MUNKA, ENERGIA, TELJESÍTMÉNY tankönyvpótlék összeállította: Basa István külön köszönet: Gizinek

1

MUNKA, ENERGIA, TELJESÍTMÉNY tankönyvpótlék összeállította: Basa István külön köszönet: Gizinek

2 MUNKA, ENERGIA, TELJESÍTMÉNY összefoglalás Az alábbiakban egy rövid (relatíve) segédanyagot közlök a jövő heti témazáróhoz. Minthogy a témánkat (munka, energia, teljesítmény) nem egészen a tankönyv logikája szerint építettük fel, ezért a külső (nem füzetből történő) készüléshez leginkább ezt az anyagot érdemes használniuk.

1.

A MUNKA

Ezt a fogalmat egészen alaposan körüljártuk a tanulmányaink során. Ha egy erő hatására egy test elmozdul, akkor azt mondjuk, hogy az erő munkát végzett a testen. A munkavégzés nagysága: W  F||  s

, ahol W a munka jele1, F|| az erőhatás s-sel párhuzamos komponense és s az az út, amit a test megtesz az elmozdulása során. Ez persze csak akkor igaz, ha az F|| nem változik mindeközben, vagyis vagy követi az út irányát (például körbekörbetologat Gizike egy szekrényt), vagy állandó irányú és nagyságú, az út pedig egyenes. Ez a párhuzamos komponens persze fifikás, valójában negatív is lehet, amennyiben az erőhatás párhuzamos komponense az elmozdulással ellentétes irányú. Ebből következik, hogy a munka mértékegysége a Nm, vagyis a Newton-méter*, amit inkább Joule-nak nevezünk, hogy megtiszteljük vele azt az angolfranciát. Amit tehát érdemes egy életre megjegyezni: A munkavégzést mindig egy erőhatáshoz kötjük. Be is írjuk az alsóindexbe, hogy melyik erőről van szó, így: WFnehézségi , meg WFkötél , meg WFrugó , esetleg WFeredő , ilyesmik. Egy erőhatás munkája: WF  F||  s . Mértékegysége: [W] = J (joule) = Nm (Newton-méter) 1.1

AMA PÁRHUZAMOS KOMPONENSEKRŐL

Bizony típusfeladat az ilyen, hogy kiszámoljuk egyes erőknek a munkáját, például egy lejtőn lecsúszó test esetén. Tekintsünk egy ilyen (röpdolgozat)-példát:

1

Tudta-e Ön…? …hogy a munka definíciójában mindegy, hogy azt írjuk, hogy W  F||  s vagy azt, hogy

W  F  s|| , vagyis az erő úttal párhuzamos komponensét szorzom az erőt szorzom az út erővel párhuzamos komponensével? Hát persze, hogy tudta, mert tanultuik.

Tecciktudni, az a fordított M betű. Teccikérteni, merthogy Munka. Egyesek szerint W, merthogy Work. De hát mit tudhatnak az igazságról ezek az angolok? Ja, hogy ők találták ki ezt az egészet. Joule. Tecciktudni, az a francia. Vagyis az egy T, mint travail. De akkor most mégsem az angolok? Egészen összezavarodtam, a feje tetején áll ez az egész. Biztos ezért a fordított M betű. Na, akkor fussunk neki mégegyszer. Joule angol volt, noha a családja tényleg Franciaországból származott. Úgy is kell ejteni, hogy Dzsúl. Az egész hülye zsúlozás csak egy randa történelmi félreértés eredménye. Ő találta ki, hogy vezessük be a munkát, és mivel angol volt, ezért azt Worknek nevezte el és duplavével (W) jelölte. Semmi travail. Persze a franciák a mai napig így mondják, ők biztos zsúloznak is olyan embereseket. Amúgy, hogy méginkább megkavarjam magukat, a fél egyetemi fizikatanszék következetesen L-lel jelöli a munkát. Na, erre varrjanak gombot. * Vicces kedvű diákok figyelmébe: ez nem valami kretén műszer, ami Newtonokat mér.

3 Példa: Egy α szögű lejtőn csúszik le egy test, a csúszási súrlódási együttható μ. A test tömege m, a csúszás során s utat tesz meg. Milyen erők hatnak rá? Mennyi ezen erők munkavégzése? Megoldás: Hát ez így nagyon kretén módon hangzik, meg is rémüldözünk tőle, hogy mennyi itt az ismeretlen. Ezért inkább oldjuk meg úgy először a feladatot, hogy adunk konkrét adatokat is: α = 45º, csak azért, mert órán mindig 30 volt. μ = 0,2, legyen jó csúszós. m = 50kg, merthogy Gizikéről van szó. s = 10m. Nézzünk most egy feltűnően szép ábrát: Gizikére három erő hat: 1. A nehézségi erő lefelé (mg); 2. A nyomóerő a lejtőre merőlegesen (FN); 3. Valamint a súrlódási erő a lejtővel párhuzamosan, az elmozdulással ellentétes irányban. Ebből három dolog ránézésre következik: 1. A nehézségi erőnek csak a lejtővel párhuzamos komponense végez munkát (ez a definíció miatt van így), ezt a rajzon mgp-vel jelöltük. 2. A nyomóerőnek nincs az elmozdulással párhuzamos komponense, hiszen arra merőleg. Ezért az ő munkavégzése biztosan 0. 3. A súrlódási erő munkája biztos, hogy negatív. Ő egyébként tökpárhuzamos az elmozdulással. Mindig. A súrlódási erő már csak ilyen, az mindig végez munkát. A feladat megoldásához meg kell határoznunk tehát a megfelelő komponenseket: mg 50   35,46 N , tessék megnézni, hogy az ott 2 1,41 egy négyzet oldala, aminek ismerem az átlóját. Amennyiben a szög nem ismert, úgy ez mg  sin  lesz.

1. A nehézségi erő lejtővel párhuzamos komponense

A nehézségi erő munkája tehát: Wmg  F||  s  35,46  10  354,6 J . 2. A nyomóerő ugyan nem végez munkát, de a súrlódási erő kiszámításához szükségünk lesz a nagyságára. A nagysága éppen a nehézségi erő merőleges komponense (mgm a rajzon), ami kivételesen mg  35,46 N , de csak azért, mert balga módon 45°-ot adtam meg, mea maxima culpa, nem most is 2 voltam eléggé didaktikus, nehogy azt merjék hinni, hogy a két komponens mindig egyenlő. Ez általában mg  cos  , tessék megcsinálni egy általánosabb esetben, amikor a rajzon nem pont 45°, sőt, nem is valami ismert szög szerepel. (Ezt tekinthetik 1 pontos szorgalmi feladatnak.)

4 3. A súrlódási erő nagysága: Fs    Fn  0,1  35,46  3,546 N . Mivel ellentétes irányú az elmozdulással, a munkája tehát negatív: WFs  F||  s  3,546  10  35,46 J . Tessék megnézni, hogy már az elején kitettem a negatív előjelet, hiszen az erőhatás tulajdonképpen (ha az elmozdulást tekintem pozitív iránynak) negatív. A feladatot megoldottuk, ilyesmi feladatokra tessenek számítani a dolgozatban is. Amit egy életre érdemes megjegyezni: A feladatok megoldásánál minden erőt és a munkájukat külön-külön felírunk. A munkavégzések összege az eredő erő által végzett munka lesz, ha nem ezt kapjuk, akkor valamit csúnyán elszámoltunk. Az elmozdulásra merőleges erők által végzett munka mindig 0. Az elmozdulással párhuzamos komponensek nem feltétlenül vízszintesek, csak ha az elmozdulás is az. Az elmozdulással ellentétes irányú erők munkája mindig negatív.

2.

AMIKOR AZ ERŐ GYORSÍT

Tudta-e Ön…? …hogy van olyan, amikor a súrlódási erő pozitív munkát végez. Például akkor, amikor egy vonatot felgyorsítunk és a vonatra rárakott rakomány is ezzel együtt gyorsul. Ez azért van, mert a rakományra hat a tapadási súrlódási erő, ennek iránya pedig az elmozdulással egyező irányú. Ha a vonat nagyon gyorsan gyorsul, és a rakomány egy kicsit meg is csúszik, de kívülről nézve még mindig a vonattal egyező irányba halad, a súrlódási erő munkája akkor is pozitív. Hasonlóan a közegellenállási erő munkája is felvehet pozitív és negatív értéket egyaránt. Például ha egy ejtőernyőst tekintünk, az ő elmozdulásával ellentétes a közegellenállási erő (naná, hiszen lassítja, ez a cél), akkor a munkája negatív. Egy vitorlás viszont éppen a közegellenállási erőt használja fel, hogy haladjon, így az ő esetében az erő munkája pozitív lesz. Kapcsolódó szóvicc:

Ha egy erő hatására egy test mozgásállapota megváltozik (gyorsabb vagy lassabb lesz), akkor azt mondjuk, hogy az erő gyorsította a testet, ilyenkor beszélünk gyorsítási munkáról.2 A fantasztikus dolog ebben az, hogy a munkavégzés és a sebességváltozás között felírható egy egyértelmű kapcsolat, ami sem a megtett út hosszától, sem az eltelt időtől nem függ. Ennek az összefüggésnek a bizonyítását nem kell tudniuk (a füzetükben szerepel, amúgy), de azért itt levezetjük. 2.1.

A GYORSÍTÁSI MUNKA (MATEMATIKAI LEVEZETÉS)

Hasson egyetlen erő a testre, ennek az elmozdulással párhuzamos komponense legyen F. Az elmozdulás pedig legyen s. Az erőnek a testen végzett munkája tehát: WF = F·s. Ugyanakkor Newton első törvényéből ismert, hogy F  m  a , ahol m a test tömege, a pedig az állandó gyorsulása. Az előző egyenlet tehát módosítható:

WF  m  a  s Korábbi tanulmányainkból ismerjük, hogy az állandó gyorsulás valójában a sebességváltozás és az idő v v2  v1  hányadosa: a  , ahol v2 a végső állapot-beli sebesség, v1 pedig a kezdeti sebesség. Továbbá t t v  v2 az s út is felírható a kezdeti és a végsebesség segítségével: s  1  t , ha nem hiszik, rajzoljanak v – t 2 2

Akkor is, ha valójában lassította. Csak akkor negatív gyorsításról beszélünk, éljen soká a kreténül absztrakt gondolkodásmód.

5 grafikont, de ezt is kellett, hogy tanulják régebben. (Nem fogunk ám itt minden lépést levezetni, mert akkor húsvétkor is ezt fogják olvasgatni…) Az előző egyenlet tehát tovább alakítható: WF  m  a  s  m 

v2  v1 v1  v2 v v 1 1 1 2 2   t  m  v2  v1   1 2  m  v2  v1   v2  v1   m  v2  m  v1 . t 2 2 2 2 2

Ez csupán matematikai levezetés volt, ha bármelyik képletben elbizonytalanodtak, tessék átnézni az ötödikes meg a hatodikos matekfüzetüket. 2.2.

A GYORSÍTÁSI MUNKA, A MUNKA-TÉTEL

Kimondható tehát, hogy ha egy erő hatására egy test gyorsul, akkor a gyorsítási munka és a test mozgásállapotai (kezdeti és végsebessége) között ez a kapcsolat áll fenn: 1 1 2 2 WF  m  v2  m  v1 2 2

Mi már persze tudjuk, hogy ezt a tételt neveztük később Munka-tételnek és remekül alkalmazható volt akkor, amikor nehezen vizsgálható erőhatások (súrlódási erő például) is közreműködtek. Abban az esetben, ha egy testre több erő hat, valójában az eredő erő fog gyorsítási munkát végezni. Amennyiben az eredő erő munkája nulla, a test kezdeti és végsebessége ugyanaz lesz. (Hiszen a fenti különbség 0.) Legfeljebb az iránya változik. Amúgy az a rajz a macival meg a pipás-szakállas farmerrel egy nagyon pipec rajzfilmből van, szerintem tök nosztalgikus. 2.3.

KÖVETKEZMÉNYEK A gyorsítási munka jellegéből jópár dolog következik. Vegyünk egy egyszerű példát, aminek – hogyhogynem – Gizi a szereplője. (Igen, ő itt Gizi, a képen, gondolták volna?) Gizi biciklivel együtt 50kg, mint általában. Vizsgáljuk meg, mekkora munkavégzés szükséges ahhoz, hogy álló m helyzetből 3 sebességre gyorsítsa fel magát! Az előző tételünk s szerint:

1 1 1 1 1 2 2 W  m  v2  m  v1  50  32  50  02  50  32  225J . 2 2 2 2 2

Akkor most bonyolítsuk tovább ezt a feladatot: Gizi mindezt egy 500 méteres útszakaszon, 12,47 másodperc alatt szeretné elérni. Ezúttal tehát mekkora munkavégzés szükséges? Felhasználva ezeket az adatokat: 1 1 1 1 1 2 2 W  m  v2  m  v1  50  32  50  02  50  32  225J . 2 2 2 2 2

6 Most pedig eldurran az agyunk! Gizikéről tudjuk, hogy 1,2Bq radioaktív aktivitással rendelkezik, a külső m hőmérséklet pedig 21,305ºC. A fénysebesség mértéke c = 299 792 458 , István kedvenc színe a s narancssárga és szerda van. Mennyi lesz most a munkavégzés mértéke? Felhasználva az ismert adatokat: 1 1 1 1 1 2 2 W  m  v2  m  v1  50  32  50  02  50  32  225J . 2 2 2 2 2

Döbbenetes, hogy mennyi mindent ki tudunk már számolni, nem? Azt viszont érdemes megnézni, hogy mekkora munkavégzés szükséges ahhoz, hogy a mostani, 3 sebességéről további 3

m -os s

m m -mal, 6 -ra gyorsuljon: s s

1 1 1 1 2 2 W  m  v2  m  v1  50  62  50  32  900  225  675J , 2 2 2 2

ez többszöröse az előző munkavégzésnek! Ebből tehát az következik, hogy minél nagyobb sebességekről van szó, annál több munkavégzés szükséges a további gyorsításokhoz. Ez nyilvánvaló a négyzetes összefüggés miatt (egy parabola ugyanolyan vízszintes távolságra lévő pontjai nem ugyanolyan függőleges távolságba vannak). Az ember érzi is ezt, tessék csak felülni a biciklire és megpróbálni nagy sebességnél tovább gyorsulni, hát nehéz és fárasztó lesz. Amit tehát egy életre tessenek megjegyezni:

Tudta-e Ön…? …hogy azért ez nem ennyire egyszerű. Az emberi szervezet működése izomrostok bonyolult, összetett működéséből áll többek között, amit nem lehet ilyen egyszerűen leírni. A biológiai munkavégzés és a fizikai munkavégzés két különböző dolog. Természetesen az izomrostok is végeznek munkát, de ez nem egyszerűsíthető le egyetlen (vagy néhány) erő által történő egyszerű elmozdulások összességére, ráadásul itt még kémiai folyamatok is történnek.

Ha egyetlen erőhatás (a testre ható összes erő eredője) gyorsít (vagy lassít) egy testet, akkor az erőhatás 1 1 2 2 által végzett munka és a test sebességváltozása között fennáll, hogy: WF  m  v2  m  v1 . Ezt a tételt 2 2 szokás Munkatételnek is nevezni. A munkát ekkor gyorsítási munkának is nevezzük. A gyorsítási munka csak a végső és a kezdeti sebességtől függ, az úttól, az időtől és egyéb tényezőktől nem.

3.

SPECIÁLIS GYORSÍTÁSI MUNKÁK

Van két olyan erő, ami munkavégzés szempontjából kiemelt szerepet kap. Ez a nehézségi erő és a rugalmas erő. A fejezet végén azt is elárulom, miért pont ez a kettő. 3.1.

A NEHÉZSÉGI ERŐ MUNKÁJA ÉS A HELYZETI ENERGIA VÁLTOZÁSA Az első speciális erőnk a nehézségi erő. Nézzük meg, hogy mekkora munkát végez mondjuk egy leejtett testen, miközben arra semmilyen más erő nem hat! A test h mélyre zuhan, miközben a nehézségi erő folyamatosan mg. A nehézségi erő munkája tehát: WFneh  mgh . Ha a felső magasságot elnevezzük h1-nek, az alsó magasságot pedig h2-nek, akkor h felírható, mint a két magasság különbsége: h = h1 – h2, vagyis a munkavégzés: WFneh  mgh1  mgh2 . Mi történik akkor, ha a test nem zuhan, hanem egy lejtőn csúszik lefelé? A válasz, hogy a nehézségi munka ekkor is ennyi lesz! Ha elhiszik, akkor az csodás, de nem árt egy kis

7 kritikai szemlélet, szóval nézzük meg, tényleg így van-e: (figyelem, ez egy szorgalmi feladat volt, most már aztán be ne tessék adni)

A testre persze ezúttal nem csak a nehézségi erő hat, hanem a nyomóerő is, de hálistennek az nem gyorsít, hiszen merőleges lesz az elmozdulásra. Igen, így van, tessék csak berajzolni majd hevesen bólogatni.

α

α

α

A nehézségi erőnek csak a lejtővel párhuzamos komponense végez munkát, ez pedig mg·sinα. Az általa végzett munka: W  mg sin   s  mg  s  sin  . És most tessék megnézni a rajzon, hogy az s  sin  éppen a h magasság, ami a kezdeti és a végső magasság között található!

Ismét elmondható tehát (a korábbi jelölésekkel), hogy WFneh  mgh1  mgh2 . Ez most aztán annyira jó, hogy örvendünk, vígadunk és tovább is gondoljuk az egészet. De hogy ne unatkozzanak, jöjjön egy kis filmtörténeti érdekesség: Tudta-e Ön…? …hogy Japánban igen nagy hagyománya van a radioaktív-óriásmutáns-szörnyfilmeknek. A legelső a mindenki által jól ismert Gojira (vagyis Godzilla) valójában nem egy öncélú Roland Emmerich-förmedvény, hanem egy igen erős kivetítése a Hirosima és Nagaszaki elleni atomtámadásnak és az újabb atomtámadástól való félelemnek. Az összes radioaktív-óriás-mutáns-szörnyfilm Japánban utal erre az érzésre. Külön érdekesség, hogy az egyik szörnyük azonban – az óriásteknős Gamera – túlnőtt ezen a szerepen és igen népszerűvé vált – a későbbi adaptációkban a Föld őrzőjeként szerepel. Ezt a fajta kivetítést Holywood először a Cloverfield című áldokumentum-horrorban mutatta fel, aholis a szeptember 11-i terrortámadás után kialakult pánikra és félelemre reflektáltak a semmiből megjelenő, ismeretlen, a várost leromboló csapás megjelenítésével. Így hát a japán Gojira megfelelője nem a társadalom-számkivetett King Kong, hanem a Cloverfield szörnye.

3.2.

A HELYZETI ENERGIA

Megállapítottuk tehát, hogy a nehézségi erő munkája: WFneh  mgh1  mgh2 . Ugyanakkor tudjuk, hogy kapcsolat van a nehézségi erő munkája és a test sebességváltozása között: 1 1 2 2 WFneh  mgh1  mgh2  mv2  mv1 . 2 2

Rendezzük át ezt az egyenletet úgy, hogy az egyik oldalon szerepeljenek a kezdeti állapot adataival kapcsolatban lévő mennyiségek, a másik oldalon pedig a végállapot adataival kapcsolatban lévő mennyiségek: 1 1 2 2 mgh1  mv1  mgh2  mv2 2 2

8 Vizsgáljuk meg ezt az egyenletet! Azt kaptuk, hogy van egy misztikus jellegű összeg, aminek két tagjában szerepel az adott állapotban lévő magasság és az adott állapotban lévő sebesség, és ez az összeg bármely 1 két állapotban ugyanaz, tehát állandó. Tehát: mgh  mv2  állandó 2 Ennek a misztikus összegnek a két tagját nevezzük el: 1 mgh  mv2  állandó 2

Helyzeti energia

Mozgási (kinetikus) energia

1 2 mv tag lesz az 2 adott pillanatban lévő mozgási energia. A kettő összege tehát megmarad, ezt használtuk ki sok-sok feladat megoldásánál. Az mgh tagot a test adott pillanatában lévő helyzeti energiájának fogjuk nevezni, míg az

Most jön valami fontos dolog, amit meg kellene értenünk: A nehézségi erő munkája WFneh  mgh1  mgh2 . Ez olyan, mintha lenne a testnek minden állapotában egy mgh -tulajdonsága, és a nehézségi erő munkája valójában ennek a tulajdonságnak a megváltozását jelentené. Nos, ezt a tulajdonságot neveztük mi helyzeti energiának, és valóban: a nehézségi erő munkája a helyzeti energia megváltozását okozza. (Amellett, hogy ugyanekkora mértékben, csak ellentétes irányban változtatja meg a másik tulajdonságot, a mozgási energiát is.)

3.3.

VÁLTOZÓ ERŐ MUNKÁJA, A RUGÓERŐ MUNKÁJA

Kicsit nehezebb a dolgunk, ha változó erő munkáját akarjuk kifejezni. Ehhez egy trükkös módszerhez folyamodunk: tekintsünk egy olyan diagramot, ahol a megtett út függvényében ábrázoljuk a testre éppen ható eredő erőt! Ez lesz az F – s diagram. Íme egy ilyen: Ha az erő nem változik és az elmozdulás irányába hat, akkor az útszakaszon végig konstans függvényt kapunk. A mi esetünkben ez az 5 méteres úton mindenhol 2N. A munkavégzés F·s, ami az ábrán tulajdonképpen a függvénygörbe3 alatti terület. Ha véletlenül rájönnének, hogy ilyesmit tanultak a v – t grafikonnal meg az úttal kinetikából, akkor ne lepődjenek meg. Előfordulhat azonban, hogy az erő az út során változik, neadjisten pont magával az úttal van összefüggésben. Ilyen például a rugóerő esete, ami ugy –Dx, ahol D a rugóállandó, x pedig az egyensúlyi állapothoz képest való megnyúlás. Ó, és persze a rugóerő mindig pont nem arra mutat, amerre nyúzom a rugót. Az ilyen erőket is ábrázolhatjuk F – s diagramon. A rugóerő például így fog kinézni, mint ez itt jobbra. A pozitív irány most az lesz, ami a rugó kifelé nyújtásának iránya, tehát ha összenyomjuk a rugót (negatív oldal), 3

Milyen hülyeség már görbének nevezni valamit, ami egyenes, nem?

9 akkor az pozitív irányú lesz, ha pedig széthúzzuk (pozitív), akkor negatív irányú. Ha tehát a rugó mondjuk x1-ből x2-be tol egy testet, akkor negatív munkát végez, hiszen az erőhatás az elmozdulással ellentétes irányú, valójában ez éppen az a szakasz, amikor lassul a test. A végzett munka ekkor az x1 és x2 pontokkal határolt derékszögű trapéz területe, és figyelem, ez egy negatív érték lesz. A trapéz területe, ezt azért illik tudni, a két alap átlaga szorozva a trapéz magasságával. A trapéz magassága x2 – x1, a két alap pedig Dx1 és Dx2. A végzett munka tehát: WFrugó  

Dx1  Dx2 Dx  Dx2 1 1 1 2 2  ( x2  x1 )  1  ( x1  x2 )  D( x1  x2 )( x1  x2 )  Dx1  Dx2 . 2 2 2 2 2

Na most ez megintcsak matematika volt, semmi trükk meg csalás meg urigeller nincs benne, mukodik anélkül is. Annyit hallgattam csak el, hogy ez persze a negatív esetben is így van, naná, tessék csak kiszámolni, sőt, negatívból pozitívba ménve is, csak akkor figyeljenek arra, hogy a munkavégzés egy idő után negatív, tehát akár összesen 0 is lehet! (És persze, olyankor nem is változik a mozgásállapot.) Ez a rugalmas erő szintén a rugóra akasztott testet gyorsítja voltaképpen, ami klassz dolog, hiszen akkor felírható a gyorsítási munkáról tanultak alapján, hogy: 1 1 1 1 2 2 2 2 Dx1  Dx2  mv2  mv1 2 2 2 2

Hát ez remek, ezt is átalakíthatjuk, így:

1 1 1 1 2 2 2 2 Dx1  mv1  Dx2  mv2 2 2 2 2 Ami megintcsak egy megmaradási törvény, nagyon hasonlatos az előzőhöz. Ez alapján a testnek, ha rugóerő is hat, van egy olyan tulajdonsága, ami a rugó megnyúlásával van kapcsolatban, ezt nevezzük el tehát rugalmas energiának. 3.4.

AMIKOR A NEHÉZSÉGI ERŐ ÉS A RUGALMAS ERŐ TALÁLKOZNAK

Ha egy test egy függőleges rugón rezeg, tehát a nehézségi erő is végez munkát rajta és a rugóerő is, akkor mindkét munkavégzés hozzájárul a mozgási energia megváltoztatásához. A nehézségi erő munkájáról tudjuk, hogy WFneh  mgh1  mgh2 , a rugalmas erő 1 1 2 2 Dx1  Dx2 . A két erő együttes 2 2 munkája ezen munkák összege, ez fog gyorsítani. Tehát:

munkája pedig WFrugó 

Tudta-e ön… …hogy körülbelül három óra aktív és szorgos munka után szükségem van húsz-huszonöt perc úgynevezett „agyégetésre”, ami során eszek és eközben vagy megnézek egy Jóbarátok-részt, vagy játszok valami ostoba és egyszerű játékkal, mint például a Jedi academy. Most ez utóbbi fog következni.

1 1 1 1 2 2 2 2 mgh1  mgh2  Dx1  Dx2  mv2  mv1 (1) 2 2 2 2

(Az a kis (1) ott mellette azt jelenti, hogy ez egy fontos egyenlet és úgy fogok rá később hivatkozni, hogy (1). Nagyon tudományosak vagyunk már, bizony.) Hát alakítsuk át ezt az egyenletet is úgy, hogy a baloldalon az 1. állapothoz tartozó tulajdonságok, a jobboldalon a 2. állapothoz tartozók legyenek: 1 1 1 1 2 2 2 2 mgh1  Dx1  mv1  mgh2  Dx2  mv2 (2) 2 2 2 2

10 Ezzel tehát azt kaptuk, hogy ha egy folyamatban csak a nehézségi erő és a rugóerő végez munkát, akkor a folyamat tetszőleges pillanatában a helyzeti energia, a rugalmas energia és a mozgási energia összege ugyanaz, mint egy másik tetszőleges pillanatban. Ez a mechanikai energiamegmaradás törvénye. Mielőtt a törvénynek megnéznénk egy-két konkrét alkalmazását, tennék itt két fontos megjegyzést. 3.5.

AKKOR MOST A MUNKA AZ VALÓJÁBAN ENERGIA?

Nem. Egy életre jegyezzék meg, hogy: A munkavégzés valójában energiamegváltozást jelent. A dolog fordítva is igaz: ahhoz, hogy megváltoztassuk egy test energiáját, munkát kell végeznünk. A helyzeti energiát megváltoztatni úgy tudom, hogy felemelem a testet: munkát végzek a nehézségi erő ellenében. A rugalmas energiát úgy tudom megváltoztatni, hogy széthúzom a testet: munkát végzék a rugóerő ellenében. Ezek a munkavégzések mind-mind a test egy speciális energiáját változtatják meg. 3.6.

A HELYZETI ENERGIÁBAN MOST AKKOR MIK A MAGASSÁGOK?

A helyzeti energiák különbségekor tulajdonképpen csak a magasságkülönbségekkel számolunk, vagyis tulajdonképpen mindegy, hogy mekkorának tekintjük az egyik magasságot, ha a másik magasságtól való különbsége adott. Ez tehát azt jelenti, hogy (és ezt egy életre jegyezzék meg): A helyzeti energiának mindig megválaszthatjuk valamelyik, praktikusan a 0 szintjét. Azt, ahol a magasságot 0-nak tekintjük. Ott, ahol akarjuk. Minden más magasságot ehhez a szinthez viszonyítunk. Energiatételes feladat megoldásakor ez mindig az első lépés legyen. Ha a föld középpontjában, akkor egészségünkre, tessék számolni a hatezerkilométerekkel, bánomisén. A 0 szinthez viszonyítva határozzuk meg a többi helyzethez tartozó magasságokat. Ezek akár negatívak is lehetnek, ilyenkor a helyzeti energia is természetesen negatív lesz a 0 szinthez képest. 3.7.

MIK AZOK A POTENCIÁLIS ENERGIÁK?

A rugalmas és a helyzeti energiát együtt potenciális energiának nevezzük. Ebben semmi csúf gondolat nincs, azért ez a nevük, mert egy magára hagyott test (csak a mechanikai erők végeznek rajta munkát) amennyi potenciális energiával rendelkezik összesen (a helyzeti és a rugalmas energia összege), annyival tudja a mozgási energiáját megváltoztatni. Potenciálisan tehát ennyi mozgásállapot-változásra képes. Ha például magasabbra emelek az asztal fölé egy golyót, azzal potenciálisan megadom neki a lehetőséget, hogy gyorsabb legyen, mintha alacsonyabban tartanám. Naná, ha elejtem, nagyobb is lesz az asztallal való ütközéskor a sebessége. Hasonlóképpen ha összenyomok egy rugót, akkor potenciálisan megadom neki a lehetőséget, hogy a mellé helyezett golyó ennek megfelelő mozgási energiával rendelkezzen. Majd, később, amikor már a rugót elengedtem és a test teljesen felgyorsult. 3.8.

MIKOR IGAZ A MECHANIKAI ENERGIAMEGMARADÁS TÖRVÉNYE?

A tankönyvükben erre egy nagyon praktikus válasz van: akkor, amikor csak mechanikai erők végeznek munkát. Mechanikai erőnek pedig a tankönyv kizárólag a rugóerőt és a nehézségi erőt tekinti mechanikai erőnek, ezzel tulajdonképpen azt fogalmazva meg, amit én fentebb: ha csak ez a két erő végez munkát, akkor igaz az energiamegmaradás tétele.

11 Tudta-e ön… …hogy korábbi tankönyvek használták (én ezidáig kikerültem, bár lehet, hogy részemről ez nem volt túl szerencsés) a konzervatív erő fogalmát. Mielőtt pártszimpátiától függően fel- avagy leháborodnának ezen, ennek a rajzzal ellentétben semmi köze sincs Apponyi Györgyhöz. Az alapgondolat az – és korábban ígértem, hogy erre még visszatérek –, hogy a nehézségi erő és a rugalmas erő azért különleges, mert az általuk végzett munka nem függ a konkrét úttól, ami az egyik állapotból a másikba juttatta a testet, hanem csak a kezdeti– és a végállapottól. Az ilyen erőket hívjuk konzervatív erőknek, és azokat az eseteket, amikor csak ezek az erők hatnak, akkor beszélünk konzervatív erőtérről. (Persze, hathatnak még kényszererők, mint például a nyomóerő, de ez ismételten nem fog továbbra sem munkát végezni.) A mechanikai energiamegmaradás tehát konzervatív erőtérben lesz igaz.

4.

A MECHANIKAI ENERGIAMEGMARADÁS TÉTELÉNEK FELHASZNÁLÁSA

Alább következzék ama négy híres feladat, amit korábban már megoldottak. Mindegyik feladat megoldásának a végére tenni fogok egy ♣ jelet4. A feladatok megoldása gyors lesz, igazából csak azért, mert ezt már úgyis nagyon-nagyon átbeszéltük együtt. 1. Egy önjáró darura egy G súlyú terhet függesztenek egy d hosszúságú drótkötél segítségével. A daru a rajta függő teherrel együtt v0 állandó sebességgel halad. A daru egy ütközőnek ütközve megáll, míg a teher kilendül. Készítsen vázlatot! Mekkora volt a daru kezdeti sebessége, ha a kilendülés szöge 60° és d = 5 m? MEGOLDÁS: A teher v0 sebességgel halad, amíg a kocsi az ütközőnél meg nem áll. Ekkor a teher ezzel a kezdeti v0 kezdősebességgel kilendül (1), majd a körív legmagasabb pontján megáll (2). 1 2 Az (1) állapotban az energiája mv0 , a (2) állapotban mgh. Mivel a bezárt szög 60º, a 2 magasság (a szabályos háromszög miatt) ennek fele: h = 2,5 m. Felírva az energiatételt: 1 2 mv0 = mgh, m-mel egyszerűsítve és átrendezve: v = 2

2 gh = 7,07

m .♣ s

2. Egy D = 50 N/m rugóállandójú, elhanyagolható tömegű rugón van egy elhanyagolható tömegű vízszintes lap. A lapra 1 m magasból egy M = 20 dkg tömegű gyurma ráesik és odaragad. Mennyire nyomódik össze a rugó? MEGOLDÁS: Válasszuk 0 szintnek a legalacsonyabb pontot a mozgás során. A golyónak először csak helyzeti energiája van, ez alakul át rugalmas energiává. A rugó kezdetben nyújtatlan, hiszen saját tömege és a vízszintes lap tömege elhanyagolható. Ha a rugó összenyomódása x, akkor a golyó összesen 1 + x méterrel került lejjebb. Az energiatétel alapján: 1 mg(1 + x) = Dx2 , vagyis 2 2(1 + x) = 25x2, ami átrendezve x-re egy másodfokú egyenlet: 25x2 – 2x – 2 = 0. Ezt megoldva: x1 = 0,33, x2 = – 0,25. ♣

4

Ezt egy olyan tankönyvből lestem el, amiben ilyesmik szerepeltek a bizonyítások végén. Soha nem értettem a bizonyításokat és ♣♥♠♦!-ra idegesített ez a jel. Legyenek megértőek.

12 3. Tarzan egy faágon ül. Megfeszít egy 10 méter hosszú liánt vízszintesen, majd a liánt fogva, kezdősebesség nélkül elindul a fáról. Mekkora lesz a sebessége körívének legalsó pontján? Mekkora erővel tartja ezen a ponton magát Tarzan? Tarzan tömege 80 kg. (Tarzant tekintsük pontszerűnek.) MEGOLDÁS: Válasszuk 0 szintnek a körív legalacsonyabb pontját. Az (1) állapotban Tarzan sebessége 0, helyzeti energiája mgh. A (2) állapotban helyzeti energiája 0, a 1 m mozgási energiája mv2 . Az energiatétel alapján v = 2 gh  200  14,1 . s 2 v2 m Ez Tarzan kerületi sebessége, ebből kiszámítható a centripetális gyorsulás: acp   20 2 . r s m Felírva a mozgásegyenletet: Fk  Fneh  80kg  20 2 . Mivel Fneh = 800 N, ebből Fk = 2400 N, tehát saját s súlyának háromszorosa. ♣

4. Az ábrán látható m tömegű kiskocsi állandó v sebességgel nekiütközik a szintén m tömegű, álló kiskocsira, amit egy D rugóállandójú rugóval függesztettünk fel. A rugó kezdetben éppen nyújtalan állapotban van, nyújtatlan hossza l0. Az ütközés után az első kiskocsi megáll, a második ugyanekkora sebességgel elindul. Mekkora távolságra jut el a meglökött kiskocsi? Az adatok: m = 50 dkg D = 50 N/m l0 = 25 cm v = 1 m/s MEGOLDÁS: A helyzeti energia végig állandó, válasszuk ezt 0 szintnek. A kiskocsi sebessége az (1) állapotban v, a rugalmas energia 0, hiszen a rugó nyújtatlan. A végállapotban (2) mozgási energia nincs, a rugalmas 1 energia Dx2 . Az energiatételt felírva: 2 1 2 1 2 mv = Dx . 2-vel beszorozva és átrendezve: 2 2 m 0,5  1  0,1 m = 10 cm. ♣ x = v D 50

Hát ez remek volt, jó mulatság, férfimunka, mondhatni – no persze ne legyünk ennyire diszkriminatívak. Ezt bizony még Gizi se vette volna könnyen, pedig stram lány, ha eddig nem tetszettek volna tudni, itt van róla egy másik kép, eléggé meggyőző: Most pedig tovább is lépünk és beszélünk néhány mondatot a munkatételről.

13

5.

A MUNKATÉTEL

Lényegében már ismerjük is, sőt, már azt is elárultam, hogy ez az. Arról van szó, hogy ha nem csak mechanikai erők végeznek munkát (aki elolvasta a korábbiakat, az tudja, hogy konzervatív erőkről beszélek, amikor mechanikait mondok), hanem például súrlódási erő vagy közegellenállási erő is, esetleg én-erő 5 akkor nem igaz az energiatétel. Ellenben továbbra is elmondható az, hogy ha egy testre erők hatnak, akkor az erők eredője által végzett munka, ami valójában az egyes erők által végzett munkák összege, egyenlő lesz a test mozgási energiájának megváltozásával. Na, ha ennek a mondatnak mégegyszer nekifutunk, akkor meg is van a munkatétel, amit természetesen egy életre megjegyeznek. Pontszerű testen végzett összes munka előjeles összege egyenlő a test mozgási energiájának megváltozásával: 1 1 2 2 W  Em  mv2  mv1 2 2 Fontos látnunk, hogy ha csak a mechanikai erők végeznek munkát, akkor ez ugyanaz, mint a mechanikai energiamegmaradás törvényének (1) alakja. (Ugye mondtam, hogy így fogok rájuk utalni.) Igazából ez az energiamegmaradás tételének egy sokkal általánosabb alakja. Amennyiben van súrlódás, úgy nem elég az eddig tárgyalt munkavégzéseket felírni, hanem a súrlódási erő munkáját is fel kell. Sajnos a súrlódási erővel nem tudunk olyan könnyedén számolni, mint a nehézségivel meg a rugóerővel, ugyanis a súrlódási erő munkája függ attól, hogy milyen úton történt a munkavégzés. Ugye nem mindegy, hogy Gizi a szekrényt nyílegyenesen betolja a helyére, vagy előtte még eltolja a szomszéd szobába és vissza. Amit tehát egy életre jegyezzenek meg: Az olyan feladatok és problémák megoldásánál, amikor nem csak a nehézségi erő vagy rugóerő végeznek munkát, a munkatételt használjuk. A munkatétel felírásakor az egyik oldalon az összes létező erő munkáját összegezzük, a másik oldalon pedig a mozgási energiák különbsége szerepel a végső és a kezdeti állapotban. A mechanikai erőknek a munkáját könnyű kiszámítani, erre vannak képletek, de a súrlódási vagy a közegellenállási erők munkájához már ismerni kell a megtett utakat is. 5.1.

PÉLDA A MUNKATÉTEL ALKALMAZÁSÁRA

Ezt a feladatot ugyan megcsináltuk órán, de inkább a korábban tanultakat használtuk fel benne, nem pedig a munkatételt. Most csak a munkatételt és az ebben a tankönyvpótlékban leírtakat fogjuk felhasználni, tessék megnézni, milyen pofonegyszerű lesz:

5

Szó sincs itt semmiféle Müller Péterről. Ellenben ha majd tanulnak pszichológiát, akkor rá fognak jönni, hogy Erik Erikson fejlődéslélektanából mekkora jó platform-játékot lehetne készíteni. Én-erő alatt azt értem, amikor kifejtek valamekkora erőt, hogy egy testet például felemeljek.

14 FELADAT: Gizike ismét szánkózik, odakint azonban süt a nap, hó egy szál se. A dombtetőről elindulva meglöki magát 1 m/s kezdősebességgel. A domb dőlésszöge 30o-os, a fű és a szánkó közötti csúszási súrlódási együttható 0,7. Mennyi utat tesz meg Gizike a domboldalon, mire megáll? MEGOLDÁS: Tessék megnézni ezt a szép ábrát ott a szélen. Ott áll a pontszerű test, most már tényleg egészen pontszerűnek rajzoltam, az a karika körülötte csak jelzi, hogy hé, itt vagyok. A kicsi kékről van szó s középütt. A nehézségi erő munkája a helyzeti energia megváltozásával egyenlő: Wmg = mgh, ahol h = a 2 30o miatt. (Szabályos háromszög alapjának fele.) Egyébként természetesen s  sin  lenne. A súrlódási erő munkája: Fs  0,7  Fny  0,7 

3 3 mg  s mg , tehát WFs  0,7  2 2

A mozgási energia megváltozása:

1 1 m  02  m  12 2 2

A munkatételt felírva tehát: 1 3 1 mgs  0,7  mg  s   m . m-mel egyszerűsíthetünk, hát kész szerencse, merthogy ezúttal nem 2 2 2 mondtam meg, hogy Gizike 50 kiló. Átrendezve az egyenletet végül:

s = 0,47 m, vagyis Gizike mindössze 47 centit tud így szánkózni.♣

6.

TELJESÍTMÉNY

E fogalom egyáltalán nem új a számunkra, korábban már találkoztak vele. A teljesítmény tulajdonképpen azt fejezi ki, hogy egy gép (mint például én) mekkora munkát végez időegység alatt. A mikrohullámú sütőnél is ezt közli az az 1000W gomb ott a tetején, de ott valójában energiaközlésről van szó, ami hőmérsékletnövekedéssel jár. Persze, a munkavégzés valójában energiamegváltozást jelent, szóval ez egyáltalán nem olyan misztikus dolog. Ezt amúgy még nem kell tudniuk, elég, ha csak hallanak róla, mint például most és máris mindenki boldog. A teljesítmény jele P és az időegység alatt végzett munkával egyezik meg. Tehát: P

W t

Ebből persze egyből rájöhetünk a mértékegységére. Mivel a munka mértékegysége a J, az időé pedig a s: J m2 [ P]   kg 3  W ( watt ) * s s *

Ez a watt egy vicces mértékegység lesz, mert hajlamos az ember összekeverni a munka jelével. De ebből ugyanúgy ki fogunk nőni, mint ahogy kinőttünk abból, hogy az idő mértékegységét összekeverjük az út jelével, vagy a hosszúságét a tömegével.

15

6.1.

ÁTLAGOS TELJESÍTMÉNY ÉS PILLANATNYI TELJESÍTMÉNY

A fent megfogalmazott teljesítmény valójában az átlagos teljesítmény fogalma. Abban az esetben, ha a munkavégzés egyenletes, ez könnyedén értelmezhető. Ha például 4 óra alatt végeztünk 4000J munkát, akkor ugyanez a teljesítmény azt is jelenti, hogy 3 óra alatt 3000J munkát végeztünk és így tovább. A valóságban azonban a munkavégzésünk nem ennyire egyenletes. Tessék csak megnézni engem, aki háromóránként sötét jedikre vadászom vagy Jóbarátokat nézek. Igaz ugyan, hogy 4 óra alatt 4000J munkát végzek, de hol nagyobb teljesítménnyel, hol kisebbel, néha akár 0 teljesítménnyel is, ha éppen nem csinálok semmit egy darabig. Alább következzék egy grafikon, amin kétféle teljesítmény-idő folyamatot láthatunk: A kék vonal mutatja az egyenletes munkavégzés grafikonját. Az egyenletes munkavégzést egy lineáris függvénnyel írhatjuk le, ennek meredeksége pedig éppen a teljesítmény, hát persze, hiszen az W/t. A narancssárga vonal6 egy fokkal valószerűbb folyamatot mutat. A munka elején még benne voltam a lendületbe, mígnem úgy 3 óra után kicsit lelassultam (Jedi academy, Jóbarátok), aztán újra belejöttem és végül – kis rákapcsolással ugyan – de a tervezett időre éppen befejeztem a munkát. Az átlagos teljesítményem továbbra is az összes munka osztva az eltelt idővel, valahogy úgy, ahogyan ezt az átlagos sebességnél is tanulták. Nyilván, hiszen a rajz tanúsága szerint 7700J munkát végeztem 6 óra alatt, hát a vak is látja, hogy P = 0,35W teljesítmény. (Ami egyébként nem túl sok, lehet, hogy rossz közelítés volt ez a 7700J erre a tankönyvpótlékra?) Ugyanakkor látjuk, hogy a munka kezdetén nagyobb volt a teljesítményem (több munkát végeztem ugyanannyi idő alatt), és hát ugyan a közepetáján csökkent némileg a teljesítmény, de úgy 4 órától ismét meredeken emelkedni kezdett. Értelmezhető tehát egyfajta pillanatnyi teljesítmény is, ami azt mutatja meg, hogy az adott időpillanatban a teljesítményem milyen tendenciát mutat. Sok munkát végzek időegység alatt vagy kevesebbet? Ez a narancssárga görbén úgy érzékelhető, hogy azokban a pontokban, ahol a görbe meredekebb (az elején és a végén) pillanatnyilag jobb a teljesítményem, mint ott, ahol nem annyira meredek (például ott, 3 óra környékén). Voltaképpen a pillanatnyi teljesítmény egy nagyon kicsi idő alatt történt munkavégzésváltozás: Ppillanatnyi 

W , ahol Δt kicsi. t

Tudta-e ön… …hogy a pillanatnyi teljesítmény valójában a fenti munkavégzés-idő grafikon adott pontba húzott érintőjének meredeksége? Ezt a dolgot tizenkettedikben bizonyítani is fogják, addig elégedjenek meg a puszta tudattal.

6

Egyébként aki kitalálja, hogy ez nagyjából milyen alakú függvény, azt utólag megvendégelem valami csokira vagy ilyesmi.

16 6.2.

PÉLDA A TELJESÍTMÉNYRE

FELADAT: Egy futószalag fél perc alatt juttat el 2 tonna sódert 3 méter magasra. Mekkora a teljesítménye? MEGOLDÁS: Készítsünk el először is megint egy meseszép ábrát: Amint az látszik, két erő végez munkát: a súrlódási erő és a nehézségi erő lejtővel párhuzamos komponense. (A nyomóerőt csak azért rajzoltam be, hogy ne felejtsék, az is hat a testre, még ha nem is végez munkát.) A súrlódási erő ezúttal tapadási súrlódási erő, naná, ezért tudja a futószalag egyáltalán felhúzni a sódert, most képzeljék el, ha ez zsírozottjég lenne. A munkavégzést, amit a futószalag végez, valójában ezen, a tapadási súrlódási erőn keresztül végzi, méghozzá a nehézségi erő ellenében. Alkalmazzuk a munkatételt! Az összes munkavégzés egyenlő a mozgási energia megváltozásával. Mivel a mozgási energia nem változik meg, ezért az összes munkavégzés 0. Két erő végez munkát, a nehézségi és a súrlódási erő. Tehát: WFs  Wmg  0

A nehézségi erő munkája ezúttal negatív (hiszen emelkedik a test), nagysága pedig a már unalomig jól ismert mgh. Tehát Wmg = –mgh. Hát ez remek, mert akkor a súrlódási erő munkájának mgh-nak kell lennie, hogy az összeg 0 legyen! Vagyis WFs  mgh  2000  10  3  60000 J . Ismerjük a súrlódási erő munkáját és azt is, hogy ez a munkavégzés mennyi idő alatt (30 másodperc) történt. A teljesítmény tehát: P

W 60000   2000W t 30

A futószalag teljesítménye tehát 2000W. ♣ Egy jól tapadó futószalag tehát azért előnyös dolog, mert a munkavégzés során csak a nehézségi erőt kell legyőznünk. (Ehhez persze szükséges az is, hogy a hengerkerekek is jól tapadjanak a szalaghoz.) Képzeljük el, mi történne akkor, ha egy ugyanekkora teljesítménnyel rendelkező gép (például én) nem egy futószalagon húzná fel a terhet, hanem egy kötéllel a lejtőn, miközben van csúszási súrlódás.7 Érezhető, hogy nagyobb munkára lesz szükség. Azt is sejtjük, hogy ha a teljesítményem ugyanekkora, akkor több időre lesz szükségem, hiszen több munkát kell, hogy végezzek. Elsőként vizsgáljuk meg a munkavégzés nagyságát!

7

Na jó. Valójában nem én. Mondjuk Superman. 2 tonna sódert, hát nem is tudom… Végülis vannak ezek a versenyek, ahol kamionokat húznak, nem? Még ha nem is 3 méter magasra…

17 FELADAT: Egyenletes sebességgel μ = 0,5 súrlódási együtthatójú lejtőn juttatunk fel 2 tonna sódert 3 méter magasra. A lejtő dőlésszöge 30º Mekkora munkát végzünk? MEGOLDÁS: Ezúttal a csúszási súrlódási és a nehézségi erő munkája egyaránt negatív, a munkavégzésünk tehát ezen erők ellenében történik. Ugyan a rajzra én becsülettel odaírtam, hogy a nehézségi erő lejtővel párhuzamos 1 komponense mg , merthogy a szabályos háromszög fele, de hát ez ugyankéremtök2 mindegy, hiszen a nehézségi erő munkavégzése ezúttal is: Wmg = –mgh = – 60 000J. A súrlódási erőt a nyomóerőből tudjuk kiszámítani, a nyomóerő pedig megegyezik a nehézségi erő 3 lejtőre merőleges komponensével. Ez a mi esetünkben most mg , a 30º meg a szabályos háromszög 2 3 miatt, egyébként mg cos  lenne természetesen. A súrlódási erő tehát: Fs    Fn   mg  8660 N . 2 Mivel az út (a 30º miatt) a magasság kétszerese, tehát 6m, ezért a súrlódási erő munkája: WFs   Fs  s  8660  6  51960 J Mivel egyenletes sebességgel húzzuk fel a sódert, ezért a mozgási energia változása 0. Felírva a munkatételt: WF  WFs  Wmg  0 , a kiszámított munkákat behelyettesítve:

WF  51960  60000  0 WF  111960 J

, tehát összesen 111960J munkát kell végeznünk. Ez majdnem kétszerese annak a munkának, amit a futószalag végezne! Hát nem is csoda, hogy inkább futószalagot használnak, mint Fekete Lacikat. ♣ 6.3.

MEGJEGYZÉSEK, AFFÉLE TUDTA-E ÖN …?

Érdemes még néhány szempontból megvizsgálni az előző eredményeket. Az első esetben a futószalag teljesítménye 2000W volt. Ha ugyanekkora teljesítménnyel húznánk fel a súrlódásos emelkedőn a sódert, akkor ez – mint korábban említettük – több időbe telne, ezt ki is tudjuk számolni: W W 111960 P  t    56s , tehát csaknem kétszer annyi idő, mint a t P 2000 futószalag esetében! A futószalag tehát ebből a szempontból is látszik, hogy egy „jobb gép”, mint az, amelyik a talajon csúszva húzná fel a terhet, már ha a teljesítményük ugyanakkora. Persze ez a „rosszabbik gép” is képes fél perc alatt felhúzni a terhet. Vizsgáljuk meg, hogy ehhez mekkora teljesítménnyel kéne működtetni! Mivel továbbra is 111960J munkavégzés szükséges: W 111960   3732W , ez azért jóval nagyobb teljesítmény, mint a futószalag esetében. Egy ilyen gépet tehát hasonló t 30 hatékonysággal (vagyis fél perces munkaidőre állítva) sokkal nagyobb teljesítményen kéne üzemeltetnünk – ami sokkal több energiánkba kerülne. Tessenek ilyenkor a jegesmedvékre, az esőerdőkre, meg a röpdolgozatpapír-takarékosságra gondolni. (Meg arra, hogy ezt a segédanyagot is milyen környezettudatosan juttatom el önöknek digitális formában.) P

18

7.

A MUNKA ÉS ENERGIA EGYÉB MÉRTÉKEGYSÉGEI

Amikor a hétköznapi életben egy gépet használunk, akkor az esetek többségében nem ismerjük a gép által kifejtett erőt, de talán még az erő hatására megtett út hosszát is nehéz kiszámítani. Főleg, ha olyan esetekről van szó, amikor nem is erő hatására megtett útról van szó, mint például a mikrohullámú sütő, vagy a villanykörte esetében, amik szintén energiát fogyasztanak, amit szintén ki tudunk fejezni J-ban. Ilyenkor is fontos lehet, hogy megállapítsuk ezen eszközök munkavégzésének nagyságát, amit megtehetünk, ha ismerjük a gép teljesítményét és megmérjük, hogy mennyi ideig működik. Hiszen a teljesítmény defincíciójából:

P

W W  P t t

Mivel a teljesítmény mértékegysége W, az időé pedig s, ezért értelmezhető a Ws (watt-szekundum), vagy (elterjedtebb) a kWh (kilowatt-óra) mértékegység is, mint a munka mértékegysége. Nézzük meg, hogy ezt J hogyan tudjuk átváltani Joule-lá! A Ws-ot nem nehéz, hiszen a W az éppen , következésképpen s 1Ws = 1J. A kWh esetében: 1kWh  1000W  3600s  3600 000 J , vagyis 3600kJ. Tudta-e ön…

Ft mértékegységben van kWh megadva, ennek mindenki nyugodtan utánajárhat. Országos szinten Ft durván 42 körül van ez az érték. Az én laptopom tápjára 90W kWh van ráírva, tehát ha a táp folyamatosan csatlakoztatva lett volna a hálózatra (mint ahogy nem volt, egyébként), akkor eme tanítási segédanyag megírása (amely mintegy 8 órát vett igénybe) 0,09kW  8h  0,72kWh energiát emésztett volna fel, ami tehát Ft 42  0,72  30,24 forintomba került volna. Ha most rákaptak kWh ennek az ízére, akkor tessék megnézni, hogy például egy asztali számítógép 24 órás üzemeltetése (ugye, kedves filmletöltők?) mennyi pénzbe kerülne. Máris látni fogják, hogy sok szempontból energia-takarékosabb a laptopok használata. Vagy méginkább kint játszani a szabadban, ha-ha. Hogy az áramfogyasztás ára általában

8.

A HATÁSFOK

Gondoljuk végig, mi következik még a korábban megoldott két feladatból! Mindkét feladatban az volt a célunk, hogy a sódert 3 méter magasra juttassuk. Voltaképpen tehát azt akartuk, hogy a sóder helyzeti energiája megnövekedjen, hiszen az emelkedést ez jelzi. Akkor, amikor egy futószalagon húztuk fel a sódert, minden munka, amit végeztünk, arra fordítódott, hogy ezt a bizonyos helyzeti energiát megnöveljem 60000J-lal. Ellenben amikor puszta kézzel húztunk fel 2 tonnát 3 méter magasra8, a munkavégzésünk egy része valóban a helyzeti energia megnövelésére fordítódott, azonban egy jelentékeny rész a súrlódási erő munkavégzése ellenében történt. Mintha a mi munkavégzésünk egy része „kárba veszett” volna, míg egy másik része volt csupán a „hasznos” munkavégzés. 8

Nem tudom miért, valahogy olyan felemelő leírni ezt a mondatot

19 Nem kérdés, hogy az első esetben sokkal hatékonyabban dolgoztunk, mint a másodikban, hiszen ugyanazt az eredményt kevesebb munka befektetésével értük el. Ezt a gondolatmenetet felhasználva van értelme bevezetni a hatásfok fogalmát. 7.1.

A HATÁSFOK DEFINÍCIÓJA

Egy munkavégzési folyamat hatásfoka a folyamat során végzett hasznos munka és a folyamat során végzett összes munka hányadosa. Tehát: W   hasznos Wösszes Az a fura jel ott egy η, ami egy görög „éta” és semmi köze az „n” betűhöz. A definícióból következik, hogy a hatásfoknak nincs mértékegysége, az csak egy szám, ami kifejezi a hasznos és az összes munka arányát. Ily módon legtöbbször százalékalakban szoktuk megadni.

Tudta-e ön… …hogy az éta görög betűt összekeverni egy terroristaszervezettel a világ egyik legostobább szóvicce?

Azt is látnunk kell, hogy a hatásfok értéke mindig pozitív és mindig kisebb, mint 1. Ez is világos, hiszen az összes munka tartalmazza a hasznos munkát is, ami tehát kisebb, de legjobb esetben is egyenlő az összes munkával. Mivel ugyanannak a munkavégzésnek egy részéről van szó, ezért a két munkavégzés előjele is ugyanaz. 7.2.

PÉLDA A HATÁSFOK KISZÁMÍTÁSÁRA

Számoljuk ki a munkavégzések hatásfokát az előző két feladatban! Az első esetben, amikor a futószalagon húztuk fel a sódert, minden általunk végzett munka a helyzeti energia megnövelésére szolgált, vagyis hasznos munka volt. Így a munkavégzésünk hatásfoka: W 60000   hasznos   1  100% Wösszes 60000 A második esetben, amikor mi húztuk fel a sódert, az általunk végzett összes munka 111960J volt, ebből azonban csak 60000J fordítódott a helyzeti energia megnövelésére, tehát csak ennyi volt hasznos. A hatásfok ezért: W 60000   hasznos   0,536  53,6% Wösszes 111960 Amit tehát korábban is megemlítettünk, az most már egy számszerűsített formában is megfogalmazható. A futószalagnak nagyobb a hatásfoka, mint Fekete Lászlónak. Sosem gondolták volna, hogy ilyen mondatot is olvasnak majd egyszer tankönyvben, nem igaz?

20

21

FÜGGELÉK GYAKORLÓ FELADATSOR A DOLGOZATRA VALÓ KÉSZÜLÉSHEZ 1.

Gizike ejtőernyőzik. 400 méter magasban nyitja ki az ejtőernyőt, majd innentől egyenletes sebességgel ereszkedik lefelé. Mekkora munkát végez a nehézségi és mekkora munkát végez a közegellenállási erő, amíg leér a földre?

2.

Gizike egy cirkuszi mutatványra készül. Egy ágyúcsőben elhelyezett rugót erősen összenyomva egy zárópecekkel, a zárópecket kiengedve a magasba repül. Az ágyút a csövével függőlegesen felfelé N tartva lövi ki magát. Milyen magasra kerül fel? A rugóállandó 1000 , a rugót az egyensúlyi m helyzetéhez képest 1 méterrel nyomtuk össze. Gizike tömege 50kg, a rugóé – bármily hihetetlen is – elhanyagolható. (Nehéz feladat: milyen magasra jut, ha az ágyú a vízszintessel 45º-os szöget zár be?)

3.

Gizike az előző mutatványt követően zuhanni kezd, miközben a cirkuszi segédek az ágyút egy nagy trambulinra cserélik. Mekkora sebességgel csapódik be Gizike a trambulinba?

4.

Gizike szánkózott és most azt kéri, hogy húzzuk fel a dombtetőre. Mekkora munkát kell végeznünk, ha egyenletes sebességgel húzzuk és a domb 4 méter magas? A domb emelkedési szöge 20º, a csúszási súrlódási együttható pedig 0,2, Gizike szánkóval együtt is 50kg-ot nyom.

5.

Ha a dombtetőről 0,5

6.

Gizike egyenletes sebességgel tolja el a szekrényt a szoba egyik végéből a másik végébe. A szoba 5 méter hosszú, a csúszási súrlódási együttható pedig 0,6, a szekrény egy mázsás. (Említettük korábban, hogy Gizike erős.) Gizike az első 2 métert 45 másodperc alatt teszi meg, majd 30 másodpercet pihen, az utolsó 3 métert szintén 45 másodperc alatt teszi meg.

m kezdősebességgel lökjük meg Gizikét, mekkora lesz a sebessége a domb s alján? Mennyi lenne a végsebessége, ha nem lenne súrlódás?

Mekkora munkát végez összesen? Ábrázolja a végzett munka nagyságát az idő függvényében! Mekkora az átlagos teljesítménye? Mekkora a pillanatnyi teljesítménye a 17. másodpercben? Mekkora a pillanatnyi teljesítménye az 52. másodpercben? Mekkora a pillanatnyi teljesítménye a 76. másodpercben? Mennyi idő alatt tolta volna el a szekrényt, ha ugyanennyi az átlagos teljesítménye, de nem áll meg pihenni? h. Mennyi idő alatt tolta volna el a szekrényt, ha az átlagos teljesítménye megegyezik az f. pontban kiszámított teljesítménnyel és nem áll meg pihenni? a. b. c. d. e. f. g.

7.

Milyen fizikai mennyiséghez tartozhatnak az alábbi mértékegységek? Nm g

8.

cm s2

kg

dm2 h2

Ncm Ws s

g

cm 2 h3

A legtöbb TV-készülék kikapcsolt, de nem áramtalanított (stand-by) üzemmódban is legalább 20Wot fogyaszt. Számítsuk ki, hogy feltéve, hogy egy nap maximum 4 órát használjuk a TV-t és a maradék 20 órában áramtalanítjuk, mennyi pénzt takarítunk meg egy év alatt, mintha csak stand-by üzemmódban hagynánk? Ismerve, hogy egy mobiltelefontöltő majdnem ugyanannyi áramot fogyaszt a konnektorban hagyva, mintha töltené a telefont, mennyi pénzt takarítanánk meg egy évben, ha csak a töltés idejére dugnánk be?