nilai) vector u ditentukan dengan rumus. maka panjang vector

VEKTOR

Bab 20

a. Penjumlahan dan Pengurangan Vektor.      OA  a ; OB  b maka OA  AB  OB    AB  OB  OA    AB  b  a

a c a  c   a  c  u    dan v    maka u  v          b d  b  d  b  d  Contoh :

𝑥 3 8 Tentukan nilai x dan y dari 2 𝑦 + 4 = −3 𝑦 −1 Jawab : 2𝑥 + 12 = −24 → 𝑥 = −18 2𝑥 + 12 −24 1 → = 8 + 4𝑦 = 3 → 𝑦 = −1 2 8 + 4𝑦 3 Jadi nilai x = - 18 dan y = - 1 ½

b. Panjang Vektor

a Misal u    , maka panjang (besar/nilai) vector u ditentukan dengan rumus b

u  a 2  b2 Untuk A( x1 , y1 ) dan B( x2 , y2 ) maka panjang vector

  AB : AB  ( x2  x1 )2  ( y2  y1 )2 𝑙 Misal vector u = li + mj + nk atau 𝑢 = 𝑚 𝑛 Panjang vector satuan dari u adalah 1. Vektor satuan biasa disebut dengan e ditentukan dengan 𝑒=

𝑙 𝑢 1 = 𝑚 𝑢 𝑙 2 + 𝑚 2 + 𝑛2 𝑛 167

Contoh : 6 Diketahui 𝑣 = −3 0 Tentukan Vektor satuan v Jawab : 𝑣 = 62 + −3 2 + 02 = 3 5 𝑣 Vektor satuan v adalah 𝑒 = 𝑣 2 5 6 5 1 𝑒= 1 −3 = − 5 3 5 0 5 0 2 1 →𝑒= 5 5 𝑖− 5 5 𝑗 c. Perkalian vector dengan scalar. a. Secara geometris. Jika k  R dan u suatu vector , maka perkalian vector u dengan bilangan real k ditulis sebagai c  ku . Panjang vector c dama dengan k kali panjang vector u - Jika k > 0 , maka vector c searah dengan vector u - Jika k < 0 , maka vector c berlawanan arah dengan vector u b. Secara Non Geometris a  a   ka  Jika k  R dan u    maka ku  k      b  b   kb  Contoh : 3 1  -5  Jika a    , b    dan c=   , Tentukan panjang u = a + b - c  2   0 4 Jawab : u=a+b–c  3   1   -5   9  =      -      2   0   4   6 

u  92  (6)2  117  3 13

d. Besar Suatu Vektor Hasil Penjumlahan Dan Pengurangan a c ac 2 2 i) Jika u    dan v    , maka u  v     u  v  (a  c)  (b  d ) b d  b  d 

a c ac 2 2 ii) Jika u    dan v    , maka u  v     u  v  (a  c)  (b  d ) b d  b  d  iii) uv

v

 u

uv

168



u iv)

2

2

2

2

uv 

u  v  2 u v cos

u v 

u  v  2 u v cos

u-v -

v

e. Arah Suatu Vektor Hasil Penjumlahan dan Pengurangan Arah suatu vector hasil penjumlahan. uv uv u v   sin  sin(   ) sin 

uv

v





u

Arah suatu vector hasil pengurangan u v u v   sin  sin(    ) sin  Contoh : Diketahui 𝑎 = 6 , 𝑎 − 𝑏 . 𝑎 + 𝑏 = 0 𝑑𝑎𝑛 𝑎. 𝑎 − 𝑏 = 3, maka besar sudut antara vector a dan b adalah …. 𝑎−𝑏 . 𝑎+𝑏 =0 𝑎2− 𝑏2=0 → 𝑏 = 6 𝑎. 𝑎 − 𝑏 = 3 𝑎. 𝑎 − 𝑎. 𝑏 = 3 6 − 𝑎 𝑏 𝑐𝑜𝑠𝜃 = 3 −6 𝑐𝑜𝑠𝜃 = −3 cos 𝜃 = 12 → 𝜃 = 𝜋3 f. Rumus Pembagian Ruas Garis  Jika O adalah sutu titik yang diketahui dan P adalah titik pada ruas garis AB sehingga AP : PB = m : n, maka : B

P A m

OP 

nOA  mOB na  mb  p mn mn

n

 Jika P adalah titik tengah dari ruas garis AB maka : 169

1 1 OP  (OA  OB)  p  (a  b) 2 2

 Jika A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), P( x p , y p ) terletak pada ruas garis AB , sehingga AP : PB = m : n, maka :

xp 

nx1  mx2 ny  my2 dan y p  1 mn mn

 Jika P titik tengah ruas garis AB, maka :

1 1 x p  ( x1  x2 ) dan y p  ( y1  y2 2 2  Sebuah titik P disebut membagi AB didalam dengan perbandingan m : n, Jika AP : PB = m : n dengan m > 0 dan n > 0  Sebuah titik P disebut membagi AB diluar dengan perbandingan m : n, Jika AP : PB = m : - n dengan m > 0 dan n > 0 B P A

-

n

m g. Perkalian vector

cos 

a.b  a b .cos 

a.b ,  (a, b) a b

= a1.b1  a2 .b2  a3 .b3 Jika   900 (a  b)  a.b  0

  lancip maka a.b  0   tumpul maka a.b  0

h. Proyeksi Vektor

a

170

 c

b

Vektor c hasil proyeksi a pada b Proyeksi scalar c 

a.b b

 a.b  Proyeksi vector c   2  .b b   

Hubungan antar Vektor : a. Jika vector u dan v kolinear ( segaris ) maka u = m v Titik A , B dan C dikatakan segaris Kolinear jika AB = m BC dengan m scalar / bilangan real b. Vektor u , v dan w bukan vector nol, tidak kolinear dikatakan coplanar ( sebidang ) dengan vector w , jika dan hanya jika terdapat bidang real m dan n , sedemikian sehingga w = mu + nv

SOAL LATIHAN : 1. Diketahui segitiga PQR dengan P(0, 1, 4), Q(2, –3, 2), dan R(–1, 0, 2). Besar sudut PRQ = …. a. 1200 b. 900 c. 600 d.450 e.300 2. Diketahui a  2 , b  9 , a  b  5 . Besar sudut antara vector a dan vector b adalah …. a. 450

b.600 c.1200 d.13500 e.1500  3  2      3. Besar sudut antara a   2  dan b   3  adalah ….  4   3     a. 180° b.90° c.60° d.30° e.0° 4. Jika a  2 , b  3 , dan sudut ( a, b ) = 120°, maka 3a  2b  .... a. 5 b.6 c.10 d.12 e.13 5. Diketahui a  3 , b  1 , a  b  1 . Panjang vector a + b = …. a.

3

b. 5

c. 7

d.2 2

e.3

6. Diketahui a  6 , ( a – b )( a + b ) = 0, dan a ( a – b )=3. Besar sudut antara vector a dan b adalah …. 171

2     b. c. d. e. 3 6 4 3 2 7. Garis g melalui A(2, 4, -2 ) dan B(4, 1, -1 ) , sedang garis h melalui C(7, 0, 2) dan D(8, 2, 1). Besar sudut antara g dan h adalah … a. 00 b. 300 c. 450 d. 600 e. 900

a.

8. Segitiga ABC dengan koordinat A(2,1,4) ,B(-1, 2, 3) dan c(1, -1 , 2) . Nilai sin CAB = … 1 10 1 1 1 a. b. c. d. e. 109 110 109 110 10 11 11 11 10 9. Jika a  b  2 7 dan a.b = 4 maka a  b  ... a. 2 7

b. 2 6

c. 2 3

d. 2 5 e. 2 2

10. Bila  sudut antara a  2i  4 j  4k dan q  i  3 j  5k maka cos =… 3 5 8 5 a. b. c. d. 7 21 21 23

e.

38 48

11. Besar sudut antara vector 𝑎 = 2𝑖 − 𝑗 + 3𝑘 𝑑𝑎𝑛 𝑏 = 𝑖 + 3𝑗 − 2𝑘 adalah …… 2     a. b. c. d. e. 3 6 4 3 2 ____

12. Diketahui segitiga ABC, dengan A(0, 0, 0), B(2, 2, 0) dan C(0, 2, 2). Proyeksi orthogonal AB pada ____

AC adalah …. a. j  k

b. i  k

c.  i  j

d. i  j  1 k 2

e.  1 i  j 2

13. Diketaui vector a  3i  4 j  4k , b  2i  j  3k , dan c  4i  3 j  5k . Panjang proyeksi vector

(a  b ) pada c adalah …. a. 3 2 b.4 2 c.5 2 d.6 2 e.7 2 14. Diketahui u  (2, 1,1), v  (1,1, 1) Vektor w yang panjangnya 1, tegak lurus pada u dan tegak lurus pada v adalah … 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 a. (0, 0, 1) b. (0, c. (0,  d. ( , , ) e. ( , , ) , ) , ) 2 2 3 3 3 3 3 3 2 2 2  - 1     15. Jika w adalah vector proyeksi orthogonal dari vector v   - 3  terhadap vector u   2  , maka w 4  - 1     =…. 1 0 0 2 - 2           a.  - 1 b.  - 1  c.  1  d.  - 4  e.  4  3 - 2  2 2 - 2          

172

1 2     2 16. Diketahui vector a   x  , b   1  , dan proyeksi a pada b adalah . Sudut antara a dan 6  2  - 1     b adalah α, maka cos α = …. 2 1 a. b. 3 3 6

c.

2 3

d.

2

e.

6

6 3

𝑥−2

17. Rasio sustu deret geometri tak hingga adalah = lim𝑥→2 2𝑥 2 −6𝑥+4 , suku pertama deret itu merupakan hasil kali scalar vector 𝑎 = 𝑖 + 2𝑗 + 2𝑘 dan 𝑏 = 2𝑖 + 𝑗 − 𝑘 . Jumlah deret geometri tak berhingga tersebut = … 1 1 1 a. 4 b. 3 c. 1 3 d. 2 e. 4 18. Panjang proyeksi orthogonal vector a  3 i  pj  k , pada vector b  3 i  2 j  pk adalah 2 . Nilai p = …. 3 1 a. 3 b.2 c. d.– 2 e.– 3 3 19. Diketahui koordinat titik A (3, 5, 2) , B(-1, 0, 3) dan C ( 4, -2 , -5) . Jika Z merupakan titik berat segitiga ABC , maka koordinat titik Z sdalah …. a. ( 2 , -1 , 0) b. ( 2 , 1 , 0) c. ( 2 , 1 , 1) d. ( 1 , 2 , 1) e. ( 1 , 0 , 2) 20. Diketahui A(1, 2, 3), B(3, 3, 1) dan C (7, 5, 3). Jika A, B, dan C segaris ( koliner ) perbandingan AB : BC = …. a. 1 : 2 b.2 : 1 c.2 : 5 d.5 : 7 e.7 : 5 21. Diketahui titik A(4, 9, –8) dan B(–4, –3, 2). Titik P membagi AB di dalam dengan perbandingan 1 : 3. ____

Panjang PB = …. a. 15 b. 81

c. 90

d. 121

e. 153  



22. Dalam Δ ABC, diketahui P titik berat Δ ABC dan Q titik tengah AC. Jika CA  u dan CB  v , maka 

PQ = …. 1 1 1 1 1 1 1 1 a. b. v - u c. v - u d. u - v e. u  v v-u 3 3 3 6 6 3 6 3 23. Titik A ( 3,2,–1 ), B ( 1, –2, 1 ), dan C ( 7,p – 1, –5 ) segaris untuk nilai p = …. a. 13 b.11 c.5 d.– 11 e.– 13

24. Diketahui vector u  2i  4 j  6k dan v  2i  2 j  4k . Proyeksi vector orthogonal u pada v adalah a.  4i  8 j  12k b.  4i  4 j  8k c.  2i  2 j  4k b. d.  i  2 j  3k

e.  i  j  2k

25. Jika A(-1, 5, 4) , B(2, -1, -2) , C(3, p, q) terletak pada satu garis lurus , maka nilai p dan q berturut-turut adalah … a. –3 dan –4 b. –1 dan –4 c. –3 dan 0 d. –1 dan 0 e. 3 dan 0

173

26. Jika sudut antara a dan b adalah 600 dan a  2 dan b  5 maka nilai a.(a+b) = … a. 5 b. 7 c. 8 d. 9 e. 10

 1 1  0       27. Jika a   1  , b   2  , c   4  dan a.(b+c)=a.a. Nilai x adalah …  1 1  x       a. –11 b. –10 c. 8 d. 10

e. 11

28. Diketahui Balok OABC.DEFG dengan OA=a , OD = d dan OC = c , K perpotongan antara DF dan GE dan L perpotongan antara BE dan AF, maka vector KL = … 1 1 1 1 1 a. (a  d ) b. (a  d ) c. (c  d ) d. (c  d ) e. (a  c) 2 2 2 2 2 0 29. Jika a  4, b  6 dan sudut antara a dan b adalah 60 , maka nilai a  b  a.

1 13 2

b. 13

c. 1

1 13 2

d. 2 19

e. 3 13

30. Jika diketahui p  3i  2 j  k dan q  i  3 j  5k , maka ( p  q).( p  q) adalah …. c. 2 3

d. –11 e. –21 1 31. Jika a  2, a.b  4 dan sudut antara a dan b sama dengan  , maka b  ... 4 1 a. 4 2 b. 3 2 c. 2 2 d. 2 e. 2 2 32. Ditentukan a  2i  3 j  xk dan b  i  4 j  5k . Jika a tegak lurus b , maka nilai x adalah … a. 1 b. 2 c. –1 d. –2 e. 0 2 3 33. Diketahui vector 𝑢 = −1 dan vector 𝑣 = 𝑝 , jika proyeksi scalar orthogonal vector u pada 1 2 a. 13

b. 2 3

arah vector v sama dengan setengah panjang vector v, maka nilai p adalah … a. -4 atau -2

b. -4 atau 2

c. 4 atau -2

d. 8 atau -1

e. -8 atau 1

Soal – soal vector Ujian Nasional Materi Pokok : Sudut antara dua vektor 1. Diketahui segitiga PQR dengan P(0, 1, 4), Q(2, –3, 2), dan R(–1, 0, 2). Besar sudut PRQ = …. a. 1200 b. 900 174

c. 600 d. 450 e. 300 2. Diketahui a  2 , b  9 , a  b  5 . Besar sudut antara vector a dan vector b adalah …. a. 450 b. 600 c. 1200 d. 13500 e. 1500

 3  2      3. Besar sudut antara a   2  dan b   3  adalah ….  4   3     a. 180° b. 90° c. 60° d. 30° e. 0° 4. Jika a  2 , b  3 , dan sudut ( a, b ) = 120°, maka 3a  2b  .... a. 5 b. 6 c. 10 d. 12 e. 13 5. Diketahui a  3 , b  1 , a  b  1 . Panjang vector a + b = …. a.

3

b.

5

c.

7

d. 2 2 e. 3

175

6. Diketahui a  6 , ( a – b )( a + b ) = 0, dan a ( a – b )=3. Besar sudut antara vector a dan b adalah …. a.

 6

b.

 4

c.

 3

d.

 2

e.

2 3

Materi Pokok : Proyeksi vector ____

7. Diketahui segitiga ABC, dengan A(0, 0, 0), B(2, 2, 0) dan C(0, 2, 2). Proyeksi orthogonal AB pada ____

AC adalah ….

a.

jk

b. i  k c.

i  j

d.

1 i  j k 2

e.

1  ij 2

8. Diketahui vector a  3i  4 j  4k , b  2i  j  3k , dan c  4i  3 j  5k . Panjang proyeksi vector (a  b ) pada c adalah …. a. 3 2 b. 4 2 c. 5 2 d. 6 2 e. 7 2 9. Diketahui vector u  2i  4 j  6k dan v  2i  2 j  4k . Proyeksi vector orthogonal u pada v adalah …. a.  4i  8 j  12k 176

b.  4i  4 j  8k c.

 2i  2 j  4k

d.  i  2 j  3k e.  i  j  2k

2  - 1     10. Jika w adalah vector proyeksi orthogonal dari vector v   - 3  terhadap vector u   2  , maka w 4  - 1     =….

a.

1    - 1 3  

b.

0    -1 - 2  

c.

0   1  2  

d.

2   - 4 2  

e.

- 2   4 - 2  

1 2     2 11. Diketahui vector a   x  , b   1  , dan proyeksi a pada b adalah . Sudut antara a dan b 6  2  - 1     adalah α, maka cos α = …. 2

a.

3 6

b.

1 3

177

2 3

c.

2

d.

6

e.

6 3

12. Panjang proyeksi orthogonal vector a  3 i  pj  k , pada vector b  3 i  2 j  pk adalah 2 . Nilai p = …. 3

a. 3 b. 2 1 3

c. d. 2 e. 3

Materi Pokok : Perbandingan garis 13. Diketahui A(1, 2, 3), B(3, 3, 1) dan C (7, 5, 3). Jika A, B, dan C segaris ( koliner ) perbandingan AB : BC = …. a. 1 : 2 b. 2 : 1 c. 2 : 5 d. 5 : 7 e. 7 : 5 14. Diketahui titik A(4, 9, –8) dan B(–4, –3, 2). Titik P membagi AB di dalam dengan perbandingan 1 : 3. ____

Panjang PB = …. a.

15

b.

81

c.

90

d.

121

e.

153

178

 



15. Dalam Δ ABC, diketahui P titik berat Δ ABC dan Q titik tengah AC. Jika CA  u dan CB  v , maka 

PQ = …. a.

1 v-u 3

1 v- u 3 b.

c.

1 1 v- u 3 6

d.

1 1 u- v 6 3

GOD IS MY SAFIOR

1 1 u v 6 3

e. 16. Titik A ( 3,2,–1 ), B ( 1, –2, 1 ), dan C ( 7,p – 1, –5 ) segaris untuk nilai p = …. a. 13

b.11

c.5

d.11

e.13

1. Diketahui segitiga PQR dengan P(0, 1, 4), Q (2, -3, 2), dan R(-1, 0, 2). Besar sudut PRQ=……… a. 120º b. 90º c. 60º d. 45º e. 30º Jawab : 𝑅𝑄 = Q - R = (3, -3, 0) 𝑅𝑃 = P – R = (1, 1, 2) 𝑅𝑄 . 𝑅𝑃 = 𝑅𝑄 𝑅𝑃 cos 𝜃 3 – 3 +3 = 𝑅𝑄 𝑅𝑃 cos 𝜃 0 = cos 𝜃 90º = 𝜃 2. Diketahui 𝑎 = 2, 𝑏 = 9, 𝑎 + 𝑏 = 5. Besar sudut antara vektor 𝑎 dan vector 𝑏 adalah …… a. 45º b. 60º c. 120º d. 135º e. 150º Jawab : (𝑎 + 𝑏) (𝑎 + 𝑏) 𝑎 + 𝑎 + 2.𝑎. 𝑏 + 𝑏. 𝑏 2 + (2|𝑎| 𝑏 cos ∝

= 𝑎+𝑏

2

=5 = -6

cos ∝

=−

1 2

.

2 2

1

= −2 2

= 135º 3. Besar sudut antara 𝑎 = a. 180º Jawab: Cos 𝜃 =

3 2 4

dan 𝑏 =

b. 90º

c. 60º

2 3 −3

adalah…… d. 30º

e. 0º

𝑥 1 𝑥 2 +𝑦1 𝑦2 +𝑧1 𝑧1 𝑥 12 +𝑦12 +𝑧12 𝑥 22 +𝑦22 +𝑧22

179

= = =

3×2 + 2×3 +(4× −3 ) 32 +22 +4 2 22 +32 +(−3)2 6+6−12 29× 22 0 29× 22

Cos 𝜃 = 0 𝜃 = 900 4. Jika 𝑎 =2, 𝑏 =3, dan sudut (𝑎, 𝑏)= 1200, maka 3𝑎 + 2𝑏 = . . . . a. 5 b. 6 c. 10 d. 12 e. 13 2

(3𝑎 + 2𝑏). (3𝑎 + 2𝑏) = 3𝑎 + 2𝑏 9 𝑎 2 + 12𝑎. 𝑏 + 4 𝑏 2 = 𝑎 . 𝑏 . cos 1200 1 2 36 + 12.2.3. − + 36 = 3𝑎 + 2𝑏 2 3𝑎 + 2𝑏 = 6 5. Diketahui 𝑎 = 3, 𝑏 = 1, 𝑎 − 𝑏 = 1. panjang vector 𝑎 + 𝑏 = … a. 3 b. 5 c. 𝟕 d. 2 2 e. 3 Jawab: 𝑎−𝑏 = 𝑎 2 𝑏 2 − 2 𝑎 𝑏 cos 𝜃 2

12 1

= 3 + 1 2 -2 = 3 + 1 - 2 3 cos 𝜃 = cos 𝜃

−3 −2 3 −3 −2 3 −3 3 −2.3 1 3 2

3 3

3

1 cos 𝜃

= cos 𝜃 = cos 𝜃 = cos 𝜃

𝑎+𝑏

= =

𝑎

2

𝑏

2

+ 2 𝑎 𝑏 cos 𝜃 1

( 3)2 + 12 + 2 3 .1. 2

3

= 7 6. Diketahui 𝑎 = 6, (𝑎 − 𝑏).(𝑎 + 𝑏) = 0, dan 𝑎 (𝑎 − 𝑏) = 3. Besar sudut antara vector 𝑎 dan 𝑏 adalah . . . 𝜋 𝜋 𝝅 𝜋 2𝜋 a. 6 b. 4 c. 𝟑 d. 2 e. 3 Jawab: 6 – (6 . cos 𝜃) = 3 - 6 . cos θ = -3 1 cos θ = 2 𝜋

θ =3 7. Diketahui segitiga ABC, dengan A(0, 0, 0), B(2, 2, 0), dan C(0, 2, 2).Proyeksi Orthogonal 𝐴𝐵 pada 𝐴𝐶 adalah. . . 1 1 a. 𝒋 + 𝒌 b. 𝑖 + 𝑘 c.-𝑖 + 𝑗 d. 𝑖 + 𝑗 − 2 𝑘 e.-2 𝑖 − 𝑗 Jawab: 𝐴𝐵 = B – A = (2, 2, 0) 𝐴𝐶 = C – A = (0, 2, 2) 𝑃=

𝐴𝐵 .𝐴𝐶 𝐴𝐶

2

𝐴𝐶

180

0+4+0

=

8

. (0, 2, 2)

2

= (0, 1, 1) 8. Diketahui vector 𝑎 = 3𝑖 − 4𝑗 − 4𝑘 , 𝑏 =2𝑖 − 𝑗 + 3𝑘, 𝑑𝑎𝑛 𝑐 = 4𝑖 − 3𝑗 + 5𝑘.Panjang Proyeksi vector (𝑎 + 𝑏) 𝑝𝑎𝑑𝑎 𝑐 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ … a. 𝟑 𝟐 b. 4 2 c.5 2 d.6 2 e. 7 2 Jawab: (𝑎 + 𝑏) = (5 ,-5, -1) 𝑐 = (4, -3, 5) (𝑎+𝑏).𝑐 𝑐 20+15−5 = 16+9+25 30 2 =5 2 . 2 6 =2 2 = 3

I𝑃I =

2

9. Diketahui vector 𝑢 = 2𝑖 − 4𝑗 − 6𝑘 𝑑𝑎𝑛 𝑣 = 2𝑖 − 2𝑗 + 4𝑘. 𝑃𝑟𝑜𝑦𝑒𝑘𝑠𝑖 𝑣𝑒𝑘𝑡𝑜𝑟 𝑜𝑟𝑡𝑜𝑔𝑜𝑛𝑎𝑙 𝑢 pada 𝑣 adalah . . . a.−4𝑖 + 8𝑗 + 12𝑘 b. −𝟒𝒊 + 𝟒𝒋 + 𝟖𝒌 c. −2𝑖 + 2𝑗 − 4𝑘 d. −𝑖 + 2𝑗 + 3𝑘 e. −𝑖 + 𝑗 − 2𝑘 Jawab: 𝑝= =

𝑢 .𝑣 .𝑉 𝑉 4+8−24 4+4+16

=

−24 2 6

.

=

12 6

6.

=2 6 .

12−24 24

=

2 −2 4

.

2 −2 4 2 −2 4

2 −2 4

=

−4 4 8

10.Jika 𝑤 adalah vector proyeksi orthogonal dari vector 𝑣 = terhadap vector 𝑢 = ,maka 𝑤 = … a. d.

1 −1 3 𝟐 −𝟒 𝟐

0 −1 −2 −2 4 −2

b. e.

c.

0 1 2

Jawab: 𝑢 = −1, 2, −1 ; 𝑤 = ⋯ 𝑤= =

𝑣.𝑢 .𝑢 𝑢 2 (−2,−6,−4) . (-1, ( 6)2 12 − 6 (-1, 2, -1)

2, -1)

= = (2, -4, 2)

11. diketahui vector 𝑎 =

1 𝑥 2

,𝑏=

a, maka cos ∝ = ….. a. 𝟑

𝟐

1

𝟔

b. 3

2

c. 3

d.

2 6

2 1

−1 e.

, dan proyeksi 𝑎 pada 𝑏 adalah

2 . 6

Sudut antara 𝑎 dan 𝑏 adalah

6 3

Jawab : 2 6

=

𝑎.𝑏 𝑏

181

2 6

2+𝑥−2

= 6 2 =x * 𝑎. 𝑏 = 𝑎 𝑏 cos ∝ 2 + 2 – 2 = 9 6 cos 𝛼 2 = cos 𝛼 3 6

182