MUNKA- ÉS ENERGIATÉTELEK 1. előadás: Alapfogalmak; A virtuális elmozdulások tétele 2. előadás: Alapfogalmak; A virtuális erők tétele Elmozdulások számítása a virtuális erők tétele alapján 3. előadás: Az erőmódszer (Statikailag határozatlan tartók számítása) 4. előadás: Energiatételek (Potenciális energia; Kiegészítő potenciális energia) 5. előadás: Energiatételek alkalmazása (Összevont gyakorlat) 1 / 16
1. előadás: Alapfogalmak → A munka fogalmának általánosítása → Külső és belső munka → Saját és idegen munka A virtuális elmozdulások tétele → A virtuális elmozdulásrendszer fogalma → A virtuális munka fogalma → A virtuális elmozdulások tétele
2 / 16
1. A munka fogalmának általánosítása F
"W = F ⋅ u "
u
elemi munka: „növekmény”
dW = F ⋅ du
teljes munka: „összegzett”
W=
∫
F ⋅ du
erő
elmozdulás
(u )
W=
∫F
T
⋅ du
(u )
3 / 16
1. A munka fogalmának általánosítása általánosított erők külső erők: F
munka elemi
általánosított elmozdulások
teljes
W=
dW = FT ⋅ du
elmozdulások: u
T F ∫ ⋅ du
(u )
M q(x, y, z)
dW = MT ⋅ dϕ dW =
∫ (q
T
(S )
g(x, y, z)
dW =
∫ (g
(V )
T
W=
⋅ du ) dS W= ⋅ du ) dV
∫M
T
⋅ dϕ
ϕ
(ϕ)
⎛ ⎞ T ∫( S ) ⎜⎜ (∫u ) q ⋅ du ⎟⎟ dS ⎝ ⎠
⎛ ⎞ T W = ∫ ⎜ ∫ g ⋅ du ⎟ dV ⎜ ⎟ (V ) ⎝ ( u ) ⎠
u(x, y, z) u(x, y, z)
4 / 16
A külső munka Jelölés: f : összes külső koncentrált erő és nyomaték komponensei erő e : támadáspontjaiknak elmozdulásai ⎛ ⎞ T T Wkülső Wkülső = ∫ f ⋅ de + ∫ ⎜ ∫ q ⋅ du ⎟ dS + ⎜ ⎟ (e ) ( S ) ⎝ (u ) ⎠ elmozdulás
pl. statikai teher:
erő F teher
⎛ ⎞ T + ∫ ⎜ ∫ g ⋅ du ⎟ dV ⎜ ⎟ (V ) ⎝ ( u ) ⎠
Wkülső = e ⋅ F teher
e
elmoz − dulás
pl. előírt támasz- erő F mozgás:
Wkülső = 0
eteher elmoz − dulás
5 / 16
A belső munka feszültségek
belső munka
σ x ( x, y, z ),σ y (…),σ z (…)
ε x ( x, y, z ), ε y (…), ε z (…)
feszültség
τ xy ( x, y, z ),τ xz (…),τ yz (…)
σ = ⎡σ x ⎤ ⎢σ ⎥ ⎢ y⎥ ⎢σ z ⎥ ⎢ ⎥ ⎢τ xy ⎥ ⎢τ yz ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣τ zx ⎥⎦
γ xy ( x, y, z ), γ xz (…), γ yz (…)
alakváltozás
Wbelső
⎛ ⎞ T = − ∫ ⎜ ∫ σ ⋅ d ε ⎟ dV ⎜ ⎟ (V ) ⎝ ( ε ) ⎠
l=1
N A
ε
alakváltozások
σ
ε = ⎡ εx ⎤ ⎢ε ⎥ ⎢ y⎥ ⎢ εz ⎥ ⎢ ⎥ ⎢γ xy ⎥ ⎢γ yz ⎥ ⎢ ⎥ ⎣⎢γ zx ⎦⎥
6 / 16
A belső munka lineárisan rugalmas anyag esetén Wbelső
⎛ ⎞ T = − ∫ ⎜ ∫ σ (ε) ⋅ d ε ⎟ dV ⎜ ⎟ (V ) ⎝ ( ε ) ⎠ fesz.
σ1
Wbelső ε1
alakv.
Wbelső
fesz.
σ1
ε rug Wbelső
ε0
ε rug
ε1
alakv.
1 = − ∫ Eε12 dV 2 (V )
1 2 = − ∫ E ( ε1 − ε 0 ) dV 2 (V )
Wbelső 7 / 16
A belső munka gerendák esetén igénybevételek N (z )
belső munka pl. Wbelső
⎛ ⎞ = − ∫ ⎜ ∫ N ( z ) ⋅ d ε z ( z ) ⎟ dz ⎜ ⎟ (l ) ⎝ ( ε ) ⎠
alakváltozások
εz(z)
Tx(z), Ty(z)
γzx(z), γzy(z)
Mx(z), My(z)
κx(z), κy(z)
Mcs(z)
pl. Wbelső
⎛ ⎞ = − ∫ ⎜ ∫ M cs ( z ) ⋅ dκ z ( z ) ⎟ dz ⎜ ⎟ (l ) ⎝ ( κ z ) ⎠
κ z (z )
[a többi igénybevételre is analóg módon] 8 /16
2. Saját és idegen munka fogalma Elmozdulás-alakváltozás-rendszer: (e, u, ε ) Erő-feszültség-rendszer: (f , q, g, σ )
röviden „elmozdulásrendszer”
röviden „erőrendszer” mezők!!!
9 / 16
2. Saját és idegen munka fogalma Geometriai peremfeltételek: Su tartományon
u( x, y, z ) = u 0 ( x, y, z ) (adott)
Statikai peremfeltételek: Sq tartományon
σ ( x, y, z ) ⋅ n( x, y, z ) = q 0 ( x, y, z ) (adott)
S q ∩ Su = 0 S q ∪ Su = S
10 /16
2. Saját és idegen munka fogalma Geometriailag lehetséges elmozdulásrendszer:
„kompatibilis”
→ teljesülnek a geometriai peremfeltételek → teljesülnek a geometriai egyenletek
∂u x ( x, y, z ) = ε x ( x, y, z ) stb. pl. ∂x
Statikailag lehetséges erőrendszer:
„egyensúlyi”
→ teljesülnek a statikai peremfeltételek [a peremeken lévő hasábok egyensúlyban] → teljesülnek az egyensúlyi egyenletek [minden belső elemi hasáb egyensúlyban] Összetartozó erő-és elmozdulásrendszer: → teljesülnek az ANYAGEGYENLETEK σ és ε között
11 /16
2. Saját és idegen munka fogalma A tényleges erő-és elmozdulásrendszer: → az erőrendszer statikailag lehetséges; → az elmozdulásrendszer geometriailag lehetséges; → a két rendszer összetartozó [ bizonyítható: rugalmas anyagú test esetén, tetszőleges adott terhekre: legfeljebb egy ilyen erő-elmozdulás-rendszer van ]
Saját munka: az erőrendszer a vele összetartozó elmozdulásrendszeren végzi Idegen munka: a két rendszer nem tartozik össze 12 /16
3. Virtuális elmozdulásrendszer és virtuális munka A virtuális elmozdulás-alakváltozás-rendszer: (δ e, δ u, δε ) Def.: egy tetszőleges geometriailag lehetséges elmozdulásrendszernek változatlan geometriai peremfeltételek mellett képezett differenciálisan kicsiny megváltoztatása, „variációja”
z
pl. v( z )
v( z )
v( z ) + δ v( z )
δ v( z ) A virtuális elmozdulás-alakváltozásrendszer jellemzői: • geometriailag lehetséges • kicsiny ⇒ pl. a tényleges elmozdulásrendszer is, feltéve, hogy kicsi 13 / 16
3. Virtuális elmozdulásrendszer és virtuális munka A virtuális munka:
δW
a tényleges erőrendszernek (f , q, g, σ ) egy virtuális elmozdulásrendszeren (δ e, δ u, δε ) végzett munkája
δ Wkülső = f T ⋅ δ e +
∫
qT ⋅ δ u dS +
(S )
∫
gT ⋅ δ u dV
(V )
δ Wbelső = − ∫ σT ⋅ δε dV (V )
δ W = δ Wkülső + δ Wbelső IDEGEN MUNKA! 14 / 16
4. A virtuális elmozdulások tétele Tétel: Egy erőrendszer akkor és csak akkor statikailag lehetséges, ha bármely virtuális elmozdulásrendszeren végzett munkája zérus. → a vizsgált erőrendszer egyensúlyának szükséges és elégséges feltétele → ha csak egy virtuális elmozdulásrendszerre mutattuk ki, hogy δW = 0: még csak egy szükséges feltételt vizsgáltunk; elégséges feltétel: minden virtuális elmozdulásrendszerre δW = 0 → a szerkezet anyaga: mindegy! [idegen munka]
15 / 16
4. A virtuális elmozdulások tétele Alkalmazása: pl. elméleti alap más tételekhez pl. statikailag határozott tartók reakcióerőinek számítása: → adott: a szerkezet és a terhek; keressük: az egyik reakciót → választunk egy virtuális elmozdulásrendszert: a keresett reakció helyén: legyen 1 (vagy más választott érték) a többi támasznál: legyen 0 a tartó mentén: legyen merevtestszerű → felírjuk a virtuális elmozdulások tételét:
δ Wkülső + δ Wbelső = 0
⇒ a keresett reakció 9
0
16 / 16
Minimumkérdések 37. Mi a virtuális elmozdulásrendszer és a virtuális munka? Mit mond ki a virtuális elmozdulások tétele? Mire használjuk?
