Nestandardní matematická prostředí pro děti 5-7leté Milan Hejný, Karlova univerzita, Pedagogická fakulta Poznámky Článek byl vytvořen s podporou grantu GAČR 406/05/2444 Autor děkuje všem rodičům a dalším účastníkům letní školy, kteří pomohli s přípravou a realizací představení pro děti. Zejména ale děkuje dětem, které s velikým úsilím náročné úlohy řešily a namnoze i vyřešily: Radovan Bartók, David Gubáš, Pavol Kollár, Ema Konrádová, Lenka Kopfová, Samo Krajči, Miroslav Polách, Hedviga Ranošová, Mária Nira Zelmanová, Michaela Ždímalová. Pět prostředí Společně s kolegyněmi Darinou Jirotkovou a Janou Slezákovou píše autor tohoto článku pro nakladatelství Fraus učebnici matematiky pro 1. třídu ZŠ. V rámci tvorby učebnice bylo detailně rozpracováváno několik matematických prostředí, které autor vytvořil a částečně odzkoušel již během svého experimentálního vyučování v Bratislavě v létech 1975-1989. Pět ze zmíněných prostředí bylo prezentováno na letní škole Pythagoras v červenci 2006. Jsou to: 1. Pavučina barevných cestiček. Rozvíjí kognitivní schopnost dítěte realizovat vícekrokový proces, který je kódovaný pomocí barev. 2. Barevné bludiště. Rozvíjí meta-kognitivní schopnost dítěte účelně používat metodu pokus-omyl a kognitivní schopnost realizovat 3etapový průzkumný (searching) proces. 3. Bus. Rozvíjí kognitivní schopnost dítěte držet v paměti měnící se číselnou informaci, a meta-kognitivní schopnost pracovat současně ve dvou vzájemně propojených vrstvách: aktuální, která zpracovává informaci percipovanou zrakem a permanentní, která obměňuje informaci uloženou v krátkodobé paměti. 4. Rodokmen. Rozvíjí relační myšlení využívajíc pojmů, které dítě zná ze života. 5. Bleší cirkus. Otevírá dítěti před-pojmy transformace, skládání transformací a permutace; později sem přibude i před-pojem transformační grupy. Každé z uvedených prostředí může být popsáno a analyzováno ve zvláštní studii. Pro potřeby této informace jsme rozpracovali pouze první tři prostředí. Prostředí čtvrté a páté bylo již částečně zpracováno jinde a na tyto prameny čtenáře odkazujeme. Různé typy implementace daného prostředí Když se o nějakém matematickém problému bavím s vnukem, nebo když tento problém řešíme ve třídě, nebo když jej položím na výletě skupince dětí – pokaždé je „výuka“ něčím odlišná, specifická. Specifická byla i prezentace jednotlivých prostředí na letní škole Pythagoras. V běžném vyučování ve třídě je každé z uvedených prostředí zaváděno po krůčcích a realizováno na mnoha vyučovacích hodinách v průběhu několika týdnů, popřípadě měsíců. Na letní škole bylo možné každému prostředí věnovat pouze necelou půlhodinu času. Nebylo možné dát dětem čas na samostatnou práci a časová tíseň vyžadovala pomoc rodičů. Umělé urychlování poznávacího procesu tlumilo motivaci dětí, protože děti pouze ve velice omezené míře zažívaly radost objevitele. Navíc tato forma výuky neumožňovala realizovat klíčovou didaktickou aktivitu učitele – práci s chybou. Chyba byla odhalena a ošetřena rodičem, který své dítě doprovázel, většinou hned u svého vzniku. Navíc se z komunity rodičů indukoval do dětí memický předsudek o tom, že chyba je nežádoucí jev. Konečně věk dětí varioval od 5 do 7 let a tato heterogenita též komplikovala realizaci jednotlivých her. Navzdory těmto překážkám, hlavní cíl pěti našich „dílen“ byl splněn: rodiče byli seznámeni s několika experimentálně již odzkoušenými hrami, jimiž mohou přispět k intelektuálnímu růstu svých ratolestí. Komentáře, které v dalším uvádíme, chtějí upozornit rodiče na vysokou 28
didaktickou složitost uvedených prostředí. Doporučujeme věnovat každému z uvedených prostředí celou sérii úloh rozloženu do několika týdnů, případně i měsíců. Témata 1., 2. a 4. je možné dělat s jediným dítětem, k blešímu cirkusu je zapotřebí aspoň 4 dětí, k autobusu aspoň 8. Hans Freudenthal, jeden ze zakladatelů didaktiky matematiky, kdysi napsal, že kdykoli do hloubky promýšlel didaktické jevy matematiky, pokaždé se sám něco z matematiky naučil. Domníváme se, že to není nadsázka, ale osobní zkušenost velikého matematika. Dosti často se k náročným matematickým problémům dostane člověk, když se snaží vytvořit gradovanou sérii úloh jistého typu a matematicky zpracovat zvolené prostředí. Zde u každého prostředí uvedeme několik výzev, které chtějí zprostředkovat čtenáři podobné zkušenosti. V následujícím popíšeme jednotlivá prostředí tak, jak byla prezentovaná po sobě od pondělka do soboty. Protože žádný záznam z jednotlivých setkání nebyl pořízen, nejedná se zde o opis experimentu. Komentáře, které jsou uvedeny, nevychází z analýz toho, co se odehrálo na našich sedánkách, ale z předchozích experimentů z let 1975-1985 a let 2005 a 2006. Pohádka, která provázela první setkání, je originální, napsána pro tento účel. Prostředí 1. Pavučina barevných cestiček – pondělí 3.7.2006, 9.00 až 9:40. Problémová situace je uvedena pohádkou. Vzhledem k převaze dětí, jejichž mateřským jazykem je slovenština, byla pohádka vyprávěna ve slovenštině. Ďurko a Marienka sú veľkí kamaráti. Často sa spolu hrávajú. Raz, keď sa spolu hrali, priletel k nim holub. Stál obďaleč a díval sa na nich. Marienke to prišlo zvláštne a keď sa lepšie holubovi prizrela, videla, že na nožičke má akýsi papierik. Marienka vystrela dlaň a holub si na ňu sadol. Opatrne mu papierik z nožičky odviazala a rozbalila ho. Na papieriku bolo čosi napísané drobným písmom. Marienka to prečítala. Dozvedela sa, že lístok písala princezná, ktorú drží v zajatí zlý drak. Princezná v liste prosí adresáta listu, aby ju pomohol oslobodiť. Poradí mu vraj černokňažník Kakabus, ktorý býva na ostrove v Perlivom mori. Ďurko a Marienka sa rozhodnú, že sa pokúsia princeznú oslobodiť. zoberú so sebou verného priateľa psíka Fridolína a vydajú sa na cestu. Kakabus deťom povie, že musia najprv získať 3 kľúče od brán bludiska, v ktorom je princezná uväznená. Každý z našich hrdinov musí nájsť jeden kľúč. Dostane plánik pavučiny (obr. 1) a návod ako sa má po pavučine ciest pohybovať.
Tolik tedy pohádka, kterou nápaditější rodič udělá poutavější. Děti dostávají tři návody: Ďurko z,m,z,h,č,m,ž ,h,č , Fridolín č,h,m,z,ž,m,h , Marienka ž,č,z,h,z,ž,h,m,z,ž (*). Originální návody jsou bez písmen. Jména Ďurko, Fridolín a Marienka, jsou nahrazena ikonkami hocha, psa a dívky. Místo písmen z, m, č, … jsou barevné tečky. Dítě úlohu řeší tak, že zvolí hrdinu, například Ďurka, vychází z jeho pozice v severozápadním rohu a postupně jde po úsečkách zelené, modré, zelené, hnědé, červené, modré, žluté, hnědé, červené až dorazí ke klíči dvouzubému. Stejně Fridolín najde klíč trojzubý a Marienka klíč jednozubý.
Obr 1. Na obrázku 1 je plánek barevné pavučiny cest, ale protože barvu k dispozici nemáme, musí si ji čtenář dokreslit sám. K tomu mu dáme několik informací. Předně: 29
každé dvě sousední úsečky pavučiny mají různou barvu (**) a dále radu v podobně dvou dalších možných cest: m,ž,h,č,m,h,č,m,h , ž,m,ž,č,z. Z těchto tří krátkých a tedy snadných cest, jimiž se najde barva 16 různých úseček a z horních tří návodů (*) lze již určit barvu 30 úseček pavučiny. Barvu zbylých 5 úseček pomůže najít předpis jimž se pes dostane ke klíči dvojzubému: F h,m,h,z,ž,z,m,ž,z. . Nově barvené úsečky jsou identifikovány podtržením. Barvení cest pavučiny je matematická úloha pro čtenáře. I když tuto úlohu čtenář řešit nebude, vlastnímu dítěti může vytvořit vlastní úlohu o pavučině cest. Výzva 1. K dané pavučině, nebo k pavučině, kterou sami vytvoříte hledejte zajímavé úlohy, které jsou náročnější než úlohy zde uvedené. Například: Přebarvením jedné úsečky může dojít k narušení pravidla (**). K tomu, abychom pravidlu (**) dostáli, musíme pak přebarvit ještě jednu nebo více úseček. Minimální počet úseček, které takto musíme přebarvit nazvěme „dosah dané úsečky“. Najděte úsečku s největším dosahem. Komentář A. Na prostředí pavučiny barevných cestiček ilustrujeme způsob detailní a priori analýzy myšlenkového procesu žáka. Čtenář, který si následující text přečte a akceptuje jej, mnoho nezíská. Více získá, když bude text kriticky hodnotit a s jednotlivými jeho body polemizovat. Ještě více získá, když se podobným způsobem pokusí udělat apriorní analýzu jiného myšlenkového procesu žáka a když pak svoje napsané úvahy konfrontuje se skutečností – s reálným řešitelským procesem dítěte. Proces řešení úlohy lze rozložit do dlouhé série kroků. Analýzu a priori uděláme v následujícím bodě a v bodě C pak ji obohatíme o některé prvky analýzy a posteriori využívající našich předcházejících experimentů. B. Jednotlivé řešitelské kroky píšeme ve stylizovaném vnitřním jazyku řešitele 1. Zvolím figurku X (kluka, dívenku, pejska) na levém okraji pavučiny. 2. Najdu lístek s kódem figurky X. 3. Podívám se na první barevnou úsečku tohoto kódu. 4. Eviduji, že je to barva p. 5. Eviduji, že první barvu jsem již použil a v dalším použiji barvu druhou. 6. Do krátkodobé paměti (situační) vložím druhou úsečku. 7. Do krátkodobé paměti (verbální/vizuální) vložím barvu p. 8. Vrátím se k pavučině k figurce X. 9. Najdu cestičku barvy p začínající u figurky X. 10. Projdu tuto cestičku až na konec, do uzlového bodu P. 11. Do krátkodobé paměti (situační) vložím polohu bodu P. 12. Vrátím se k lístku s kódem. 13. Z krátkodobé paměti vyberu druhou úsečku. 14. Eviduji, že její barva je q. 15. Eviduji, že druhou úsečku jsem již použil a v dalším použiji úsečku třetí. 16. Do krátkodobé paměti (situační) vložím místo druhé úsečky úsečku třetí. 17. Do krátkodobé paměti (verbální/vizuální) vložím místo barvy p barvu q. 18. Vrátím se k pavučině, abych zjistil, kde se teď figurka X domněle nachází. 19. Z krátkodobé paměti vyberu polohu bodu P. 30
20. Najdu cestičku barvy q začínající u bodu P. 21. Projdu tuto cestičku až na konec, do uzlového bodu Q. 22. Do krátkodobé paměti (situační) vložím polohu bodu Q. 23. Vrátím se k lístku s kódem. 24. Z krátkodobé paměti vyberu třetí úsečku. 25. atd.atd. C. Uvedený seznam řešitelských kroků, jakkoli vypadá podrobně, není úplný. Popisuje pouze hladinu úkonů. Pod ní běží hladina strategická, která proces řídí a má proto rozhodující význam. V této hladině je uloženo porozumění úloze, tj. návod, kdy který krok realizovat. Dítě, které není schopno svůj řešitelský proces samo řídit, není ještě zralé k řešení pavučin. Pro toto dítě nutno volit úlohy jejichž řešitelský proces je strategicky jednodušší. Například daný soubor kartiček s obrázky třídit do připravených přihrádek. Nejprve podle jednoho kritéria („sem pejska, sem kočičku, sem slepičku,…“) pak podle kritérií dvou („sem modrého pejska, sem žlutou kočičku, sem červenou slepičku,…“). D. Podrobný rozklad řešitelského procesu do mentálních kroků poukázal na složitost myšlenkového pohybu, který řešitel musí absolvovat. Dospělý člověk si tuto složitost neuvědomuje, protože mnohé shluky kroků má již automatizovány. Odlišnost svého postupu od postupu dítěte si může uvědomit, když se rozpomene na své první pokusy v autoškole a porovná je s automatizovanými pohyby, jimiž řídí auto teď. Dospělý například ví, že práci situační paměti může nahradit položením prstu na příslušnou úsečku kódu a na příslušný bod na pavučině. Ví, že když tuto vnější paměť použije, nesmí prstem, který drží polohu úsečky neb bodu hýbat, … Nic z toho dítě ještě neumí, to vše se učí a bude se proto dopouštět chyb. Proto první úloha, kterou 5letému dítěti dáme, bude mít jen jeden vstup a pouze dva výstupy, pavučina bude používat pouze 4 barev, kód bude mít jen 4 úsečky. Jakmile dítě úlohu úspěšně samo vyřeší, bude se dožadovat dalších pavučin a rodič může přiměřeně gradovat náročnost úloh a radovat se z rychlosti, kterou se jeho genetický kód v další generaci kultivuje. Jakmile začne žádostivost dítěte upadat, nutno hry přerušit a hledat příčinu. Nejčastější příčina je nepřiměřeně náročná úloha, únava dítěte, nebo intelektuální vyžití této problematiky. Je nutno pak dělat jiné věci a po nějaké době se pokusit k pavučinám vrátit. Známe případy, kdy k takovému návratu po 2-3 letech přispěl mladší sourozenec, pro kterého jeho starší bratr začal s velikou vervou vyrábět pavučiny. E. Mentální kroky výše uvedené, nejsou atomární, nerozložitelné. Tak například bod 4 – uložení barvy p do krátkodobé paměti – je atomárním krokem pouze v tom případě, že jej dítě může realizovat jako jednorázový akt. Buď dítě použije paměť verbální (je to zelená), nebo vizuální (uchován je barevný vjem, bez pojmenování), nebo obojí. To závisí na typu paměti dítěte a v případě, že se jedná o paměť verbální, pak i na znalosti jména barvy. Má-li dítě paměť verbální a pro barvu, na kterou se dívá, nezná jméno (např. tyrkysová), dostává se do problémové situace. V takovém případě se krok 4 rozloží na několik dalších kroků podle různých parametrů vzniklé situace. Například dítě s verbální pamětí, které má vytvořeno efektivní komunikační jednání a které se navíc v dané situaci cítí sociálně jisté, se prostě zeptá, jak se ta barva jmenuje. Doví se že „tyrkysová“. Slovo si zopakuje a už ví, co vědět potřebovalo a jede se dál. Nejsou-li uvedené podmínky splněny, dítě se na barvu nezeptá a dostává se pod tlak možného neúspěchu. Zaleží na okolnostech, jak bude problém řešen. Například si dítě tuto barvu pojmenuje „zelená“ a pak se v dalším dopustí chyby. Ilustrace ukazuje, že seznam kroků uvedený v B. nemusí být seznamem atomárních kroků a že kterýkoli z kroků u nějž dojde v procesu řešení k překážce, se může rozložit na novou sérii atomárních úkonů. Pokud se uvedená úloha řeší ve třídě, bude ji předcházet série jiných úloh. V nich se učitel přesvědčí, že všichni žáci znají jména všech barev, která budou v pavučině použita. Dítě, které přesto některou barvu zapomene, může najít pomoc u spolužáka. 31
F. Z bohatých zkušeností s rodiči víme, že snad nejnáročnějším úkolem pro rodiče při práci s vlastním dítětem je trpělivost. V dobré snaze vidět rychlé pokroky své ratolesti se rodič často chová jako netrpělivý zahradník, který místo toho aby pečlivě květinku zaléval, povytahuji ji každé ráno kousek ze země, aby byla vyšší. Důsledkem pak pochopitelně není rychlejší růst rostlinky, ale její odumírání. K této práci máme pro rodiče tři rady: 1. Dávejte své ratolesti úlohy dostatečně jednoduché, aby dítě nepotřebovalo žádnou radu; když radu žádá, dejte mu místo toho lehčí úlohu. 2. Věnujte dostatek času naslouchání toho, co vám dítě chce o své práci říct a spolu s ním prožívejte jeho radost z úspěchu, byť by byl tento z matematického hlediska problematický. Míra radosti dítěte nejpřesněji vypovídá o míře úsilí, které k řešení úlohy vynaložilo. 3. Objeví-li se v řešení dítěte chyba, neupozorňujte jej na ni; hledejte jiné úlohy, pomocí nichž samo dítě chybu odhalí. Snažte se nepřenášet na dítě předsudek, kterým trpí naše školství i generace rodičů, že totiž chyba je jev nežádoucí. Chyba je důležitá a často nejrychlejší a nejefektivnější cesta ke skutečnému poznání. Samozřejmě ne chyba sama o sobě, ale to, co po ní následuje: hledání lokality chyby, hledání možného vylepšení a zejména hledání příčin, které k chybě vedly. Prostředí 2. Barevné bludiště – úterý 4.7.2006, 9.00 až 9:35. Pokračujeme v pohádce z předchozího dne. Naši hrdinové mají již všechny tři klíče a po jistých dalších peripetiích se dostanou k bludišti, v němž je vězněna princezna. Bludištěm (obr. 2) musí procházet tak, že nejprve použijí klíč jednozubý, pak dvouzubý a konečně trojzubý. Každý klíč lze použít jen jednou. Bludiště, které měli děti k dispozici bylo barevné. Jednozubý klíč, i každá brána, které ním šla odemknout byly v barvě černé. Zde jsou v bránách pouze čísla 1. Dvouzubý klíč, i každá brána, které ním šla odemknout byly v barvě červené. Zde jsou v bránách pouze čísla 2. Konečně trojzubý klíč, i každá brána, které ním šla odemknout byly v barvě modré. Zde jsou v bránách pouze čísla 3., 2
1 3
1
3
P
3
1
2
2
Obr. 2. Výzva 2. Vytvořte barevné bludiště, které má 4 klíče a právě 3 různá pořadí klíčů vedou k řešení. Žádné ze zbývajících 21 pořadí klíčů k řešení nevedou. 32
Komentář A. Úlohy o bludištích, jako konečně většinu jiných úloh, řeší dítě metodou pokus-omyl. U těchto úloh můžeme počínání dítěte dobře sledovat. Vidíme často nejistý pohyb ruky, která sleduje cestu bludištěm. Sledujeme, zda oči dítěte jsou upřeny spíše na grafickou stránku (abych nevjel do zdi), nebo zda hledají možné příští pokračování. Na každé křižovatce nutno rozhodnout, kterou cestou pokračovat. Dítě zvolí cestu chybnou a dostane se do slepé uličky. Vrátí se na začátek a zkouší znovu. Přitom stejnou chybu může udělat opakovaně. Když se tak stane, rodič, který sleduje počínání dítěte, se neudrží a dobromyslně poradí „to jsi už zkoušel minule a nevyšlo to; zkus něco jiného“. Taková dobře míněná rada působí na dítě negativně a to ve třech směrech: 1) Maří budování kauzální vazby „půjdu-li stejně, opět to bude neúspěch“. Dospělému je tato kauzální vazba samozřejmostí. Pro dítě samozřejmostí není. Naopak, mnohé čemu se dítě učilo (například jezdit na kole) se učilo opakováním a ví, že po několika neúspěších přijde úspěch. 2) Blokuje budování řešitelské strategie, ve které se tvoří meta-kognitivní poznání „když cesta skončila neúspěchem, nutno některou z předchozích voleb (nejlépe poslední) změnit. 3) Oslabuje intelektuální autonomii dítěte. Dítěti není dopřáno jít vlastní cestou, je tlačeno do sledování instrukce dospělého. B. Proč se dospělý snaží urychlit pokroky dítěte? Protože se mylně domnívá, že smyslem řešení úlohy je její vyřešení. Kdyby si uvědomil, že smyslem řešení úlohy je rozvoj kognitivních a meta-kognitivních schopností dítěte, nedíval by se na to, zda dítě postupuje dobře nebo špatně, ale snažil by se poznat proč postupuje právě tak, jak postupuje. Stejné počínání pozorujeme často i u učitelů. Důraz kladou na správné vyřešení úlohy, nikoli na to, jak tato práce přispívá k rozvoji žáků. C. Když si uvědomíme vlastní nemoudré počínání, hledáme cesty, jak to napravit. Jak se naučit analyzovat myšlenkové procesy dítěte. Dobrým vstupem do sebevzdělávání je zde následující postup. Dříve než dítěti dáme bludiště k řešení, připravíme si sérii stejných bludišť. Dítěti dáme jedno z nich a jakmile chce dítě nakreslenou čáru mazat, dáme mu nové čisté bludiště. Dítě udělá třeba sedm chybných pokusů a až po osmé najde řešení. A my máme sedm písemných záznamů myšlenkových tahů a můžeme zkoumat, zda v procesu řešení došlo ve vědomí dítěte k strategickému posunu a jestliže došlo, co bylo toho příčinou. Prostředí 3. Bus – čtvrtek 6.7.2006, 9.00 až 9:35. Hru hrajeme v prostředí třídy, nebo kolektivu dětí. Hra simuluje cestování autobusem na pravidelné lince, na které jsou 4 zastávky: Modrý rybník (A) = katedra, Červený vrch (B) = dveře, Žlutý dům (C) = mapa, Zelená louka (D) = skříň. V dalším zde pro jména zastávek používáme písmena A, B, C a D. Autobus je lepenková krabice, do níž lze dát aspoň 8 plastikových lahví – to budou cestující. Později budeme rozlišovat tatínky (větší lahve), maminky (menší lahve) a děti (malé lahvičky, např. Actimel). Autobus jede z výchozí zastávky na konečnou a na každé zastávce může někdo vystoupit a přistoupit. Žáci vidí jak cestující nastupují i vystupují, ale do autobusu (krabice) nevidí. Když autobus dojede na konečnou, ptá se učitel žáků, kolik je v autobuse cestujících. Každý žák napíše svůj typ na tabulku a pak se počítáním přesvědčí, kolik to doopravdy je. Později bude tato základní úloha postupně obohacována o další otázky. Scénář uvedení hry BUS učitelem v druhém pololetí prvního ročníku. Motivační příběh zde vypouštíme. U: Prázdný autobus (učitel ukáže třídě, že krabice je prázdná) přijel na zastávku Modrý vrch. Zde nastoupí jeden cestující (Učitel zvedne jednu láhev nad hlavu a pomalu ji vloží do krabice. Obsah krabice žáci nevidí).
33
U: Řidič zavřel dveře. (Učitel chytí krabici) Autobus se rozjel, odjíždí ze zastávky Modrý rybník a jede na zastávku Červený vrch. (Učitel simuluje cestu autobusu). U: Autobus zastavil na zastávce Červený vrch. (Učitel položí krabici na poličku u dveří). Zde nastoupil jeden a ještě jeden cestující. (Učitel výše popsaným způsobem vloží po sobě 2 láhve do krabice). Stejně pokračuje autobus na zastávku Žlutý dům, kde jeden cestující vystoupí a jeden nastoupí. Nakonec dojede autobus na konečnou. U: Autobus dojel až na konečnou na Zelenou louku. Zde vystoupí všichni cestující, kteří v autobusu jsou. Co myslíte, kolik jich tam je? Každý napište svůj odhad na tabulku. Žáci napíší své typy na tabulky a pak učitel postupně vybere tři lahve z krabice a ukáže třídě, že krabice je prázdná. U dalších her přenáší učitel postupně jednotlivé role na žáky. Později přibudou další otázky. Například: Kolik cestujících nastoupil do autobusu na zastávce C? Kolik cestujících vystoupilo z autobusu na zastávce B? Kolik cestujících jelo v autobusu mezi zastávkami B a C? Ve kterém úseku jelo v autobusu nejvíce cestujících? Žáci opět píší svoje odpovědi na tabulky a potom je kontrolují tím, že se představení zopakuje, tak, že do krabice teď žáci vidí. Didaktická příprava hry BUS, která je koncipována od prvního až do pátého ročníku, je rozložená do fenoménů dvou typů. První typ se týká scénáře. Druhý se týká matematiky. I. Typ – scénář má (zatím) 8 položek a) realita: hra je reálná (R), simulovaná (S), papírová (P) b) režisér řídí hru, rozděluje role, rozděluje lahve; je to učitel (U) – žák (Ž) c) autor úlohy/činnosti je učitel (U) – žák (Ž) – autor učebnice (A) – náhoda (N) d) prezentace úlohy je grafická (G) – akustická (A) – tabulková (T) e) řidič busu je učitel (U) – žák (Ž) – nikdo (-) f) výpravčí na zastávkách dělá učitel (U) – žáci (Ž) g) zapisovatel procesu je učitel (U) – žák (Ž) – třída (T) = každý žák samostatně h) tazatel , tj ten kdo klade otázky učitel (U) – žák (Ž) – autor učebnice (A). Lze očekávat, že v budoucnu se ve vyšších ročnících objeví další role: kontrolor, organizátor soutěže, … II. Typ – matematika má (zatím) 9 položek a) Počet zastávek (od 3 do 7) b) Celkový počet cestujících, kteří se autobusem vezli (od 3 do 30) c) Rozmanitost cestujících: jen jeden typ (I); dva typy: dospělí a děti (II); tři typy: páni dámy a děti (III); čtyři typy: páni, dámy, chlapci a děvčata. zastávky A B C D E d) rozdělení cestujících na jednotlivé zastávky je dáno maticí tj. tabulkou, např. v případě šesti páni 2 1 0 3 0 zastávek (A nástupní a F výstupní konečná) může dámy 1 3 3 2 4 mít tabulka tvar : chlapci 2 0 4 0 0 děvčata 1 2 0 0 4 e) Zadání, které má žák řešit je tří typů. První a druhý typ se týká otázek, které klade učitel po shlédnutí představení. U prvního typu žák předem ví, jaké otázky budou položeny. U druhého typu to neví. Proto je druhý typ podstatně náročnější než první typ. Otázky jsou například: 1) kolik lidí vystoupilo na konečné? 2) kolik lidí nastoupilo/vystoupilo na zastávce A/B/C/D? 3) kolik lidí jelo v autobuse ze zastávky B do C (z A do B, z C do D)? 4) kolik lidí se svezlo autobusem? 5) Na které zastávce nastoupilo nejvíce/nejméně lidí? Třetí typ zadání se již neváže na žádné představení. Týká se tabulky, která popisuje virtuální jízdu autobusu. Problém je v tom, že v tabulce více údajů schází a úlohou žáka je tyto údaje do tabulky dopsat. Ilustrace je uvedena v následující tabulce. Písmena A, B, C, D a E označují jména zastávek. Dále je N = nastoupilo, J = jelo a V = vystoupilo.
34
Z tabulky vidíme, že na první zastávce A do autobusu nastoupil 1 muž a celkem na této zastávce nastoupili 2 cestující. Tedy ještě jedna žena, nebo jedno dítě. To zatím nevíme. Žádné údaje nemáme ve sloupci jelo (J). Na zastávce B nikdo nevystoupil a nastoupily pouze 2 ženy. Na zastávce C jedno dítě vystoupilo a celkem 2 lidi nastoupili. Ze zastávky C odjelo 5 lidí, z toho 2 děti. Na zastávce D dva lidé vystoupili a 1 dítě nastoupilo. Ze zastávky D vyjelo celkem 7 lidí a na konečné E vystoupili 4 muži a 1 žena. Vašim úkolem je doplnit čísla do všech 34 prázdných okének tabulky. Lze to udělat pouze jedním způsobem? A B C D E N J V N J V N J V N J V muži ženy děti celkem
1
4 1
2 1 2
0
2
2
2 5
1 2
7
Tab. 1. Komentář A. Cílem hry BUS je ke kultivace matematického myšlení žáka, rozvoj jeho schopnosti matematizovat reálnou situaci, rozvoj jeho krátkodobé procesuální paměti i pamětného počítání, rozvoj schopnosti tvořit efektivní formální jazyky, pracovat s daty, sestavovat tabulky, odhalovat závislostí atd. B. Různorodé otázky vyžadují od žáka aby si pamatoval více než jen aktuální počet cestujících. Musí si pamatovat celé představení. Proto hledá nástroje, které mohou paměti pomoci. Například prsty. U mnoha žáků zde dojde k selhání; podobně jako když při přechodu přes desítku u písemného sčítání a odčítání žák registruje „jedna zbyla“ na prstech. Ve vědomí žáků narůstá potřeba nějak si celý děj zaznamenat. Některým se povede objevit rozumný smysl zápisu, jiní jej převezmou od spolužáka. Učitel zatím žádnou tabulku žákům neukazuje, pouze žádá ty, kteří si vytvořili dobrý způsob zápisu, aby s tím seznámili třídu. Po jisté době většina žáků má již svůj způsob záznamu. Schopnost vytvořit si vlastní jazyk na zaznamenání procesu je jeden z klíčových didaktických cílů hry BUS. C. Hra má důležitou rovinu sociální. Učitel postupně jednotlivé role (uvedené výše) svěřuje žákům. Nejprve role výpravčích, pak roli řidiče, později, když se již celé představení zapisuje tabulkou na tabuli, i roli zapisovatele. Žáci nejprve své role hrají nezřetelně. Výpravčí míchají nastupování a vystupování, jejich pohyby jsou někdy těžce sledovatelné. Učitel je vede k tomu, aby jejich činnost měla svůj řád a byla zřetelná. Jedna pani učitelka udělala pěkný experiment. Na krátké lince byly kromě dvou konečných, které obstarala sama, jen dvě další zastávky. Na první určila do role výpravčího žáka, který vystupování a nastupování dělal jen pro sebe. Na druhou dala žáka, který to prováděl jasně a zřetelně. Proběhlo představení a po něm se učitelka ptala třídy na počty cestujících, kteří nastupovali/vystopovali na první a na druhé zastávce. Očekávání učitelky se naplnilo. Třída byla schopna daleko lépe odpovědět na počty u druhé zastávky než u první. Děti samy pak řekli příčinu. Pak se představení opakovalo a výpravčí na druhé zastávce se již velice snažil aby jeho akce byla jasná a zřetelná. D. Později bude reálné představení vystřídáno za simulované, nebo dokonce za virtuální. Učitel/žák verbálně popisuje, co se na jednotlivých zastávkách děje a žáci si celý proces zapisují. E. Modifikaci hry lze využít k budování pravděpodobnostních zkušeností. Linka má jen 3 zastávky a lidé pouze nastupují. Počet nastupujících na každé zastávce je určen hodem hrací kostky. Žáci před hrou typují, kolik asi cestujících dorazí na konečnou. Kdo uhodne přesně, získává 5 bodů, kdo se splete o 1 získává 4 body atd. Poměrně brzo žáci odhalí, že krajní možné hodnoty: 3 a 18 jsou málo pravděpodobné a že nejpravděpodobnější jsou hodnoty kolem čísel 10 a 11. 35
Prostředí 4. Rodokmen – pátek 7.7.2006, 9.00 až 9:30. Dětem jsou postupně představováni členové jedné rodiny: táta s mámou, syn a dcera, dvě babička a dva dědečkové. Každá osoba je identifikována křestním jménem a představena je plastovou lahví. Na každé z 8 lahví byl nakreslen obličej výstižně charakterizující věkovou kategorii: děti, rodiče, prarodiče. Obličeje velice zdařile nakreslila a všechny lahve výtvarně vkusně upravila Martinka Egedová. Lahve byly uloženy na konstrukci stolů a židlí, které dovolovaly oddělit jednotlivé generace úrovní polohy. V nejvyšším byli 4 prarodiče, uprostřed oba rodiče a dvě děti byly v nejnižším patře. Rodinná struktura dovoluje klást jednoduché, složitější a i značně náročné otázky. Například Kdo je dcerou Marie? (jednoduchá) Kdo je vnukem mámy Marie? (složitější) Kdo řekl větu „vnučka manžela mé matky se jmenuje Dana“? (náročná). Toto prostředí i s didaktickým komentářem je podrobně rozpracováno v článku Hejný (2002, s. 22-25). Prostředí 5. Bleší cirkus – sobota 8.7.2006, 9.00 až 9:40. Bleší cirkus jsme hráli jako poslední hru na asfaltu basketbalového hřiště. Hrálo 6 dětí na hřišti, které je nakresleno na obrázku 2. Do každého kruhu se postaví jedno dítě a jeho jméno je dáno písmenem, které je v kruhu napsáno: Alenka (A), Boris (B), Cyril (C), Danka (D), Eva (E) a Franta (F). Nejprve se mezi kruhy nakreslí jen modré šipky (zde jsou to plné čáry). Na povel jedna modrá změna teď! přemístí se děti tak, jak naznačují šipky. Tedy A → C, B → A, C → D, D → B, E → F, F → E. Uvedenou sérii přiřazení můžeme stručně zapsat A→C→D→B→A, E↔F. Na povel dvě modré změny teď! Zůstanou E a F na místě a A se prohodí s D a C se prohodí s B. Samozřejmě, že děti nejprve běhají po obou šipkách a v běžném vyučování ve třídě to vyžaduje pár týdnů, než děti objeví, že si běhaní mohou (chtějí-li vůbec) usnadnit. Když je již toto jednoduché hříště dětmi zvládnuto, přistoupí druhá sada šipek, červených – viz obr. 3.
Obr. 3 (Na obrázku jsou modré šipky znázorněny plnou čárou a červené přerušovanou čárou.) Podobně jako u modrých šipek, i zde se seznamujeme nejprve jen s červenými šipkami a posléze se objeví i složené povely jako jedna modrá dvě červené a jedna modrá teď! Na tento povel dítě, které je v poli A běží A → C → C → D, nebo prostě A → D. Podobně běží D → A, C↔F a B a E stojí na místě (mohou si poskočit, nebo oběhnout svoji značku). Podstatně náročnější úlohy jsou opačného typu: známe, jaké přemístění chceme realizovat a hledáme příslušný povel. Tyto úlohy zavádíme postupně. Nejprve dáme jen úkol udělat změnu A → F a nic jiného nás nezajímá. Pak dáme úlohu udělat dvě změny A → F a současně D → C. Tak postupně přidáváme další a další podmínky. Čtenář se o tomto
36
prostředí může dočíst v článku Hejný, Tichá (2002), nebo v původní publikaci, ze které je článek přeložen Hejný, Niepel (1983, s. 67). Literatura Hejný, M.: Izomorfismus jako strukturotvorný nástroj. . In: (Eds.) V. Burjan, M. Hejný, Š. Jány Zborník príspevkov z letnej školy teórie vyučovania matematiky PYTAGORAS JSMF, EXAM, Bratislava, 2002. Hejný, M., Niepel, Ľ.: Šestnásť matematických príbehov. Mladé letá, Bratislava, 1983 Hejný, M, Tichá, M.: Matematické příběhy, příběh druhý. Bleší cirkus, Učitel. matematiky, 10, č. 3 (43), duben 2002.
37
