MASARYKOVA UNIVERZITA Přírodovědecká fakulta
Náhodná procházka a její aplikace Bakalářská práce
Vedoucí bakalářské práce RNDr. Martin Kolář, Ph. D.
Brno 2007
Michaela Bartuňková
Poděkování Chtěla bych poděkovat RNDr. Martinu Kolářovi, Ph. D. za vedení bakalářské práce, cenné rady a připomínky při zpracování daného tématu. Dále bych ráda poděkovala RNDr. Marii Budíkové, Dr. za doporučení vhodné doplňující literatury.
Prohlášení Prohlašuji, že jsem tuto bakalářskou práci vypracovala sama, pouze za pomoci RNDr. Martina Koláře, Ph. D. a uvedené literatury. V Brně dne 22. 5. 2007
Michaela Bartuňková
OBSAH
Obsah Úvod
4
1 Stochastické procesy
6
2 Jednoduchá náhodná procházka
8
2.1 Symetrická náhodná procházka . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.2 Neférová hra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.3 Martingal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3 Zákon arcsinu
18
4 Vícerozměrná náhodná procházka
23
5 Aplikace náhodné procházky
28
5.1 Analýza cen akcií v praxi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 5.2 Modelování pohybu cen akcií . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 5.2.1
Martingal součinu náhodných proměnných . . . . . . . 30
5.2.2
Generování trajektorií . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Seznam použité literatury
34
3
ÚVOD
Úvod Ve své práci se chci věnovat široké problematice stochastického procesu nazývaného náhodná procházka, jeho vlastnostem, využití v praxi a problémům na náhodnou procházku navazujícím. Náhodná procházka mě zaujala svými pozoruhodnými vlastnostmi. Tento jednoduchý proces lze využít při tvorbě pravděpodobnostního stromu náhodných jevů. Pro jeho jednoduchost byl v minulosti a stále je velmi oblíbený a hojně využívaný v nesčetných oborech lidské činnosti, např. při sledování chování zákazníků na trhu, stejně jako odhadování polohy prchajících válečných zajatců. Náhodná procházka je také podpůrný nástroj v mnoha vědních disciplínách pro řešení specifických problémů, ať už se jedná o fyziku, ekonomii či např. ekofyziku. Po představení jednotlivých vlastností a rozdělení stochastických procesů přejdeme k jednoduché náhodné procházce, kterou dělíme na symetrickou a její protiklad, nesymetrickou. Pro komplexnější pohled na problematiku nezůstanou opomenuty martingaly. Skutečnosti o setrvání či pohybu částice konajícího náhodnou procházku zjistíme za pomoci speciální věty, zákona arcsinu. Základním kamenem u jednoduché náhodné procházky je Pólyova věta a nebude tomu jinak ani u kapitoly o vícerozměrné náhodné procházce. Vícerozměrný prostor nabízí široké spektrum možností, které nevyčerpáme. Zá4
ÚVOD věrečná část pak bude věnována využití náhodné procházky. K teorii náhodné procházky není jednoduché nalézt specifickou literaturu. Mnoho autorů řeší tento problém pouhou zmínkou či odkazem na literaturu jinou. Existuje ale dostatek souborných svazků o teorii pravděpodobnosti a v nich autoři teorii náhodné procházky neopomíjejí.
5
KAPITOLA 1. STOCHASTICKÉ PROCESY
Kapitola 1 Stochastické procesy Uvažujme měřitelný prostor (Ω, A), množinu reálných čísel R a indexovou
množinu T 6= ∅, která má význam času. Mějme zobrazení X : Ω × T → R, které má tyto vlastnosti:
a) pro ∀t ∈ T : X(·, t) je náhodná veličina vzhledem k A (značíme Xt ), b) pro ∀ω ∈ Ω : X(ω, ·) je prvkem množiny reálných funkcí definovaných na T .
Takové zobrazení X se pak nazývá stochastický proces definovaný na množině T . Značíme jej {Xt ; t ∈ T }.
Jestliže budeme uvažovat o jeho složkách, pak
a) pro ∀t ∈ T se X(·, t) nazývá t-tá složka stochastického procesu, b) pro ∀ω ∈ Ω se X(ω, ·) nazývá realizace stochastického procesu příslušná možnému výsledku ω,
c) pro ∀t ∈ T a ∀ω ∈ Ω se číslo X(ω, t) nazývá realizací t-té složky stochastického procesu příslušné možnému výsledku ω.
6
KAPITOLA 1. STOCHASTICKÉ PROCESY Stochastické procesy můžeme dělit z hlediska času či jejich stavů. Stochastický proces může být z hlediska času diskrétní (množina T je nejvýše spočetná a lineárně uspořádaná) či spojitý (množina T je interval). Stejně tak z hlediska stavů může být diskrétní (∀t ∈ T je Xt diskrétní veličina)
nebo spojitý (∀t ∈ T je Xt spojitá veličina). V dalších kapitolách se budeme věnovat stochastickým procesům s diskrétním časem a diskrétními stavy (viz příklad). Příklad 1. Petr a Pavel dali do hry dohromady vklad 5 Kč (Petr vložil 3 Kč a Pavel 2 Kč). Petr bude házet mincí. Padne-li panna, vyhraje 1 Kč, v opačném případě 1 Kč prohraje. Hraje se do zruinování jednoho z hráčů. Hru popíšeme jako stochastický proces {Xt ; t ∈ T }, kde Xt označuje počet korun, které má Petr po t-tém hodu ⇒ Xt ∈ {0, 1, . . . , 5}. Po házení se mohla zrealizovat např. tato posloupnost hodů:
{P, O, O, O, P, O, O} ⇒ {4, 3, 2, 1, 2, 1, 0}
y 6 r 4 @
@r @ @r @ @r
3 r 2 1 0
1
2
3
r @ @r @ @r -
4
5
6
7 x
Obrázek 1.1: Průběh Petrovy hry
7
KAPITOLA 2. JEDNODUCHÁ NÁHODNÁ PROCHÁZKA
Kapitola 2 Jednoduchá náhodná procházka Stejně jako v Příkladu 1. si představme hráče, tentokrát v kasinu. Hráč hází mincí proti bankéři. Jestliže hodí pannu, vyhraje 1 Kč, jestliže padne orel, 1 Kč vyhraje bankéř. Hra končí po zruinování našeho hráče. Právě tato situace je typickým příkladem, který řešíme pomocí náhodné procházky1 (odtud její alternativní název „ruinování hráčeÿ). Zavedeme stochastický proces {Xt ; t ∈ T }, jehož prvky tvoří posloupnost
X1 , X2 , . . . nezávislých náhodných veličin nabývajících hodnot 1 s pravdě-
podobností p a -1 s pravděpodobností q = 1 − p. Veličiny X1 , X2 , . . . budou
označovat jednotlivé hody našeho hráče. Dále předpokládejme, že náš hráč přišel do kasina s určitým obnosem S0 , a označme Sn celkové bohatství na-
šeho hráče. Tedy S n = S 0 + X 1 + X2 + . . . + X n = S 0 +
n X
Xi
i=1
bude celkové bohatství našeho hráče po n hodech. Posloupnost {Sn }∞ n=0 nazýváme jednoduchou náhodnou procházkou („ jednoducháÿ odpovídá jednomu 1
Tento termín zavedl v roce 1906 Karl Pearson (1897-1936), když demonstroval větu
„nejpravděpodobnější místo, kde najít opilce, je někde poblíž začátku jeho cestyÿ, jejíž empirický důkaz není těžké najít.
8
KAPITOLA 2. JEDNODUCHÁ NÁHODNÁ PROCHÁZKA rozměru, tedy pohybu částice po přímce). Jednoduchá náhodná procházka se dnes využívá s úspěchem v různých modelových situacích, např. při určení polohy hmotného bodu v roztoku v intervalech jedné sekundy či hodnoty Dow-Jonesova indexu na burze v intervalu jednoho týdne měřeného vždy v pondělí. Těmto aplikacím jednoduché náhodné procházky se budeme věnovat později.
2.1
Symetrická náhodná procházka
Jak je uvedeno v úvodu kapitoly, je důležité, s jakou pravděpodobností se částice pohybuje jedním nebo druhým směrem, a od toho se odvíjí i pravděpodobnostní tabulky možného výsledku. Nejjednodušším případem jistě bude stav, kdy se p = q, tedy pravděpodobnost pohybu v obou směrech je stejná, a to 12 . Taková náhodná procházka se nazývá symetrická . V případě symetrické náhodné procházky je zřejmé, že nezávislé náhodné veličiny posloupnosti X1 , X2 , . . . nabývají hodnot 1 nebo −1 se stejnou prav-
děpodobností. Dále je nutné uvést tři důležité vlastnosti symetrické náhodné procházky, a to prostorovou homogenitu, časovou homogenitu a Markovovu vlastnost. Lemma 2.1. Jednoduchá náhodná procházka je prostorově homogenní, tedy P (Sn = j | S0 = a) = P (Sn = j + b | S0 = a + b). Důkaz. Obě strany jsou rovny P (
Pn
i=1
Xi = j − a).
Lemma 2.2. Jednoduchá náhodná procházka je časově homogenní, tedy P (Sn = j | S0 = a) = P (Sm+n = j | Sm = a).
9
KAPITOLA 2. JEDNODUCHÁ NÁHODNÁ PROCHÁZKA Důkaz. Obě strany se rovnají, neboť P(
n X i=1
Xi = j − a) = P (
m+n X
i=m+1
Xi = j − a).
Lemma 2.3. Jednoduchá náhodná procházka splňuje Markovovu vlastnost, tedy pro n ≥ 0 P (Sm+n = j | S0 , S1 , . . . , Sm ) = P (Sm+n = j | Sm ). Důkaz. Je zřejmé, že pokud známe Sm , Sm+n závisí pouze na krocích Xm+1 , Xm+2 , . . . , Xm+n , nikoli na předchozích krocích. Je zřejmé, že při zkoumání náhodné procházky nás zajímá, zda se částice vrátí do počátku jeho pohybu. Následující věta ukáže, že při jednoduché symetrické náhodné procházce se částice vždy vrátí do svého počátku. Věta 2.4 (Pólyova). Pravděpodobnost návratu částice konající jednoduchou symetrickou náhodnou procházku do své výchozí polohy je rovna 1. Důkaz. Předpokládejme, že částice je ve své výchozí poloze v čase t = 0, dále označme Pn pravděpodobnost toho, že se částice v čase t = n vrátí do svého počátku, což nastane v případě, kdy částice vykoná v obou směrech stejný počet kroků. Tedy P2n+1 = 0 a 2n n 22n
1 (2n)! . 22n (n!)2 √ n Použijeme-li nyní Stirlingova vzorce n! ∼ 2πn ne , dostaneme P2n =
=
1 P2n ≈ √ . πn
Podle této aproximace je ∞ X n=1
P2n = ∞ . 10
KAPITOLA 2. JEDNODUCHÁ NÁHODNÁ PROCHÁZKA Abychom ukázali, že se částice skutečně vrátí do své výchozí polohy, musíme vyšetřit délku časového intervalu, po němž se částice do svého počátku poprvé vrátí. Nechť Q2n je pravděpodobnost, že se částice při náhodné procházce vrátí v 2n-tém kroku poprvé do své původní polohy. Pak zřejmě platí P2n = Q2n +
n−1 X
P2k Q2n−2k .
k=1
V další části důkazu využijeme generující funkce. Položme G(x) =
∞ X
P2k xk
k=1
a H(x) =
∞ X
Q2k xk .
k=1
Pak dostaneme G(x) = H(x) + G(x)H(x) tedy H(x) =
G(x) . 1 + G(x)
Zřejmě platí Q=
∞ X
Q2k = H(1) = lim− x→1
k=1
G(x) , 1 + G(x)
kde Q značí pravděpodobnost, že se částice vůbec někdy vrátí do své původní P polohy. Protože je ale řada ∞ k=1 P2k divergentní, dostaneme tedy výsledek Q = 1.
2.2
Neférová hra
Pro snadnější představu budeme navazovat na předchozí příklad našeho hráče v kasinu. Představa férové hry (tedy p = q = 12 ) je zde více než lákavá, ale v reálném životě to tak bohužel nefunguje. Předpokládejme tedy, že naše 11
KAPITOLA 2. JEDNODUCHÁ NÁHODNÁ PROCHÁZKA pravděpodobnost výhry je p <
1 2
(je jasné, že bankéř svou pravděpodobnost
výhry zmanipuluje ve svůj prospěch). Budeme uvažovat případ, kdy známe naši pravděpodobnost p a zároveň celkové bohatství naše (označíme A) i bankéřovo (označíme B, A + B = N). V tomto případě je ale lehčí vydat se složitější cestou, tedy spočítat pravděpodobnosti našeho zruinování xi při počátečním stavu našeho bohatství i Kč pro libovolné i. Nejdříve si ukážeme řešení pro N = 5. Hledáme pravděpodobnosti x0 , x1 , . . . , x5 , kde zřejmě x0 = 1, neboť jakmile bude hráč jednou zruinován, hra končí, a x5 = 0, jelikož jestliže bude jednou zruinován bankéř, hráčova výhra je jistá. Jestliže začneme ve stavu 3, užitím vzorce pro podmíněnou pravděpodobnost dostaneme x3 = p x4 + q x2 Rovnici dále upravujeme a zavedeme substituci r = pq : (p + q)x3 = p x4 + q x2 p(x3 − x4 ) = q(x2 − x3 ) p x2 − x3 = (x3 − x4 ) = r(x3 − x4 ), r < 1. q Tyto rovnice můžeme zapsat pro jakýkoli počáteční stav z daných šesti: x0 − x1 = r(x1 − x2 ) x1 − x2 = r(x2 − x3 ) x2 − x3 = r(x3 − x4 ) x3 − x4 = r(x4 − x5 ) Po dosazení hodnot x0 = 1 a x5 = 0 a následných úpravách dostaneme následující vztahy: x0 = (1 + r + r 2 + r 3 + r 4 )x4 = 1 12
KAPITOLA 2. JEDNODUCHÁ NÁHODNÁ PROCHÁZKA 1 − r4 1 − r5 1 − r3 x2 = 1 − r5 1 − r2 x3 = 1 − r5 1−r x4 = . 1 − r5 x1 =
Po zobecnění na libovolnou hodnotu N, A a B získáme obecné řešení xA =
1 − rB 1 − rN
Pokud bude N dostatečně velké, můžeme jmenovatel položit roven 1. Pak pravděpodobnost našeho zruinování závisí pouze na koeficientu r a jmění bankéře B. Jestliže bude B dostatečně velké, pak r B → 0 a pravděpodobnost našeho zruinování je téměř jistá.
Pravděpodobnosti zruinování při p = 0,45, p = 0,495 a p = 0,499 jsou uvedeny v následujícíh tabulkách. Z tabulek je zřejmé, že rozdíly při různých pravděpodobnostech výhry hráče jsou opravdu markantní.
A|B
1
5
10
20
50
1
0,550 0,905 0,973 0,997 1,000
5
0,260 0,732 0,910 0,988 1,000
10
0,204 0,666 0,881 0,984 1,000
20
0,185 0,638 0,868 0,982 1,000
50
0,182 0,633 0,866 0,982 1,000
Tabulka 2.1: Pravděpodobnost zruinování hráče při p = 0,45
13
KAPITOLA 2. JEDNODUCHÁ NÁHODNÁ PROCHÁZKA
A|B
1
5
10
20
50
1
0,505 0,842 0,918 0,961 0,989
5
0,175 0,525 0,699 0,838 0,948
10
0,100 0,367 0,550 0,731 0,905
20
0,058 0,242 0,402 0,599 0,839
50
0,031 0,143 0,259 0,438 0,731
Tabulka 2.2: Pravděpodobnost zruinování hráče při p = 0,495
A|B
1
5
10
20
50
1
0,501 0,833 0,911 0,954 0,982
5
0,168 0,504 0,674 0,808 0,918
10
0,093 0,339 0,510 0,679 0,849
20
0,049 0,208 0,347 0,519 0,742
50
0,022 0,100 0,184 0,315 0,549
Tabulka 2.3: Pravděpodobnost zruinování hráče při p = 0,499
V rámci neférové hry můžeme uvést ještě dva speciální příklady využitelné v praxi, a to jednoduchou náhodnou procházku s pohlcujícími stěnami a s odrážejícími stěnami. V rámci řešení využijeme matici přechodu. Maticí přechodu nazýváme matici pravděpodobností přechodu 1. řádu, označujeme P = P (n, n + 1), kde i-té číslo v j-tém sloupci udává pravděpodobnost, s jakou se částice z bodu i dostane do bodu j. Příklad 2 (Jednoduchá náhodná procházka s pohlcujícími stěnami). Na úsečce o délce 3 jsou vyznačeny body 0, 1, 2, 3. V bodě 2 se nachází částice. Tato částice koná náhodnou procházku po úsečce tak, že s pravděpodobností p se posune o jednotku vpravo a s pravděpodobností q = 1 − p se posune 14
KAPITOLA 2. JEDNODUCHÁ NÁHODNÁ PROCHÁZKA o jednotku vlevo. Dosáhne-li částice bodu 0 či 3, setrvá tam. Popište tento proces pomocí vhodného stochastického procesu. Řešení. Zavedeme stochastický proces {Xn ; n ∈ N0 } s množinou jeho stavů
{0, 1, 2, 3}, přičemž Xn = j, jestliže se v okamžiku n částice nachází v bodě j. Matice přechodu P pak pro daný proces vypadá následovně. 1 0 0 0 q 0 p 0 0 q 0 p 0 0 0 1
Příklad 3 (Jednoduchá náhodná procházka s odrážejícími stěnami). Na úsečce o délce 3 jsou vyznačeny body 0, 1, 2, 3. V bodě 2 se nachází částice. Tato částice koná náhodnou procházku po úsečce tak, že s pravděpodobností p se posune o jednotku vpravo a s pravděpodobností q = 1 − p se posune
o jednotku vlevo. Dosáhne-li částice bodu 0 či 3, v dalším kroku se vrací zpět po ose. Popište tento proces pomocí stochastického procesu. Řešení. Zavedeme stochastický proces {Xn ; n ∈ N0 } s množinou jeho stavů
{0, 1, 2, 3}, přičemž Xn = j, jestliže se v okamžiku n částice nachází v bodě j. Matice přechodu P pak pro daný proces vypadá následovně. 0 1 0 0 q 0 p 0 0 q 0 p 0 0 1 0
2.3
Martingal
Při pokusech pochopit zjevný fakt, že ve férových hrách nelze vydělávat peníze, se začala vytvářet teorie martingalu. Tato teorie se stala jedním z hlav15
KAPITOLA 2. JEDNODUCHÁ NÁHODNÁ PROCHÁZKA ních nástrojů studia stochastických procesů. V této subkapitole budeme minimalizovat detaily, aby bylo možné uvést intuitivní rysy martingalů. Posloupnost náhodných proměnných {Mn ; 0 ≤ n < ∞} nazveme mar-
tingalem vzhledem k {Xn ; 1 ≤ n < ∞}, tj. posloupnosti náhodných proměnných, jestliže splňuje dvě základní vlastnosti:
a) pro ∀n ≥ 1 : ∃ fn : Rn → R : Mn = fn (X1 , . . . , Xn ), b) posloupnost {Mn } splňuje pro ∀n ≥ 1 základní martingalovou identitu E(Mn | X1, . . . , Xn−1 ) = Mn−1 . Martingalová identita vede k teorii, která osvětluje skutečnost, že hráč ve férové hře nemůže očekávat peněžní výhru, i když chytře mění své sázky. Ke zběžnému nahlédnutí do této teorie nám poslouží následující ukázky martingalů. Tyto příklady nám ukážou proměnlivost a možnosti martingalu. Příklad 4. Jestliže Xn jsou nezávislé náhodné proměnné s E(Xn ) = 0 n X pro ∀n ≥ 1, pak parciální součet procesů daných S0 = 0 a Sn = Xi pro ∀n ≥ 1 je martingal vzhledem k posloupnosti {Xn : 1 ≤ n < ∞}.
i=1
Řešení. Použijeme martingalovou identitu, tedy E(Sn | Sn−1) = E(Sn−1 + Xn | Sn−1 ) = E(Sn−1 | Sn−1) + E(Xn | Sn−1) = Sn−1 + 0 = Sn−1 . Příklad 5. Jestliže Xn jsou nezávislé náhodné proměnné s E(Xn ) = 0 a D(Xn ) = σ 2 pro ∀n ≥ 1, pak M0 = 0 a Mn = Sn2 − n σ 2 pro ∀n ≥ 1
nám dává martingal vzhledem k posloupnosti {Xn : 1 ≤ n < ∞}.
Řešení. Nejdříve musíme zkontrolovat, zda martingalová vlastnost platí jak pro podmíněnou, tak pro nepodmíněnou část procesu: 2 E(Mn | X1, . . . , Xn−1 ) = E(Sn−1 + 2Sn−1Xn + Xn2 − n σ 2 | X1 , . . . , Xn−1 )
16
KAPITOLA 2. JEDNODUCHÁ NÁHODNÁ PROCHÁZKA 2 Nyní je Sn−1 funkcí posloupnosti {X1 , X2 . . . , Xn−1 } a její podmíněná prav2 děpodobnost je právě Sn−1 . Jestliže se podíváme na druhý sčítanec, vidíme,
že E(Sn−1 Xn | X1 , X2 . . . , Xn−1 ) = Sn−1 E(Xn | X1 , X2 . . . , Xn−1 ). Dále je E(Xn | X1, X2 . . . , Xn−1 ) = E(Xn ) = 0, kde Xn je nezávislé na po-
sloupnosti X1 , X2 . . . , Xn−1 . Analogickým zdůvodněním nalezneme E(Xn2 | X1 , X2 . . . , Xn−1 ) = σ 2 .
Po shrnutí všech těchto dílčích výsledků je ověření martingalové vlastnosti pro Mn = Sn2 − nσ 2 kompletní.
17
KAPITOLA 3. ZÁKON ARCSINU
Kapitola 3 Zákon arcsinu Jednou z dalších pomůcek při zkoumání náhodné procházky je tzv. zákon arcsinu . Zde si uvedeme dvě věty s překvapujícími výsledky. Uvažujme částici konající symetrickou náhodnou procházku, jejíž prav −2n 2 , oznaděpodobnost návratu do svého počátku v čase 2n je rovna 2n n
číme P2n . Dá se dokázat, že první návrat částice do svého počátku právě v čase 2n nastane s pravděpodobností
P2n . 2n−1
Nyní se podívejme na opačný případ, tedy jaká je pravděpodobnost, že se částice nevrátí v čase 2n do svého počátku? Věta 3.1. Pravděpodobnost toho, že se částice konající symetrickou náhodnou procházku v čase 2n nevrátí do svého počátku, je P2n . Tedy P (S1 6= 0, S2 6= 0, . . . , S2n 6= 0) = P2n . Důkaz. Víme, že P (S1 6= 0, S2 6= 0, . . . , S2n
n X P2k 6 0) = 1 − = . 2k − 1 k=1
Matematickou indukcí ukážeme, že platí rovnost P2n = 1 −
n X P2k . 2k − 1 k=1
18
KAPITOLA 3. ZÁKON ARCSINU Pro n = 1 zjistíme, že P2 =
1 2
a obě strany se rovnají. Předpokládejme, že
tvrzení platí pro n − 1. Máme n n−1 X X P2k P2k P2n 1− =1− − 2k − 1 2k − 1 2n − 1 k=1 k=1
= P2n−2 −
P2n = P2n , 2n − 1
tedy platí i pro n. Jestliže nyní upravíme pravděpodobnost P2n pomocí Stirlingovy aproxi√ 1 mace n! ∼ nn+ 2 e−n 2π, dostaneme √ 1 1 (2n)2n+ 2 e−2n 2π =√ , P2n ∼ 2n+1 −2n 2n n e (2π)2 nπ což nám při P2n → 0 a n → ∞ ukáže již dříve dokázanou skutečnost, a to že s pravděpodobností 1 se symetrická náhodná procházka vrátí do svého počátku. Někdy nás ale může zajímat nikoli první, ale poslední návrat částice do svého počátku a stejně tak čas setrvání v kladné či záporné (resp. v pravé či levé) části od počátku. Právě k tomu slouží zákon arcsinu. Věta 3.2 (Zákon arcsinu posledního návratu do počátku). Nechť p =
1 2
a S0 = 0. Pak pravděpodobnost, že v časovém intervalu (0, 2n) se částice konající symetrickou náhodnou procházku vrátí do svého počátku naposledy právě v čase 2k, je rovna P2k P2n−2k . Důkaz. Pravděpodobnost, kterou hledáme (označíme b), je b = P (S2k = 0, S2k+1 6= 0, . . . , S2n 6= 0) = P (S2k = 0)P (S2k+1 6= 0, . . . , S2n 6= 0|S2k = 0) = P (S2k = 0)P (S2k+1 6= 0, . . . , S2n−2k 6= 0) = P2k P2n−2k .
19
KAPITOLA 3. ZÁKON ARCSINU Věta 3.3 (Zákon arcsinu pro čas setrvání). Nechť p =
1 2
a S0 = 0. Pak prav-
děpodobnost, že částice konající symetrickou náhodnou procházku v časovém intervalu (0, 2n) stráví právě 2k časových jednotek v kladné části reálné osy, je rovna P2k P2n−2k . Důkaz. Důkaz provedeme pomocí matematické indukce. Označíme pro všechna m taková, že m < n, ck,m = P2k P2m−2k . Pro n = 1 dostaneme pravděpodobnost 1 c0,1 = c1,1 = , 2 kde z Věty 3. 2. dostaneme P0 = 1 a P2 = 12 . Nejdříve ověříme případ, kdy k = n. Potom při označení času prvního návratu jako T dostaneme cn,n =
n X r=1
P (En,n | T = 2r)P (T = 2r) + P (En,n | T > 2n)P (T > 2n).
Nyní můžeme říct, že při T = 2r se náhodná procházka nachází v kladné (resp. v pravé) části od počátku na celém intervalu (0, 2r). Odtud cn−r,n−r 2 1 P (En,n | T > 2n) = 2
P (En,n | T = 2r) =
n
cn,n =
1 1X cn−r,n−r P (T = 2r) + P (T > 2n) 2 r=1 2 n
1X 1 = P2n−2r P (T = 2r) + P (T > 2n), 2 r=1 2 kde poslední rovnost cn−r,n−r = un−r u0 vyplývá z indukčního předpokladu. Dále, n X
P2n−2r P (T = 2r) =
n X
P (S2n−2r = 0)P (T = 2r)
=
n X
P (S2n = 0| T = 2r)P (T = 2r) = P2n ,
r=1
r=1
r=1
20
KAPITOLA 3. ZÁKON ARCSINU tedy 1 cn,n = P2n + 2 1 = P2n + 2
1 P (T > 2n) 2 1 P2n = P2n . 2
Je tedy zřejmé, že tvrzení platí pro k = n a v důsledku, díky symetrii, i pro k = 0. Nyní se věnujme případu, kdy 0 < k < n. ck,n =
n X r=1
P (Ek,n | T = 2r)P (T = 2r).
Znovu vidíme, že pokud T = 2r, je náhodná procházka na celém intervalu (0, 2r) v kladné (resp. v pravé) části od počátku. Tedy, n
ck,n
n
1X 1X ck−r,n−r P (T = 2r) + ck,n−r P (T = 2r) = 2 r=1 2 r=1 n
n
X X 1 1 = P2n−2k P2k−2r P (T = 2r) + P2k P2n−2r−2k P (T = 2r), 2 2 r=1 r=1 kde poslední rovnost vyplývá opět z indukčního předpokladu. Dále vidíme, že n X
P2k−2r P (T = 2r) = P2k ,
r=1
n X
P2n−2r−2k P (T = 2r) = P2n−2k ,
r=1
ck,n = P2k P2n−2k .
Mohlo by být matoucí, proč se tyto věty nazývají zákon arcsinu. Důvod je prostý. Zde uvedené důkazy jsou založené na úpravách pravděpodobností. Není to však jediný způsob. Tyto důkazy mohou být provedeny i s využitím
21
KAPITOLA 3. ZÁKON ARCSINU již výše zmíněné Stirlingovy aproximace. Po jednoduchých úpravách dostaneme pro dostatečně velká k a n 1 . P2k P2n−2k ∼ p π k(n − k)
Odtud pro libovolné x, kde 0 < x < 1, platí, že pravděpodobnost, že podíl času, který stráví částice v kladné části, na celkovém čase (0, 2n), je menší než x, je dána vztahem nx X k=0
P2k P2n−2k
1 ≈ π
nx
1 p dy y(n − y) 0 √ 2 = arcsin x. π Z
22
KAPITOLA 4. VÍCEROZMĚRNÁ NÁHODNÁ PROCHÁZKA
Kapitola 4 Vícerozměrná náhodná procházka Náhodná procházka se dá samozřejmě zobecnit i na více rozměrů. Mějme po(r)
(r)
(r)
loupnost nezávislých náhodných proměnných X1 , X2 , . . . , Xn majících (r)
stejné rozdělení, kde Xk
označuje r-rozměrnou náhodnou veličinu udáva-
jící pohyb částice během časového intervalu (k − 1, k). Pro vícerozměrnou náhodnou procházku platí vztah Sn(r)
=
(r) S0
+
n X
(r)
Xk .
k=1
Tento proces si můžeme přiblížit následovně. Zavedeme množinu mřížových bodů Gr v r-rozměrném eukleidovském prostoru, kde souřadnice těchto bodů jsou celočíselné. Řekneme, že částice koná náhodnou procházku na množině Gr , jestliže se tato částice v čase t = n nachází v nějakém mřížovém bodě této množiny. S pravděpodobností
1 2r
se pak tato částice v čase t = n + 1 po-
sune, ale ne do některého ze sousedních mřížových bodů, jak by se intuitivně mohlo zdát. Musíme brát v úvahu, že vícerozměrná náhodná procházka je vlastně několik náhodných procházek složených dohromady. Pokud budeme 23
KAPITOLA 4. VÍCEROZMĚRNÁ NÁHODNÁ PROCHÁZKA uvažovat např. dvojrozměrnou, pak se částice posune o +1 nebo −1 po vodorovné ose a stejně tak po svislé ose. Její nová poloha se tedy nenachází
v sousedních bodech, nýbrž v bodech [−1, −1], [−1, 1], [1, −1], [1, 1]. Částice vykonává pohyb po „úhlopříčceÿ.
(r)
Polohu částice nám udává součet Sn v r-rozměrném eukleidovském pro(r)
storu v čase t = n, kdy Sn je homogenní aditivní Markovský řetězec, tzn. stochastický proces splňující Markovovu vlastnost, tedy budoucí stav tohoto řetězce závisí pouze na stavu přítomném, nikoli na stavech minulých. Dosadíme-li za r číslo 1, dostaneme již výše zmíněnou jednoduchou náhodnou procházku. Názorná ukázka možného pohybu částice je uvedena na obrázku. 6
t
-
?
Obrázek 4.1: Možnost pohybu při dvourozměrné náhodné procházce
6 * t ?
Obrázek 4.2: Možnost pohybu při trojrozměrné náhodné procházce
Stejně jako u jednoduché náhodné procházky si i zde uvedeme Pólyovu 24
KAPITOLA 4. VÍCEROZMĚRNÁ NÁHODNÁ PROCHÁZKA větu, tentokrát pro r-rozměrnou náhodnou procházku. V jejím důkazu využijeme Borelova-Cantelliho lemmatu uvedeného níže. Lemma 4.1 (Borelovo-Cantelliho). Nechť A = ∩n ∪∞ m=n Am nastane nekonečně mnohokrát. Pak platí: a)
P
P (An ) < ∞ ⇒ P (A) = 0
b)
P
P (An ) = ∞ ⇒ P (A) = 1 pro disjunktní A1 , A2 , . . .
n
n
Věta 4.2 (Pólyova). Pravděpodobnost toho, že se částice při náhodné procházce na mříži Gr vrátí nekonečně mnohokrát do své výchozí polohy, je pro r = 1 a r = 2 rovna jedné a pro r ≥ 3 je rovna nule. Důkaz. Předpokládejme, že se částice nacházela v čase t = 0 v počátku (r)
souřadnic. Označme Pn
pravděpodobnost, že částice bude v čase t = n
opět v počátku, což nastane právě tehdy, když vykoná stejné množství kroků (r)
vpravo i vlevo. Platí tedy P2n+1 = 0 a (r)
(2n)! (n1 !n2 ! . . . nr !)2 n1 +n2 +...+nr =n 2 X n! 2n 1 . = (2r)2n n n +n +...+n =n n1 !n2 ! . . . nr !
P2n =
X
1
2
r
Dále platí (1) P2n
=
2n n 22n
P2n =
2n 2 n 42n
(3) P2n
2n 3 n . 62n
(2)
=
25
KAPITOLA 4. VÍCEROZMĚRNÁ NÁHODNÁ PROCHÁZKA Použijeme Stirlingovu aproximaci, čímž dostaneme 1 (1) P2n ≈ p (πn) 1 (2) P2n ≈ πn 1 (r) P2n ≈ r . (πn) 2 Z předchozích vztahů plyne, že pro r = 1 a r = 2 je ∞ X
P2n = ∞
∞ X
P2n < ∞.
n=1
a pro r ≥ 3 platí
n=1
(r)
(r)
Z Borelova-Cantelliho lemmatu v posledním případě vyplývá, že se s pravděpodobností 1 částice vrátí do své výchozí polohy nejvýše konečně mnohokrát. Nyní pro r = 1 a r = 2 ukážeme, že se s pravděpodobností 1 částice někdy vrátí do svého počátku. Budeme tedy vyšetřovat délku časového intervalu, po němž se částice vrátí poprvé do své výchozí polohy. V další části důkazu (r)
využijeme generujících funkcí. Nechť Q2n je pravděpodobnost toho, že se částice konající náhodnou procházku na r-rozměrné mříži vrátí v n-tém kroku poprvé do své výchozí polohy. Pak platí (r) P2n
=
(r) Q2n
+
n−1 X
P2k Q2n−2k .
∞ X
P2k xk
(r)
(r)
k=1
Položíme za Gr (x) a Hr (x) Gr (x) = Hr (x) =
k=1 ∞ X k=1
26
(r)
(r)
Q2k xk .
KAPITOLA 4. VÍCEROZMĚRNÁ NÁHODNÁ PROCHÁZKA Potom úpravou předešlého vzorce dostaneme Gr (x) = Hr (x) + Gr (x)Hr (x) Gr (x) 1 + Gr (x) Hr (x) Gr (x) = . 1 − Hr (x)
Hr (x) =
Dále platí (r)
Q
=
∞ X
Gr (x) . x→1 1 + Gr (x)
(r)
Q2k = Hr (1) = lim
k=1
Q(r) je pravděpodobnost, že se částice vůbec někdy vrátí do své výchozí P (r) polohy. Pro r = 1 a r = 2 je ale řada ∞ k=1 P2k divergentní, dostaneme tedy
výsledek Q(r) = 1. Pro r ≥ 3 naopak platí (r)
Q
=
(r) k=1 P2k , P∞ (r) k=1 P2k
P∞
1+
tedy 0 < Q(r) < 1. Např. pro r = 3 je Q(3) ≈ 0,35.
27
KAPITOLA 5. APLIKACE NÁHODNÉ PROCHÁZKY
Kapitola 5 Aplikace náhodné procházky 5.1
Analýza cen akcií v praxi
Jak již bylo řečeno, náhodná procházka má široké využití. Její předností je totiž jednoduchost, kterou mnoho procesů postrádá. V této kapitole se budeme věnovat aplikaci ekonomické, analýze cen akcií. Široké využití teorie náhodné procházky najdeme ve světě investic, ať už při investování samotném či sestavování optimálního portfolia v Markowitzově modelu. My se budeme věnovat právě investování. Při rozhodování o tom, kam budou proudit naše peníze, nám analytici nabízejí dvě možnosti, vydat se cestou technické nebo fundamentální analýzy. Technická analýza spočívá v dlouhodobém sledování pohybu cen akcií a na základě výsledných pozorování padne rozhodnutí o nákupu či prodeji. Méně praktická, leč velmi oblíbená metoda, je fundamentální analýza. Investiční poradci určují vnitřní hodnotu akcie, která je pro ně směrodatná. Nezáleží tedy na historických datech, jen na aktuálním rozdílu mezi vnitřní hodnotou a tržní cenou akcie. Fundamentální analytici totiž věří, že cena akcie nepodléhá trendu a nelze ji tedy do budoucna určit pomocí zkoumání 28
KAPITOLA 5. APLIKACE NÁHODNÉ PROCHÁZKY pohybu cen akcií. Lze jen s určitou pravděpodobností odhadnout budoucí cenu akcie, která závisí pouze na nynější hodnotě. Malý vtip si přichystal Burton G. Malkiel na svého kolegu, technického analytika. Při vyučování požádal studenty, aby házeli mincí a výsledky hodů zakreslovali do grafu. Počátkem měla být cena akcie 50$. Jak již bylo řečeno výše, pokud se částice konající náhodnou procházku nachází v kladné části, je pravděpodobné, že se v ní dlouhodobě bude pohybovat i nadále. Proto počáteční hodnota 50$ plně vyhovovala reálné situaci na trhu a existovalo zde minimální riziko, že by se cena akcie dostala do záporných hodnot. K podivu všech studentů se v grafech začaly objevovat známé obrazce podněcující nákup či prodej akcií. Jeden takový Malkiel odnesl právě svému příteli, který reagoval tak prudce, jak Malkiel předpokládal. Okamžitě chtěl kupovat, protože viděl známou sekvenci pohybu akcií. Pro ilustraci se podívejme na jeden takto náhodně generovaný úsečkový graf.
Obrázek 5.1: Pohyb cen dané akcie generovaný hody mincí
29
KAPITOLA 5. APLIKACE NÁHODNÉ PROCHÁZKY
5.2
Modelování pohybu cen akcií
Jak jsme poznamenali v předchozím textu, fundamentální analýza pracuje s odhadem pravděpodobnosti budoucí ceny akcie. Tento pravděpodobnostní strom můžeme modelovat např. pomocí martingalů. V následujícím textu si uvedeme vhodný martingal doplněný o jednoduchou proceduru v programu Maple, která vykreslí náhodně generovaný graf pohybu cen akcií na burze.
5.2.1
Martingal součinu náhodných proměnných
Vzhledem ke skutečnosti, že ceny akcií rostou nebo klesají a přitom každý pokles či vzestup ceny není roven konstatní částce, jako tomu bylo v případě generování pohybu cen akcií hody mincí, je vhodné tento proces modelovat za pomoci martingalu tvořeného součinem na sobě nezávislých náhodných proměnných. Přesněji si jej nadefinujeme v následujícím příkladu. Příklad 6. Mějme posloupnost na sobě nezávislých náhodných proměnných {X1 , X2 , . . . , Xn }, kde Xn > 0 a E(Xn ) = 1 pro ∀n ≥ 1. Jestliže položíme M0 = 1 a Mn = X1 X2 . . . Xn pro ∀n ≥ 1, Mn je martingal.
Řešení. Použijeme martingalovou identitu, tedy E(Mn | Mn−1 ) = E(Mn−1 Xn | Mn−1 ) = E(Mn−1 | Mn−1 )E(Xn | Mn−1) = X1 X2 . . . Xn−1 = Mn−1 Pomocí tohoto martingalu nyní můžeme přejít ke grafickému znázornění cenových pohybů na burze.
5.2.2
Generování trajektorií
Než začneme vytvářet proceduru v programu Maple, musíme si určit několik počátečních podmínek, které nás přiblíží k dostatečně věrohodnému modelu 30
KAPITOLA 5. APLIKACE NÁHODNÉ PROCHÁZKY cenových pohybů akcií. Čeká nás volba vhodného rozdělení. Abychom docílili stejné pravděpodobnosti růstu nebo poklesu ceny, nabízí se nám normální rozdělení. To ale nesplňuje druhou podmínku, tj. cena nikdy nedosáhne záporné hodnoty. Tuto skutečnost splňuje logaritmické rozdělení. Správný výběr bude zřejmě reprezentován logaritmicko-normálním rozdělením, které splňuje obě zmíněné podmínky. Procedura, která generuje náhodný pohyb ceny akcie, může vypadat následujícím způsobem:
RW:=proc(n); pozice,cesta,P: P:=lognormal: pozice:=1: cesta:=pozice: from 1 to n do X:=stats[random,P](1): pozice:=pozice*X: cesta:=cesta,pozice: od: with(plots): pointplot([seq([i,cesta[i]],i=1..nops([cesta]))],connect=true); end:
V proceduře RW nám n udává počet dnů, kdy se bude na burze s danými akciemi obchodovat. Začínáme na hodnotě 1, tj. 100%. Standardním počtem dnů, po které se bude obchodovat, bude 200. Měřítko osy y je přizpůsobeno velikosti výkyvů ceny akcie.
31
KAPITOLA 5. APLIKACE NÁHODNÉ PROCHÁZKY Nyní přejděme k prvnímu grafu, který vychází z logaritmicko-normálního rozdělení se střední hodnotou 0 a rozptylem 1, tj. z předdefinovaného nastavení tohoto rozdělení v programu Maple.
200
150
100
50
0
50
100
150
200
Obrázek 5.2: Model se střední hodnotou 0 a rozptylem 1 Jak je vidět, tento model nebude zcela realistický, neboť cenové výkyvy jsou příliš vysoké. Dostáváme se tím k druhému grafu, kde střední hodnota bude rovna 0 a rozptyl tohoto rozdělení bude
1 . 625
1.6
1.4
1.2
1
0.8 0
50
100
150
200
Obrázek 5.3: Model se střední hodnotou 0 a rozptylem 32
1 625
KAPITOLA 5. APLIKACE NÁHODNÉ PROCHÁZKY V druhém modelu se již cenové výkyvy neprojevují takovou mírou. Ještě výraznější je to na dalším grafu, kde střední hodnota bude nadále rovna 0 a rozptyl bude roven
1 . 160000
Můžeme říct, že cenové výkyvy jsou závislé
na hodnotě rozptylu.
1.03
1.02
1.01
1
0.99
0.98
0.97
0
50
100
150
200
Obrázek 5.4: Model se střední hodnotou 0 a rozptylem
33
1 160000
LITERATURA
Literatura [1] Grimmett, G. & Stirzaker, D.: Probability and Random Processes. Oxford, New York 2001 [2] Kemeny, J. G.: Úvod do finitní matematiky. SNTL, Praha 1971 [3] Malkiel, B. G.: Bl¸adz¸ac po Wall Street. WIG-Press, Warszawa 2003 [4] Rényi, A.: Teorie pravděpodobnosti. Academia, Praha 1972 [5] Ross, S. M.: Stochastic processes. John Wiley & Sons, 1996 [6] Rybička, J.: LATEX pro začátečníky. Konvoj, Brno 2003 [7] Steele, J. M.: Stochastic Calculus and Financial Applications. Springer, New York 2001
34
