@021
3. Řešení grafické přímka v kartézské soustavě souřadnic Nejprve si uděláme malé opakování z kurzu Množiny obecně. Rovnice ax + by + c = 0, kde aspoň jedno z čísel a,b je různé od nuly je v kartézské souřadné soustavě znázorněna přímkou. Jak takovou přímku nakreslit ? Jak snadno a rychle nakreslit přímku do kartézské soustavy souřadnic ? Ukažme si to na příkladech. 1) Máme-li zadány dva body, není nad čím přemýšlet. Do soustavy souřadnic vyznačíme zadané body a spojíme je přímkou. 2) Je-li zadána rovnice přímky a koeficient u x je nulový (x v rovnici není), jde o rovnoběžku s osou x, který protíná osu y v bodě, jehož y-ovou souřadnici přímo vypočítáme z rovnice.
Například: p : 2y - 3 = 0
=> y = 3/2
[0,3/2]
3) Je-li zadána rovnice přímky a koeficient u y je nulový (y v rovnici není), jde o rovnoběžku s osou y, který protíná osu x v bodě, jehož x-ovou souřadnici přímo vypočítáme z rovnice.
Například: q : x + 2 = 0
=> x = -2
[-2,0]
4) Ve všech ostatních případech se snažíme nalézt dva různé body. Podle tvaru rovnice dosadíme nějaké šikovné číslo za x a k němu vypočítáme y (můžeme dosadit i za y a vypočítat x). Které číslo je šikovné ? Obvykle nula nebo jednička (určitě ne zlomky) a
můžeme vypočíst druhou souřadnici většinou zpaměti. Jakmile budeme mít určeny dva body, stačí je zakreslit do soustavy souřadnic a spojit. Například: hledáme dva body co nejjednodušším způsobem: r : 2x + 3y + 6 = 0 dosadíme za x a y nulu x = 0 => 3y + 6 = 0 => [0,-2]
y = 0 => 2x + 6 = 0 => [-3,0] s : 3x - y + 1 = 0 dosadíme za x nulu a jedničku x = 0 => - y + 1 = 0 => [0,1]
x = 1 => 3 - y + 1 = 0 => [1,4] dosazovat za y nulu je možné, ale na první pohled by to vedlo ke zlomkům, což obvykle neprotěžujeme t : x - 7y + 3 = 0 dosadíme za y nulu a jedničku y = 0 => x + 3 = 0
y = 1 => x - 7 + 3 = 0
=> [-3,0]
=> [4,1]
Úkol: Zakreslete následující přímky do kartézské soustavy souřadnic. k: 2x - y - 4 = 0
p: 3x + 4y + 2 = 0
l:
x+y-1=0
q: x + 2y + 5 = 0
m: 2x - 3y + 3 = 0
r: 7x - 2y + 14 = 0
n: 4x + y - 9 = 0
s:
x+3=0
o:
y-3=0
pokračování - výsledky
t: x - 2y - 7 = 0
@023
V rovnici rovnoběžky s osou x přece chybí x, přesněji koeficient u x je roven nule.
znovu prostudujte
@026 zpět
pokračování
@035 zpět Úvaha: Řešte lineární nerovnici 3x - 6 ≤ 0 .
pokračování
@037 zpět Příklad: Řešte v C (celá čísla) soustavu nerovnic 3x - 6 ≤ 0 2x + 6 > 0 Poznámka: Řešit soustavu (ne)rovnic znamená najít řešení, které vyhovuje všem (ne)rovnicím zároveň. Řešení: Nejprve vyřešíme soustavu nerovnic v R
Řešením soustavy nerovnic v R je tedy interval (-3; 2> . Řešením téže soustavy nerovnic v C je pak průnik (-3; 2> ∩ C = {-2; -1; 0; 1; 2} . Úkol: Řešte v C soustavu nerovnic -10 < -5 - x 2x + 6 > x + 3 x ≤ 0,5x 2x - 7 < 0 prázdná množina Ø tříprvková množina {-2; -1; 0} nekonečná množina (-3; 0> zpět
@022a zpět
pokračování
@024
V rovnici rovnoběžky s osou y přece chybí y, přesněji koeficient u y je roven nule.
znovu prostudujte
@027 zpět
grafické řešení Nyní se vrátíme ke grafickému řešení lineárních rovnic. Obecná rovnice přímky je ax + by + c = 0 . Dosadíme-li za b = -1, pak můžeme udělat tuto úpravu. ax - y + c = 0 ax +c=y Úvaha: Řešte lineární rovnici 3x - 6 = 0 . Všem je jasné, že řešením je x = 2. Nám však jde o to nalézt řešení grafickou cestou. Tak si přidejme na pravou stranu místo 0 druhou proměnnou y. 3x - 6 = y nezapomeneme však, že pro řešení rovnice musí platit též y=0 Obě tyto rovnice představují v soustavě souřadnic přímky. A tedy grafickým řešením rovnice 3x - 6 = 0 je průsečík těchto dvou přímek. Přímka y = 0, chybí x, tak je to rovnoběžka s osou x, prochází bodem [0,0] a tak je to přímo osa x. Lze tedy říci, že grafickým řešením lineární rovnice ax + c = 0 je průsečík přímky ax + c = y s osou x. pokračování
@036 zpět Úkol: Řešte v R graficky následující rovnice a nerovnice a) 2x - 3 = 0
c) -x + 5 < 0
b) x + 1 ≥ 0
d) 5x - 2 = 0
pokračování - výsledky
@040 Bohužel Není to špatné, ale není to řešení odpovídající zadání.
znovu prostudujte
@022 zpět Definice: Obecná rovnice přímky je ax + by + c = 0 , kde a≠0 nebo b≠0, a,b,c R. Úkol: Co lze říci o přímce, která má rovnici ax + by = 0 bez absolutního členu a přitom oba koeficienty jsou různé od nuly ? je rovnoběžná s osou x je rovnoběžná s osou y prochází počátkem souřadnic zpět
@025 zpět Správně. Přímka s rovnicí ax + by = 0 prochází počátkem souřadnic tj. bodem [0,0], o čemž se snadno přesvědčíme dosazením L = a.0 + b.0 = 0 + 0 = 0 = P
levá strana se rovná nule, pravá také
Úvaha: Polorovina je dána hraniční přímkou, která do ní patří, a jedním bodem, který nenáleží hraniční přímce. Protože rovnici přímky vyhovují všechny body přímky a nevyhovují všechny ostatní body roviny, musí být výroková forma poloroviny dána nerovnicí. Příklad: Zakreslete polorovinu danou nerovnicí 2x - 3y + 1 ≥ 0 . Řešení: Musíme si najít dva body hraniční přímky 2x - 3y + 1 = 0 volíme x=1, dosadíme a vypočítáme 2 - 3y + 1 = 0 => [1, 1] volíme y=0, dosadíme a vypočítáme 2x + 1 = 0 => [-1/2, 0] A ještě potřebujeme nějaký bod, který neleží na hraniční přímce. K tomu je nejšikovnější téměř vždy použít počátek, tj [0, 0] Dosazením do zadané nerovnice dostaneme 1 ≥ 0 což je pravdivý výrok, a tedy počátek určuje jako třetí bod zadanou polorovinu. Úkol: Zakreslete tuto polorovinu do soustavy souřadnic. pokračování - výsledek
@034 zpět
pokračování
@036a
pokračování
@039 Bohužel, něco jste asi přehlédli. postup: 1. vyřešit každou jednotlivou nerovnost v R zvlášť 2. udělat průnik všech čtyř dílčích jednotlivých řešení 3. výsledné řešení v R ad 2 podrobit průniku s C
znovu prostudujte
@041 zpět Správně.
KONEC LEKCE
