Neparametrické testy. 1. Úvod. 2. Medián

Neparametrické testy 1. Úvod Testy hypotéz o parametrech základních souborů, které jsme zatím poznali, jsou založeny na předpokladu, že tyto soubory mají normální rozdělení pravděpodobnosti, popřípadě i na některých dalších předpokladech, např. rovnosti rozptylů. Nesplnění předpokladu o normalitě většinou není vzhledem k centrální limitní větě příliš na závadu, pokud je rozsah náhodných výběrů, z nichž konstrukce testu vychází, dostatečně velký. Často je ale třeba testovat hypotézy na základě náhodných výběrů malých rozsahů pocházejících z výrazně nenormálních rozdělení, takže klasické testy založené na předpokladu normality nelze použít. Pro práci s takovými výběry byly vyvinuty tzv. neparametrické testy, které nepředpokládají nic o konkrétním typu rozdělení základního souboru ani o jeho parametrech a vyžadují zpravidla pouze jeho spojitost. Po výpočetní stránce jsou neparametrické testy velmi jednoduché a proto se často používají i tehdy, kdy je možné použít také klasické, ale početně podstatně náročnější testy založené na předpokladu normality. Neparametrické testy však zpravidla využívají informaci obsaženou v náhodném výběru pouze částečně, a proto pravděpodobnost chyby 2. druhu je u nich v těchto případech zpravidla větší než u klasických testů. Zatímco rozhodovací pravidla parametrických testů jsou konstruována přímo z číselných hodnot náhodných výběrů, konstrukce rozhodovacích pravidel neparametrických testů vychází pouze ze vzájemného pořadí těchto hodnot. Některé neparametrické testy lze proto použít i v případech, kdy nejsou známy hodnoty náhodného výběru ale pouze jejich pořadí, nebo kdy tyto hodnoty znamenají pouze pořadí zkoumaných vlastností náhodného charakteru seřazených podle určitého hlediska. Neparametrických testů existuje velmi mnoho. Zde se omezíme jenom na několik z nich, které jsou obdobou klasických testů o střední hodnotě a testu lineární nezávislosti náhodných veličin. Na rozdíl od klasických testů se však testují hypotézy o mediánu.

2. Medián Medián mè rozdělení pravděpodobnosti náhodné veličiny X se spojitou distribuční funkcí F je míra polohy charakterizovaná ne zcela jednoznačně podmínkou FHmèL = P @X § mèD = 1 ê 2. Jednoznačně je medián určen např. tehdy, je-li funkce F rostoucí. Je-li příslušné rozdělení pravděpodobnosti symetrické kolem některého bodu mè, tj. platí-li pro všechna x œ rovnost FHmè - xL = 1 - FHmè + xL, potom mè je medián a v případě, že existuje střední hodnota E X , platí rovnost mè = E X . Podmínku symetrie funkce F splňuje např. tehdy, je-li náhodná veličina X (absolutně) spojitá a její hustota f je symetrická podle bodu mè, tj. platí-li pro všechna x œ rovnost f Hmè - xL = f Hmè + xL. Není-li distribuční funkce F spojitá, lze medián mè definovat např. podmínkami

P @X < mèD = lim FHxL § 1 ê 2, P @X § mèD = FHmèL ¥ 1 ê 2. è xØx-

Definujeme-li a-kvantil xa rozdělení s distribuční funkcí F formulí Hx < xa ï P @X § xD = FHxL < aL fl P @X § xa D = FHxa L ¥ a, pak tyto podmínky, které neurčují medián jednoznačně, splňuje např. kvantil x0.5 . Z definice mediánu a kvantilů dále snadno vyplývá, že tento kvantil je ze všech možných mediánů rozdělení nejmenší. Lze dokázat, že každý medián mè má následující vlastnost: je-li střední hodnota E X konečná, potom funkce E » X - c » nabývá v bodě c = mè svého minima.

2

Nonparametric Tests.nb

3. Znaménkový test 3.1. Znaménkový test je určen k ověřování hypotéz o mediánu rozdělení pravděpodobnosti (základního souboru) se spojitou distribuční funkcí F. Protože bez dalších předpokladů o F není medián určen jednoznačně, je třeba význam nulové hypotézy mè = c a možných alternativ mè ∫ c, mè < c, mè > c upřesnit. Hypotéza mè = c znamená, že c je medián, tj. že FHcL = 1 ê 2, alternativa mè ∫ c znamená, že c není medián, tj. že FHcL ∫ 1 ê 2, alternativa mè < c znamená, že každý medián je menší než c, tj. že FHcL > 1 ê 2, a a poslední alternativa znamená, že každý medián je větší než c, tj. že FHcL < 1 ê 2.

3.2. Kritické hodnoty pro znaménkový test. Pro každé reálné číslo c a každý bod = Hx1 , ... , xn L prostoru n nechť n∫c HL = počet indexů i, pro něž xi ∫ c,

a pro každé přirozené číslo n a každé a œ H0, 1L nechť

n>c HL = počet indexů i, pro něž xi > c,

ka,1 HnL = Biaê2 Hn, 1 ê 2L - 1, ka,2 HnL = Bi1-aê2 Hn, 1 ê 2L + 1,

kde Bi b Hn, 1 ê 2L je b-kvantil binomického rozdělení BiHn, 1 ê 2L.

3.3. Věta. Jestliže = HX1 , ... , Xn L je náhodný výběr z rozdělení se spojitou distribuční funkcí F a mediánem c, potom P @n>c HL § xD ó x § ka,1 HnL,

P @n>c HL ¥ xD ó x ¥ ka,2 HmL.

3.4. Znaménkový test. Nechť = Hx1 , ... , xn L je realizace náhodného výběru = HX1 , ... , Xn L z rozdělení se spojitou distribuční funkcí . Nulovou hypotézu H : mè = c na základě realizace zamítneme ve pro prospěch některé ze tří možných alternativ,

pokud n>c = n>c HL a n∫c = n∫c HL splňují příslušnou podmínku uvedenou ve třetím sloupci následující tabulky: Hypotéza H0 Alternativa H1 Kritický obor pro hladinu významnosti a mè = c mè ∫ c n>c § ka,1 Hn∫c L Í n>c ¥ ka,2 Hn∫c L èm = c èm < c n>c § k2 a,1 Hn∫c L mè = c mè > c n ¥k Hn L >c

2 a,2

∫c

3.5. Asymptotická varianta znaménkového testu. Pro větší rozsahy n∫c , přibližně pro n∫c ¥ 20, můžeme také použít testovací statistiku 2 n>c HL - n∫c HL RZn,c = RZn,c HL = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ è!!!!!!!!!!!!!!!! n∫c HL s asymptoticky normálním rozdělením NH0, 1L a kritické obory pro zamítnutí nulové hypotézy uvedené v tabulce Hypotéza H0 Alternativa H1 Kritický obor pro hladinu významnosti a mè = c mè ∫ c » RZn,c » > u1-aê2 , mè = c mè < c R < -u mè = c

mè > c

Zn,c

1-a

RZn,c > u1-a

kde u b je jako obvykle b-kvantil normovaného normálního rozdělení. 3.6. Poznámka. Znaménkový test má poměrně malou sílu, tj. pravděpodobnost chyby 2. druhu je ve srovnání s jinými testy dosti veliká, a proto je žádoucí mít k dispozici větší počet pozorování různých od c. 3.7. Příklad. Deset pokusných osob mělo nezávisle na sobě a bez předchozího nácviku odhadnout, kdy od daného signálu uplyne jedna minuta. Byly získány následující výsledky ( v sekundách): 53 48 45 55 63 51 66 56 50 58


3

Řešení. Odhad délky jedné minuty je zřejmě náhodná veličina se spojitou distribuční funkcí. Pro ověření hypotézy, že medián jejího rozdělení je c = 60 sekund, můžeme proto použít znaménkový test. Zřejmě n∫c = 10, n>c = 2 a podle tabulky kritických hodnot k0.05,1 H10L = 1, k0.05,2 H10L = 9. Na hladině významnosti a = 0.05 nelze tedy hypotézu H0 : mè = 60 zamítnout ve prospěch alternativy mè ∫ 60. Ke stejnému závěru dojdeme, použijeme-li statistiku RZn,c , neboť 6 ÅÅÅÅÅÅÅÅ!Å U -1.89737, u0.975 = 1.95996. RZn,c = - ÅÅÅÅÅÅÅÅ è!!!!!! 10 3.8. Příklad. V jednom městečku proběhl výzkum požívání alkoholu tak, že u 8 náhodně vybraných občanů byla zjištěna průměrná měsíční dávka alkoholu. Po nějaké době došlo v městečku ke dvěma úmrtím na cirhózu jater, způsobenou velmi pravděpodobně nadměrmým požíváním alkoholu. K posouzení, zda tato událost nějak ovlivnila u občanů městečka množství požívaného alkoholu, byly použity výsledky předchozího výzkumu a navíc byla u stejných 8 osob jako dříve zjištěna jejich současná průměrná měsíční dávka alkoholu. Výsledky obou šetření jsou uvedeny v následující tabulce: Osoba

1

2

3

4

5

6

7

8

Před úmrtími 600 600 1200 1200 700 1600 900 1000 @mlD Po úmrtích

300 600 1400 1000 800 1500 800

600

@mlD

Otázka zní: lze na základě těchto výsledků na hladině významnosti a = 5 % tvrdit, že zmíněná úmrtí ovlivnila v městečku požívání alkoholu? Řešení. Výsledky obou šetření představují realizaci náhodného výběru H, L rozsahu n = 8 z dvourozměrmého základního souboru HX , YL, kde X resp. Y je průměrná měsíční spotřeba alkoholu obyvatele městečka před zmíněnými úmrtími resp. po nich. Rozdíl Z = Y - X tedy vyjadřuje, jak se tato spotřeba alkoholu u obyvatele městečka zvýšila nebo snížila. Za kritérium změny v požívání alkoholu můžeme vzít buď střední hodnotu EZ veličiny Z nebo její medián mèZ . Rovnost EZ = 0 znamená, že průměrná měsíční spotřeba alkoholu obyvatele městečka se nezměnila. Rovnost mèZ = 0 naproti tomu znamená jenom tolik, že počet obyvatel městečka, kteří po úmrtích požívání alkoholu omezili, je přibližně stejný, jako počet obyvalel, kteří naopak začali pít víc. Za předpokladu normality náhodného vektoru HX , YL můžeme otestovat hypotézu EZ = 0 proti hypotéze EZ ∫ 0 s výsledkem s 200 = -100, T = ÅÅÅÅÅÅÅÅ è!!!ÅÅ!Å t1-aê2 Hn - 1L = ÅÅÅÅÅÅÅÅ è!!!ÅÅÅÅ!Å 2.36462 = 167.204, » » < T, n 8 což znamená, že na hladině významnosti a = 5 % nelze hypotézu EZ = 0 zamítnout. Protože dosažená hladina významnosti tohoto testu je 0.2002, nulovou hypotézu lze zamítnout oboustranným testem až na hladině významnosti a > 0.2., tj. s pravděpodobností chyby 1. druhu větší než 20 %, nebo jednostranným testem proti hypotéze E X < 0 až na hladině významnosti a > 0.1, tj. s pravděpodobností chyby 1. druhu alespoň 10 %. Protože normalita implikuje rovnost střední hodnoty a mediánu, testy hypotéz o střední hodnotě jsou současně testy hypotéz o mediánu. Pokud usoudíme, že normalitu předpokládat nelze, můžeme pouze otestovat hypotézu mèZ = 0 proti některé ze tří možných hypotéz mè ∫ 0, mè < 0, mè > 0. Protože pro Z, jak velmi snadno zjistíme, Z

Z

Z

n∫0 = 7, n>0 = 2, ka,1 H7L = 0, ka,2 H7L = 7, RZn,0 = -1.13389, u0.95 = 1.64485, u0.975 = 1.95996,

ani jeden z možných šesti znaménkových testů hypotézu mèZ = 0 na dané hladině významnosti nezamítá. Na hladině významnosti a = 5 % proto nelze tvrdit, že úmrtí konzumaci alkoholu v městečku nějak významně změnila.

4. Wilcoxonův jednovýběrový test 4.1. Tento test je testem hypotézy H0 : mè = c o mediánu rozdělení se spojitou distribuční funkcí F za předpokladu, že toto rozdělení je kolem mediánu mè symetrické, tj. že pro každé reálné číslo x platí rovnost FHmè - xL = 1 - FHmè + xL. Protože symetrie rozdělení kolem bodu c implikuje, že c je medián, Wilcoxonův test hypotézy H0 je vlastně testem

4


symetrie rozdělení kolem bodu c. K zamítnutí hypotézy H0 proto může dojít buď proto, že c není medián, nebo proto, že rozdělení není kolem mediámu symetrické. 4.2. Wilcoxonova jednovýběrová statistica. Pro každý vektor = Hx1 , ... , xn L œ n označme = Hx*1 , ... , x*n L posloupnost absolutních hodnot čísel x1 , x2 , ... , xn seřazených do neklesající posloupnosti a pro každé i = 1, 2, ... , n definujme pořadí r+i HL absolutní hodnoty x*i čísla xi v posloupnosti * jako aritmetický průměr všech indexů j, pro něž x*i = x*j , zmenšený o počet indexů j, pro něž xi = 0, a položme *

S + HL = ‚ r+i HL, S - HL = ‚ r+i HL. xi >0

xi <0

Označíme-li ještě n` počet indexů i, pro které xi ∫ 0, pak se snadno ověří, že

S + HL + S - HL = n` Hn` + 1L ê 2.

Jeli = HX1 , ... , Xm L náhodný výběr, pak náhodná veličina S + = SHL je tzv. Wilcoxonova jednovýběrová statistika (Wilcoxon signed rank statistic). 4.3. Věta. Nechť = HX1 , ... , Xn L je náhodný výběr ze základního soubor X se spojitou distribuční funkcí F, jehož rozdělení pravděpodobnosti je symetrické kolem 0. Potom 1 1 ES + = ES - = ÅÅÅÅÅ n Hn + 1L, var S + = var S - = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ n Hn + 1L H2 n + 1L. 4 24 4.4. Kritické hodnoty pro Wilcoxonovův jednovýběrový test. Pro každé celé číslo k z intervalu X0, nHn + 1L ê 2\ nechť ·+W HkL je počet permutací = Hx1 , x2 ... , xn L množiny 81, 2, ... , n<, kde x1 < x2 < ... < xm , xm+1 < xm+2 < ... < xn pro některé m œ X0, n\ a x1 + ... + xm = k, a nechť fW+ HkL = ·+W HkL 2-n pro k œ 80, 1, ... , nHn + 1L ê 2<,

fW+ HxL = 0 pro x – 80, 1, ... , nHn + 1L ê 2<,

+ FW HxL = ‚ fW+ HkL pro všechna x œ . k§x

Snadno je vidět, že pro každou permutaci = Hx1 , ... , xn L množiny 81, 2, ... , n<, kde x1 < x2 < ... < xm , xm+1 < xm+2 < ... < xn , platí implikace 1 Hy1 , ... , yn L = Hxm+1 , ... , xn , x1 , ... , xm L ï ‚ xi + ‚ yi = ÅÅÅÅÅ nHn + 1L. 2 i=1 i=1 m

n-m

Odtud vyplývají postupně identity ·+W HkL = ·+W HnHn + 1L ê 2 - kL,

1 1 ·+W J ÅÅÅÅÅ nHn + 1L - kN = ·+W J ÅÅÅÅÅ nHn + 1L + kN, 4 4 + + + 1 + 1 fW HkL = fW HnHn + 1L ê 2 - kL, fW J ÅÅÅÅÅ nHn + 1L - kN = fW J ÅÅÅÅÅ nHn + 1L ê 2 + kN, 4 4 + + FW HxL = 1 - FW HnHn + 1L ê 2 - @xD - 1L,

kde @xD je celá část čísla x.

Dolní a horní kritické hodnoty Wilcoxonovy jednovýběrové statistiky jsou definovány vztahy + + kW,1 Hn, aL = k ó FW HkL § a Ï FW Hk + 1L > a, + + kW,2 Hn, aL = k + 1 ó FW HkL ¥ 1 - a Ï FW Hk - 1L < 1 - a. + Z vlastností funkce FW snadno vyplývá identita

1 kW,2 Hn, aL = ÅÅÅÅÅ nHn + 1L - kW,1 Hn, aL. 2

Kritické hodnoty Whitneyovy jednovýběrové statistiky jsou definovány pro 0 < a < 1 ê 2 vztahem kW Hn, aL = kW,1 Hn, a ê 2L.

V literatuře bývají tyto kritické hodnoty označovány wa HnL.


5

4.5. Věta. Nechť = HX1 , ... , Xm L je náhodný výběr ze základního souboru X se spojitou distribuční funkcí F. Jestliže rozdělení pravděpodobnosti základního souboru je symetrické kolem 0, tj. FH-xL = 1 - FHxL pro všechna x œ , potom + P @S + HL = x D = fW+ HxL, P @S + HL § xD = FW HxL, + P @S HL § xD § a ó x § kW,1 Hn, aL, P @S + HL ¥ xD § a ó x ¥ kW,2 Hn, aL, P @min 8S + HL, S - HL< § xD § a ó x § kW Hn, aL.

4.6. Wilcoxonův jednovýběrový test. Nechť = Hx1 , ... , xn L je realizace náhodného výběru ze základního soubor X se spojitou distribuční funkcí F, jehož rozdělení pravděpodobnosti je symetrické kolem mediánu mè, nechť c = Hx1 - c, ... , xn - cL a nechť n` je počet nenulových členů posloupnosti c . é é I. H : m = c, H : m π c. Hypotézu H : mè = c zamítneme na hladině významnosti a ve prospěch alternativy, jestliže 0

1

0

min 8S Hc L, S - Hc L< = min 8S + Hc L, n` Hn` + 1L ê 2 - S + Hc L< § kW Hn` , aL. +

é é II. H0 : m = c, H1 : m > c. Hypotézu H0 zamítneme na hladině významnosti a ve prospěch alternativy, jestliže platí jedna z následujících dvou ekvivalentních nerovností S + Hc L ¥ kW,2 Hn` , aL = n` Hn` + 1L ê 2 - kW Hn` , 2 aL, S - Hc L § kW,1 Hn` , aL = kW Hn` , 2 aL.

é é III. H0 :m = c, H1 : m < c. Hypotézu H0 zamítneme na hladině významnosti a ve prospěch alternativy, jestliže platí jedna z následujících dvou ekvivalentních nerovností S + Hc L § kW,1 Hn` , aL, S - Hc L ¥ kW,2 Hn` , aL = n` Hn` + 1L ê 2 - kW Hn` , 2 aL. 4.7. Asymptotická varianta Wilcoxonova jednovýběrového testu. Kritické hodnoty Wilcoxonova jednovýběrového testu lze ve většině statistických tabulek najít pro nepříliš velké hodnoty n od 4 do přibližně 30. Není-li potřebná kritická hodnota kW Hn, aL dostupná, můžeme pro n > 10 použít statistiku S + Hc L - ÅÅÅÅ14 n` Hn` + 1L S + Hc L - ES+ Hc L RW = RW Hc L = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ! ÅÅÅÅÅÅ = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ "############################################ 1 ` ` var S + Hc L ÅÅÅÅ Å Å n Hn + 1L H2 n` + 1L 24

která má pro n Ø ¶ asymptoticky normované normální rozdělení. Na hladině významnosti blížící se a pak hypotézu H0 : mè = c zamítneme ve prospěch alternativy H1 : mè ∫ c, bude-li platit nerovnost » RW » ¥ u1-aê2 , kde u b je jako obvykle b-kvantil normovaného normálního rozdělení, a hypotézu H0 : mè = c zamítneme ve prospěch alternativy H1 : mè > c resp. H1 : mè < c, bude-li platit nerovnost RW ¥ u1-aê2 resp. RW § -u1-aê2 . 4.8. Příklad - pokračování příkladu 3.7. Otestujme hypotézu H0 : mè = c pro c = 60 znovu pomocí Wilcoxonova testu. Protože

xi

1

2

3

4

8

9

10

53

48

45

55 63 51 66 56

50

58

yi = xi - c -7 -12 -15 -5

5

6

7

3

-9

6

y*i

2

3

4

5

6

7

9

r+i

6

9

10

4

2

7

5

-4 -10 -2 , 10 12 15 3

8

1

S + HL = r+5 HL + r+7 HL = 2 + 5 = 7, S - HL = 55 - 7 = 48, min 8S + HL, S - HL< = 7, w0.05 H10L = 8, hypotézu H0 , podle níž v lidské populaci polovina osob délku jedné minuty podhodnotí a polovina tuto délku nadhodnotí, na hladině významnosti a = 0.05 zamítneme. Protože

6


ES + = 27.5, var S + = 96.25, RW = RW Hc L = -2.09, u0.975 = 1.95996, hypotézu H0 zamítá na dané hladině významnost i test zakládající se na statistice RW . 4.9. Příklad - pokračování příkladu 3.8. Podívejme se, co říká o hypotéze mèZ = 0 Wilcoxonův test. Protože z tabulky 1 zi -300 z*i

0

ri

6

2 0

3

4

5

6

7

8

200 -200 100 -100 -100 -400

100 100 0

4.5

100

200

200

300

400

4.5

2

2

2

7

,

v níž jsou zapsány všechny potřebné hodnoty, plyne S + HL = r+3 HL + r+5 HL = 4.5 + 2 = 6.5, S - HL = 28 - 6.5 = 21.5, min 8S + HL, S - HL< = 6.5, w0.05 H7L = 2,

hypotézu mèZ = 0 nelze na hladině významnosti a = 0.05 zamítnout. Protože

ES + = 14, var S + = 35, RW = RW H0 L = -1.268, u0.975 = 1.95996,

hypotézu mèZ = 0 nezamítá na dané hladině významnost ani test zakládající se na statistice RW , který je však vzhledem k malé hodnotě redukovaného rozsahu n` velmi hrubý.

5. Mannův-Whitneyův test 5.1. Tento test, který je v literatuře často uváděn jako Wilcoxonův dvouvýběrový test, je obdobou testu rovnosti středních hodnot dvou nezávislých náhodných výběrů z normálních rozdělení se stejným rozptylem, testuje však silnější hypotézu, že dva základní soubory X , Y se spojitými distribučními funkcemi F, G mají stejné rozdělení pravděpodobnosti, tj. hypotézu H0 : F = G. Víme-li, že G má stejný tvar jako F, tj. že pro některé m a všechna x platí rovnost GHxL = FHx - mL, můžeme pomocí tohoto testu testovat také hypotézu H0 : m = m0 proti jedné z alternativ H1 : m ∫ m0 , H1 : m > m0 , H1 : m < m0 . 5.2. Mannova-Whitneyova statistika. Pro každé dvě posloupnosti = Hx1 , ... , xm L, = Hy1 , ... , yn L reálných čísel položme U H, L = ‚ ‚ HHy j - xi L, m

n

i=1 j=1

kde H je funkce nabývající hodnoty 0 na intervalu H-¶, 0L, hodnoty 1 ê 2 v bodě 0 a hodnoty 1 na intervalu H0, +¶L. Snadno se ověří, že UH, L závisí pouze na množinách 8x1 , ... , xm <, 8y1 , ... , yn < a 1 1 UH, L + U H, L = mn, UH, L = ÅÅÅÅÅ mn - k ó U H, L = ÅÅÅÅÅ mn + k. 2 2

Jsou-li = HX1 , ... , Xm L a = HY1 , ... , Yn L náhodné výběry, pak náhodná veličina U = U H, L je tzv. MannovaWhitneyova statistika. 5.3. Věta. Nechť = HX1 , ... , Xm L a = HY1 , ... , Yn L jsou nezávislé náhodné výběry ze základních souborů X a Y se spojitými distribučními funkcemi F resp. G. Jestliže F = G, potom 1 1 EU = ÅÅÅÅÅ mn, var U = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ mnHm + n + 1L. 2 12 5.4. Kritické hodnoty pro Mannovův-Whitneyův test. Pro každé celé číslo k z intervalu X0, m n\ nechť ·MW HkL je počet permutací H, L = Hx1 , ... , xm , y1 , ... , yn L množiny 81, 2, ... , m + n<, kde a jsou rostoucí posloupnosti a U H, L = k, a nechť


7

i m + n zy fMW HkL = ·MW HkL jj z k m {

-1

pro k œ 80, 1, ... , mn<,

fMW HxL = 0 pro x – 81, 2, ... mn<,

FMW HxL = ‚ fMW HkL pro všechna x œ . k§x

Snadno je vidět, že pro posloupnosti - = m + n + 1 - Hxm , ... , x1 L a - = m + n + 1 - Hyn , ... , y1 L platí rovnost U H- , - L = UH, L. Odtud a z výše uvedeného vztahu mezi U H, L a UH, L vyplývají postupně identity ·MW HkL = ·MW Hmn - kL,


1 1 ·MW J ÅÅÅÅÅ mn - kN = ·MW J ÅÅÅÅÅ mn + kN, 2 2 1 1 fMW HkL = fMW Hmn - kL, fMW J ÅÅÅÅÅ mn - kN = fMW J ÅÅÅÅÅ mn + kN, 2 2 FMW HxL = 1 - FMW Hmn - @xD - 1L,

Dolní a horní kritické hodnoty Mannovy-Whitneyovy statistiky jsou definovány vztahy kMW,1 Hm, n, aL = k ó FMW HkL § a fl FMW Hk + 1L > a, kMW,2 Hm, n, aL = k + 1 ó FMW HkL ¥ 1 - a fl FMW Hk - 1L < 1 - a. Z vlastností funkce FMW snadno vyplývá identita kMW,2 Hm, n, aL = mn - kMW,1 Hm, n, aL.

Kritické hodnoty Mannovy-Whitneyovy statistiky jsou definovány pro 0 < a < 1 ê 2 vztahem kMW Hm, n, aL = kMW,1 Hm, n, a ê 2L.

5.5. Poznámka. Kritické hodnoty kMW Hm, n, aL se zpravidla označují Wa Hm, nL a jsou známy spíše jako kritické hodnoty pro Wilcoxonův test. Stejný název se ale používá i pro kritické hodnoty kW Hm, n, aL definované v odstavci 6.5 a značené např. wa Hm, nL, které jsou o mHm + 1L ê 2 větší.

5.6. Věta. Nechť = HX1 , ... , Xm L a = HY1 , ... , Yn L jsou nezávislé náhodné výběry ze základních souborů X a Y se spojitými distribučními funkcemi F resp. G. Jestliže F = G, potom pro každé reálné x P @UH, L = x D = fMW HxL, P @UH, L § xD = FMW HxL, P @U H, L § xD § a ó x § kMW,1 Hm, n, aL, P @U H, L ¥ xD § a ó x ¥ kMW,2 Hm, n, aL, P @min 8U H, L, U H, L< § xD § a ó x § kMW Hm, n, aL.

5.7.Mannův-Whitneyův test. Nechť = HX1 , ... , Xm L a = HY1 , ... , Yn L jsou nezávislé náhodné výběry ze základních souborů X a Y se spojitými distribučními funkcemi F resp. G a nechť , jsou jejich realizace. I. H0 : F = G, H1 : F π G. Hypotézu H0 : F = G zamítneme na hladině významnosti a ve prospěch alternativy, jestliže min 8UH, L, U H, L< = min 8U H, L, mn - UH, L< § kMW Hm, n, aL. II. Předpokládejme nyní, že F a G mají stejný tvar, tj. že pro některé m a všechna x platí rovnost GHxL = FHx - mL, takže za platnosti hypotézy H0 : m = m0 má Y0 = Y - m0 stejné rozdělení jako X a 0 = - m0 je realizace náhodného výběru 0 = - m0 = HY1 - m0 , ... , Yn - m0 L z 0 . To nám dovoluje testovat H0 proti každé ze tří možných alternativ. (a) H0 : m = m0 , H1 : m π m0 . Hypotézu H0 zamítneme na hladině významnosti a ve prospěch alternativy, jestliže min 8U H, 0 L, U H0 , L< = min 8U H, 0 L, mn - U H, 0 L< § kMW Hm, n, aL.

8


(b) H0 : m = m0 , H1 : m > m0 . Hypotézu H0 zamítneme na hladině významnosti a ve prospěch alternativy, jestliže platí jedna z následujících dvou ekvivalentních nerovností UH, 0 L ¥ kMW,2 Hm, n, aL = mn - kMW Hm, n, 2 aL, U H0 , L § kMW Hm, n, 2 aL. (c) H0 : m = m0 , H1 : m < m0 . Hypotézu H0 zamítneme na hladině významnosti a ve prospěch alternativy, jestliže platí jedna z následujících dvou ekvivalentních nerovností U H, 0 L § kMW,1 Hm, n, aL, U H0 , L ¥ kMW,2 Hm, n, aL = mn - kMW Hm, n, 2 aL. 5.8. Asymptotická varianta Mannova-Whitneyova testu. Kritické hodnoty Mannovy-Whitneyovy statistiky lze ve většině statistických tabulek najít pro nepříliš velké hodnoty m, n od 4 do přibližně 30. Není-li potřebná kritická hodnota kMW Hm, n, aL dostupná, můžeme pro m > 10, n > 10 použít statistiku U H, L - ÅÅÅÅ12 mn U H, L - EU H, L 2 UH, L - mn ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅ Å ÅÅÅ Å ÅÅÅ Å = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ!Å , RMW = RMW H, L = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! var U H, L mnHm + n + 1L ê 12 mnHm + n + 1L ê 3

která má pro m Ø ¶, n Ø ¶ asymptoticky normované normální rozdělení. Na hladině významnosti blížící se a pak hypotézu H0 : F = G zamítneme ve prospěch alternativy H1 : F ∫ G, bude-li platit nerovnost » RMW » ¥ u1-aê2 , kde u b je jako obvykle b-kvantil normovaného normálního rozdělení, a hypotézu H0 : m = m0 zamítneme za předpokladu, že F a G mají stejný tvar, ve prospěch alternativy H1 : m ∫ m0 resp. H1 : m > m0 resp. H1 : m < m0 , bude-li platit nerovnost » RMW » ¥ u1-aê2 resp. RMW ¥ u1-aê2 resp. RMW § -u1-aê2 . 5.9. Příklad-pokračování příkladů 3.8 a 4.9. Na rozdíl od příkladů 3.8 a 4.9 nyní předpokládejme, že průměrná spotřeba před úmrtími byla zjišťována tak jako v těchto příkladech u 8 vybraných obyvatel, po úmrtích však již tito lidé v městečku nežili resp. nebylo z různých důvodů možné jejich spotřebu alkoholu zjistit, a proto byla zjištěna spotřeba alkoholu u jiných 11 náhodně vybráných obyvatel. Máme tedy realizace , dvou nezávislých náhodných výběrů - z rozdělení spotřeby alkoholu před úmrtími a z rozdělení alkoholu po úmrtích: Osoba

1

2

Před úmrtími

6

6 12 12 7 16 9 10

Po úmrtích

58 5

3

4

2

5

3

6

7

0 15 6

8 4

9

10 11

1

8

5

@dcllD @dcllD

Hypotézu, že úmrtí spotřebu alkoholu v městečku neovlivnila, můžeme zřejmě interpretovat jako hypotézu H0 o rovnosti obou rozdělení. Použijeme-li k jejímu ověření Mannův-Whitneyův test, zapíšeme hodnoty HHy j - xi L přehledně do tabulky xi \ y j

58

5

2

3

0

15

6

1

0

0

0

0

1

6

1

0

0

0

0

1

12

1

0

0

0

0

1

12

1

0

0

0

0

7

1

0

0

0

0

16

1

0

0

0

9

1

0

0

10

1

0

0

a z ní postupně vypočteme

6

1ê2

4

1

8

5

1ê2

0

0

1

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

1

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

UH, L = 19, U H, L = 69, min 8U H, L, U H, L< = 19.

Protože kMW H8, 10, 0.05L = 19, náhodné výběry leží v kritickém oboru testu, a proto nulovou hypotézu, tj. že spotřeba alkoholu po úmrtích je mezi obyvateli městečka rozložena stejně jako před úmrtími, na hladině významnosti 0.05 zamítáme. Protože


9

19.0 - 44 RMW = RMW H, L = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ!ÅÅ = -2.06431, u0.975 = 1.95996, è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 88 µ 20 ê 12 nulovou hypotézu zamítá i asymptotická varianta Mannova-Whitneyova testu.

6. Wilcoxonův dvouvýběrový test 6.1. Tento test, v anglosaské literatuře známý jako Wilcoxon rank-sum test, je zcela rovnocenný Mannovu-Whitneyovu testu, a proto jím lze testovat stejné hypotézy jako Mannovým-Whitneyovým testem. Rovnocennost obou testů je důsledkem jednoduchého vztahu mezi statistikami, na nichž se tyto testy zakládají, a totiž, že Wilcoxonovy statistiky se od Mannových-Whitneyových liší o konstanty závislé pouze na rozsazích náhodných výběrů, z nichž jsou konstruovány. 6.2. Wilcoxonova dvouvýběrová statistika. Pro každé dvě posloupnosti = Hx1 , ... , xm L, = Hy1 , ... , yn L reálných čísel položme = Hz1 , ... zm+n L = Hx1 , ... , xm , y1 , ... , yn L,

uspořádejme čísla zi do neklesající posloupnosti * = Hz*1 , ... , z*m+n L, definujme tzv. sdružené pořadí ri H, L čísla zi v této posloupnosti jako aritmetický průměr všech indexů j, pro něž z*i = z*j , a položme SH, L = ‚ ri H, L. m

i=1

Snadno se ověří, že SH, L závisí pouze na množinách 8x1 , ... , xm <, 8y1 , ... , yn < a 1 SH, L + SH, L = ÅÅÅÅÅ Hm + nL Hm + n + 1L. 2

Jsou-li = HX1 , ... , Xm L a = HY1 , ... , Yn L náhodné výběry, pak náhodná veličina S = SH, L je tzv. Wilcoxonova dvouvýběrová statistika (Wilcoxon rank-sum statistic). Následující věta uvádí do souvislosti Mannovu-Whitneyovu a Wilcoxonovu dvouvýběrovou statistiku. S její pomocí lze snadno pro každý výrok o Mannově-Whitneyově statistice vyslovit ekvivalentní výrok o Wilcoxonově dvouvýběrové statistice. 6.3. Věta. Pro každé dvě posloupnosti = Hx1 , ... , xm L, = Hy1 , ... , yn L 1 1 SH, L = mn + ÅÅÅÅÅ mHm + 1L - UH, L = ÅÅÅÅÅ mHm + 1L + U H, L. 2 2

6.4. Věta. Nechť = HX1 , ... , Xm L a = HY1 , ... , Yn L jsou nezávislé náhodné výběry ze základních souborů X a Y se spojitými distribučními funkcemi F resp. G. Jestliže F = G, potom 1 ES = ÅÅÅÅÅ mHm +n + 1L, 2

1 var S = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ mnHm + n + 1L. 12

6.5. Kritické hodnoty pro Wilcoxonův dvouvýběrový test. Pro každé celé číslo k z intervalu XmHm + 1L ê 2, mHm + 1L ê 2 + mn\ nechť ·W HkL je počet permutací H, L = Hx1 , ... , xm , y1 , ... , yn L množiny 81, 2, ... , m + n<, kde a jsou rostoucí posloupnosti a SH, L = k, a nechť i m + n yz fW HkL = ·W HkL jj z k m {

-1

1 1 pro k œ Z ÅÅÅÅÅ mHm + 1L, ÅÅÅÅÅ mHm + 1L + mn^ › , 2 2

fW HxL = 0 pro ostatní x,

FW HxL = ‚ fW HkL pro všechna x œ . k§x

Z vlastností statistik UH, L, SH, L a vztahů mezi nimi snadno vyplývají následující identity

10


m ·W HkL = ·MW Jk - ÅÅÅÅÅÅ Hm + 1LN, 2 m m ·W HkL = ·W HmHm + n + 1L - kL, ·W J ÅÅÅÅÅÅ Hm + n + 1L - kN = ·W J ÅÅÅÅÅÅ Hm + n + 1L + kN, 2 2 mHm + 1L fW HxL = fMW Jx - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ N, 2 m m fW HxL = fW HmHm + n + 1L - xL, fW J ÅÅÅÅÅÅ Hm + n + 1L - xN = fW J ÅÅÅÅÅÅ Hm + n + 1L + xN, 2 2 mHm + 1L FW HxL = FMW Jx - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ N, 2


FW HxL = 1 - FW HmHm + n + 1L - @xD - 1L,

Dolní a horní kritické hodnoty Wilcoxonových statistik jsou definovány vztahy kW,1 Hm, n, aL = k ó FW HkL § a fl FW Hk + 1L > a, kW,2 Hm, n, aL = k + 1 ó FW HkL ¥ 1 - a fl FW Hk - 1L < 1 - a. Z vlastností funkcí FMW , FW a vztahu mezi nimi snadno vyplývají identity m kW,1 Hm, n, aL = kMW,1 Hm, n, aL + ÅÅÅÅÅÅ Hm + 1L, 2 m kW,2 Hm, n, aL = kMW,2 Hm, n, aL + ÅÅÅÅÅÅ Hm + 1L, kW,2 Hm, n, aL = mHm + n + 1L - kW,1 Hm, n, aL. 2

Kritické hodnoty Wilcoxonovy statistiky jsou definovány pro 0 < a < 1 ê 2 vztahem kW Hm, n, aL = kW,1 Hm, n, a ê 2L.

V literatuře jsou kritické hodnoty kW Hm, n, aL označovány wa Hm, nL i jinak.

6.6. Věta. Nechť = HX1 , ... , Xm L a = HY1 , ... , Yn L jsou nezávislé náhodné výběry ze základních souborů X a Y se spojitými distribučními funkcemi F resp. G. Jestliže F = G, potom pro každé reálné x P @SH, L = x D = fW HxL, P @SH, L § xD = FW HxL, P @SH, L § xD § a ó x § kW,1 Hm, n, aL, P @SH, L ¥ xD § a ó x ¥ kW,2 Hm, n, aL, P @min 8SH, L, mHm + n + 1L - SH, L< § xD § a ó x § kW Hm, n, aL.

6.7.Wilcoxonův test. Nechť = HX1 , ... , Xm L a = HY1 , ... , Yn L jsou nezávislé náhodné výběry ze základních souborů X a Y se spojitými distribučními funkcemi F resp. G a nechť , jsou jejich realizace. I. H0 : F = G, H1 : F π G. Hypotézu H0 : F = G zamítneme na hladině významnosti a ve prospěch alternativy, jestliže min 8SH, L, m Hm + n + 1L - SH, L< § kW Hm, n, aL. II. Předpokládejme nyní, že F a G mají stejný tvar, tj. že pro některé m a všechna x platí rovnost GHxL = FHx - mL, takže za platnosti hypotézy H0 : m = m0 má Y0 = Y - m0 stejné rozdělení jako X a 0 = - m0 je realizace náhodného výběru 0 = - m0 = HY1 - m0 , ... , Yn - m0 L z 0 . To nám dovoluje testovat H0 proti každé ze tří možných alternativ. (a) H0 : m = m0 , H1 : m π m0 . Hypotézu H0 zamítneme na hladině významnosti a ve prospěch alternativy, jestliže min 8SH, 0 L, mHm + n + 1L - SH, 0 L< § kW Hm, n, aL. (b) H0 : m = m0 , H1 : m > m0 . Hypotézu H0 zamítneme na hladině významnosti a ve prospěch alternativy, jestliže


11

SH, 0 L § kW,1 Hm, n, aL = kW Hm, n, 2 aL (c) H0 : m = m0 , H1 : m < m0 . Hypotézu H0 zamítneme na hladině významnosti a ve prospěch alternativy, jestliže SH, 0 L ¥ kW,2 Hm, n, aL = mHm +n + 1L - kW Hm, n, 2 aL. 6.8. Asymptotická varianta Wilcoxonova testu. Kritické hodnoty Wilcoxonovy statistiky lze ve většině statistických tabulek najít pro nepříliš velké hodnoty m, n od 4 do přibližně 30. Není-li potřebná kritická hodnota kW Hm, n, aL dostupná, můžeme pro m > 10, n > 10 použít statistiku RW = RW H, L =

SH, L - ÅÅÅÅ12 mHm + n + 1L SH, L - ESH, L 2 SH, L - mHm + n + 1L = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅ Å ÅÅÅÅ = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅ è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ! ÅÅ Å , var SH, L mnHm + n + 1L ê 12 mnHm + n + 1L ê 3

která má pro m Ø ¶, n Ø ¶ asymptoticky normované normální rozdělení. Protože, jak se snadno ověří, RW = RW H, L = RMW H, L = -RMW H, L,

testy, založené na asymptotickém rozdělení statistiky RMW mají zřejmé ekvivalenty založené na statistice RW . Na hladině významnosti blížící se a tedy hypotézu H0 : F = G zamítneme ve prospěch alternativy H1 : F ∫ G, bude-li platit nerovnost » RW » ¥ u1-aê2 , kde u b je jako obvykle b-kvantil normovaného normálního rozdělení, a hypotézu H0 : m = m0 zamítneme za předpokladu, že F a G mají stejný tvar, ve prospěch alternativy H1 : m ∫ m0 resp. H1 : m > m0 resp. H1 : m < m0 , bude-li platit nerovnost » RW » ¥ u1-aê2 resp. RW § -u1-aê2 resp. RW ¥ -u1-aê2 . 6.9. Příklad-pokračování příkladů 3.8, 4.9 a 5.9. Chceme-li místo Mannova-Whitneyova testu použít Wilcoxonův test, zapíšeme přehledně výchozí data, neklesající posloupnost těchto dat * a pořadí výchozích dat v v posloupnosti * do tabulky 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13 14 15 16 17 18

x1 x2

x3

x4

x5 x6 x7 x8

y1

y2

y3 y4 y5 y6 y7 y8 y9 y10 y11

zi

6

6

12

12

7

16

9

10 58

5

2

3

0

15

8

5

z*i

0

1

2

3

4

5

5

6

6

7

8

9

10 12 12 15 16

58

ri

9

9 15.5 15.5 11 18 13 14 19 6.5

3

4

1

17

6

6 9

4 5

1 2

19 ,

12 6.5

a z ní snadno vypočteme SH, L = 105.0, mHm + n + 1L - SH, L = 160 - 105.0 = 55. Protože kW H8, 11L = 55, náhodné výběry leží v kritickém oboru testu a proto nulovou hypotézu, podle níž je spotřeba alkoholu mezi obyvateli městečka rozložena po úmrtích stejně jako před úmrtími, na hladině významnosti 0.05 zamítáme. Protože 105.0 - 80 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ!ÅÅ = 2.06431, u0.975 = 1.95996 RW = RW H, L = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 88 µ 20 ê 12 nulovou hypotézu zamítá i asymptotická varianta Wilcoxonova testu.

6. Spearmanův korelační koeficient a test nezávislosti 7.1. Testování nezávislosti pomocí výběrového korelačního koeficientu náhodných veličin X , Y je vázáno na předpoklad normality rozdělení náhodného vektoru HX , Y L. Dost často se však stává, že tento předpoklad je porušen. Někdy ani není možné hodnoty veličin v náhodném výběru HX1 , Y1 L, ... , HXn , Yn L přesně stanovit a je známo jenom jejich pořadí. Jsou-li si však pořadí veličin Xi a veličin Yi hodně podobná, lze nepochybně očekávat, že mezi X a Y existuje jistá závislost. 7.2. Definice Spearmanova korelačního koeficientu. Pro každý vektor = Hx1 , ... , xn L seřaďme čísla x1 , ... , xn do neklesající posloupnosti * = Hx*1 , ... , x*n L a pro každé i = 1, 2, ... , n definujme pořadí ri HL čísla xi v posloupnosti * jako aritmetický průměr všech indexů j, pro něž x*i = x*j .

12


Předpokládejme nyní, že HX1 , Y1 L, ... , HXn , Yn L je náhodný výběr ze základního souboru HX , YL se spojitým rozdělením a položme = HX1 , ... , Xn L, Ri = ri HL, R = HR1 , ... , Rn L, = HY1 , ... , Yn L, Qi = ri HL, Q = HQ1 , ... , Qn L Spearmanův korelační koeficient je definován jako výběrový korelační koeficient výběrů R a Q formulí 6 ⁄ni=1 Ri Qi - n R Q rS = rS H, L = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = 1 - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ‚ HRi - Qi L2 . 2 - 1L nHn 2 2 i=1 $%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% J⁄ni=1 R2i - nR N J⁄ni=1 Q2i - n Q N n

kde R = Q = Hn + 1L ê 2 jsou výběrové průměry výběrů R a Q. 7.3. Věta. Jsou-li veličiny X , Y nezávislé, potom 1 ErS = 0, var rS = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ n-1

a veličina rS

è!!!!!!!!!!!! n - 1 má asymptoticky normované normální rozdělení.

7.4. Spearmanův test nezávislosti. Hypotézu, že veličiny X a Y jsou nezávislé, zamítneme na hladině významnosti a na základě realizace rS = rS H, L Spearmanova koeficientu, platí-li nerovnost » rS » ¥ rS Hn, aL, kde rS Hn, aL je kritická hodnota Spearmanova korelačního koeficientu, kterou najdeme ve statistických tabulkách. è!!!!!!!!!!!! V případě n > 30 lze využít asymptotickou normalitu veličiny rS n - 1 a hypotézu nezávislosti zamítnout, platí.li u 1-aê2 ÅÅÅÅÅÅÅÅ! a u b je jako obvykle b-kvantil normovaného normálního rozdělení. nerovnost » rS » ¥ u*S Hn, aL, kde uS* Hn, aL = ÅÅÅÅÅÅÅÅ è!!!!!!!!!!! n-1

Má-li základní soubor HX , YL regulární normální rozdělení s korelačním koeficientem ·, pak se dá dokázat, že 6 n-2 · 6 ErS = ÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ arcsin ÅÅÅÅÅ + ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ arcsin ·. p n+1 2 pHn + 1L

S rostoucím n se druhý člen na pravé straně blíží k nule a přitom výběrový korelační koeficient r = rH, L konverguje skoro jistě k ·. Dostaneme tak přibližnou rovnost p r U 2 sinJ ÅÅÅÅÅ rS N. 6 Pokud se v datech, z nichž je koeficient rS počítán, vyskytuje mnoho shod, tj. stejně velkých pozorování, doporučuje se použít korigovaný Spearmanův koeficient. Ten je definován vzorci 6 ⁄ni=1 HRi - Qi L2 1 1 rS,korig = 1 - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ , Tx = ÅÅÅÅÅ ‚ Htx3 - tx L, T y = ÅÅÅÅÅ ‚ Ht3y - t y L, n3 - n - T x - T y 2 2 kde tx resp. t y označuje počty stejně velkých x-ových resp. y-ových hodnot. 7.5. Příklad. Na základě údajů v tabulce Země

Spotřeba alkoholu

Úmrtnost

Země

Spotřeba Úmrtnost alkoholu

Finsko

3.9

3.6

Belgie

10.8

12.3

Norsko

4.2

4.3

Rakousko

10.9

7.0

Irsko

5.6

3.4

NSR

12.3

23.7

Holandsko

5.7

3.7

Itálie

15.7

23.6

Švédsko Anglie a Wales

6.6

7.2

Francie

24.7

46.1

7.2

3.0

,


13

převzatých z publikace J.F. Osborn, Statistical Exercises in Medical Rexearch, Blackwell Scientific Publications, 1979, Oxford, rozhodněte na hladině významnosti a = 5 %, zda spotřeba alkoholu a úmrtnost na cirhózu jater a alkoholismus (což je počet zemřelých s touto diagnózou na 100 000 obyvatel) jsou nezávislé veličiny. Řešení. Pro n = 11 a

postupně vypočteme

= H3.9, 4.2, 5.6, 5.7, 6.6, 7.2, 10.8, 10.9, 12.3, 15, 7, 24.7L, = H3.6, 4.3, 3.4, 3.7, 7.2, 3.0, 12.3, 7.0, 23.7, 23.6, 46.1L R = H1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11L, Q = H3, 5, 2, 4, 7, 1, 8, 6, 10, 9, 11<, R - Q = H-2, -3, 1, 0, -2, 5, -1, 2, -1, 1, 0L, HR - QLT .HR - QL = H4, 9, 1, 0, 4, 25, 1, 4, 1, 1, 0L, HR - QL.HR - QL = ‚ HRi - Qi L2 = 50, n

i=1

6 17 rS = 1 - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ‚ HRi - Qi L2 = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ U 0.772727 2 nHn - 1L i=1 22 n

a v tabulkách najdeme kritickou hodnotu rS H11, 0.05L = 0.6091. Protože tato kritická hodnota je menší než » rS », hypotézu o nezávislosti spotřeby alkoholu a úmrtnosti na cirhózu jater a alkoholismus na hladině významnosti 5 % zamítáme. Tuto hypotézu bychom zamítli i při použití přibližné kritické hodnoty u*S H11, 0.05L, neboť u0.975 u*S H11, 0.05L = ÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ! U 0.619795. è!!!!!! 10

Literatura @1D Anděl Jiří, Statistické metody, 3. vyd., Matfyzpress, Praha, 2003

@3D Jaroš František a kolektiv, Pravděpodobnost a statistika, VŠCHT, Praha, 1998

@3D Montgomery Douglas C., Runger George C. Applied Statistics and Probability for Engineers, John Wiley & Sons, 2003

Neparametrické testy. 1. Úvod. 2. Medián

Recommend Documents