NOSNÍK NA PRUŽNÉM PODLOŽÍ (WINKLEROVSKÉM) Uvažujeme spojitý nosník na pružných podporách. Pružná podpora - odpor je úměrný zatlačení. Pružné podpory velmi blízko sebe - jejich účinek lze nahradit spojitou reakcí úměrnou svislému posunu spodního okraje nosníku. Takto spojitě podepřený nosník nazýváme nosníkem na pružném podloží. Jeho řešení se uplatňuje u konstrukcí s kontaktem se zeminou (např. základové konstrukce). V souvislosti s řešením napětí v kolejnici zavedl Winkler v r. 1867 předpoklad, že normálné napětí, tj. reakce zeminy v základové spáře, je úměrné zatížení pásu v příslušném jeho průřezu.
ZÁKLADNÍ VZTAHY Vyšetřovaný nosník spočívá po celé délce i šířce na pružném podkladu. Vlivem vnějšího zatížení se nosník deformuje a je zatlačován do podkladu. přitom působí mezi nosníkem a podložím síla, jejíž poměrnou velikost označíme p[N/m] a je v každém průřezu úměrné zatlačení. q(x)
q(x)∙dx q(x)
dx
y
b p(x)∙dx
Zatížení působící na nosník
Nosník na pružném podkladu
q(x)∙dx
pky k bc
T M
M+dM T+dT p(x)∙dx dx Síly působící na element nosníku
k je součinitel stlačitelnosti [N/m2] b je šířka nosníku [m] c je modul stlačitelnosti pružného podkladu [N/m2]
Můžeme napsat podmínku rovnováhy vnějších a vnitřních sil a s použitím Schwedlerovy věty a diferenciální rovnice ohybové čáry obdržíme diferenciální rovnici ohybové čáry d M dx EI M - y EI
dy dx dM T dx
dT q x dx
Z teorie pružnosti diferenciální rovnice průhybu nosníku konstantní ohybové tuhosti pro I - konst.
d 4 y x * * x je obecné zatížení působící na nosník. kde EI p x p 4 dx V našem případě působí na nosník shora zatížení q x a zespodu zatížení p x : p * x q x p x q x k y x
kde EI je ohybová tuhost
d 4 yx EI ky x q x 4 dx
Rovnice průhybu nosníku na winklerovském podloží má potom tvar d4y k q x y , dx EI EI
což je nehomogenní obyčejná rovnice 4.řádu. Řešení se skládá z obecného řešení homogenní diferenciální rovnice a partikulárního integrálu nehomogenní rovnice.
Partikulární řešení y y0 x
d 4 q x Je-li q x takové, že platí 0 . pak 4 dx
1 y0 x q x k
Obecný integrál homogenní rovnice d4y k y0 4 EI dx Zavedeme proměnnou x r , 4 EI kde r 4 je charakteristická veličina mající rozměr délky a novou k x proměnnou (poměrná pořadnice). r Obecný integrál hledáme ve tvaru y x A e s x kde An - libovolné konstanty n
n
n
s n - kořeny charakteristické rovnice
Charakteristická rovnice má tvar 4 4 s 4 0 resp. s4 a 0 r jejíž kořeny s1, 4 1 i a, s2,3 1 i a jsou komplexně sdružené. Řešení homogenní diferenciální rovnice lze potom zapsat ve tvaru y x e C1 cos C2 sin e C3 cos C4 sin ,
kde C1 až C4 jsou integrační konstanty, a lze jej přepsat na tvar y x A1 cosh cos A2 cosh sin A3 sinh cos A4 sinh sin
kde A1 až A4 jsou integrační konstanty.
Z výrazu pro ohybový moment nosníku M d2y d2y 2 2 2 EI dx r d po úpravě dostaneme
d2y M EI 2 2 r d
M B1 cosh cos B2 cosh sin B3 sinh cos B4 sinh sin Obdobně pro posouvající sílu dM dM d3y T EI 3 3 dx r d r d
Stálé zatížení Účinek libovolného zatížení podle zákona superpozice lze určit tak, že se stanoví vliv každého břemene zvlášť a jednotlivé účinky se sečtou. Proto postačí znát řešení nekonečně dlouhého nosníku zatíženého jedním břemenem nebo jedním momentem.
ZATÍŽENÍ JEDNÍM BŘEMENEM x P
x
3 x0 4
e
x0 r
y
e
1 0
T
P 2
Graf funkce
P
T
P 2
Průhyb nosníku na pružném podloží pod osamělým břemenem
Pro bod střednice nosníku, který je nekonečně vzdálen od místa zatížení, platí: a) x : b) x 0 :
dy dy dy 0 resp. 0 dx rd d dy dy dy P 0 resp. 0 T dx rd d 2
y0
Z podmínky a) dostaneme dy C3e cos C4 e cos C3 C4 e cos d e 0 C3 , C4 libovolné; e proto musí C1 C2 0 b)dále pro x r 0 tedy pro 0 dy C3 e cos C3 e sin C4 e sin C4 e cos 0 d 0
0
C3 C4 0
Dosazením do rovnice pro průhyb y x e C1 cos C2 sin e C3 cos C4 sin y C3e cos sin
C3 C4
Z podmínky pro posouvající sílu d3y T EI 3 3 r d y C3e cos sin dy C3 e cos sin e sin cos 2C3e sin d d2y 2 C e sin e cos 3 2 d d3y 2 C e sin e cos e cos e sin 4 C e cos 3 3 3 d pro x r 0 tedy pro 0 4C3 4 EI d3y P P r3 kde r 4 T EI 3 3 EI 3 C3 2 8EI k r d r
Potom pro průhyb nosníku na pružném podkladu zatíženém jedním břemenem platí: P r 3 yx e cos sin 8EI Pro první derivaci podle x platí dy dy P r3 e cos sin e cos sin dx rd r 8EI
P r 2 P r 2 e 2 sin e sin 8EI 4 EI Pro ohybový moment dostaneme
d2y d2y M EI 2 EI 2 2 dx r d Pr P r e sin e cos e cos sin 4 4 P r M e cos sin 4
Podobně pro posouvající sílu dM 1 dM P T e cos sin e sin cos dx r d 4 P T e cos 2
Pro průběh vnitřních sil, průhybu a pootočení platí pro x 0 : y x y x y x y x
M x M x
T x T x
symetrie a antimetrie
ZATÍŽENÍ MOMENTEM x0 r M
0 M
M0
M 2
M0
M 2
Průhyb nosníku na pružném podkladu pod osamělým momentem
Opět platí
C1 C2 0
a dále pro
x 0:
y 0,
M0
M . 2
Potom y x e C3 cos C4 sin y x e C4 sin
y0
a pro
C3 0
Moment vyjádříme opět pomocí druhé derivace průhybu d2y d d EI d M x EI 2 2 EI e C sin C e sin e cos 4 4 rd rd r rd r d
EI EI C e sin e cos e cos e sin C e 2 cos 4 4 2 2 r r
Pro okrajovou podmínku
x 0 resp. 0
EI M C 2 4 2 r2
r2 C4 M 4 EI
Z toho
je
M x M 0
r 2 A rovnice průhybu nosníku má tvar yx M e sin . 4 EI M 2 EI kr 2 y x e sin . Protože platí lze napsat 2 2 kr r 2
M 2
dy M 3 e cos sin dx kr
M
Z toho potom: ohybový moment
posouvající síla
M e cos 2
T
M e cos sin 2r
Pro průběh vnitřních sil, průhybu a pootočení platí pro x 0 : y x y x y x y x
M x M x T x T x
NOSNÍK JEDNOSTRANNĚ NEOMEZENÝ Vychází se opět z obecného integrálu ZATÍŽENÍ SILOU NA KONCI NOSNÍKU P
0
y
x0/2
x0
Konec nosníku zatížený silou
dv Pro y0 0 dx Z podmínek x 0 se dostane x M 0, T P Pr 3 2 P Tedy C4 0 C3 2 EJ kr Potom 2 P y e cos kr dy 2P 2 e (cos sin ) dx kr M Pr e sin
T Pe (cos sin )
ZATÍŽENÍ MOMENTEM NA KONCI NOSNÍKU Z podmínek x 0 se dostane M M, T 0 Mr 2 2 M Tedy C4 C 3 2 2 EJ kr M Potom 0 x y x0/4
x0
Konec nosníku zatížený momentem
2 M e (cos sin ) kr dy 4M 2 e cos dx kr M Me (cos sin ) y
T
2 M e sin r
PROBLÉMY ŘEŠENÍ NOSNÍKU NA WINKLEROVSKÉM PODLOŽÍ 1. Winklerovské podloží se deformuje přímo pod zatížením, kdežto skutečné
Winkler
skutečnost
Deformace podloží pod zatížením podloží vykáže i deformaci mimo oblast zatížení. 2. Nosník rovnoměrně zatížený po celé délce se zaboří do podloží, aniž se deformuje.
3. Zanedbává se vliv smykových napětí na styčné spáře.
Winkler
skutečnost Přetvoření nosníku pod zatížením
ZÁVĚR: 1. Poměrně dobré výsledky poskytuje winklerovské podloží pro koncentrovaná zatížení ( osamělá břemena ). 2. Nepřesnost výsledku je tím větší, čím výrazněji se deformace skutečného podloží šíří i mimo oblast zatížení. Dobré výsledky jsou pro podloží nekohezní ( písek, štěrk ). 3. Některé nedostatky odstraní idealizace podloží pružnou polorovinou nebo pružným poloprostorem.
Příklad - Nosník konečné délky na pružném podkladu Určete průběhy vnitřních sil na nosníku uloženém na pružném podloží, zatíženém symetricky dvěma osamělými silami
P
3
P
3
3
3
První krok – nekonečně dlouhý nosník Zatížíme nekonečný nosník každou silou zvlášť, počátek souřadnic nekonečného nosníku je transformován do bodu působiště síly P. V bodech, kde jsou konce skutečného nosníku spočítáme M, N a T T1 M1
P
M2 T2
T3 M3
P
M4 T4
Druhý krok – polonekonečný nosník Řešíme polonekonečný nosník zatížený jednou zleva a podruhé zprava vypočtenými posouvajícími silami s opačným znaménkem T=-T1-T3
T=-T2-T4
Řešíme polonekonečný nosník zatížený jednou zleva a podruhé zprava vypočtenými ohybovými momenty s opačným znaménkem M=-M1-M3
M=-M2-M4
Třetí krok – superpozice (1. + 2. krok). Sečtením průběhů z 1. a 2. kroku dostaneme výsledné průběhy vnitřních sil na nosníku konečné délky podle zadání.
1. krok Průběhy průhybu, ohybového momentu a posouvající síly na nosníku nekonečné délky od zatížení osamělou silou. Průběh vynesen jen do konce skutečného konečného nosníku.
1. krok Průběhy průhybu, ohybového momentu a posouvající síly na nosníku konečné délky od symetrického zatížení osamělými silami.
2. krok Průběhy průhybu, ohybového momentu a posouvající síly na nosníku konečné délky od zatížení silou na levém konci nosníku. Síla je stejně veliká, ale s opačným znaménkem, jako posouvající síla od zatížení na nekonečném nosníku v místě konce nosníku.
2. krok Průběhy průhybu, ohybového momentu a posouvající síly na nosníku konečné délky od zatížení momentem na levém konci nosníku. Moment je stejně veliký, ale s opačným znaménkem, jako ohybový moment od zatížení na nekonečném nosníku v místě konce nosníku.
2. krok Průběhy průhybu, ohybového momentu a posouvající síly na nosníku konečné délky od zatížení silami na koncích nosníku. Síly jsou stejně veliké, ale s opačnými znaménky, jako posouvající síly od zatížení na nekonečném nosníku v místech konců nosníku.
2. krok Průběhy průhybu, ohybového momentu a posouvající síly na nosníku konečné délky od zatížení momenty na koncích nosníku. Momenty jsou stejně veliké, ale s opačnými znaménky, jako ohybové momenty od zatížení na nekonečném nosníku v místech konců nosníku.
3. krok Výsledné průběhy průhybu, ohybového momentu a posouvající síly na nosníku konečné délky zatíženém symetricky osamělou silou
