H T2 ,Vm , x   H T1 ,Vm , x   c pm dT



T1

T2

q  ΔH   c pm dT  H d T2 , p   H d T1 , p  T1 Výpočet ΔH: = nutno určit počátečný a konečný objem 1/ výpočet konstant stavové rovnice 2/ výpočet objemu T1,p1 →V1, T2,p2 → V2 3/ výpočet ΔH*, Hd1(T1, V1), Hd2(T2, V2) 4/ ΔH

IZOBARICKÝ DĚJ Výpočet ΔH se změnou fáze: př. přechod z T1 na T2 při tlaku

T2

p1o

q  ΔH   c pm dT  H d T2 , p   H d T1 , p 

(tlak nasycených par při T1)

při T1 - nl molů kapaliny a ng molů plynu 1/ expanze ng molů plynné fáze při T1 k p→0



T1



ΔH 1  n g H k T1 , p  0   H g T1 , p  

  n g H dg T1 , p 

2/ expanze nl molů kapalné fáze při T1 k p→0

ΔH 2   nl H dl T1 , p  3/ ohřev všech molů (g+l) z T1 na T2 při p=0



ΔH 3  n  n g

 c T2

L

 pm

dT

T1

4/ komprese z p=o na na tlak p při T2





ΔH 4  n g  n L H d T2 , p  Celková změna entalpie ΔH

ΔH  q  ΔH 1  ΔH 2  ΔH 3  ΔH 4 



 n n g

 c T2

L

T1

 pm





dT  n g  n L H d T2 , p   n L H dL T1 , p   n g H dg T1 , p 

IZOTERMNÍ DĚJ T=konst. VRATNÝ IZOTERMNÍ DĚJ

w  ΔU  q  ΔU  T ΔS  ΔA

q  T ΔS

w  ΔH  q  ΔH  T ΔS  ΔG

w  U d T , p2   U d T , p1   q 

  p q  T  R ln 2  S d T , p2   S d T , p1  p1  

 H d T , p2   H d T , p1   RT z2  z1   q

w  H d T , p2   H d T , p1   q

Děj Izotermní (vratný)

q=

w=

w+ =

T S

A = U - T S

G = H - T S

Nutno určit počáteční a konečný stav (p1, p2, z1, z2) – většinou stavové rovnice

VRATNÝ ADIABATICKÝ DĚJ Poissonovy rovnice (viz FCH):

p V   p1 V1 T V   1  T1 V1  1 1

Tp





1

 T1 p1 

cp cV Poněvadž je cp > cV, platí vždy κ > 1. Pro jednoatomové plyny se klade κ = 1,67, pro dvouatomové plyny κ = 1,4 a pro víceatomové plyny se klade obvykle κ = 1,33.

 V   1  w  ΔU  cV T2  T1   cV T1  1   1 V  2  

 V   1  w  ΔH  c p T2  T1   c p T1  1   1 V  2  

VRATNÝ ADIABATICKÝ DĚJ

S T1 , p1   S T2 , p2 

Reálné chování: adiabatická křivka = isoentropa

Výpočet práce (w nebo w+)…. nutno určit konečný stav: S1=S2

1/

S  Tst , pst  

T1

c p

T

dT  R ln

Tst

 S  Tst , pst  

T2

c p

T

p1  S d T1 , p1   pst

dT  R ln

Tst

neznáme

T1, p1 → T2, p2=? 2/

Děj

Adiabatický

p2  S d T2 , p2  pst

T



2 cp p2 R ln  S d 2    dT  S d 1 p1 T T1

q=

w=

w+ =

0

U = U2 – U1

H = H2 – H1

Joule – Thomsonův jev Vnitřní energie reálného plynu na rozdíl od ideálního plynu závisí jak na teplotě, tak i na objemu plynu. Tuto skutečnost dokazuje Joule–Thomsonův jev. Nastává při protlačování reálného plynu v tepelně izolované trubici přes pórovitou zátku.

Tlak p1 větší než p2 způsobí protlačení plynu přes škrtící zátku, jejíž pórovitá struktura způsobuje škrcení plynu, takže nevzniká vírové proudění a také rychlost proudění je malá. Při ustáleném proudění můžeme pozorovat, že plyn při expanzi přes zátku bude mít na obou stranách zátky různé teploty. Jev, při kterém plyn při expanzi přes zátku mění teplotu při změně objemu se nazývá Joule–Thomsonův jev. Experimentálně bylo zjištěno, že všechny reálné plyny se při dostatečně vysokých teplotách při Joule–Thomsonově procesu ohřívají (T2 > T1), při dostatečně nízkých teplotách (a ne příliš vysokých tlacích) se ochlazují (T2 < T1). Existuje tzv. inverzní teplota, při které je T1 = T2. Inverzní teplota závisí na druhu plynu a tlaku, např. pro vodík je to asi -80 °C (nad touto teplotou se expandující vodík zahřívá, pod ní se ochlazuje), pro helium je tato teplota asi -258 °C, pro vzduch, kyslík a dusík je to několik set stupňů celsia.

Joule – Thomsonův koeficient [Pa-1]

 T 

 JT     p  H

Využití: zkapalňování plynů v petrochemii

μJT

δp

δT

Plyn se

T < Tinv

>0

<0

<0

ochlazuje

T > Tinv

<0

<0

>0

ohřívá

Joule – Thomsonův koeficient [Pa-1]

vyjádření:

 JT

 JT

 H     p  T , x   cp

  V    V  T   T  p,x    cp

Vliv tlaku

  p   p   T  V        T  V    T , x  V ,x    p     c p   V T , x   

Pro μJT>0 : při volné expanzi plynu (škrcení) dochází k poklesu teploty, který je úměrný μJT.

  p   p    V   0 T   T  V    T , x   V ,x

diagram … inverzní křivka μJT=0 inverzní teplota μJT=0 pro p→0

Redlich-Kwong: inverzní křivka

3

T 20

inverzní teplota: lim pro V→

2

 5a  V  b   0,6b     1   V   2bR  V  b    5a  Ti     2bR 

2

3

 5,34Tk

Joule – Thomsonův koeficient - odhady

nízké tlaky: viriální rozvoj

 JT

  B   T  B      T  x    cp

např. Tsonopoulos (pro nepolární látky)

 RT  B  T   B   c  T  x  pc



 0  f  f 1  



TB..teplota, při níž je B=0

f 0  0,1445  0,66 Tr  0,4155 Tr2  0,0484 Tr3  0,05463 Tr8 f 1  0,0673  0,993 Tr2  1,692 Tr3  0,072 Tr8

Nejlépe…stavové rovnice, resp. Q-funkce

PŘÍKLADY K PROCVIČENÍ Příklad 7-1 Vypočtěte teplo pro uskutečnění izobarického děje. Náplní autoklávu je 10 molů CO2, který se při atmosférickém tlaku ohřívá z teploty 310 K na teplotu 365 K. Jaké chyby se dopustíme, pokud zanedbáme reálné chování plynu?

Tk = 304,13 K, pk = 7,377 MPa,  = 0,228. Příklad 7-2 Pro data uvedená v příkladu 6-3 vypočtěte kompresní (technickou) práci, kterou musíme dodat na 1 mol CO2 v adiabaticky a vratně pracujícím kompresoru. Dále vypočtěte, jaké množství tepla se musí odvést ve výměníku za kompresorem, má-li se plyn po kompresi izobaricky ochladit na původní teplotu. (310,3 K; 110,5 kPa)  (798 K; 14,74 MPa)