NÁVRH OHYBOVÉ VÝZTUŽE ŽB TRÁMU Navrhněte ohybovou výztuž do železobetonového nosníku uvedeného na obrázku. Kromě vlastní tíhy je nosník zatížen bodovou silou od obvodového pláště Fk = 40 kN , ostatním stálým rovnoměrným zatížením
( g − g 0 )k
= 25 kN / m´ a proměnným
zatížením q k = 22,5 kN / m´ . Krytí ohybové výztuže uvažujte c = 35 mm .
Materiálové charakteristiky: beton : C 25/30 XC2 (CZ) - Cl 0,2 - D max 16 - S3 E cm = 30,5 GPa f 25 = 16,666 MPa f cd = ck = f ck = 25 MPa γ c 1,5 f 1,8 f ctk = 1,8 MPa f ctm = 2,6 MPa f ctd = ctk = = 1,2 MPa γ c 1,5 ocel : B 500 B E s = 200 GPa f yk 500 f yk = 500 MPa f yd = = = 434,783 MPa γ M 0 1,15 Výpočet zatížení: liniové zatížení - stálé: druh zatížení
rozměry [m × m]
ŽB nosník g 0
0,65 × 0,25
ρv 3 [kN/m ]
× 25
ostatní stálé zatížení (g-g 0 ) celkem Σ g
char. zatížení [kN/m´]
γG
4,063
1,35
5,484
25,000
1,35
33,750
28,438
návrh. zatížení [kN/m´]
39,234
liniové zatížení - proměnné: užitné zatížení
q
Celkem Σ (g+q)
22,500
1,5
50,938
33,750
72,984
bodové zatížení - stálé: druh zatížení
obvodový plášť F
char. zatížení [kN]
γG
40,000
1,35
návrh. zatížení [kN]
54,000
Zatěžovací stavy: Proměnné zatížení může obecně měnit polohu, proto je zapotřebí najít jeho nejnepříznivější
rozmístění,
které
vyvodí
extrémy
reakcí,
mezipodporových ohybových momentů, příp. posouvajících sil. Pro dostatečnou výstižnost je nutné řešit následující zatěžovací stavy:
podporových
a
Výpočet vnitřních sil: Pomocí základních vztahů stavební mechaniky (silové resp. momentové podmínky rovnováhy) vyčíslíme hodnoty reakcí a vnitřních sil v rozhodujících bodech konstrukce a následně vykreslíme průběhy vnitřních sil (posouvající síla, ohybový moment). Reakce [kN]
Posouvající síly [kN]
Ohybový moment [kN.m]
R1
R2
V 1L
V 1P
V 2L
V 2P
M1
M 12
M2
ZS1
383,761
443,869
-141,581
242,180
-268,708
175,161
117,348
284,460
210,194
ZS2
353,675
352,455
-101,081
252,594
-258,294
94,161
93,048
344,060
112,994
ZS3
265,636
325,744
-141,581
124,055
-150,583
175,161
117,348
78,778
210,194
ZS4
397,647
348,983
-141,581
256,066
-254,822
94,161
117,348
331,859
112,994
ZS5
339,790
447,341
-101,081
238,709
-272,179
175,161
93,048
297,931
210,194
obálka posouvajících sil a ohybových momentů:
Jelikož nosník probíhá spojitě nad podporou, která umožňuje volné natočení (styčník není monolitický), je možné provést redukci ohybových momentů nad podporou: M i ,red = M i − ∆M i ∆M =
1 ⋅ Ri ⋅ t 8
kde ∆M i je moment, o který bude podporový moment redukován t = 0,5m … šířka podpory - viz obr. str. 1 ∆M 1 [kN.m]
M 1,red [kN.m]
117,348
23,985
353,675
93,048
ZS3
265,636
ZS4 ZS5
R1 [kN]
M1 [kN.m]
ZS1
383,761
ZS2
∆M 2 [kN.m]
M 2,red [kN.m]
210,194
27,742
182,452
352,455
112,994
22,028
90,966
100,746
325,744
210,194
20,359
189,835
24,853
92,495
348,983
112,994
21,811
91,183
21,237
71,811
447,341
210,194
27,959
182,235
R2 [kN]
M2 [kN.m]
93,363
443,869
22,105
70,943
117,348
16,602
397,647
117,348
339,790
93,048
návrhové ohybové momenty:
podporový průřez 1:
M Ed ,1,red = 100,746 kN ⋅ m
podporový průřez 2:
M Ed , 2,red = 189,835 kN ⋅ m
mezipodporový průřez: M Ed ,max = 344,060 kN ⋅ m
Návrh ohybové výztuže: Konstrukční zásady: • minimální plocha výztuže: As ,min,1 = 0,0013 ⋅ b ⋅ d = 0,0013 ⋅ 300 ⋅ 547 = 214 mm 2 As ,min, 2 =
0,26 ⋅ f ctm ⋅ b ⋅ d 0,26 ⋅ 2,6 ⋅ 300 ⋅ 547 = = 222 mm 2 f yk 500
As ,min = max(As ,min,1 ; As ,min, 2 ) = 222 mm 2
Návrh a posouzení ohybové výztuže - podporový průřez 1: • návrhový ohybový moment: M Ed ,1,red = 100,746 kN ⋅ m • • •
předpokládaný profil výztuže: φ = 14 mm účinná výška průřezu: d = h − c − φ / 2 = 650 − 35 − 14 / 2 = 608 mm rameno vnitřních sil - 2 možnosti stanovení: a) odhad: z ≈ (0,9 ÷ 0,95) ⋅ d = = (0,9 ÷ 0,95) ⋅ 608 = 547 ÷ 578 mm
b) výpočet pomocí tabulek:
•
tabulky: poměrná výška tlačené oblasti : ξ = 0,063 ≤ ξ max = 0,45 ..… OK poměrné rameno dvojice sil : ς = 0,972 rameno vnitřních sil: z = ς ⋅ d = 0,972 ⋅ 608 = 591 mm
stanovení požadované plochy výztuže: As ,req =
poměrný ohybový moment: M Ed 100,746 ⋅ 10 6 = = 0,0545 µ= b ⋅ d 2 ⋅ α ⋅ f cd 300 ⋅ 608 2 ⋅ 1 ⋅ 16,667
M Ed 100,746 ⋅ 10 6 = 392 mm 2 = z ⋅ f yd 591 ⋅ 434,783
návrh ohybové výztuže:
3 ∅ 14 mm
As = 462 mm 2 ≥ As ,req = 392 mm 2
≥ As ,min = 222 mm 2
posouzení:
•
skutečná výška tlačené oblasti: x =
As ⋅ f yd
=
462 ⋅ 434,783 = 50 mm 0,8 ⋅ 300 ⋅ 16,667
•
0,8 ⋅ b ⋅ f cd x 50 poměrná výška tlačené oblasti: ξ = = = 0,082 ≤ ξ max = 0,45 ..... OK d 608 rameno vnitřních sil: z = d − 0,4 ⋅ x = 608 − 0,4 ⋅ 50 = 588 mm
•
moment únosnosti:
•
M Rd = As ⋅ f yd ⋅ z = 462 ⋅ 434,783 ⋅ 588 = 118,111 kN ⋅ m ≥ M Ed ,1,red = 100,746 kN ⋅ m
..... vyhovuje Návrh a posouzení ohybové výztuže - podporový průřez 2: • návrhový ohybový moment: M Ed , 2, red = 189,835 kN ⋅ m • • •
předpokládaný profil výztuže: φ = 20 mm účinná výška průřezu: d = h − c − φ / 2 = 650 − 35 − 20 / 2 = 605 mm poměrný ohybový moment: M Ed 189,835 ⋅ 10 6 = = 0,1037 µ= b ⋅ d 2 ⋅ α ⋅ f cd 300 ⋅ 605 2 ⋅ 1 ⋅ 16,667 ξ = 0,137 ≤ ξ max = 0,45 ..… OK ς = 0,945 z = ς ⋅ d = 0,945 ⋅ 605 = 571 mm
•
požadovaná plocha výztuže:
návrh ohybové výztuže:
As ,req =
3 ∅ 20 mm
posouzení: •
M Ed 189,835 ⋅ 10 6 = = 765 mm 2 z ⋅ f yd 571 ⋅ 434,783
skutečná výška tlačené oblasti: x =
As ⋅ f yd
As = 942 mm 2 ≥ As ,req = 765 mm 2
≥ As ,min = 222 mm 2 =
942 ⋅ 434,783 = 102 mm 0,8 ⋅ 300 ⋅ 16,667
•
0,8 ⋅ b ⋅ f cd x 102 poměrná výška tlačené oblasti: ξ = = = 0,169 ≤ ξ max = 0,45 ..... OK d 605 rameno vnitřních sil: z = d − 0,4 ⋅ x = 605 − 0,4 ⋅ 102 = 564 mm
•
moment únosnosti:
•
M Rd = As ⋅ f yd ⋅ z = 942 ⋅ 434,783 ⋅ 564 = 230,995 kN ⋅ m ≥ M Ed ,1,red = 189,835 kN ⋅ m
..... vyhovuje
Návrh a posouzení ohybové výztuže - mezipodporový průřez: • návrhový ohybový moment: M Ed , max = 344,060 kN ⋅ m • • •
předpokládaný profil výztuže: φ = 20 mm účinná výška průřezu: d = h − c − φ / 2 = 650 − 35 − 20 / 2 = 605 mm poměrný ohybový moment: M Ed 344,060 ⋅ 10 6 = = 0,1880 µ= b ⋅ d 2 ⋅ α ⋅ f cd 300 ⋅ 605 2 ⋅ 1 ⋅ 16,667 ξ = 0,263 ≤ ξ max = 0,45 ..… OK ς = 0,895 z = ς ⋅ d = 0,895 ⋅ 605 = 541 mm
•
požadovaná plocha výztuže:
návrh ohybové výztuže:
As ,req =
M Ed 344,060 ⋅ 10 6 = 1463 mm 2 = z ⋅ f yd 541 ⋅ 434,783
5 ∅ 20 mm
As = 1571 mm 2 ≥ As ,req = 1463 mm 2
≥ As ,min = 222 mm 2 posouzení:
•
skutečná výška tlačené oblasti: x =
As ⋅ f yd
=
1571 ⋅ 434,783 = 171 mm 0,8 ⋅ 300 ⋅ 16,667
•
0,8 ⋅ b ⋅ f cd x 171 poměrná výška tlačené oblasti: ξ = = = 0,283 ≤ ξ max = 0,45 ..... OK d 605 rameno vnitřních sil: z = d − 0,4 ⋅ x = 605 − 0,4 ⋅ 171 = 537 mm
•
moment únosnosti:
•
M Rd = As ⋅ f yd ⋅ z = 1571 ⋅ 434,783 ⋅ 537 = 366,795 kN ⋅ m ≥ M Ed ,1,red = 344,060 kN ⋅ m
..... vyhovuje Kontrola minimální vzdálenosti prutů výztuže: Jelikož všechny 3 navrhované průřezy mají stejnou geometrii (h × b), postačí ověřit minimální vzdálenost výztuží pro nejvíce vyztužený průřez - mezipodporový průřez. b − 2 ⋅ c − n ⋅ φ 300 − 2 ⋅ 35 − 5 ⋅ 20 = = 32,5 mm n −1 5 −1
•
vzdálenost výztuží: s =
•
min. vzdálenost výztuží: s min = max(1,2 ⋅ φ ; Dmax + 5; 20 ) = max(1,2 ⋅ 20; 16 + 5; 20 ) = 24,0 mm
•
posouzení : s ≥ s min ..... vyhovuje
Navržená ohybová výztuž:
V místech, kde není navržená nosná ohybová výztuž, je nutné doplnit výztuž konstrukční (2 ∅ 10 mm). Z hlediska přenosu smykových sil je nutné navrhnout smykovou výztuž v podobě třmínků - není náplní této úlohy.
