Název úlohy: BIOIMPEDANCE CHARAKTERISTIKA Měřící metoda na měření tuků a vody v těle se nazývá bioelektrická impedanční analýza – BIA (BioImpedance Analysis). Při této metodě prochází tělem slabé elektrické proudění. Měření je založeno na skutečnosti, že elektrický proud prochází snadněji tekutinou v našich svalech a prokrvených orgánech než tukem. ÚKOL 1. Změřte elektrické napětí na 4 vzorcích (trubice s různými směsmi kapalin) při třech různých frekvencích (50 Hz, 5 kHz a 50 kHz). Pro trubici č. 1 a č. 2 nastavte hodnotu odporu na odporové dekádě na 1000 Ω a pro trubici č. 3 a č. 4 na 10 000 Ω • Trubice č. 1 – fyziologický roztok • Trubice č. 2 – ¾ fyziologický roztok + ¼ glycerín (propan–1,2,3–triol) • Trubice č. 3 – ¼ fyziologický roztok + ¾ glycerín • Trubice č. 4 – destilovaná voda 2. Určete impedanci vzorků pro všechny frekvence 3. Určete frekvenci, při které je největší fázový posun mezi napětím a proudem. Určete velikost tohoto fázového posunu a určete, zda napětí předbíhá proud, nebo naopak. 4. Spočtěte objem trubice č. 1 (obsahuje fyziologický roztok s ρ = 0,75 Ωm) při frekvenci 50 kHz a srovnejte s výpočtem objemu geometricky (délka válce l = 22,5 cm a průměr podstavy d = 1,6 cm) 5. Změřte elektrický proud protékající Vašim tělem pro všechny frekvence 6. Spočtěte bioimpedanci pro všechny frekvence a z hodnoty bioimpedance při frekvenci 50 kHz určete • TBW (Total Body Water) podle vztahu, který odvodil Lukaski a Bolonchuk • FFM (Fat Free Mass) …hmotnost netukové tkáně • %Fat (Percent Body Fat) … procentuální množství tuku v těle MATERIÁL 1. 2. 3. 4.
4 trubice s různými směsmi kapalin Osciloskop Generátor střídavého napětí Potřebujeme znát svou váhu (W – weight) a výšku (S – stratum)
METODIKA Viz. Příloha 1 a 2. VÝPOČET Na obrázku 1 vidíme skutečné zapojení měřícího obvodu a na obrázku 2 jeho zjednodušené schéma. Z tohoto obrázku vidíme, že kanál 2 (CH 2) měří napětí na reálném odporu RN (jehož hodnotu známe). Z naměřeného napětí a známého odporu spočteme proud protékající obvodem
Iˆ =
Uˆ 2
R Kanál 1 (CH 1) měří napětí na známem reálném odporu RN i na neznámé impedanci Z. Pro toto napětí platí Uˆ = Zˆ + R . Iˆ 1
(
)
A po dosazení dostáváme
(
)
Uˆ1 = Zˆ + R ⋅
Obrázek 1.
Uˆ 2
⎛ Uˆ1 ⎞ ⇒ Zˆ = ⎜ − 1⎟ ⋅ R ⎜ Uˆ 2 ⎟ R ⎝ ⎠
Obrázek 2.
Bioimpedance (Příloha 1)
Jedna z měřicích metod pro měření tuku a vody v těle, vyvinutá vědci z celého světa, se nazývá bioelektrická impedanční analýza (bioimpedance) – BIA (bioimpedance analysis). Při této metodě prochází tělem slabé, pro lidské tělo naprosto bezpečné a nepostřehnutelné elektrické proudění. Měření je založeno na skutečnosti, že elektrický proud prochází snadněji tekutinou v našich svalech než tukem. Proudění prochází oběma nohama a tím umožňuje měřit elektrický odpor těla. Elektrický odpor je závislý na množství vody v těle. Naše svaly obsahují konstantní podíl vody – 73 %. Změříme-li elektrický odpor, můžeme použít tento údaj přímo pro vypočítání objemu svalové hmoty v dolních končetinách. Druh pohlaví a tělesná výška se potom používají při výpočtu celkového objemu svalové hmoty. Tělesný tuk funguje jako izolace – snižuje schopnost procházení elektrického proudění. Pro pochopení bioimpedance uvažujme následující jednoduchý příklad. 1. Pomocí reostatu nebo odporové dekády si přesně nastavíme proud, který požadujeme, aby protékal obvodem při daném napětí (obr. 1) 2. Potom do obvodu (beze změny napětí) zapojíme vyšetřovanou osobu (dobrovolníka) – elektrody měřicího přístroje upevníme na zápěstí a kotník vyšetřované osoby (obr. 2) 3. Měřicí přístroj nám naměří menší proud než námi přesně nadefinovaný proud pomocí odporové dekády Naše tělo pro protékající proud představuje větší odpor (než námi nastavený odpor), který je závislý na typu tkání
Obr. 1.
Obr. 2
ADIPOSE (tuková tkáň) – jen 20% vody – přes tento typ tkáně protéká jen velmi malý proud – VYSOKÁ IMPEDANCE (obr. 3)
Obr. 3
MUSCLE (svalová tkáň) – až 75% vody – NÍZKÁ IMPEDANCE – vyšší proud (obr. 4)
Obr. 4
Vzhledem k různým vlastnostem u různých tkání, které jsou pozorovány při průchodu střídavého elektrického proudu tělem pacienta, můžeme BIA použít k určení následujících veličin: • PERCENT BODY FAT (procentuální množství tuku) • PERCENT LEAN BODY MASS (procentuální množství svalové hmoty) • PERCENT BODY WATER (procentuální množství vody v organizmu) k určení složení těla (body composition assessment) k určení stupně hydratace (zavodnění) organizmu a jednotlivých části těla
• • •
velké využití v kardiologii – kvantifikace nahromadění tekutin u pacientů s kongestivním selháním srdce (hromadění krve v žilách) nefrologie – chronické selhání ledvin, stupeň poškození ledvin – schopnost vyloučit přebytečnou tekutinu – over hydration, dehydratace, hodnocení průběhu hemodialýzy slouží k určení množství tuku v těle – velmi významné v dnešní době, kdy velkým problémem se stává obezita stále větší a větší části populace – nepříznivý vliv na kardiovaskulární systém, v mnoha případech vede k cukrovce
Definice základních fyzikálních veličin (Přesné odvození fyzikálních veličin naleznete v Příloze 2)
Impedance je komplexní veličina popisující zdánlivý odpor prvku a fázový posun napětí proti proudu při průchodu harmonického střídavého proudu dané frekvence daným prvkem.
Z=
U = R + jX = Z .cos ϕ + j. Z .sin ϕ [Ω] I
Impedance cívky:
Z=R Z = jω L
Impedance kondenzátoru:
Z=
Impedance odporu:
1 ω = 2π f jωC , kde
Rezistence R … reálná část impedance …definuje schopnost prvku proud zmenšit, nebo zastavit … odpor prostředí Tuková tkáň – 80% tuku – vynikající odpor, většina proudu je zastavena na membránách tukových buněk, jen malé množství proudu prochází oblastí s malou resistencí – kapiláry. Tuto situaci vidíme na Obr. 5. Prvky s větším obsahem vody (krev, extracelulární tekutina, svalová tkáň) – malá resistence.
Obr. 5
Reaktance X …imaginární část impedance … definuje schopnost prvku (tkáně) zpomalit proud … dochází k fázovému posunu. Buněčné membrány mají schopnost na velmi krátkou dobu zadržet elektrický náboj (vlastnost kondenzátoru – kapacitoru) – dojde k fázovému zpoždění proudu za napětím. Zda buněčné membrány fungují jako kondenzátor, nebo jako rezistor závisí na frekvenci procházejícího proudu: • 50 kHz … membrány zastaví proud – rezistor – při nízké frekvenci, jakýkoliv proud, který tělem prochází, prochází jenom extracelulárním prostředím
•
Vyšší než 50 kHz …elektrický proud prochází přes buněčné membrány, a tak můžeme měřit impedanci oblasti vně i uvnitř buněčného prostoru (EXTRACELULAR + INTRACELULAR) BODY COMPOSITION ASSESSSMENT
Příklad Mějme válec, ve kterém je slaná voda (fyziologický roztok), změříme jeho délku l a impedanci Z (obr. 6) l = 20 cm = 0,2 m Z = 500 Ω Z těchto dvou veličin, můžeme spočítat objem válce V, při známé rezistivitě prostředí ρ, následujícím vztahem:
l2 V = ρ⋅ Z
(odvození – Příloha 2)
Rezistivita (měrný elektrický odpor) ρ … materiálová konstanta, která vyjadřuje elektrický odpor vodiče jednotkové délky (1m) a jednotkové plochy (1m2) … [Ωm] Pokud ρ = 0,75 Ω.m, potom 0, 75 ⋅ 0, 22 500 V = 0, 00006 m3 = 60 cm3 V= Obr. 6.
V následujícím (obr. 7) měření zjistíme: l = 20 cm = 0,2 m Z = 1000 Ω ρ je opět rovno 0,75 Ω.m Potom z výše uvedeného vztahu vypočítáme: V = 30 cm3 Z toho vyplývá, že druhá polovina trubice je buď prázdná, nebo naplněna tekutinou, s velkým odporem (např. olej) Obr. 7
Faktory ovlivňující impedanci trubice: 1. délka trubice … při větší délce má trubice větší impedanci 2. průměr … při větším průměru je impedance trubice naopak menší 3. pří větší teplotě – zrychlení pohybu molekul – tekutina lépe vede proud – menší impedance ρ = ρ0 (1 + α .Δt ) ,
kde α je teplotní součinitel proudu.
Model lidského těla Naše tělo se skládá z pěti válců, jak vidíme na obrázku 8.
Faktory ovlivňující přesnost měření: 1. Nadměrná hydratace organizmu – při zvýšené konzumaci tekutin – snížení impedance. Naopak při onemocnění, nebo po sportovním výkonu – dehydratace – zvýšení impedance. 2. Rozložení vody v těle vyšetřovaného: pokud pacient leží déle než 5 až 10 minut, voda klesne – nepředvídatelné hodnoty impedance 3. Orientace tkání a. Obr. 9 – příčně orientované – proud teče kolmo na orientaci tkání – zvýšení impedance b. Obr. 10 – podélná orientace tkání – snížení impedance Obr. 8
Obr. 9
Obr. 10
Podmínky při BIA • • •
8 – 12 hodin před měřením se nesmí pít alkohol Měření je možné provést až 2 hodiny po jídle nebo pití Měření je nutno provést v průběhu 5 minut, kdy vyšetřovaná osoba leží
Příklad měření BIA Většina přístrojů na měření bioimpedance je tetrapolární. Předpokládejme, že pacientem protéká proud I = 500 μA, při frekvenci f = 50 kHz a vyšší. Vyšetřovaná osoba leží na zádech, tak aby se ruce nedotýkali hrudníku. Stehna se také nedotýkají a kotníky jsou ve vzdálenosti asi 20 cm. Subjekt je umístěn na nevodivé podložce vzdálen od jakéhokoliv elektrického zařízení. Je nutné sundat všechny kovové předměty, boty i ponožky. Ruce i nohy očistíme alkoholem a připojíme měřicí přístroj, kterým změříme impedanci Z. Impedance se skládá z reálné části … REZISTENCE, která představuje přes 95% velikosti impedance a ze své imaginární části … REAKTANCE, kterou můžeme zanedbat. Z naměřené hodnoty můžeme určit: • TBW …TOTAL BODY WATER … množství vody v celém těle (intracelulární + extracelulární), čím je TBW větší, tím je objem tukové tkáně FM menší. • FFM … FAT FREE MASS …hmotnost netukové tkáně • %Fat … PERCENT BODY FAT … procentuální množství tuku v těle
TBW určíme pomocí vztahu, který odvodili LUKASKI A BOLONCHUK: 2
TBW = 0.372 ( S R ) + 3.05 ( sex ) + 0.142W − 0.069 ( Age )
kde:
S … Stratum …výška pacienta v cm R … Rezistence W …Weight …váha v kg Sex … 1 pro muže, 0 pro ženy Age … věk v letech
Předpokládejme pro náš příklad, že náš pacient má výšku S = 170 cm, váží W = 65 kg, jeho věk Age = 25 let a je to muž, čili sex = 1. Naměřili jsme rezistenci R = 382 Ω. Potom z výše uvedeného vztahu pro TBW dostáváme:
1702 TBW = 0,372 ⋅ + 3, 05 ⋅1 + 0,142 ⋅ 65 − 0, 069 ⋅ 25 = 38, 7 kg 382 Konstanta hydratace pro FFM = 0,73, takže
FFM =
TBW = 53, 01kg 0, 73
Objem tukové tkáně FM = W – FFM = 11,99 kg. Potom pro %Fat
% Fat =
FM .100 = 18,5% W
Střídavý proud. (Příloha 2.)
Střídavé proudy jsou proudy, jejichž časový průběh je periodickou funkcí času. Funkce periodická s časem je funkce, která má v čase t hodnotu f (t) a této hodnoty nabývá opět, když se k času t přičte časový interval T, 2T, 3T, … obecně kT, kde k je celé číslo kladné nebo záporné. T je doba, po níž se hodnoty funkce opakují, a nazývá se periodou této funkce. f ( t ) = f ( t + kT )
1 ; je to počet period T v jednotce času (sekundě). [Jednotkou frekvence je hertz; 1 Hz = 1 s-1].
Převrácená hodnota periody se nazývá kmitočet nebo frekvence f =
V teorii střídavých proudů mají významnou úlohu funkce harmonické, vyjádřené funkcemi sinus nebo kosinus, neboť jejich součet nebo součin, derivace i integrál jsou opět funkce harmonické. Jednoduchý střídavý proud má průběh harmonický, takže jej lze všeobecné vyjádřit jako sinusovou funkci času rovnicí (obrázek 1)
i = I m sin (ωt + ϕ )
Obrázek 1.
Im je amplituda, argument (ωt + ϕ ) se nazývá fáze harmonické funkce; udává okamžitý stav a
mění se s časem. Hodnota ϕ je počáteční fáze a nazývá se také fázová konstanta, nebo fázový posun. Funkce má nulovou hodnotu, když se argument sinu rovná nule, tj. když platí:
ωt + ϕ = 0, tj. t = −
ϕ . ω
Poněvadž funkce sinus a kosinus mají periodu 2π, plyne pro periodu T a konstantu ω vztah: 2π ωT = 2π nebo ω = = 2π f T Veličina ω se nazývá úhlový kmitočet – odpovídá úhlové rychlosti rovnoměrného pohybu po kružnici, je-li počet oběhů za sekundu 1/T. Jednotkou úhlové rychlosti je 1 rad s-1. Střídavý proud představuje v podstatě elektrické kmity, při nichž volné elektrony ve vodiči vlivem střídavého elektrického pole kmitají střídavě oběma směry s frekvencí f. Podle velikosti kmitočtu rozlišujeme střídavé proudy o nízké frekvenci (16 Hz až 20 kHz) o střední frekvenci (20 až 30 kHz) a o vysoké frekvenci (nad 30 kHz).
Střídavé napětí a proud vzniká: • Ve vodiči, který se pohybuje v magnetickém poli po obvodu kružnice. • V závitu, který se v magnetickém poli otáčí. • V cívce nebo ve vodiči, které jsou v střídavém magnetickém poli.
Obrázek 2.
Uvažujme elektrický obvod (obrázek 2), kterým protéká střídavý harmonický proud, který je dán rovnicí i = I m sin (ωt + ϕ1 ) . Aby obvodem protékal trvalý střídavý proud, musí v obvodu existovat elektromotorické napětí, které je též periodickou funkcí času. u = U m sin (ωt + ϕ2 ) . Fázová konstanta napětí ϕ2 je obecně různá od fázové konstanty ϕ1 proudu. Vhodnou volbou časového okamžiku, od něhož měříme čas, může vymizet jedna fázová konstanta a pro okamžité hodnoty napětí a proudu můžeme psát: i = I m sin ωt ,
u = U m sin (ωt + ϕ ) nebo
i = I m sin (ωt − ϕ ) ,
u = U m sin ωt Je-li ϕ > 0, je proud zpožděn za napětím, je-li ϕ < 0, proud napětí předbíhá, pro ϕ = 0 je proud a napětí ve fázi. Příklad fázového posunu vidíme na obrázku 3.
Obrázek 3.
Efektivní hodnoty proudu a napětí:
Abychom mohli srovnávat proud střídavý s proudem stejnosměrným, bereme za srovnávací měřítko tepelné účinky obou proudů. Hodnota stejnosměrného proudu, který by měl stejné účinky, jako proud střídavý se nazývá efektivní hodnota střídavého proudu. Teplo dQ vyvinuté při průchodu střídavého proudu i ve vodiči o činném odporu R v čase dt je dQ = Ri 2 dt . V konečném časovém intervalu t je teplo vyvinuté ve vodiči dáno vztahem t
Q = ∫ Ri 2 dt 0
Při stejnosměrném proudu je v témže časovém intervalu vyvinuté teplo Q = Ri 2t Efektivní hodnota střídavého proudu v určitém časovém intervalu je definována jako velikost stálého stejnosměrného proudu, který vyvine ve stejném odporu v téže době totéž teplo. Platí tedy t
RI 2t = ∫ Ri 2 dt 0
t
1 I 2 = ∫ i 2 dt t0
, v případě sinusového proměnného proudu i = I m sin ωt a pro t = T vychází
T
I2 I 2 1 − cos 2ωt I 2 ⎡ sin 2ωt ⎤ I m2 I m2 I = m ∫ sin 2 ωtdt = m ∫ dt = m ⎢t − T = = . T 0 T 0 2 2T ⎣ 2ω ⎥⎦ 0 2T 2 T
T
2
Odtud dostáváme Im
I=
= 0, 707 I m 2 Také pro sinusově proměnlivé napětí a elektromotorické napětí dostaneme pro efektivní hodnoty: U U = m = 0, 707U m 2
ε=
εm 2
= 0, 707ε m
Obvod střídavého proudu s odporem R.
Nechť v obvodu střídavého napětí u =Um sin ωt je zapojen neinduktivní odpor R. Za předpokladu platnosti Ohmova zákona pro okamžité hodnoty střídavého proudu platí podle 2. Kirchhoffova zákona −u + iR = 0, neboli u = iR Obvodem tedy prochází proud U u U i = = m sin ωt = I m sin ωt , kde R = m . R R Im
Z výše uvedených vztahů vyplývá, že při průchodu proudu odporem jsou napětí i proud ve fázi. Obvod střídavého proudu s indukčností L.
Cívka v obvodu střídavého proudu působí jako odpor, který je tím větší, čím je větší indukčnost cívky a frekvence proudu. Předpokládejme, že ke zdroji střídavého proudu i = Im sinωt je připojena cívka s indukčností L a zanedbatelném odporu R. Budeme hledat napětí na svorkách cívky. Vedle svorkového napětí uL =Um sin (ωt + ϕ) vzniká v obvodu také indukované di napětí ui = − L . Pro R = 0, platí: dt ui + uL = 0 uL = −ui = L
a po dosazení platí
di dt
uL = ω LI m cos ωt
π⎞ ⎛ uL = U m sin ⎜ ωt + ⎟ 2⎠ ⎝ Kde U m = ω LI m . Z výsledků je patrné, že střídavé napětí na svorkách cívky je téže frekvence jako procházející proud, ale je proti proudu fázově posunuto tak, že předbíhá proud a čtvrt periody. Z předchozí rovnice plyne, že U X L = m = ωL Im Veličina XL se nazývá odpor induktivní nebo induktance. Obvod střídavého proudu s kapacitou C.
Kondenzátor představuje pro stejnosměrný proud odpor nekonečně veliký, kdežto pro proud střídavý odpor konečný, a to tím menší, čím větší je kapacita kondenzátoru a frekvence střídavého proudu. Kondenzátor o kapacitě C je připojen ke zdroji střídavého napětí uC. Kondenzátor se střídavě nabíjí a vybíjí, náboj se mění periodicky, a proto se také periodicky mění elektrické pole mezi deskami kondenzátoru. Obvodem tečou nabíjecí a vybíjecí proudy. V obvodu mezi deskami prochází tedy střídavý proud, jehož velikost je dána vztahem dq iC = . dt V tomto vztahu je q proměnný elektrický náboj na deskách kondenzátoru. V určitém časovém okamžiku je q = CuC
Takže platí duC dt Prochází-li obvodem proud iC = Im sinωt můžeme psát iC = C
I 1 iC dt = m sin ωt.dt C C I I I π⎞ π⎞ ⎛ ⎛ uC = m ∫ sin ωtdt = − m cos ωt = m sin ⎜ ωt − ⎟ = U m sin ⎜ ωt − ⎟ C ωC ωC ⎝ 2⎠ 2⎠ ⎝ duC =
Z předchozí rovnice plyne Um 1 = I m ωC Veličinu XC nazýváme kapacitní odpor nebo kapacitance. Z výsledků plyne, že napětí v obvodu má tu samou frekvenci jako proud, ale je fázově posunuto tak, že se opožďuje za proudem o čtvrt periody. XC =
Reálná zátěž.
Skutečná reálná zátěž obsahuje zpravidla více než jeden z prvků R, L, C. Charakter spotřebiče můžeme hodnotit především podle vektorového diagramu proudu a napětí. Opožďuje-li se vektor proudu za vektorem napětí, má zátěž charakter induktivní, je-li tomu naopak, má ráz kapacitní. Vektorový diagram obvodu s kondenzátorem.
Vektorový diagram obvodu s cívkou.
Elektrický odpor (Příloha 2.)
Podmínkou existence proudu ve vodiči je přítomnost elektrického pole. Působením sil elektrického pole se volné elektrony dostávají do pohybu, a tak vzniká proud. Při stálé teplotě je hustota proudu ve vodiči přímo úměrná intenzitě elektrického pole. Konstantou úměrnosti je měrná vodivost γ. Takže můžeme psát j =γE Převrácená hodnota vodivosti se nazývá měrný odpor a značí se ρ. E=ρj Uvnitř vodiče uvažujme elementární proudovou trubici délky dl s kolmým průřezem dS. Pro napětí U platí ρ dI U = ∫ Edl = ∫ ρ jdl = ∫ dl dS l l l
dI a proud dI je podél trubice konstantní, můžeme psát dS dl U = ρ dI ∫ . dS l Poněvadž jde o ustálený proud je napětí U na koncích všech elementárních trubic stejné a platí S U l I = U a pro elektrický odpor R platí R = = ρ ρl I S V Pokud do výše uvedeného vztahu dosadíme objem V = Sl, z toho pro plochu S plyne S = , l potom pro odpor R (resp. impedanci Z) dostáváme rovnici l2 V =ρ R Jelikož j =
