Numerické řešení 2D stlačitelného proudění s kondenzací Michal Seifert
Úkoly diplomové práce ●
Popsat matematické modely proudící tekutiny
●
Popis numerických metod založených na metodě konečných objemů
●
●
●
Porovnání použitých numerických metod na modelu stlačitelného nevazkého proudění Popis modelu kondenzace přehřáté páry Získání numerických výsledků pro případ dvoufázového transsonického proudění stlačitelné nevazké tekutiny Barschdorffovou dýzou.
Matematický model proudící tekutiny Model nevazkého stlačitelného proudění je popsán systémem Eulerových rovnic, vyjadřuje zachování hmotnosti, hybnosti a energie tekutiny
[ ] [ ] [ ][]
u u 0 v u ∂ u ∂ u 2 p ∂ 0 = ∂t v ∂x ∂ y v 2 p 0 u v e 0 e pu e p v symbolicky:
∂ w ∂ f ∂ g = Q ∂t ∂x ∂y
je uzavřen rovnicí odvozenou pro ideální plyn
p = −1e −
1 u 2 v 2 2
Transsonické proudění páry Formulace úlohy: Na výpočtové oblasti ∈ℝ hledáme řešení 2D transsonického 4 2 proudění v dýze. Řešení w : ℝ , ⊂ℝ musí splňovat integrální formu ∂f ∂g ∂ w dV = −∬ − Q dV ∬ ∂t V ∂ x ∂ y V pro libovolnou oblast V ⊂ , počáteční podmínku w t =0 = w 0 a okrajové podmínky podél ∂ okrajové podmínky jsou předepsány s ohledem na typ hranice: ●
Vstup: subsonický tj. předepíšeme 3 hodnoty neznámé a jednu extrapolujeme
●
Stěna: nepropustnost stěny
●
Výstup: -supersonický tj. nic
nepředepisujem pouze extrap. -subsonický: předepíšeme 1 hodnotu ost. extrap.
Numerická metoda-metoda konečných objemů Metodu konečných objemů můžeme zapsat v semidiskrétním tvaru: k =4 dwi 1 =− F i , k y i , k − Gi , k x i , k ∑ dt ∣i∣ k =1
kde F
,G jsou numerické toky.
Diskretizaci v čase můžeme provést například pomocí Eulerovy dopředné diference
d w i t W n1 − W ni i ≈ dt tn
Metoda konečných objemů Použité numerické toky: ●
Laxovo – Fridrichsovo schéma
●
AUSM schéma
●
HLLC (Harten, Lax, van Leer, C – contact) schéma
Výpočet proveden na strukturované síti:
Numerické výsledky 1 - fázové proudění
●
Výpočet byl proveden na strukturované síti o 201x32 konečných objemech v dýze.
●
Parametry na vstupu a výstupu:
●
Výsledky rozložení hustoty jsou zobrazeny podél osy dýzy.
p 0 = 78309 [ Pa ] , T 0 = 373,15 , p p = 58000[ Pa ]
2D výsledky – rozložení hustoty, L-F, AUSM, HLLC
Transsonické proudění páry s kondenzací – model 1
●
Matematický model založený na Hillově metodě momentů je tvořen systémem PDR:
[ ] [ ] [ ][
0 u u 0 2 vu u u p 0 2 v uv v p 0 e e pu e p v ∂ ∂ ∂ 4 = 4 3 rcr l J 3 Q 2 r˙ l ∂t ∂x u ∂y v 3 3 Q2 Q2 u Q2 v 2 r cr J 2 Q 1 r˙ Q1 Q1 u Q1 v r cr J Q 0 r˙ Q0 Q0 u Q0 v J ●
uzavřený rovnicí pro tlak: p= −11− [e− 1 u 2 v 2 L] 1−1 2
kde: − je vlhkost , Q 2 = ∑ r2i , Q 1 = ∑ ri ,Q 0 = ∑ r0i ,
]
Popis veličin
Tento model pracuje s průměrným poloměrem kapky:
r = Q 2 /Q 0
Termofyzikální veličiny: ●
●
●
●
J udává počet nově vzniklých kapek v jednotce objemu za jednotku času a podle 2 Beckera a Doringa: 4 r2cr 2 v J= exp − 3 3 k T B v mv l 2 r = r cr Udává velikost poloměru kapky v okamžiku jejího vzniku cr L l ln T s / T r˙ Udává změnu poloměru kapky s časem, podle Valhy v T s−T r−r r˙ = ⋅ 2 cr L l 13.18 Kn r Ostatní fyzikální veličiny: jsou polynomiálně závislé na teplotě T, nebo jsou to fyzikální konstanty
Numerická realizace symetrického rozkladu operátoru Jelikož časové měřítko samotné kondenzace je mnohem menší než měřítko konvekce je použita metoda rozkladu operátoru tj. řešíme postupně tyto rovnice: ∂ w=Q ∂t ∂ ∂ ∂ w =− f− g ∂t ∂x ∂y ∂ w=Q ∂t
navržená numerická metoda může být popsána následujícími rovnicemi: W 0ij
= W ijn
t , 2N N 1 N W ij = FV W ij , t t W ijk1 = RK W kij , , 2N n1 2N1 W ij = W ij W ijk1 = RK W kij ,
kde N=
t
k =0,... , N −1
k =N 1, ... ,2 N
Numerické výsledky – průběh tlaku
Na následujících obrázcích jsou zachyceny průběhy tlaku, průměrného poloměru a vlkosti v ose Barschdorffovy dýzy:
Výsledky v ose dýzy – průměrný poloměr kapky, vlhkost
2D výsledky - hustota
Numerické výsledky - tlak
●
Předchozí výsledky byly získány pro = 1.32
●
Nové výsledky s = T
Kondenzace páry – model 2
●
●
Jelikož r˙ závisí na T a r → pro různě veliké kapky je různá rychlost růstu Budeme proto uvažovat spojité spektrum kapek, které apriorně odhadneme pomocí log – normálního rozdělení četnosti a diskretizujeme konečným počtem tříd M. N r − udává počet kapek o velikosti r v 1 kg směsi
i = 1....M
Model 2
●
Log -normální rozložení:
−ln 2 r /r g 1 N r = ⋅exp 2 r⋅ln g 2⋅ 2ln g N r = N r ⋅Q 0
●
Řešené rovnice:
[ ] [ ] [ ][
0 0 0 0
u u 2 vu u u p 2 ∞ v u v v p 4 3 2 r J 4 r N r r˙ dr ∫ e e p u e p v cr l l ∂ ∂ ∂ = 3 0 ∂t ∂x u ∂y v ∞ Q2 rcr 2 J 2 ∫ r N r r˙ dr Q2 u Q2 v 0 Q1 Q1 u Q1 v ∞ rcr J ∫ N r r˙ dr Q0 Q0 u Q0 v 0
J
]
Model 2
●
Aproximace integrálů na pravé straně pomocí obdélníkové metody b
M
N r i ⋅r˙ r i r⋅Q 0, ∫ N r ⋅r˙ dr ≈ ∑ a b
i=1 M
∫ r⋅N r ⋅r˙ dr ≈ ∑ r i⋅N ri ⋅r˙ ri r⋅Q 0, a b
i=1 M
N ri ⋅r˙ r i r⋅Q 0, ∫ r2⋅N r⋅r˙ dr ≈ ∑ r2i ⋅ a
i=1
r = ri1 − ri
Numerické výsledky – tlak, průměrný poloměr a vlhkost v ose dýzy
2D – numerické výsledky - hustota
závěr ●
●
●
Schéma L-F díky vysoké numerické vazkosti řešení příliš vyhlazuje a při výpočtu kondenzace je tedy prakticky nepoužitelné Lepší shoda s exprerimentem při = T Použitím modelu 2 získáme kapky s až dvojnásobným poloměrem ve srovnání s modelem 1.
