Nagy Krisztián Analízis 2

Nagy Krisztián

Analízis 2 Segédanyag a második zárthelyi dolgozathoz

Nagy Krisztián

Matematikát Népszerűsítő Projekt

ELTE-IK HÖK

Tartalomjegyzék Deriválási alapok ............................................................................................................................................. 3 Elemi függvények deriváltjai ......................................................................................................................... 3 Deriválási szabályok műveletekre ................................................................................................................ 4 Első feladat típus ............................................................................................................................................. 5 Érintő egyenletének felírása egy adott pontban .......................................................................................... 5 Invertálhatóság, inverz deriválhatósága ...................................................................................................... 6 Második feladat típus ...................................................................................................................................... 7 L’Hospital szabály ......................................................................................................................................... 7 Harmadik feladat típus .................................................................................................................................... 8 Taylor-polinom-os feladatok ........................................................................................................................ 8 Negyedik feladat típus................................................................................................................................... 10 Lokális és abszolút szélsőértékes feladatok ................................................................................................ 10 Ötödik feladat típus ....................................................................................................................................... 11 Teljes függvényvizsgálat és függvényábrázolás lépései .............................................................................. 11 Teljes függvényvizsgálat és függvényábrázolásos feladat ........................................................................... 14 Utószó ............................................................................................................................................................ 15

2

Eötvös Loránd Tudományegyetem | Informatikai Kar

Nagy Krisztián


ELTE-IK HÖK

Elemi függvények deriváltjai és

3


Nagy Krisztián


ELTE-IK HÖK

Deriválási szabályok műveletekre Jelöljük

–et -nek és

–et -nek

4


Nagy Krisztián


ELTE-IK HÖK

Érintő egyenletének felírása egy adott pontban Emlékeztető Az ábra alapján leolvasható egyenletre szükségünk van ahhoz, hogy meg tudjuk határozni az érintő meredekségét.

Ahhoz, hogy meg tudjuk adni egy a-beli érintő egyenes egyenletét, szükségünk van az a-beli érintő meredekségére. Mivel a-beli érintőről van szó így figyelembe kell vennünk azt, hogy az x-szel az a-hoz tartunk. ( Ezek alapján az a-beli érintő meredeksége: lesz.

A fentiek alapján pedig fel tudjuk írni az érintő egyenes egyenletét: lesz. Nézzünk rá egy feladatot! Írja fel az y =

görbe érintőjének az egyenletét a (2,1) pontban!

Amennyiben egy megadott pontban kell felírni az érintőt fontos tudni, hogy a koordinátákat, hogyan értelmezzük, mert szükségünk lesz rájuk a feladat megoldásához. Jelen esetben a 2 fog megfelelni -nak és az 1 az -nak. {Megjegyzés: Sok feladatban az -t -al jelölik, ez ne rémisszen el senkit a feladat megoldásától. Ha csak az (vagy ) érték van megadva, akkor ki kell számolnunk az – t (vagy – t. Ez esetben sem nehéz a dolgunk, hiszen csak be kell írni a megadott értéket az -ek helyére és meg is kapjuk a másik koordinátát. Ez azért van így, mert a függvény értékét jelenti, az helyen.}

Szükségünk van

Ha

– miatt az eredeti függvényünk deriváltjára.

helyen vesszük a deriváltat, akkor megkapjuk az érintő meredekségét.


5

Nagy Krisztián


ELTE-IK HÖK

Mostmár tudunk mindent az egyenesünk egyenletéhez, mivel jelen esetben: az egyenletünk. Írjuk be az ismert és kiszámolt értékeket ebbe az egyenletbe és megkapjuk a feladat megoldását.

Invertálhatóság, inverz deriválhatósága Emlékeztető invertálható,

és

⇒

Nézzünk meg egy feladatot! Bizonyítsuk be, hogy az deriválható és határozzuk meg

függvény invertálható, az inverze értékét!

Mivel , ezért a tételből tudjuk, hogy csak olyan függvények invertálhatóak, melyek szigorúan monoton függvények és folytonosnak kell lennie! Monotonitás vizsgálathoz jól alkalmazható eszköz: ,akkor a függvény szigorúan monoton növekvő, ha pedig , akkor a függvény szigorúan monoton csökkenő. (Egyenlőséget megengedve csak monoton növekvő, vagy monoton csökkenő) Ezek alapján írjuk fel az

függvény deriváltját: Ez nagyobb, mint 0, az

feltétel miatt, ezért szigorúan

monoton növekvő függvényről van szó. Ebből az következik, hogy a függvény invertálható. következik, hogy

-ből következik, hogy . Ezekből az állításokból pedig , tehát az függvény inverze deriválható. . Logikusan gondoljuk végig. Ekkor

akkor igaz, ha

= a, ez akkor és csak

Ez az egyenlet, pedig akkor és csak akkor teljesül, ha

. Ezek alapján (Megjegyzés:

–et már fentebb kiszámoltuk, így

helyére 1-et kellett beítnunk.) 6


Nagy Krisztián


ELTE-IK HÖK

L’Hospital szabály Emlékeztető ⇒

=

(Megjegyzés: és függvényt külön-külön kell deriválni, nem pedig a hányados deriváltja szabályt alkalmazni!) Első feladat: Képzeletben beírva a 0-át, láthatjuk, hogy ez egy

típusú kritikus eset lenne, ezért alkalmazzuk a

L’Hospital szabályt. Ez még mindig

típusú kritikus eset lenne, ezért

újraalkalmazzuk a L’Hospital szabályt. =1 Második feladat: = ? Képzeletben beírva a 0-át, láthatjuk, hogy ez egy ezért alkalmazzuk a L’Hospital szabályt.

típusú kritikus eset lenne,

Alakítsuk át úgy a fenti függvényt, hogy a későbbiek során elemi függvények deriválását és a deriválási szabályokat is használni tudjuk.

Ezek alapján: határértékét keressük. Mivel az exponenciális függvény folytonos ( ), ezért elég, ha a kitevőben vizsgáljuk a határértéket. . Vizsgáljuk meg külön a kitevőt. Képzeletben beírva az 1-et, láthatjuk, hogy ez egy

típusú kritikus eset lenne, ezért

alkalmazzuk a L’Hospital szabályt. . Beírva a kitevőbe az így kapott határértéket, azt kapjuk, hogy . Ezzel megoldottuk a feladatunkat. 7


Nagy Krisztián


ELTE-IK HÖK

Taylor-polinom-os feladatok Emlékeztető –ből következik, hogy Taylor-polinom

körül (Megjegyzés: ⇒

⇒

Taylor-sor)

\

⇒ Lagrange-

dék ⇒

⇒

⇒ Speciális eset:

(legfeljebb -ed fokú polinomok halmaza) ,

⇒

⇒ Bevezető feladat: Írjuk fel

hatványai szerint a

polinomot.

Mivel a polinomban a legnagyobb fokszám 3, ezért a harmadfokú Taylor-polinomot célszerű felírni. Továbbá, mivel hatványai szerint akarjuk felírni, ezért tudjuk, hogy a hatványsor közepű lesz. Ezek alapján:

egyenlet alapján lehet felírni a

polinomot. Mivel -at akarunk felírni, így szükségünk van a polinomunk első,második és harmadik deriváltjára. ⇒

⇒

=

Ezzel megoldottuk a feladatot.

8


Nagy Krisztián


ELTE-IK HÖK

Második feladat: Adjunk becslést az alábbi eltérésre!

Ha ránézünk a fenti függvényre, akkor láthatjuk, hogy nagyon hasonlít a szerkezete, az egyik előző oldalon leírt képlethez. ( Ezek alapján látjuk, hogy

továbbá

-ben az -ek mellett nem áll

semmilyen szám, ezért 0 középpontú hatványsort láthatunk és mivel a legnagyobb fokszámú tag az , ezért arra következtetünk, hogy ez egy másodfokú Taylor-polinom lehet. ( Első lépésben meg kell vizsgálnunk, hogy ez a Taylor-polinom, az

–es )

Taylor-polinoma-e.

Azaz Mivel másodfokú Taylor-polinomot keresünk, ezért szükségünk van deriváltjára.

első és második

⇒ ⇒ Tényleg ez az

másodfokú Taylor-polinomja.

Az eltérés megbecsléséhez szükségünk van a Lagrange-maradéktag-ra: A képletek amiket használnunk kell az előzőoldalról:

;

Ezek alapján: A Szükségünk van

feltétel miatt tudjuk, hogy

harmadik deriváltjára. . Mivel

felülrőlbecsülve 1-et kapunk. Ezért:

intervallumon vizsgálódunk, ezért ⇒

⇒

Tehát

függvény eltérése az

polinomtól a (0,1) intervallumon

.

9


Nagy Krisztián


ELTE-IK HÖK

Lokális és abszolút szélsőértékes feladatok Emlékeztető Elsőrendű szükséges feltétel: -nek -ban van lokális szélsőértéke ⇒ . Az egyenlet megoldásai adják a stacionális hely(ek)et. (Stacionális hely, egy olyan hely, ahol lehet a függvénynek szélsőértéke, de nem biztos,hogy van is.)

Másodrendű szükséges feltétel:

;

⇒ -ban lokális minimum van,

⇒ -ban lokális maximum van. előjelet vált -ban Abszolút szélsőértékek:

Weierstrass-tétel:

,

kompakt ⇒

Ilyenkor abszolút szélsőérték lehet belsőpontban, ahol

vagy a határpontokban.

Feladat:

Határozzuk meg az

függvény szélsőértékeit, amennyiben

léteznek. ⇒

(stacionális hely)

0 - - - - - - - - - - 0 + + + + + + + + + + + + + + + + + ++ + + + + + + + + + + + + +

-ban előjel váltás történik. A táblázat alapján ezen a helyen lokális minimum található, melynek az értéke. Ez a hely abszolút minimum is. Lokális és abszolút maximuma nincsen -nek.

10


Nagy Krisztián


ELTE-IK HÖK

Teljes függvényvizsgálat és függvényábrázolás lépései 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

Az értelmezési tartomány meghatározása ( ) A tengelymetszési pontok meghatározása (zérushely, tengelypont) Paritás és periodicitás vizsgálat Monotonítás és szélsőérték vizsgálat Konvexitás és inflexiós pontok vizsgálata Asszimptoták vizsgálata Táblázat készítés az átláthatóság miatt A függvény ábrázolása

1.Az értelmezési tartomány meghatározása (

)

Egy kifejezés értelmezési tartománya azon azokat az értékeket jelöli, amelyen az adott kifejezésben szereplő változók értelmezhetőek. Jelölése függvények esetében:

1. Logaritmus esetén: numerusz > 0 alap > 0 és alap ≠ 1 2. Törtes kifejezés esetén: nevező ≠ 0 3. Gyökös kifejezés esetén: páros kitevőjű gyökjel alatt nem állhat negatív szám, ha csak nem a komplex számok halmazán kell vizsgálni az adott kifejezést. 4. Exponenciális kifejezések esetén: ax , ahol a > 0 5. Tangensre:

⇒

6. Kotangensre:

⇒ ⇒

, ahol ⇒x≠

, ahol

2. A tengelymetszési pontok meghatározása (zérushely, tengelypont) Egy függvény zérushelye az értelmezési tartomány olyan x értéke, melyre f(x) = 0 A függvény tengelypontja az a pont, ahol a függvény metszi az y tengelyt. Kiszámítása: A függvényben x helyére 0-át írunk (x=0). 3. Paritás és periodicitás vizsgálat Egy f függvényt párosnak nevezünk, ha az értelmezési tartomány bármely x eleme esetén – x is eleme az értelmezési tartománynak és bármely x-re igaz, hogy f(-x)=f(x). Páros függvény grafikonja tengelyesen szimmetrikus az y tengelyre. Egy f függvényt páratlannak nevezünk, ha az értelmezési tartomány bármely x eleme esetén –x is eleme az értelmezési tartománynak és bármely x-re igaz, hogy f(-x)=-f(x). Páratlan függvény grafikonja középpontosan szimmetrikus az origóra. (Megjegyzés: Ha egy függvény páros vagy páratlan, akkor elegendő részhalmazon vizsgálni, majd a függvény ábrájának készítésekor a szimmetriát felhasználni.) Eötvös Loránd Tudományegyetem | Informatikai Kar

11

Nagy Krisztián


ELTE-IK HÖK

4.Monotonítás és szélsőérték vizsgálat Monotonitás vizsgálathoz jól alkalmazható eszköz: ,akkor a függvény szigorúan monoton növekvő , akkor a függvény szigorúan monoton csökkenő ,akkor a függvény monoton növekvő , akkor a függvény monoton csökkenő Szélsőérték vizsgálatához jól alkalmazható eszköz: Elsőrendű szükséges feltétel: -nek -ban van lokális szélsőértéke ⇒ . Az egyenlet megoldásai adják a stacionális hely(ek)et. (Stacionális hely, egy olyan hely, ahol lehet a függvénynek szélsőértéke, de nem biztos,hogy van is.)

Másodrendű szükséges feltétel:

⇒ -ban lokális

;

minimum van, ⇒ -ban lokális maximum van. előjelet vált -ban Abszolút szélsőértékek:

Weierstrass-tétel:

,

kompakt ⇒

Ilyenkor abszolút szélsőérték lehet belsőpontban, ahol

vagy a határpontokban.

5. Konvexitás és inflexiós pontok vizsgálata Konvexitás: konvex (alak: ) konkáv (alak: )

⇒ ⇒

monoton növekvő ⇒ monoton csökkenő ⇒

Inflexiós pontok: , helyen lehetnek inflexiós pontok. Akkor lesz a fentebb említett helyen inflexiós pont, ha a függvény az adott helyen konvexitást vált. (Azaz a függvény megváltoztatja az alakját)

6. Asszimptoták vizsgálata vízszintes asszimptotája -nek a

⇒ ⇒

-ben

függőleges asszimptotája -nek (a 0 környezetében)

⇒ vízszintes asszimptota nincs, de ferde asszimptota lehet! Ferde asszimptota Ferde asszimptota meredeksége: asszimptota) Ferde asszimptota konstans tagja: ferde asszimptota -ben

(Ha ez végtelen, akkor nincs ferde 12


Nagy Krisztián


ELTE-IK HÖK

7. Táblázat készítés az átláthatóság miatt Minta (kinézet miatt) ----- 0 +++0---0++++++++++++++++++++++ * lok lok lok * ---------------------0++++++++++++++++++++++ konvexitás infl. * - határértékek a nevezetes helyeken 8. A függvény ábrázolása Az előbbi pontok alapján, a táblázat segítségével már egyszerű ábrázolni a függvényt egy koordináta-rendszerben.

13


Nagy Krisztián


ELTE-IK HÖK

Teljes függvényvizsgálat és függvényábrázolásos feladat Végezz teljes függvényvizsgálatot, majd ábrázold az alábbi függvényt: ! (1) -ban metszi a tengelyeket ⇒ nem páros a függvény

(3)

⇒ nem páratlan a függvény Nem periodikus (4)

⇒ ⇒ ⇒ (5) ⇒ ⇒ ⇒ (6)

⇒

; ⇒

vízszintes asszimptota

-ben

függőleges asszimptota

(7) --------+0

-----------konvexitás

++ 0 -----------------------------l.mx -----------0+++++++++++++++++ infl.

⇒ lokális maximum, abszolút maximum; lokális minimum, abszolút minimum nincs Inflexiós pont:

(8)

14


Nagy Krisztián


ELTE-IK HÖK

Utószó A jegyzet elsősorban az Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Karán tanuló hallgatóknak készült Analízis 2 kurzus második zárthelyi dolgozatához. Remélem tudtam segítséget nyújtani neked a tanuláshoz! Készítette: Nagy Krisztián Dátum: 2011.12.14 ELTE-IK Programtervező informatikus BSc 2008

ELTE-IK HÖK 2011. december Matematikát Népszerűsítő Projekt (MANÉP) Elérhetőségek: Nagy Krisztián: valdar(at)ikhok.elte.hu ELTE-IK HÖK weboldala: http://ikhok.elte.hu Saját weboldalam: http://people.inf.elte.hu/naksabi

A jegyzet átírás nélkül szabadon terjeszthető!

15


Nagy Krisztián Analízis 2

Recommend Documents