XXVI. ASR '2001 Seminar, Instruments and Control, Ostrava, April 26 - 27, 2001
Paper 48
Nelineární model pneumatického pohonu NOSKIEVIČ, Petr Doc.,Ing., CSc., 708 33
Katedra ATŘ-352, VŠB-TU Ostrava, 17. listopadu, Ostrava - Poruba,
[email protected],
http://www.vsb.cz
Abstrakt: Příspěvek je zaměřen na matematický model pneumatického motoru řízeného pomocí servoventilu. Pneumatický pohon může být řízen v otevřené smyčce nebo v uzavřeném regulačním obvodu. Sestavený matematický model může být použit pro simulaci pohonu a pro návrh jeho řízení. Matematický model popisuje dva základní prvky pneumatického pohonu – pneumatický válec a pneumatický servoventil, který umožňuje spojité řízení množství vzduchu přiváděného do pracovního prostoru pneumatického válce. Model servoventilu postihuje jeho dynamické vlastnosti a statické nelineární charakteristiky popisující proudění vzduchu přes proměnné řídicí odpory. Při výpočtu hmotnostních toků přes čtyři řídicí hrany servoventilu je v modelu uvažováno podkritické a nadkritické proudění vzduchu. Kritický poměr je uvažován jako proměnná, jejíž hodnota může být rozdílná pro různé směry proudění a různé řídicí hrany. Matematický model pneumatického válce vychází z pohybové rovnice pro píst a popisu změn hodnot tlaků v jeho pracovních prostorech za předpokladu adiabatických stavových změn. Matematický model byl sestaven a odladěn v programu MATLAB – Simulink. Klíčová slova: pneumatický pohon, matematický model, pneumatický válec, servoventil
1 Pneumatický servopohon Pneumatický servopohon je tvořen pneumatickým válcem a pneumatickým servoventilem, obr.1. Struktura pohonu a také základní struktura matematického modelu je analogická modelu přímočarého hydraulického pohonu řízeného pomocí ventilu pro plynulé řízení průtoku. V pneumatických pohonech dochází k přenosu energie pomocí proudění vzduchu pod tlakem. Řízení směru jeho proudění a hmotnostního toku se provádí pomocí proměnných odporů, proměnných průtočných průřezů v řídicích ventilech, které jsou u ventilů pro spojité řízení - servoventilů – x realizované nejčistěji pomocí pB,VB,TB pA,VA,TA šoupátkových rozváděčů [MURRENHOFF 1995, GÖLLNER 1995]. Sestavení matematického modelu qA qB vychází z aplikace zákonů qi , i=PA,AT, popisujících proudění plynů, xs PB,BT zákonů termomechaniky qT qT popisující přenos energie qS pomocí plynných látek. Obr.1 Pneumatický pohon řízený pomocí servoventilu
-1-
2 Pneumatický servoventil Matematický model pneumatického servoventilu vychází z modelování proudění vzduchu přes řídicí proměnné odpory realizované v řídicích ventilech. Model je sestaven analytickým m& PA postupem. S využitím zákonů termomechaniky popisujících proudění plynů v podzvukové a nadzvukové oblasti [NOSKIEVIČ 1999, VIRVALO 1999, MARÉ 2000]. Pneumatický servoventil je uvažován čtyřcestný v šoupátkovém provedení. Krytí šoupátka může být obecně nulové, pozitivní- obr.2 vpravo, negativní – obr.2 vlevo. xs0
xs0
xs
xs
Obr.2 Krytí šoupátka negativní – vlevo, pozitivní - vpravo Poloha šoupátka je řízena pomocí elektromechanického převodníku a výslednou dynamiku otevření ventilu lze dostatečně přesně popsat pomocí proporcionálního členu se setrvačností druhého řádu, jehož charakteristické hodnoty se určí z katalogových údajů. Vlastní frekvenci lze odečíst z frekvenční charakteristiky, obdobně lze stanovit i hodnotu součinitele poměrného tlumení ξ ≅ 0.9 , jelikož ventily jsou zpravidla dobře tlumené systémy s aperiodickým průběhem odezvy. Poloha šoupátka je modelována v závislosti na řídicím napětí u pomocí diferenciální rovnice 2.řádu Tsv2 &x&s + 2ξ sv Tsv x& s + x s = K sv u . (1) Velikost poměrného otevření průtočného průřezu se určí s ohledem na krytí podle vztahu x sv = x s ± x s 0 . (2) Velikost hmotnostních toků přes řídicí hrany ventilu, ze kterých se určí výsledný tok do m& A m& B prostoru pneumatického válce a do okolí, se učí pomocí modelování toku plynu přes trysku. m& AT m& PA m& PB m& BT Pomocí Bernoulliho rovnice vyjádřené v diferenciálním tvaru výtokovou rychlost stlačitelného média při uvažování adiabatické změny stavu plynu. Obr.3 Hmotnostní toky přes servoventil
m& = c0 S (x s ) p1
Hmotnostní toky přes řídicí hrany ventilu se určí obecně podle vztahu
2 2 κ p 2 κ p 2 − RT1 κ − 1 p1 p1
κ +1 κ
,
(3)
ve kterém p1 je tlak v prostoru, ze kterého vzduch proudí, a p2 je tlak v prostoru, do kterého proudí, p1 ≥ p 2 . Ze vztahu (3) vyplývá, že hmotnostní tok závisí na tlaku p1 a na poměru -2-
tlaků
p1 . Čím větší je rozdíl tlaků před a za průtočným průřezem p1 − p 2 , tedy menší poměr p2
p2 , tím vyšší je hmotnostní průtok. Zvyšování průtoku však není lineárně závislé, je určeno p1 nelineární funkcí 2 κ +1 κ p 2 κ p 2 κ − ψ= , κ − 1 p1 p1 která má maximum pro tzv. kritický poměr tlaků
(4)
κ
2 κ −1 b= , (5) κ + 1 jehož hodnota je pro vzduch 0,528. Zvětšuje-li se tedy rozdíl tlaků p1 a p2, snižuje se poměr p tlaků 2 od jedné k hodnotě 0,528, při které hmotnostní tok dosáhne maxima, výtoková p1 p rychlost je maximální. Dalším snižováním tlaku p2 a tedy snižováním poměru 2 se již p1 nedosáhne zvýšení hmotnostního toku, který je konstantní a roven maximální hodnotě při kritickém tlaku – nadkritické proudění. Po zavedení funkce ψ definované vztahem (4) lze vyjádřit hmotnostní tok vztahem m& = c0 S (x s ) p1 Průběh funkce ψ = ψ
p 2 ⋅ψ 2 . RT1 p1 p2 je na obr.4. p1
(6)
Průběh funkce psi 0.5 0.45 0.4 0.35 0.3 psi 0.25
Nadkritická oblast
0.2 0.15 0.1 Podkritická oblast 0.05 0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5 p2/p1
0.6
0.7
p Obr.4 Průběh funkce ψ = ψ 2 p1 -3-
0.8
.
0.9
1
3 Pneumatický motor Odvození matematického modelu lineárního pneumatického motoru – pneumatického válce – vychází z pohybové rovnice pro píst motoru m&x& = S A p A − S B p B − F − FT , (7) kde x je poloha pístu, pA, pB jsou tlaku v pracovních prostorech pneumatického válce, F je zatěžující síla, FT je síla tření, která zahrnuje suché i viskózní tření [NOSKIEVIČ 1999, MARÉ 2000, GÖLLNER 1995]. Tlaky v pracovních prostorech se určí z diferenciálních rovnic, které byly odvozeny za předpokladu adiabatické změny stavu
κ [R(T0 m& Ain − T A m& Aout ) − p A S A v] VA κ p& B = [R(T0 m& Bin − TB m& Bout ) + p B S B v] VB
p& A =
(8) (9)
Hmotnosti vzduchu v pracovních prostorech motoru se určí integrací hmotnostních toků t
m A (t ) = ∫ (m& Ain − m& Aout )dτ + m A (0) ,
(10)
0 t
m B (t ) = ∫ (m& Bin − m& Bout )dτ + m B (0) .
(11)
0
Pomocí hmotností mA a mB lze vypočítat teploty TA a TB vzduchu v pracovních prostorech pneumatického motoru. Model lze dále rozšířit o přestup tepla do okolí přes povrch pneumatického válce, nebo zjednodušit zanedbáním rozdílných teplot okolí T0 a teplot TA a TB a uvažováním konstantní teploty T.
x ,v p A ,TA ,V A
pB ,TB ,VB
m& A
F
m& B
Obr.5 Označení veličin pneumatického motoru
4 Simulace pohonu Simulační model pneumatického pohonu byl sestaven a odladěn v programu MATLAB – Simulink. Obr.6 ukazuje průběhy polohy a rychlosti pístu, tlaků v pracovních prostorech při otevření ventilu na 50% a při zatížení konstantní silou, jejíž hodnota se změní z hodnoty 100N na hodnotu 500N. Byl modelován pneumatický válec 50/28-500 mm řízený servoventilem se jmenovitým objemovým průtokem 0.0116 m3/s. Z průběhů je zřejmý vliv změny zatížení na polohu pístu při uzavřeném ventilu, což ukazuje nízkou tuhost pneumatického pohonu.
-4-
Řídic í napětí u
u [V ]
6 otevření ventilu na 50%
4
ventil z avřen
2 0
0
2
4 P oloha x
6
8
10
x [m ]
1 z m ěna polohy - z as unutí pís tu vlivem z atěž ujíc í s íly
vy s ouvání pís tu 0.5
0
0
2
v [V ]
0.5
4 Ry c hlos t v 6 ry c hlos t vy s ouvání
8
10
reak c e na z m ěnu z atíž ení
0
-0.5
pA , pB [P a]
6
5 0 x 10
2
4Tlak y pA , pB 6
8
10
z m ěna tlak ů po z atíž ení 4 2 0
0
2
4 Zatěž ujíc í s íla F6
8
10
F [N]
600 400 s k ok ové z vý š ení z atěž ujíc í s íly 200 0
0
2
4
6
8
Obr.6 Simulace vysouvání pístu pneumatického motoru
-5-
10
5 Závěr V příspěvku bylo shrnuto odvození nelineárního matematického modelu pneumatického pohonu tvořeného přímočarým pneumatickým motorem – pneumatickým válcem – a pneumatickým servoventilem. Odvozené vztahy byly realizovány v simulačním programu MATLAB – Simulink. Sestavený simulační model může být použit pro návrh řízení pneumatické pohonu, simulaci pracovních pohybů. Funkčnost modelu ukazují průběhy stavových proměnných v průběhu vysouvání pístnice a při změně zatěžující síly. Příspěvek vznikl v rámci řešení výzkumného záměru CEZ:J17/98:272300011 "Modelování, simulace a řízení složitých dynamických systémů výrobně-dopravních komplexů".
6 Literatura NOSKIEVIČ, P. Modelování a identifikace systémů. 1. vyd. Ostrava. MONTANEX, a. s., 1999. 276 s. ISBN 80-7225-030-2. MARÉ, J.-C., GEIDER, O. A COLIN, S. 2000. An improved dynamic model of pneumatic actuators. International Journal of Fluid Power. Ročník 1 , č.2, str.39-47. ISSN14399776. VIRVALO, T., 1999. Nonlinear model of pneumatic servo valves. In: Proceedings The Sixth Scandinavian International Conference on Fluid Power, May 26-28, Tampere, Finsko, str.743-757. ISBN 952-15-1081-2. GÖLLNER, E. 1995. Dynamisches Verhalten eines pulsbreitenmodulierten, elektopneumatischen Stellantriebs. Ölhydraulik und Pneumatik, roč.39, č.3, 202-207. ISSN 0341-2660. MURRENHOFF, H., BOES, CH., ESCHMANN, R., MOSTER, E. 1995. Stand der Entwicklung in der servopneumatischen Antribestechnik. Ölhydraulik und Pneumatik, roč.39, č.4, 264-282. ISSN 0341-2660.
-6-
