6. ČÍSLICOVÉ FILTRY – METODY NÁVRHU
Návrh diskrétních filtrů - úvod Návrh filtrů FIR, metoda okénkování, klasická okna, návrh pomocí počítače Návrh filtrů IIR , základní typy filtrů, bilineární transformace Srovnání filtrů FIR a IIR
383ZS – P6
1
NÁVRH DISKRÉTNÍCH FILTRŮ – ÚVOD Návrh – z požadovaného průběhu |H(ejθ)|; požadovaná fázová charakteristika většinou nezadána nebo požadována lineární fáze Specifikace: graficky - toleranční diagram, často číselně v dB (povolené zvlnění v propustném pásmu – pass-band ripple- a minimální zeslabení v závěrném pásmustop-band attenuation) Obr. toleranční digram, DP V praxi je h(n) reálná posloupnost ⇒ stačí zadat |H(ejθ)| v pásmu 0 ≤ θ ≤ π. Návrh filtru (po zadání |H(ejθ)|): 1. FIR nebo IIR filtr? 2. Řád filtru ? (např. Matlab) 3. Struktura filtru a výpočet koeficientů, případně ověření vlivu kvantování u hardwarových filtrů (x, y, bi, ai). 4. Kontrola splnění zadání (např.: Matlab – freqz, impz); při nesplnění opakování návrhu.
383ZS – P6
2
NÁVRH FIR FILTRŮ Základní metoda: užití FTD a oken („windowing“)
( )
Dáno: Požadovaná frekvenční charakteristika H d e π
jθ
(=
∞
∑ hd (n) ⋅ e − jnθ )
n = −∞
( )
1 hd (n ) = H d e jθ ⋅ e jnθ dθ ∫ Pomocí IFTD: 2π −π Frekvenčně selektivní filtry – frekvenční charakteristika je periodická obdélníková funkce (nespojitosti mezi pásmy), hd(n) jsou koeficienty F.Ř. této charakteristiky. Ta má nekonečně mnoho členů ⇒ u FIR filtru nutnost oříznutí (rovnice pro Hd(ejθ) je F.Ř. v komplexním tvaru s reálnými koeficienty hd(n). Při použití konečného počtu těchto koeficientů dojde k „Gibbsovu jevu“, frekvenční charakteristika bude mít u skokových změn překmity). Tato metoda v MATLABu: příkaz fir1 Grafické znázornění postupu této metody – viz další blána
383ZS – P6
3
Návrh dolní propusti FIR metodou FTD a oken – výchozí charakteristika A, výsledná B (v obr. p místo π a q místo θ)
383ZS – P6
4
Zvlnění (amplitudové) modulové frekvenční charakteristiky filtru navrženého metodou okénkování lze potlačit tím, že se pro omezení délky h(n) použije jiné než obdélníkové okno.
ZÁKLADNÍ OKNA POUŽÍVANÁ PŘI NÁVRHU DISKRÉTNÍCH FILTRŮ Kauzální okna: obdélníkové (pravoúhlé), Hann, Hamming, Blackmann, trojúhelníkové
OBDÉLNÍKOVÉ (PRAVOÚHLÉ) OKNO Definice:
wO (n ) = 1
pro 0 ≤ n ≤ L − 1, wO (n ) = 0 jinde
Jde o kauzální jednotkový diskrétní obdélníkový impuls délky L= M+1, takže jeho spektrum je: jθ
WO (e ) = W ( z ) z = e jθ
− jθ 1 − e − jθ L =e = − jθ 1− e
( L −1) 2
sin (θL / 2 ) sin (θ / 2 )
OKNO HANN Definice:
1 2πn wHN (n ) = 1 − cos 2 L − 1
383ZS – P6
pro 0 ≤ n ≤ L − 1, wHN (n ) = 0 jinde
5
OKNO HAMMING Definice:
2πn wHM (n ) = 0.54 − 0.46 ⋅ cos L −1
pro 0 ≤ n ≤ L − 1, wHM (n ) = 0 jinde
O
OKNO BLACKMAN Definice:
2πn 4πn wBL (n ) = 0.42 − 0.5 ⋅ cos + 0 . 08 ⋅ cos L − 1 L − 1 wBL (n ) = 0 jinde
pro 0 ≤ n ≤ L − 1,
OKNO TROJÚHELNÍKOVÉ (BARTLETTOVO, ale v Matlabu odchylná) Definice:
2n wT (n ) = pro 0 ≤ n ≤ (L − 1) / 2, L −1 2n wT (n ) = 2 − pro (L − 1) / 2 ≤ n ≤ L − 1, L −1 wT (n ) = 0 jinde. 383ZS – P6
6
PRŮBĚH ZÁKLADNÍCH OKEN V ČASOVÉ OBLASTI (symetrická okna délky M)
383ZS – P6
7
SPEKTRA ZÁKLADNÍCH OKEN (PRŮBĚH VE FREKVENČNÍ OBLASTI) (Matlab: prohlížení oken: “wvtool”, zde: “symetrická” okna (u DFT: “periodická” okna))
383ZS – P6
8
ZÁKLADNÍ VLASTNOSTI KLASICKÝCH OKEN PRO NÁVRH FILRŮ FIR Název okna
1. postranní Šířka hlavního Šířka přechodného Minimální zeslabení oblouk oblouku pásma
obdélník
-13 dB
4π/(M+1)
1,8π/(M+1)
21 dB
Hann
-31 dB
8π/(M+1)
6,2π/(M+1)
41 dB
Hamming
-41 dB
8,5π/(M+1)
6,6π/(M+1)
53 dB
Blackman
-57 dB
12π/(M+1)
11π/(M+1)
74 dB
trojúhelník
-25 dB
8π/(M+1)
5,6π/(M+1)
25 dB
NÁVRH DOLNÍ PROPUSTI FIR
( )
H d e jθ = 1 pro θ ≤ θ h ,
( )
H d e jθ = 0
pro θ h ≤ θ ≤ π
1 1 sin (nθ h ) jθ jnθ hd (n ) = H e ⋅ e d θ = = = L d ∫ π n 2π −π π
383ZS – P6
( )
1 sin (nθ h ) θh π nθ h 9
Jde o funkci sinc(x); doporučené hodnoty θh jsou θ h ∈ (0.3π; 0.5π ) periodické frekvenční charakteristiky je (-π, π).)
. (Základní interval
ČÍSELNÝ PŘÍKLAD: DP FIR, L=7, fVZ=100 Hz, fh=25 Hz, požadována lineární fáze. bi=?, h(n)=?, |H(ejθ)|=? Řešení:
θ h = 2π
fh π = ; f vz 2
h(n ) = bn = h(− n ) = b− n =
1 sin (nπ / 2 ) , 2 nπ / 2
n ≤3
⇒ b0 = 0.5, b1 = 1 / π, b2 = 0, b3 = −1 / (3π ) Je tedy
1 1 1 1 1 ⋅ δ(n − 3) + ⋅ δ(n − 1) + ⋅ δ(n ) + ⋅ δ(n + 1) − ⋅ δ(n + 3) 3π π 2 π 3π 1 1 3 2 2 H ( z ) = 0.5 + z + z −1 − z + z − 3 , a tedy H e jθ = 0.5 + cos θ − cos(3θ ) π 3π π 3π
h( n) = −
(
383ZS – P6
)
(
)
( )
10
|H(ejθ)| nezávisí na časovém posunu impulsní odezvy, takže posuvem hd(n) doprava o polovinu její délky získáme kauzální filtr se stejnou frekvenční charakteristikou. Důsledkem posuvu je ale změna původně nulové fáze na fázi lineární. Násobení hd(n) oknem Hann délky rovné L = M +1 odpovídá ve frekvenční oblasti konvoluci ideální frekvenční charakteristiky filtru s frekvenčním spektrem okna Hann. Protože okno Hann (a všechna používaná okna) má nižší postranní oblouky než okno obdélníkové, překmity v modulové frekvenční charakteristice se sníží. Protože je ale šířka hlavního oblouku těchto oken širší než u okna obdélníkového, rozšíří se přechodné pásmo filtru.
383ZS – P6
11
Příklad – DP FIR délky 50, θh=0.4π (fNORM=0.4) bez okna (tj. s oknem obdélník) a s oknem Hann:
383ZS – P6
12
DALŠÍ METODY NÁVRHU FIR FILTRŮ Nejdůležitější z metod návrhu FIR filtrů je NÁVRH FILTRU S KONSTANTNÍM ZVLNĚNÍM („EQUIRIPPLE DESIGN“) – optimální návrh FIR filtrů. Metoda okénkování - největší chyby v okolí přechodného pásma. PARKS – MCCLELLANŮV ALGORITMUS - založen na Remezově výměnném algoritmu využívá aproximace frekvenční charakteristiky pomocí Čebyševových polynomů. Amplitudová frekvenční charakteristika - konstantní zvlnění v propustném pásmu a v závěrném pásmu. Takto navržená dolní propust má větší minimální zeslabení v závěrném pásmu než DP navržená metodou okénkování. Maximální chyba mezi navrženou a požadovanou frekvenční charakteristikou filtru je tímto algoritmen minimalizována (minmax algoritmy). Může být dána délka filtru L a povolená kolísání v propustném a závěrném pásmu a program určí frekvence přechodného pásma, nebo může být dáno L a požadované hraniční frekvence přechodného pásma θ1 a θ2 a program určí δ1 a δ2.. V MATLABu je tento algoritmus využit v příkazu b=remez(n, f, a), který navrhuje vícepásmový FIR filtr délky L=n+1 s lineární fází, s přechodnými pásmy a s předepsanými hodnotami zesílení v definovaných frekvenčních pásmech. Velikost kolísání v jednotlivých pásmech určí algoritmus a je možné ji zjistit z grafu frekvenční odezvy.
Vedle metody Parks-McClellan lze pro návrh FIR filtrů použít METODU FREKVENČNÍHO VZORKOVÁNÍ, u které si zvolíme hodnoty L vzorků v Hd(k) (požadované frekvenční charakteristice v DFT) a impulsní odezvu nejdeme aplikací IDFT na posloupnost těchto vzorků. Frekvenční odezvy v FTD a DFT se ale shodují jen v těchto vzorcích, jinde mohou být velké odchylky. 383ZS – P6
13
NÁVRH IIR FILTRŮ OBVYKLE: Z ANALOGOVEHO PROTOTYPOVEHO FILTRU (AF), H(z) JE RACIONALNI LOMENA FUNKCE. PŘENOS AF: POMOCÍ LT, V ROVINĚ p, PŘENOS DF: POMOCÍ ZT, V ROVINĚ z O ZACHOVÁNÍ PODSTATNÝCH VLASTNOSTÍ (STABILITY) AF: IM OSA ROVINY p → JEDNOTKOVA KRUŽNKICE V ROVINĚ z LEVÁ POLOROVINA p → VNITŘEK JEDNOTKOVÉ KRUŽNICE V z ZÁKLADNÍ METODY PŘECHODU p → z: • INVARIANTNOST IMPULSNÍ ODEZVY • NÁHRADA DERIVACÍ DIFERENCEMI • BILINEÁRNÍ TRANSFORMACE
383ZS – P6
14
ZÁKLADNÍ TYPY FREKVENČNĚ SELEKTIVNÍCH FILTRŮ BUTTERWORTH |H(ω)| -
maximálně plochá v propustném pásmu monotonní (bez překmitů) v celém pásmu frekvencí strmost v přechodném pásmu roste s řádem filtru Dolnofrekvenční propust Butterworth, řád 2, 4. 5 a 7 IIR LP BUTTER, f d = 0.4
1.4
1.2
MODUL ZESILENI
N = 2, 4, 5, 7 1
0.8
0.6
0.4
0.2
0 0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
NORMOVANA FREKVENCE (θ = f ×π )
383ZS – P6
15
ČEBYŠEV (ČEBYŠEV 1 A ČEBYŠEV 2) • DEFINOVANÉ ROVNOMĚRNÉ ZVLNĚNÍ V PROPUSTNÉM PÁSMU (CHEBY1) NEBO ZÁVĚRNÉM PÁSMU (CHEBY2) • PŘECHODNÉ PÁSMO: UŽŠÍ NEŽ BUTTERWORTH Dolnofrekvenční propusti CHEBY1 A CHEBY2, ŘÁD 2, 4, 5 a 7: IIR LP CHEBY1, f h = 0.4, Rp = 2 dB
1.4
IIR LP CHEBY2, f h = 0.4, Rs = 20 dB,
1.4
1.2
1.2
N = 2, 4, 5, 7
N = 2, 4, 5, 7 1
MODUL ZESILENI
MODUL ZESILENI
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
NORMOVANA FREKVENCE (θ=f ×π )
383ZS – P6
0.8
0.9
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
NORMOVANA FREKVENCE (θ = f ×π )
16
ELIPTICKÉ (CAUEROVY) FILTRY • FREKVENČNÍ CHARAKTERISTIKA MÁ DEFINOVANÉ ZVLNĚNÍ V OBOU PÁSMECH • NEJUŽŠÍ PŘECHODNÉ PÁSMO (PRO DANÉ N, ωh, δ1 a δ2) Dolní propusti CAUER PRO ŘÁD 2, 4 a 5, Rp=2 dB, Rs=20 dB IIR DP, ELLIP, f h = 0.4, Rp =2 dB, Rs = 20 dB
1.4
1.2
N = 2, 4, 5
MODUL ZESILENI
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
NORMOVANA FREKVENCE (θ = ×π)
383ZS – P6
17
BILINEÁRNÍ TRANSFORMACE Základní metoda k převodu přenosu filtru z roviny p do roviny z , nalezení H(z) z HA(p); Odvození převodního vztahu – ideální derivátor, nulové počáteční podmínky
dx (t ) y (t ) = , dt
t Y ( p) H A ( p) = = p ⇒ x(t ) = ∫ y (t ) dt X ( p) t0
t0 = (n − 1)T , t = nT
Lichoběžníkové pravidlo, numerická integrace
x(nT ) − x[(n − 1)T ] = T
y (nT ) + y[(n − 1)T ] y (n ) + y (n − 1) , x(n ) − x(n − 1) = T , 2 2 T X (z ) 1 − z −1 = Y (z ) 1 + z −1 2
(
)
(
)
Y ( z ) 2 1 − z −1 2 1 − z −1 H (z ) = = = H A ( p ) pro p = −1 X (z ) T 1 + z T 1 + z −1
383ZS – P6
18
Zobrazení roviny p do roviny z je dáno vztahy
2 1 − z −1 2 + pT ⇒ = z p= T 1 + z −1 2 − pT Jde o konformní zobrazení (vzájemně jednoznačné, zobrazuje přímky na kružníce a naopak a zachovává úhly). Imaginární osa roviny p je zobrazena na jednotkovou kružnici a levá polorovina p na (celý) vnitřek jednotkové kružnice. Pro stabilní prototypový analogový filtr dostaneme stabilní filtr diskrétní. Celý rozsah analogových frekvencí ωA se zobrazí do základního intervalu frekvence diskrétního filtru. Vztah mezi frekvencemi ωA a θ je nelineární:
2 1 − z −1 2 1 − e − jθ 2 ω AT θ p= j L j tg arctg 2 ⇒ ω = ⇒ θ = = = A −1 − jθ T 1+ z T 1+ e T 2 2
Nemůže vzniknout aliasing. Nejsou totožné mezní frekvence AF a DF. Deformuje se fázová charakteristika AF. (v obrázku: p je π, q je θ a w je ω). 383ZS – P6
19
Nalezení mezních frekvencí výchozího AF pro zadané mezní frekvence DF: (v obrázku: p je π, q je θ, d je δ a w je ω)
Příklad: Najděte mezní frekvence vzorového AF, mají-li mezní frekvence odpovídajícího DF být f1=2 kHz, f1=2,6 kHz a je-li fVZ=8 kHz.
( )
2 tan θi ( ) θ = 2 ω / 2 ⇒ ω = 2 π = arctg T f Ai Ai i Řešení: užít vztahu: i T 2
383ZS – P6
20
Bilineární transformace – zachovává základní vlastnosti analogových frekvenčně selektivních filtrů (zakmitávání,monotonnost) a řád filtru. Nezachovává ale tvar impulsní odezvy ani odezvy na skok. Příklad: Najděte diskrétní filtr odpovídající (analogovému) pasivnímu integračnímu článku.
POROVNÁNÍ VLASTNOSTÍ FIR FILTRŮ A IIR FILRŮ. FILTRY FIR • Jsou vždy stabilní. • Fázová charakteristika může být přesně lineární. • Řád filtru bývá vysoký, proto je zpoždění filtru poměrně velké. • Nejužívanější je transversální struktura. • Rušivý impuls na vstupu ovlivní výstup jen krátkou dobu. • Vliv chyb kvantování závisí na délce filtru. Nemůže dojít k nestabilitě nebo vzniku mezních cyklů. FILTRY IIR • Mohou být nestabilní. • Používají se převážně jako filtry typu DP, HP, PP a PZ. • Řád filtru je nižší než u filtrů FIR (do 10), proto bývá rychlost reakce větší než u FIRF. • I krátký rušivý vstupní impuls může ovlivnit trvale výstup filtru. • Nejužívanější je kaskáda členů 2. řádu realizovaných jako PF2. • Vlivem kvantování může dojít k nestabilitě a mezním cyklům. • Fáze kauzálního IIR filtru nemůže být přesně lineární.
383ZS – P6
21
