Vigné Dr. Lencsés Ágnes egyetemi docens PTE TTK Matematika Tanszék
Néhány gondolat a valós számsorozatok tanításáról (Híd a közoktatás és a fels oktatás között.)
I. Problémafelvetés A fels oktatásban, ahol matematikát tanulnak - tudományegyetemek, tanárképz f iskolák matematika szakjai, teljes m szaki fels oktatás, közgazdaságtannal kapcsolatos egyetemek, f iskolák, agrártudományi egyetemek, f iskolák…BSC képzései. - , ott a matematika tudományterületei közül az analízissel kezdenek foglalkozni, rögtön az els félévben. Azzal az analízissel, amellyel – mint a matematika fejl déstörténetéb l tudjuk - az emberiség szellemi óriásai is sok évszázadon ( évezreden ) keresztül foglalkoztak és csak a XVII-XVIII. századra sikerült a változó mennyiségek matematikáját „ kordába fogniuk”, megalkotni logikailag tiszta formában az analízis fogalmait. Az analízis definíciói rendkívül bonyolultak, összetettek a matematika más területein szerepl definíciókhoz képest. A fels oktatásban ezekkel a deduktív úton kialakított fogalmakkal, definíciókkal, a fels oktatásban megszokott hagyományos el adás formájában szembesítjük a középiskolából éppen kilépett hallgatót. Azt a hallgatót, aki középiskolában szinte csak induktív fogalomalkotással találkozott a komplex funkciós középiskolai matematika órákon. A középiskolai órák sokfunkciósak. Egy órán belül zajlik az új anyag feldolgozása, az ismeretelsajátítás, alkalmazás, ellen rzés, értékelés, számonkérés, osztályozás. Szemben a fels oktatással, ahol el adáson közöljük, „leadjuk” az elméletet, és ezt követi gyakorlaton – sokszor több héttel lemaradva- az alkalmazás. Sok éves m szaki f iskolai és tudományegyetemi oktató munkám során megélt kudarcok indítottak arra, hogy az analízis oktatására hatékonyabb megoldást dolgozzak ki a szakirodalmak áttanulmányozása alapján. Ebben a dolgozatban az analízis témakörei közül a valós számsorozatok tanításánaktanulásának egy lehetséges didaktikai megoldását mutatom be. Egyrészt azért, mert a valós számsorozatok az analízis els témaköre, erre épül a függvényhatárérték, a valós számsorok, függvénysorok és a Riemann-integrál tárgyalása. Másrészt azért, mert ez a téma bizonyos szinten szerepel a középiskolai anyagban, így hidat építhetne a fels fokú tanulmányok kezdetén a két képzési szint között. A feltételes mód használata indokolt, mert a középiskolában a számsorozat témában a tárgyalás a számtani és mértani sorozatok felé tolódik el. Ez a szemléletmód uralkodik, így elveszik a témából adódóan a függvény-és számfogalom fejlesztésének lehet sége, valamint a sorozatok függvénytani tulajdonságainak felismertetése. Tehát a középiskolából hozott sorozatokkal kapcsolatos ismeretekre való ráépítéshez a fels oktatásban szükség van alapos korrekcióra is. A dolgozatban bemutatásra kerül didaktikai megoldásrendszer egyrészt megkísérli kiküszöbölni a középiskolai komplex funkciós matematika órákról a fels oktatás el adásgyakorlat szisztémájára váltásból adódó nehézségeket, másrészt az analízis nehéz fogalmainak elsajátítását a deduktív fogalomalkotás helyett (sok esetben csak definíciók 1
közlése), induktív fogalomalkotással megoldva képez hidat a középiskolai sorozatokkal kapcsolatos ismeretek és az analízis valós számsorozatok témaköre között. II. A valós számsorozatok téma matematikai-didaktikai elemzése •
•
•
•
A valós számsorozatokat a forgalomban lév szakirodalmak többféle felépítési módban tárgyalják. A téma tananyagbeli elhelyezkedése az analízistanítás egyik alapkérdéséhez kapcsolható, mégpedig: a függvényhatárérték fogalmát a Heine-féle (sorozatos) vagy a Cauchy-féle (ε,δ−s, környezetes) definícióra alapozzuk-e. A tapasztalat azt mutatja, hogy a két értelmezés ekvivalenciájának megmutatásával a diákok számára egyszer bb a függvényhatárértékkel kapcsolatos ismeretek átviteli – elv segítségével való tárgyalása, mint ha az általánosabb függvényhatárérték speciális eseteként ismerkednek a sorozatok konvergenciájával.(Tehát a sorozatok mintegy eszközként szolgálnak a függvényhatárérték tárgyalásához.) Azért is célszer bb a sorozatokkal való ismerkedés a függvényhatárérték tárgyalása el tt, mert a valós számsorozatok a valós változós valós érték függvényeknek egy részhalmazát képezik (speciális valós függvények), így a függvényfogalom elmélyítését szolgálják. Tehát a diákok számára a valós függvények nemcsak a teljes számegyenesen vagy annak részintervallumain értelmezett függvényeket jelentik, hanem a diszkrét számhalmazon (itt N+ -on) értelmezett függvényeket is. A sorozatok középiskolai tárgyalásának hagyományos részéhez tartoznak a számtani és mértani sorozatok, így a vizsgálat tárgya nem a diszkrét számhalmazon értelmezett függvények tulajdonságai. A sorozatok egésze helyett az els n tagot vizsgálják, tehát itt a módszertani felépítéskor korrigálni kell, nem szabad megszakítani a sorozatok függvénytani tulajdonságainak megismerési folyamatát speciális sorozatok tárgyalásával! A számfogalom fejlesztésében rejl lehet ség a sorozatok tárgyalásában a középiskolában általában kiaknázatlan marad. Mindannyian tapasztalhattuk az általánossá vált hibát, hogy a diákok számára az irracionális számok csak a gyökszámokat jelentik. Tehát szükséges a racionális számok halmazán a sorozatok konvergenciájának átfogalmazása, a Cauchy-féle konvergencia bevezetése, a racionális számok halmazán korlátlanul el nem végezhet m veletek áttekintése. Majd ezek közül ki kell választani azokat a m veleteket, amelyek csak akkor végezhet k el korlátlanul egy kib vített számhalmazon ha az a számhalmaz éppen a valós számok halmaza. A fels oktatás matematikai tárgyaiban találkoznak a hallgatók az algebrai struktúrákkal és az axiómatikus módszerekkel. A sorozatok hozzájárulnak a vektortér fogalmának kialakításához, de f leg elmélyítéséhez. Ugyanis, ha a sorozatok tárgyalásakor a függvénytani tulajdonságokra helyezzük a hangsúlyt, megmutathatjuk, hogy vektorteret alkotnak például a korlátos valós számsorozatok, a konvergens valós számsorozatok, a számtani sorozatok …stb, ha két sorozat összegét a megfelel elemek összeadásával, számszorosát az elemenkénti szorzással értelmezzük ( ellen pl.: mértani sorozatok halmaza nem alkot vektorteret ugyanezekre a m veletekre).
III. A valós számsorozatok tárgyalása A témában az el adásokat és gyakorlatokat láncszer kapcsolatban építjük fel. Kihasználjuk a gyakorlatok el adást el készít funkcióját, biztosítva a gyakorlat oldaláról a láncszer kapcsolatot. Az el adásokon az anyaggal kapcsolatban megoldandó feladatokat, 2
kérdéseket kapnak az el adást követ gyakorlatra, ezzel is segítve az elméleti anyag önálló tanulását. Az el adások a hagyományos ismeretközl el adás helyett problémafelvet ill. konverzatórium jelleg ekké tesszük, mely a kétirányú információcsere biztosításával fejleszti a gondolkodási képességeket. 1; Sorozat fogalma, megadása, szemléltetése A diákok függvényekre vonatkozó rendezett ismereteib l kiindulva a valós változós, valós érték függvények értelmezési tartományainak vizsgálatával, majd azon függvények esetén, melyeknek értelmezési tartománya a pozitív egészek halmazára lesz kíthet , a lesz kítés végrehajtásával jutunk el a valós számsorozat fogalmához. (Például 1 3 1 f ( x ) = x 2 , 2 x , x , ,cos x, log 2 x, lg sin x, x, 9 − x 2 , ). 2 x 9 − x2
Ezzel megjelöljük a célt: az f: R → R halmaz azon részhalmazával foglalkozunk, melyben a függvények értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza. Ezután a függvény leírási módjaira támaszkodva a hozzárendelési mód formái szerint a sorozat megadási lehet ségeit vizsgáljuk ( speciális függvény volta miatt lehet pl. n függvényeként képlettel, utasítással, rekurzív definícióval). A szemléletes kép érdekében kétféle ábrázolási módot használunk a speciális értelmezési tartomány miatt. Szemléltetjük koordináta-rendszerben a sorozatok néhány elemét, és megállapítjuk, hogy a grafikon diszkrét pontokból áll. Kiemeljük, hogy annyi számsorozat létezik, ahányféleképpen a koordináta-rendszerben az x=1,x=2,x=3, ….. egyeneseken pontot lehet kijelölni. Majd a speciális értelmezési tartomány miatt a számegyenesen való szemléltetési lehet séget is használjuk. 2; A valós számsorozatok függvénytani tulajdonságai Az eddigiekben a figyelem középpontjában a sorozat fogalma állt, ezen belül is az értelmezési tartomány. A továbbiakban a számsorozatok függvénytani tulajdonságainak megállapításakor az értékkészlet válik a vizsgálat tárgyává. Ehhez egy sorozatkészletet célszer összeállítani, hogy megfelel tapasztalati anyag álljon rendelkezésre. (1) a1 = a2 = 1, an = an −1 + an − 2 ha n ≥ 3 (2) a1 = 5, an = an −1 + 3 ha n ≥ 2 (3) a1 = 5, an = 3an −1 ha n ≥ 2 (4) a1 = −2, an = an −1 ha n ≥ 2 n
(5) (6) (7) (8) (9)
1 an = 3 an = 1 − n 1 an = n a1 = 1, an = −2an −1 ha n > 1 π alsó közelít törtjei
(10)
an = ( −1)
n
(11)
1 an = − 5
n
(12)
3 an = − 2
n
3
3n + 1 n+2 (− 1)n (14) a n = −2 + n A felírt sorozatokat a tanult függvénytulajdonságok alapján összehasonlítjuk, csoportosítjuk (a diákok várhatóan szóba hozzák a monotonitást, korlátosságot, periodicitást, széls értéket, esetleg intuitíven a határértéket is). Matematikai szempontból a korlátosság, a monotonitás és a határérték érdekes. A korlátosság vizsgálata az értékkészlet egészére vonatkozik, a monotonitásnál az egész értelmezési tartományon vizsgáljuk az értékkészlet elemeit. A korlátosságra és monotonitásra vonatkozó definíciókat célszer a diákokkal megfogalmaztatni, mivel ezek a megfelel függvénytani tulajdonságok sorozat nyelvére történ lefordítását jelentik. A fogalmak viszonyát Venn-diagramon szemléltetjük. Mivel a sorozatkészlet egyes példáin többen észreveszik a határérték létezését, nem nehéz a figyelmet a sorozatok konvergenciájára irányítani. Szemlélet és ábrázolás alapján jól megállapíthatók, melyek konvergensek és mi a határértékük. A diákok indoklásaiból kirajzolódik a precíz ε, N-s meghatározás. Több példa (a sorozatkészletben (4),(5),(7),(9),(11),(13),(14)) elemzése után rögzíthet csak a sorozat konvergenciájának fogalma, és bevezethet k a jelölések. A példákhoz kapcsolódva kiemelend , hogy N nem függvénye ε-nak, mert ha ε > 0-hoz található N küszöbindex, akkor bármely N-nél nagyobb természetes szám is jó küszöbszámnak, valamint az, hogy a sorozat konvergenciájának fogalma alapján a sorozat határértékét nem tudjuk kiszámítani. A sorozat konvergenciájának fogalma nehéznek bizonyul a diákoknak és a fels oktatásban a hallgatóknak, ezért a gyakorlaton a határérték fogalom elmélyítésére állítások igaz-hamis voltát is vizsgáltuk és indokoltuk. A sorozatkészlet példáit szétválogatva most már konvergencia szerint, közölhet a divergens sorozat elnevezés is. Ehhez kapcsolódva észrevetetjük a diákokkal, hogy egy sorozatnak nem lehet két határértéke, s t vannak olyan sorozatok (mint a (10)-es), amelyek nem konvergensek, de „kivehet bel lük „konvergens sorozat. Ezen észrevételek után bizonyítható a sorozat határértékének egyértelm sége és a részsorozatokra vonatkozó tétel.
(13)
an =
3; Konvergencia szükséges feltétele, elegend feltétele, Cauchy-kritérium A sorozatkészlet hasznosnak bizonyul abból a szempontból is, hogy a diákok észreveszik a sorozatok –eddig külön tárgyalt- tulajdonságai közötti összefüggéseket is. ( Konvergens sorozat korlátos; Monoton és korlátos sorozat konvergens.) Ezek után a konvergencia szükséges feltételét, majd elégséges feltételét tételbe fogalmazzuk és bizonyíthatjuk. A két tétel tárgyalása jó lehet séget biztosít egy feltétel szükségességének, ill. elegend voltának megvilágítására. A sorozatkészlet megfelel példáival illusztrálhatjuk, hogy a két tétel megfordítása nem igaz. Majd a tárgyalt tételek alapján célszer ismét Venn-diagrammal szemléltetni a három sorozat-tulajdonság viszonyát. A szükséges feltétel és az elegend feltétel tárgyalásából adódik a következ kérdés: Vajon megadható-e szükséges és elégséges feltétel a sorozat konvergenciájára vonatkozóan? Valamint más oldalról közelítve: sokszor nem sejtjük a sorozat határértékét, vagy nincs is rá szükség, csak azt szeretnénk tudni, hogy konvergens-e a sorozat. Vajon meghatározható-e a konvergencia fogalma úgy, hogy ne tartalmazza a határértéket? Ezen problémafelvetés után a figyelmet a konvergens an sorozatra irányítjuk. Ha elég nagy nekre az an és az A határérték eltérése kicsi, akkor szükséges, hogy ezen sorozat elemek közti különbség is kicsi legyen. Ennek észrevétele után fogalmazható meg a sorozat konvergenciájának szükséges és elegend feltétele, a Cauchy-féle konvergencia kritérium.
4
A feltétel szükségességének igazolásakor a határérték ε,Ν−s definícióját, az elegend ség bizonyításához a Bolzano-Weierstrass- tételt használhatjuk fel. Ezután már megválaszolható az induláskor felvetett két probléma. A szükséges és elégséges feltétel a konvergencia definiálására is alkalmas. Ez utóbbi tétel tárgyalása és bizonyítása inkább csak a fels oktatásban jellemz . A hallgatók számára ez nem csak egy feltétel szükséges és elégséges voltának illusztrálása miatt fontos, hanem azért is, mert a bizonyítás a hallgatókat bevezeti az analízis módszereibe. Fontosnak tartom azért is, mert a Cauchy-féle konvergencia a valós számok bevezetését indokoló m velet és így ennek tárgyalása a számfogalom fejlesztését szolgálja. ( Ugyanis a Cauchykritérium a valós számok halmazán áll fenn, de a racionális számok halmazán nem, mert pl. a π-nek alsó közelít törtjeit véve olyan racionális számokból álló sorozatot kapunk, amely kielégíti a Cauchy-kritériumot, de a racionális számok halmazán nem létezik határértéke. Megkülönböztetésül az ilyen sorozatokat Cauchy-sorozatnak nevezik. Tehát a π alsó közelít törtjeinek sorozata a racionális számok halmazán Cauchy-sorozat, de közönséges értelemben nem konvergens a racionális számok halmazán.) A racionális számok halmaza nemcsak a szakaszok mérése, hanem a határérték-képzés m velete szempontjából is „tökéletlen” , és ez indokolja logikailag a valós számok bevezetését. 4; Sorozatokkal végzett m veletek, a határátmenet szabályai A sorozatok függvénytani áttekintése után, a sorozatokkal végzett m veletek következnek. Mivel a függvények kapcsán szerepeltek a m veletek, itt elegend csak egy m velet értelmezését megadni, a többit a diákok ennek mintájára elvégzik. Újra kiemelend , hogy a konvergencia definíciója a határérték kiszámítására nem ad lehet séget, ahhoz olyan tételek szükségesek, amelyek kimondják, hogy az eredeti sorozatok határértékéb l a különféle m veletekkel képzett sorozatok határértéke hogyan számítható ki. Az összeg -, különbség-, szorzat- és hányados sorozat határértékére vonatkozó tételt, a „rend r-szabályt” mondjuk ki és bizonyítjuk. A bizonyítások egy részét a hallgatók önállóan végezhetik, mivel ezek is a konvergencia fogalmának elmélyítését szolgálják. Itt tárgyaltuk és bizonyítottuk a divergens sorozatokkal kapcsolatos analóg tételeket, valamint a ∞-be divergáló sorozatoknak a nullsorozatokkal való kapcsolatára vonatkozó tételeket is. Ezen ismeretek nagy részének elsajátíttatása már jobbára a fels oktatás feladata. Meggondolandó, hogy mennyit, és milyen mélységben dolgozhatunk fel középiskolai tanítványainkkal. 5; Nevezetes sorozatok Végül ahhoz, hogy sorozatok határértékét ki lehessen számítani, szükség van néhány sorozat, az un. nevezetes sorozatok határértékének ismeretére. Az a n = 1/n sorozat konvergenciáját az archimedeszi axióma alapján indokoltuk. Majd a sorozatkészletb l a hallgatók középiskolás ismereteik alapján kiválogatták a mértani sorozatokat. Ezeket megvizsgáltuk, milyen quociens esetén hogyan viselkednek, ezután fogalmaztuk állításunkat tétel formájába és esetekre bontva bizonyítottuk a Bernoulliegyenl tleség felhasználásával. A nevezetes sorozatok közül még tárgyalásra került az n
1 an an = a , an = n , an = 1 + , an = . n n! Végül gyakorló feladatok következtek különböz sorozatok határértékeinek kiszámítására. A nevezetes sorozatoknál tárgyalhatók a Sorozatok címen középiskolában hagyományosan feldolgozott számtani és mértani sorozat. n
n
5
A valós számsorok tárgyalása a különböz fels oktatási tantervekben egyes esetekben követi a számsorozatok tárgyalását, más esetekben több hét, esetleg hónap különbséggel kerülnek el . Ezen utóbbi esetben is érdemes a mértani sorozatok kapcsán ebbe az anyagrészbe bepillantást tenni, annál is inkább mivel ezt a középiskola is megteszi. Ezt azért lenne érdemes itt megtenni, mert ez a sorokra való kitekintés lehet vé teszi annak igazolását, hogy minden szakaszos végtelen tizedes tört racionális szám, azaz felírható két egész hányadosaként. A problémát Zénon apóriájának kicsit módosított változatával indítva, felvethet „végtelen sok tag” összegzésének problémája. A példa megbeszélése alapján tisztázható a mértani sor, a részletösszegek sorozatának, a sor összegének és konvergenciájának fogalma, majd bizonyítható a mértani sor konvergenciájára vonatkozó tétel. A híd építésének másfajta vonatkozása, a részletek, nevezetesen a fogalomalkotás, a tételek felfedeztetése valamint a bizonyítási stratégiák tudatos alkalmaztatása a sorozatok tanításában egy következ dolgozatom témája. Irodalomjegyzék: 1; Megyesi László- Peller József: A tanulók matematikai tevékenységének tervezése és irányítása a középiskolában VI. Tankönyvkiadó Bp.,1989 2; Vigné Lencsés Ágnes: A középiskolai és a m szaki f iskolai oktatás közti átmenet problémái (Didaktikai és szakmódszertani eltérések és ezek megoldási lehet ségei matematikából) PhD Értekezés 1998, BME 3; Szerényi Tibor: Analízis Tankönyvkiadó Bp., 1972 4; Schipp Ferenc: Analízis I. JPTE Pécs, 1994 5; Középiskolai tankönyvek 1978-tól napjainkig
6
7
