na nebesk sf e, zat mco vn j soust edn kru nice obratn k Raka. 3 Mezi t mito kru nicemi je na cifern ku je t um st na dal soust edn kru nice p edstavu

MATEMATIKA Kru nice na astronomickm cifernku pra skho orloje MICHAL K EK { PAVEL K EK Matematick stav a Fyzikln stav AV R, Praha { 1. l ka sk fakulta UK, Praha

1. vod

Podle v zkum Zde ka Horskho, Stanislava Machka a Emanuela Prochzky 2, s. 32], 3], 6], 8, s. 164] vznikl pra sk orloj kolem roku 1410. Tmto pojednnm, kter je voln m pokraovnm lnku 5], chceme pipomenout 600. v ro jeho vzniku. Matematick model1 orloje vytvoil matematik a astronom Jan indel, kter byl r. 1410 rektorem na pra sk univerzit. Pi nvrhu astronomickho cifernku byla pou ita ji v antice znm stereograck projekce nebesk sfry na rovinu (viz obr. 1). V ppad pra skho orloje si nebeskou sfru pedstavme jako kulovou plochu o polomru cca 40 cm. Sted promtn S je umstn v severnm plu2 kulov plochy a projekn rovina je k n ten s bodem dotyku v ji nm plu J (viz obr. 2). Sted astronomickho cifernku (viz obr. 1) tedy odpovd ji nmu plu nebesk sfry. Nejmen vnitn kru nice se stedem v ji nm plu znzoruje obratnk Kozoroha 1 Model popisuje idealizovanou situaci, kdy Slunce a Msc obhaj Zemi konstantn hlovou rychlost v rovin ekliptiky, smr zemsk osy je v prostoru nemnn (tj. nedochz k precesi ani nutacm osy) atp. 2 Vtina orloj a astrolb, kter vznikly ve druh polovin 15. stolet a pozdji, m st ed promtn v jinm plu nebesk sf ry, aby bylo mono znzorovat polohy hvzd v okol severnho plu. P i tomto zpsobu promtn ale slunen ukazatel vykonv v l t p es den krtk oblouky, zatmco v zim dlouh .

Matematika - fyzika - informatika 19 2009/2010

577

na nebesk sfe, zatmco vnj soustedn kru nice obratnk Raka.3 Mezi tmito kru nicemi je na cifernku jet umstna dal soustedn kru nice pedstavujc rovnk nebesk sfry. Na astronomickm cifernku vak vidme dal kru nice a oblouky (srov. 4]), o nich pojednme dle.

;; ;; ;;

Obr. 1 Astronomick cifernk prask ho orloje (v rovin xy)

V lnku 5] je dokzna dle it vlastnost stereograck projekce:

Vta 1 (Ptolemaiova).

Kru nice le c na kulov ploe a neprochzejc stedem promtn se pi stereograck projekci zobraz opt jako kru nice. Dky tto vt mohli sta misti snadno zkonstruovat nkter dle it kivky astronomickho cifernku. Je-li slunen ukazatel v horn mode obarven oblasti cifernku, znamen to, e je den. Pechz-li zlacen oblouk oznaen ORTVS (viz obr. 1), Slunce vychz. Podobn oblouk oznaen OCCASVS odpovd zpadu Slunce. Oba oblouky jsou podle Ptolemaiovy vty stmi jedn kru nice (tzv. obzornku), proto e idealizo3 st nebesk sf ry nad obratnkem Raka se vlastn zobrazuje mimo astronomick cifernk.

578


van pra sk horizont je na nebesk sfe hlavn kru nic.4 Pipomeme, e hlavn kru nice je kru nice o stejnm stedu i polomru, jako m kulov sfra. Kru nice na kulov sfe, kter nen hlavn, se naz v vedlej kru nice. Cihlov zbarven oblast oznaen AVRORA odpovd svtn a CREPVSCVLVM stmvn (soumraku). ern vybarven oblast v doln sti cifernku znzoruje astronomickou noc, kdy se Slunce nachz alespo 18 pod horizontem. Podle Ptolemaiovy vty je hranic tto oblasti opt kru nice.

;

Obr. 2 Stereograck projekce hlavn krunice k se sklonem k projekn rovin xy

2. Velikosti esti krunic na astronomickm cifernku

Stereograck projekce je siln nelinern5 zobrazen. Patrn dky tto vlastnosti dolo bhem nkolika rekonstrukc orloje k chybnmu uren velikosti nkter ch kru nic na astronomickm cifernku. Sprvn polohy sted a velikosti polomr 6 zkladnch kru nic (t hlavnch a t vedlejch) si nyn odvodme. Na astronomickm cifernku zaveme standardn kartzsk souadnice xy se stedem v bod J . Uva ujme nyn rovinu yz kolmou na vodorovnou osu x. Potek souadnic v rovin yz je tedy v bod J = (0 0) a nech! 4 V geocentrick m modelu, kter byl v dob vzniku orloje jedin m ociln uznvan m modelem uspo dn svta, je prask horizont nehybn , zatmco ekliptika se se sv mi souhvzdmi ot kolem Zem. 5 Velice mal krunice v tsn blzkosti severnho plu se toti zobrazuj na nesmrn obrovsk krunice v projekn rovin, zatmco mal krunice v blzkosti jinho plu se zobrazuj opt na mal krunice.


579

S = (0 2), tj. bez #jmy na obecnosti pedpokldme, e kulov plocha m polomr 1. Podle 5, s. 135] se bod A = (y z ) 6= S na kulov ploe pi stereograck projekci zobraz na bod (1) A0 = 2 2;y z 0 : Na kulov sfe nyn uva ujme kru nici k v rovin se sklonem k projekn rovin xy astronomickho cifernku (viz obr. 2 a 3). Pro jednoduchost se omezme jen na ppad 2 0 90 ). Pedpokldejme, e osa x je rovnob n s rovinou kru nice k. Nech! je tato rovina vzdlena o j sin j od roviny , kter je s n rovnob n a prochz stedem koule (0 1). Je-li k $pod% rovinou , volme #hel kladn (viz obr. 3), v opanm ppad nekladn .

;

Obr. 3 Stereograck projekce vedlej krunice k se sklonem

Nech! #hel 2 (;90 90 ) je takov , e ; 6= 90 . Ozname A = (; cos( ; ) 1 + sin( ; )) nejvzdlenj bod kru nice k od projekn roviny xy (pro = 0 nen jedin ) a pedpokldejme, e B = (cos( + ) 1 ; sin( + )) tj. B je protj bod na kru nici k vzhledem k A a #seka AB je tedy prmrem k. Podle (1) dostaneme ; ) 0 a B 0 = 2 cos( + ) 0: A0 = 1;;2 cos( sin( ; ) 1 + sin( + ) 580


Odpovdajc kru nice k0 v projekn rovin m tedy polomr + ) + cos( ; ) : r0 = 21 jA0 B 0 j = 1 +cos( (2) sin( + ) 1 ; sin( ; ) Sted kru nice k0 se nalz uprosted #seky A0 B 0 , tj. v bod 12 (A0 + B 0 ). Souadnice stedu k0 v projekn rovin xy pak jsou (0 s0 ), kde + ) cos( ; ) s0 = 1 +cos( (3) sin( + ) ; 1 ; sin( ; ) : Rozliujme ti ppady: 1) Rovina krunice k je rovnobn s projekn rovinou. V tomto ppad je = 0 . Pak z (2) plyne, e ; ) 2 cos r0 = 1 +cossin + 1 ;cos( (4) sin(; ) = 1 + sin : Pro nebesk rovnk tak dostaneme r0 = 2 pro = 0 , pro obratnk Kozoroha odpovdajc :#hlu = 23:45 je r0 =: 1:313 a pro obratnk Raka s = ;23:45 je r0 = 3:048. Podle (3) maj vechny ti kru nice v projekn rovin sted v bod (0 0). 2) Krunice k je hlavn, tj. = 0. Pak z (2) plyne, e r0 = 1 +cossin + 1 ;cossin = cos (1 ; sin +2 1 + sin ) = cos2 : (5) 1 ; sin Proto e Praha le na 50. rovnob ce severn ky, m rovina pra skho horizontu sklon = 40 k projekn rovin xy. Pro obzornk tak dostaneme (6) r0 = cos240 =: 2:611 a podle (3) je s0 = 1 +cossin ; 1 ;cossin = cos (1 ; sin ;2 1 ; sin ) = ;2 tg : (7) 1 ; sin : ;1:678). Sted obzornkov kru nice m tedy souadnice (0 ;2 tg 40 ) =(0 Z jej polohy m ete urit, e Slunce v dob letnho slunovratu vychz kolem 4. hodiny, v dob rovnodennosti v 6 hodin a v dob zimnho slunovratu vychz a kolem 8. hodiny (viz msk slice na obr. 1). Matematika - fyzika - informatika 19 2009/2010

581

Ponkud komplikovanj situace nastv s prstencem ekliptiky, proto e se v geocentrickm modelu neustle ot. Nachz-li se prstenec na cifernku ve sv nejni poloze, pak z (5) plyne, e r0 =: 2:180 pro = 23:45 (srov. obr. 2). Sted prstence obh po kru nici o polomru 2 tg 23.45 se stedem v potku J . O chyb pi urovn polomru prstence pi rekonstrukci orloje v roce 1865 se pojednv v 5, s. 138]. Tehdy musela b t dodaten pin tovna ke zvetnku zlacen obru (srov. obr. 1), aby se ekliptika dot kala obratnku Raka a Kozoroha.

3) Krunice k nen hlavn ani nele v rovin rovnobn s projekn rovinou. V tomto ppad je 6= 0 6= . Pak z (2) a (3) pro ern

kruh odpovdajc astronomick noci a #hlm = 40 a = 18 dostaneme (viz obr. 1 a 3) r0 = 1 +cossin5858 + 1 ;cossin2222 =: 1:769 (8) a s0 = 1 +cossin5858 ; 1 ;cossin2222 =: ;1:196

Poznmka 1. Podle nesprvnho nkresu v 7, s. 55] je polomr obzornkov kru nice (se sklonem k projekn rovin) roven cotg(=2) = 2:747, co je hodnota blzk (6). Funkce f () = 2= cos odvozen v (5) a g() = = cotg(=2) vak maj zcela: odlin prbh. Jejich grafy (pokuste se je nakreslit) se protnaj pro = 41:221 , co je blzk hodnot sklonu obzornkov kru nice v Praze. Pro jin zempisn ky (90 ; ) se ale hodnoty f a g obecn dosti li. Autor 7] proto umstil Prahu na 49. rovnob ku nebesk sfry (msto stedu nebesk sfry), aby doshl co nejvt shody s hodnotou =: 41:221 =: 90 ; 49 . Poznmka 2. Jakub Malina ve sv kn ce 7, s. 57] dle uvd: (Historickou perlikou tkajc se desky astrolbu je, e nkolik desetilet po povlen rekonstrukci orloje byla plocha astronomick noci zakreslena nepesn a napravil ji a zsah Zde ka Horskho a Milana Patky na konci sedmdestch let minulho stolet.6 Sm Malina 7, s. 55] vak chybn in6 Chyba vznikla p i povlen oprav cifernku, kdy byl nakreslen mnohem men ern kruh astronomick noci koncentricky s obzornkem (viz obr. 4). Jin pl, kter je v Praze asi 50 pod obzorem, se na obr. 4 nenachz uvnit ern ho kruhu (viz 10]). A kolem roku 1979 na chybu upozornil Milan Patka.

582


terpretuje polomr kruhu astronomick noci jako 1 + cos 40 : tg(40 + 18 ) + sin 40 = 1:746:

;; ;; ;; ;

To je opt shodou okolnost hodnota velice blzk sprvn hodnot uveden v (8).

Obr. 4 Nesprvn zakreslen ern kruh astronomick noci byl na prask m orloji p iblin 30 let

3. Jsou oblouky planetnch hodin sti krunic?

Horsk 2, s. 54] o astronomickm cifernku pe: Jet tu je na desce deset zlacench kivek v modr sti oblohy nad horizontem, o nich zatm nevme, co znamenaj. Do jejich st pat i ob vtve obzornku i svislice polednku. Zlacen oblouky odpovdaj tzv. planetnm hodinm.7 Slunce vychz v nula hodin a den je rozdlen na 12 stejn dlouh ch asov ch #sek, co je na astronomickm cifernku (viz obr. 1) vyznaeno ern mi arabsk mi 7 Terminologie je znan nejednotn. Nkdy se pouv t nzvu planetrn, nestejn , nerovn , p irozen , babylnsk , astrologick , temporln i temporrn hodiny (viz nap . 1], 2], 6], 7]).


583

slicemi. Pechz-li slunen ukazatel zlacen oblouk oznaen nap. slem 3, pak je tet planetn hodina. Ka d planetn hodin byla kdysi piazena njak planeta (bl e viz 1, s. 49] a 9, s. 19]). Na 12 stejn dlouh ch dl je rozdlena i noc, co ale na cifernku nen vyznaeno. Pouze v dob rovnodennosti je dlka planetn hodiny rovna 1 h = 60 minut. V dob letnho slunovratu trv 1 planetn hodina pibli n 80 minut a o zimnm slunovratu jen asi 40 minut. Z kapitoly 2 ji vme, e ob vtve obzornku jsou sti jedn kru nice. Svislice polednku je #seka, kter je obrazem sti hlavn kru nice, je prochz severnm plem a odpovd 6. planetn hodin. Nyn si ale uk eme, e zb vajcch deset zlacen ch oblouk nejsou sti kru nic, i kdy jsou jim velice blzk.8 Budeme se zab vat tvarem oblouku, kter odpovd nap. 9. planetn hodin (viz obr. 1 vpravo nahoe). Pedpokldejme, e se slunen ukazatel pohybuje po kru nici k se stedem v bod J v projekn rovin (rky u jednotliv ch symbol budeme pro jednoduchost vynechvat). Nech! polomr r 2 r1 r2 ] kru nice k le mezi polomry obratnku Kozoroha r1 = 2 cos =(1+sin ) =: 1:313 a Raka r2 = 2 cos =(1;sin ) =: 3:048 pro = 23:45 (viz (4)). Bod P = (0 r) kru nice k odpovd 6. planetn hodin a nech! H 2 k odpovd 12. planetn hodin, tj. le zrove na obzornkov kru nici o polomru h a stedu G = (0 ;a), kde podle (7) je a = 2 tg 40 . Ozname ' 2 0 180 ] #hel HJP a nech! D 2 k odpovd 9. planetn hodin, tj. #seka DJ pl #hel '. Bod o souadnicch (2 0), kter odpovd zpadu Slunce pi rovnodennosti, le na kru nici nebeskho rovnku a zrove na kru nici obzornku. Podle kosinov vty pro troj#helnk GHJ a Pythagorovy vty tedy plat

r2 + a2 ; 2ar cos(180 ; ') = h2 = a2 + 22 tj.

cos ' = 4 2;arr : 2

Odtud plyne, e

r

r

2 sin '2 = 1 ; 2cos ' = 2ar ;4ar4 + r : 8

584

Viz soutn loha O14, Technick magazn, 1979, s. 69.


Pro bod D = D(r) = (x y) tak dostvme r

;

2 3 x = x(r) = r sin '2 = 2ar ;4a4r + r

p

y = y(r) = r2 ; x2 (r): (9)

Obr. 5 Krunice prask ho horizontu (tzv. obzornk) a 9. oblouk planetnch hodin

Vta 2

Kivka (x(r) y(r)) denovan v (9) pro r 2 r1 r2 ] nen podmno inou dn kru nice. Dkaz. Na 9. oblouku zvolme prseky s obratnkem Kozoroha C = = (pc d)p= (x(r1 ) y(r1 )), s nebesk m rovnkem E = (x(2) y(2)) = = ( 2 2) a s obratnkem Raka F = (f g) = (x(r2 ) y(r2 )). Tmito temi body (nele cmi v pmce) je jednoznan urena kru nice, jej sted Q = (q ;q) je prsekem os #seek CE a EF , kde

p p p p q = c +2 2 + d ;2 2 (d ; g)(g ; p2) + (f ; c)( 2 ; f ) = 2:286304 : : : cg ; df + 2(d + f ; c ; g) Pomoc Pythagorovy vty se m ete pesvdit, e vzdlenost stedu Q od vech t bod C E F se rovn 3:801891 : : : , zatmco vzdlenost Q nap. od bodu D = D( 32 ) = (x( 32 ) y( 32 )) je 3:796988 : : : Lze ukzat, e 0:998 jQD(r)j=jQE j 1:003 pro vechna r 2 r1 r2 ].

Odchylka 9. oblouku na tomto intervalu od kruhovho oblouku o polomru


585

jQE j je tedy nepatrn. Z (9) je mo no odvodit, e denin obor funkce r 7! (x(r) y(r)) lze rozit na interval p p r0 r3 ] = a2 + 4 ; a a2 + 4 + a] =: 0:933 4:289]: Pslun graf m pekvapiv vodorovnou tenu v bod (0 y(r0 )), kde y(r0 ) = 2(1 ; sin 40 )= cos 40 a od kruhovho oblouku se dosti podstatn

li (srov. obr. 5). Pro ostatn zlacen oblouky lze postupovat analogicky. Kdybychom je prodlou ili a ke svisl ose y, budou se vechny protnat v bod (0 y(r0 )), kter le na obzornkov kru nici, jak plyne ze vztah (6) a (7). Poznmka 3. Podoba astronomickho cifernku se mnohokrt dosti podstatn zmnila (viz nap. obrzky v 1], 2], 9], 11]). Pra sk orloj ukazoval po adu let as, ktermu se nkdy tak k babylnsk . Slunce vychz v 0 hodin a cel den vetn noci je rozdlen na 24 stejn dlouh ch asov ch #sek. Pslun hodinov oblouky vzniknou otoenm lev vtve obzornku kolem stedu o #hly h 15 , kde h = 1 2 : : : 24. V tomto ppad hodinov oblouky byly stmi kru nic (srov. nap. 2, s. 9, 67, 107]). Podkov n. Autoi dkuj Monice Kabelkov a Jakubu a Martinu 'olcovi za inspirujc diskuse. Prce byla podpoena grantem . IAA 100190803. Literatura

1] Gruss, G.: Z e hvzd, Bursk & Kohout, Praha 1894{98. 2] Horsk, Z.: Prask orloj, Panorama, Praha 1988. 3] Horsk, Z. { Prochzka, E.: Prask orloj, Sbornk pro djiny p rodnch vd a techniky 9, 1964, p. 83{146. 4] K ek, M. { Somer, L. { olcov, A.: Kouzlo sel, Edice Galileo, sv. 39, Academia, Praha 2009. 5] K ek, M. { olc, J. { olcov, A.: Prask orloj a stereograck projekce, Matematika-fyzika-informatika 17, 2007/2008, s. 129{139. 6] Mach ek, S.: Nlez nov zprvy vzniku orloje na Star m Mst v Praze, as. Spolenosti p tel staroitnost, orgn historick vlastivdy esk . 10, Praha 1962, s. 159{161. 7] Malina, J.: Staromstsk orloj, Eminent, Praha 2005. 8] Prochzka, E.: Profesor Kade vek a staromstsk orloj, sbornk konf. Geometrie v technice a umn (ed. K. Drbek), JSMF, Praha 1985, s. 158{165. 9] Rosick, V.: Staromstsk orloj v Praze, Nakl. J. Otto, Praha 1923. 10] olc, J.: Omyl na astronomick m cifernku prask ho orloje. Pokroky MFA, ro. 54, 2009. 11] Teige, J.: Jana Tborsk ho z Klokotsk Hory Zprva o orloji Staromstsk m, Spol. p tel staroitnost esk ch v Praze 1901.

586


60. ronk matematick olympidy lohy I. kola KATEGORIE Z9

Z9{I{1

Pan Vlk ekal na zastvce ped kolou na autobus. Z okna slyel slova uitele: $Jak povrch m e mt pravideln tybok hranol, vte-li, e dlky vech jeho hran jsou v centimetrech vyjdeny cel mi sly a e jeho objem je : : : % Toto dle it slo pan Vlk neslyel, proto e zrovna projelo okolo auto. Za chvli slyel ka hlscho v sledek 918 cm2 . Uitel na to ekl: $Ano, ale #loha m celkem tyi een. Hledejte dl.% Vce se pan Vlk u nedozvdl, nebo! nastoupil do svho autobusu. Proto e matematika byla v dy jeho hobby, vythl si v autobuse tu ku a papr a po ase uril i zbyl ti een uitelovy #lohy. Spotejte je i vy. L. imnek

Z9{I{2

;

Na obrzku jsou tekovanou arou znzornny hranice ty stejn velk ch obdlnkov ch parcel. 'edou barvou je vyznaena zastavn plocha. Ta m tvar obdlnku, jeho jedna strana tvo zrove hranice parcel. Zapsan sla vyjaduj obsah nezastavn plochy na jednotliv ch parcelch, a to v m2 . Vypotejte obsah celkov zastavn plochy. L. imnek Matematika - fyzika - informatika 19 2009/2010

587

Z9{I{3

Vlkovi lisovali jablen mot. Mli ho ve dvou stejn objemn ch soudcch, v obou tm stejn mno stv. Kdyby z prvnho pelili do druhho 1 litr, mli by v obou stejn, ale to by ani jeden soudek nebyl pln . Tak radji pelili 9 litr z druhho do prvnho. Pak byl prvn soudek #pln pln a mot v druhm zaploval prv tetinu objemu. Kolik litr motu vylisovali, jak byl objem soudk a kolik motu v nich bylo pvodn? M. Volfov

Z9{I{4

Pan Rychl a pan Louda ve stejnou dobu vyli na tut turistickou t#ru, jen pan Rychl ji el shora z horsk chaty a pan Louda naopak od autobusu dole v msteku na chatu nahoru. V 10 hodin se na trase mjeli. Pan Rychl spchal a ji ve 12 hodin byl v cli. Naopak pan Louda postupoval pomalu, a tak dorazil k chat a v 18 hodin. V kolik hodin pnov vyrazili na cestu, vme-li, e ka d z nich el celou dobu svou stlou rychlost? M. Volfov

Z9{I{5

Kru nici se stedem S a polomrem 12 cm jsme opsali pravideln esti#helnk ABCDEF a vepsali pravideln esti#helnk TUVXYZ tak, aby bod T byl stedem strany BC . Vypotejte obsah a obvod ty#helnku TCUS . M. Krejov

Z9{I{6

Petr a Pavel esali v sad jablka a hruky. V pondl sndl Petr o 2 hruky vce ne Pavel a o 2 jablka mn ne Pavel. V #ter Petr sndl o 4 hruky mn ne v pondl. Pavel sndl v #ter o 3 hruky vce ne Petr a o 3 jablka mn ne Petr. Pavel sndl za oba dny 12 jablek a v #ter sndl stejn poet jablek jako hruek. V #ter veer oba chlapci zjistili, e poet jablek, kter spolen za oba dny sndli, je stejn velk jako poet spolen snden ch hruek. Kolik jablek sndl Petr v pondl a kolik hruek sndl Pavel v #ter ? L. Hozov KATEGORIE Z8

Z8{I{1

Martin m na pape napsno ptimstn slo s pti rzn mi slicemi a nsledujcmi vlastnostmi: 588


krtnutm druh slice zleva (tj. slice na mst tisc) dostane slo,

kter je dliteln dvma, krtnutm tet slice zleva dostane slo, kter je dliteln temi, krtnutm tvrt slice zleva dostane slo, kter je dliteln tymi, krtnutm pt slice zleva dostane slo, kter je dliteln pti, nekrtne-li dnou slici, m slo dliteln esti. Kter nejvt slo m e mt Martin napsno na pape? M. Petrov

Z8{I{2

Karel se sna il do przdn ch pol na obrzku vepsat pirozen sla od 1 do 14 tak, aby dn slo nebylo pou ito vckrt a souet vech sel v ka d pm linii byl stejn . Po chvli si uvdomil, e to nen mo n. Jak byste Karlovo pozorovn zdvodnili vy? (Pmou lini rozumme skupinu vech sousedcch polek, jejich stedy le na jedn pmce.)

Z8{I{3

;

S. Bednov

Cena kn ky $Nov hdanky% byla sn ena o 62,5 %. Matj zjistil, e ob ceny (ped sn enm i po nm) jsou dvojmstn sla a daj se vyjdit stejn mi slicemi, jen v rznm poad. O kolik K byla kn ka zlevnna? M. Volfov

Z8{I{4

Rozdlte krychli o hran 8 cm na men shodn krychliky tak, aby souet jejich povrch byl ptkrt vt ne povrch pvodn krychle. Jak bude objem mal krychle a kolik centimetr bude mit jej hrana? M. Volfov Matematika - fyzika - informatika 19 2009/2010

589

Z8{I{5

Klra, Lenka a Matj si procviovali psemn dlen se zbytkem. Jako dlence ml ka d zadno jin pirozen slo, jako dlitele vak mli vichni stejn pirozen slo. Lenin dlenec byl o 30 vt ne Klin. Matjv dlenec byl o 50 vt ne Lenin. Kle vyel ve v sledku zbytek 8, Lence zbytek 2 a Matjovi zbytek 4. Vichni potali bez chyby. Jak dlitel byl km zadn? L. imnek

Z8{I{6

V rovnoramennm lichob nku ABCD jsou #hlopky AC a DB na sebe kolm, jejich dlka je 8 cm a dlka nejdel strany AB je tak 8 cm. Vypotejte obsah tohoto lichob nku. M. Krejov KATEGORIE Z7

Z7{I{1

Souin slic libovolnho vcemstnho sla je v dy men ne toto slo. Pokud potme souin slic danho sla, potom souin slic tohoto souinu, pot znova souin slic novho souinu atd., nutn po njakm potu krok dospjeme k jednomstnmu slu. Tento poet krok naz vme perzistence sla. Nap. slo 723 m perzistenci 2, nebo! 7 2 3 = 42 (1. krok) a 4 2 = 8 (2. krok). Najdte nejvt lich slo, kter m navzjem rzn slice a perzistenci 1. Najdte nejvt sud slo, kter m navzjem rzn nenulov slice a perzistenci 1. Najdte nejmen pirozen slo, kter m perzistenci 3. S. Bednov

Z7{I{2

Ondra na v let utratil 23 penz a ze zbytku dal jet 23 na kolu pro dti z Tibetu. Za 23 novho zbytku jet koupil mal drek pro maminku. Z drav kapsy ztratil 45 zbyl ch penz, a kdy ze zbyl ch dal plku mal sestice, zstala mu prv jedna koruna. S jak m obnosem el Ondra na v let? M. Volfov 590


Z7{I{3

'rka prohlsila: $Jsme ti sestry, j jsem nejmlad, Lba je star o ti roky a Elika o osm. Nae mamka rda sly, e nm vem (i s n) je v prmru 21 let. Pitom kdy jsem se narodila, bylo mamce u 29.% Ped kolika lety se 'rka narodila? M. Volfov

Z7{I{4

Jindra ml napsno tymstn slo. Toto slo zaokrouhlil na destky, na stovky a na tisce a vechny ti v sledky zapsal pod toto slo. Vechna tyi sla sprvn seetl a dostal 5 443. Kter slo ml Jindra napsno? M. Petrov

Z7{I{5

;

Libor nar soval kru nici se stedem S a body A, B , C , D, jak ukazuje obrzek. Zjistil, e #seky SC a BD jsou stejn dlouh. V jakm pomru jsou velikosti #hl ASC a SCD?

Z7{I{6

L. Hozov

Najdte vechna trojmstn pirozen sla, kter jsou beze zbytku dliteln slem 6 a ve kter ch m eme vykrtnout jakoukoli slici a v dy dostaneme dvojmstn pirozen slo, je je tak beze zbytku dliteln slem 6. L. imnek Matematika - fyzika - informatika 19 2009/2010

591

Zajmav matematick lohy Uvdme een #loh 165 a 166, jejich zadn byla zveejnna v ptm sle tohoto (19.) ronku naeho asopisu.

loha 165

Pipravuje se oslava narozenin, na kterou je pozvn lich poet host. V mstnosti je pro n pichystn odpovdajc poet idl rozmstn ch u nkolika stol. Hostitel si ped zatkem oslavy viml zajmav vci. Vechny hosty lze ve druh polovin veera pesadit tak, e dn z nich nebude sedt u stejnho stolu jako ped pesazenm. Kdyby vak hostitel ped pchodem host spojil k sob libovoln dva stoly i s jejich idlemi a udlal z nich jeden spolen stl, takov pesazen ji nebude mo n. Kolik stol je v mstnosti? Marek Pechal een: Nech! jsou host rozesazeni u stol oznaen ch sly 1 2 3 : : : n (n 2). Pedpokldejme, e poet host h u prvnho stolu je nejvt (tj. poet host u zb vajcch stol je nejv e h). Proveme nsledujc #vahu: Nech ka d z host obdr kartiku s slem stolu, u nho prv sed. Pedstavme si velk kulat stl, kolem kterho je rozmstno tolik idl, kolik host je v mstnosti. Kolem tohoto mylenho stolu usazujme ve smru hodinovch ruiek vedle sebe hosty tak, e usadme nejprve hosty od prvnho stolu, potom hosty od druhho stolu atd., a usadme vechny hosty. Ka d z host polo ped sebe na stl kartiku s slem svho stolu a posune se ve smru hodinovch ruiek o h mst. Je zejm, e ped hosty s sly stol vtmi ne 1 bude pot le et kartika s jinm slem stolu, ne u kterho sedli. Ped ka dm z host od prvnho stolu bude le et kartika rzn od 1, prv kdy souet potu host u zbvajcch stol bude alespo h. V takovm ppad hosty posadme ke stolu, jeho slo ped nimi le , a ka d bude sedt u jinho stolu. Naopak, pokud poet host u prvnho stolu bude vt ne celkov poet host u zbvajcch stol, neexistuje zejm pesazen takov, e by ka d z host od stolu slo 1 sedl u stolu s jinm slem. Z tto #vahy vypl v, e hosty m eme pesadit tak, aby ka d z host 592


sedl u jinho stolu, prv kdy poet host u ka dho stolu je alespo takov , jako poet host u vech zb vajcch stol. Celkov poet pozvan ch host je lich a lze je ve druh polovin veera usadit tak, aby ka d sedl u jinho stolu. V mstnosti proto nemohou b t ani jeden, ani dva stoly. V mstnosti jsou tedy alespo ti stoly. Pedpokldejme dle, e v mstnosti jsou alespo tyi stoly. Z podmnek #lohy vypl v, e poet host u ka dho stolu je nejv e roven celkovmu potu host u zb vajcch stol. Pokud hostitel spoj dva stoly, u nich sed nejmen poet host, nen poet host u takto vzniklho stolu vt ne poet host u zb vajcch alespo dvou stol, a tedy hosty je mo n v tomto ppad pesadit. Z podmnek #lohy vypl v, e v mstnosti mohou b t prv ti stoly. Pokud by u ka dho z nich napklad sedl stejn lich poet host, nastane situace popsan v zadn. V mstnosti jsou proto prv 3 stoly. Sprvn een zaslali Karol Gajdo z Trnavy, Anton Hnth z Moravan a Jakub Solovsk z GMK v Blovci. Ne#pln een zaslali Jozef Mszros z Jelky, Ji Kivono ka a Pavel Trutman, oba z GMK v Blovci.

loha 166

Dv shodn kru nice k a l se protnaj v bodech A, B . Ozname Y obraz libovolnho bodu X 62 fA B g kru nice k v otoen se stedem v bod A, kter pevd kru nici k na kru nici l. Doka te, e pmka XY prochz bodem B . Pavel Leischner een: Ozname S a T po ad stedy kru nic k a l. Bod T je obrazem bodu S v otoen se stedem v bod A, kter pevd kru nici k na kru nici l. Troj#helnky Y AX a TAS jsou rovnoramenn a maj shodn vnitn #hel pi jejich hlavnm vrcholu A. Jsou tedy podobn a #hly XY A a STA jsou shodn. Kru nice k a l jsou soumrn sdru en podle pmky ST , a proto je velikost #hlu BTA dvojnsobkem velikosti #hlu STA a tedy i dvojnsobkem velikosti #hlu XY A. Pokud bod Y le na oblouku AB kru nice l vn kru nice k (obr. 1), podle vty o obvodovm a stedovm #hlu protn pmka XY kru nici Matematika - fyzika - informatika 19 2009/2010

593

; ;

l v takovm bod C 6 Y , e velikost stedovho #hlu CTA je dvojnsobek velikosti #hlu XY A. Takov bod je jedin , bod B , proto pmka XY protn kru nici l v bod B .

Obr. 1

Obr. 2

Obdobn m eme argumentovat, pokud bod Y le na oblouku AB kru nice l uvnit kru nice k (obr. 2). Sprvn een zaslali Karol Gajdo z Trnavy, Anton Hnth z Moravan, Frantiek Jchim z Volyn, Jozef Mszros z Jelky, Ji Steckbauer z Kvtn, Petr Boro a Jakub Solovsk, oba z GMK v Blovci. Pavel Calbek 594


na nebesk sf e, zat mco vn j soust edn kru nice obratn k Raka. 3 Mezi t mito kru nicemi je na cifern ku je t um st na dal soust edn kru nice p edstavu

Recommend Documents