NELINEÁRNÍ ANALÝZA ÚNOSNOSTI ŽELEZOBETONOVÉ ZÁKLADOVÉ PATKY

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY

FAKULTA STAVEBNÍ ÚSTAV STAVEBNÍ MECHANIKY FACULTY OF CIVIL ENGINEERING INSTITUTE OF STRUCTURAL MECHANICS

NELINEÁRNÍ ANALÝZA ÚNOSNOSTI ŽELEZOBETONOVÉ ZÁKLADOVÉ PATKY NONLINEAR ANALYSIS OF REINFORCED CONCRETE FOOT FAILURE

BAKALÁŘSKÁ PRÁCE BACHELOR'S THESIS

AUTOR PRÁCE

Radek Dubina

AUTHOR

VEDOUCÍ PRÁCE SUPERVISOR

BRNO 2012

Ing. JAN ELIÁŠ, Ph.D.

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ Studijní program Typ studijního programu Studijní obor Pracoviště

B3607 Stavební inženýrství Bakalářský studijní program s prezenční formou studia 3608R001 Pozemní stavby Ústav stavební mechaniky

ZADÁNÍ BAKALÁŘSKÉ PRÁCE Student

Radek Dubina

Název

Nelineární analýza únosnosti železobetonové základové patky

Vedoucí bakalářské práce

Ing. Jan Eliáš, Ph.D.

Datum zadání bakalářské práce Datum odevzdání bakalářské práce V Brně dne 30. 11. 2011

30. 11. 2011 25. 5. 2012

............................................. prof. Ing. Drahomír Novák, DrSc. Vedoucí ústavu

............................................. prof. Ing. Rostislav Drochytka, CSc. Děkan Fakulty stavební VUT

Podklady a literatura Jirásek. M, Zeman, J., 2006, Přetváření a porušování materiálů: dotvarování, plasticita, lom a poškození. ČVUT v Praze. Bažant, Z. P., Planas, J., 1998. Fracture and size effect in concrete and other Quasibrittle materials. CRC Press. Červenka, V., Jendele, L., Červenka, J., October 2005. ATENA Program Documentation, Part 1: Theory. Červenka Consulting, Predvoje 22, Praha, 162 00, Czech Republic. Zásady pro vypracování Student provede analýzu únosnosti ŽB patky sloupu v programu Atena 3D. Při výpočtu bude zohledněno nelineární chování betonu a výztuže (případně i zeminy). Analýza bude provedena pro různé varianty lišící se geometrií patky, vlastnostmi materiálů, soudržností výztuže s betonem a pod. V případě dostatku času je možné práci rozšířit o stochastický přístup, kdy je každá z podstatných vstupních veličin uvažována jako náhodná. Předepsané přílohy

............................................. Ing. Jan Eliáš, Ph.D. Vedoucí bakalářské práce

Abstrakt ˇ Zelezobetonov´ e monolitické patky jsou jedn´ım z druh˚ u ploˇsného zakládán´ı, které se pˇreváˇznˇe pouˇz´ıvá pod skeletov´ ymi systémy. Tyto systémy pˇrenáˇs´ı veˇskerá zat´ıˇzen´ı z v´ yˇse poloˇzen´ ych pater pˇres sloupy do patek a pˇres nˇe do základové p˚ udy. Interakce mezi základem a základovou p˚ udou hraje velmi d˚ uleˇzitou roli v d˚ usledku citlivosti systému na nerovnomˇerné sedán´ı. Patky jsou namáhány smykem vyvolan´ ym svislou silou a zároveˇ n ohybov´ ym momentem zp˚ usoben´ ym napˇet´ım v základové spáˇre. ˇ Práce se vˇenuje návrhu patky podle evropské normy CSN EN 1992-1-1. Dále se zamˇeˇruje na v´ ypoˇcet u ńosnosti patky pomoc´ı 3D modelu s nelineárn´ımi materiálov´ ymi modely zeminy, v´ yztuˇze a betonu. V´ ypoˇcty jsou provedeny v programu ATENA 3D pro r˚ uzné varianty podloˇz´ı, vyztuˇzen´ı ˇci tvaru patky. Normové a nelineárn´ı anal´ yzou z´ıskané u ńosnosti jsou srovnány.

Abstract Reinforced concrete monolithic feet are one kind of shallow foundation used mainly under column systems. These systems transfer the load from upper floors through columns to the feet and through them to the foundation soil. Interaction between the foot and the foundation soil plays an important role due to the system sensitivity to the uneven settlement. Feet has to resist shear induced by vertical force and bending moment caused by stress in footing bottom. The work is devoted to design of the foot according to European standard Eurocode 2. It is then focused on numerical simulation of foot failure and calculation of the corresponding maximal vertical force in the column using a 3D model with nonlinear material models of subsoil, reinforcement and concrete. The calculations are done in software ATENA 3D for different variants of subsoil, reinforcement and foot shape. Results according to European standard and nonlinear analysis are compared.

i

Kl´ıˇ cov´ a slova Nelineárn´ı MKP anal´ yza, ˇzelezobetonová patka, pruˇznost, plasticita, ATENA 3D, materiálové modely, podloˇz´ı.

Key words Nonlinear FEM analysis, reinforced concrete foot, elasticity, plasticity, ATENA 3D, material models, subsoil.

ii

Bibliografick´ a citace t´ eto pr´ ace DUBINA, Radek. Nelineárn´ı analýza u ńosnosti ˇzelezobetonové základové patky. Brno, 2012. 57 s., 18 s. pˇr´ıl. Bakaláˇrská práce. Vysoké uˇcen´ı technické v Brnˇe, Fakulta ´ stavebn´ı, Ustav stavebn´ı mechaniky. Vedouc´ı práce Ing. Jan Eliáˇs, Ph.D..

iii

ˇ Cestn´ e prohl´ aˇ sen´ı Prohlaˇsuji, ˇze jsem svou bakaláˇrskou práci zpracoval samostatnˇe, pod odborn´ ym veden´ım vedouc´ıho práce Ing. Jana Eliáˇse, Ph.D., a ˇze jsem uvedl vˇsechny pouˇzité informaˇcn´ı zdroje.

V Brnˇe dne .............................................

............................................. Radek Dubina

iv

Podˇ ekov´ an´ı Rád bych podˇekoval vedouc´ımu své bakaláˇrské práce panu Ing. Janu Eliáˇsovi, Ph.D. za to, ˇze se mˇe ujal, aniˇz by mˇe kdykoli dˇr´ıve vidˇel. Po celou dobu tvorby mé bakaláˇrské práce byl ochoten pˇrisp´ıvat sv´ ymi cenn´ ymi radami, názory, námˇety a pˇredevˇs´ım ˇcasem. Rovnˇeˇz bych mu chtˇel podˇekovat za vl´ıdn´ y aˇz pˇrátelsk´ y postoj k mé osobˇe, za coˇz jsem mu velmi vdˇeˇcn´ y. Dále bych rád podˇekoval vˇsem vyuˇcuj´ıc´ım na u ´stavu stavebn´ı mechaniky, kteˇr´ı ménˇe ˇci v´ıce pˇrispˇeli k profilaci mé osoby na stavebn´ı fakultˇe a také doktorant˚ um na témˇze u ´stavu, kteˇr´ı pˇrátelsky akceptovali mou pˇr´ıtomnost v poˇc´ıtaˇcové uˇcebnˇe. V neposledn´ı ˇradˇe bych rád podˇekoval rodiˇc˚ um a pˇr´ıtelkyni za podporu a toleranci pˇri tvorbˇe práce.

v

Obsah Seznam kapitol

1

´ 1 Uvod ´ 1.1 Uvod do problematiky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Struˇcn´ y obsah práce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 1 2

2 C´ıle pr´ ace

3

ˇ ˇ 3 Normy CSN EN 1991-1 a CSN EN 1992-1-1 3.1 Posouzen´ı ohybového momentu a normálové s´ıly 3.2 Posouzen´ı na protlaˇcen´ı a prop´ıchnut´ı . . . . . . 3.2.1 Posouzen´ı smyku pˇri protlaˇcen´ı . . . . . 3.2.2 Posouzen´ı na prop´ıchnut´ı . . . . . . . . 3.3 Kotven´ı v´ yztuˇzn´ ych prut˚ u . . . . . . . . . . . .

. . . . .

4 4 7 7 9 9

. . . . . . . . .

11 11 11 13 14 14 15 16 17 17

. . . . . . .

19 19 19 20 20 23 24 25

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

4 Z´ akladn´ı vztahy teorie pruˇ znosti a plasticity 4.1 Základn´ı vztahy pruˇznosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1 Zobecnˇen´ y Hook˚ uv zákon . . . . . . . . . . . . . . 4.1.2 Invarianty tenzoru napˇet´ı . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Plasticita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1 Obecn´ y popis plasticity pro ideálnˇe pruˇznoplastick´ y 4.2.2 Mohr-Coulombova podm´ınka plasticity . . . . . . . 4.2.3 Rankinova podm´ınka plasticity . . . . . . . . . . . 4.2.4 Drucker-Pragerova podm´ınka plasticity . . . . . . 4.2.5 Srovnán´ı podm´ınek plasticity . . . . . . . . . . . . 5 ATENA 3D 5.1 Pˇredmluva . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Program ATENA . . . . . . . . . . . . 5.3 Materiálové modely . . . . . . . . . . . 5.3.1 Materiálové modely betonu . . 5.3.2 V´ yztuˇz . . . . . . . . . . . . . . 5.3.3 Zemina . . . . . . . . . . . . . . 5.3.4 3D elastick´ y izotropn´ı materiál

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . model . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . .

5.4

5.3.5 Roznáˇsec´ı tˇel´ısko . . Modelován´ı patky . . . . . . 5.4.1 Makroprvky . . . . . 5.4.2 Prutové v´ yztuˇze . . . 5.4.3 Zat´ıˇzen´ı . . . . . . . 5.4.4 S´ıt’ koneˇcn´ ych prvk˚ u 5.4.5 Monitory . . . . . . 5.4.6 V´ ypoˇcet . . . . . . . 5.4.7 Základn´ı model . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

25 26 26 27 28 28 29 29 30

6 V´ ysledky 6.1 Pˇredmluva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Nezávislost na velikosti s´ıtˇe koneˇcn´ ych prvk˚ u. . . . . . . . . . . . . . 6.3 Nezávislost na limitn´ı hodnotˇe konvergenˇcn´ıch kritéri´ı . . . . . . . . . ´ 6.4 Unosnost patky s izotropn´ım elastick´ ym materiálov´ ym modelem zeminy 6.4.1 Pevn´ y kontakt mezi betonem a zeminou . . . . . . . . . . . . 6.4.2 Voln´ y boˇcn´ı kontakt mezi betonem a zeminou . . . . . . . . . ´ 6.5 Unosnost patky pro zeminy s materiálov´ ym modelem Drucker-Prager plasticita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6 Porovnán´ı u ńosnost´ı patky pro odliˇsné nastaven´ı jednotliv´ ych podloˇz´ı ´ 6.7 Unosnost patky se smykovou v´ yztuˇz´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.8 Zmˇena geometrie pro zjiˇstˇen´ı ohybové u ńosnosti . . . . . . . . . . . . 6.9 Napˇet´ı v základové spáˇre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31 31 31 34 35 35 36

7 Z´ avˇ er

52

Literatura

54

Seznam symbol˚ u

57

Seznam pˇ r´ıloh

36 38 41 42 46

I

Pˇ r´ıloha A - Posouzen´ı na ohybov´ y moment Pˇ r´ıloha B - Posouzen´ı patky na protlaˇ cen´ı a prop´ıchnut´ı Pˇ r´ıloha C - Posouzen´ı kotevn´ıch d´ elek v´ yztuˇ ze

vii

II XII XVII

Kapitola 1 ´ Uvod 1.1

´ Uvod do problematiky

Základové patky jsou jedn´ım z druh˚ u ploˇsného (horizontáln´ıho) zakládán´ı, které se pouˇz´ıvá v pˇr´ıpadech, kdy lze dosáhnout potˇrebné u ńosnosti základové p˚ udy v dosaˇzitelné hloubce. Základové patky patˇr´ı k nejlevnˇejˇs´ım a nejjednoduˇsˇs´ım druh˚ um zakládán´ı pod skeletov´ ymi systémy. Patky se mohou dˇelit z nˇekolika hledisek: • dle materiálu: zdˇené, betonové, ˇzelezobetonové, ocelové • dle tvaru pr˚ uˇrezu: jednostupˇ nové, dvoustupˇ nové, v´ıcestupˇ nové, lichobˇeˇzn´ıkové • dle pouˇzité technologie: montované, monolitické V této práci se zamˇeˇr´ım jen na jeden konkrétn´ı druh základov´ ych patek, na patky ˇzelezobetonové monolitické, které jsou jednoduˇsˇs´ı a levnˇejˇs´ı variantou neˇz patky montované. Zjednoduˇsuje se napˇr´ıklad problém konstrukˇcn´ı spáry, kter´ y vzniká mezi betonáˇz´ı patky a navazuj´ıc´ıho sloupu skeletového systému. U ˇzelezobetonov´ ych patek pˇrevládá namáhán´ı svislou silou ve sloupu, kter´ y pˇrenáˇs´ı veˇskerá stálá a uˇzitná zat´ıˇzen´ı vˇsech v´ yˇse poloˇzen´ ych nadzemn´ıch podlaˇz´ı na dané zatˇeˇzovac´ı ˇs´ıˇrce. Dále je patka namáhána ohybov´ ym momentem vyvolan´ ym silami od vˇetru na pláˇst’ budovy, excentricitou svislého zat´ıˇzen´ı a imperfekcemi 1. a 2. ˇra´du na sloupu. Zp˚ usoby poruˇsen´ı patky mohou b´ yt • smykem vyvolan´ ym svislou (normálovou) silou od sloupu • ohybem dan´ ym napˇet´ım v základové spáˇre od svislé (normálové) s´ıly a ohybového momentu • vytrˇzen´ım taˇzené v´ yztuˇze (ztrátou soudrˇznosti) d´ıky nedostateˇcnému kotven´ı v´ yztuˇze • poruˇsen´ım zeminy ...

1.2 Struˇ cn´ y obsah pr´ ace

2

Vyˇsetˇrován´ı statického chován´ı a namáhán´ı konstrukce nen´ı zcela moˇzné jednoduch´ ymi statick´ ymi metodami z d˚ uvodu sloˇzitého spolup˚ usoben´ı patky s podloˇz´ım, rozvojem trhlin v betonu atd. Proto se v dneˇsn´ı dobˇe vyuˇz´ıvaj´ı pokroˇcilé numerické metody za pomoc´ı v´ ypoˇcetn´ı techniky. Programy zpravidla pracuj´ı na základˇe nelineárn´ıho v´ ypoˇctu metodou koneˇcn´ ych prvk˚ u. To pomáhá k nalezen´ı efektivnˇejˇs´ıho a levnˇejˇs´ıho ˇreˇsen´ı daného problému i vhodné volbˇe dimenz´ı patky a vyztuˇzen´ı.

1.2

Struˇ cn´ y obsah pr´ ace

• Kapitola 1 obsahuje u ´vod k práci, struˇcn´ y v´ ypis druh˚ u patek a moˇzn´ y zp˚ usob jejich poruˇsen´ı. • V kapitole 2 jsou popsány zámˇery a c´ıle práce, které jsme chtˇeli v rámci práce z´ıskat. ˇ ˇ • V kapitole 3 s názvem normy CSN EN 1991-1 a CSN EN 1992-1-1 je nast´ınˇen zp˚ usob návrhu a posouzen´ı ˇzelezobetonov´ ych patek na ohybov´ y moment, protlaˇcen´ı, prop´ıchnut´ı a kotven´ı podélné v´ yztuˇze dle v´ yˇse uveden´ ych norem. • 4. kapitola je vˇenována základ˚ um pruˇznosti a plasticity, tenzor˚ um a invariant˚ um napˇet´ı a druh˚ um plasticity, se kter´ ymi se ve v´ ypoˇctu poruˇsen´ı patky v programu ATENA dále setkáváme. • 5. kapitola popisuje samotn´ y program ATENA, a to materiálové modely pouˇzité pˇri anal´ yze patky, zp˚ usoby modelován´ı, zat´ıˇzen´ı a v´ ypoˇctu. • 6. kapitola popisuje v´ ysledky z´ıskané v programu ATENA. Obsahuje problémy, zaj´ımavosti a komentáˇre, se kter´ ymi jsme se bˇehem v´ ypoˇct˚ u a test˚ u setkali. • V 7. kapitole je závˇereˇcné shrnut´ı v´ ysledk˚ u. Tato kapitola obsahuje také porovnán´ı v´ ysledk˚ u z programu ATENA 3D s normov´ ymi hodnotami. ˇ • Pˇ r´ıloha A obsahuje vzorové posouzen´ı patky na ohybov´ y moment dle CSN ˇ EN 1992-1-1 a posouzen´ı u ńosnosti základové p˚ udy dle CSN 731001. • Pˇ r´ıloha B obsahuje vzorové posouzen´ı patky na protlaˇcen´ı a prop´ıchnut´ı ˇ patky dle CSN EN 1992-1-1. ˇ • V pˇ r´ıloze C jsou vypoˇcteny nutné kotevn´ı délky v´ yztuˇze dle CSN EN 19921-1.

Kapitola 2 C´ıle pr´ ace • C´ılem práce je vymodelovat sloup a ˇzelezobetonovou patku s okoln´ı zeminou v programu ATENA. Zat´ıˇzit je deformac´ı, která pˇredstavuje svislé zat´ıˇzen´ı od konstrukce a pomoc´ı v´ ypoˇctu metodou koneˇcn´ ych prvk˚ u sledovat jej´ı moˇzné poruˇsen´ı smykem nebo ohybem. • Pomoc´ı monitor˚ u sledovat s´ılu (reakci) ve sloupu a tuto s´ılu porovnat s norˇ movou hodnotou dle CSN EN 1992-1-1 - Navrhován´ı betonov´ ych konstrukc´ı pro dané vyztuˇzen´ı patky.

Kapitola 3 ˇ ˇ Normy CSN EN 1991-1 a CSN EN 1992-1-1 ˇ ˇ Normy CSN EN 1991-1 a CSN EN 1992-1-1 jsou zásadn´ımi dvˇema normami, na které se budeme v této práci odkazovat nebo v n´ı budou zahrnuty. ˇ Norma CSN EN 1991-1 obsahuje pˇredpisy pro urˇcen´ı veˇsker´ ych stál´ ych i naˇ ˇ ˇ hodil´ ych zat´ıˇzen´ı (CSN EN 1991-1-1; CSN EN 1991-1-3; CSN EN 1991-1-4). ˇ Norma CSN EN 1992-1-1 - Navrhován´ı betonov´ ych konstrukc´ı pˇredepisuje navrhován´ı a posuzován´ı betonov´ ych konstrukc´ı dle zp˚ usobu namáhán´ı dané konstrukce. Touto normou se budeme ˇr´ıdit pˇri základn´ım návrhu patky, vˇcetnˇe dimenz´ı v´ yztuˇze. ˇ Pomoc´ı jiˇz neplatné normy CSN 73 1001 bude ovˇeˇrena u ńosnost základové p˚ udy ˇ ˇ Rd . V´ ypoˇcet bude proveden v pˇr´ıloze A. CSN 73 1001 byla nahrazena normou CSN EN 1997-1.

3.1

Posouzen´ı ohybov´ eho momentu a norm´ alov´ e s´ıly

Norma je zaloˇzena na pˇredpokladu poruˇsen´ı patky momentem od konstantn´ıho napˇet´ı v základové spáˇre s lineárn´ım rozdˇelen´ım napˇet´ı po pr˚ uˇrezu patky dle obrázku 3.1a. Ve skuteˇcnosti je vˇsak napˇet´ı v základové spáˇre obecné a rozdˇelen´ı napˇet´ı po pr˚ uˇrezu patky odpov´ıdá sp´ıˇse obrázku 3.1b. Po pˇr´ıjmut´ı normov´ ych zjednoduˇsen´ıch z´ıskáme geometrii návrhu patky dle obrázku 3.2. Excentricitu e z´ıskáme ze vztahu (3.1), hodnoty Med a Ned uvaˇzujeme dle obrázku 3.2. Med e= (3.1) Ned Pˇri zp˚ usobu poruˇsen´ı dle obrázku 3.1 m˚ uˇze b´ yt patka zjednoduˇsenˇe uvaˇzována jako konzola o délce lk zat´ıˇzena konstantn´ım napˇet´ım dle obrázku 3.3.

3.1 Posouzen´ı ohybov´ eho momentu a norm´ alov´ e s´ıly

5

ˇ D´ elka konzoly 1 lk byla dle starˇs´ı normy CSN uvaˇzována jako lk = a + 0, 15c, ˇ dle souˇcasné evropské normy CSN EN (EC2) lk = a + 0, 176a.

Ved

Ved

σgd σgd,i b) obecné napětí v základové spáře

a) konstantní napětí v základové spáře, lineární průběh napětí v betonu

obecný průběh napětí v betonu

Obrázek 3.1: Pˇredpokládán´ y mechanismus poruˇsen´ı v ohybu s pˇredpokládan´ ym pr˚ ubˇehem horizontáln´ıho napˇet´ı na pr˚ uˇrezu patky

Ved Med*

Hed

a c2

c1

hf

Ned

Med

2e lf gd

bf

Obrázek 3.2: Geometrie návrhu patky. 1

3.2.

V rovnic´ıch pro délku konzoli lk pˇredstavuje a vyloˇzen´ı patky a c rozmˇer sloupu dle obrázku

3.1 Posouzen´ı ohybov´ eho momentu a norm´ alov´ e s´ıly

6

Obrázek 3.3: Pˇredpokládá se zat´ıˇzen´ı rovnomˇern´ ym spojit´ ym zat´ıˇzen´ım od napˇet´ı v podzáklad´ı na myˇslenou konzolu. Hodnota maximáln´ıho návrhového ohybového momentu Med,k je moment na myˇslené konzole délky lk dle rovnice (3.2). 1 Med,k = σgd lf lk2 (3.2) 2 Med je návrhová hodnota ohybového momentu[kNm], σgd je konstantn´ı napˇet´ı v podzáklad´ı [kPa], lf [m] ˇs´ıˇrka patky dle obrázku 3.2, lk [m] délka myˇslené konzoly podle obrázku 3.3. Mezn´ı u ńosnost konstrukce se stanov´ı v´ ypoˇctovou hodnotou ohybového momentu Mrd dle vztahu (3.3). λx (3.3) Mrd = As fyd d − 2 x=

As fyd bληfcd

(3.4)

Obrázek 3.4: Neutralná osa x. As je plocha pouˇzité v´ yztuˇze [m2 ], fyd je mez kluzu v´ yztuˇze [kPa], b [m] je ˇs´ıˇrka pr˚ uˇrezu (lf ; bm - bˇeˇzn´ y metr), d je u ´ˇcinná v´ yˇska pr˚ uˇrezu v [m], x je vzdálenost neutrálné osy od nejv´ıce tlaˇceného okraje v [m], λ je souˇcinitel definuj´ıc´ı u ´ˇcinnou v´ yˇsku tlaˇcené oblasti [-], η souˇcinitel definuj´ıc´ı u ´ˇcinnou pevnost [-], Mrd je v´ ypoˇctová hodnota ohybového momentu [kNm].

3.2 Posouzen´ı na protlaˇ cen´ı a prop´ıchnut´ı

7

Posouzen´ı u ńosnosti modelované patky provedeme dle vztahu (3.5), kdy návrhová hodnota Med mus´ı b´ yt menˇs´ı nebo rovna v´ ypoˇctové Mrd . Med ≤ Mrd

(3.5)

Posouzen´ı modelované patky na ohybov´ y moment je provedeno v pˇr´ıloze 1.

3.2

Posouzen´ı na protlaˇ cen´ı a prop´ıchnut´ı

Smyk pˇri protlaˇcen´ı je v´ ysledkem soustˇredˇeného zat´ıˇzen´ı nebo reakce p˚ usob´ıc´ı na pomˇernˇe malou plochu, která se naz´ yvá zatˇeˇzovac´ı (kritická) plocha Aload (Acr,i ) desky nebo ploˇsného základu. Tato kritická plocha je ohraniˇcena kontrolovn´ ym obvodem µcr,i , kter´ y leˇz´ı ve vzdálenosti x od sloupu. U ploˇsn´ ych základ˚ u lze odeˇc´ıst zat´ıˇzen´ı uvnitˇr tohoto kontrolovaného obvodu, protoˇze toto zat´ıˇzen´ı pˇrisp´ıvá k u ńosnosti ploˇsného základu (patky), má opaˇcn´ y smˇer neˇz svislé zat´ıˇzen´ı od sloupu. V´ ypoˇcet se provede pro v´ıce kontrolovan´ ych obvod˚ u v r˚ uzné vzdálenosti od a a h 3a sloupu x (napˇr. 4 ; 2 ; 2 , 4 , ...). ´ cinná v´ Uˇ yˇska základu se pˇredpokládá konstantn´ı a stanov´ı se jako pr˚ umˇerná u ´ˇcinná v´ yˇska pr˚ uˇrez˚ u ve smˇeru x a y. d=

3.2.1

dx + dy 2

(3.6)

Posouzen´ı smyku pˇ ri protlaˇ cen´ı

Pˇredpokládáme mechanismus poruˇsen´ı dle obrázk˚ u 3.5 a 3.6, kdy dojde k protlaˇcen´ı 1 2 patky pˇribliˇznˇe pod u ´hlem θ = arctan 2 , podél kritického obvodu µcr,i . Posouzen´ı smyku pˇri protlaˇcen´ı prob´ıhá na u ´rovni napˇet´ı. Návrhové napˇet´ı v kontrolovaném pr˚ uˇrezu se urˇc´ı dle vztahu ved,i = β

Ved,red µcr,i d

(3.7)

Ved,red = Ned − ∆Ved

(3.8)

∆Ved = σgd Acr,i

(3.9)

Acr,i je kritická plocha pr˚ uˇrezu vymezená kritick´ ym obvodem dle obrázku 3.6 2 v [m ], µcr,i = µi je kritick´ y obvod posuzovaného pr˚ uˇrezu dle obrázku 3.6 v [m], σgd je napˇet´ı v podzáklad´ı [kPa], Ved,red je redukovaná hodnota návrhové normálové s´ıly dle vztahu (3.8)[kN]. V´ ypoˇctová smyková u ńosnost betonu vrd,ci je dána vztahem (3.10). 1

vrd,ci = CRD,c k(100%l fck ) 3 2

Velikost u ´hlu θ je ve v´ ypoˇctu zohlednˇena pomˇerem

2d 2d ≥ vmin x x 2d x .

(3.10)

3.2 Posouzen´ı na protlaˇ cen´ı a prop´ıchnut´ı

8

Obrázek 3.5: Mechanismus poruˇsen´ı.

Obrázek 3.6: P˚ udorysné schéma protlaˇcen´ı. q 200 CRD,c = 0,18 a k = 1 + ≤ 2 jsou souˇcinitele [d je v mm], fck je charakterγc d istická pevnost betonu v tlaku [MPa], %l je stupeˇ n vyztuˇzen´ı [-], pro symetricky vyztuˇzené pruˇrezy plat´ı vztah (3.11). Dále mus´ı b´ yt v´ ypoˇctové napˇet´ı vˇetˇs´ı neˇz napˇet´ı minimáln´ı vmin dle vzorce (3.12), pokud nen´ı, pak do posudku (3.13) dosad´ıme vmin nam´ısto vrd,ci . %l =

As As = lf d bf d

(3.11)

3.3 Kotven´ı v´ yztuˇ zn´ ych prut˚ u

9

3

1

vmin = 0, 035k 2 fck2

(3.12)

Pro vyhovˇen´ı posudku na protlaˇcen´ı mus´ı b´ yt splnˇen vztah (3.13). ved,i ≤ vrd,ci

3.2.2

(3.13)

Posouzen´ı na prop´ıchnut´ı

Posuzuje se obdobnˇe jako posouzen´ı na protlaˇcen´ı, za kritick´ y obvod se dosad´ı obvod sloupu. ved,0 ≤ vrd,max (3.14) ved,0 = β0

Ved,max µ0 d

Ved,max = Ned − σgd c1 c2 σgd =

Ned lf bf

(3.15) (3.16) (3.17)

Vˇsechny symboly maj´ı totoˇzn´ y v´ yraz jako v kapitole na protlaˇcen´ı, index 0 znaˇc´ı nult´ y kontrolovan´ y pr˚ uˇrez dan´ y obvodem sloupu. vrd,max = 0, 5νfcd

(3.18)

fck ] (3.19) 250 fck je charakteristická pevnost betonu v tlaku [MPa], fcd je návrhová pevnost betonu v tlaku [MPa] Posouzen´ı modelované patky na protlaˇcen´ı a prop´ıchnut´ı je provedeno v pˇr´ıloze 2. ν = 0, 6[1 −

3.3

Kotven´ı v´ yztuˇ zn´ ych prut˚ u

Tahová s´ıla Fs v m´ıstˇe x mus´ı b´ yt zakotvena do betonu ve stejné vzdálenosti x od apod.) okraje základu. Délku x opˇet vol´ıme pro v´ıce vzdálenost´ı (x = a4 , a2 , h2 , 3a 4 Tahovou s´ılu ve v´ yztuˇzi urˇc´ıme z podm´ınek rovnováhy vztaˇzen´ ych k bodu C. C uvaˇzujeme ve vzdálenosti e = 0, 15b od l´ıce sloupu dle obrázku 3.7. Pak: Fs =

Rze zi

(3.20)

kde R [kN] je v´ yslednice tlak˚ u v základové p˚ udˇe na délce x, ze [m]– rameno vnˇejˇs´ıch sil, tj. vzdálenost mezi R a svislou silou Ned , zi [m] rameno vnitˇrn´ıch sil, tj. vzdálenost

3.3 Kotven´ı v´ yztuˇ zn´ ych prut˚ u

10

b e ze

Ned Fc

zi

d hf

C

Fs A

lbd x

Fs,max B

R

Obrázek 3.7: Schéma pro v´ ypoˇcet kotven´ı v´ yztuˇze. mezi v´ yztuˇz´ı a vodorovnou silou Fc , Ned [kN] je svislá s´ıla odpov´ıdaj´ıc´ı tlaku v základové p˚ udˇe mezi pr˚ uˇrezy A a B. Rameno vnˇejˇs´ıch sil ze se zjednoduˇsenˇe urˇcuje jako ze = a– x2 + e. Rameno vnitˇrn´ıch sil zi lze zjednoduˇsenˇe urˇcit jako zi = 0,9d. Pro vˇsechny vypoˇc´ıtané tahové s´ıly ve v´ yztuˇzi Fs (x) vyjádˇr´ıme kotevn´ı délky lbd . V´ ysledná kotevn´ı délka, vynáˇsená dle obrázku 3.7, mus´ı vyhovovat pro vˇsechny volené vzdálenosti x. Je-li lbd > x − c pouˇzijeme ohyb v´ yztuˇze nebo jinou koncovou u ´pravu. c je kryt´ı v´ yztuˇze. Celkov´ y v´ ypoˇcet kotevn´ı délky je vysvˇetlen v pˇr´ıloze 3.

Kapitola 4 Z´ akladn´ı vztahy teorie pruˇ znosti a plasticity 4.1

Z´ akladn´ı vztahy pruˇ znosti

Z˚ ustává-li tˇeleso v klidu, tvoˇr´ı vˇsechny p˚ usob´ıc´ı vnˇejˇs´ı s´ıly rovnováˇznou soustavu. Rovnováha mus´ı b´ yt dosaˇzena u konstrukce jako celku tak i v kaˇzdé jej´ı ˇcásti. V tˇelese tak pro dosaˇzen´ı rovnováhy mus´ı vznikat dalˇs´ı s´ıly, které se snaˇz´ı tˇeleso dostat do p˚ uvodn´ıho stavu, tyto s´ıly naz´ yváme vnitˇrn´ı s´ıly. Vztáhneme-li tyto s´ıly k ploˇse a urˇcitému bodu, z´ıskáme dané napˇ et´ı (stress). Tenzor napˇet´ı v bodˇe pˇredstavuje in´ Drahom´ır a Ludˇek BRDECKO, ˇ tenzitu vnitˇrn´ıch sil v tomto bodˇe (NOVAK, 2004).

4.1.1

Zobecnˇ en´ y Hook˚ uv z´ akon

V obecnˇe zat´ıˇzeném trojrozmˇerném tˇelese vznikaj´ı 3 sloˇzky normálov´ ych napˇet´ı (σx , σy , σz ) a 6 sloˇzek smykov´ ych napˇet´ı (τxy , τyx , τxz , τzx , τyz , τzy ), tyto napˇet´ı popisuj´ı celkov´ y stav napjatosti v tˇelese. Tento popis m˚ uˇzeme zjednoduˇsit d´ıky vˇetˇe o vzájemnosti smykov´ ych napˇet´ı. Pak plat´ı, ˇze: τxy = τyx , τxz = τzx , τyz = τzy . Napˇet´ı pak m˚ uˇzeme uspoˇra´dat do sloupcové matice.   σ   x        σy        σz σ= (4.1)  τxy         τxz        τyz Podobnˇe m˚ uˇzeme definovat pˇretvoˇren´ı daného tˇelesa, pomoc´ı ˇsesti sloˇzek pomˇerné

4.1 Z´ akladn´ı vztahy pruˇ znosti

12

y

σy τyx τyz τxy τzy

σx τxz

σz

τzx

x

z

Obrázek 4.1: Obecné sloˇzky napˇet´ı. deformace uspoˇra´dan´ ych do sloupcové matice.   ε   x        εy        εz ε=  γxy          γ   xz     γyz

(4.2)

Vztah mezi napˇet´ım a deformac´ı m˚ uˇzeme vyjádˇrit zobecnˇen´ ym Hookov´ ym zákonem. Pro normálové sloˇzky deformace plat´ı: 1 (σx − νσy − νσz ) (4.3) E 1 εy = (−νσx + σy − νσz ) (4.4) E 1 (4.5) εz = (−νσx − νσy + σz ) E E je modul pruˇznosti v tahu a tlaku (Young˚ uv modul pruˇznosti), coˇz je konstanta u ´mˇernosti mezi napˇet´ım a deformac´ı (relativn´ım pˇretvoˇren´ım) a ν je Poisson˚ uv souˇcinitel pˇr´ıˇcné deformace [ν ∈ (−1; 0, 5i]. Pro smykové sloˇzky deformace pro izotropn´ı materiály plat´ı: εx =

τxy 2(1 + ν) = τxy G E τxz 2(1 + ν) = = τxz G E τyz 2(1 + ν) = = τyz G E

γxy =

(4.6)

γxz

(4.7)

γyz

(4.8)

4.1 Z´ akladn´ı vztahy pruˇ znosti

13

G modul pruˇznosti ve smyku, coˇz je konstanta u ´mˇernosti mezi smykov´ ym napˇet´ım τ a zkosen´ım γ. Lze ji vyjádˇrit pomoc´ı E a ν jako: G=

E 2(1 + ν)

(4.9)

V´ yˇse uveden´ ych 6 vztah˚ u pro deformace m˚ uˇzeme zapsat do maticového tvaru:  εx      εy    εz  γxy     γxz    γyz

        



  1   =   E         

1 −ν −ν 0 0 0 −ν 1 −ν 0 0 0 −ν −ν 1 0 0 0 0 0 0 2(1 + ν) 0 0 0 0 0 0 2(1 + ν) 0 0 0 0 0 0 2(1 + ν) ε = Ce σ

                  

σx σy σz τxy τxz τyz

        

(4.10)

        (4.11)

Kde Ce je matice poddajnosi materi´ alu. Prvky matice Ce závisej´ı na materiálov´ ych konstantách E a ν. Inverz´ı vztahu ε = Ce σ z´ıskáme zobecnˇen´ y Hook˚ uv zákon, neboli vyjádˇren´ı napˇet´ı z pomˇerné deformace. σ = (Ce )−1 ε = De ε

(4.12)

De je matice pruˇ zn´ e tuhosti materi´ alu, je inverzn´ı k matici pruˇzné poddajnosti.

4.1.2

Invarianty tenzoru napˇ et´ı

Hodnoty sloˇzek napˇet´ı závisej´ı nejen na napjatosti, ale i na volbˇe souˇradné soustavy, v které napˇet´ı vyjadˇrujeme. Hodnoty napˇet´ı pro r˚ uzné natoˇcen´ı souˇradné soustavy jsou odliˇsné, avˇsak napjatost v tˇelese se nemˇen´ı. Proto velmi v´ yraznou roli hraj´ı invarianty napˇet´ı, coˇz jsou veliˇciny, jejichˇz hodnota je nezávislá na volbˇe souˇradné soustavy. Existuje poloha souˇradné soustavy, kdy jsou vˇsechna smyková napˇet´ı nulová. Odpov´ıdaj´ıc´ı normálová napˇet´ı se naz´ yvaj´ı hlavn´ı napˇ et´ı σ1 , σ2 a σ3 . Hodnoty hlavn´ıch napˇet´ı se vypoˇctou jako koˇreny n´ıˇze uvedeného determinantu.  σx − σ τxy τxz det  τxy σy − σ τyz  = 0 τxz τyz σz − σ 

(4.13)

Pˇr´ıkladem dalˇs´ıho invariantu je stˇ redn´ı napˇ et´ı, σm = 31 (σx + σy + σz ), které popisuje hydrostatickou ˇ c´ ast daného stavu napˇet´ı.

4.2 Plasticita

14

Invariant J2 je tzv. druh´ y invariant deviatorického napˇet´ı a je roven dvojnásobku energie WeD , coˇz je energie spotˇrebovaná na pruˇznou zmˇenu tvaru (deviatorickou deformaci). Tato energie je opˇet nezávislá na volbˇe souˇradné soustavy. J2 =

4.2 4.2.1

1 2 2 2 + τyz + τxz (σx − σy )2 + (σx − σz )2 + (σy − σz )2 + τxy 6

(4.14)

Plasticita Obecn´ y popis plasticity pro ide´ alnˇ e pruˇ znoplastick´ y model

Pro popis plasticity je vhodné zavést pojmy funkce plasticity f (σ) a podm´ınku plastick´ e pˇ r´ıpustnosti f (σ) ≤ 0. Záporná hodnota této funkce odpov´ıdá pruˇznému stavu materiálu, nulová hodnota vyjadˇruje plasticky pˇr´ıpustn´ y stav. Kladná hodnota je stav nepˇr´ıpustn´ y, to znamená, ˇze materiál dané zat´ıˇzen´ı nem˚ uˇze pˇrenést ´ (JIRASEK, Milan a Jan ZEMAN, 2006). Celkovou obecnou deformaci tˇelesa lze rozdˇelit do 2 sloˇzek: ε = εe + εp dle obrázku 4.2, kde εp je tzv. plastická ˇcást pˇretvoˇren´ı, která z˚ ustává i po odstranˇen´ı zat´ıˇzen´ı (viz. obrázek 4.2).

Obrázek 4.2: Jednorozmˇern´ y pruˇznosplastick´ y model - rozdˇelen´ı deformace na ˇca´st pruˇznou (elastickou) a tvárnou (plastickou).

4.2 Plasticita

15

Podm´ınky/ funkce plasticity se stanovuj´ı v závislosti na pouˇzitém materiálu. Dále se zamˇeˇr´ıme na podm´ınky plasticity, které jsou vhodné pro popis pouˇzit´ ych materiál˚ u, coˇz je beton (ˇzelezobeton) a zemina. Obecnˇe oba tyto materiály naz´ yváme jakou soudrˇzné s vnitˇrn´ım tˇren´ım (cohesive-frictional materials). Zásadn´ımi parametry dan´ ych materiál˚ u pak bude koheze c0 a u ´hel vnitˇrn´ıho tˇren´ı φ.

4.2.2

Mohr-Coulombova podm´ınka plasticity

Základn´ı pˇredstavou poruˇsen´ı je pokluz podél kluzn´ ych rovin se sklonem φ. Rovnici plastické pˇr´ıpustnosti pak m˚ uˇzeme napsat jako: |τ | + σ tan φ − c0 ≤ 0

(4.15)

Tato podm´ınka mus´ı b´ yt splnˇena pro kaˇzdou rovinu a kaˇzd´ y smˇer. V´ yraz τ + σ tan φ nab´ yvá maximáln´ı hodnoty na dvou rovinách, jejichˇz normály jsou kolmé na smˇer prostˇredn´ıho hlavn´ıho napˇet´ı a se smˇerem maximáln´ıho hlavn´ıho napˇet´ı σmax sv´ıraj´ı u ´hel 45 o + φ2 a 45 o − φ2 . σmin

σmin

45°+ ϕ/2 45°- ϕ/2

σmax

σmax 45°- ϕ/2

45°+ ϕ/2

Obrázek 4.3: Kluzné roviny v Mohr-Coulombovˇe ploˇse plasticity. Pokud celá Móhrova kruˇznice leˇz´ı uvnitˇr roviny ohraniˇcené pˇr´ımkami τ +σ tan φ – c0 = 0 a −τ + σ tan φ – c0 = 0, pak nem˚ uˇze doj´ıt k pokluzu na ˇzádné ploˇsce a materiál je v pruˇzném stavu. Souˇradnice dotykov´ ych bod˚ u pˇr´ımek s Móhrovou kruˇznic´ı udávaj´ı maximáln´ı hodnoty normálov´ ych a smykov´ ych napˇet´ı a lze je odvodit z obrázku 4.4. Souˇradnice bod˚ u maximalizuj´ıc´ıch v´ yraz |τ | + σ tan φ jsou: σ=

σmax + σmin σmax − σmin + sin φ 2 2 τ =±

σmax − σmin cos φ 2

(4.16) (4.17)

4.2 Plasticita

16

Obrázek 4.4: Plasticky pˇr´ıpustné kombinace normálového a smykového napˇet´ı. Grafické urˇcen´ı bod˚ u Mohrovy kruˇznice maximalizuj´ıc´ı v´ yraz |τ | + σ tan φ. Po dosazen´ı tˇechto souˇradnic do rovnice plasticity pro soudrˇzn´ y materiál s vnitˇrn´ım tˇren´ım (4.15), dostaneme po u ´pravách rovnici: 1 − sin φ 1 + sin φ σmax (σ) − σmin (σ) − c0 cos φ (4.18) 2 2 kde c0 je koheze a φ u ´hel vnitˇrn´ıho tˇren´ı materiálu, coˇz jsou materiálové konstanty. Funkce plasticity je tedy lineárn´ı funkc´ı maximáln´ıho a minimáln´ıho hlavn´ıho napˇet´ı. f (σ) =

4.2.3

Rankinova podm´ınka plasticity

Rankinova podm´ınka plasticity se pouˇz´ıvá vˇetˇsinou pro popis tahového poruˇsen´ı betonu. Vycház´ı z Mohr-Coulombovy podm´ınky pro dan´ yu ´hel vnitˇrn´ıho tˇren´ı φ = 90 o . Pak sin φ = 1 a cos φ = 0. Funkce plasticity se pak zredukuje na: f (σ) = σmax (σ)

(4.19)

To by znamenalo, ˇze beton pˇrenese libovolné tlakovové napˇet´ı a pˇritom nesm´ı vzniknout jakékoli tahové napˇet´ı. Ve skuteˇcnosti, ale beton malá tahové namáhán´ı pˇrenáˇset m˚ uˇze. ´ Upravou Mohr-Coulombovy podm´ınky plasticity z´ıskáme vztah pro popis tahového 2c0 cos φ namáhán´ı betonu. Nejprve rovnici (4.15) vynásob´ıme hodnotou (1+sin , coˇz odpov´ıdá φ) rovinnému jednoosému tahu ft v Mohr-Coulombovˇe podm´ınce plasticity. Po dosazen´ı sin φ = 0 z´ıskáme novou funkci plasticity dle Rankina. f (σ) = σmax (σ) − ft

(4.20)

4.2 Plasticita

17

Obrázek 4.5: Rankinova podm´ınka plasticity.

4.2.4

Drucker-Pragerova podm´ınka plasticity

Drucker-Pragerova podm´ınka plasticity je odvozena z podm´ınky plasticity dle von Misese, která pracuje s invariantem J2 , kter´ y byl popsán v podkapitole 4.1.2. Von Misesova podm´ınka plasticity: p f (σ) = J2 (σ) − τ0

(4.21)

Podm´ınka plasticity dle Drucker-Pragera je upravenou podm´ınkou dle von Misese pro soudrˇzné materiály s vnitˇrn´ım tˇren´ım a má tvar: p f (σ) = 3αφ σm (σ) + J2 (σ) − τ0 (4.22) kde σm je stˇredn´ı napˇet´ı popsané v podkapitole 4.1.2 a αφ je koeficient vnitˇrn´ıho tˇren´ı.

4.2.5

Srovn´ an´ı podm´ınek plasticity

Drucker-Pragerova podm´ınka plasticity umoˇzn ˇuje stejnˇe jako Mohr-Coulombova popsat rozd´ıl mezi tlakovou a tahovou pevnost´ı. Obˇe se poˇz´ıvaj´ı pro materiály s vnitˇrn´ım tˇren´ım jako jsou zeminy nebo beton. Pro popis chován´ı zeminy je v´ yhodnˇejˇs´ı pouˇz´ıt Mohr-Coulombovu plochu plasticity, která realistiˇctˇeji popisuje chován´ı zejména ˇstˇerk˚ u a p´ısk˚ u. V´ yhodou Drucker-Pragerovy podm´ınky plasticity jsou hladké plochy plasticity, které jsou v´ yhodnˇejˇs´ı z numerického hlediska. Rankinova podm´ınka plasticity se pouˇz´ıvá pˇredevˇs´ım pro popis tahového namáhán´ı betonu. Pro názornost uvedeme porovnán´ı ˇrez˚ u vˇsech tˇr´ı v´ yˇse popsan´ ych ploch plasticity, a to ˇrez odpov´ıdaj´ıc´ı rovinné napjatosti (obrázek 4.6) a deviatorické ˇrezy pro r˚ uzné u ´rovnˇe stˇredn´ıho napˇet´ı (obrázek 4.7).

4.2 Plasticita

18

ˇ Obrázek 4.6: Rezy odpov´ıdaj´ıc´ı rovinné napjatosti a) dle Mohr-Coulomba; b) dle Rankina; c) dle Druckera-Pragera.

Obrázek 4.7: Deviatorické ˇrezy pro r˚ uzné u ´rovnˇe stˇredn´ıho napˇet´ı a) dle MohrCoulomba; b) dle Rankina; c) dle Druckera-Pragera.

Kapitola 5 ATENA 3D 5.1

Pˇ redmluva

ATENA je program slouˇz´ıc´ı k poˇc´ıtaˇcové simulaci skuteˇcného chován´ı betonov´ ych a ˇzelezobetonov´ ych konstrukc´ı. ATENA je zaloˇzena na deformaˇcn´ı metodˇe koneˇcn´ ych prvk˚ u a jej´ı hlavn´ı charakteristikou je aplikace nelineárn´ıch model˚ u materiál˚ u. To umoˇzn ˇuje analyzovat stavebn´ı konstrukce nebo jejich ˇcásti v kritick´ ych podm´ınkách, kdy docház´ı k jejich poruˇsován´ı. Základn´ımi prvky jsou pokroˇcilé materiálové modely, a to nejen pro beton ˇci betonáˇrskou v´ yztuˇz, ale napˇr´ıklad i cihelné zdivo nebo podloˇz´ı. Existuje v´ıcero variant nelinearn´ıch anal´ yz v konstrukc´ıch, napˇr. geometrická, materiálová nebo kontaktová nelinearita. Ne vˇzdy se pouˇz´ıvá plná nelineárn´ı formulace. V mnoha pˇr´ıpadech se pouˇz´ıvaj´ı formulace zjednoduˇsené nebo lineárn´ı, vˇzdy je nutno posoudit, zda jsou vzniklé nepˇresnosti pˇrijatelné, ˇci nikoliv. ˇ se setkáváme s dvˇema typy nelinearity. Materiálovou nelinearitu V ATENE pouˇz´ıváme vˇzdy, protoˇze bychom jinak pracovali jen v elastické ˇca´sti materiálového konstitutivn´ıho zákona, avˇsak geometrická nelinearita m˚ uˇze b´ yt z v´ ypoˇctu vypuˇstˇena za pˇredpokladu mal´ ych deformac´ı.

5.2

Program ATENA

ATENA 3D se pouˇz´ıvá pro nelineárn´ı anal´ yzu konstrukce a skládá se ze 3 souˇca´st´ı: preprocesor, v´ ypoˇcet a postprocesor. V preprocesoru se provád´ı modelován´ı konstrukce, tvorba s´ıtˇe, nastaven´ı zat´ıˇzen´ı a v´ ybˇer iteraˇcn´ıho schématu. Modelován´ı je velmi snadné, a to pˇredevˇs´ım d´ıky pˇrehledné nab´ıdce panel˚ u, která se zobrazuje v levé ˇca´sti programu napˇr. materiály, aktivity, prutové v´ yztuˇze, s´ıt’ apod. Ve v´ ypoˇctovém jádru prob´ıhá samotn´ y v´ ypoˇcet. V´ ysledky lze pak nalézt v postprocesoru, kde je moˇznost analyzovat konstrukci v jakémkoli kroku zatˇeˇzován´ı z pohledu napˇet´ı, deformac´ı, trhlin atd.

5.3 Materi´ alov´ e modely

5.3

20

Materi´ alov´ e modely

Prvn´ım krokem modelován´ı je nastaven´ı materiál˚ u, které budeme dále pouˇz´ıvat. ATENA nab´ız´ı 3 zp˚ usoby zadáván´ı materiál˚ u: • Pˇ r´ım´ e zad´ an´ı – zde je moˇznost v´ ybˇeru ze ˇsiroké nab´ıdky materiál˚ u a nastaven´ı jejich parametr˚ u

Obrázek 5.1: Ukázka v´ ybˇeru materiál˚ u. • Naˇ cten´ı ze souboru – pouˇzit´ı dˇr´ıve nastaven´ ych materiál˚ u • V´ ybˇ er z katalogu – v´ ybˇer z katalogu je moˇzn´ y jen pro beton, kde lze vybrat 3 varianty hodnot pro beton (návrhové (characteristic), v´ ypoˇctové (design) a stˇredn´ı (mean))

5.3.1

Materi´ alov´ e modely betonu

Pro model betonu jsme pouˇzili model CC3DNonLinCementitious21 . Pro model betonu jsme pouˇzili katalogové parametry pro stˇredn´ı hodnotu odezvy pro pˇr´ısluˇsnou tˇr´ıdu betonu. Tyto nejrealistiˇctˇeji popisuj´ı bˇeˇzné chován´ı betonu. Formulace materi´ alov´ eho modelu CC3DNonLinCementitious2 Formulace materiálového modelu v tahu je zaloˇzena na rozkladu deformace do pruˇzné (elastické) sloˇzky εe , tvárné (plastické) sloˇzky εp a relativn´ıho otevˇren´ı trhlin εf . ε = ε e + εp + εf (5.1) 1

CC3DNonLinCementitious2 je pˇresn´ y název pouˇzitého modelu betonu, kter´ y je uveden v manu´ alu programu.


21

Obrázek 5.2: Pˇr´ımé zadán´ı materiálov´ ych parametr˚ u betonu. Nov´ y stav napˇet´ı je pak dán vztahem: σ n = σ (n−1) + D(∆ε − ∆εp − ∆εf ),

(5.2)

kde σ (n−1) je napˇet´ı v pˇredcházej´ıc´ım kroce zat´ıˇzen´ı, D matice tuhosti, ∆ε celkov´ y pˇr´ır˚ ustek pomˇerné deformace, ∆εf pˇr´ır˚ ustek plastické ˇca´sti pomˇerné deformace a ∆εf pˇr´ır˚ ustek relativn´ıho otevˇren´ı trhliny. Pro popis poˇskozen´ı v tahu se pouˇz´ıvá Rankinova podm´ınka plasticity, která je popsána v kapitole 3.2.3. Pˇripomeˇ nme si ji pˇredpisem: f (σ) = σmax (σ) − ft (w)

(5.3)

Jestliˇze napˇet´ı σ max 2 pˇrekroˇc´ı oblast (kˇrivku) tahového poˇskozen´ı dle Rankinovy podm´ınky plasticity (rovnice (5.3)), docház´ı k dopoˇc´ıtán´ı návratu na plochu plasticity dle asociovaného zákona. F f = f (σ) = σmax σ n−1 + D ∆ε − ∆εp − ∆εf − ft (w) (5.4) ∆εf = ∆λδ

(5.5)

kde D je matice tuhosti, ∆λ je plastick´ y násobitel, δ je smˇer plastického teˇcen´ı, ft (pevnost v tahu) je funkc´ı otevˇren´ı trhliny w. Dané Hordijkovou formul´ı, která byla experimentálnˇe odvozena a formulována vztahem: ( 3 ) w w w ft (w) = 1 + c1 e−c2 wc − 1 + c31 e−c2 (5.6) 0 ef wc wc ft wc = 5.14

Gf 0

ft ef

(5.7)

w je otevˇren´ı trhliny, wc je otevˇren´ı trhliny pˇri poklesu napˇet´ı nulovou hodnotu. Hodnoty konstant jsou c1 = 3, c2 = 6.93. Gf je lomová energie potˇrebná pro 2

Za σ max uvaˇzujeme maxim´ aln´ı hlavn´ı napˇet´ı u rotovan´ ych trhlin, u trhlin fixovan´ ych je σ max napˇet´ı kolmé na trhlinu.


22

0

vytvoˇren´ı jednotkové plochy trhliny, ft ef je efektivn´ı pevnost v tahu z´ıskaná dle smˇeru namáhán´ı (obrázek 5.4). Otevˇren´ı trhliny w je odvozeno podle teorie p´ asu trhlin (obrázek 5.3). 0 (5.8) w = εcr Lt

Obrázek 5.3: Zákon exponencionáln´ıho zmˇekˇcen´ı pˇri otev´ırán´ı trhliny (Hordijkova formule, rovnice (5.6)) a ˇs´ıˇrka pásu trhlin.

0

Obrázek 5.4: Urˇcen´ı ft ef z v´ıceosé napjatosti v bodˇe. εcr je konkrétn´ı hodnota relativn´ıho otevˇren´ı trhlin εf , mˇeˇrená kolmo na smˇer 0 trhliny v poˇskozeném stavu dle obrázku 5.3. Lt je modifikovaná ˇs´ıˇrka pásu tahového poˇskozen´ı zohledˇ nuj´ıc´ı polohu prvku v pásu trhlin pomoc´ı souˇcinitele γ. Ten je závisl´ y na u ´hlu θ = min(θ1 ; θ2 ), coˇz jsou u ´hly mezi smˇerem normály k ploˇse poˇskozen´ı a osami lokáln´ı souˇradné soustavy prvku dle obrázku 5.3. γ max je pˇrednastaveno na hodnotu 1,5. 0 Lt = γLt (5.9)


23

γ = 1 + (γ max − 1)

θ , θ ∈ h0; 45i 45

(5.10)

Poˇ skozen´ı betonu tlakem Pro plasticitu betonu v tlaku pouˇz´ıvá ATENA stejn´ y pˇredpis jako u poˇskozen´ı tahem, rozd´ıln´ y je popis plochy plasticity, kdy se m´ısto Rankinovy plasticity pouˇz´ıvá plasticita dle Willama & Menetreye, která je daleko sloˇzitˇejˇs´ı a nebude podrobnˇeji p 3 popisována. V manuálu programu je oznaˇcena jako F3p . Pomoc´ı zmˇeny pomˇerné ’ plastické deformace tedy program zajiˇst uje splnˇen´ı plastické deformace. p (σ, w) ≤ 0 F p = F3p

(5.11)

ˇ V´ıce je uvedeno v teoretickém manuálu k programu ATENA ( CERVENKA, Vladim´ır et al., 2011). Kombinace plastick´ eho modelu a modelu poˇ skozen´ı C´ılem je spojit plastick´ y model a model poˇskozen´ı do jediného modelu. Tento problém ATENA ˇreˇs´ı pomoc´ı soubˇeˇzného ˇreˇsen´ı dvou následuj´ıc´ıch nerovnic. F p σ n−1 + D ∆ε − ∆εp − ∆εf ≤ 0 (5.12) ˇreˇseno pro ∆εp F f σ n−1 + D ∆ε − ∆εp − ∆εf

≤0

(5.13)

ˇreˇseno pro ∆εf Kaˇzdá nerovnice závis´ı na v´ ystupu z té druhé, a proto se vyuˇz´ıvá iteraˇcn´ıho postupu.

5.3.2

V´ yztuˇ z

Materiál pro v´ yztuˇz se urˇcuje pomoc´ı pˇr´ımého zadán´ı materiálov´ ych parametr˚ u, kde je vytvoˇren samostatn´ y materiálov´ y typ s názvem v´ yztuˇz. Stejnˇe jako u betonu lze i u v´ yztuˇze nastavit materiálové charakteristiky, ale také typ v´ yztuˇze z hlediska plastického pˇretváˇren´ı (lineárn´ı, bilineárn´ı, multilineárn´ı a bilineárn´ı se zpevnˇen´ım), viz. obrázek 5.5. V naˇsem pˇr´ıpadˇe jsme zvolili bilineárn´ı typ z d˚ uvodu oˇcekávaného pruˇznoplastického chován´ı v´ yztuˇze v patce (viz. obrázek 5.6). V´ yztuˇz se chová elasticky, dokud nen´ı dosaˇzeno meze kluzu. Poté nastává plastické pˇretváˇren´ı s nar˚ ustem deformace bez pˇr´ır˚ ustku napˇet´ı. Odtˇeˇzován´ı se dˇeje pod stejnou tuhost´ı jako na poˇcátku. 3

Vztah (5.11) je velmi zjednoduˇsen´ y a má za u ´ˇcel popsat, ˇze napˇet´ı nesm´ı pˇresáhnout pevnost v tlaku betonu, skuteˇcn´ y popis plasticity dle Willama & Menetreye je daleko sloˇzitˇejˇs´ı.


24

Obrázek 5.5: Zadán´ı materiálov´ ych parametr˚ u v´ yztuˇze. σ σy E

ε

σy

Obrázek 5.6: Pruˇznoplastické chován´ı v´ yztuˇze.

5.3.3

Zemina

Jak bylo uvedeno v kapitole Plasticita 4.2, nejlépe se pro popis zemin ˇci hornin hod´ı Mohr-Coulombova plocha plasticity, protoˇze vˇsak ATENA 3D má v nab´ıdce pˇr´ımého zadán´ı materiálu pouze Drucker-Pragerovu plochu plasticity, byla pouˇzita právˇe tato plocha. Základn´ı funkce meze kluzu je definována jako: p p (5.14) FDP (σ) = αI1 + J2 − k = 0 α a k jsou parametry definuj´ıc´ı tvar plochy poˇskozen´ı. Ty lze vyjádˇrit pˇri porovnán´ı s Mohr-Coulombovou plochou. Jestliˇze jsou obˇe plochy shodné podle tlakového meridiánu, tj. θ = 0 o , pak promˇenné α a k jsou: α= √

2 sin φ , 3(3 − sin φ)

6c cos φ k=√ 3(3 − sin φ)

(5.15)

To odpov´ıdá kuˇzelu opsanému Mohr-Coulombovu povrchu. Pro kuˇzel vepsan´ y, kter´ y odpov´ıdá shodˇe na tahovém meridiánu kde θ = 60 o , maj´ı konstanty α a k pˇredpisy: α= √

2 sin φ , 3(3 + sin φ)

6c cos φ k=√ 3(3 + sin φ)

(5.16)


25

Obrázek 5.7: Zadán´ı materiálov´ ych parametr˚ u (Drucker-Pragerova plasticita). Drucker-Prager model umoˇzn ˇuje nastavit v´ yvoj plochy plasticity s nár˚ ustem plastické deformace, tlakové tedy napˇr. zmˇekˇcen´ı. Pro jednoduchost, ale uvaˇzujeme kritickou tlakovou deformaci wd v ˇra´dech metr˚ u, coˇz pˇribliˇznˇe odpov´ıdá nemˇenné ploˇse plasticity. Souˇcinitel smˇeru plastického teˇcen´ı β jsme dopoˇc´ıtali v závislosti na u ´hlu vnitˇrn´ıho tˇren´ı uvaˇzované zeminy. Uvaˇzujeme asociovan´ y zákon plastického teˇcen´ı, tedy kolm´ y návrat na plochu plasticity. Π [rad] (5.17) β=φ 180

5.3.4

3D elastick´ y izotropn´ı materi´ al

3D elastick´ y izotropn´ı materiál byl v nˇekter´ ych pˇr´ıpadech pouˇzit pro zeminu m´ısto modelu Drucker-Prager. Bylo to pˇri ovˇeˇrován´ı nezávislosti modelu na hustotˇe s´ıtˇe koneˇcn´ ych prvk˚ u a nezávislosti na hodnotách limit˚ u konvergenˇcn´ıch kritéri´ı nastaven´ ych ve v´ ypoˇctovém postupu dle Newton-Raphsona. Elastické materiálové charakteristiky pro zeminu byly nastaveny shodnˇe s modelem Drucker-Prager.

5.3.5

Rozn´ aˇ sec´ı tˇ el´ısko

Roznáˇsec´ı tˇel´ısko nám slouˇz´ı pro pˇreveden´ı zat´ıˇzen´ı na celou plochu sloupu. Jedná se o 3D elastick´ y izotropn´ı materiál s nastaven´ ym modulem pruˇznosti E v ˇrádu 108 MPa a s objemovou hmotnost´ı 0 MN/m3 .

5.4 Modelov´ an´ı patky

5.4

26

Modelov´ an´ı patky

C´ılem bylo vymodelovat sloup s patkou a okoln´ı zeminou, na které bude pˇrenáˇseno deformaˇcn´ı zat´ıˇzen´ı pomoc´ı roznáˇsec´ıho tˇel´ıska tak, aby byla celá horn´ı plocha sloupu tlaˇcena. Pˇri modelován´ı jsem se omezil na ˇctvrtinu tˇelesa z d˚ uvodu zrychlen´ı nelineárn´ıho v´ ypoˇctu. Toto zjednoduˇsen´ı lze pouˇz´ıt d´ıky symetrii 3D modelu. Nelze pak ale uvaˇzovat moment ˇci excentricity s´ıly ve sloupu. Tvorba modelu prob´ıhá v programovém módu preprocesor, pˇri tvorbˇe modelu jsem pouˇzil 6 základn´ıch záloˇzek, makroprvky, prutov´ e v´ yztuˇ ze, zat´ıˇ zen´ı, s´ıt’, monitory a v´ ypoˇ cet, které budou n´ıˇze popsány.

5.4.1

Makroprvky

Záloˇzka makroprvk˚ u se skládá ze 2 podˇca´st´ı I) topologie a II) vlastnosti, v prvn´ı z nich se urˇcuje poloha a tvar makroprvk˚ u modelu pomoc´ı primitiv nebo generován´ı. V mé práci jsem pro jednoduchost modelu zvolil generov´ an´ı, kde jsem rovnou modelovat celé objekty (kvádry) pomoc´ı souˇradnic a velikost´ı stran. V podˇca´sti vlastnosti se pˇridá nastaven´ y materiál, resp. d´ılˇc´ı materiál. Pˇri modelován´ı bylo nutno dodrˇzet spoleˇcné plochy jednotliv´ ych makroprvk˚ u tak, aby byla pozdˇeji zajiˇstˇena kompabilita s´ıtˇe koneˇcn´ ych prvk˚ u na styku makroprvk˚ u.

Obrázek 5.8: Model sloˇzen´ y z makroprvk˚ u. Celkovˇe je model sloˇzen z 20 makroprvk˚ u (1 sloup, 4 patka, 14 zemina a 1 roznáˇsec´ı tˇel´ısko).


5.4.2

27

Prutov´ e v´ yztuˇ ze

Záloˇzka prutové v´ yztuˇze se skládá opˇet ze 2 podˇca´st´ı I) topologie a II) vlastnosti, které maj´ı shodn´ y v´ yznam jako u makroprvk˚ u. Geometrii v´ yztuˇzn´ ych prut˚ u je opˇet moˇzné urˇcit pomoc´ı primitiv nebo generován´ı. Tentokrát bylo v´ yhodnˇejˇs´ı pouˇz´ıt primitiva usnadˇ nuj´ıc´ı um´ıstˇen´ı prut˚ u na poˇzadovanou pozici v modelu. V záloˇzce vlastnosti se nastav´ı materiál, pr˚ umˇer prut˚ u, poˇcet prut˚ u a spojen´ı s okoln´ım materiálem.

Obrázek 5.9: V´ yztuˇzné pruty v modelu. Pro spojen´ı s okoln´ım materiálem lze vybrat ze 2 nab´ıdek, a to pevn´ e spojen´ı nebo zadat parametry. V modelu jsem pouˇzil variantu pevné spojen´ı. Reálnˇejˇs´ı model by byl se zadán´ım parametr˚ u, kde by pˇribyl dalˇs´ı materiál, kter´ y je v materiálové nab´ıdce ATENY nazván soudrˇznost v´ yztuˇze. Kontroln´ı v´ ypoˇcet ukázal, ˇze rozˇs´ıˇren´ı modelu o nedokonalou soudrˇznost v´ yraznˇe neovlivn´ı v´ ysledky simulace.

Obrázek 5.10: Vlastnosti prutov´ ych v´ yztuˇz´ı.


5.4.3

28

Zat´ıˇ zen´ı

V modelu byly nastaveny 3 zatˇeˇzovac´ı stavy • ZS1 Vlastn´ı t´ıha Vlastn´ı t´ıhou jsou v modelu zat´ıˇzeny makroprvky sloupu a patky. Vlastn´ı t´ıha zeminy nen´ı uvaˇzována. • ZS2 Podpory Podepˇreny byly makroprvky zeminy na myˇsleném kontaktu s dalˇs´ı okoln´ı nemodelovanou zeminou a makroprvky, jejichˇz plochy leˇz´ı na osách symetrie modelu. Veˇskeré podpory byly provedeny jako kolmé k uveden´ ym plochám viz. obrázek 5.11. • ZS3 Deformace Zat´ıˇzen´ı modelu prob´ıhá pˇres nucenou deformaci v horn´ım bodˇe, kter´ y leˇz´ı na obou osách symetrie roznáˇsec´ıho tˇel´ıska.

Obrázek 5.11: Ukázka podepˇren´ı modelu.

5.4.4

S´ıt’ koneˇ cn´ ych prvk˚ u

S´ıt’ koneˇcn´ ych prvk˚ u vytváˇr´ı s´ıt’ uzl˚ u, ke kter´ ym jsou dopoˇc´ıtávány hledané hodnoty ˇ posun˚ u. V ATENE 3D jsou tyto uzly popsány hierarcicky, coˇz umoˇzn ˇuje kdyko-


29

liv zmˇenit hustotu s´ıtˇe (nezávisl´ ym pˇridán´ı uzlu). Mezilehlé hodnoty posun˚ u jsou lineárnˇe nebo kvadraticky interpolovány. Samotné modelován´ı s´ıtˇe se provád´ı v záloˇzce S´ıt’, kde je nejjednoduˇsˇs´ıch vybrat moˇznost Makroprvky. Pro zvolené ˇc´ıslo makroprvku je moˇzné zvolit typ zahuˇstˇen´ı ˇ (abs. délka, relativn´ı koeficient), velikost koneˇcného prvku a typ prvk˚ u s´ıtˇe [Sestistˇ eny ˇ (Bricks), Ctyˇrstˇeny(Tetrahedrons) nebo jejich kombinaci]. V modelu jsem pouˇzil kombinaci tˇechto typ˚ u. Sloup, patka a roznáˇsec´ı tˇel´ısko jsou modelovány pomoc´ı ˇsestistˇen˚ u a zemina pomoc´ı ˇctyˇrstˇen˚ u viz. obrázek 5.12. Pro kombatibilitu s´ıtˇe bylo nutné pˇridat v záloˇzce S´ıt’ jeˇstˇe kontakty mezi vˇsemi makroprvky, coˇz umoˇzn´ı pˇrechod mezi r˚ uzn´ ymi velikostmi koneˇcn´ ych prvk˚ u.

Obrázek 5.12: S´ıt’ koneˇcn´ ych prvk˚ u.

5.4.5

Monitory

Záloˇzka monitory umoˇznuje sledovat hodnoty hledan´ ych veliˇcin, jako je posun bodu, reakce v bodˇe, vnˇejˇs´ı s´ıla v bodˇe apod. V naˇsem pˇr´ıpadˇe jsme se snaˇzili zachytit pracovn´ı diagram ˇzelezobetonové patky pomoc´ı reakce na sloupu a poklesu horn´ıho stˇredového bodu sloupu. Sledovány byly také posuny ˇctyˇr dalˇs´ıch spodn´ıch rohov´ ych bod˚ u dle obrázku 5.13.

5.4.6

V´ ypoˇ cet

ˇ prob´ıhá iterativn´ım ˇreˇsen´ım nelineárn´ıch rovnic, které jsou ˇreˇseny V´ ypoˇcet v ATENE Standartn´ı Newton-Raphsonovou nebo Standartn´ı Arc Lenght metodou. V´ ypoˇcet prob´ıhá po kroc´ıch. V rámci kroku prob´ıhaj´ı iterace tak dlouho, dokud nejsou splnˇeny 4 konvergenˇcn´ı kritéria v konstrukci. Ty kontroluj´ı normu deformaˇcn´ıch zmˇen bˇehem posledn´ı iterace, normu nerovnováˇzn´ ych sil, nerovnováˇznou energii a nerovnováˇzné s´ıly z hlediska maximáln´ıho komponentu. Hodnoty limit˚ u konvergenˇcn´ıch kritérii jsou nastaveny na 0,01 resp. na 0,0001 u nerovnováˇzné energie, mohou vˇsak b´ yt pˇrenastaveny uˇzivatelem.


30

Obrázek 5.13: Um´ıstˇen´ı monitor˚ u na modelu. Pˇri zadáván´ı v´ ypoˇctu v preprocesoru se zadaj´ı v´ ypoˇctové kroky (zatˇeˇzovac´ı stavy), parametry v´ ypoˇctu (Newton-Raphson, Arc Lenght), koeficient v´ ypoˇctového kroku a poˇcet pˇr´ıdávan´ ych krok˚ u.

5.4.7

Z´ akladn´ı model

Základn´ı model patky má p˚ udorysné rozmˇery b x l = 2,4 x 2,4 m, v´ yˇska patky h je 0,8 m. Sloup je rozmˇer˚ u c1 = c2 = 0,5 m, v´ yˇsky 3,0 m. Roznáˇsec´ı tˇel´ısko má totoˇzné p˚ udorysné rozmˇery jako sloup a v´ yˇsku 0,25 m. Zemina je mocnosti 5,0 m ve vˇsech smˇerech od patky. V´ yztuˇz patky byla uvaˇzována pr˚ umˇeru φ = 16 mm a osové vzdálenosti 200 mm. Kryt´ı v patce v´ yztuˇze bylo stanoveno dle pˇr´ılohy A na 40 mm. Podélná v´ yztuˇz sloupu φ = 20 mm, tˇrm´ınky φ = 8 mm o standartn´ıch vzdálenostech.

Kapitola 6 V´ ysledky 6.1

Pˇ redmluva

Prvn´ım c´ılem po vytvoˇren´ı modelu bylo dokázat, ˇze dan´ y model pracuje nezávisle na: 1) velikosti s´ıtˇe koneˇcn´ ych prvk˚ u v betonové ˇca´sti modelu a 2) limitn´ıch hodnotách konvergenˇcn´ıch kritéri´ı. Tyto testy prob´ıhaly se zeminou modelovanou jako lineárnˇe elastick´ y materiál. Dalˇs´ım problémem mohl b´ yt boˇcn´ı kontakt mezi zeminou a patkou, kter´ y byl prvotnˇe nastaven jako pevné spojen´ı, coˇz neodpov´ıdá skuteˇcnosti. Velk´ ym problémem ve vˇsech n´ıˇze uveden´ ych srovnán´ıch a v´ ysledc´ıch vˇsak byla konvergence modelu v iterativn´ım ˇreˇsiˇci dle Newton-Raphsona. Bylo nutno pˇr´ıjmout v´ ysledky zat´ıˇzené chybou, vzniklou nesplnˇen´ı konvergenˇcn´ıch kritérii, a to zpravidla normou nerováˇzn´ ych sil a nerovnováˇzn´ ymi silami z hlediska maximáln´ıho komponentu. Docházelo k pˇritˇeˇzován´ı modelu dalˇs´ım krokem (deformac´ı), aniˇz by byly splnˇeny uvedené limitn´ı hodnoty. Pˇripomeˇ nme si, ˇze grafy pˇredstavuj´ı u ńosnost ˇctvrtiny patky. Celá patka by mˇela u ńosnost 4x vˇetˇs´ı. Patka se poruˇsovala pˇreváˇznˇe smykem, jedná se tedy o u ńosnost ve smyku.

6.2

Nez´ avislost na velikosti s´ıtˇ e koneˇ cn´ ych prvk˚ u

Nejprve jsme podrobili model testu na nezávislost na velikosti s´ıtˇe koneˇcn´ ych prvk˚ u. C´ılem bylo také vybrat vhodnou základn´ı velikost s´ıtˇe pro dalˇs´ı testován´ı modelu patky. Testované velikosti s´ıtˇe koneˇcn´ ych prvk˚ u byly 50, 75, 100, 150 a 200 mm (velikost 1 prvku). Jiˇz pˇri prvn´ım testován´ı bylo zjiˇstˇeno, ˇze kotven´ı v´ yztuˇze pomoc´ı ohyb˚ u vede k desetinásobnému nár˚ ustu tuhosti modelu u s´ıtˇe 75 mm. Jelikoˇz vˇsak tent´ yˇz model se stejnou v´ yztuˇz´ı a podloˇz´ım nem˚ uˇze vykazovat odliˇsnou tuhost, dovolili jsme si d´ıky pevnému spojen´ı betonu a v´ yztuˇze zjednoduˇsen´ı a tyto ohyby odstranili. Na ˇ patologické chován´ı modelu jsme upozornili v´ yrobce programu Cervenka Consulting s.r.o.

6.2 Nez´ avislost na velikosti s´ıtˇ e koneˇ cn´ ych prvk˚ u

32

Graf č.1 - Nezávislost na velikosti sítě konečných prvků s výztuží

Reakce v horním bodě sloupu [MN]

-3,0E+00

-2,5E+00

-2,0E+00

-1,5E+00

-1,0E+00

200 mm 150 mm -5,0E-01

100 mm 75 mm 50 mm

0,0E+00 0,0E+00

-2,0E-03

-4,0E-03

-6,0E-03

-8,0E-03

-1,0E-02

-1,2E-02

-1,4E-02

-1,6E-02

-1,8E-02

-2,0E-02

Posun (deformace) horního bodu sloupu [m]

Obrázek 6.1: Graf závislosti modelu s v´ yztuˇz´ı na velikosti s´ıtˇe koneˇcn´ ych prvk˚ u. Z grafu 6.1 je zˇrejmé, ˇze model nen´ı nezávisl´ y na velikosti s´ıtˇe, coˇz je neˇza´douc´ı jev. Jednotlivé maximáln´ı hodnoty u ńosnosti se liˇs´ı aˇz o 0,5 MN. Tuhost modelu vˇsak jiˇz byla nezávislá na velikosti s´ıtˇe. ´ Pˇredmˇetem dalˇs´ıho zkouman´ı modelu bylo zjistit d˚ uvod této závislosti. Uvahy vedly ke dvˇema moˇzn´ ym problém˚ um: a) boˇcn´ı kontakt mezi betonem a elasticky vymodelovanou zeminou, b) uchycován´ı s´ıtˇe koneˇcn´ ych prvk˚ u k modelované v´ yztuˇzi. a) Test s nastaven´ım boˇ cn´ıho kontaktu - kontakt bez spojen´ı Realistiˇcnˇejˇs´ı model s nastaven´ ym voln´ ym kontaktem mezi betonem a boˇcn´ı zeminou nevedl k odstranˇen´ı závislosti na velikosti s´ıtˇe. Zjiˇstˇené maximáln´ı hodnoty u ńosnosti pro s´ıtˇe 100 a 150 mm se liˇsily aˇz o 1MN, coˇz je vˇetˇs´ı rozptyl maximáln´ı u ńosnosti, neˇz byl pozorován u modelu s pevn´ ym spojen´ım mezi betonem a zeminou. Pozitivn´ım zjiˇstˇen´ım bylo odstranˇen´ı neˇzádouc´ıho zubu, kter´ y se objevoval v grafu 6.1 u vˇsech velikost´ı s´ıtˇe koneˇcn´ ych prvk˚ u a byl tedy zp˚ usoben pevn´ ym boˇcn´ım kontaktem mezi betonem a zeminou. b) Test s odstranˇ en´ım v´ yztuˇ ze v modelu patky Test s odstranˇen´ım v´ yztuˇze nem˚ uˇze b´ yt sice v naˇs´ı uloze pˇr´ıjmut (nejedná se ˇ patku, ale o patku z prostého betonu), ale m˚ o ZB uˇze poslouˇzit jako d˚ ukaz d˚ uvodu závislosti na velikosti s´ıtˇe. Test patky bez v´ yztuˇze dává uspokojivé v´ ysledky, tuhost modelu se nemˇen´ı a v´ ysledky dosahuj´ı velmi podobn´ ych hodnot bez závislosti na velikosti s´ıtˇe koneˇcn´ ych

6.2 Nez´ avislost na velikosti s´ıtˇ e koneˇ cn´ ych prvk˚ u

33

Obrázek 6.2: Boˇcn´ı kontakt beton - zemina. Graf č.2 - Nezávislost na velikosti sítě konečných prvků s nastaveným kontaktem zemina - beton bez kontaktu -4,0E+00


-3,5E+00

-3,0E+00

-2,5E+00

-2,0E+00

-1,5E+00

-1,0E+00

200 mm 150 mm -5,0E-01

100 mm 75 mm

0,0E+00 0,0E+00

-5,0E-03

-1,0E-02

-1,5E-02

-2,0E-02

-2,5E-02


Obrázek 6.3: Graf závislosti modelu s v´ yztuˇz´ı na velikosti s´ıtˇe koneˇcn´ ych prvk˚ u s nastaven´ ym kontaktem beton - zemina, kontakt bez spojen´ı. prvk˚ u. V grafu 6.4 se opˇet objevuje problém skoku (zubu), kter´ y je dán pevn´ ym kontaktem mezi zeminou a betonem. Závislost na velikosti s´ıtˇe u vyztuˇzené patky je tedy zp˚ usobena v´ yztuˇz´ı, na kterou se s´ıt’ koneˇcn´ ych prvk˚ u váˇze. Tento parazitick´ y jev jsme nebyli schopni odstranit,

6.3 Nez´ avislost na limitn´ı hodnotˇ e konvergenˇ cn´ıch krit´ eri´ı

34

Graf č.3 - Nezávislost na velikosti sítě konečných prvků, model bez výztuže


-2,5E+00

-2,0E+00

-1,5E+00

-1,0E+00

200 mm -5,0E-01

150 mm 100 mm

0,0E+00 0,0E+00

75 mm -5,0E-03

-1,0E-02

-1,5E-02

-2,0E-02

-2,5E-02


Obrázek 6.4: Graf závislosti modelu na velikosti s´ıtˇe koneˇcn´ ych prvk˚ u, model bez v´ yztuˇze. nezb´ yvá tedy neˇz tuto chybu pˇr´ıjmout a zvolit optimáln´ı velikost s´ıtˇe koneˇcn´ ych prvk˚ u. Zvolena byla velikost s´ıtˇe 75 mm, která je dostateˇcnˇe hustá a lze pˇredpokládat pˇresnˇejˇs´ı zkoumané hodnoty. Doba v´ ypoˇctu je akceptovatelná.

6.3

Nez´ avislost na limitn´ı hodnotˇ e konvergenˇ cn´ıch krit´ eri´ı

Pro zvolenou s´ıt’ 75 mm jsme provedli test nezávislosti na limitn´ı hodnotˇe konvergenˇcn´ıch kritéri´ı, které kontroluj´ı normu deformaˇcn´ıch zmˇen, normu nerovnováˇzn´ ych sil, nerovnováˇznou energii a nerovnováˇzné s´ıly z hlediska maximáln´ıho komponentu bˇehem kaˇzdé iterace. Jednotlivé hodnoty jsou dle Standartn´ı Newton-Raphsonovy metody pˇrednastaveny tak, jak byly popsány v kapitole 5.4.6 a postupnˇe zpˇr´ısnˇeny na desetinu, padesátinu a setinu. Kritická hodnota konvergenˇcn´ıch kritéri´ı vedouc´ı k ukonˇcen´ı v´ ypoˇctu (z d˚ uvodu neakceptovatelné chyby) byla ponechána. Jelikoˇz je vˇsak zadávána relativnˇe v˚ uˇci mˇenˇen´ ym hodnotám, byla i tato relativn´ı kritická hodnota patˇriˇcnˇe upravena. Z grafu 6.5 je patrná nezávislost na limitn´ı hodnotˇe konvergenˇcn´ıch kritéri´ı. V´ ysledky je ovˇsem nutné brát s rezervou, protoˇze v mnoha kroc´ıch nebyla poˇzadovaná limitn´ı hodnota konvergenˇcn´ıch kritéri´ı dosaˇzena. Pro zkrácen´ı doby v´ ypoˇctu byla

´ 6.4 Unosnost patky s izotropn´ım elastick´ ym materi´ alov´ ym modelem zeminy 35

Graf č.4 - Nezávislost na limitních hodnotách konvergenčních kritérií -3,0E+00


-2,5E+00

-2,0E+00

-1,5E+00

-1,0E+00

Standart Newton-Raphson Desetina -5,0E-01

Padesátina Setina 0,0E+00 0,0E+00

-2,0E-03

-4,0E-03

-6,0E-03

-8,0E-03

-1,0E-02

-1,2E-02

-1,4E-02

-1,6E-02

-1,8E-02


Obrázek 6.5: Graf závislosti modelu s v´ yztuˇz´ı na limitn´ı hodnotˇe konvergenˇcn´ıch kritéri´ı. pro dalˇs´ı anal´ yzy vybrána desetina z p˚ uvodnˇe nastaven´ ych hodnot.

6.4

´ Unosnost patky s izotropn´ım elastick´ ym materi´ alov´ ym modelem zeminy

Byla zjiˇst’ována u ńosnost patky pro 4 druhy zemin: • skála R4, Edef = 600 MPa, ν= 0,2 • ˇstˇerk G2, Edef = 190 MPa, ν= 0,2 • p´ısek S2, Edef = 40 MPa, ν= 0,28 • j´ıl F3, Edef = 5 MPa, ν= 0,35

6.4.1

Pevn´ y kontakt mezi betonem a zeminou

Maximáln´ı u ńosnost ve smyku byla dle oˇcekáván´ı namˇeˇrena na zeminˇe s nejvˇetˇs´ım modulem pruˇznosti Edef - na skále R4, a to 3,56 MN pˇri poklesu horn´ıho bodu sloupu o 6,64 mm. U zeminy G2 byla namˇeˇrena maximáln´ı reakce 2,3 MN pˇri deformaci 11,5 mm. Na p´ıskovém podloˇz´ı byla zjiˇstˇena maximáln´ı hodnota 1,67 MN

´ 6.5 Unosnost patky pro zeminy s materi´ alov´ ym modelem Drucker-Prager plasticita

36

pˇri zatlaˇcen´ı patky o 32,5 mm. U j´ılu model nebyl schopen dopoˇc´ıtat aˇz do poruˇsen´ı patky smykem. Graf č.5 - Hodnoty smykových únosností patky na elastickém podloží -4,0E+00


-3,5E+00

-3,0E+00

-2,5E+00

-2,0E+00

-1,5E+00

R4 -1,0E+00

G2 S2 -5,0E-01

F3 0,0E+00 0,0E+00

-5,0E-02

-1,0E-01

-1,5E-01

-2,0E-01

-2,5E-01


ˇ patky pro elastick´ Obrázek 6.6: Graf závislosti posunu a reakce na sloupu ZB y materiál podloˇz´ı s pevn´ ym boˇcn´ım kontaktem mezi zeminou a betonem.

6.4.2

Voln´ y boˇ cn´ı kontakt mezi betonem a zeminou

V´ ysledky po odstranˇen´ı pevného kontaktu mezi podloˇz´ım a betonem na boˇcn´ıch stranách patky kop´ıruj´ı v´ ysledky s pevn´ ym spojen´ım. Hodnota maximáln´ı u ńosnosti ve smyku se u skály R4 sn´ıˇzila o 0,3 MN, naopak u ˇstˇerku G2 o 0,3 MN zv´ yˇsila. U p´ısku S2 dosáhla maximáln´ı s´ıla ve sloupu na 2,2 MN, coˇz je o v´ıce neˇz 0,5 MN vyˇsˇs´ı hodnota neˇz s pevn´ ym spojen´ım. D˚ uvodem mohou b´ yt silné konvergenˇcn´ı problémy modelu s pevn´ ym spojen´ım, kdy na kontaktu vznikaj´ı ˇcetné nerovnováˇzné s´ıly (residuáln´ı s´ıly). Model bez boˇcn´ıho spojen´ı mezi patkou a zeminou vykazoval stabilnˇejˇs´ı v´ ypoˇcet zhlediska splnˇen´ı konvergenˇcn´ıch kritéri´ı.

6.5

´ Unosnost patky pro zeminy s materi´ alov´ ym modelem Drucker-Prager plasticita

Pˇri zaveden´ı plasticity do materiálového modelu zeminy, bylo pouˇzito pouze volné spojen´ı patky se zeminou.

´ 6.5 Unosnost patky pro zeminy s materi´ alov´ ym modelem Drucker-Prager plasticita

37

Graf č.6 - Hodnoty smykových únosností patky na elastickém podloží s volným kontaktem -3,5E+00


-3,0E+00

-2,5E+00

-2,0E+00

-1,5E+00

-1,0E+00

R4 G2

-5,0E-01

S2 F3 0,0E+00 0,0E+00

-5,0E-02

-1,0E-01

-1,5E-01

-2,0E-01

-2,5E-01


ˇ patky pro elastick´ Obrázek 6.7: Graf závislosti posunu a reakce na sloupu ZB y materiál podloˇz´ı s voln´ ym boˇcn´ım kontaktem mezi zeminou a betonem. Byla zjiˇst’ována u ńosnost patky pro zeminy s následuj´ıc´ımi charakteristikami: • ˇstˇerk G2, Edef = 190 MPa, ν= 0,2, ϕef = 37 o , c = 10 kPa • p´ısek S2, Edef = 40 MPa, ν= 0,28, ϕef = 36 o , c = 10 kPa • j´ıl F3, Edef = 5 MPa, ν= 0,35, ϕef = 27 o , c = 12 kPa

1

Hodnoty z grafu 6.8 by mˇely nejrealistiˇctˇeji popisovat smykovou u ńosnost ˇzelezobetonové patky. Program mˇel, jak je z grafu zˇrejmé, velké konvergenˇcn´ı problémy s p´ısˇcit´ ym podloˇz´ım S2, jehoˇz maximáln´ı u ńosnost m˚ uˇzeme pˇribliˇznˇe odhadnout. Porovnán´ı v´ ysledk˚ u pro elastick´ y model zeminy a model zeminy dle Drucker-Pragera uvedeme v sekci 6.6. 1 Hodnoty koheze c jsou uvaˇzov´ any pro zeminy G2 a S2 jako 10 kPa, ve skuteˇcnosti je koheze c pro tyto zeminy nulov´ a. Do materiálového modelu Drucker- Prager plasticita, ale musela b´ yt nastavena hodnota 10 kPa, kv˚ uli konvergenci modelu. Pˇri niˇzˇs´ı hodnotˇe koheze c nebyl model schopen dokonˇcit iteraci.

6.6 Porovn´ an´ı u ´ nosnost´ı patky pro odliˇ sn´ e nastaven´ı jednotliv´ ych podloˇ z´ı

38

Graf č.7 - Hodnoty smykových únosností patky na zemině s Drucker - Prager plasticitou -1,8E+00


-1,6E+00

-1,4E+00

-1,2E+00

-1,0E+00

-8,0E-01

-6,0E-01

-4,0E-01

G2 -2,0E-01

0,0E+00 0,0E+00

S2 F3 -5,0E-02

-1,0E-01

-1,5E-01

-2,0E-01

-2,5E-01

-3,0E-01


ˇ patky pro podloˇz´ı s maObrázek 6.8: Graf závislosti posunu a reakce na sloupu ZB teriálov´ ym nastaven´ı pro Drucker- Prager plasticitu s voln´ ym boˇcn´ım kontaktem mezi zeminou a betonem.

6.6

Porovn´ an´ı u ´ nosnost´ı patky pro odliˇ sn´ e nastaven´ı jednotliv´ ych podloˇ z´ı

C´ılem této ˇca´sti bude porovnat u ńosnosti jednotliv´ ych model˚ u zeminy pro zeminy a horniny R4, G2, S2 a F3. Nejrealistiˇctejˇs´ı´ı hodnoty jsou oˇcekávány s materiálov´ ym modelem zeminy s plasticitou Drucker-Prager. Pro horninu R4 vykazoval vyˇsˇs´ı u ńosnost model s pevn´ ym kontaktem, realistiˇctˇejˇs´ı je vˇsak model s kontaktem voln´ ym, jehoˇz maximáln´ı u ńosnost byla 3,26 MN. Maximáln´ı hodnota s pevn´ ym kontaktem byla o 0,3 MN vyˇsˇs´ı pˇri stejné deformaci 6,6 mm. Dalˇs´ı nár˚ ust u ńosnosti dle grafu 6.9 je pˇrisuzována tuhosti skaln´ıho podloˇz´ı. Plasticita dle Drucker-Pragera nebyla pro skálu R4 zavedena, protoˇze by nemˇela velké opodstatnˇen´ı. ˇ erk G2 má srovnán´ı elastick´ Stˇ ych model˚ u s pevn´ ym a voln´ ym kontaktem opaˇcn´ y neˇz hornina R4. Vyˇsˇs´ı u ńosnost mˇel model s voln´ ym kontaktem, a to 2,53 MN pˇri poklesu 13,3 mm. Pevn´ y kontakt dosáhl u ńosnosti 2,3 MN pˇri deformaci 11,5 mm. M´ırn´ y rozd´ıl je i v tuhosti jednotliv´ ych elastick´ ych model˚ u, coˇz koresponduje s nastaven´ım kontaktu, kdy voln´ y kontakt má menˇs´ı tuhost. Realistiˇctˇejˇs´ı model se zavedenou plasticitou dosáhl u ńosnosti 1,69 MN za poklesu horn´ıho bodu sloupu o 19,0 mm.


39

Graf č. 8 - Srovnání únosností pro skálu R4 -4,0E+00


-3,5E+00

-3,0E+00

-2,5E+00

-2,0E+00

-1,5E+00

-1,0E+00

R4 - elastický model podloží s pevným kontaktem -5,0E-01

R4 - elastický model podloží s volným kontaktem 0,0E+00 0,0E+00

-5,0E-03

-1,0E-02

-1,5E-02

-2,0E-02

-2,5E-02


Obrázek 6.9: Srovnán´ı u ńosnost´ı pro horninu R4. P´ısˇcité podloˇz´ı S2 vykazuje obdobné chován´ı jako ˇstˇerk G2. Pˇri maximáln´ıch u ńosnostech s voln´ ym kontaktem 2,2 MN pˇri poklesu o 49,0 mm, s pevn´ ym kontaktem 1,67 MN a poklesu 32,5 mm. P´ısek s Drucker-Prager plasticitou mˇel velké konvergenˇcn´ı problémy a v´ ypoˇcet nebyl dopoˇc´ıtán. Pro j´ıl F3 m˚ uˇzeme pro elastické podloˇz´ı sledovat pouze tuhost jednotliv´ ych model˚ u, protoˇze modul pruˇznosti E je pˇr´ıliˇs mal´ y a docház´ı k nereálnému zatlaˇcován´ı patky do zeminy. Model s plasticitou podloˇz´ı dle Drucker-Pragera dosáhl maximáln´ı u ńosnosti 591,0 kN pˇri deformaci 24,7 cm. V sekci 6.9 jsme zjistili, ˇze základová p˚ uda F3 nevyhov´ı na napˇet´ı v základové spáˇre. Dle obrázku 6.12 je zˇrejmé, ˇze se nejedná o poˇskozen´ı patky, ale selhán´ı u ńosnosti základové p˚ udy.


Graf č. 9 - Srovnání únosností pro štěrk G2


-3,00E+00

-2,50E+00

-2,00E+00

-1,50E+00

-1,00E+00

G2 - elastický model podloží s pevným kontaktem G2 - elastický model podloží s volným kontaktem

-5,00E-01

G2 - Drucker-Prager model podloží s volným kontaktem 0,00E+00 0,00E+00

-5,00E-03

-1,00E-02

-1,50E-02

-2,00E-02

-2,50E-02


Obrázek 6.10: Srovnán´ı u ńosnost´ı pro zeminu G2. Graf č. 10 - Srovnání únosností pro písek S2 -2,5E+00


-2,0E+00

-1,5E+00

-1,0E+00

S2 - elastický model podloží s pevným kontaktem -5,0E-01

S2 - elastický model podloží s volným kontaktem S2 - Drucker-Prager model podloží s volným kontaktem 0,0E+00 0,0E+00

-1,0E-02

-2,0E-02

-3,0E-02

-4,0E-02

-5,0E-02

-6,0E-02

-7,0E-02


Obrázek 6.11: Srovnán´ı u ńosnost´ı pro zeminu S2.

-8,0E-02

-9,0E-02

40

´ 6.7 Unosnost patky se smykovou v´ yztuˇ z´ı

41

Obrázek 6.12: Poˇskozen´ı patky na j´ılovém podloˇz´ı pˇri maximáln´ı zjiˇstˇené s´ıle. Graf č. 11 - Srovnání únosností pro jíl F3 -1,6E+00


-1,4E+00

-1,2E+00

-1,0E+00

-8,0E-01

-6,0E-01

F3 - elastický model podloží s pevným kontaktem -4,0E-01

F3 - elastický model podloží s volným kontaktem -2,0E-01

F3 - Drucker-Prager model podloží s volným kontaktem 0,0E+00 0,0E+00

-5,0E-02

-1,0E-01

-1,5E-01

-2,0E-01

-2,5E-01

-3,0E-01


Obrázek 6.13: Srovnán´ı u ńosnost´ı pro zeminu F3.

6.7

´ Unosnost patky se smykovou v´ yztuˇ z´ı

Jelikoˇz vˇetˇsina v´ yˇse uveden´ ych poruch modelu patky je z d˚ uvodu tvorby smykov´ ych trhlin, byl proveden test vyztuˇzen´ı patky smykovou v´ yztuˇz´ı pomoc´ı ohyb˚ u.

6.8 Zmˇ ena geometrie pro zjiˇ stˇ en´ı ohybov´ eu ´ nosnosti

42

Ohyby byly vytvoˇreny z v´ yztuˇze φ = 12 mm ve dvou variantách po vzdálenostech ´ 80 a 160 mm dle obrázku 6.14. Uhel sklonu ohyb˚ u byl pod u ´hlem 45 o . Tuhost modelu se po pˇridán´ı v´ yztuˇze znaˇcnˇe zv´ yˇsila. Model pracoval témˇeˇr nezávisle na poˇctu smykové v´ yztuˇze. Pˇri dosaˇzen´ı s´ıly pˇres 4,4 MN pˇri deformaci okolo 5,1 mm pˇrestává b´ yt závislost lineárn´ı. Zat´ıˇzen´ı zaˇc´ıná b´ yt pˇrenáˇseno hlavnˇe v´ yztuˇz´ı aˇz po ukonˇcen´ı v´ ypoˇctu pˇri s´ıle 9,6 MN a pˇri poklesu o 14,7 mm pro v´ yztuˇz po 80 mm a s´ıle 8,95 MN a deformaci 15,9 mm pro v´ yztuˇz po 160 mm. Napˇet´ı ve v´ yztuˇzi bylo zjiˇstˇeno v postprocesoru pˇres pr˚ ubˇehy napˇet´ı v 1D a izoplochy napˇet´ı ve smˇeru xx. Napˇet´ı je zobrazeno v obrázc´ıch 6.16 a 6.17. Napˇet´ı v´ yztuˇze v posledn´ım kroku v´ ypoˇctu dosahuje maximáln´ıch hodnot 567,1 kPa pro vzdálenost v´ yztuˇze 80 mm a 630,0 kPa pro osovou vzdálenost 160 mm. Napˇet´ı ve v´ yztuˇzi je malé a stále by tedy bylo moˇzné zvyˇsovat zat´ıˇzen´ı.

Obrázek 6.14: Ukázka patek se smykovou v´ yztuˇz´ı.

6.8

Zmˇ ena geometrie pro zjiˇ stˇ en´ı ohybov´ eu ´ nosnosti

V ˇca´sti 6.7 jsme popsali, ˇze model ˇzelezobetonové patky se poruˇsoval smykem a ukázali jsme zmˇenu u ńosnosti pomoc´ı smykové v´ yztuˇze. V této podkapitole jsme patku podrobili pokusu, kdy jsme zvˇetˇsili vyloˇzen´ı patky ˇ ˇ a dvojnásobnˇe, coˇz by dle kapitoly 3 (Normy CSN EN 1991-1 a CSN EN 1992-11), zvˇetˇsilo uvaˇzovan´ y moment na konzole Med . Oˇcekávan´ ym v´ ysledkem mˇelo b´ yt poruˇsen´ı patky ohybem nebo vznik velk´ ych trhlin pˇri spodn´ım povrhu patky. Jako podloˇz´ı jsme pro tento test zvolil ˇstˇerk G2 jako elastick´ y materiál s voln´ ym kontaktem mezi betonem a zeminou.


43

Graf č.12 - Hodnoty smykových únosností se smykovou výztuží na elastickém podloží s pevným kontaktem mezi zeminou a betonem


-1,2E+01

-1,0E+01

-8,0E+00

-6,0E+00

-4,0E+00

Bez smykové výztuže -2,0E+00

5x R12 á 80 mm 3x R12 á 160 mm 0,0E+00 0,0E+00

-5,0E-03

-1,0E-02

-1,5E-02

-2,0E-02

-2,5E-02


Obrázek 6.15: Závislost posun-s´ıla patky se smykovou v´ yztuˇz´ı na elastickém podloˇz´ı s pevn´ ym kontaktem mezi zeminou a betonem.

Obrázek 6.16: Napˇet´ı ve v´ yztuˇzi pro v´ yztuˇz R12 a´ 80 mm.


44

Obrázek 6.17: Napˇet´ı ve v´ yztuˇzi pro v´ yztuˇz R12 a´ 160 mm.

Obrázek 6.18: Porovnán´ı trhlin obou model˚ u (vlevo základn´ı model, vpravo patka s dvojnásobn´ ym vyloˇzen´ım a) na vzestupné ˇca´sti pracovn´ıho diagramu.


45

V obrázku 6.18 jsou porovnány trhliny, vzniklé na vzestupné ˇcásti pracovn´ıho diagramu. Pro patku s menˇs´ım vyloˇzen´ı a zvolili filtr ˇs´ıˇrky trhliny 0,1 mm, tak abychom demostrovali vznik smykov´ ych trhlin. Pro patku s dvojnásobn´ ym vyloˇzen´ım 2a byl filtr ˇs´ıˇrky trhliny nastaven na 1 mm, z d˚ uvodu vzniku menˇs´ıch smykov´ ych trhlin, které by vadily demonstraci v´ ysledku. Maximáln´ı u ńosnost dle grafu 6.19 pro patku s vyloˇzen´ım a je 2,66 MN, která se liˇs´ı jen minimálnˇe od u ńosnosti patky s vyloˇzen´ım 2a, kde byla stanovena u ńosnost na ˇctvrtinˇe patky 2,44 MN. Z obrázku je patrn´ y vznik ohybov´ ych trhlin pˇri doln´ım povrchu zvˇetˇsené patky. V´ ysledné poruˇsen´ı bylo ovˇsem i u dvojnásobného vyloˇzen´ı patky a nakonec smykem. Graf č.13 - Únosnosti patek s různým vyložením a -3,0E+00


-2,5E+00

-2,0E+00

-1,5E+00

-1,0E+00

-5,0E-01

Geometrie A (a) Geometrie B (2a) 0,0E+00 0,00E+00

-2,00E-03

-4,00E-03

-6,00E-03

-8,00E-03

-1,00E-02

-1,20E-02

-1,40E-02

-1,60E-02


Obrázek 6.19: Srovnán´ı závislosti posun - s´ıla u model˚ u s r˚ uzn´ ym vyloˇzen´ım a.

6.9 Napˇ et´ı v z´ akladov´ e sp´ aˇ re

6.9

46

Napˇ et´ı v z´ akladov´ e sp´ aˇ re

Pˇri posouzen´ı patky dle pˇr´ılohy A mus´ı b´ yt splnˇen vztah (A.7), kde kontaktn´ı napˇet´ı σzi v základové spáˇre mus´ı b´ yt menˇs´ı neˇz normová u ńosnost základové p˚ udy Rd . Pomoc´ı ˇrezu zobraz´ıme napˇet´ı σzi v základové spáˇre (hloubce 0,8 m) pro elasticky modelovanou zeminu a zeminu s plasticitou dle Drucker-Pragera. Porovnáme ˇ je s v´ ypoˇctovou hodnotou σzi dle CSN EN 1992-1-1. Jednotlivé napˇet´ı σzi pro p´ısek ˇ S2 pak posoud´ıme s u ńosnost´ı Rd dle CSN 73 1001, kterou jsme spoˇc´ıtali v pˇr´ıloze A. Oˇcekávané rozloˇzen´ı kontaktn´ıho napˇet´ı v základové spáˇre známé z mechaniky ´ Kamila , 2005) je moˇzné stanovit v závislosti na tuhosti zemin (WEIGLOVA, základu obrázek 6.20. Tuhost základu se urˇc´ı dle vzorce (6.1).

´ Kamila , 2005). Obrázek 6.20: Rozloˇzen´ı napˇet´ı v základové spáˇre (WEIGLOVA,

3 t b ´ k ≤ 1 ... TUHY ´ k > 1 ... PODDAJNY

E k = · Edef

(6.1) (6.2) (6.3)

Stˇredn´ı napˇet´ı (rovnomˇerné na ploˇse) σzi je dáno pod´ılem maximáln´ı s´ıly na efektivn´ı plochu, kterou zjednoduˇsenˇe budeme uvaˇzovat jako ˇctvrtinu p˚ udorysné plochy


47

patky, z d˚ uvodu, ˇze i maximáln´ı s´ıla je dána u ńosnost´ı ˇctvrtiny patky. Dle vzorce Ned σzi = lf ·bf .

a) Sk´ ala R4: E k= · Edef

σzi =

3 3 t 31000 0, 8 = · = 1, 91 b 600 2, 4

Ned 3260 = = 2, 26 MPa, pro R4 s elastickou zeminou lf · bf 1, 2 · 1, 2

(6.4)

(6.5)

Obrázek 6.21: Napˇet´ı v základové spáˇre - skála R4 elastick´ y materiál v lineárn´ı vˇetvi pracovn´ıho diagramu. Rozloˇzen´ı napˇet´ı v základové spáˇre v elastickém kroku zatˇeˇzován´ı je dle obrázku 6.21 pˇreváˇznˇe od 0 kPa do 500 kPa, na okraj´ıch patky dosahuje napˇet´ı aˇz 5 MPa. Rozdˇelen´ı napˇet´ı koresponduje s oˇcekávan´ ym tuh´ ym chován´ım (k > 1) základu dle obrázku 6.20, kdy se plynule zvyˇsuje napˇet´ı smˇerem k okraji patky. Rozloˇzen´ı napˇet´ı pˇri dosaˇzen´ı maximáln´ı s´ıly se mˇen´ı kv˚ uli zmˇenám tuhosti patky (obr. 6.22). Napˇet´ı na základové spáˇre jiˇz neodpov´ıdá rozdˇelen´ı napˇet´ı pro tuh´ y základ vlivem plného poˇskozen´ı betonu smykem.


48

Obrázek 6.22: Napˇet´ı v základové spáˇre pˇri maximáln´ım zat´ıˇzen´ı - skála R4 elastick´ y materiál. ˇ erk G2: b) Stˇ E · k= Edef σzi = σzi =

3 3 0, 8 t 31000 · = = 6, 04 b 190 2, 4

2530 Ned = = 1, 76 MPa, pro G2 s elastickou zeminou lf · bf 1, 2 · 1, 2

(6.6) (6.7)

Ned 1690 = = 1, 17 MPa, pro G2 s plasticitou dle Drucker − Pragera lf · bf 1, 2 · 1, 2 (6.8)

Napˇet´ı v základové spáˇre v daném ˇrezu dosahuje hodnot od 0 MPa po 15 MPa, pˇrevládaj´ı napˇeti leˇz´ı v intervalu od 1 do 2 MPa, v tomto intervalu se pohybuj´ı i vypoˇc´ıtané hodnoty dle vztah˚ u (6.7) a (6.8). Rozdˇelen´ı napˇet´ı na ˇrezu odpov´ıdá chován´ı tuhého základu dle obrázku 6.20. Normová u ńosnost základové p˚ udy Rd je pro ˇstˇerk G2 1326,62 kPa, této u ńosnosti vyhov´ı stˇredn´ı hodnota napˇet´ı v základové spáˇre σzi pro zavedenou plasticitu DP v zeminˇe, elastick´ y model nikoli. c) P´ısek S2: E · k= Edef σzi =

3 3 t 31000 0, 8 = · = 28, 7 b 40 2, 4

Ned 2200 = = 1, 52 MPa, pro S2 s elastickou zeminou lf · bf 1, 2 · 1, 2

(6.9) (6.10)


49

Obrázek 6.23: Napˇet´ı v základové spáˇre pˇri maximáln´ım zat´ıˇzen´ı - ˇstˇerk G2 elastick´ y.

Obrázek 6.24: Napˇet´ı v základové spáˇre pˇri maximáln´ım zat´ıˇzen´ı - ˇstˇerk G2 s plasticitou DP. σzi =

Ned 1040 = = 0, 72 MPa, pro S2 s plasticitou dle Drucker − Pragera lf · bf 1, 2 · 1, 2 (6.11)

Hodnoty napˇet´ı v základové spáˇre dle obrázk˚ u 6.25 a 6.26 v daném ˇrezu dosahuj´ı hodnot pˇreváˇznˇe od 0 do 800 kPa. Maximáln´ı hodnoty na okraj´ıch patky jsou u elasticky ˇreˇseného p´ısku S2 12 MPa, u p´ısku S2 s plasticitou dle DP 8 MPa. ´ Unosnost zeminy Rd je dle pˇr´ılohy A 1227,12 kPa. Tato u ńosnost vyhov´ı na stˇredn´ı hodnotu σzi pro model s plasticitou dle Drucker-Pragera, pro elastick´ y model podloˇz´ı nikoli.


50

Obrázek 6.25: Napˇet´ı v základové spáˇre pˇri maximáln´ım zat´ıˇzen´ı - p´ısek S2 elastick´ y.

Obrázek 6.26: Napˇet´ı v základové spáˇre pˇri maximáln´ım zat´ıˇzen´ı - p´ısek S2 s plasticitou DP. d) J´ıl F3: E k= · Edef σzi =

3 3 t 31000 0, 8 = · = 229, 63 b 5 2, 4

(6.12)

Ned 591 = = 0, 41 MPa, pro F3 s plasticitou dle Drucker − Pragera lf · bf 1, 2 · 1, 2 (6.13)

Napˇet´ı v základové spáˇre v daném ˇrezu dle obrázku 6.28 dosahuje hodnot pˇreváˇznˇe od 0 kPa po 3,3 MPa. Normová hodnota u ńosnosti Rd pro j´ıl F3 = 485,78 kPa. Aˇckoliv stˇredn´ı hodnota napˇet´ı σzi vyhov´ı normové u ńosnosti zeminy Rd , patka


51

Obrázek 6.27: Napˇet´ı v základové spáˇre pˇri maximáln´ım zat´ıˇzen´ı - j´ıl F3 elastick´ y.

Obrázek 6.28: Napˇet´ı v základové spáˇre pˇri maximáln´ım zat´ıˇzen´ı - j´ıl F3 s plasticitou DP. ztratila u ńosnost d´ıky zplastizován´ı zeminy, ne kv˚ uli poruˇsen´ı betonu.2 Hodnoty na ˇrezech z programu ATENA 3D jsou brány pro zjiˇstˇenou maximáln´ı u ńosnost. U j´ılu modelovaného jako elastick´ y materiál odpov´ıdá napˇet´ı na obrázku 6.27 napˇet´ı po posledn´ım dopoˇcteném kroce. Vypoˇctená hodnota dle normy (6.13) leˇz´ı v pˇrevládaj´ıc´ı oblasti na ˇrezu 6.28. Rozloˇzen´ı napˇet´ı odpov´ıdá oˇcekávanému rozloˇzen´ı napˇet´ı pro tuh´ y základ dle obrázku 6.20.

2´

Unosnost jednotliv´ ych zemin Rd byla spoˇc´ıtána dle vztahu (A.43).

Kapitola 7 Z´ avˇ er V bakaláˇrské práci jsem se zab´ yval u ńosnost´ı ˇzelezobetonové patky. Byl vytvoˇren model v koneˇcnˇe prvkostn´ım programu ATENA 3D, kde byla pomoc´ı nelineárn´ıho v´ ypoˇctu zjiˇst’ována maximáln´ı svislá s´ıla ve sloupu. Byla ovˇeˇrována závislost u ńosnosti patky na druhu podloˇz´ı, vyloˇzen´ı patky a a materiálovém modelu zeminy. Zjiˇstˇená u ńosnost byla srovnána s normovou u ńosnost´ı ˇ dle CSN EN 1992-1-1. Pozornost byla vˇenována také napˇet´ı na základové spáˇre, jehoˇz pr˚ ubˇeh se podle numerického v´ ypoˇctu v´ yraznˇe odchyluje od pˇredpokladu (rovnomˇerného napˇet´ı) normy. Fináln´ı poruˇsen´ı patky bylo ve vˇetˇsinˇe zkouˇsen´ ych pˇr´ıpad˚ u smykem, kter´ y je pro u ńosnost pˇri dané geometrii rozhoduj´ıc´ı. Byly ˇreˇseny tˇri varianty modelu zeminy: • A - Zemina jako elastick´ y materiál s pevn´ ym kontaktem mezi betonem a zeminou; • B - Zemina jako elastick´ y materiál s voln´ ym kontaktem mezi betonem a zeminou; • C - Zemina s plasticitou dle Drucker-Pragera s voln´ ym kontaktem mezi betonem a zeminou V´ ysledná u ńosnost byla srovnávána s maximáln´ı silou pˇri protlaˇcen´ı dle normy. V pˇr´ıloze B jsme zjistili maximáln´ı smykové napˇet´ı v betonu pˇri protlaˇcen´ı 2033,6 kPa. Po zpˇetném dosazen´ı do vzorce (B.8), z´ıskáme maximáln´ı s´ılu Ved :1 Ved =

2033, 6 · 3, 51 · 0, 744 ved µcr d = = 5310, 6 kN = 5, 31MN β 1

(7.1)

Z tabulky 7.12 je patrná závislost u ńosnosti na druhu podloˇz´ı a jeho modelován´ı. Dle oˇcekáván´ı vyˇsˇs´ı u ńosnost vykazovaly zeminy s vyˇsˇs´ım modulem pruˇznosti Edef . 1 2

Za parametr β byla uvaˇzov´ ana hodnota 1 z d˚ uvodu absence ohybového momentu v modelu. U hodnot s hvˇezdiˇckou byl v´ ypoˇcet pˇreruˇsen pˇred dosaˇzen´ım maximáln´ı s´ıly.

53

R4 G2 S2 F3

´ Unosnost ˇzelezobetonové patky [MN] A B C 3,56×4=14,24 3,26×4=13,04 2,30×4=9.20 2,53×4=10,12 1,69×4=6,76 1,67×4=6.68 2,20×4=8,80 1,04×4=4,16* 1,41×4=5.64* 1,21×4=4,84* 0,59×4=2,36

´ Tabulka 7.1: Unosnost patky v závislosti na druhu a materiálovém nastaven´ı zeminy. Normové hodnoty vypoˇctené v rovnici (7.1) by mˇely b´ yt opatˇreny jistou m´ırou bezpeˇcnosti a mˇely by se pohybovat v bezpeˇcné oblasti skuteˇcného pracovn´ıho diagramu. Naproti tomu v modelu jsou pouˇzity materiálové parametry pro stˇredn´ı hodnotu odezvy. ˇ erkové podloˇz´ı G2 dle ATENY 3D pˇrenese maximáln´ı s´ılu F = 6,36 MN Stˇ (u p´ısˇcitého podloˇz´ı S2 lze oˇcekávat jeˇstˇe niˇzˇs´ı), coˇz je sice vyhovuj´ıc´ı normové hodnotˇe, ale s ohledem na to, ˇze model poskytuje stˇredn´ı odezvu, se bl´ızkost obou hodnot jev´ı jako nedostateˇcná. Naopak u skaln´ıho podloˇz´ı R4 (F=14,24 MN) se norma jev´ı jako pˇr´ıliˇs konzervativn´ı. Závislost na podloˇz´ı ˇreˇs´ı norma pomoc´ı u ńosnosti základové p˚ udy Rd , která mus´ı b´ yt vˇetˇs´ı neˇz napˇet´ı v podzáklad´ı σzi . U j´ılového podloˇz´ı F3 nedoˇslo v modelovém zatˇeˇzován´ı ke smykovému poruˇsen´ı ˇzelezobetonové patky, ale k zplastizován´ı zeminy pod základovou patkou. Tento v´ ysledek byl potvrzen i normov´ ym v´ ypoˇctem a srovnán´ım v sekci 6.9, kdy napˇet´ı v základové spáˇre bylo velmi bl´ızko u ńosnosti základové p˚ udy Rd . Pro ovˇeˇren´ı modelu by bylo nutné z´ıskat experimentáln´ı data ze zatˇeˇzovac´ıch zkouˇsek. Otázkou je, zda z´ıskané hodnoty v programu ATENA 3D jsou zcela adekvátn´ı s ohledem na konvergenˇcn´ı problémy popsáné v´ yˇse, a s ohledem na v práci zm´ınˇená zjednoduˇsen´ı. Práce ukázala velkou závislost na druhu zeminy a na volbˇe materiálového modelu jednotliv´ ych zemin. Zjistili jsme, ˇze v´ ysledná u ńosnost ˇzelezobetonov´ ych patek je dána smykov´ ym poˇskozen´ım patky i pˇri zdvojnásoben´ı vyloˇzen´ı patky a a odolnost na ohyb v daném pˇr´ıpadˇe nehraje pˇri poˇskozen´ı zásadn´ı roli.

Literatura ˇ ˇ CERVENKA, Vladim´ır, Libor JENDELE a Jan CERVENKA. ATENA Program Documentation, Part 1, Theory. Prague, Czech Republic: Cervenka Consulting Ltd., 2011. ´ ˇ ´ REN ˇ I´ A PORUSOV ˇ AN ´ I´ MATERIAL ´ U, ˚ JIRASEK, Milan a Jan ZEMAN. PRETV A ˇ Dotvarován´ı, plasticita, lom a poˇskozován´ı. Praha: Ceská technika - nakladatelstv´ı ˇ CVUT, Thákurova 1, 160 41 Praha 6, 2006. ISBN 80-01-03555-7. ´ ˇ NOVAK, Drahom´ır a Ludˇek BRDECKO. Pruˇznost a pevnost: Základn´ı pojmy a pˇredpoklady. Brno: VUT Brno, 2004. 48s. ˇ CSN 73 1001. Zakládán´ı staveb. Základová p˚ uda pod ploˇsnými základy. Praha: ´ UNMZ, 1987. ˇ ˇ ast 1-1: Obecná zat´ıˇzen´ı CSN EN 1991-1-1. Eurokód 1: Zat´ıˇzen´ı konstrukc´ı - C´ ´ Objemové t´ıhy, vlastn´ı t´ıha a uˇzitná zat´ıˇzen´ı pozemn´ıch staveb. Praha: UNMZ, 2004. ˇ ˇ ast 1-3: Obecná zat´ıˇzen´ı CSN EN 1991-1-3. Eurokód 1: Zat´ıˇzen´ı konstrukc´ı - C´ ´ Zat´ıˇzen´ı snˇehem. Praha: UNMZ, 2005. ˇ ˇ ast 1-4: Obecná zat´ıˇzen´ı CSN EN 1991-1-4. Eurokód 1: Zat´ıˇzen´ı konstrukc´ı - C´ ´ Zat´ıˇzen´ı vˇetrem. Praha: UNMZ, 2007. ˇ ˇ ast 1-1: Obecn´ CSN EN 1992-1-1. Eurokód 2: Navrhován´ı betonových konstrukc´ı - C´ a ´ pravidla a pravidla pro pozemn´ı stavby. Praha: UNMZ, 2006. ˇ ˇ ast 1: Obecn´ CSN EN 1997-1. Eurokód 7: Navrhován´ı geotechnických konstrukc´ı - C´ a ´ pravidla. Praha: UNMZ, 2006. ´ Kamila . Mechanika zemin: Praktické aplikace mechaniky zemin I. WEIGLOVA, Brno: VUT Brno, 2005. 36s.

Seznam symbol˚ u e Med Mrd Med,k Ved , Ned lk a c, b lf , bf h σzi σgd As d x fyd λ η Acr,i µcr,i Ved,red ved vrd vmin CRD,c , k

excentricita návrhová hodnota ohybového momentu v´ ypoˇctová hodnota ohybového momentu návrhová hodnota ohybového momentu na myˇslené konzole návrhové hodnota normálové s´ıly délka konzoly vyloˇzen´ı patky rozmˇery sloupu rozmˇery patky v´ yˇska patky kontaktn´ı napˇet´ı napˇet´ı v podzáklad´ı plocha v´ yztuˇze u ´ˇcinná v´ yˇska pr˚ uˇrezu vzdálenost neutráln´ı osy od nejv´ıce tlaˇceného okraje mez kluzu v´ yztuˇze souˇcinitel definuj´ıc´ı u ´ˇcinnou v´ yˇsku tlaˇcené oblasti souˇcinitel definuj´ıc´ı u ´ˇcinnou pevnost kritická plocha pr˚ uˇrezu kritick´ y obvod pr˚ uˇrezu redukovaná hodnota návrhové s´ıly návrhové napˇet´ı v´ ypoˇctové napˇet´ı minimáln´ı napˇet´ı souˇcinitelé

56

%l fck fck Fs lbd c

stupeˇ n vyztuˇzen´ı návrhová pevnost betonu v´ ypoˇctová pevnost betonu s´ıla ve v´ yztuˇzi kotevn´ı délka kryt´ı v´ yztuˇze

σx,y,z τx,y,z εx,y,z γx,y,z E ν G σ1,2,3 σm J2 εe εp φ c0 σmax σmax ft αϕ τ0

normálová napˇet´ı smyková napˇet´ı normálové sloˇzky pomˇerné deformace smykové sloˇzky pomˇerné deformace Young˚ uv modul pruˇznosti Poisson˚ uv souˇcinitel modul pruˇznosti ve smyku hlavn´ı napˇet´ı stˇredn´ı napˇet´ı druh´ y invariant deviatorického napˇet´ı elastická ˇca´st pˇretvoˇren´ı plastická ˇca´st pˇretvoˇren´ı u ´hel vnitˇrn´ıho tˇren´ı koheze maximáln´ı hlavn´ı napˇet´ı minimáln´ı hlavn´ı napˇet´ı pevnost v tahu koeficient vnitˇrn´ıho tˇren´ı mez kluzu ve smyku

57

εf w ∆λ c1 , c2 0 ft ef εcr fc 0 Lt β φ α, k Gf

relativn´ı otevˇren´ı trhliny otevˇren´ı trhliny plastick´ y násobitel konstanty efektivn´ı pevnost v tahu konkrétn´ı hodnota pˇr´ır˚ ustku relativn´ıho otevˇren´ı trhliny f ε pevnost v tlaku modifikovaná ˇs´ıˇrka pásu tahového poˇskozen´ı souˇcinitel smˇeru plastického teˇcen´ı Ludolfovo ˇc´ıslo souˇcinitelé definuj´ıc´ı Drucker-Pragorovu plochu poˇskozen´ı lomová energie

Matice

σ ε δ De Ce D

napˇet´ı pomˇerné deformace smˇer plastického teˇcen´ı elastická matice tuhosti elastická matice poddajnosti matice tuhosti

Seznam pˇ r´ıloh 1. Pˇr´ıloha A - Posouzen´ı na ohybov´ y moment 2. Pˇr´ıloha B - Posouzen´ı patky na protlaˇcen´ı a prop´ıchnut´ı 3. Pˇr´ıloha C - Posouzen´ı kotevn´ıch délek v´ yztuˇzen´ı

Pˇ r´ıloha A - Posouzen´ı na ohybov´ y moment Posouzen´ı ˇ zelezobetonov´ e patky na ohybov´ y moment Zadán´ı vzorového pˇr´ıkladu: P˚ udorysné rozmˇery patky: bf x lf = 2,4 x 2,4 m P˚ udorysné rozmˇery sloupu: c1 x c2 = 0,5 x 0,5 m, c = c1 = c2 Beton: C 25/30 V´ yztuˇz: B 500 ∗ S´ıla a moment na kontaktu sloupu se zeminou: Ved = 2250 kN, Med = 58 kNm, Hed = 40 kN, zd (vlastn´ı t´ıha patky, násyp, podkladn´ı vrstvy podlahy, vlastn´ı t´ıha podlahy, promˇenné uˇzitné zat´ıˇzen´ı na podlaze) = 250 kN

V´ ypoˇ cet: 1) Odvozen´ı v´ yˇsky patky dle pˇredpokládaného roznáˇsec´ıho u ´hlu Patka by mˇela dle obrázku A.1 splˇ novat roznáˇsec´ı u ´hel, kter´ y je v rozmez´ı 35 – o 40 . hf ⇒ hf = a tan α (A.1) tan α = a bf − c 2, 4 − 0, 5 a= = = 0, 95 m = 950 mm (A.2) 2 2 hf = tan(35 − 40 o )a = tan(35 − 40 o ) · 950 = (665, 2 − 797, 14)mm ⇒ 800 mm (A.3)

III

ˇ patky. Obrázek A.1: Roznáˇsec´ı u ´hel ZB V´ ypoˇ cet n´ avrhov´ e hodnoty ohybov´ eho momentu: V´ ypoˇcet dle obrázk˚ u A.2 a A.3

Ved Med*

Hed

a c2

c1

hf

Ned

Med

2e lf gd

bf

Obrázek A.2: Geometrie návrhu. V´ ypoˇ cet: Ned = Ved + zd = 2250 + 250 = 2500 kN, Mx,ed = M∗ed + hf Hed = 58 + 0, 8 · 40 = 90 kNm ex = ex ≤

90 Mx,ed = = 0, 036 m Ned 2500

bf 2, 4 = = 0, 8 m 3 3

⇒ VYHOVUJE

(A.4) (A.5)

IV

a

c

a

Ved

hf

Med*

0,15c dle ČSN 0,176a dle EC

2e σgd bf (lf)

Obrázek A.3: Schéma pro v´ ypoˇcet ohybového momentu. σzi =

Ned 2500 = = 447, 45 kPa (lf (bf − 2e)) 2, 4(2, 4 − 2 · 0, 036) σzi ≤ Rgd [MPa]

σgd = σzi −

250 zd = 447, 45 − = 404, 05 kPa (bf lf ) (2, 4 · 2, 4)

(A.6)

(A.7) (A.8)

Obrázek A.4: Schéma myˇslené konzoly. Délka myˇslené konzoly je uvaˇzována dle obrázku A.4 lk = a + 0, 176a = 950 + 0, 176 · 950 = 1117, 2 ⇒ 1120 mm

(A.9)

1 1 Med,k = σgd lf l2k = 404, 05 · 2, 4 · 1, 122 = 608, 21 kNm 2 2

(A.10)

V

1 1 Med,k,bm = σgd lf,bm l2k = 404, 05 · 1 · 1, 122 = 253, 42 kNm/m (A.11) 2 2 σzi je kontaktn´ı napˇet´ı [kPa], σgd redukované napˇet´ı v podzáklad´ı [kPa], Rgd v´ ypoˇctová u ńosnost zeminy [kPa], lk délka myˇslené konzoly, Med návrhová hodnota ohybového momentu [kNm], Med,1m návrhová hodnota ohybového momentu na bˇeˇzn´ y metr [kNm].

V´ yztuˇ z: B 500B fyk = 500 MPa fyd =

fyk γs

=

500 1,15

εyd =

fyd Es

=

434,8 200.103

= 434, 8 MPa = 2, 174.10−3 [−]

fyk je mez kluzu v´ yztuˇze (napˇet´ı, pˇri kterém vznikaj´ı trvalé plastické deformace)[MPa], fyd návrhová hodnota meze kluzu v´ yztuˇze [MPa],γs d´ılˇc´ı souˇcinitel betonáˇrské v´ yztuˇze [1,15] pro trvalá a doˇcasná zat´ıˇzen´ı, Es =200GPa - návrhová hodnota modulu pruˇznosti, εyd návrhové pˇretvoˇren´ı betonáˇrské oceli. Beton: C25/30 fck = 25 MPa fcd =

fck γc

=

25 1,5

= 16, 67 MPa

fctm = 2, 6 MPa fctk;0,05 = 1, 8 MPa fctd =

fctk;0,05 γc

=

1,5 1,5

= 1, 0 MPa

fck (25) je charakteristická válcová pevnost betonu v tlaku [MPa],fck (30) charakteristická krychelná pevnost betonu v tlaku [MPa],fcd návrhová pevnost betonu v tlaku [MPa], fctm pr˚ umˇerná hodnota válcové pevnosti v dostˇredném tahu [MPa], fctk;0,05 charakteristická pevnost betonu v dostˇredném tahu, 5% kvantil [MPa].

VI

Kryt´ı v´ yztuˇ ze c Uvaˇzovan´ y stupeˇ n prostˇred´ı XC2, konstrukˇcn´ı tˇr´ıda 4, pr˚ umˇer v´ yztuˇze 16mm a betonáˇz bude provedena na podkladn´ım betonu. c ≥ cnom

(A.12)

cnom = cmin + ∆cdev

(A.13)

cmin = max {cmin,b ; cmin,dur + ∆cdur,γ –∆cdur,st –∆cdur,add ; 10 mm} (A.14) cmin = max {16mm; 25 + 0 + 0 + 0mm; 10mm} = 25 mm (A.15) ∆cdev = 10 mm

(A.16)

Dosad´ıme do rovnice (A.13) a z´ıskáme cnom . cnom = cmin + ∆cdev = 25 + 10 mm = 35 mm c ≥ cnom

(A.17)

⇒ navrhuji c = 40 mm.

c je kryt´ı v´ yztuˇze (vzdálenost povrchu v´ yztuˇze k vnˇejˇs´ımu prostˇred´ı), cnom je nomináln´ı kryc´ı vrstva v´ yztuˇze, cmin je minimáln´ı kryc´ı vrstva v´ yztuˇze, cmin,b je minimáln´ı kryc´ı vrstva z hlediska soudrˇznosti. Jedná-li se o oddˇelenou v´ yztuˇz, tak cmin,b se rovná pr˚ umˇeru v´ yztuˇze. Je-li jmenovit´ y maximáln´ı rozmˇer kameniva dg > 32 mm, pak cmin,b = (φ + 5 mm). cmin,dur je minimáln´ı kryc´ı vrstva z hlediska podm´ınek prostˇred´ı (pro XC2 = mokré, obˇcas suché podm´ınky – povrchy beton˚ u vystavené dlouhodobému p˚ usoben´ı vody, vˇetˇsina základ˚ u a konstrukˇcn´ı tˇr´ıdu 4, pro návrhovou ˇ ˇzivotnost 50 let) je cmin,dur 25 mm dle tabulky 4.4N – CSN EN 1992-1-1. ∆cmin,γ je pˇr´ıdavná bezpeˇcnostn´ı sloˇzka, ∆cdur,st je redukce minimáln´ı kryc´ı vrstvy pˇri pouˇzit´ı nerezové oceli, ∆cdur,add je redukce minimáln´ı kryc´ı vrstvy pˇri pouˇzit´ı pˇr´ıdavné ochrany. ˇ ∆cdur,γ ; ∆cdur,st ; ∆cdur,add – doporuˇcené hodnoty dle CSN EN 1992-1-1 jsou 0 mm. ∆cdev je pˇr´ıdavek k minimáln´ı kryc´ı vrstvˇe, kter´ y pokr´ yvá pˇr´ıpustnou odchylku. Doporuˇcená hodnota je 10 mm pro bˇeˇznou u ´roveˇ n provádˇen´ı, pro betonáˇz na upravené zeminˇe 45 mm a pro betonáˇz na neupravené zeminˇe 75 mm. N´ avrh v´ yztuˇ ze: Provedeme posouzen´ı v´ yztuˇze s menˇs´ı u ´ˇcinnou v´ yˇskou d, v´ yztuˇz ve druhém smˇeru bude symetrická a zároveˇ n ménˇe namáhaná. Odvozen´ı u ´ˇcinné v´ yˇsky d dle obrázku A.5. 16 φ = 64 mm (A.18) d1 = c + φ + = 40 + 16 + 2 2 d = hf − d1 = 800 − 64 = 736 mm (A.19)

VII

Obrázek A.5: Schéma pr˚ uˇrezu pro návrh v´ yztuˇze. 2 varianty v´ ypoˇ ctu vyztuˇ zen´ı: s ! b · d · fcd 2Med As,d = 1− 1− 2 (A.20) fyd b d fcd r 2, 4 · 0, 736 · 16, 67 2 · 608, 21 As,d = 1− 1− (A.21) 434, 8 2, 4 · 0, 7362 · 16, 67 · 1000 As,d = 19, 28 · 10−4 m2 (A.22) As ≥ As,d

(A.23)

As =12xφ16 ks ⇒ As = 24, 13 · 10−4 m2

As,d,bm As,d,bm As,d,bm

s

! 2Med 1− 1− 2 (A.24) b d fcd r 1, 0 · 0, 736 · 16, 67 2 · 253, 42 = 1− 1− (A.25) 434, 8 1, 0 · 0, 7362 · 16, 67 · 1000 = 8, 03 · 10−4 m2 /m (A.26) b d fcd = fyd

As,bm ≥ As,d,bm

(A.27)

As,bm =φ16 po 200mm ⇒ As = 10, 05 · 10−4 m2 d je u ´ˇcinná v´ yˇska pr˚ uˇrezu [m], hf je v´ yˇska patky [m], As,d je nutná (potˇrebná) 2 plocha v´ yztuˇze [m ], As je navrˇzená plocha v´ yztuˇze [m2 ]. Posouzen´ı plochy v´ yztuˇ ze: As ≥ As,min

(A.28)

VIII

fctm b d = 0, 26 · fyk fctm b d = 0, 26 · = 0, 26 · fyk = 9, 95 · 10−4 m2 /m

As,min = 0, 26 · As,min,bm

2, 6 · 2, 4 · 0, 736 = 23, 88 · 10−4 m2(A.29) 500 2, 6 · 1, 0 · 0, 736 = (A.30) 500 (A.31)

As ≤ As,max

(A.32)

As,max = 0, 04 · 2, 4 · 0, 736 = 0, 071 m2 ≤ As As,max,bm = 0, 04 · 1, 0 · 0, 736 = 0, 029 m2 /m ≤ As,bm

(A.33) (A.34)

Plocha v´ yztuˇze vyhov´ı na minimáln´ı a maximáln´ı plochu v´ yztuˇze dle rovnic (A.29) - (A.34). Jelikoˇz se nejedná o desku, ale základovou patku budeme dále pracovat s plochou v´ yztuˇze celé patky As . Posouzen´ı u ´ˇ cinn´ e v´ yˇ sky pr˚ uˇ rezu x: 24, 13 · 10−4 · 434, 8 As fyd = 0, 0338 m = bληfcd 2, 4 · 0, 8 · 1, 0 · 16, 67

(A.35)

εcu3 3, 5 · 10−3 · 0, 736 = 0, 454 m ·d= εcu3 + εyd (3, 5 + 2, 174) · 10−3

(A.36)

x= x ≤ xlim =

Obrázek A.6: Rozdˇelen´ı pr˚ uˇrezu na tlaˇcenou a taˇzenou ˇca´st. Posouzen´ı protaˇ zen´ı v´ yztuˇ ze: εs ≥ εyd

εs = (d − x) ·

εcu3 3, 5 · 10−3 = (0, 736 − 0, 0338) · = 0, 0727 x 0, 0338

(A.37)

(A.38)

IX

εyd = 0, 002174

(A.39)

Posouzen´ı ohybov´ eho momentu: 0, 8 · 0, 0338 λx −4 = 24, 13 · 10 · 434, 8 0, 736 − = 758, 0 kNm Mrd = As fyd d − 2 2 (A.40) Med ≤ 1 Mrd 608, 21 = 0, 802 758, 0

(A.41) (A.42)

ˇ Zelezobetonov´ a patka je vyuˇ zita na 80,2 %. x je vzdálenost neutráln´ı osy od nejv´ıce tlaˇceného okraje [m], λ je souˇcinitel definuj´ıc´ı u ´ˇcinnou v´ yˇsku tlaˇcené oblasti [-], λ=0,8 pro fck ≤ 50 MPa, η je souˇcinitel definuj´ıc´ı u ´ˇcinnou pevnost [-], η = 1,0 profck ≤ 50 MPa.

ˇ Posouzen´ı u ´ nosnosti z´ akladov´ e p˚ udy dle normy CSN 73 1001 Dle nerovnice (A.7) mus´ı b´ yt kontaktn´ı napˇet´ı σzi mezi zeminou a patkou menˇs´ı neˇz u ńosnost zeminy Rd . ´ ˇ Unosnost zeminy Rd se vypoˇcte dle normy CSN 73 1001 z rovnice (A.43). b Rd = cd Nc sc dc ic + γ1 dNd sd dd id + γ2 Nb sb db ib 2 Pro vzorov´ y pˇ r´ıklad budeme uvaˇ zovat n´ asleduj´ıc´ı zeminu:

(A.43)

S2, ν = 0, 28, Edef = 40 MPa, ϕef = 36 o , cef = 0 kPa, γ1,2 = 18, 5 kNm−3 , dosah pˇredpokládan´ ych smykov´ ych ploch budeme zjednoduˇsenˇe uvaˇzovat jako ds = 2b = 4, 8 m, pˇredpokládaná hloubka zaloˇzen´ı d = 1 m. ϕef 36 = = 32, 0 o γmϕ 1, 125

(A.44)

ϕef 36 = = 1, 125; ϕef > 12 o (ϕef − 4) 36 − 4

(A.45)

ϕd = γmϕ =

X

Souˇ cinitel´ eu ´ nosnosti Nc,d,b : Nc = (Nd − 1) cot ϕd = (23, 17 − 1) cot 32 o = 35, 48 (A.46) 32 ϕd o Nd = tan2 45 + · eπ tan ϕd = tan2 45 + · eπ tan 32 = 23, 17 (A.47) 2 2 Nb = 1, 5(Nd − 1) tan ϕd = 1, 5(23, 17 − 1) tan 32 o = 20, 78 (A.48) Souˇ cinitel´ e tvaru z´ akladu sc,d,b : bef f 2, 4 − 2 · 0, 036 = 1 + 0, 2 · = 1, 194 l 2, 4 bef f 2, 4 − 2 · 0, 036 = 1+ · sin ϕd = 1 + · sin 32 o = 1, 51 l 2, 4 bef f 2, 4 − 2 · 0, 036 = 1 + 0, 3 · = 1 + 0, 3 · = 1, 291 l 2, 4

sc = 1 + 0, 2 ·

(A.49)

sd

(A.50)

sb

Souˇ cinitel´ e hloubky zaloˇ zen´ı dc,d,b : s r d 1 dc = 1 + 0, 1 = 1 + 0, 1 = 1, 065 bef f 2, 4 − 2 · 0, 036 s d dd = 1 + 0, 1 sin 2ϕd bef f r 1 dd = 1 + 0, 1 sin 2 · 32 o = 1, 062 2, 4 − 2 · 0, 036 db = 1, 0

(A.51)

(A.52) (A.53) (A.54) (A.55)

Souˇ cinitel´ eˇ sikmosti zat´ıˇ zen´ı ic,d,b : ic,d,b = (1 − tan δ)2 = (1 − 0, 016)2 = 0, 97 Hed 40 tan δ = = = 0, 016 Ned 2500

(A.56) (A.57)

´ Unosnost zeminy Rd dle rovnice (A.43): Rd = 0 · 35, 48 · 1, 194 · 1, 065 · 0, 97 + + 18, 5 · 1, 0 · 23, 17 · 1, 51 · 1, 062 · 0, 97 + 2, 4 − 2 · 0, 036 · 20, 78 · 1, 291 · 1, 0 · 0, 97 + 18, 5 · 2 = 1227, 12 kPa Kontaktn´ı napˇ et´ı σzi

(A.58) (A.59) (A.60) (A.61)

XI

ˇ Kontaktn´ı napˇet´ı pˇrepoˇc´ıtáme z hodnoty dle EC2 na hodnotu odpov´ıdaj´ıc´ı CSN za pˇredpokladu, ˇze v´ ypoˇctové hodnoty dle EC vycház´ı cca o 16 % vˇetˇs´ı. Mx,EC,ed NEC,ed 90 Mx,CSN,ed = 1,16 = 1,16 = 77, 59 kNm, NCSN,ed = 1,16 = 2500 = 2155, 17 kNm 1,16 ex =

Mx,ed 77, 59 = = 0, 036 m Ned 2155, 17

bf 2, 4 = = 0, 8 m ⇒ VYHOVUJE 3 3 Ned 2155, 17 σzi = = = 385, 73 kPa (lf (bf − 2e)) 2, 4(2, 4 − 2 · 0, 036) ex ≤

(A.62) (A.63) (A.64)

Posouzen´ı u ´ nosnosti zeminy dle rovnice (A.7): σzi ≤ Rd 385, 73 kPa ≤ 1227, 12 kPa ˇ ⇒ VYHOVUJE na mezn´ı u ńosnost zeminy dle CSN 73 1001.

(A.65) (A.66)

Pˇ r´ıloha B - Posouzen´ı patky na protlaˇ cen´ı a prop´ıchnut´ı Posouzen´ı ˇ zelezobetonov´ e patky na protlaˇ cen´ı Zadán´ı vzorového pˇr´ıkladu je shodné s pˇr´ılohou A: P˚ udorysné rozmˇery patky: bf x lf = 2,4 x 2,4 m P˚ udorysné rozmˇery sloupu: c1 x c2 = 0,5 x 0,5 m, c = c1 = c2 Beton: C 25/30 V´ yztuˇz: B 500 ∗ S´ıla a moment na kontaktu sloupu se zeminou: Ved = 2250 kN, Med = 58 kNm, Hed = 40 kN, zd (vlastn´ı t´ıha patky, násyp, podkladn´ı vrstvy podlahy, vlastn´ı t´ıha podlahy, promˇenné uˇzitné zat´ıˇzen´ı na podlaze) = 250 kN Hodnoty vypoˇctené v pˇr´ıloze A: plocha v´ yztuˇze As = 24, 13 · 10−4 m2 , v´ yˇska patky ´ cinné v´ hf = 800 mm, vyloˇzen´ı patky a = 950 mm. Uˇ yˇsky dx a dy byly odvozeny na dx = 736 mm a dy = 676 + 16 = 752 mm.

V´ ypoˇ cet: V´ ypoˇcet bude proveden pro zvolenou vzdálenost od l´ıce sloupu a4 . Pro plné posouzen´ı by bylo nutné ovˇeˇrit v´ıce kontrolovan´ ych pr˚ uˇrez˚ u, postup by byl analogick´ y s ukázkov´ ym. x=

a 950 = = 237, 5 mm ⇒ 240 mm 4 4

(B.1)

´ cinn´ Uˇ a v´ yˇ ska def f : def f = d =

dx + dy 736 + 752 = = 744 mm 2 2

(B.2)

XIII

Obrázek B.7: Schéma kritického pr˚ uˇrezu.

Obrázek B.8: Schéma kritického obvodu.

Acr = c1 c2 +2c1 x+2c2 x+πx2 = 0, 5·0, 5+2·0, 5·0, 24+2·0, 5·0, 24+π·0, 242 = 0, 91 m2 (B.3) µcr = 2πx + 2(c1 + c2 ) = 2 · π · 0, 24 + 2 · (0, 5 + 0, 5) = 3, 51 m

(B.4)

XIV

V´ ypoˇ cet n´ avrhov´ eho smykov´ eho napˇ et´ı: ∆Ved =

Ved 2250 Acr = σgd Acr = · 0, 91 = 355, 47 kN bf lf 2, 4 · 2, 4 σgd =

Ved bf lf

(B.5) (B.6)

Ved,red = Ved − ∆Ved = 2250 − 355, 47 = 1894, 53 kN

(B.7)

Ved,red 1894, 53 = 1, 05 · = 761, 74 kPa µcr d 3, 51 · 0, 744

(B.8)

∗ 58 · 3, 51 Med · µcr = 1 + 0, 6 · = 1, 05 Ved,red · Wi 1894, 53 · 1, 22

(B.9)

ved = β · β = 1 + k¯ ·

k¯ je souˇcinitel závisej´ıc´ı na pomˇeru mezi rozmˇery sloupu c1 a c2 , viz. tabulka B.2. c1 c2

k¯

≤ 0,5 0,45

1,0 0,60

2,0 0,70

≥ 3,0 0,80

Tabulka B.2: Hodnoty k¯ pro obdéln´ıkové zatˇeˇzované plochy.

0, 52 c21 +c1 c2 +2c2 a+4x2 +πc1 x = +0, 5·0, 5+2·0, 5·0, 24+4·0, 242 +π·0, 5·0, 24 = 1, 22 m2 2 2 (B.10) a je délka vyloˇzen´ı patky [m], x je vzdálenost kontrolovaného obvodu od sloupu [m], β je souˇcinitel dan´ y vztahem (B.9)[-], Acr,i je kritická plocha pr˚ uˇrezu dle rovnice (B.3) vymezená kritick´ ym obvodem µcr [m2 ] dle obr.B.8, µcr,i je kritick´ y obvod posuzovaného pr˚ uˇrezu [m] dle rovnice (B.4) a obr. B.8, d je pr˚ umˇerná u ´ˇcinná v´ yˇska ∗ pr˚ uˇrezu [m], σgd je napˇet´ı v podzáklad´ı [kPa], M ed je návrhová hodnota ohybového momentu na kontaktu se sloupem [kNm], Ved,red je redukovaná hodnota návrhové normálové s´ıly, dle vztahu (B.7) [kN], Wi [m2 ] je modul, kter´ y odpov´ıdá rozdˇelen´ı smyku, je funkc´ı základn´ıho kontrolovaného obvodu µcr,i [-].

Wi =

V´ ypoˇ cet v´ ypoˇ ctov´ eho napˇ et´ı : vrd = Crd,c k

p 3

100ρfck ·

p 2d 2 · 0, 744 = 0, 12·1, 52 3 100 · 1, 35 · 10−3 · 25· = 1, 696 MPa = 1696 kPa x 0, 24 (B.11) Crd,c =

0, 18 0, 18 = = 0, 12 γc 1, 5

(B.12)

XV

r k =1+ ρ=

200 =1+ d

r

200 = 1, 52 d [mm] 744

24, 13 · 10−4 As = = 1, 35 · 10−3 (lf d) (2, 4 · 0, 744)

(B.13) (B.14)

ˇ Crd,c a k jsou souˇcinitelé dle normy CSN EN 1992-1-1 dle vztah˚ u (B.12) a (B.13) [-], ρ je stupeˇ n vyztuˇzen´ı dle (B.14) [-], fck je charakteristická válcová pevnost betonu v tlaku [MPa]. Posouzen´ı na protlaˇ cen´ı: vrd 1696 kP a vmin 2033, 6 kP a

≥ ≥ ≥ ≥

ved 761, 64 kP a ⇒ VYHOVUJE ved 761, 64 kP a ⇒ VYHOVUJE

(B.15) (B.16) (B.17) (B.18)

Posouzen´ı na minim´ aln´ı napˇ et´ı: 3

1

3

1

vmin = 0, 035k 2 fck2 = 0, 035 · 1, 52 2 · 25 2 = 0, 328 MPa 2d ⇒ NEVYHOVUJE x 2 · 0, 744 1626 kP a ≥ 0, 328 · · 1000 = 2033, 6 kPa 0, 24 vrd ≥ vmin

(B.19)

(B.20) (B.21)

Do posouzen´ı na protalˇcen´ı pouˇzijeme hodnotu vmin . Nen´ı nutno navrhnout smykovou v´ yztuˇ z na protlaˇ cen´ı.

Posouzen´ı na prop´ıchnut´ı patky sloupem V´ ypoˇ cet n´ avrhov´ eho napˇ et´ı na prop´ıchnut´ı sloupem: ved,0 = β0 · β0 = 1 + k ·

Ved,max 2152, 34 = 1, 13 · = 1634, 5 kPa µcr,0 d 2 · 0, 744

Med

µ0 90 2 = 1 + 0, 6 · · = 1, 13 Ved,max W0 2152, 34 0, 375 µ0 = 2c1 + 2c2 = 4 · 0, 5 = 2 m

W0 =

c21 0, 52 + c1 c2 = + 0, 5 · 0, 5 = 0, 375 m2 2 2

(B.22) (B.23) (B.24) (B.25)

XVI

Ved,max = Ved − σgd c1 c2 = 2250 − 390, 625 · 0, 5 · 0, 5 = 2152, 34 kN

σgd =

Ved 2250 = = 390, 625 kPa lf bf 2, 4 · 2, 4

(B.26)

(B.27)

V´ ypoˇ cet v´ ypoˇ ctov´ eho napˇ et´ı na prop´ıchnut´ı sloupem: vrd,max = 0, 5νfcd = 0, 5 · 0, 54 · 16, 67 = 4, 5 MPa = 4500 kPa fck 25 ν = 0, 6 1 − = 0, 6 · 1 − = 0, 54 250 250

(B.28) (B.29)

Posouzen´ı na prop´ıchnut´ı: ved,0 ≤ vrd,max 1634, 5 kPa ≤ 4500 kPa

(B.30) (B.31)

⇒ Patka vyhov´ı na prop´ıchnut´ı sloupem. Veˇskeré symboly maj´ı totoˇzn´ y v´ yznam jako u posouzen´ı na protlaˇcen´ı, index 0 oznaˇcuje vztaˇzen´ı k obvodu sloupu, tj. nult´ y kritick´ y obvod.

Pˇ r´ıloha C - Posouzen´ı kotevn´ıch d´ elek v´ yztuˇ ze Zadán´ı vzorového pˇr´ıkladu je shodné s pˇr´ılohami A a B: P˚ udorysné rozmˇery patky: bf x lf = 2,4 x 2,4 m P˚ udorysné rozmˇery sloupu: c1 x c2 = 0,5 x 0,5 m, c = c1 = c2 Beton: C 25/30 V´ yztuˇz: B 500 ∗ S´ıla a moment na kontaktu sloupu se zeminou: Ved = 2250 kN, Med = 58 kNm, Hed = 40 kN, zd (vlastn´ı t´ıha patky, násyp, podkladn´ı vrstvy podlahy, vlastn´ı t´ıha podlahy, promˇenné uˇzitné zat´ıˇzen´ı na podlaze) = 250 kN Hodnoty vypoˇctené v pˇr´ılohách A a B: plocha v´ yztuˇze As = 24, 13 · 10−4 m2 , v´ yˇska ´ patky hf = 800 mm, vyloˇzen´ı patky a = 950 mm. Uˇcinné v´ yˇsky dx a dy byly odvozeny na dx = 736 mm a dy = 736 + 16 = 752 mm, fctd = 1, 2 MPa σgd = 404, 05 kPa.

V´ ypoˇ cet: V´ ypoˇcet bude proveden pro zvolenou vzdálenosti x od kraje patky h2 . Pro plné posouzen´ı by bylo nutné ovˇeˇrit v´ıce délek x napˇr. x = a4 , a2 , h2 , 3a , postup by byl 4 analogick´ y s ukázkov´ ym. h 800 = 400 mm (C.1) x= = 2 2 e = 0, 15b = 0, 15 · 500 = 75 mm

(C.2)

Rgd = σgd lf x = 404, 05 · 2, 4 · 0, 4 = 387, 89 kN

(C.3)

x 400 = 950 + 75 − = 1225 mm 2 2

(C.4)

ze = a + e −

zi = 0, 9d = 0, 9 · 752 = 676, 8 mm

(C.5)

XVIII

b e ze

Ned Fc

zi

d hf

C

Fs A

lbd x

Fs,max B

R

Obrázek C.9: Schéma pro v´ ypoˇcet tahové s´ıly ve v´ yztuˇzi. Vyj´ adˇ ren´ı s´ıly ve v´ yztuˇ zi Fs pomoc´ı ohybov´ ych moment˚ u vnitˇ rn´ıch a vnˇ ejˇ s´ıch sil dle obr´ azku C.9: Me = Mi Rgd · ze = Fs · zi ⇒ Fs = Rgd · σsd =

1, 225 ze = 702, 08 kN = 387, 89 · zi 0, 6768

Fs 702, 08 = = 290, 96 MPa As 24, 13 · 10−4

lbd = α1 α2 α3 α4 α5 lbrqd = 1 · 1 · 1 · 1 · 431, 05 = 431, 05 mm ⇒ 440 mm

lbrqd =

φ σsd 16 290, 96 · = · = 431, 05 mm 4 fbd 4 2, 7

fbd = 2, 25η1 η2 fctd = 2, 25 · 1 · 1 · 1, 2 = 2, 7 MPa

(C.6) (C.7)

(C.8) (C.9)

(C.10)

(C.11) (C.12)

Fs je s´ıla ve v´ yztuˇzi [kN], σsd je návrhové napˇet´ı ve v´ yztuˇzi [MPa], fbd je mezn´ı napˇet´ı v soudrˇznosti [MPa], fctd je návrhová hodnota pevnosti betonu v tahu [MPa], η1 je souˇcinitel závisl´ y na kvalitˇe podm´ınek a poloze prutu bˇehem betonáˇze (η1 = 1, 0 pro dobré podm´ınky soudrˇznosti, pro ostatn´ı podm´ınky η1 = 0, 7), η2 je souˇcinitel závisl´ y na pr˚ umˇeru prutu (φ ≤ 32, 0 mm ⇒ η2 = 1, 0, η2 = 132−φ pro φ > 32 mm). 100 lbrqd je základn´ı kotevn´ı délka a vypoˇcte se ze vztahu (C.11) [m], α1 je souˇcinitel vyjadˇruj´ıc´ı vliv tvaru prutu za pˇredpokladu odpov´ıdaj´ıc´ı kryc´ı vrstvy betonu, α2 je souˇcinitel vyjadˇruj´ıc´ı vliv minimáln´ı kryc´ı vrstvy betonu, α3 je souˇcinitel vyjadˇruj´ıc´ı vliv ovinut´ı pˇr´ıˇcnou v´ yztuˇz´ı, α4 je souˇcinitel vyjadˇruj´ıc´ı vliv jednoho nebo

XIX

v´ıce pˇr´ıˇcnˇe pˇrivaˇren´ ych prut˚ u v návrhové kotevn´ı délce, α5 je souˇcinitel vyjadˇruj´ıc´ı vliv tlaku kolmého na rovinu odˇstˇepován´ı betonu. Vˇsechny souˇcinitele α ∈ h0, 7; 1i, pro zjednoduˇsen´ı jsme uvaˇzovali maximáln´ı hodnotu α = 1, 0. Posouzen´ı minim´ aln´ı kotevn´ı d´ elky pro kotven´ı v tahu a v tlaku: lb,min > max{0, 3lbrqd ; 10φ; 100 mm} = max{0, 3·431, 05; 10·16, 100 mm} = 160, 0 mm (C.13) pro kotven´ı v tahu lb,min > max{0, 6lbrqd ; 10φ; 100 mm} = max{0, 6·431, 05; 10·16, 100 mm} = 258, 63 mm (C.14) pro kotven´ı v tlaku Jestliˇze a > h pak mus´ı b´ yt kotevn´ı délka zakotvena ve vzdálenosti h od l´ıce sloupu, na konci kotevn´ı délky se vytvoˇr´ı ohyb o délce 15φ.

NELINEÁRNÍ ANALÝZA ÚNOSNOSTI ŽELEZOBETONOVÉ ZÁKLADOVÉ PATKY

Recommend Documents