Műszaki Főiskola-Szabadka Prof. dr. Varga József VILLAMOS GÉPEK. térvektorok elmélete október Szabadka

Műszaki Főiskola-Szabadka Prof. dr. Varga József

VILLAMOS GÉPEK térvektorok elmélete

2002. október

Szabadka

ELŐSZÓ

E jegyzet a Szabadkai Műszaki Főiskola villamos szakának hallgatói számára készült, és a “Villamos gépek” tantárgy befejező részét öleli fel A jegyzetben a váltakozó áramú villamos gépek átmeneti jelenségeinek szimulációjánál használatos “Térvektorok elmélete” van részletesen feldolgozva. Az itt ismertetett egyenletek a különböző félvezetős átalakítókról táplált forgógépek működésének tárgyalása során (szabályozott hajtások) egyúttal alapegyenleteknek is felhasználhatók A jegyzet írása során a szerző abból feltevésből indult, hogy a hallgatók a villamos gépek klasszikus elméletéből, és felső matematikából már megfelelő előtudással rendelkeznek. A különböző levezetések során a szerző a tetszőlegesen forgó általános koordinátarendszerben történő vektoros levezetéseket részesítette előnyben. Ezután ebből az általános vektoros differenciálegyenlet-rendszerekből kiindulva szétválasztással meghatározza a különböző koordináta-rendszerekhez tartozó skaláris differenciálegyenlet-rendszereket is. Az alapharmonikus rendszerhez tartozó fejezetek mellett a jegyzetben a szerző külön fejezetet szentel a zérus rendszer tárgyalására. Ezáltal utat nyit az olyan aszimmetrikus kapcsolások vizsgálatára is, melyeknél a zérus összetevők is jelen vannak. Külön fejezet foglalkozik a villamos forgógépek viszonylagos egységekben kifejezett egyenletrendszereivel. Az utolsó fejezetben példának egy háromfázisú kalickás forgórészű aszinkron motor felfutásának szimulációs eredményei találhatók terhelő gép nélkül, és terhelő géppel egybekapcsolva. A Szimuláció állórészhez kötött, szinkron forgó, és fogórészhez kötött közös koordináta-rendszerekben van elvégezve. A függelékben ezenfelül még tizennégy rövid gyakorlásra szánt megoldott példa is található. Tekintettel a könnyű, következetes, és alapos szemléltetésre e jegyzetet a szerző a főiskolai hallgatókon kívül ajánlja mindazoknak, akik a villamos gépek átmeneti jelenségeivel kapcsolatosan érdekelve vannak.

Szabadka, 2002. Október.15. a Szerző

VILLAMOS GÉPEK

TÉRVEKTOROK ELMÉLETE

TARTALOMJEGYZÉK Fejezetek FELHASZNÁLT JELÖLÉSEK JEGYZÉKE 1. BEVEZETŐ

Oldal 6 14

2. 2.1

TÉRVEKTOROK DEFINICIÓJA Szolenoid térvektorai

14 14

3.

AZ ÁLLÓRÉSZ TÉRVEKTORAI TERMÉSZETES KOORDINÁTARENDSZERBEN Az állórész áramainak térvektora Az állórész gerjesztések térvektorai Az állórész feszültségek térvektorai Az állórész fluxuskapcsolódásainak térvektorai

15 16 18 19 21

A FORGÓRÉSZ TÉRVEKTORAI TERMÉSZETES KOORDINÁTA-RENDSZERBEN

21

FLUXUSKAPCSOLÓDÁSOK ÉS FESZÜLTSÉGEGYENLETEK TERMÉSZETES KOORDINÁTA-RENDSZEREKBEN Az állórész fluxuskapcsolódásai A forgórész fluxuskapcsolódásai Feszültségegyeletek

22 23 24 25

3.1 3.2 3.3 3.4 4. 5. 5.1 5.2 5.3 6. 6.1 6.2 6.3 7.

HÁROMFÁZISÚ GÉP TÉRVEKTORAI ÉS EGYENLETEI ÁLTALÁNOS KÖZÖS KOORDINÁTA-RENDSZERBEN A térvektorok transzformálása természetes koordináta rendszerekből közös koordináta-rendszerbe és fordítva Fluxuskapcsolódások és áramok térvektorainak kapcsolata az induktivitásokon keresztül közös koordináta-rendszerben A gerjesztési rendszer és a légrésindukció térvektorai

26 26 29 31

7.1 7.2 7.3

A VILLAMOS GÉPEK ÁLTALÁNOS VEKTOROS DIFFERENCIÁLEGYENLET-RENDSZEREI A feszültségegyenletek általános vektoros alakja A feszültségegyenletek fluxuskapcsolódásos vektoros alakja A feszültségegyenletek áramvektoros alakja

31 31 32 32

8. 8.1 8.2

TELJESÍTMÉNYEK ÉS VESZTESÉGEK VEKTOROS EGYENLETEI Teljesítmények pillanatértékei A teljesítményveszteségek pillanatértékei

33 33 34

9. 9.1 9.2 9.3

LÉTREHOZOTT NYOMATÉKOK VEKTOROS EGYENLETEI A vektoros nyomatékegyenletek általános alakjai A vektoros nyomatékegyenletek vegyes alakjai A vektoros nyomatékegyenletek fluxuskapcsolódásos alakjai

34 35 36 36

10

VEKTOROS EGYENLETEK SZÉTVÁLASZTÁSA SKALÁRIS EGYENLETEKRE Feszültségvektorok összetevői

37 37

10.1

-2-

VILLAMOS GÉPEK


10.2 10.3

Áramvektorok össztevői Fluxuskapcsolódás vektorainak összetevői

38 38

11. 11.1 11.2

PARK DIFFERENCIÁLEGYENLETEK Park differenciálegyenlet-rendszerének általános skaláris alakja A skaláris differenciálegyenlet-rendszer általános fluxuskapcsolódásos alakja A skaláris differenciálegyenlet-rendszer általános áramösszetevős alakja

39 39

11.3 12.

39 40

A TELJESÍTMÉNYEK ÉS VESZTESÉGEK PILLANATÉRTÉKEINEK SKALÁRIS ALAKJAI

40

13. 13.1 13.2 13.3

A LÉTREHOZOTT NYOMATÉKOK SKALÁRIS EGYENLETEI Skaláris nyomatékegyenletek általános alakjai Skaláris nyomatékegyenletek vegyes alkjai Skaláris nyomatékegyenletek fluxuskapcolódásos alakjai

41 41 41 42

14.

NEWTON FORGÁSI MOZGÁSEGYENLETE

42

15.

TÉRVEKTOROK ÖSSZETEVŐINEK SZÉTCSATOLÁSA FÁZISONKÉNTI PILLANATÉRTÉKEKRE Állórész feszültségvektorának szétcsatolása Állórész áramvektorának szétcsatolása Forgórész feszültségvektorának szétcsatolása Forgórész áramvektorának szétcsatolása

43 44 44 45 45

15.1 15.2 15.3 15.4 16.

HÁROMFÁZISÚ FORGÓGÉPEK MATEMATIKAI MODELLEZÉSE KÜLÖNBÖZŐ KÖZÖS KOORDINÁTA-RENDSZEREKBEN 16.1 Állórészhez kötött közös koordináta-rendszerhez tartozó egyenletek (α,β-összetevők, ω k =0) 16.2 Szinkron forgó közös koordináta rendszerhez tartozó egyenletek (x,y-összetevők, ω k = ω1 ) 16.3 Forgórészhez kötött forgó közös koordináta-rendszer egyenletei (d,q-összetevők, ω k = ω ) 16.3.1 Az aszinkron gépek vizsgálatának egyenetei 16.3.2 Szinkron gépek vizsgálatának egyenletei 16.4 Skaláris összetevők koordinátatranszformációja 17 17.1 17.2 17.3 17.4 17.5 17.6

ZÉRUS SORRENDŰ RENDSZER A háromfázisú rendszer aszimmetria tipusai Zérus sorrendű áramok és gerjesztések hatása Állórész és forgórész zérus sorrendű térvektorai természetes koordináta-rendszerekben Zérus sorrendű fluxuskapcsolódások meghatározása induktivitások és áramok segítségével Zérus sorrendű térvektorok általános közös koordináta-rendszerben Általános differenciálegyenlet-rendszer a zérus sorrendű változók hatásának elemzésére -3-

46 46 48 50 50 52 55 56 57 58 60 61 49 65

VILLAMOS GÉPEK 17.7 17.8 17.9 18. 18.1 18.2


Zérus rendszer skaláris differenciálegyenletei állórészhez kötött közös koordináta-rendszerben(α,β-összetevők, ω k =0) Zérus rendszer teljesítményei és veszteségei

66 68

Zérus rendszer által létrehozott elektromechanikai pillanatnyomatékok egyenletei

69

FORGÓRÉSZ MENNYISÉGEK REDUKÁLÁSA ÁLLÓRÉSZ OLDALRA Forgórész mennyiségek redukálása állórész oldalra a háromfázisú rendszereknél A zérus rendszer forgórész mennyiségeinek redukálása állórész oldalra

19. 19.1 19.2 19.3 19.4 19.5

VILLAMOS GÉPEK EGYENLETEI VISZONYLAGOS EGYSÉGEKBEN A gép paraméterei viszonylagos egységekben Vektoros változók viszonylagos egységekben Teljesítmények, veszteségek és nyomatékok viszonylagos egységekben Newton forgási mozgásegyenlete viszonylagos egységekben A villamos forgógépek matematikai modellezésének egyenletei viszonylagos egységekben 19.5.1 Egyenletek viszonylagos egységekben állórészhez kötött közös koordinátarendszerben (α,β-összetevők, ω k =0) 19.5.2 Egyenletek viszonylagos egységekben szinkron forgó közös koordináta rendszerben (x,y-összetevők, ω k = ω1 ) 19.5.3 Viszonylagos egyenletek forgórészhez kötött közös koordináta rendszerben (d,q-összetevők, ω k = ω ) KALICKÁS FORGÓRÉSZŰ ASZINKRON MOTOROK DINAMIKUS FELFUTÁSA 20.1 A motor és munkagép műszaki adatai 20.2 A felfutás szimulációja állórészhez kötött közös koordinátarendszerben ( α,β – rendszer , ω k =0 ) 20.2.1 A tápfeszültség pillanatértékei 20.2.2 Skaláris differenciálegyenletek a felfutás szimulációjára 20.2.3 Fluxuskapcsolódások, áramok és teljesítmények pillanatértékei 20.2.4 A differenciálegyenlet-rendszer megoldásának menete 20.2.5 A felfutás szimulációjának eredményei terhelő gép nélkül ( α,β – rendszer) 20.2.6. A felfutás szimulációjának eredményei terhelő géppel egybekapcsolva ( α,β – rendszer) 20.3 A felfutás szimulációja szinkron forgó közös koordináta-rendszerben (x,y- rendszer, ω k = ω1 ) 20.3.1 Az állórész feszültségeinek térvektora és annak skaláris összetevői 20.3.2 Skaláris differenciálegyenletek a felfutás szimulációjára 20.3.3 Fluxuskapcsolódások, áramok és teljesítmények pillanatértékei 20.3.4 A differenciálegyenlet-rendszer megoldásának menete 20.3.5 A felfutás szimulációjának eredményei terhelő gép nélkül (x,y- rendszer)

69 69 71 72 73 74 75 76 77 77 78 79

20.

-4-

80 80 81 81 82 83 83 84 86 88 88 88 89 90 90

VILLAMOS GÉPEK


20.3.6 A felfutás szimulációjának eredményei terhelő géppel egybekapcsolva (x,y- rendszer) 20.4 A felfutás szimulációja forgórészhez kötött közös koordinátarendszerben (d,q- rendszer, ω k = ω ) 20.4.1 20.4.2 20.4.3 20.4.4 20.4.5

Az állórész feszültségeinek térvektora és annak skaláris összetevői Skaláris differenciálegyenletek a felfutás szimulációjára Fluxuskapcsolódások, áramok és teljesítmények pillanatértékei A differenciálegyenlet-rendszer megoldásának menete A felfutás szimulációjának eredményei terhelő gép nélkül (d,q- rendszer) 20.4.5 A felfutás szimulációjának eredményei terhelő géppel egybekapcsolva (d,q- rendszer) 20.5 A szimuláció eredményeinek összehasonlítása 21. FÜGGELÉK 21.1 AM αβ -Hatásvázlat az aszinkron motor felfutásának szimulációjára állórészhez kötött közös koordináta-rendszerben 21.2 AMxy-Hatásvázlat az aszinkron motor felfutásának szimulációjára szinkron forgó közös koordináta-rendszerben 21.3 AMdq-Hatásvázlat az aszinkron motor felfutásának szimulációjára forgórészhez kötött közös koordináta-rendszerben 21.4 Gyakorlati példák (14 példa) 22.

IRDALOMJEGYZÉK

91 92 92 92 93 93 94 95 96 97 98 99 100 100 120

-5-

VILLAMOS GÉPEK


FELHASZNÁLT JELÖLÉSEK JEGYZÉKE a a, ar b, br Bδk, Bδk c, cr

-

d esk

-

esdk, esqk

-

F Fa, Fb, Fc

-

Fs

-

Fsk, Fmk, Frk

-

Fa0, Fb0, Fc0

-

Fs0

-

i, i ia, ib, ic ia, ib, ic i s, i s

-

i0, i0

-

i'a, i'b, i'c

-

ira, irb, irc i r, i r

-

isk, isdk, isqk

-

irk, irdk, irqk

-

imk, imdk, imqk

-

is0k, is0dk, is0qk

-

Komplex egységvektor. Állórész, forgórész első fázistekercseinek kezdő kivezetései. Állórész, forgórész második fázistekercseinek kezdő kivezetései. Légrésindukció térvektora és annak pillanatértéke. Állórész, forgórész harmadik fázistekercseinek kezdő kivezetései. Komplex koordináta-rendszer valós tengelyének jelölése. Az állórész indukált feszültségeinek térvektora általános tetszőlegesen forgó közös „K” koordináta-rendszerben. Az állórész indukált feszültségvektorának valós és képzett összetevői általános tetszőlegesen forgó közös „K” koordináta-rendszerben. Szolenoid gerjesztésének térvektora. Állórész fázisonkénti gerjesztéseinek térvektorai állórészhez kötött természetes koordináta-rendszerben Állórész gerjesztéseinek térvektora állórészhez kötött természetes koordináta-rendszerben. Állórészgerjesztés, eredőgerjesztés, és forgórészgerjesztés térvektorai általános tetszőlegesen forgó közös „K” koordinátarendszerben. Állórész fázisonkénti gerjesztéseinek zérus sorrendű térvektorai állórészhez kötött természetes koordináta-rendszerben. Állórész gerjesztéseinek zérus sorrendű térvektora állórészhez kötött természetes koordináta-rendszerben. Szolenoid áramvektor és annak pillanatértéke. Állórésztekercsek fázisonkénti áramvektorai. Állórész fázisonkénti áramainak pillanatértéke. Állórész áramainak térvektora természetes koordináta-rendszerben és annak pillanatértéke. Állórész zérus sorrendű áramainak térvektora természetes koordináta-rendszerben és annak pillanatértéke. Állórész fázisonkénti áramainak pillanatértéke zérus sorrendű áramok nélkül. Forgórész fázisonkénti áramainak pillanatértéke. Forgórész áramainak térvektora forgórészhez kötött természetes koordináta-rendszerben és annak pillanatértéke. Állórész áramvektor és annak valós illetve képzetes összetevői általános tetszőlegesen forgó közös „K” koordináta-rendszerben. Forgórész áramvektor és annak valós illetve képzete összetevői általános tetszőlegesen forgó közös „K” koordináta-rendszerben. Mágnesező áramvektor és annak valós illetve képzetes összetevői általános tetszőlegesen forgó közös „K” koordináta-rendszerben. Zérus sorrendű állórész áramvektor és annak valós illetve képzetes összetevői általános tetszőlegesen forgó közös „K” koordináta-rendszerben.

-6-

VILLAMOS GÉPEK ir0k, ir0dk, ir0qk im0k, im0dk, im0qk is0, is0 ir0, ir0 im0, im0 ia0, ib0, ic0 i s α, i s β i r α, i r β imα, imβ isx, isy irx, iry imx, imy isd, isq ird, irq imd, imq ir0α, ir0β if iDd, iDq Im Im(S), Im(R), Im(K) ^

In , I n , Ib J M , J T, J Σ ks , kr k i, k u , k r

TÉRVEKTOROK ELMÉLETE - Zérus sorrendű forgórész áramvektor és annak valós illetve képzetes összetevői általános tetszőlegesen forgó közös „K” koordináta-rendszerben. - Zérus sorrendű mágnesező áramvektor és annak valós illetve képzetes összetevői általános tetszőlegesen forgó közös „K” koordináta-rendszerben. - Zérus sorrendű állórész áramvektor és annak pillanatértéke állórészhez kötött közös koordináta-rendszerben. - Zérus sorrendű fogórész áramvektor és annak pillanatértéke állórészhez kötött közös koordináta-rendszerben. - Zérus sorrendűmágnesező áramvektor és annak pillanatértéke állórészhez kötött közös koordináta-rendszerben. - Zérus sorrendű állórészáramok fázisonkénti pillanatértékei. - Állórész áramvektor valós és képzetes skaláris összetevői állórészhez kötött közös koordináta-rendszerben. - Fogórész áramvektor valós és képzetes skaláris összetevői állórészhez kötött közös koordináta-rendszerben. - Mágnesező áramvektor valós és képzetes skaláris összetevői állórészhez kötött közös koordináta-rendszerben. - Állórész áramvektor valós és képzetes skaláris összetevői szinkronforgó közös koordináta-rendszerben. - Forgórész áramvektor valós és képzetes skaláris összetevői szinkronforgó közös koordináta-rendszerben. - Mágnesező áramvektor valós és képzetes skaláris összetevői szinkronforgó közös koordináta-rendszerben. - Állórész áramvektor valós és képzetes skaláris összetevői forgórészhez kötött közös koordináta-rendszerben. - Forgórész áramvektor valós és képzetes skaláris összetevői forgórészhez kötött közös koordináta-rendszerben. - Mágnesező áramvektor valós és képzetes skaláris összetevői forgórészhez kötött közös koordináta-rendszerben. - Zérus sorrendű forgórész áramvektor skaláris összetevői állórészhez kötött közös koordináta-rendszerben (állórészre redukálva). - Szinkron gép állórészre redukált gerjesztőárama forgórészhez kötött koordináta-rendszerben. - Szinkron gép csillapító kalicka-áramvektorának valós és képzetes összetevői forgórészhez kötött közös koordináta-rendszerben (állórészre redukálva). - Képzetes összetevő szimbóluma. - Állórészhez kötött, forgórészhez kötött ,és általános tetszőlegesen forgó közös „K” koordináta-rendszer képzetes tengelyei. - Állórész névleges áram, annak csúcs-, illetve bázisértéke. - Motor tehetetlenségi nyomatéka, terhelő gép tehetetlenségi nyomatéka motortengelyre redukálva, és ezek összege. - Állórész és forgórész szórási tényezői. - Alapharmonikusra vonatkozó áram, feszültség és ellenállás redukálási tényező.

-7-

VILLAMOS GÉPEK ki0, ku0, kr0 lsσ, lsm lrσ, lrm lm Lsσ, Lrσ Lm, L Ls, Lr Lmd, Lmq Lsd, Lsq Lfσ, Lf LDσd, LDσq LDd, LDq Lsσ0, Lrσ0 Lm0 Ls0, Lr0 L2 Lσst, Lσpr LT ms, mr me , m er

m M , m Mr mT , mTr me 0 , mer0

m fv , m rfv

M1, M0, MR Mb Ns, Nr p, p0 p s , p sr

p r , p rr

TÉRVEKTOROK ELMÉLETE - Zérus rendszerre vonatkozó áram, feszültség és ellenállás redukálási tényező. - Egyfázisú állórész szórási és egyfázisú állórész kölcsönös szórási induktivitások. - Egyfázisú forgórész szórási és egyfázisú forgórész kölcsönös szórási induktivitások (állórészre redukálva). - Egyfázisú mágnesező induktivitás. - Háromfázisú állórész szórási induktivitás és háromfázisú állórészre redukált forgórész szórási induktivitás. - Háromfázisú mágnesező induktivitás, szolenoid induktivitás. - Háromfázisú állórész összinduktivitás és háromfázisú állórészre redukált forgórész összinduktivitás. - Szinkron gép háromfázisú mágnesező induktivitásai hossz- és keresztirányban. - Szinkron gép állórészének háromfázisú össz induktivitásai hosszés keresztirányban. - Szinkron gép gerjesztő tekercsének háromfázisú állórészre redukált szórási induktivitása és összinduktivitása. - Szinkron gép csillapító kalickájának háromfázisú állórészre redukált szórási induktivitásai hossz- és keresztirányban. - Szinkron gép csillapító kalickájának háromfázisú állórészre redukált összinduktivitásai hossz- és keresztirányban. - Zérus sorrendű állórész szórási induktivitás és zérus sorrendű állórészre redukált forgórész szórási induktivitás. - Zérus sorrendű mágnesező induktivitás. - Zérus sorrendű össz állórészinduktivitás és zérus sorrendű állórészre redukált össz forgórészinduktivitás. - Fázisonkénti forgórész szórási induktivitás - Kalickás forgórész rúdjainak és gyűrűszegmenseinek szórási induktivitásai. - A szinkron generátor fogyasztójának fázisonkénti induktivitása - Az állórész tekercseinek és forgórész tekercseinek fázisszámai. - Létrehozott alapharmonikus nyomaték pillanatértéke természetes és viszonylagos egységekben. - Tengelynyomaték pillanatértéke természetes és viszonylagos egységekben. - Terhelőnyomaték pillanatértéke természetes és viszonylagos egységekben. - Létrehozott zérus sorrendű nyomaték pillanatértéke természetes és viszonylagos egységekben. - Súrlódási és ventillációs nyomaték pillanatértéke természetes és viszonylagos egységekben. - Alapharmonikus, zérus sorrendű és eredő közepes nyomatékok. - Vonatkoztatási nyomaték (bázisnyomaték). - Fázisonkénti menetszámok állórész, illetve forgórész oldalon. - Alapharmonikus és zérus sorrendű póluspárszám. - Állórész felvett teljesítményének pillanatértéke természetes és viszonylagos egységekben. - Forgórész felvett teljesítményének pillanatértéke természetes és viszonylagos egységekben. -8-

VILLAMOS GÉPEK

r p cus , p cus r p cur , p cur

ps0, pr0 pcus0, pcur0 q Re R s , R sr

Rr , Rrr

Re(S), Re(R), Re(K) Rr0 R2 Rst, Rpr Rf RDd, RDq RT Sb t, t r

tb Tm u, u ua, ub, uc ua, ub, uc ua ,ub ,uc us ^

U1 ura, urb, urc ura, urb, urc ur usk, usdk, usqk uf urk, urdk, urqk


- Állórész rézveszteségének pillanatértéke természetes és viszonylagos egységekben. - Forgórész rézveszteségének pillanatértéke természetes és viszonylagos egységekben. - Állórész és forgórész zérus sorrendű felvett teljesítményeinek pillanatértékei. - Állórész és forgórész zérus sorrendű felvett teljesítményeinek pillanatértékei. - Komplex koordináta-rendszer képzetes tengelyének jelölése. - Valós összetevő szimbóluma. - Állórész fázisonkénti ellenállás természetes és viszonylagos egységekben. - Állórész oldalra redukált forgórész ellenállás természetes és viszonylagos egységekben. - Állórészhez kötött, forgórészhez kötött és általános tetszőlegesen forgó közös„K” koordináta-rendszerek valós tengelyei. - Forgórész zérus sorrendű állórészre redukált ellenállása. - Forgórész fázisonkénti valódi ellenállása. - Kalickás fórgórész rúdjainak és gyürüszegmenseinek valódi ellenállása. - Szinkron gépgerjesztőtekercsének állórészre redukált ellenállása. - Szinkron gép csillapító kalickájának állórészére redukált ellenállásai hossz- és keresztirányban. - A szinkron generátor fogyasztójának fázisonkénti ellenállása - Vonatkoztatási teljesítmény (bázisteljesítmény). - Idő természetes és viszonylagos egységekben. - Vonatkoztatási idő (bázisidő). - Mechanikai időállandó. - Feszültség térvektor és annak pillanatértéke. - Állórész fázisonkénti feszültségeinek pillanatértékei. - Állórész fázisonkénti pillanatfeszültségeinek térvektorai. - Állórész fázisonkénti pillanatfeszültségeinek komplex alakjai. - Állórész feszültségeinek térvektora. - Állórész fázisonkénti feszültségeinek csúcsértéke szimmetrikus táplálás mellett. - Forgórész fázisonkénti pillanatfeszültségeinek állórészre redukált értékei. - Forgórész állórészre redukált pillanatfeszültségeinek fázisonkénti térvektorai. - Forgórész feszültségeinek térvektora. - Állórész feszültségvektor és annak valós, illetve képzetes összetevői általános tetszőlegesen forgó közös „K” koordináta-rendszerben. - Szinkrongenerátor gerjesztő-tekercsének kapocsfeszültsége állórészre redukálva. - Forgórész feszültségvektor és annak valós illetve képzetes skaláris összetevői általános tetszőlegesen forgó közös „K” koordináta-rendszerben.

-9-

VILLAMOS GÉPEK

us0k, us0dk, us0qk ur0k, ur0dk, ur0qk us0, us0 ur0, ur0 usα, usβ urα, urβ us0α, us0β usx, usy urx, ury usd, usq urd, urq ^

U n ,U n ,U b x X sr , X rr , X mr

y Zb

α

αr β β0 δ, δe ϕ µ0


- Állórész zérus sorrendű feszültségvektora és annak valós, illetve képzetes skaláris összetevői általános tetszőlegesen forgó közös „K” koordináta-rendszerben. - Forgórész zérus sorrendű feszültségvektor és annak valós illetve képzetes skaláris összetevői általános tetszőlegesen forgó közös „K” koordináta-rendszerben. - Állórész zérus sorrendű feszültségvektor természetes koordináta-rendszerben és annak pillanatértéke. - Forgórész zérus sorrendű feszültségvektor természetes koordináta-rendszerben és annak pillanatértéke. - Állórész feszültségvektor valós és képzetes skaláris összetevői állórészhez kötött közös koordináta-rendszerben. - Forgórész feszültségvektor valós és képzetes skaláris összetevői állórészhez kötött közös koordináta-rendszerben. - Zérus sorrendű állórész feszültségvektor skaláris összetevői állórészhez kötött közös koordináta-rendszerben. - Állórész feszültségvektor valós és képzetes skaláris összetevői szinkronforgó közös koordináta-rendszerben. - Forgórész feszültségvektor valós és képzetes skaláris összetevői szinkronforgó közös koordináta-rendszerben (állórészre redukálva). - Állórész feszültségvektor valós és képzetes skaláris összetevői forgórészhez kötött közös koordináta-rendszerben. - Állórészre redukált forgórész feszültségvektor valós és képzetes összetevői forgórészhez kötött közös koordináta-rendszerben. - Állórész névleges fázisfeszültség, annak csúcs- illetve bázis értéke. - Szinkron forgó komplex koordináta-rendszer valós tengelye. - Állórész össz háromfázisú reaktancia, forgórész állórészre redukált össz háromfázisú reaktancia, és háromfázisú mágnesező reaktancia értékei viszonylagos egységekben. - Szinkron forgó komplex koordináta-rendszer képzetes tengelye. - Vonatkoztatási (bázis) impedancia. - Szolenoid mágneses tengelyének fázisszöge. Állórész áramvektor térbeli fázisszöge állórészhez kötött koordináta-rendszerben. Állórészhez kötött komplex koordináta-rendszer valós tengelye. - Forgórész áramvektor térbeli fázisszöge forgórészhez kötött koordináta-rendszerben. - Gyűrűszegmens ellenállásának és szórási induktivitásának rúdra átváltó alapharmonikus átváltási tényezője. - Gyűrűszegmens ellenállásának és szórási induktivitásának rúdra átváltó zérus sorrendű átváltási tényezője. - Légrés-vastagság, megnövelt ekvivalens légrés-vastagság. - Fázisfeszültségek kezdeti fázisszöge. - A levegő abszolút permeabilitása.

- 10 -

VILLAMOS GÉPEK

θ, θk

θr θk(0), θ(0)

τ, τm ω1

ω,ω r

ω0 ω k , ω kr

ωb Ω ξs, ξs3 ξr, ξr3 ψ, ψ ψa, ψb, ψc ψa, ψb, ψc ψs, ψs ψra, ψrb, ψrc ψr, ψr ψsk, ψsdk, ψsqk ψrk, ψrdk, ψrqk ψmk, ψmdk, ψmqk ψsσκ, ψsσdk, ψsσqk ψrσκ, ψrσdk, ψrσqk

TÉRVEKTOROK ELMÉLETE - A forgórészhez kötött koordináta-rendszer valós tengelyének elfordulási szöge, valamint az általános tetszőlegesen forgó „K” közös koordináta-rendszer valós tengelyének elfordulási szöge, az állórészhez kötött koordináta-rendszer valós tengelyétől számítva. - A tetszőlegesen forgó általános „K”közös koordináta-rendszer valós tengelyének elfordulási szöge a forgórészhez kötött koordináta-rendszer valós tengelyéhez viszonyítva. - Az általános tetszőlegesn forgó "k"közös koordináta-rendszer,és a forgórészhez kötött koordináta-rendszer valós tegelyeinek kezdeti szöghelyzete a vizsgált átmeneti jelenség kezdeti pillanatában. - Időváltozó, mechanikai időállandó, mindkettő viszonylagos egységekben kifejezve. - Tápfeszültség körfrekvenciája. - Forgórész villamos szögsebessége alapharmonikus póluspárral számítva természetes és viszonylagos egységekben kifejezve. - Forgórész villamos szögsebessége zérus rendszerhez tartozó póluspárral számítva. - Általános tetszölegesen fórgó „K”közös koordináta-rendszer szögsebessége természetes és viszonylagos egységekben. - Vonatkoztatási (bázis) szögsebesség. - Forgórész mechanikai szögsebesség. - Alapharmonikus és zérus sorrendű állórész tekercselési tényezők. - Alapharmonikus és zérus sorrendű forgórész tekercselési tényezők. - Szolenoid fluxuskapcsolódásának térvektora és annak pillanatértéke. - Állórész fázisonkénti fluxuskapcsolódásainak pillanatértékei. - Állórész fázisonkénti fluxuskapcsolódásainak térvektora. - Állórész fluxuskapcsolódásainak térvektora természetes koordináta-rendszerben és annak pillanatértéke. - Forgórész fázisonkénti fluxuskapcsolódásainak pillanatértéke. - Forgórész fluxuskapcsolódásainak térvektora természetes koordináta-rendszerben és annak pillanatértéke. - Állórész össz fluxuskapcsolódásainak térvektora és annak valós és képzetes skaláris összetevői általános tetszőlegesen forgó „K” közös koordináta-rendszerben. - Forgórész össz fluxuskapcsolódásainak térvektora és annak valós és képzetes skaláris összetevői általános tetszőlegesen forgó „K” közös koordináta-rendszerben. - Alapharmonikus mágnesező fluxuskapcsolódás térvektora és annak valós és képzetes skaláris összetevői általános tetszőlegesen forgó „K” közös koordináta-rendszerben. - Állórész szórási fluxuskapcsolódásainak térvektora és annak valós és képzetes skaláris összetevői általános tetszőlegesen forgó „K” közös koordináta-rendszerben. - Forgórész szórási fluxuskapcsolódásainak térvektora és annak valós és képzetes skaláris összetevői általános tetszőlegesen forgó „K” közös koordináta-rendszerben. - 11 -

VILLAMOS GÉPEK

ψs0k, ψs0dk, ψs0qk ψr0k, ψr0dk, ψr0qk ψm0k, ψm0dk, ψm0qk ψsσ0, ψrσ0 ψs0, ψs0α, ψs0β ψr0, ψr0α, ψr0β ψm0, ψm0α, ψm0β ψsα, ψsβ ψrα, ψrβ ψmα, ψmβ ψsx, ψsy ψrx, ψry ψmx, ψmy ψsd, ψsq ψrd, ψrq ψmd, ψmq ψf ψDd, ψDq ψb

TÉRVEKTOROK ELMÉLETE - Állórész össz zérus sorrendű fluxuskapcsolódásainak térvektora és annak valós és képzetes skaláris összetevői általános tetszőlegesen forgó „K” közös koordináta-rendszerben. - Forgórész össz zérus sorrendű fluxuskapcsolódásainak térvektora és annak valós és képzetes skaláris összetevői általános tetszőlegesen forgó „K” közös koordináta-rendszerben. - Zérus sorrendű mágnesező fluxuskapcsolódásainak térvektora és annak valós és képzetes skaláris összetevői általános tetszőlegesen forgó „K” közös koordináta-rendszerben. - Állórész és forgórész zérus sorrendű fluxuskapcsolódások pillanatértékei. - Állórész zérus sorrendű össz fluxuskapcsolódásainak térvektora és annak valós és képzetes skaláris összetevői állórészhez kötött közös koordináta-rendszerében. - Forgórész zérus sorrendű össz fluxuskapcsolódásainak térvektora és annak valós és képzetes skaláris összetevői állórészhez kötött közös koordináta-rendszerében. - Zérus sorrendű mágnesező fluxuskapcsolódás térvektora és annak valós és képzetes összetevői állórészhez kötött közös koordináta-rendszerben. - Állórész fluxuskapcsolódási vektorának valós és képzetes skaláris összetevői állórészhez kötött közös koordináta-rendszerben. - Forgórész fluxuskapcsolódási vektorának valós és képzetes skaláris összetevői állórészhez kötött közös koordináta-rendszerben. - Mágnesező fluxuskapcsolódás vektorának valós és képzetes skaláris összetevői állórészhez kötött közös koordináta-rendszerben. - Állórész fluxuskapcsolódási vektorának valós és képzetes skaláris összetevői szinkronforgó közös koordináta-rendszerben. - Forgórész fluxuskapcsolódási vektorának valós és képzetes skaláris összetevői szinkronforgó közös koordináta-rendszerben. - Alapharmonikus mágnesező fluxuskapcsolódás vektorának valós és képzetes összetevői szinkronforgó közös koordináta-rendszerben. - Állórész fluxuskapcsolódási vektorának valós és képzetes skaláris összetevői forgórészhez kötött közös koordináta-rendszerben. - Forgórész fluxuskapcsolódási vektorának valós és képzetes skaláris összetevői forgórészhez kötött közös koordináta-rendszerben. - Alapharmonikus mágnesező fluxuskapcsolódás vektorának valós és képzetes összetevői forgórészhez kötött közös koordináta-rendszerben. - Szinkron gép gerjesztő-tekercsének össz fluxuskapcsolódása. - Szinkron gép csillapító kalickájának össz fluxuskapcsolódása hossz- és keresztirányban. - Vonatkoztatási (bázis) fluxuskapcsolódás.

- 12 -

VILLAMOS GÉPEK ψ rsk ψ rrk ψ rmk

TÉRVEKTOROK ELMÉLETE - Állórész fluxuskapcsolódási vektora általános tetszőlegesen forgó „K” közös koordináta-rendszerben, viszonylagos egységekben kifejezve. - Forgórész fluxuskapcsolódási vektora általános tetszőlegesen forgó „K” közös koordináta-rendszerben, viszonylagos egységekben kifejezve. - Alapharmonikus mágnesező fluxuskapcsolódás vektora általános tetszőlegesen forgó „K” közös koordináta-rendszerben, viszonylagos egységekben kifejezve.

- 13 -

VILLAMOS GÉPEK


1.BEVEZETŐ A három és többfázisú villamos gépek átmeneti üzemviszonyainak vizsgálata az állapotukra felírt differenciálegyenlet-rendszer segítségével oldható meg. Az első munkák ebből a témakörből az 1920-40-es években jelentek meg. A forgó villamos gépek átmeneti jelenségeinek vizsgálatában a forradalmi előrelépést az R.H.PARK által az 1926-os évben bevezetett újszerű megközelítés hozott. A Park transzformációk páratlan előnye, hogy lehetővé teszi az időben változó induktivitások kiküszöbölését a differenciálegyenletekből. Napjainkig különböző szerzők műveiben ( Forteskju , Klark , Kron) különböző eljárások és transzformációk jelentek meg. Ezeket az eljárásokat az általános villamos gépelmélet foglalja össze, és itt már rendszerezve is vannak. Tekintettel arra a körülményre, hogy a felsorolt eljárások közül, eleganciája és áttekinthetősége miatt a térvektoros módszer vált egyeduralkodóvá, a továbbiakban csak ezt a módszert ismertetjük. A háromfázisú és többfázisú villamos gépek átmeneti jelenségeik vizsgálata, vagy a félvezetős átalakítókkal történő táplálásuk elemzése, a térvektorok felhasználásával sokkal egyszerűbbé és áttekinthetőbbé válik. Különösen egyszerű az m-fázisú gép szimmetrikus üzemének a vizsgálata. A térvektorok ebben az üzemi állapotban lehetővé teszik, hogy a vizsgálatot 2m ismeretlent tartalmazó differenciálegyenlet-rendszer helyett, mindössze két vektoros differenciál egyenlet leírásával vegyük figyelembe. Az egyik az állórész oldali viszonyokra, a másik pedig a forgórész oldali viszonyokra vonatkozik. Az 1960-1980-as években, a tirisztorokkal táplált aszinkron motorok állandósult és átmeneti jelenségeinek vizsgálata során, a térvektoros módszer kidolgozásában és bevezetésében úttörő szerepet játszottak: Kovács K. P. és Rácz I. Ettől az időtöl kezdve a villamos hajtások jelenségeinek vizsgálatánál a térvektoros elmélet széles körben elfogadott és elismert vizsgálati módszeré válik. Meg kell még említeni, hogy a szakirodalom a térvektoros elméletet az alábbi neveken is említi: Park-vektoros elmélet, Park – Gorev vektoros elmélet, Háromfázisú vektoros elmélet, és így tovább.

2.TÉRVEKTOROK DEFINICIÓJA A különböző koordináta rendszerekben elvégzendő későbbi vizsgálataink során, a térvektorok szimbólumainál aláhúzásos jelöléseket fogunk alkalmazni. Ezzel különbséget teszünk a térvektorok és az időbeli komplex mennyiségek között, melyeknél a felülhúzásos jelölés honosodott meg.

2.1 Szolenoid térvektorai A 2.1.-ábrán álló koordináta-rendszerben egy N-menetszámú szolenoid látható. Tételezzük fel, hogy e szolenoid olyan váltakozó feszültségre van kapcsolva, amelynek pillanat értéke u , és ennek következtében a tekercsben jelentkező váltakozó áram pillanatértéke i. A szolenoid mágneses gerjesztése F=Ni , a tekercs térbeli mágneses tengelye mentén az áram pillanatértékeitől függően az egyik, vagy a másik irányba hat. Eközben feltételezzük, hogy a pillanatgerjesztés akkor lesz pozitív előjelű, amikor a pillanatáram a tekercsbe az x – kapocs felől folyik.

- 14 -

VILLAMOS GÉPEK


2.1. ábra. A felgerjesztett szolenoid térvektorai. Megfigyelhetjük, hogy a szolenoid mágneses tengelyének plusz előjelű része, az adott térbeli komplex koordináta-rendszer valós tengelyének plusz előjelű részéhez viszonyítva (+Re) pozitív irányban (az óramutató járásával ellentétes irányban) térbelűleg α villamos szöggel elfordított. Ebből kifolyólag a szolenoid i áramvektorának, F gerjesztés vektorának, u feszültségvektorának és ψ fluxuskapcsolódás vektorának meghatározására a következő kifejezéseket írhatjuk fel : i = i ⋅ e jα F = N ⋅ i ⋅ e jα u = u ⋅ e jα ψ = ψ ⋅ e jα = L ⋅ i ⋅ e jα

(2.1) (2,2) (2.3) (2.4)

A 2.4 .egyenletben „L” a tekercs induktivitását jelenti. Belátható, hogy a tekercs mágneses tengelyének térbeli elfordulása, a szolenoid térvektorainak irányát is megváltóztatja. A térvektorok kifejezései komplex koordináta-rendszerekben poláris alak helyett, merőleges összetevőik útján is meghatározhatók. Ezen összetevők különböző álló és forgó koordináta-rendszerekben történő meghatározásával a későbbi fejezetekben foglalkozunk.

3. AZ ÁLLÓRÉSZ TÉRVEKTORAI TERMÉSZETES KOORDINÁTA-RENDSZERBEN A többfázisú állórész térvektorainak meghatározási módszerét, a háromfázisú aszinkron motor példáján mutatjuk be. - 15 -

VILLAMOS GÉPEK


a.) b.) 3.1. ábra. A háromfázisú tekercselés elhelyezése, és a mágneses gerjesztéseinek térvektorai A 3.1.a ábrán az állórész fázistekercseinek elhelyezése (a-x , b-y , c-z), és gerjesztéseinek térbeli mágneses tengelye (A-B-C) látható. Eközben a térbeli komplex koordináta-rendszert úgy választottuk meg, hogy annak valós tengelye (Re), egybeessen az első fázis (a-x) lüktető gerjesztésének mágneses tengelyével. Az így megválasztott koordináta-rendszert a későbbi fejezetekben TERMÉSZETES koordináta-rendszernek fogjuk nevezni. Ebből kifolyólag a másik két fázis, (b-y , c-z) lüktető gerjesztéseinek plusz előjelű mágneses tengelyei a természetes koordináta-rendszer plusz előjelű valós tengelyéhez viszonyítva, 120˚ illetve 240˚ fokos szöggel elfordulva helyezkednek el.

3.1 Az állórész áramainak térvektora Induljunk ki abból a feltételezésből, hogy az állórész fázistekercsei ( ia , ib , ic ) pillanatáramokkal, gerjesztett állapotban vannak. A fázisonkénti lüktető gerjesztések mágneses tengelyeinek térbeli meghatározása céljából (3.1.b ábra),az alábbi kifejezés szerint meghatározható a komplex egységvektort vezetjük be. o

a = e j120 = −1 / 2 + j 3 / 2 2

(3.1)

o

a = e j 240 = −1 / 2 − j 3 / 2

(3.2)

Ennek a segítségével a fázisáramok ( i a , i b , i c ) térvektorainak meghatározására a következő egyenleteket írhatjuk fel. i a = ia

(3.3) 0

i b = ib e j120 = aib 0

(3.4)

2

i c = ic e j 240 = a ic

(3.5)

Tekintettel arra, hogy a háromfázisú gépeknél a három fázis együttes hatását kívánjuk figyelembe venni, a hatékonyabb tárgyalás érdekében célszerű a fázisonkénti áramvektorok összegét vizsgálni. Az eredő áramvektor értéke: - 16 -

VILLAMOS GÉPEK

TÉRVEKTOROK ELMÉLETE 2

i = i a + i b + i c = ia + a ⋅ ib + a ⋅ ic

(3.6)

A további tárgyalások során azonban, gyakorlati okok miatt, az eredő áramvektor helyett annak 2/3-szorosával fogunk számolni. Az így kapott vektort az állórész áramvektorának fogjuk nevezni: is =

2 2 2 ( i a + i b + i c ) = ( ia + a ⋅ ib + a ⋅ ic ) 3 3

(3.7)

Ki kell hangsúlyozni, hogy a 2/3-os szorzó a 3.7 egyenletben nem önkényesen lett kiválasztva. Ennek alapja az ,hogy a háromfázisú gépeknél az eredő gerjesztés ( Fs ) értéke 3/2szerese a fázisonkénti gerjesztés amplitúdók ( F f ) értékeinek. Így, ha most fordítva a háromfázisú gerjesztésből kiindulva a fázisonkénti értékeket kívánjuk meghatározni természetszerűen adódik a kétharmados szorzó. A (3.7) egyenletből adódik, hogy az állórész áramai térvektorának pillanatértékét és irányítását a fázisáramok pillanat értékei (ia , ib , ic ) , irányát pedig a fázistekercsek mágneses tengelyeihez tartozó (lüktető gerjesztések tengelyei ) szöghelyzet határozza meg. Az állórész áramvektor végpontja által, különböző üzemi állapotban leírt pályák általános alakjai a 3.2 ábrán vannak feltüntetve.

a.

b.

c.

3.2. ábra .Az állórész áramvektora által leírt pályák általános alakjai. A 3.2.a-pálya a szimmetrikus állandósult állapotra, a 3.2.b pálya aszimmetrikus állandósulta állapotra, a 3.2.c pálya pedig átmeneti üzemi állapotra vonatkozik. Meg kell említeni, hogy az állórész áramvektor kifejezése a 3.7 egyenletben nem tartalmazza az alábbi egyenlet szerint meghatározható zérus sorrendű (is 0 ) összetevőt is0 =

1 (ia + ib + ic ) 3

(3.8)

mert ez az áram a 3.7 egyenletből természetszerűen kiesik Biyonyítás:

[(

) (

)

(

)]

2 2 2 2 2 i s = ( i a + i b + i c ) = ( ia + a ⋅ ib + a ⋅ ic ) = ia' + is0 + a ib' + is0 + a ic' + is0 = 3 3 3

- 17 -

VILLAMOS GÉPEK

[(


)] (

) (

)

2 2 2 2 ' 2 ia + a ⋅ ib' + a ⋅ ic' + is0 1 + a + a = ia' + a ⋅ ib' + a ⋅ ic' (3.9) 3 3 A (3.9)egyenletben ia′ , ib′ , ic′ jelölésekkel a fázisáramok pillanatértékeinek zérus sorrendü áramokat nem tartalmazó összetevöit jelöltük. Ezért azokban a ritka esetekben, ahol az aszimmetrikus terhelés miatt az eddig definiált alapharmonikus térvektorok mellet zérus sorrendű térvektorok is megjelennek, a pillanatértékek meghatározása során ez utóbbiak pillanatértékeit külön egyenletrendszerrel kell figyelembe venni. A zérus sorrendű mennyiségek térvektorait és egyenletrendszereit később külön fejezetben fogjuk tárgyalni. A térvektoros módszer alkalmazása során, szükségszerű a térvektorok szétcsatolása fázisok szerinti pillanat értékekre. A szétcsatolás módját, a természetes koordináta-rendszerben definiált állórész áram vektoránál adjuk meg:

=

()

ia = Re is + is0

(3.10)

( ) 2

ib = Re a ⋅ is + is0

(3.11)

ic = Re a ⋅ is + is0

(3.12)

( )

mivel, hogy:  2   1  1 3 3    ib +  − − j ic   = Re ( i s ) = Re  ia +  − + j   2  2 2 2  3        2 3 1  =  ia − (ia + ib + ic ) = ia − is 0 3 2 2 

(3.13)

Megjegyzendő, hogy a szimmetrikus táplálású gépek átmeneti jelenségeinek vizsgálata során nem kell zérus sorrendű mennyiségekkel számolni ( is 0 = 0 ). Olyan aszimmetriák vizsgálatánál sem szükséges zérus sorrendű mennyiségekkel számolni ahol a csillagpont meggátolja a zérus sorrendű áramok kialakulását

3.2 Az állórész gerjesztések térvektorai Állórész oldalon a fázisonkénti alapharmonikus gerjesztések térvektorai ( F a , F b , F c ),az alábbi mátrix egyenlettel jellemezhetők:  ia  F a  i a   F  = 2 ⋅ N s ξ s i  = 2 ⋅ N s ξ s  a ⋅ i   b π p  b π p  2 b  a ⋅ ic   F c  i c 

(3.14)

A (3.14) egyenletben szereplő N s , ξ s és p, jelölések, fázisonkénti menetszámot, tekercselési tényezőt és póluspár számot képviselnek. A fázisonkénti gerjesztések általános esetben a tekercsek mágneses tengelyei mentén, a gerjesztő áramok pillanatértékeivel összhangban lüktetnek. Maximális értékeiket a gerjesztő áramok pillanatértékeinek maximumánál érik el. Ebből megállapítható ,hogy a fázisonkénti gerjesztések térvektorai a térbeli komplex koordináta-rendszerben fázisban vannak a hozzájuk tartozó gerjesztő áramok térvektoraival.

- 18 -

VILLAMOS GÉPEK


Az állórész gerjesztéseinek térvektorát, a fázisonkénti gerjesztések térvektorának vektoriális összegzésével nyerjük: Fs = Fa + Fb + Fc = =

(

)

2 2 N sξs (i a + i b + i c ) = 2 ⋅ N s ξ s ia + a ⋅ ib + a ⋅ ic = ⋅ π p π p

3 N sξs ⋅ is π p

(3.15)

Az állórész gerjesztéseinek térvektora ( F s ) fázisban van az állórész áramainak térvektorával ( i s ). E vektorok csúcsa az átmeneti jelenség során olyan spirális pályát ír le, amely állandósult szimmetrikus üzemi állapotnál kör, állandósult aszimmetrikus üzemi állapotnál pedig elipszis alakú pályává módosul.

3.3Az állórész feszültségek térvektorai Az állórész fázistekercseire kapcsolt tápfeszültségek ( u a , u b , u c ) pillanatértékeiből kiindulva, e feszültségek fázisonkénti térvektorai a következők: u a = ua

(3.16) o

u b = ub ⋅ e j120 = a ⋅ ub o

(3.17)

2

u c = uc ⋅ e j240 = a ⋅ uc

(3.18)

Az állórész feszültségeinek térvektorát a fázisonkénti feszültségvektorok összegének 2/3szorosa alapján számítjuk ki. us =

2 2 2 ( u a + u b + u c ) = ( u a + a ⋅ ub + a ⋅ u c ) 3 3

(3.19)

Az energia elosztó hálózatra kapcsolt aszinkron gépeknél, a feszültségek pillanatértékei azonosak a hálózati feszültségekkel, és ezek időben változó periodikus függvények. Az állórész feszültségek ω1 körfrekvenciája tehát: (3.20)

ω1 = 2π ⋅ f 1

ahol f1 a hálózati frekvencia. Ilyen esetekben a fázisonkénti feszültségeket a következő kifejezésekkel tudjuk meghatározni: ^

ua = U 1 cos(ω1t + ϕ )

(3.21)

ub = U 1 cos(ω1t + ϕ − 120o )

(3.22)

uc = U 1 cos(ω1t + ϕ − 240o )

(3.23)

^

^

A fenti egyenletekben: Uˆ 1 - a feszültség amplitúdó, ϕ - a feszültséghez tartozó kezdeti fázisszög. - 19 -

VILLAMOS GÉPEK


A vizsgálat leegyszerűsítése érdekében, a feszültségek pillanatértékeit Euler reláció felhasználásával, komplex alakban írjuk fel: ^

^

u a = U 1 e j (ω1t +ϕ ) = U 1 [cos(ω1t + ϕ ) + j sin(ω1t + ϕ )]

(3.24)

^ ^ o u b = U 1 e j (ω1t +ϕ −120 ) = U 1 cos ω1t + ϕ − 120 o + jsin ω1t + ϕ − 120 o

(3.25)

^ ^ o u c = U 1 e j (ω1 +ϕ −240 ) = U 1

(3.26)

[ ( ) ( )] [cos(ω t + ϕ − 240 ) + jsin(ω t + ϕ − 240 )] o

1

o

1

A pillanatértékek komplex alakjának megjelölésére felülhúzásos kis betűket alkalmazunk, azzal a céllal, hogy ezeket az értékeket megkülönböztessük a hozzájuk tartozó térvektorok jelölésétől A komplex alakú pillanatfeszültségek bevezetésével a fázisfeszültségek pillanatértékeinek meghatározására a következő egyenleteket írhatjuk fel:

ua = Re u a =

(

1 * ua + ua 2

(

(3.27)

)

1 * ub + ub 2 1 * uc = Re u c = u c + u c 2 ub = Re u b =

)

(

(3.28)

)

(3.29)

Az (3.27,3.28,3.29) egyenletekben, csillag kitevővel a konjugált komplex alakot jelöltük meg. Ha a ezeket a pillanatértékeket a (3.19) egyenletbe helyettesítjük, az állórész feszültségeinek térvektorra a következő alakot veszi fel: ^

u s = u a = U 1 e j (ω1t +ϕ )

(3.30)

Összefoglalva: Szimmetrikus táplálás esetén az állórész feszültségeinek térvektora egyenlő az első fázis pillanatfeszültségének komplex alakjával. Ez a térvektor ω1 villamos szögsebességgel forog. A vektor csúcsa a 3.3 ábrán látható kör alakú pályát irja le.

3.3.ábra.A állórész feszültség-térvektor csúcsa által leírt pálya szimmetrikus táplálás mellett.

- 20 -

VILLAMOS GÉPEK


3.4.Az állórész fluxuskapcsolódásainak térvektora Ha figyelembe vesszük azt a körülményt, hogy a fluxuskapcsolódások a megfelelő fázisonkénti gerjesztő áramoktól keletkeznek, az állórész fluxuskapcsolódásainak térvektorára, az áramok térvektorához hasonló kifejezés írható fel. Amennyiben ψ a ,ψ b ,ψ c az állórész fázisonkénti fluxuskapcsolódások pillanatértékeit jelentik, úgy az állórész fluxuskapcsolódásainak térvektorára (ψ s ) a következő kifejezést írhatjuk fel: ψs =

2 2 2 ( ψ a + ψ b + ψ c ) = (ψ a + a ⋅ ψb + a ⋅ ψ c ) 3 3

(3.31)

4. A FORGÓRÉSZ TÉRVEKTORAI KOORDINÁTA-RENDSZERBEN

TERMÉSZETES

Amennyiben a forgórész háromfázisú tekercsel van ellátva, akkor a forgórész térvektorainál alkalmazhatjuk mindazokat az eredményeket, amelyeket az állórész térvektorainál már említettünk. Itt azonban meg kell említenünk egy nagyon fontos tudnivalót. Az állórész térvektorait az állórészhez kapcsolt koordináta-rendszerben határoztuk meg úgy, hogy a komplex számsík valós tengelye egybeessen az első fázistekercs mágneses tengelyével. Hogyha a forgórész térvektorait kívánjuk meghatározni, akkor a komplex-koordináta rendszert a forgásban levő forgórészhez kell rögzíteni. Ha e koordináta-rendszert úgy választjuk meg, hogy a valós tengelye egybeesssék a forgórész első fázistekercsének mágneses tengelyével, akkor a forgórész térvektorai az állórész térvektoraihoz hasonló alakban írhatóak fel. Az olyan koordináta rendszereket, melyek valós tengelye egybeesik az első fázistekercs mágneses tengelyével , úgy az állórésznél vagy forgórésznél, természetes koordinátarendszernek nevezzük. Ilyen forgórészhez kötött, forgórésszel együtt forgó természetes koordináta-rendszerben a forgórész áramainak i r térvektorára a következő kifejezés írható fel: 2 2 i r = ( ira + a ⋅ irb + a ⋅ irc ) 3

(4.1)

A (4.1) egyenletben ira ,irb ,ira jelölésekkel a forgórész fázistekercseiben fellépő pillanatáramok értékeit jelöltük. A forgórész feszültségeinek térvektorát, a forgórész fázisfeszültségeinek pillanatértéke alapján határozzuk meg: 2 2 u r = ( ura + a ⋅ urb + a ⋅ urc ) 3

(4.2)

E feszültség zérus értéket fesz fel ( u r = 0 ), amennyiben az aszinkron gép forgórésze rövidrezárt. Legvégül a forgórész fluxuskapcsolódásainak (ψ r ) térvektora, a fázisonkénti fluxuskapcsolódások eredményezi:

(ψ ra ,ψ rb ,ψ rc )

pillanatérétkeinek

- 21 -

felhasználásával

a

következő

kifejezést

VILLAMOS GÉPEK


2 2 ψ r = (ψ ra + a ⋅ ψ rb + a ⋅ ψ rc ) 3

(4.3)

Ki kell hangsúlyozni, hogy a (4.1,4.2,4.3) egyenletek a kalickás forgórészű aszinkron gépeknél is alkalmazhatók. Ezeknél a gépeknél a számítást állórészre redukált forgórész áramokkal és feszültségekkel kell elvégezni. Ez azt jelenti, hogy a számítás során a többfázisúnak tekinthető forgórész kalickát olyan ekvivalens háromfázisú tekercseléssel helyettesíthetjük, melynek fázistekercsei pontosan megegyeznek az állórész fázistekercseivel.

5. FLUXUSKAPCSOLÓDÁSOK ÉS FESZÜLTSÉGEGYENLETEK TERMÉSZETES KOORDINÁTA-RENDSZEREKBEN Az 5.1 ábra a háromfázisú aszinkron gép állórész és forgórész tekercseinek térbeli helyzetét szemlélteti természetes koordináta-rendszerekben. Eközben feltételezzük, hogy a forgórész tekercs első fázisának mágneses tengelye Re(R), időben változó θ villamos szöggel elfordult az állórész első fázistekercse mágneses tengelyéhez Re(S) viszonyítva (Természetes koordináta-rendszerek reális tengelyeinek elfordulása). A következő tárgyalásaink során megvizsgáljuk hogyan hat ki ez az elfordulási szög a fluxuskapcsolódások térvektoraira, és a tárgyalt gép feszültségegyenleteire.

5.1.ábra Háromfázisú aszinkron gép állórész és forgórész fázistekercseinek helyzetváltozása természetes koordináta rendszerekben.

- 22 -

VILLAMOS GÉPEK


A forgórész ω villamos szögsebességének meghatározására a következő kifejezést írhatjuk fel: ω=

dθ dt

(5.1)

5.1 Az állórész fluxuskapcsolódásai A fluxuskapcsolódások meghatározása során a gerjesztés–eloszlásból, csak az alap harmonikust vesszük figyelembe. Feltételezzük továbbá, hogy az állórész és a forgórész közötti légrés állandó. Ilyen feltételezés mellett az állórész fázisonkénti fluxuskapcsolódásainak meghatározására a következő egyenletet írhatjuk fel: ψ a  l sσ ψ  = l  b   sm ψ c  l sm

l sm l sσ l sm

l sm  ia   lm     l sm  ib  + l m cos240 o l sσ  ic  l m cos120 o

l m cos120 o lm l m cos240 o

l m cos240 o  ia   l sm cos120 o  ib  +  ic  lm 

 lm cosθ lm cos(120 o + θ) lm cos(240 o + θ)  ira    + lm cos(240 o + θ) lm cosθ lsm cos(120 o + θ) irb  lm cos(120 o + θ) lm cos(240 o + θ)  irc  lm cosθ  

(5.2)

ahol: lsσ - Állórész tekercselés fázisonkénti szórási induktivitása l sm - Állórész tekercselés fázisonkénti kölcsönös szórási induktivitása l m - Állórész és forgórész fázistekercseinek kölcsönös mágnesező induktivitása egybevágó mágneses tengelyhelyzet esetén. Itt meg kell jegyezni, hogy az 5.2 egyenletben szereplő induktivitások fázisonként lettek meghatározva úgy, hogy a többi fázistekercs hatását figyelmen kívül hagytuk. Ezeket az úgynevezett egyfázisú induktivitásokat kis betűkkel jelöltük a célból, hogy megkülönböztessük őket a háromfázisú, vagy más néven közös induktivitásoktól, amelyeket későbbi tárgyalásaink során nagy betűkkel fogunk jelölni, tekintettel arra, hogy ez utóbbiak a háromfázisú gépek megszokott tárgyalásai során már rendszeresítve vannak. Ha az 5.2 egyenletek alapján a megfelelő fluxuskapcsolódások pillanatértékeit, a 3.31 egyenletbe helyettesítjük, akkor az állórész fluxuskapcsolódásainak térvektora az alábbi egyenlet szerint módosul: 2 2 3 3 ψ s = (ψ a + a ⋅ ψb + a ⋅ ψ c ) = (lsσ − lsm )i s + lm i s + lm i r e jθ 3 2 2

(5.3)

Továbbá, ha az (5.3) egyenletben a fázisonkénti induktivitások értékeit, háromfázisú, vagy más néven közös induktivitásokkal helyettesítjük, akkor az állórész fluxuskapcsolódásainak a térvektora a következő egyenlet szerint alakul: ψ s = Lsσ i s + Lm i s + Lm i r e jθ

(5.4)

- 23 -

VILLAMOS GÉPEK


ahol: Lsσ - Háromfázisú (közös) fázisonkénti szórási induktivitás. Lm - Háromfázisú (közös) mágnesező induktivitás. A háromfázisú (közös) szórási induktivitást fázisonként úgy határozzák meg, hogy az adott fázistekercsnél a másik két fázis hatását is figyelembe veszik. Az 5.3 és 5.4 egyenletek összehasonlítása alapján a háromfázisú és az egyfázisú induktivitások között a következő kapcsolat állapítható meg: Lsσ = lsσ − lsm (5.5) 3 Lm = lm (5.6) 2 Az állórész egy fázisára vonatkozó háromfázisú (közös) összinduktivitását a megfelelő szórási és mágnesező induktivitások összegezésével nyerjük. Ls = Lsσ + Lm

(5.7)

Az (5.7) egyenletet a (5.4) egyenletbe helyettesítve, az állórész fluxuskapcsolódásainak térvektora az alábbi egyenlet szerint módosul: ψ s = Ls i s + Lm i r e jθ

(5.8)

Az elmondottak alapján megállapíthatjuk, hogy az állórész fluxuskapcsolódásainak vektora (ψ s ), természetes koordináta-rendszerekben , az állórész és forgórész villamos elfordulási szögétől

( θ )is függ. Ez a villamos szög attól a kezdeti helyzettől számítandó, ahol az állórész és forgórész természetes koordináta-rendszerei fázisban voltak.

5.2 A forgórész fluxuskapcsolódásai A forgórész fázistekercseinek fluxuskapcsolódásaira a következő mátrixegyenlet írható fel: ψ ra  lrσ ψ  = l  rb   rm ψ rc  lrm

lrm l rσ lrm

lrm  ira   lm     lrm  irb  + lm cos240 o lrσ  irc  lm cos120 o

lm cos120 o lm lm cos240 o

lm cos240 o  ira   lm cos120 o  irb  +  irc  lm 

 l m cosθ l m cos(120 o − θ) l m cos(240 o − θ) ia    + l m cos(240 o − θ) l m cosθ l m cos(120 o − θ) ib  l m cos(120 o − θ) l m cos(240 o − θ)  ic  l m cosθ  

(5.9)

ahol: l rσ - Forgórésztekercselés állórészre redukált fázisonkénti szórási induktivitása.

lrm - Forgórésztekercselés állórészre redukált kölcsönös szórási induktivitása. Amennyiben az (5.9) egyenletekből a megfelelő fluxuskapcsolódások értékeit a (4.3) egyenletbe helyettesítjük a forgórész fluxuskapcsolódásainak kifejezése a következő alakot veszi fel: - 24 -

VILLAMOS GÉPEK


2 2 3 3 ψ r = (ψ ra + a ⋅ ψ rb + a ⋅ ψ rc ) = (lrσ − lrm )i r + lm i r + lm i s e - jθ 3 2 2

(5.10)

Ha az (5.10) egyenletben a fázisonkénti induktivitásokat, megfelelő háromfázisú (közös) induktivitásokkal helyettesítjük, a forgórész fluxuskapcsolódásai térvektorának egyenlete a következőképpen módosul: ψ r = Lrσ i r + Lm ir + Lm i s e-jθ

(5.11)

ahol: Lrσ - Forgórész tekercselés állórészre redukált háromfázisú (közös) fázisonkénti szórási induktivitása. Az (5.10) és (5.11) egyenletek összehasonlítása alapján a háromfázisú (közös) és az egyfázisú forgórész induktivitások között a következő kapcsolat állapítható meg: Lrσ = lrσ − lrm

(5.12)

A forgórész egy fázisra vonatkozó háromfázisú (közös) össz induktivitását a megfelelő szórási és mágnesező induktivitások összege adja: Lr = Lrσ + Lm

(5.13)

Ha az (5.13) egyenletet az (5.11) egyenletbe fluxuskapcsolódásainak térvektorára a következő kifejezés adódik: ψ r = Lm i s e -jθ + Lr i r

helyettesítjük,

a

forgórész

(5.14)

Megállapítható, hogy ez a természetes koordináta-rendszerben definiált fluxus kapcsolódási vektor az állórész és forgórész áramok térvektora mellett, a forgórész kiinduló helyzetétől számított elfordulási villamos szöghelyzettől is függ.

5.3 Feszültségegyenletek A háromfázisú gépek átmenti jelenségeinek szimulációját természetes koordinátarendszerben hat differenciálegyenlettel tudjuk figyelembe venni. Ezek közül három az állórész, három a forgórészre vonatkozik. Az állórész differenciálegyenlet-rendszere: dψ a dt dψ u b = R s ib + b dt dψ u c = Rs ic + c dt u a = Rs ia +

(5.15)

- 25 -

VILLAMOS GÉPEK


A forgórész differenciálegyenlet-rendszere: dψ ra dt dψ (5.16) urb = Rr irb + rb dt dψ urc = Rr irc + rc dt Az 5.15-os feszültségegyenletekben Rs jelöléssel az állórész fázistekercseinek ellenállását az 5.16-es egyenletben Rr jelöléssel pedig a forgórész állórészre redukált fázisonkénti ellenállását jelöltük meg. Ha az 5.15 és az 5.16 egyenletrendszerek megfelelő pillanatértékeit a 3.19, illetve az 4.2 térvektoros feszültségegyenletekbe helyettesítjük, akkor természetes koordinát-rendszerben a következő vektoros differenciálegyenlet-rendszerhez jutunk el. ura = Rr ira +

u s = Rs i a + u r = Rr i r +

dψ s dt dψ r dt

,

ψ s = Ls i s + Lm i r e jθ

,

ψ r = Lm i s e -jθ + Lr i r

(5.17)

Hátrányos oldala ennek a vektoros egyenletrendszernek az, hogy a fluxuskapcsolódások értékét a rotor elfordulási szöge is befolyásolja.

6.HÁROMFÁZISÚ GÉP TÉRVEKTORAI ÉS EGYENLETEI ÁLTALÁNOS KÖZÖS KOORDINÁTA-RENDSZERBEN Azok a nehézségek amelyek a fluxuskapcsolódások (5.8) (5.14) egyenleteiben az e jθ , e − jθ jelenség miatt a természetes koordináta rendszerek egyenleteinél (5.17) fellépnek, áthidalhatóak olymódon, hogy az állórész és forgórész vektoros egyenleteit azonos koordináta-rendszerben írjuk fel. Ez a tetszőleges komplex koordináta-rendszer lehet álló vagy forgó. Ez azt jelenti, hogy amikor a vizsgálatot álló koordináta-rendszerben kívánjuk megvalósítani, akkor a forgórész vektoros mennyiségeit kell áttranszformálni álló koordináta-rendszerbe. A megállapítás fordítva is érvényes. Amennyiben a vizsgálatot rotorhoz kötött koordináta-rendszerben kívánjuk elvégezni, akkor az állórész oldalon kell a transzformációt elvégezni.

6.1 A térvektorok transzformálása természetes koordináta-rendszerekből általános közös koordináta-rendszerbe és fordítva A természetes koordináta-rendszerben meghatározott állórész térvektorok transzformálása és visszatranszformálása során a 6.1 ábrán látható helyzetből indulunk ki. Ezen az ábrán az állórész áramainak i s térvektora egy időben természetes Re(s), és általános tetszölegesen fórgó közös koordináta- rendszerben Re(k) is fel van tüntetve. Az állórész i s áramvektorának helyzetét, természetes álló koordináta-rendszerben Re(s) a térbeli α fázisszög határozza meg. - 26 -

VILLAMOS GÉPEK


6.1.ábra. Az állórész áramvektorának transzformálása természetes álló koordináta-rendszerből Re(s ), általános tetszölegesen forgó közös koordináta rendszerbe Re(k). Ha az általános közös komplex koordináta-rendszert Re(k), Im(k) úgy képzeljük el, hogy az a számsíkra merőleges, origón keresztülhaladó tengely körül tetszőleges ω k villamos szögsebességgel forog, akkor az állórész áramvektora ( i sk ) az általános közös koordinátarendszerben az alábbi értéket veszi fel: i sk = is ⋅ e j(α - θ k ) = i s ⋅ e-jθ k

(6.1)

A (6.1) egyenletben a θ k szög változására nem határoztuk meg semmilyen kikötést. Általános esetben θk = θk (0 ) + ∫ ωk dt

(6.2)

vagyis: ωk =

dθk dt

(6.3)

Általános esetben, ha az általános közös koordináta-rendszer tetszőleges ω k szögsebességgel forog, az álló koordináta-rendszerben meghatározott térvektorok forgó koordinátarendszerbe történő áttranszformálása során, a következő egyenleteket kell használni: i sk = i s ⋅ e -jθk

(6.4)

u sk = u s ⋅ e -jθk

(6.5)

ψ sk = ψ s ⋅ e -jθk

(6.6)

Fordított esetben, amikor a térvektorokat az általános fórgó koordináta-rendszerből, álló koordináta- rendszerbe kívánjuk áttranszformálni az eljárás fordított. i s = i sk ⋅ e jθk

(6.7)

u s = u sk ⋅ e

(6.8)

jθ k

- 27 -

VILLAMOS GÉPEK


ψ s = ψ sk ⋅ e jθk

(6.9)

A forgórész térvektorainak tetszőleges közös koordináta-rendszerbe történő transzformálása során figyelembe kell venni a forgórész elfordulásának θ villamos szögét is.

6.2.ábra.A forgórész áramvektorának transzformálása forgórészhez kötött Re(R) természetes koordináta-rendszerből,általános közös Re(k) forgó koordináta-rendszerbe. A 6.2 ábrán a forgórész i r áramvektorát tüntettük fel, forgórészhez kötött Re(R), állórészhez kötött Re(s) és közös Re(k) forgó koordináta-rendszerben. A közös forgó koordináta-rendszer Re(k) és a természetes, forgórészhez kötött koordináta-rendszer Re(R) tengelyei között a szögelfordulás értéke: θr = θk − θ

(6.10)

Ebből eredően, közös koordináta-rendszerben a forgórész áramvektorára i rk a következő egyenletet írhatjuk fel: i rk = ir ⋅ e j( α r −θr ) = i r ⋅ e -jθr = i r ⋅ ⋅e -j(θk −θ)

(6.11)

Általános esetben, ha a forgórészhez kötött természetes koordináta-rendszerben Re(R) meghatározott térvektorokat közös forgó koordináta-rendszerben Re(K) kívánjuk transzformálni, ezt a következő egyenletekkel valósíthatjuk meg: i rk = i r ⋅ e -j(θk −θ) u rk = u r ⋅ e

(6.12)

-j(θ k −θ)

ψ rk = ψ r ⋅ e

(6.13)

-j(θ k −θ)

(6.14)

Fordított esetben, amikor a térvektorokat közös forgó koordináta-rendszerből, rotorhoz kötött természetes koordináta-rendszerbe kívánjuk visszatranszformálni, ezt a következő egyenletekkel valósíthatjuk meg: i r = i rk ⋅ e j(θ k − θ) = i rk ⋅ e j(ωk - ω)t u r = u rk ⋅ e j(θ k − θ) = u rk ⋅ e j(ωk - ω)t ψ r = ψ rk ⋅ e j(θ k − θ) = ψ rk ⋅ e j(ωk - ω)t

(6.15) (6.16) (6.17)

- 28 -

VILLAMOS GÉPEK


6.2 Fluxuskapcsolódások és áramvektorok kapcsolata az induktivitásokon keresztül közös koordináta-rendszerben Az állórész és forgórész fluxuskapcsolódásainak vektorait a megfelelő áramvektorok és a háromfázisú (közös) induktivitások utján a természetes koordináta-rendszerekben meghatározott értékekből kiindulva határozzuk meg. Az (5.4) egyenletet a (6.6) egyenletbe helyettesítve az állórész fluxuskapcsolódásainak vektora a következő egyenlet szerint alakul: ψ sk = ψ s ⋅ e -jθ k = ( Lsσ i s + Lm i s + Lm i r e jθ )e-jθ k = Lsσ i sk + Lm i sk + Lm i rk

(6.18)

Hasonló eljárással határozzuk meg a forgórész fluxuskapcsolódásainak térvektorát is. Ha a (5.11) egyenletet a (6.14) egyenletbe helyettesítjük a következő értéket kapjuk: ψ rk = ψ r ⋅ e -j(θ k − θ) = ( Lrσ i r + Lm i r + Lm i s e-jθ )e -j(θ k − θ) = Lrσ i rk + Lm i rk + Lm i sk

(6.19)

Megállapíthatjuk, hogy a fluxuskapcsolódások térvektoraiból a transzformáció után eltűnik az időben változó szög . Összefoglalva:az általános közös koordináta-rendszer a háromfázisú forgó gépek tárgyalását egy ekvivalens transzformátor tárgyalására egyszerűsíti. Az állórész áramvektora és a forgórész állórészre redukált áramvektorának összegzésével a mágnesező áramvektor értékéhez jutunk. i mk = i sk + i rk

(6.20)

Ez lehetővé teszi, hogy a fluxuskapcsolódások vektorait úgy állórész oldalon, mint forgórész oldalon szétcsatoljuk mágnesező fluxuskapcsolódás (ψ mk ) és szórási fluxuskapcsolódások (ψ sσk ,ψ rσk ) vektoraira. Ezek értékei a következők: ψ mk = Lm ( i sk + i rk ) = Lm i mk

(6.21)

ψ sσk = Lsσ i sk

(6.22)

ψ rσk = Lrσ i rk

(6.23)

A fő vagy más néven mágnesező fluxuskapcsolódás (ψ mk ) kizárólag a légrésen keresztül kapcsolódik az állórész és a forgórész tekercseivel. Ezzel szemben a szórási fluxuskapcsolódások a légrésen kívül záródnak , és állórész oldalon csak az állórész tekercseivel, forgórész oldalon csak a forgórész tekercseivel kapcsolódnak. Az elmondottak alapján az állórész és forgórész fluxuskapcsolódás vektorainak meghatározására a (6.18) és (6.19) egyenletek felhasználásával a következő kifejezéseket írhatjuk fel: ψ sk = ψ sσk + ψ mk = Lsσ i sk + Lm i mk = Ls i sk + Lm i rk

(6.24)

ψ rk = ψ rσk + ψ mk = Lrσ i rk + Lm i mk = Lm i sk + Lr i rk

(6.25)

- 29 -

VILLAMOS GÉPEK


A fluxuskapcsolódások vektorainak meghatározására a 6.3 ábrán látható helyettesítő kapcsolási vázlatot használhatjuk.

Ls = Lsσ + Lm ,

Lr = Lrσ + Lm

6.3.ábra. Az aszinkron gép fluxuskapcsolódásainak helyettesítő kapcsolási vázlata. A tárgyalás során gyakran jelentkezik olyan igény, hogy az állórész és a forgórész áramvektorait a fluxuskapcsolódások térvektorai alapján kell meghatározni. Ilyen kifejezésekhez a (6.24) és (6.25) egyenletek megoldása eredményez. i sk = i rk =

Lr ψ sk − Lm ψ rk

(6.26)

Ls Lr − L2m Ls ψ rk − Lm ψ sk

(6.27)

Ls Lr − L2m

Ezek az egyenletek, az állórész szórási tényező ( k s ) és a forgórész szórási tényező ( k r ) bevezetésével más alakban is felírhatók. Az állórész és a forgórész szórási tényezői a következő egyenletek alapján számíthatóak. Lm Lm = Ls Lm + Lsσ L Lm kr = m = Lr Lm + Lrσ ks =

(6.28)

(6.29) E szórási tényezők felhasználásával, az állórész és forgórész áramvektorainak egyenlete a következő alakot veszi fel. Lm ψ ψ − kr ψ rk Lr rk ψ sk − kr ψ rk i sk = = = k s sk 2 Lm (1 - k s kr )  L  Ls (1 - k s kr ) Ls  1 - m   Ls Lr  L ψ rk − m ψ sk ψ rk − k s ψ sk ψ rk − k s ψ sk Ls i rk = = = k r 2 Lm (1 - k s kr )  L  Lr (1 - k s k r ) Lr  1 - m   Ls Lr  ψ sk −

- 30 -

(6.30)

(6.31)

VILLAMOS GÉPEK


6.3 A gerjesztési rendszer és a légrésindukció térvektorai Az állórész gerjesztés ( F sk ) és a forgórész gerjesztés ( F rk ) vektorait összegezve az eredő gerjesztés ( F mk ) vektorához jutunk. F mk = F sk + F rk

(6.32)

E három gerjesztés vektorai olyan összetapadt gerjesztési rendszert alkotnak, amelyek összetevői állandósult állapotban szinkron szögsebességgel forognak. Az így nyert vektoros gerjesztési rendszer összetevőit a következő mátrix egyenlet foglalja össze:  F sk   i sk   F  = 3 ⋅ N s ξ s i  mk  mk  π p    F rk   i rk 

(6.33)

A légrésindukció az eredő gerjesztés ( F mk ) következtében jön létre. Ebből kiindulva a légrésben keletkező légrésindukció vektorának ( B δk ) a meghatározására a következő egyenletet írhatjuk: Bδk = µ0

F mk δe

(6.34)

ahol: µ 0 - a levegő abszolút permeabilitása, δ e - ekvivalens légrésvastagság Az ekvivalens légrésvastagság ( δ e ) nagyobb az állórész és forgórész közötti légrésvastagságnál ( δ ), mert ezzel figyelembe vesszük az állórész és forgórész horonyhatásait, valamint a mágneses kör telítésének hatását is.

7. A VILLAMOS GÉPEK ÁLTALÁNOS DIFFERENCIÁLEGYENLET-RENDSZEREI

VEKTOROS

A háromfázisú gépek általános használatra alkalmas egyenleteinek felállítása során, az időben változó állórész és forgórész vektoros mennyiségeket közös koordináta-rendszerben jelképezzük. Eközben feltételezzük, hogy ez az általános komplex koordináta-rendszer a mágneses forgógerjesztés forgásának irányába forog ω k villamos szögsebességgel.

7.1 A feszültségegyenletek általános vektoros alakja Amennyiben a természetes koordináta-rendszerekben meghatározott vektoros egyenletekben (5.17) a vektoros mennyiségeket általános közös koordináta-rendszerbe transzformált (6.7,6.8,6.9,6.15,6.16,6.17) vektoros mennyiségekkel helyettesítjük, ez a rendszer a következő alakot veszi fel: - 31 -

VILLAMOS GÉPEK


u rk e j( θ k -θ )

(

)

d ψ e jθ k dt sk d = Rr i rk e j( θ k -θ ) + ψ rk e j( θ k -θ ) dt

u sk e jθ k = Rs i sk e jθ k +

[

]

(7.1)

Ha a deriválás alatt lévő szorzó változóknál a deriválás műveletét elvégezzük, az egyszerűsítés után a (7.1) egyenlet-rendszer a következő általános alakba megy át: u sk = Rs i sk +

d ψ sk dt

ψ sk = Ls i sk + Lm i rk

+ jωk ψ sk ,

Állórész (7.2)

u rk = Rr i rk +

d ψ rk dt

+ j(ωk − ω)ψ rk ,

ψ rk = Lm i sk + Lr i rk

Forgórész

Kihangsúlyozzuk, hogy a (7.2) vektoros differenciálegyenlet-rendszer más alakban is felírható annak az érdekében, hogy a lépésről lépésre történő Runge-Kutta szerinti numerikus integrálást könnyebben elvégezhessük.

7.2 Feszültségegyenlet-rendszer fluxuskapcsolódásos vektoros alakja Amennyiben az általános vektoros differenciálisegyenlet-rendszerben (7.2), az állórész áramvektorát ( i sk ) és a forgórész áramvektorát ( i rk ) a (6.30) és (6.31) kifejezésekkel helyettesítjük, e rendszer a következő alakot veszi fel: u sk = Rs k s

ψ sk − k r ψ rk

Lm (1-k s k r )

+

d ψ sk dt

+ jωk ψ sk

Álórész (7.3)

u rk = Rr k r

ψ rk − k r ψ sk

Lm (1-k s k r )

+

d ψ rk dt

+ j(ωk − ω)ψ rk

Forgórész

A (7.3) rendszerben, mint ismeretlen változók csak a fluxuskapcsolódások vektorai szerepelnek. Sok szerző ezt az egyenletrendszert részesíti előnyben, mert a rendszerben egyenletenként, csak egy derivált szerepel. Ez lehetővé teszi az ismeretlenek egyszerűbb numerikus megoldását, a Runge-Kutta (lépésről lépésre) módszer felhasználásával. Természetesen a (7.3) egyenletrendszer megoldása után az áramok vektorait a (6.30) és (6.31) kifejezések felhasználásával a fluxuskapcsolódások vektoros értékei alapján számítjuk ki.

7.3 Feszültségegyenlet-rendszerek áramvektoros alakja Amennyiben az általános vektoros differenciálisegyenlet-rendszerben (7.2) a benne szereplő fluxuskapcsolódások vektorait (ψ sk ,ψ rk ) a (6.24) és (6.25) kifejezésekkel helyettesítjük e rendszer egyenletei a következő alakot veszik fel:

- 32 -

VILLAMOS GÉPEK u sk = Rs i sk +


d (Ls i sk + Lm i rk ) + jωk (Ls i sk + Lm i rk ) dt

Állórész (7.4)

u rk = Rr i rk +

d (Lm i sk + Lr i rk ) + j (ωk − ω)(Lm i sk + Lr i rk ) Forgórész dt

E vektoros differenciálegyenlet-rendszer lehetővé teszi az ismeretlen áramvektorok közvetlen meghatározását. Kellemetlen oldala e rendszernek az, hogy minden egyenlet két vektoros deriváltat tartalmaz. Ebből kifolyólag ennél a rendszernél nem lehet közvetlenül alkalmazni a lépésről lépésre történő Runge-Kutta szerinti numerikus integrálást. E problémát úgy lehet áthidalni, hogy a (7.4) egyenletrendszert előzőleg átalakítjuk a D′ Alembert típusú egyenletrendszerre, amelynél a lépésről lépésre történő numerikus integrálást már közvetlenül alkalmazhatjuk.

8.

TELJESÍTMÉNYEK EGYENLETEI

ÉS

VESZTESÉGEK

VEKTOROS

A teljesítmények és teljesítményveszteségek pillanatértékei a megfelelő feszültség és áramvektorok alapján számítandók. A vasveszteséget az átmeneti jelenségek vizsgálata során elhanyagoljuk.

8.1. Teljesítmények pillanatértékei Az állórész felvett teljesítményének ps pillanatértéke általános estben a következő egyenlettel jellemezhető: ps = u a ia + ubib + uc ic

(8.1)

Ezt a teljesítményt az állórész feszültségvektora és áramvektora alapján is kiszámíthatjuk. ps =

(

3 • Re u sk ⋅ i sk 2

)

(8.2)

Bizonyítás: *

2 2 (u a + a ⋅ u b + a ⋅ u c ) ⋅ e jθ k 3 2 2 = (i a + a ⋅ ib + a ⋅ ic ) ⋅ e - jθ k 3

u sk = i sk

A szorzás műveleteinek elvégzése után, azzal a feltételezéssel, hogy áramok nem tartalmaznak zérus sorrendű összetevőt ia + ib + ic = 0 a következő kifejezést nyerjük:

- 33 -

VILLAMOS GÉPEK

(

)

*

Re u sk ⋅ i sk =

TÉRVEKTOROK ELMÉLETE 2 (uaia + ubib + ucic ) 3

A forgórész felvett teljesítményének feszültségvektora e sk alapján számítjuk: pr =

(

3 * Re e sk ⋅ i sk 2

pr

pillanatértékét

az

állórész

indukált

)

(8.3)

8.2 A teljesítményveszteségek pillanatértékei Az állórész rézveszteségeinek pcus pillanatértéke:

(

2

2

pcus = Rs ia + ib + ic

2

)

(8.4)

E veszteség pillanatértékeit az állórész áramvektor segítségével is meghatározhatjuk: p cus =

3 * Re(i sk ⋅ i sk ) ⋅ Rs 2

(8.5)

Bizonyítás: *

2 2 ( ia + a ⋅ ib + a ⋅ ic ) ⋅ e jθ k 3 2 2 = ( ia + a ⋅ ib + a ⋅ ic ) ⋅ e -jθ k 3

i sk = i sk

azzal a feltételezéssel hogy: i a + ib + i c = 0 *

Re(i sk ⋅ i sk ) =

2 2 2 2 (ia + ib + ic ) 3

A forgórész rézveszteségeinek pillanatértékeit a következő kifejezés alapján számíthatjuk: p cur =

3 * Re(i rk ⋅ i rk ) ⋅ Rr 2

(8.6)

Megjegyzés: A teljesítmények és a veszteségek értékei a kiválasztott koordináta-rendszerrel kapcsolatosan invariánsak.

9. LÉTREHOZOTT NYOMATÉKOK VEKTOROS EGYENLETEI A villamos gépek nyomatékai a fluxuskapcsolódások és az áramok kölcsönhatása miatt jönnek létre. Az állórész és forgórész fluxuskapcsolódási vektoraiból és áramvektoraiból kiindulva az me létrehozott mechanikai nyomaték pillanatértékeinek meghatározására sokféle kifejezés - 34 -

VILLAMOS GÉPEK


nyerhető. E kifejezések mindegyike pontosan azonos végeredményt ad, annak ellenére, hogy külalakjuk látszatra különbözik.

9.1 A vektoros nyomatékegyenletek általános alakjai Ezek a nyomatékegyenletek a nyomatékok pillanatértékeit a megfelelő fluxuskapcsolódások vektorai és az áramvektorok vektoriális szorzata (x) alapján adják meg

( ( ( (

) )

3 3 * pψ mk × i sk = p Im ψ mk ⋅ i sk 2 2 3 3 * me = pψ sk × i sk = p Im ψ sk ⋅ i sk 2 2 3 3 * me = pi rk × ψ mk = p Im ψ mk ⋅ i rk 2 2 3 3 * me = pi rk × ψ rk = p Im ψ rk ⋅ i rk 2 2 me =

(9.1) (9.2)

)

(9.3)

)

(9.4)

A létrehozott nyomaték értéke úgyszintén vektor melynek iránya a gép tengelye irányába mutat. Gyakorlati megszokás miatt azonban a vektoriális jelleget elhanyagoljuk. A háromfázisú aszinkron motor állandósult állapotban létrehozott nyomatékát legtöbbször a rotor felvett teljesítménye ( pr ), más néven légrésteljesítmény, illetve elektromágneses teljesítmény alapján számítjuk.

(

(

)

)

*

* p r 3 Re e sk ⋅ i sk 3 Re − jω1 ψ mk ⋅ i sk me = p = p = p = ω1 2 ω1 2 ω1 3 3 3 * * = p Re − jψ mk ⋅ i sk = p Im ψ mk ⋅ i sk = p ψ mk × i sk 2 2 2

(

)

(

)

(

)

(9.5)

mivel hogy:

(

*

)

(

*

ψ mk × i sk = Im ψ mk ⋅ i sk = Re − jψ mk ⋅ i sk

)

(9.6)

Az első pillantásra úgy tűnhet, hogy a (9.2) egyenlet nem korrekt, mert a ψ sk fluxuskapcsolódás vektora a ψ sσk szórási fluxuskapcsolódás vektorát is magába foglalja, amely a nyomatékképzésben közismerten nem vesz részt. Ez azonban, csak látszólag van így. Ugyanis:

(

)

ψ sk × i sk = ψ mk + ψ sσk × i sk = ψ mk × i sk + ψ sσk × i sk

(9.7)

Mivelhogy a ψ sσk szórási fluxuskapcsolódások vektora és az i sk áramvektor fázisban vannak, ezek vektoriális szorzata zérus (ψ sσk x i sk =0). Ezért: ψ sk × i sk = ψ mk × i sk

(9.8)

A (9.3) egyenlet alakja a (9.1) egyenletből vezethető le. - 35 -

VILLAMOS GÉPEK


Ugyanis: i sk = i mk − i rk ψ mk × i sk = ψ mk × (i mk − i rk ) = ψ mk × i mk − ψ mk × i rk

(9.9) (9.10)

Mivelhogy az i mk és ψ mk fázisban vannak, ezek vektoriális szorzata zérus. Úgy, hogy: ψ mk × i sk = −ψ mk × i rk = i rk × ψ mk

(9.11)

A (9.1) nyomatékegyenletből nyomatékegyenlet alakjáig.

kiindulva

hasonló

módon

juthatunk

el

a

(9.4)

9.2 A vektoros nyomatékegyenletek vegyes alakjai Ezeknél a nyomatékegyenleteknél a létrehozott nyomatékok pillanatértékei az állórész áramvektora i sk és a forgórész fluxuskapcsolódás vektorainak ψ rk vektoriális szorzata alapján számítandó, vagy fordítva. Ilyen típusú nyomatékegyenletek a következők:

( (

( (

) )

3 3 * pk s i rk × ψ sk = pk s Im ψ sk ⋅ i rk 2 2 3 3 * me = pk r ψ rk × i sk = pk r Im ψ rk ⋅ i sk 2 2 me =

) )

(9.12) (9.13)

A (9.12) nyomatékegyenlet alakja a (6.24) egyenlet alapján bizonyítható. Ez utóbbi egyenlet átrendezésével az az állórész áramvektorára a következő kifejezés írható: ψ − Lm i rk i sk = sk (9.14) Ls Ennek az egyenletnek az alapján a vektoriális szorzat az alábbiak szerint alakul: ψ sk × i sk = ψ sk ×

ψ sk − Lm i rk Ls

=

ψ sk × ψ sk Lm ψ × i rk Ls Ls sk

(

)

(9.15)

Mivelhogy a ψ sk × ψ sk vektoriális szorzat értéke zérus, a kapott eredmény: ψ sk × i sk = -

(

)

(

Lm ψ × i rk = k s i rk × ψ sk Ls sk

)

(9.16)

A vektoros nyomatékegyenletek általános alakjaiból kiindulva, a (9.13) nyomatékegyenlet helytállósága is hasonló módon bizonyítható.

9.3 A vektoros nyomatékegyenletek fluxuskapcsolódásos alakjai Ezeknél a nyomatékegyenleteknél a létrehozott nyomaték pillanatértékeit az állórész és a forgórész fluxuskapcsolódási vektorainak vektoriális szorzata alapján nyerjük:

- 36 -

VILLAMOS GÉPEK


(

(

)

*

3 k s k r ψ rk × ψ sk 3 k s k r Im ψ rk ⋅ ψ sk me = p = p 2 Lm (1-k s k r ) 2 Lm (1-k s k r )

(

)

(

)

(9.17) *

3 k s k r ψ sk × ψ rk 3 k s k r Im ψ rk ⋅ ψ sk me = − p =− p 2 Lm (1-k s k r ) 2 Lm (1-k s k r )

)

(9.18)

A (9.17) és (9.18) helytállóságát a (9.1) egyenletből kiindulva bizonyíthatjuk. ψ sk × i sk = ψ sk × k s

ψ sk -k r ψ rk

Lm (1-k s k r )

=−

(

k s k r ψ sk × ψ rk Lm (1-k s k r )

) = k k (ψ s

r

rk

× ψ sk

Lm (1-k s k r )

)

(9.19)

10. VEKTOROS EGYENLETEK SZÉTVÁLASZTÁSA SKALÁRIS EGYENLETEKRE A vektoros egyenletek nagy előnye abban rejlik, hogy segítségükkel a villamos gépek jelenségeit relatív kis számú egyenlettel tudjuk összefoglalni. A jelenség vizsgálata azonban sokkal egyszerűbb skaláris alakban írt egyenletek segítségével. Ebből kifolyólag a vektoros levezetések végeredményeit szükségszerűen szét kell csatolni skaláris egyenletekre. A szétcsatolás során a skaláris egyenleteket olyan általános merőleges koordináta-rendszerben fogjuk felírni, amely a forgó mágneses tér irányában tetszőleges értékű ω k villamos szögsebességgel forog. Ebben a tetszőleges „K” koordináta rendszerben a térvektorok valós összetevői kiegésszítőleg „d” indexet, képzetes összetevői pedig „q” indexet kapnak.

10.1 Feszültségvektorok összetevői Az állórész feszültségvektorokat ( u sk ) az általánosan kiválasztott forgó koordinátarendszerben u sdk valós összetevőjével, és u sqk képzetes összetevőjével tudjuk jellemezni. u sk = u sdk + j ⋅ u sqk

(10.1)

Az állórész feszültségvektorának valós és képzetes összetevőit, szimmetrikus háromfázisú táplálás mellett, a (3.30) és (6.5) egyenletekből kiindulva határozzuk meg: ^

^

u sk = u s e -jθ k = U 1 e j (ω1t +ϕ ) e -jθ k = U 1 e j (ω1t +ϕ −θ k ) = ^

^

= U 1 cos(ω 1t + ϕ − θ k ) + j U 1 sin(ω 1t + ϕ − θ k )

(10.2)

Ebből eredően: ^

u sdk = U 1 cos(ω 1t + ϕ − θ k )

(10.3)

^

u sqk = U 1 sin(ω 1t + ϕ − θ k )

(10.4)

A forgórész feszültségvektorának összetevői: u rk = u rdk + j ⋅ u rqk

(10.5)

- 37 -

VILLAMOS GÉPEK


10.2 Áramvektorok összetevői Az állórész áramvektor, a mágnesező áramvektor és a forgórész áramvektor, általános koordináta rendszerben a következő alakban jellemezhető: i sk = i sdk + j ⋅ i sqk

(10.6)

i mk = imdk + j ⋅ imqk

(10.7)

i rk = irdk + j ⋅ irqk

(10.8)

Az áramösszetevők közötti kapcsolat: imdk = i sdk + irdk imqk = i sqk + irqk

(10.9) (10.10)

10.3 Fluxuskapcsolódás vektorainak összetevői A fluxuskapcsolódások térvektoros kifejezései összetevőikkel jellemezve a következők: ψ sk = ψ sdk + j ⋅ ψ sqk

(10.11)

ψ mk = ψ mdk + j ⋅ ψ mqk

(10.12)

ψ rk = ψ rdk + j ⋅ ψ rqk

(10.13)

A szórási fluxuskapcsolódások vektorai összetevőikkel jellemezve: ψ sσk = ψ sσdk + j ⋅ ψ sσqk

(10.14)

ψ rσk = ψ rσdk + j ⋅ ψ rσqk

(10.15)

A 6.2 fejezetben levezetett kifejezések alapján, a fluxuskapcsolódások vektorainak összetevői,az áramvektorok összetevői és a megfelelő háromfázisú (közös) induktivitások alapján határozhatók meg. Az állórész fluxuskapcsolódás vektorának összetevői: ψ sdk = ψ sσdk + ψ mdk = Lsσ isdk + Lmimdk = Lsisdk + Lmirdk ψ sqk = ψ sσqk + ψ mqk = Lsσ isqk + Lmimqk = Lsisqk + Lmirqk

(10.16) (10.17)

A mágnesező fluxuskapcsolódás vektorának összetevői: ψ mdk = Lm imdk = Lm (i sdk + irdk ) ψ mqk = Lm imqk = Lm (i sqk + irqk )

(10.18) (10.19)

A forgórész fluxuskapcsolódás vektorának összetevői: ψ rdk = ψ rσdk + ψ mdk = Lrσ irdk + Lmimdk = Lr irdk + Lmisdk ψ rqk = ψ rσqk + ψ mqk = Lrσ irqk + Lmimqk = Lr irqk + Lmisqk

- 38 -

(10.20) (10.21)

VILLAMOS GÉPEK


Megjegyzés: Aszimmetrikus mágneses körű gépeknél (kiálló pólusú szinkron generátor) a számítást hossz, illetve keresztirányban, különböző értékű ( Lmd ≠ Lmq ) mágnesező induktivitásokkal kell elvégezni.

11. PARK DIFFERENCIÁLEGYENLETEK Amennyiben a (7.2), (7.4) általános vektoros differenciálegyenletekben a vektoros változókat, azok összetevőivel helyettesítjük, ezek az egyenletek úgy állórész, mint forgórész oldalon két skaláris differenciálegyenletre csatolódnak szét. Az így nyert négy skaláris differenciálegyenletet először R.H.Park vezette le, és ezek a villamos gépek átmeneti jelenségeinek vizsgálata során alapegyenleteknek tekinthetők.

11.1 Park differenciálegyenlet-rendszerének általános skaláris alakja A (7.2) vektoros differenciálegyenletek szétcsatolása útján nyerhető skaláris Park differenciálegyenletek általános alakja a következő: dψ sdk -ωk ψ sqk dt dψ sqk + + ωk ψ sdk dt

u sdk = Rs i sdk + u sqk = Rs i sqk

Állórész

(11.1) u rdk urqk

dψ rdk = Rr irdk + -(ωk − ω)ψ rqk dt dψ = Rr irqk + rqk + (ωk − ω)ψ rdk dt

Forgórész

A (11.1) differenciálegyenlet-rendszerben a fluxuskapcsolódások deriváltjait transzformátoros indukált feszültségeknek , a szögsebesség és fluxuskapcsolódások szorzatát pedig forgási feszültségeknek nevezik.

11.2 A skaláris differenciálegyenlet-rendszer általános fluxuskapcsolódásos alakja Ehhez az általános skaláris differenciálegyenlet-rendszerhez a (7.3) vektoros feszültségegyenlet-rendszer szétcsatolása révén jutottunk el: ψ sdk − k rψ rdk dψ sdk + -ωk ψ sqk Lm (1-ks kr ) dt ψ − krψ rqk dψ sqk = Rs k s sqk + + ωk ψ sdk Lm (1-k s kr ) dt

usdk = Rs k s usqk

urdk urqk

ψ − k sψ sdk dψ rdk = Rr k r rdk + -(ωk − ω)ψ rqk Lm (1-ks k r ) dt ψ − k sψ sqk dψ rqk = Rr kr rqk + + (ωk − ω)ψ rdk Lm (1-ks kr ) dt

- 39 -

Állórész

(11.2) Forgórész

VILLAMOS GÉPEK


Ez a rendszer egyenletenként csupán egy fluxuskapcsolódás deriváltat foglal magába, így kiválóan alkalmas Runge-Kutta szerinti numerikus megoldásra. Az állórész áramvektor összetevőit ( i sdk , i sqk ) és a forgórész áramvektor összetevőit ( irdk , irqk ) a fluxuskapcsolódásokból kiindulva a (6.30) illetve a (6.31) kifejezések alapján tudjuk meghatározni.

11.3 A skaláris differenciálegyenlet-rendszer általános áramösszetevős alakja Ehhez az általános skaláris differenciálegyenlet-rendszerhez a (7.4) vektoros feszültség egyenletből kiindulva juthatunk el. A megfelelő áramvektorok komplex értékeinek behelyettesítése után e vektoros egyenletrendszer az alábbi skaláris egyenletrendszere csatolódik szét: d (Ls isdk + Lm irdk )-ωk (Ls isqk + Lm irqk ) dt d + (Ls i sqk + Lm irqk ) + ωk (Ls i sdk + Lm irdk ) dt

u sdk = Rs i sdk + u sqk = Rs i sqk

Állórész

d (Lr irdk + Lm isdk )-(ωk − ω)(Lr irqk + Lm isqk ) Forgórész dt d + (Lr irqk + Lm i sqk ) + (ωk − ω)(Lr irdk + Lm i sdk ) dt

(11.3)

u rdk = Rr irdk + u rqk = Rr irqk

Ez a differenciálegyenlet-rendszer egyenletenként két áramderiváltat tartalmaz. Ezért Runge-Kutta numerikus integrálás előtt mátrixos alakját invertálással át kell alakítani D′ Alembert típusú egyenletrendszer alakra.

12.

A TELJESÍTMÉNYEK ÉS VESZTESÉGEK PILLANATÉRTÉKEINEK SKALÁRIS ALAKJAI Az állórész felvett teljesítményének pillanatértéke a (8.2) egyenletből kiindulva: ps =

(

)

3 3 * Re u sk ⋅ i sk = Re(u sdk − j ⋅ u sqk )(i sdk + j ⋅ i sqk ) = 2 2 3 = (u sdk i sdk + u sqk i sqk ) 2

(12.1)

A forgórész felvett teljesítményének pillanatértékét (légrés teljesítmény pillanat értékét) a (8.3) egyenletből kiindulva nyerjük.

(

)

3 3 * Re e sk ⋅ i sk = Re(esdk − j ⋅ e sqk )(i sdk + j ⋅ i sqk ) = 2 2 3 = (esdk i sdk + e sqk i sqk ) 2

pr =

Az állórész tekercseiben fellépő rézveszteség pillanatértékeire a (8.4) egyenletből kiindulva a következő kifejezés nyerhető:

- 40 -

(12.2)

VILLAMOS GÉPEK


(

)

[

]

3 3 * Re i sk ⋅ i sk ⋅ Rs = Re (i sdk − j ⋅ i sqk )(i sdk + j ⋅ i sqk ) ⋅ Rs = 2 2 3 2 2 = i sdk + i sqk Rs 2 A forgórész rézvesztesége pillanatértékeinek meghatározására a (8.5) egyenletből: 3 3 * p cur = Re i rk ⋅ i rk ⋅ Rr = Re (irdk − j ⋅ irqk )(irdk + j ⋅ irqk ) ⋅ Rr = 2 2 3 2 2 = irdk + irqk Rr 2 p cus =

(

(

(

)

)

[

(12.3)

]

)

(12.4)

13. LÉTREHOZOTT NYOMATÉKOK SKALÁRIS EGYENLETEI A létrehozott pillanatnyomatékok skaláris egyenleteit a vektoros nyomatékegyenletekből kiindulva határozhatjuk meg.

13.1 Skaláris nyomatékegyenletek általános alakjai A (9.1), (9.2),(9.3),(9.4) vektoros nyomatékegyenletekből kiindulva, ezek megfelelő skaláris alakjai a következők: 3 2 3 me = 2 3 me = 2 3 me = 2

me =

p (ψ mdk i sqk − ψ mqk i sdk )

(13.1)

p (ψ sdk i sqk − ψ sqk i sdk )

(13.2)

p (ψ mqk irdk − ψ mdk irqk )

(13.3)

p (ψ rqk irdk − ψ rdk irqk )

(13.4)

A (13.1) nyomatékegyenlet helytállóságát a kővetkező levezetéssel tudjuk igazolni: me =

(

)

[

]

3 3 * p Im ψ mk ⋅ i sk = p Im (ψ mdk − j ⋅ ψ mqk )(i sdk + ji sqk ) = 2 2 3 = p (ψ mdk i sqk − ψ mqk i sdk ) 2

A vektoros nyomatékegyenletekből kiindulva, hasonló módon tudjuk bizonyítani a skaláris nyomatékegyenletek pillanatértékeinek többi alakját is.

13.2 Skaláris nyomatékegyenletek vegyes alakjai A (9.12) és (9.13) vektoros nyomatékegyenletek ekvivalens skaláris alakjai a következők: 3 pk s (ψ sqk irdk − ψ sdk irqk ) 2 3 me = pk r (ψ rdk i sqk − ψ rqk i sdk ) 2 me =

(13.5) (13.6)

- 41 -

VILLAMOS GÉPEK


13.3 A skaláris nyomatékegyenletek fluxuskapcsolódásos alakjai A (9.17) egyenletből kiindulva a fluxus kapcsolódásos skaláris nyomatékegyenletek levezetésének folyamata a következő: ks kr 3 me = p Im (ψ rdk − j ⋅ ψ rqk )(ψ sdk + j ⋅ ψ sqk ) = 2 Lm (1-k s k r ) ks kr 3 = p Im (ψ rdk ψ sdk + ψ rqk ψ sqk ) + j ⋅ (ψ sqk ψ rdk − ψ sdk ψ rqk ) 2 Lm (1-k s k r )

[

]

[

]

Ennek végeredménye me =

ks kr 3 (ψ sqk ψ rdk − ψ sdk ψ rqk ) p 2 Lm (1-k s k r )

(13.7)

Ugyanez az eredmény adódna akkor is ha kiindulási alapnak a (9.18) egyenletet választanánk.

14. NEWTON FORGÁSI MOZGÁSEGYENLETE A villamos hajtások jellemzőinek vizsgálata során a villamos gépek differenciálegyenletrendszerét a Newton féle mozgásegyenlettel kell kiegészíteni. Ennek közismert alakja a következő: dΩ m M − mT = J Σ ∑ (14.1) dt A (14.1) mozgásegyenlet jelölései a következők: m M - A motortengely nyomatékának pillanatértéke mT - A munkagép terhelőnyomatékának pillanatértéke motortengelyre redukálva J Σ - A motor forgórésze és a munkagép motortengelyre redukált elemeinek össztehetetlenségi nyomatéka Ω -A forgórész mechanikai szögsebesége. A motor tengelynyomatékának pillanatértékét ( m M ) úgy kapjuk meg, hogy a létrehozott elektromechanikai nyomaték pillanatértékéből ( me ) levonjuk a súrlódási és ventillációs ( m fv ) nyomatékot. mM = me − m fv

(14.2)

Ha a gép generátoros üzemben dolgozik ennek a fordítottját kell megtennünk: mM = me + m fv

(14.3)

Mivel a háromfázisú gépek egyenletrendszere a forgórész villamos szögsebességét ( ω ) is magában foglalja, Newton mozgásegyenletét ehhez kell igazítani. A forgórész villamos és mechanikai szögsebessége között következő a kapcsolat: ω = pΩ

(14.4)

- 42 -

VILLAMOS GÉPEK


Az említett tényezők figyelembe vételével, Newton mozgásegyenlete a következő módosított alakban írható fel: dω p (me − mT − m fv ) = dt JΣ

(14.5)

A problémák vizsgálata során gyakran feltételezik, hogy a súrlódási és ventillációs veszteségek a forgórész szögsebességével arányosak.( m fv = Dω , D-állandó) A villamos hajtások dinamikai jelenségeinek vizsgálata során a villamos gépek differenciálegyenlet-rendszerét ki kell egészíteni a körmozgás Newton féle differenciálegyenlettel. Érdemes megvizsgálni, hogyan változik a létrehozott elektormechanikus nyomaték ( me ) pillanatértéke különböző tehetetlenségi nyomaték értékű tömegek felfutása során. A 14.1 ábrán egy ilyen jellegzetes vizsgálat végeredményeit tüntettük fel.

14.1.ábra. Az aszinkron gép létrehozott pillanatnyomatékainak változása a relatív szögsebesség függvényében, különböző tehetetlenségi nyomatékkal rendelkező tömeg felfutását vizsgálva. Az 1. nyomaték karakterisztika a motor üresjárási felfutására vonatkozik. ( J ∑ = J M ). A 2. és 3. nyomaték karakterisztikánál a motor forgórészének tehetetlenségi nyomatéka mellett különböző tehetetlenségi nyomatékkal rendelkező járulékos tömeget is feltételezünk ( J Σ = 5 J M ,25 J M ) A 14.1 ábrán látható dinamikus nyomatékkarakterisztikák összehasonlítása alapján megállapítható, hogy a billenőnyomatékot a felfuttatott tömeg tehetetlenségi nyomatéka is befolyásolja. A dinamikus billenő nyomaték értéke legkisebb az üresjárási felfutás során. A felfuttatott tömeg tehetetlenségi nyomatékának növekedésével, a dinamikus billenőnyomaték értéke is növekszik, egészen addig amíg értéke el nem éri az állandósult állapot billenőnyomatékának értékét.

15.

A TÉRVEKTOROK ÖSSZETEVŐINEK SZÉTCSATOLÁSA FÁZISONKÉNTI PILLANATÉRTÉKEKRE

Szétcsatolás, vagy más néven inverztranszformáció alatt azt a műveletet értjük, melynek segítségével a vektorok skaláris összetevőiből kiindulva eljutunk ezek fázisonkénti pillanatértékeihez. Mivel a térvektoroknak vektoronként, csak két merőleges összetevőjük van, szétcsatolási lehetőség háromfázisú pillanatértékekre magától érthetően, csak akkor lehetséges, ha ezenfelül még

- 43 -

VILLAMOS GÉPEK


egy feltétel áll rendelkezésre. Ez a harmadik adat a vektorok zérus sorrendű mennyiségeinek ismerete. A szétcsatolás során abból a feltevésből indulunk ki, hogy az adott térvektor, olyan általános közös koordináta-rendszerben Re(K) van megadva, amely az origó körül, állandó,vagy változó jelleggel tetszőleges ω k szögsebességgel forog.

15.1 Állórész feszültségvektorának szétcsatolása Ilyen szétcsatolásra általában, csak az olyan háromfázisú kondenzátoros öngerjesztésű aszinkron generátoroknál van szükség, melyek a fogyasztók táplálását sziget üzemmódban látják el. A szétcsatolási művelet alapját a 3. fejezetben már ismertetett (3.10), (3.11) és (3.13) egyenletek képezik, azzal a különbséggel, hogy esetünkben a térvektorok összetevői az általános közös koordináta-rendszerben vannak meghatározva. Az eddig elmondottak alapján a háromfázisú állórész feszültségvektorát, fázisonkénti pillanatértékekre a következő egyenletek alapján tudjuk szétcsatolni.

(

)

ua = Re(u s ) + uso = Re u sk e jθ k + uso

( ) 2

(

2

(15.1)

)

ub = Re a u s + uso = Re a u sk e jθ k + uso

(15.2)

uc = Re au s + uso = Re au sk e jθ k + uso

(15.3)

( )

(

)

A legtöbb esetben a zérus sorrendű feszültségek ( uso ) értéke nulla, ezért ezt az értéket elhanyagoljuk. Ha a fenti egyenletekben a feszültségvektor értékét a (10.1) kifejezés szerint merőleges összetevőivel helyettesítjük a szétcsatolás egyenletei a következő alakot veszik fel:

u a = u sdk cos(θ k ) − u sqk sin(θ k )

( cos(θ

) )− u

( sin(θ

(15.4)

) − 240 )

u b = u sdk cos θ k − 120 o − u sqk sin θ k − 120 o

(15.5)

u c = u sdk

(15.6)

k

− 240 o

sqk

o

k

A (15.4) egyenlet bizonyítása

( = Re[u

)

[

]

ua = Re u sk e jθ k = Re (usdk + j ⋅ usqk )(cosθ k + j ⋅ sinθ k ) = sdk

]

cosθ k -usqk sinθ k + j ⋅ (usqk cosθ k + usdk sinθ k ) =

= u sdk cosθ k -u sqk sinθ k Hasonló módon bizonyítható (15.5) és a (15.6) egyenletek helytállósága is.

15.2 Állórész áramvektorának szétcsatolása Az állórész áramvektorok szétcsatolása során alkalmazhatjuk ugyanazokat a műveleteket amelyeket a feszültségvektorok szétcsatolása során már bemutattunk.

(

)

ia = Re(i s ) + iso = Re i sk e jθ k + iso

( ) 2

(

2

(15.7)

)

ib = Re a i s + iso = Re a i sk e jθ k + iso

(15.8)

ic = Re ai s + iso = Re ai sk e jθ k + iso

(15.9)

( )

(

)

- 44 -

VILLAMOS GÉPEK


Ha ezekben az egyenletekben az áramvektor egyenletét a (10.6) egyenlet szerint a hozzá tartozó merőleges összetevőkkel helyettesítjük, akkor a szétcsatolás műveleteinek elvégzésére a következő egyenleteket nyerjük:

ia = isdk cos(θ k ) − i sqk sin(θ k )

( cos(θ

) )− i

( sin(θ

(15.10)

) − 240 )

ib = isdk cos θ k − 120 o − isqk sin θ k − 120 o

(15.11)

ic = isdk

(15.12)

k

− 240 o

sqk

o

k

15.3 Forgórész feszültségvektorának szétcsatolása Aszinkron gépeknél,a forgórész tekercsek általában rövidre vannak zárva. Ebben az esetben a forgórész feszültségvektora és annak összetevői nulla értékűek. Csúszógyűrűs aszinkron gépet azonban forgórész oldalról is lehet táplálni. Ezen felül az ilyen gép aszinkron frekvenciaváltóként is üzemelhet. Ilyen esetekben szükség mutatkozhat a forgórész feszültségvektor szétcsatolására is. Az eddig elmondottak alapján a forgórész feszültségvektorának szétcsatolására a következő egyenleteket írhatjuk fel:

[

]

ura = Re(u r ) + uro = Re u rk e j( θ k −θ ) + uro

( ) 2

[

(15.13)

]

2

urb = Re a u r + uro = Re a u rk e j ( θ k −θ ) + uro

(15.14)

urc = Re au r + uro = Re au rk e j ( θ k −θ ) + uro

(15.15)

[

( )

]

Ha ezekben az egyenletekben a forgórész feszültségvektorát annak (10.5) egyenletek szerinti összetevőivel helyettesítjük, szétcsatolásra a következő egyenleteket nyerjük:

ura = urdk cos(θ k − θ ) − urqk sin(θ k − θ )

(15.16)

urb = urdk cos(θ k − θ − 120o ) − urqk sin( θ k − θ − 120o )

(15.17)

urc = urdk cos(θ k − θ − 240o ) − urqk sin( θ k − θ − 240o )

(15.18)

15.4 Forgórész áramvektorának szétcsatolása A szétcsatolási művelet azonos a (15.3) fejezetben mondottakkal. Így:

[

]

ira = Re(i r ) + iro = Re i rk e j( θ k −θ ) + iro

( ) 2

[

2

(15.19)

]

irb = Re a i r + iro = Re a i rk e j( θ k −θ ) + iro

(15.20)

irc = Re ai r + iro = Re ai rk e j ( θ k −θ ) + iro

(15.21)

[

( )

]

Amennyiben a (10.8) egyenlet szerint az áramvektort összetevőivel helyettesítjük , zérus sorrendű összetevők nélkül, szétcsatolásra a következő egyenletek adódnak:

ira = irdk cos(θ k − θ ) − irqk sin(θ k − θ )

[ cos[(θ

] − θ )-240 ] − i

[ sin[(θ

] − θ )-240 ]

(15.22)

irb = irdk cos (θ k − θ )-120o − irqk sin (θ k − θ )-120o

(15.23)

irc = irdk

(15.24)

o

k

rqk

o

k

- 45 -

VILLAMOS GÉPEK

16


HÁROMFÁZISÚ FORGÓGÉPEK MATEMATIKAI MODELLEZÉSE KÜLÖNBÖZŐ KÖZÖS KOORDINÁTARENDSZEREKBEN

A háromfázisú villamos gépek matematikai modellezése során, az általános koordinátarendszer ω k villamos szögsebességétől függően, háromféle közös koordináta-rendszer van alkalmazásban, éspedig: - Állórészhez kötött, álló koordináta-rendszer: α , β összetevők, ω k = 0, - Szinkron forgó koordináta-rendszer: x, y összetevők, ω k = ω1 - Forgórészhez kötött, forgó koordináta-rendszer: d, q összetevők, ω k = ω A koordináta-rendszer kiválasztása általában a vizsgálat természetétől függ. Ha olyan háromfázisú gépet (aszinkron gépet) kívánunk vizsgálni, melynek mágneses köre, úgy állórész oldalon, mint forgórész oldalon szimmetrikus, célszerű szinkron forgó ( ω k = ω1 ) koordinátarendszert alkalmazni. Azoknál a gépeknél, melyeknél a forgórész mágneses köre aszimmetrikus (kiálló pólusú szinkron gépek) célszerű forgórészhez kötött ( ω k = ω ) koordináta-rendszert alkalmazni.

16.1 Állórészhez kötött közös koordináta-rendszerhez tartozó egyenletek (α,β összetevők, ω k = 0 ) E rendszerben felírható egyenleteket , az általános koordináta-rendszerben felírt egyenletek alapján ω k = 0 feltételezéssel nyerjük. A térvektorok skaláris összetevői α és β indexet kapnak. Az állórész feszültségvektorának skaláris összetevői , zérus sorrendű összetevőket nem tartalmazó esetre a következők: 2 2 (16.1) u s = u sα + j ⋅ u sβ = (u a + a ⋅ u b + a ⋅ u c ) 3 2 1  u sα = u a − (u b + u c ) (16.2) 3 2   2 3 3 (u b − u c ) u sβ =  (u b − u c ) = (16.3) 3 2 3  Szimmetrikus táplálás esetén, figyelembe véve a (3.30) egyenletet a feszültségösszetevők értékei a következők: ^

u sα = U 1 cos(ω1t + ϕ )

(16.4)

^

u sβ = U 1 sin(ω1t + ϕ )

(16.5)

A differenciálegyenlet-rendszer vektoros alakja: u s = Rs i s + u r = Rr i r +

dψ s dt dψ r dt

,

ψ s = L s i s + Lm i r

Állórész

− j ⋅ ωψ r ,

ψ r = Lm i s + L r i r

Forgórész

- 46 -

(16.6)

VILLAMOS GÉPEK


A hozzá tartozó skaláris differenciálegyenlet-rendszer: dψ sα , dt dψ usβ = Rsisβ + sβ , dt dψ rα u rα = Rr irα + + ωψ rβ , dt dψ rα u rβ = Rr irβ + − ωψ rα , dt usα = Rsisα +

ψ sα = Ls i sα + Lm irα ψ sβ = Ls i sβ + Lm irβ

Állórész

ψ rα = Lm i sα + Lr irα

Forgórész

(16.7)

ψ rβ = Lm i sβ + Lr irβ

A (16.7) skaláris egyenletrendszerhez a 16.1 ábrán látható helyettesítő kapcsolási vázlatok tartoznak.

α- tengely

β- tengely

16.1.ábra. Háromfázisú aszinkron gépek helyettesítő kapcsolási vázlata álló koordinátarendszerben. A létrehozott elektromechanikai nyomatékegyenletek általános alakjai: 3 2 3 me = 2 3 me = 2 3 me = 2 me =

p (ψ mα i sβ − ψ mβ i sα ) p (ψ sα i sβ − ψ sβ i sα ) p (ψ mβ irα − ψ mα irβ )

(16.8)

p (ψ rβ irα − ψ rα irβ )

A hozzá tartozó körforgás mozgásegyenlete: dω p (me − mT − m fv ) = dt J Σ

(16.9)

- 47 -

VILLAMOS GÉPEK


Az állórész áramvektorának szétcsatolása fázisonkénti pillanatértékekre: ia = Re(i s ) = Re(i sα + j ⋅ i sβ ) = i sα

( )

 1  2 3 i 3 (isα + j ⋅ isβ ) = − sα + ib = Re a i s = Re  − − j isβ  2  2 2  2   1  3 i 3 (isα + j ⋅ isβ ) = − sα − ic = Re ai s = Re  − + j isβ  2  2 2  2 

( )

(16.10)

A többi vektor szétcsatolását a 15. fejezet útmutatása alapján kell elvégezni.

16.2 Szinkron forgó közös koordináta-rendszerhez tartozó egyenletek (x,y-összetevők, ω k = ω1 ) E koordináta-rendszert legtöbbször a szimmetrikus mágneses körű, aszinkron gépek átmeneti jelenségeinek vizsgálata során szokás alkalmazni. A koordináta-rendszerhez tartozó egyenleteket az általános Re(K) koordináta-rendszerre felírt egyenletekből kiindulva ω k = ω 1 és θ k = ω 1t feltételezéssel nyerjük. A térvektorok skaláris összetevői eközben a meglévő indexek mellett megkülönböztetésül x és y indexeket is kapnak. Vizsgálatainkat először a zérus sorrendű mennyiségeket nem tartalmazó esetekre korlátozzuk. Az állórész kapocsfeszültségeinek skaláris összetevőit ebben az esetben a következőképpen határozhatjuk meg: 2 2 (u a + a ⋅ u b + a ⋅ u c )e − jθ k = 3 = (u sα + j ⋅ u sβ )(cos ω1t − j ⋅ sin ω1t )

u s = u sx + j ⋅ u sy =

(16.11)

A (16.11) egyenletből következik hogy:

u sx = u sα cos ω1t + u sβ sin ω1t =

2 1 3  (u b − u c )sin ω1t u a − (u b + u c ) cos ω1t +  3 2 3 

(16.12)

u sy = u sβ cos ω1t − u sα sin ω1t =

3 (u b − u c ) cos ω1t − 2 u a − 1 (u b + u c ) sin ω1t 3 2 3 

(16.13)

Szimmetrikus táplálás esetén a (3.30) és a (6.5) egyenletek felhasználásával az állórészfeszültség összetevői egyszerűbben is meghatározhatók.

^

^

u s = U 1 e j (ω1t +ϕ )e -jω1t = U 1 e jϕ

(16.14)

^

u sx = U 1 cos ϕ

(16.15)

^

usy = U 1 sinϕ

(16.16)

- 48 -

VILLAMOS GÉPEK


A differenciálegyenlet-rendszer vektoros alakja a következő: u s = Rs i s + u r = Rr i r +

dψ s dt dψ r dt

+ jω1ψ s ;

ψ s = L s i s + Lm i r ψ r = Lm i s + Lr i r

+ j( ω1 − ω )ψ r ;

(16.17)

Ennek megfelelő skaláris egyenlet-rendszere: dψ sx − ω1ψ sy ; dt dψ sy usy = Rsisy + + ω1ψ sx ; dt dψ rx urx = Rr irx + − ( ω1 − ω )ψ ry ; dt dψ ry ury = Rr iry + + ( ω1 − ω )ψ rx ; dt

ψ sx = Ls i sx + Lm irx

usx = Rsisx +

ψ sy = Ls i sy + Lm iry ψ rx = Lm i sx + Lr irx

(16.18)

ψ ry = Lm i sy + Lr iry

A (16.18) egyenlet-rendszer alapján a 16.2 ábrán látható helyettesítő kapcsolási vázlatok rajzolhatók meg. x- tengely y- tengely

16.2.ábra. Szinkron koordináta-rendszerben tárgyalandó háromfázisú aszinkron motorok helyettesítő kapcsolási ábrái. A létrehozott elektromechanikai nyomatékegyenletek általános alakjai: 3 me = p(ψ mx i sy − ψ my i sx ) 2 3 me = p(ψ sx i sy − ψ sy i sx ) 2 3 me = p(ψ my irx − ψ mx iry ) 2 3 me = p (ψ ry irx − ψ rx iry ) 2

(16.19)

Newton forgási mozgásegyenlete az előző fejezetben ismertetett (16.9) egyenlettel azonos. Az állórész áram összetevők szétcsatolására fázisonkénti pillanatértékekre, a 15.1 fejezetben meghatározott egyenletekből kiindulva a következő egyenletek adódnak: - 49 -

VILLAMOS GÉPEK


ia = i sx ⋅ cos(ω 1t ) − i sy ⋅ sin(ω1t ) ib = i sx⋅ cos(ω 1t − 120 o ) − i sy⋅ sin(ω1t − 120 o )

(16.20)

ic = i sx ⋅ cos(ω1t − 240 o ) − i sy ⋅ sin(ω 1t − 240 o ) A többi vektoros változók szétcsatolásával kapcsolatban a 15 fejezet nyújt felvilágosítást.

16.3 Forgórészhez kötött közös koordináta-rendszer egyenletei (d,q-összetevők, ω k = ω ) E koordináta-rendszert a legtöbbször a kiálló pólusú szinkron gépek átmeneti jelenségeinek vizsgálata során szokták alkalmazni. A forgórészhez kapcsolt koordináta-rendszer egyenleteit az általános közös koordinátarendszer egyenleteiből kiindulva ω k = ω feltételezéssel nyerjük. Legtöbbször a forgórész fordulatszáma változó (pl. felfutás) ezért az elfordulási szöget a (6.2) egyenlet alapján integrálás útján kell kiszámítani ( θ k = θ = ∫ ωdt + θ( 0 ) ) A vektorok valós és képzetes skaláris összetevőit d és q indexekkel látjuk el. Eközben csak a zérus sorrendű mennyiségeket nem tartalmazó üzemi állapotot vizsgáljuk. A kapocsfeszültség vektorának skaláris összetevői ebben az esetben a következők: 2 2 u s = u sd + jusq = ( ua + aub + a uc )e − jθ = ( usα + jusβ )(cosθ − j sinθ ) 3

(16.21)

A (16.21) egyenletből következik: 2 1 3 [ u a − ( u b + u c )] cos θ + ( u b − u c ) sin θ 3 2 3 3 2 1 u sq = u sβ sin θ − u sα cos θ = ( u b − u c ) cos θ − [ u a − ( u b + u c )] sin θ 3 3 2 u sd = u sα cos θ + u sβ sin θ =

(16.22) (16.23)

Amennyiben a gép szimmetrikus hálózatra van kapcsolva, a feszültségvektor összetevőit a (3.30) és (6.5) egyenletek felhasználásával tudjuk meghatározni úgy hogy: u s = Uˆ 1e j ( ω 1t +ϕ ) ⋅ e − jθ = Uˆ 1e j [ ω 1t +ϕ −θ ] u = Uˆ cos[ ω t + ϕ − θ ]

(16.25)

usq = Uˆ 1 sin[ ω1t + ϕ − θ ]

(16.26)

sd

1

(16.24)

1

16.3.1 Az aszinkron gépek vizsgálatának egyenletei A (7.2) egyenletrendszerből kiindulva a következő vektoros differenciálegyenlet rendszert nyerjük: dψ s ψ s = Ls i s + Lm i r u s = Rs i s + + jωψ s , dt (16.27) , dψ r ψ r = Lm i s + Lr i r u r = Rr i r + dt

- 50 -

VILLAMOS GÉPEK


Ebből a következő skaláris differenciálegyenlet-rendszer vezethető le: dψ sd − ωψ sq ; dt dψ sq + ωψ sd ; u sq = Rs i sq + dt dψ rd u rd = Rr ird + ; dt dψ rq u rq = Rr irq + ; dt u sd = Rs i sd +

ψ sd = Ls i sd + Lm ird ψ sq = Ls i sq + Lm irq (16.28)

ψ rd = Lm i sd + Lr ird ψ rq = Lm i sq + Lr irq

A (16.28) rendszernek a 16.3 ábrán látható helyettesítő kapcsolási ábrák felelnek meg. d-tengely q-tengely

16.3.ábra. A háromfázisú aszinkron gépek helyettesítő kapcsolási ábrái forgórészhez kötött koordináta-rendszerben. A létrehozott elektromechanikus nyomatékok általános nyomatékegyenletei: 3 2 3 me = 2 3 me = 2 3 me = 2 me =

p(ψ md i sq − ψ mq i sd ) p(ψ sd i sq − ψ sq i sd ) (16.29) p(ψ mq ird − ψ md irq ) p (ψ rq ird − ψ rd irq )

Newton forgási mozgásegyenlete a 16.1 fejezetben ismertetett (16.9) egyenletnek felel meg. Az állórész áramainak fázisonkénti pillanatértékeit a 15.1 fejezetben ismertetett módon, az állórész áramvektor szétcsatolásával kapjuk. ia = i sd ⋅ cos θ − i sq ⋅ sin θ ib = i sd cos( θ − 120 o ) − i sq sin( θ − 120 o )

(16.30)

ic = i sd ⋅ cos( θ − 240 o ) − i sq ⋅ sin( θ − 240 o ) A többi vektoros változó szétcsatolását is a 15.fejezetben lefektetett elv alapján tudjuk megvalósítani. - 51 -

VILLAMOS GÉPEK


16.3.2 Szinkron gépek vizsgálatának egyenletei A 16.3 ábrán látható kiálló pólusú szinkron gép egyenletei a forgórészen lévő két tekercs miatt más szemléletet igényelnek.

16.4.ábra Kiálló pólusú háromfázisú szinkron gép tekercseinek térbeli helyzete. Az aszinkron gépekhez viszonyítva különbség a forgórész kivitelezésénél mutatkozik. A pólustörzseken van elhelyezve az I-k gerjesztőtekercs, melynek egyenáramú táplálását forgás közben a csúszógyűrűkön keresztül biztosítjuk. A gerjesztőtekercs tápfeszültségének, gerjesztő áramának és ellenállásoknak redukált értékei: u f ,i f , R f . A pólussaru hornyaiban van elhelyezve a csillapító kalicka, melyet hosszirányban (d) és keresztirányban (q) is olyan rövidzárt fázistekercsekkel helyettesítünk, melyekben hosszirányban i Dd keresztirányban pedig i Dq redukált áramok folynak. Az ilyen szinkrongép fluxuskapcsolódásait a forgórészhez kötött koordináta rendszerekben a következő mátrix egyenletekkel tudjuk meghatározni. ψ sd   Lsd ψ  = L  f   md ψ Dd   Lmd

Lmd Lf Lmd

ψ sq   Lsq ψ  =  L  Dq   mq

Lmq   i sq  LDq  i Dq 

Lmd   i sd  Lmd   i f  LDd  i Dd 

(16.31)

(16.32)

A (16.31) és (16.32) egyenletekben a fluxuskapcsolódásokat a háromfázisú (közös) fázisonkénti induktivitások felhasználásával fejezzük ki. Különbség a hosszirányú (d) és a keresztirányú (q) induktivitások között a tengelyek mentén mérhető különböző mágneses ellenállásokból ered ( Lsd > Lsq , Lmd > Lmq ) A fluxusegyenletekben szereplő jelölések a következő típusú induktivitásokat jelentik: - 52 -

VILLAMOS GÉPEK


Lsd , Lsq - Az állórész fázistekercsek hossz-és keresztirányú háromfázisú összinduktivitásai Lmd , Lmq - Hossz-és keresztirányú háromfázisú mágnesező induktivitások. LDd , LDq - A csillapító kalicka hossz-és kersztirányú háromfázisú állórészre redukált összinduktivitásai. L f - A forgórész gerjesztőtekercsének állórészre redukált összinduktivitása. Az állórész és forgórész össz háromfázisú induktivitásait hossz- és keresztirányban, a megfelelő mágnesező induktivitások ( Lmd , Lmq ), az állórész oldali szórási induktivitás ( Lsσ ) valamint a forgórész oldali redukált szórási induktivitások ( L fσ , LDσd , LDσq ) összegzésével nyerjük: Lsd = Lmd + Lsσ Lsq = Lmq + Lsσ

(16.33) (16.34)

L f = Lmd + L fσ

(16.35)

LDd = Lmd + LDσd LDq = Lmq + LDσq

(16.36) (16.37)

A kiálló pólusú szinkron gépek fluxuskapcsolódásainak meghatározására a 16.4 ábrán látható helyettesítő kapcsolási ábrát rajzolhatjuk meg. d-tengely q-tengely

16.5. ábra Helyettesítő kapcsolási ábra a kiálló pólusú szinkron gép fluxukapcsolódásainak meghatározására. A 16.5 helyettesítő kapcsolási ábra alapján meghatározhatjuk a mágnesező áramvektor összetevőit is: imd = i sd + i f + i Dd

(16.38)

imq = i sq + i Dq

(16.39)

A mágnesező áramvektor összetevői alapján ki lehet számítani a megfelelő mágneses fluxuskapcsolódások értékeit is.

ψ md = Lmd ⋅ imd ψ mq = Lmq ⋅ imq

(16.40) (16.41)

- 53 -

VILLAMOS GÉPEK


A szinkron gép jellemzőinek vizsgálatára a következő skaláris differenciálegyenlet-rendszer adódik: dψ sd − ωψ sq ; dt dψ sq u sq = Rs i sq + + ωψ sd ; dt dψ f u f = Rf if + ; dt dψ Dd 0 = RDd i Dd + ; dt dψ Dq 0 = RDq i Dq + ; dt u sd = Rs i sd +

ψ sd = Lsd isd + Lmd ( i f + iDd ) ψ sq = Lsqisq + LmqiDq ψ f = L f i f + Lmd ( isd + iDd )

(16.42)

ψ Dd = LDd iDd + Lmd ( isd + i f ) ψ Dq = LDqiDq + Lmqisq

A (16.42) egyenletrendszerben szereplő ellenállás szimbólumok az alábbi értékeket képviselik: Rs - Állórész tekercs fázisonkénti ellenállás RDd - Csillapító kalicka háromfázisú állórészre redukált hosszirányú ellenállása. R Dq - Csillapító kalicka háromfázisú állórészre redukált keresztirányú ellenállása. R f - Forgórész gerjesztő tekercsének háromfázisú állórészre redukált ellenállása (hosszirány) A (16.42) egyenletrendszer alapján a 16.6 ábrán látható helyettesítő kapcsolási ábrák rajzolhatók meg. d-tengely

q-tengely

16.6.ábra A háromfázisú szinkron gép helyettesítő kapcsolási ábrái, forgórészhez rögzített közös koordináta-rendszerben (d,q-rendszer; ω k = ω ).

- 54 -

VILLAMOS GÉPEK


Amennyiben a szinkron gép szimmetrikus fázisfeszültségekkel rendelkező szolgáltató hálózaton üzemel, az állórész feszültségvektora összetevőinek meghatározására a (16.25) és (16.26) egyenleteket kell felhasználni. Ha a szinkron generátor önállóan, sziget üzemmódban dolgozik , akkor ugyancsak a 16.6 helyettesítő kapcsolási ábrákat használhatjuk úgy, hogy a tápfeszültség összetevői helyett a kapcsokra a fogyasztó fázisonkénti soros ellenállását ( RT ) és induktivitását ( LT ) kapcsoljuk. A szinkron gép létrehozott pillanatnyomatékának általános egyenletei a következők: 3 2 3 me = 2 3 me = 2 3 me = 2 me =

p(ψ md i sq − ψ mq i sd ) p(ψ sd i sq − ψ sq i sd )

[

p ψ mq ( i f + i Dd ) − ψ md i Dq

[

(16.43)

]

p ψ Dq ( i f + i Dd ) − (ψ f + ψ Dd )i Dq

]

Newton forgási mozgásegyenlete és az állórész áramvektor összetevőinek szétcsatolása fázisonkénti pillanatértékekre ugyanolyan, mint az aszinkron gépeknél.

16.4 Skaláris összetevők koordinátatranszformációja Azt a műveletet amely lehetővé teszi, hogy a skaláris összetevőket általános Re(k) forgó koordináta-rendszerből átszámítsuk álló koordináta rendszerbe Re(s), koordinátatranszformációnak nevezzük. Az állórész áramainak transzformációja során abból a feltevésből indulunk ki, hogy az áramvektoros mennyiség (6.7) közös koordináta-rendszerben van meghatározva. Ha ebben az egyenletben a vektoros mennyiségeket komplex alakban összetevőikkel helyettesítjük, a (6.7) egyenlet a következő alakot veszi fel. i s = i sα + ji sβ = i sk ⋅ e jθ k = ( i sdk + ji sqk )(cos θ k + j sin θ k )

(16.44)

A szorzási művelet elvégzése után a (16.44) egyenlet két egyenletre csatolódik szét: i sα = i sdk cosθ k − i sqk sin θ k

(16.45)

i sβ = i sdk sin θ k + i sqk cosθ k

(16.46)

A (16.45), (16.46) egyenletekből kiindulva, a (16.10) egyenletek felhasználásával a koordináta-transzformáció műveletére a 16.6 ábrán látható hatásvázlat rajzolható.

- 55 -

VILLAMOS GÉPEK Általános Re(k)-forgó koordináta-rendszer

TÉRVEKTOROK ELMÉLETE Álló Re(s) koordináta. redszer

Szétcsatolás háromfázisú pillanatértékekre

16.7.ábra. Az állórész áramvektor skaláris összetevőinek koordinátatranszformációja. Meg kell említeni, hogy a háromfázisú rendszernél az ia és ib pillanatáramok értékét a (16.10) egyenletrendszer első két egyenlete alapján határoztuk meg. A harmadik fázis ic pillanatáramát olyan feltételezés alapján határoztuk meg, hogy a zérus sorrendű áram értéke nulla. Hasonló megfontolás alapján vezethető le az összes többi vektoros mennyiség skaláris összetevőinek koordinátatranszformációja.

17. ZÉRUS SORRENDŰ RENDSZER A háromfázisú gépek aszimmetriái, legtöbbször a kapocsfeszültségek megbomlásából, a fázistekercsek rossz elkötéséből, a táplálásra szolgáló vezetők, vagy a fázistekercsekben fellépő szakadások miatt jelentkeznek. A megbomlás helyétől függően állórész és forgórész aszimmetriákat különböztetünk meg. Tekintettel arra, hogy az állórész aszimmetriák esete gyakoribb, ebben a fejezetben vizsgálatainkat, csak az állórész aszimmetriákra korlátozzuk. Az elméletileg számításba vehető aszimmetriák úgy állórész, mint forgórész oldalon két csoportra oszthatók: - Zérus sorrendű mennyiségeket nem tartalmazó aszimmetriák. - Zérus sorrendű mennyiségeket is tartalmazó aszimmetriák. Az első esetben abszolút pontos eredményt biztosítanak azok az egyenletek, melyeket a korábbi fejezetekben vezttünk le. A második esetben a korábbi fejezetekben levezetett egyenleteket ki kell egészíteni úgynevezett zérus sorrendű differenciálegyenlet-rendszerrel. Az alapvető probléma, amellyel a különböző típusú aszimmetriák vizsgálata során szembe kerülünk, annak a minden kétséget kizáró ténynek a megállapítása, hogy vizsgált aszimmetria tartalmaz-e zérus sorrendű mennyiségeket vagy sem.

- 56 -

VILLAMOS GÉPEK


17.1 A háromfázisú rendszer aszimmetria típusai A háromfázisú gépek fázistekercsei általános esetekben lehetnek csillag (Y), vagy háromszög (D) kapcsolásúak. A zérus sorrendű áramok ( i so ), amennyiben fellépnek időben mindhárom fázistekercsben fázisban vannak. Emiatt a vizsgált aszimmetrikus esetnél legelőször azt kell megállapítani, hogy az állórész tekercsek kapcsolása lehetővé teszi-e a zérus sorrendű áram kialakulását. Belátható, hogy a csillagpont-kivezetés nélküli csillagkapcsolásoknál zérus sorrendű áram a csillagponton keresztül nem folyhat. Ilyen esetekben tehát nem is kell zérus sorrendű mennyiségekkel számolni. Zérus sorrendű mennyiségek háromszög kapcsolásnál sem léphetnek fel, amennyiben a rendszer kiegyensúlyozott, illetve, ha az adott aszimmetrikus eset a háromszög kapcsolásban nem hozott létre szétcsatolást. A leggyakrabban előforduló zérus sorrendű mennyiségeket nem tartalmazó aszimmetrikus kapcsolások a 17.1 ábrán vannak feltüntetve.

a

b

c

d

17.1.ábra Jelentősebb aszimmetrikus kapcsolások zérus sorrendű mennyiségek nélkül. Megállapítható, hogy Steinmetz kapcsolású egyfázisú aszinkron motoroknál (17.1.b és 17.1.d) nem kell számolni a zérus sorrendű mennyiségekkel. A leggyakrabban előforduló zérus sorrendű mennyiségeket tartalmazó aszimmetrikus eseteket a 17.2 ábrán tüntettük fel.

a

b

c

d

17.2.ábra Jelentősebb, zérus sorrendű mennyiségeket is tartalmazó aszimmetrikus esetek. Megállapítható, hogy csillag kapcsolású gépeknél zérus sorrendű összetevők csak akkor léphetnek fel, ha a csillagpontnak kivezetése is van (17.2.ábra), és ezen keresztül zérus sorrendű áramok is folyhatnak. Ebből következik, hogy amennyiben a háromfázisú szinkron generátor egy - 57 -

VILLAMOS GÉPEK


fázisát a csillagponton keresztül aszimmetrikusan terheljük (17.2.b ábra ) akkor a vizsgálat során zérus sorrendű mennyiségekkel is számolnunk kell. Ellenkező esetben, amikor a csillag kapcsolású szinkron generátort aszimmetrikusan terheljük( csak egy vonalfeszültségre kapcsolunk terhet), a vizsgálatot zérus sorrendű mennyiségek nélkül kell elvégezni. A 17.2.c ábrán az aszinkron gép ismert „V” kapcsolású aszimmetriája van feltüntetve. Ez az eset akkor a adódik ha a kiegyensúlyozott háromszög kapcsolás szétcsatolódik egy fázistekercsnél jelentkező szakadás következtében. E szakadás következtében a gépnél zérus sorrendű áramok és feszültségek lépnek fel. Hasonló jelenség lép fel akkor is ha a kiegyensúlyozott háromszög kapcsolásnál egyszerre két fázistekercsnél lép fel szakadás (17.2,d ábra) . E szakadások következtében, vonali feszültségre csak egy fázistekercs van kapcsolva, és a gép tiszta egyfázisú gépként üzemel. E kapcsolásnál úgyszintén zérus sorrendű mennyiségekkel is számolni kell.

17.2 Zérus sorrendű áramok és gerjesztések hatása Háromfázisú gépnél tiszta zérus sorrendű gerjesztéseket akkor kapunk, ha a fázistekercseket sorba kötjük, és ebben a kötésben ezeket „u” pillanatértékű váltakozó feszültségre kapcsoljuk . Ilyen kötés úgy nyerhető , hogy a háromszög kapcsolást egy helyen felnyitjuk (17.3 ábra), és innen a zérus sorrendű áramok létrehozása érdekében váltakozó feszültséggel tápláljuk. Tekintettel arra, hogy ebben a kapcsolásban a feszültség fázisonként egyenletesen oszlik el, a kapocsfeszültség (u) és a zérus sorrendű feszültség ( u so ) között az alábbi összefüggés állapítható meg: u = 3u so

(17.1)

17.3.ábra. Zérus sorrendű feszültségek és áramok mérése A sorba kötött fázistekercseken átfolyó áram ebben a kapcsolásban a zérus sorrendű áram ( i so ) értékeknek felel meg. Érdekes megvizsgálni milyen lesz a zérus sorrendű váltóakozó árammal gerjesztett háromfázisú tekercselés gerjesztés-eloszlása. Mivel a zérus sorrendű áramok pillanatértékei (az összes fázistekercsben) időben azonos fázisúak, a gerjesztés-eloszlásban megjelennek mindazok a térharmonikus összetevők (3,6,9,12,15….), amelyek a szimmetrikus háromfázisú áramokkal történő gerjesztés során, a térbeli azonos fázishelyzet miatt kiesnek. A szimmetrikus háromfázisú - 58 -

VILLAMOS GÉPEK


gerjesztés-eloszlás harmonikusai viszont, beleértve az alapharmonikus gerjesztést is, zérus sorrendű gerjesztőáram mellett, nulla értékeket vesznek fel. Összefoglalva: a zérus sorrendű áramok a háromfázisú tekercselésnél olyan gerjesztés-eloszlást hoznak létre, melynek póluspárszáma háromszorosa a szimmetrikus háromfázisú gerjesztés-eloszlás alapharmonikus póluspár számának. Ugyanilyen következtetésre jutunk akkor is ha a 17.4 ábrán látható Z=6 horonyszámú, háromfázisú , kétpólusú állórész tekercselésnél, fázisonként időben azonos gerjesztő áramok mellett megrajzoljuk annak a gerjesztés- eloszlását (17.4.b).

a.

b.

17.4.ábra. Kétpólusú háromfázisú, Z=6 horonyszámú gép zérus sorrendű gerjesztés-eloszlása. Megállapítható, hogy a háromfázisú kétpólusú tekercselés (17.4.a.ábra) fázisonként időben azonos értékű és fázisú áramokkal gerjesztve, hatpólusú gerjesztés-eloszlást (17.4.b.ábra) eredményez. Figyelembe véve, hogy a kalickás forgórész, általánosan minden póluspár számú gerjesztésre reagál, a háromfázisú kalickás forgórészű aszinkron motor, az állórész zérus sorrendű gerjesztésére úgy viselkedik, mint ha egy p o = 3 p póluspár számú tiszta segédfázis nélküli egyfázisú motor lenne. Ebből az a következtetés vonható le, hogy a kalickás forgórészű aszinkron motoroknál a zérus sorrendű áramok bizonyos feltételek mellett létrehoznak zérus sorrendű nyomatékokat is. A zérus sorrendű közepes nyomaték jelleggörbe ( M o ) alakra megegyezik a tiszta egyfázisú aszinkron motor nyomatékgörbéjével (lásd 17.5.ábra). M R =M 1 +M 0 M M1

ω ω1 /3

M0

17.5.ábra Alapharmonikus, zérus sorrendű és eredő közepes nyomaték jelleggörbék.

- 59 -

ω1

VILLAMOS GÉPEK


Ezen az ábrán, egy adott aszimmetrikus állandósult üzemi állapotra vonatkozóan feltüntettük az alapharmonikus M 1 nyomaték görbét, zérus sorrendű M 0 nyomaték görbét, és a gép eredő M R nyomaték görbéjét. Megfigyelhető, hogy a zérus sorrendű mennyiségek nem hoznak létre indító nyomatékot. Ezek nyomatékgörbéje egészen a szinkron szögsebesség harmadáig motoros, ezen felül pedig generátoros illetve fékező jellegű. A zérus sorrendű nyomaték összetevő miatt a gép eredő közepes nyomaték jelleggörbéjén ( M R ) nyereg keletkezik. Ez a nyereg különböző aszimmetrikus állapotoknál olyan nagy lehet, hogy a motor képtelen felfutni, és a névleges fordulatszám 1/3-a közelében beragad.

17.3 Állórész és forgórész zérus sorrendű térvektorai természetes koordinátarendszerekben Kiindulva abból, hogy a zérus sorrendű áramok az alapharmonikus gerjesztés póluspár számához viszonyítva háromszoros póluspár számú gerjesztést produkálnak, a második és a harmadik fázistekercs mágneses tengelyei az első fázis mágneses tengelyéhez viszonyítva 3 ⋅ 120 o illetve 3 ⋅ 240 o villamos szöggel vannak elfordítva. Ebből következik, hogy a fázistekercsek zérus sorrendű mágneses tengelyei, mind a három fázistekercsnél térben azonos helyzetben vannak (lásd 17.6.ábra).

17.6.ábra. Zérus sorrendű gerjesztések és áramok szemléltetése. A 17.6.ábrán feltüntetett térbeli helyzetből kiindulva, az állórész fázistekercseinek zérus sorrendű áramvektoraira a következő egyenleteket írhatjuk fel: i ao = i bo = i co = i so

(17.2)

Ugyanez a megállapítás érvényes a zérus sorrendű állórész gerjesztések vektoraira is. F ao = F bo = F co =

2 N sξ S 3 i so π 3p

(17.3)

A (17.3) egyenletekben ξ s 3 jelölés a fázistekercsek hármas rendszámú tekercselési tényezőjére vonatkozik. Az állórész zérus sorrendű gerjesztéseinek térvektorát a fázisonkénti zérus sorrendű gerjesztések összegzésével nyerjük: F so = F ao + F bo + F co =

2 N sξ S 3 i so π p

(17.4)

- 60 -

VILLAMOS GÉPEK


Ez a gerjesztési vektor olyan lüktető vektor, amely a hálózati frekvenciával összhangban lüktet. Az állórész zérus sorrendű feszültségeinek ( u so ), áramainak ( i so ) és fluxuskapcsolódásainak (ψ so )vektorait, állórészhez kötött koordináta-rendszerben a következő mátrix egyenlettel határozhatjuk meg:  u so   u a + ub + uc    1   i so  = 3  ia + ib + ic  ψ  ψ a + ψ b + ψ c   so 

(17.5)

Hasonló megfontolással határozhatjuk meg a forgórész zérus sorrendű feszültségeinek ( u ro ), áramainak ( i ro ) és fluxuskapcsolódások ( ψ ro ), forgórészhez kötött koordináta rendszerben definiált térvektorait:  u ro   ura + urb + urc    1   i ro  = 3  ira + irb + irc  ψ  ψ ra + ψ rb + ψ rc   ro 

(17.6)

17.4 Zérus sorrendű fluxuskapcsolódások meghatározása induktivitások és áramok segítségével Zérus sorrendű fluxuskapcsolódások úgy állórész mint forgórész oldalon, szórási fluxuskapcsolódásokból ( ψ sσ 0 ,ψ rσ 0 ) és mágnesező fluxuskapcsolódásokból (ψ mo ) tevődnek össze. Ezek értékeit egyfázisú induktivitások, vagy közös zérus sorrendű induktivitások felhasználásával tudjuk meghatározni. Az állórész zérus sorrendű szórási fluxuskapcsolódásának meghatározására , az egyfázisú induktivitásokból kiindulva a következő egyenletet írhatjuk fel:

ψ sσ 0 = l sσ ia 0 + l sm ib0 + l sm ic0 = ( l sσ + 2l sm )i s 0

(17.7)

Amennyiben a (17.7) egyenletekben az egyfázisú szórási induktivitások összegét zérus sorrendű szórási induktivitással ( Lsσ 0 ) helyettesíthetjük, az állórész zérus sorrendű szórási fluxuskapcsolódásának egyenlete a következőképpen módosul:

ψ sσ 0 = Lsσ 0 i s 0

(17.8)

A zérus sorrendű állórész szórási induktivitás és az egyfázisú szórási induktivitások között a következő kapcsolat állapítható meg: Lsσ 0 = l sσ + 2l sm

(17.9)

A zérus sorrendű állórész induktivitások a közös induktivitások csoportjába tartoznak. Ezért ezek értékeit nagy betűkkel jelöljük. Meg kell azonban jegyezni, hogy a (17.9) egyenlettel

- 61 -

VILLAMOS GÉPEK


meghatározható zérus sorrendű állórész szórási induktivitás értéke más , mint az (5.5) egyenlettel meghatározható háromfázisú szórási induktivitás értéke. Hasonló megfontolásokkal határozhatjuk meg a forgórész állórészre redukált szórási fluxuskapcsolódásainak egyenletét:

ψ rσ 0 = lrσ iaro + lrmibro + lrmicro = ( lrσ + 2lrm )iro

(17.10)

vagyis:

ψ rσ 0 = Lrσ 0ir 0

(17.11)

A forgórész állórészre redukált zérus sorrendű szórási induktivitása és egyfázisú induktivitásai között a következő összefüggés állapítható meg: Lrσ 0 = lrσ + 2lrm

(17.12)

A zérus sorrendű mágnesező induktivitás értéket a fázisonkénti gerjesztés eloszlás hármas rendszámú gerjesztéséhez tartozó egyfázisú mágnesező induktivitás ( l m 3 ) alapján határozhatjuk meg:

ψ mo = l m 3imo + l m3 imo + l m 3imo = 3l m 3imo

(17.13)

A (17.13) egyenletekben imo jelölés a zérus sorrendű mágnesező áram pillanatértékét képviseli. A zérus sorrendű mágneses fluxuskapcsolódás értékét természetesen a zérus sorrendű mágnesező induktivitás felhasználásával is meghatározhatjuk:

ψ mo = Lmo imo

(17.14)

A zérus sorrendű mágnesező induktivitás és a hármas rendszámú egyfázisú mágnesező induktivitás között a következő kapcsolat állapítható meg: Lmo = 3l m3

(17.15)

17.5 Zérus sorrendű térvektorok általános közös koordináta-rendszerben Olyan esetekben amikor zérus sorrendű mennyiségek is fellépnek, és a forgórész tekercsei (kalicka),nem közömbösek az állórész zérus sorrendű gerjesztéseire, a vizsgált gép közös koordináta-rendszerben felirt alapegyenleteit ki kell egészíteni zérus sorrendű egyenletekkel. Eközben a zérus sorrendű rendszert olyan aszimmetrikus három tekercses rendszernek kell tekinteni, melynek póluspár száma p o = 3 p . Ily módon, ebben a rendszerben, a forgórész ω o villamos szögsebessége a forgórész ω alapharmonikus villamos szögsebességének háromszorosa:

ω o = 3ω

(17.16)

Ezért az általános forgó, közös koordináta-rendszerben Re(k), az állórész zérus sorrendű térvektorait a következő egyenletekkel definiálhatjuk:

- 62 -

VILLAMOS GÉPEK


i sok = i so e − jθ k u sok = u so e

(17.17)

− jθ k

ψ sok = ψ so e − jθ

(17.18) (17.19)

k

A forgórész zérus sorrendű vektorai, általános, forgó, közös koordináta-rendszerben Re(k) a következők: i rok = i ro e − j ( θ k −3θ ) u rok = u ro e

(17.20)

− j ( θ k − 3θ )

ψ rok = ψ ro e

(17.21)

− j ( θ k − 3θ )

(17.22)

A zérus sorrendű fluxuskapcsolódások vektorainak általános közös koordináta-rendszerben történő meghatározására a 17.7 ábrán feltüntetett kapcsolási vázlatot használjuk.

17.7.ábra Helyettesítő kapcsolási vázlat a zérus sorrendű fluxuskapcsolódások meghatározására. Ennél a kapcsolási vázlatnál két kapcsolót is beiktatunk, melyeknek esetenként nyitott, illetve zárt állapotban kell lenniük. A zérus sorrendű mennyiségek analízise során három eset léphet fel, éspedig: a – A hármas rendszámú (zérus sorrendű ) tekercselési tényező értéke nulla ( ξ s 3 = 0 , K 1 - zárt, K 2 - nyitott) Ez az állapot abban az esetben lép fel, ha az állórész tekercselése kétréteges kivitelezésű, olyan lépésrövidítéssel, melynél a tekercslépés a pólusosztás 2/3-a. Ebben az esetben az állórész zérus sorrendű gerjesztéseinek térvektora nulla ( Fso = 0 ). Ezért az állórész zérus sorrendű áramai, légrésen keresztül hatoló mágneses fluxuskapcsolódásokat sem tudnak létrehozni. Ilyen esetben az állórész zérus sorrendű fluxuskapcsolódásait szórási fluxuskapcsolódásoknak tekinthetjük.

ψ sok = Lsσ 0 i sok

(17.23)

b – A forgórész tekercsei közömbösek az állórész zérus sorrendű mágneses fluxus kapcsolódásaira ( K 1 - nyitott, K 2 - nyitott ) - 63 -

VILLAMOS GÉPEK


Ez az eset azoknál a csúszógyűrűs aszinkron motoroknál lép fel, melyek forgórész tekercselése csillag kapcsolású. A csillagpont miatt a forgórész tekercseiben nem folyhatnak azonos időbeli fázishelyzetű zérus sorrendű áramok, ezért zérus sorrendű nyomaték sem jöhet létre. Ebben az esetben az állórész zérus sorrendű fluxuskapcsolódásának térvektorát, a szórási fluxuskapcsolódás és a mágnesező fluxuskapcsolódás vektorainak összegezése alapján tudjuk meghatározni.

ψ sok = ( Lsσ 0 + Lmo )i sok

(17.24)

Ha állórész oldalon bevezetjük a zérus sorrendű összinduktivitást. Lso = Lsσ 0 + Lmo

(17.25)

akkor az állórész zérus sorrendű fluxuskapcsolódása a következő alakot veszi fel:

ψ sok = Ls i sok

(17.26)

Meg kell említeni, hogy ez az eset akkor is fellép, ha a forgórész olyan kétréteges lépésrövidítéses tekercselésű,melynek hármas rendszámú tekercselési tényezője nulla ( ξ r 3 = 0 ) c – A forgórész tekercsei visszahatnak az állórész zérus sorrendű fluxuskapcsolódásaira ( K 1 - nyitott, K 2 - zárt) Ez a eset lép fel az összes kalickás forgórészű aszinkron motoroknál, és az olyan csúszógyűrűs aszinkron motoroknál , melyek forgórésztekercselése háromszög kapcsolású azzal,hogy ennek hármas rendszámú tekercselési tényezője nem nulla ( ξ r 3 ≠ 0 ). Ebben az esetben forgórész oldalon is bevezethetjük zérus sorrendű összinduktivitást. Lro = Lrσ 0 + Lmo

(17.27)

ahol Lrσ 0 a forgórész állórészre redukált zérus sorrendű szórási induktivitása. Ily módon, közös általános koordináta-rendszerben az állórész és forgórész zérus sorrendű fluxuskapcsolódások térvektorainak meghatározására a következő egyenleteket írhatjuk:

ψ sok = Lso i sok + Lmo i rok

(17.28)

ψ rok = Lmo i sok + Lro i rok

(17.29)

Ebben az esetben az állórész és forgórész zérus sorrendű áramainak összeadása a zérus sorrendű mágnesező áramot eredményezi: i mok = i sok + i rok

(17.30)

A (17.30) egyenlet felhasználásával az állórész és a forgórész zérus sorrendű fluxuskapcsolódások térvektoraira, közös általános koordináta-rendszerben a következő kifejezések írhatók:

ψ sok = ψ sσ 0 k + ψ mok = Lsσ 0 i sok + Lmo i mok

(17.31)

- 64 -

VILLAMOS GÉPEK


ψ rok = ψ rσ 0 k + ψ mok = Lrσ 0 i rok + Lmo i mok

(17.32)

17.6. Általános differenciálegyenlet-rendszer a zérus sorrendű változók hatásának elemzésére A zérus sorrendű változók meghatározására, általános közös koordináta-rendszerben, ugyanolyan alakú térvektoros differenciálegyenlet-rendszer írható fel, mint amilyen a zérus sorrendű mennyiségeket nem tartalmazó esetekre lett felírva (7.1 fejezet). A különbség abban van, hogy a zérus rendszert olyan aszimmetrikus háromtekercses rendszernek kell tekinteni, melynek póluspár száma 3p, és így a forgórészhez tartozó szögsebesség értéke ω o = 3ω . Így: u sok = Rs i sok +

dψ sok

u rok = Rro i rok +

dt dψ rok dt

, ψ sok = Lso i sok + Lmo i rok

+ jω k ψ sok

Állórész (17.33)

+ j (ω k − 3ω )ψ rok , ψ rok = Lmo i sok + Lro i rok

Forgórész

A (17.33) egyenletekben Rro jelölés a forgórész tekercselés (kalicka), 3p póluspár számú állórészre redukált zérus sorrendű ellenállását képviseli. A különböző tekercselési tényezők ( ξ S 3 ≠ ξ S ) és a különböző póluspár számok ( p o ≠ p ) miatt, ennek az ellenállásnak az értéke más mint háromfázisú állórészre redukált forgórész ellenállás értéke ( Rro ≠ Rr ). Továbbá meg kell említeni, hogy a forgórész zérus sorrendű feszültségvektora, rövidre zárt (kalickás) forgórészű gépeknél nulla ( u rok = 0 ) Ha a (17.33) vektoros differenciálegyenletekben a vektorokat skaláris összetevőkkel helyettesítjük, ez az egyenletrendszer az alábbiak szerint négy skaláris egyenletre csatolódik szét. dψ sodk − ω kψ soqk dt dψ soqk = Rs i soqk + + ω kψ sodk dt dψ rodk = Rro irodk + − (ω k − 3ω )ψ roqk dt dψ roqk = Rro iroqk + + (ω k − 3ω )ψ rodk dt

u sodk = Rs i sodk + u soqk u rodk u roqk

Állórész

(17.34) Forgórész

A (17.34) egyenletrendszerben a zérus sorrendű vektoros összetevőket a következő egyenletek alapján határozzuk meg: u sok = u sodk + ju soqk (17.35) i sok = isodk + jisoqk

(17.36)

ψ sok = ψ sodk + jψ soqk

(17.37)

u rok = u rodk + ju roqk

(17.38)

i rok = irodk + jiroqk

(17.39)

ψ rok = ψ rodk + jψ roqk

(17.40)

- 65 -

VILLAMOS GÉPEK


A zérus sorrendű változók skaláris differenciálegyenletei elvileg három féle közös koordináta-rendszerben írhatóak fel, éspedig : állórészhez kötött álló koordináta-rendszerben ( ω k = 0 ), szinkron forgó koordináta-rendszerben ( ω k = ω1 ) , és forgórészhez kötött koordinátarendszerben ( ω k = ω o = 3ω ) . Figyelem: Az állórész és forgórész zérus sorrendű áramait ( i sok , irok ) minden estben vissza kell vezetni a természetes koordináta-rendszerekben definiált értékekre ( i so , iro ), és ezek pillanatértékeit, csak így adhatjuk hozzá a zérus sorrendű mennyiségek nélkül számított értékekhez ( i ' a , i 'b , i ' c , i ' ar , i 'br , i ' cr ) . Közös koordináta-rendszerből természetes koordináta-rendszerekbe történő visszatranszformálás során a 17.5 fejezetben meghatározott egyenleteket használhatjuk. Tekintettel arra a körülményre, hogy a zérus sorrendű egyenletek állórészhez kötött álló koordináta-rendszerben definiálhatók a legegyszerűbben, a zérus sorrendű skaláris változók meghatározását, csak ebben a koordináta rendszerben fogjuk ismertetni.

17.7 Zérus rendszer skaláris differenciálegyenletei állórészhez kötött közös koordináta-rendszerben (α,β-összetevők; ω k = 0 ) Tekintettel arra a körülményre, hogy ebben a koordináta-rendszerben a zérus sorrendű gerjesztések mágneses tengelyei mindhárom fázistekercsnél a valós tengellyel azonosak, állórész oldalon a zérus sorrendű feszültség és áramvektoroknak nincsenek képzetes összetevőik. 1 u soα = u so = ( u a + u b + u c ) , usoβ = 0 3

(17.41)

isoα = iso , isoβ = 0

(17.42)

Ha ezenfelül feltételezzük, hogy a rotor tekercsek (kalicka) rövidre zártak , a zérus rendszer differenciálegyenletei a következő alakban írhatók fel:

u soα = Rs i so +

dψ soα dt

dψ roα + 3ωψ roβ , dt dψ roβ + − 3ωψ roα dt

ψ soα = Lso i so + Lmo iroα ψ soβ = Lmo iroβ

,

ψ roα = Lmoiso + Lroiroα

0 = Rro iroα + 0 = Rro iroβ

(17.43)

ψ roβ = Lroiroβ

,

A (17.43) differenciál egyenletek alapján a 17.8 ábrán feltüntetett helyettesítő kapcsolási ábrák rajzolhatók meg.

- 66 -

VILLAMOS GÉPEK


α- tengely

β- tengely

17.8.ábra.Zérus rendszer helyettesítő kapcsolási ábrái állórészhez kötött közös koordinátarendszerben. E kapcsolási vázlatok áramkörébe három kapcsolót is beiktattunk, melyek a tárgyalt aszimmetria jellegétől függően bekapcsolt, vagy kikapcsolt állapotban lehetnek. A vizsgálat során három lehetséges eset adódhat, éspedig: aAz állórész tekercsei nem hoznak létre légrésen keresztül hatoló mágnesező fluxuskapcsolódást ( ξ S 3 = 0 miatt , K 1 - nyitott, K 2 - zárt és K 3 - nyitott ) Ebből adódik: iroα = 0 , iroβ = 0

(17.44)

A zérus rendszer állórész oldali differenciálegyenlete a következő alakot veszi fel: uso = Rsiso +

b-

dψ sσ 0 dt

,

ψ sσ 0 = Lsσ 0iso

(17.45)

A forgórész tekercselése közömbös az állórész zérus sorrendű mágnesező fluxuskapcsolódásával szemben ( K 1 - nyitott, K 2 - nyitott és K 3 - nyitott) Ez az eset akkor adódik, ha az állórész tekercsei létrehozzák a légrésen keresztülhatoló zérus sorrendű mágnesező fluxusokat, a forgórész tekercsei azonban csillagkapcsolás, vagy ξ r 3 = 0 miatt, ezekkel szemben közömbösek. Emiatt a forgórész tekercseiben zérus sorrendű áramösszetevők sem tudnak megjelenni ( iroα = iroβ = 0 ). A zérus rendszer differenciálegyenlete ebben az esetben, csak az állórész oldalra korlátozódik és a következő alakot veszi fel: uso = Rsiso +

c-

dψ so dt

,

ψ so = ( Lsσ 0 + Lmo )iso = Lsoiso

(17.46)

A forgórész tekercselése reagál az állórész zérus sorrendű mágnesező fluxuskapcsolódásaira ( K 1 -zárt, K 2 - nyitott és K 3 -zárt) Ez az eset létrejön az összes kalickás forgórészű aszinkron gépnél. Ezenfelül létrejöhet azoknál a csúszógyűrűs aszinkron gépeknél is, melyek forgórésztekercsei háromszög - 67 -

VILLAMOS GÉPEK


kapcsolásúak, azzal a feltétellel, hogy ezek hármas rendszámú tekercselési tényezője nem nulla ( ξ r 3 ≠ 0 ). Ebben az esetben a zérus sorrendű pillanatáram összetevőket az állórész tekercsekben ( i so ) és a forgórész tekercsekben ( iroα , iroβ ) a (17.43) differenciálegyenlet-rendszer megoldásával kell meghatározni. Természetesen ebben az esetben, a háromfázisú rendszer alapharmonikus pillanatnyomatéka ( me ) mellett, a zérus rendszer hármas rendszámú gerjesztése miatt, zérus sorrendű pillanatnyomaték ( meo )is megjelenik.

17.8 Zérus rendszer teljesítményei és veszteségei A zérus sorrendű teljesítmények és veszteségek pillanatértékeit, a zérus rendszer feszültségvektorai és áramvektorai alapján számíthatjuk ki. A zérus rendszer felvett pillanatteljesítményét ( pso ) a következő egyenlet határozza meg. p so = 3 Re( u *sok ⋅ i sok ) = 3( u sodk i sodk + u soqk i soqk ) Állórészhez

kapcsolt

közös

koordináta

(17.47) rendszerben

( ω k = 0, i soα = i so , i soβ = 0 )

e

teljesítmény egyenlete: p so = 3u so i so

(17.48)

A forgórész felvett pillanatteljesítménye ( pro ) értékét az állórész zérus sorrendű indukált feszültségvektora e sok alapján határozhatjuk meg. *

pro = 3 Re( e sok ⋅ i sok ) = 3( esodk isodk + esoqk isoqk )

(17.49)

Állórészhez kapcsolt közös koordináta-rendszerben e teljesítmény egyenlete : pro = 3esoiso

(17.50)

Az állórész tekercseinek zérus sorrendű pillanatveszteségeit általános közös koordinátarendszerben a következő egyenlet határozza meg: *

2 2 2 p cuso = 3 Rs Re( i sok ⋅ i sok ) = 3 Rs i sok = 3 Rs ( i sodk + i soqk ) = 3 Rs i so2

*

2 2 2 = 3 Rro ( irodk + iroqk p curo = 3 Rro Re( i rok ⋅ i rok ) = 3 Rro irok )

(17.51) (17.52)

Állórészhez kötött koordináta-rendszerben a forgórész tekercsek pillanatveszteségeire a következő egyenlet adódik: p curo = 3Rro (iro2 α + iro2 β )

(17.53)

- 68 -

VILLAMOS GÉPEK


17.9 Zérus rendszer által létrehozott elektromechanikai pillanatnyomatékok egyenletei A zérus rendszer által létrehozott elektromechanikai nyomatékok pillanatértékei, ha ezek létrejönnének, vektoros és skaláris alakban határozhatók meg. E nyomatékegyenletek meghatározása során figyelembe kell venni, hogy a zérus rendszer p o = 3 p póluspár számú mágnesező fluxust hoz létre. A zérus rendszer nyomatékaira, általános közös „k” koordináta-rendszerben a következő általános vektoros egyenletek vezethetők le. meo = 3 poψ mok × i sok = 3 po Im(ψ mok ⋅ i sok )

(17.54)

meo = 3 poψ sok × i sok = 3 po Im(ψ sok ⋅ i sok )

(17.55)

meo = 3 po i rok × ψ mok = 3 po Im(ψ mok ⋅ i rok )

(17.56)

meo = 3 po i rok × ψ rok = 3 po Im(ψ rok ⋅ i rk )

(17.57)

*

*

*

*

Állórészhez kötött közös koordináta-rendszerben a zérus rendszer létrehozott pillanatnyomatékainak meghatározására, a következő skaláris nyomaték egyenletek használhatók: meo = −3 poψ moβ iso = −3 po Lmoiroβ iso

(17.58)

meo = −3 poψ soβ iso = −3 po Lmoiroβ iso

(17.59)

meo = 3 po (ψ moβ ir 0α − ψ moα iroβ )

(17.60)

meo = 3 po (ψ roβ ir 0α − ψ roα iroβ )

(17.61)

Itt külön meg kell említeni, hogy Newton forgási nyomatékegyenletének az alapharmonikus háromfázisú nyomaték érték ( me ) mellett, a zérus rendszer nyomatékát ( meo ) is magába kell foglalnia, ha ez a vizsgált aszimmetriánál megjelenik. Newton forgási mozgásegyenlete ebben az esetben a következő alakot veszi fel: dω p = ( me + meo − m fv − mT ) dt JΣ

(17.62)

18. FORGÓRÉSZMENNYISÉGEK REDUKÁLÁSA ÁLLÓRÉSZ OLDALRA Mivel a háromfázisú gépeknél a forgórész tekercseinek fázisszáma ( mr ) gyakran eltér az állórész tekercseinek fázisszámától ( m s = 3 ), bevett gyakorlat, hogy közös koordináta rendszerben a számítást az állórészre redukált forgórészmennyiségekkel végezzük el.

18.1

Forgórészmennyiségek rendszernél

redukálása

állórész oldalra

a

háromfázisú

A forgórészáramok állórészre történő redukálása során abból a tényből indulunk ki, hogy a redukált forgórészáram az állórész tekercseiben pontosan akkora gerjesztést hoz létre, mint a forgórész tekercseiben folyó valódi áramok. - 69 -

VILLAMOS GÉPEK

Fr =


ms N sξ s m Nξ ⋅ i rk = r ⋅ r r i r π π p p

(18.1)

A (18.1) egyenletben N r , illetve ξ r jelölések a forgórész fázistekercseinek menetszámát, illetve alapharmonikus tekercselési tényezőjét jelentik. A (18.1) egyenletből kiindulva, a forgórész áramvektorának állórész oldali redukálására a következő K i redukálási tényező adódik: Ki =

i rk mr N rξ r = i r ms N sξ s

(18.2)

A forgórész feszültségvektor állórész oldali redukálására a transzformátornál alkalmazott eljárást használjuk: Ku =

u rk N sξ s = ur N rξ r

(18.3)

A forgórész ellenállásainak és induktivitásainak redukálási tényezőjére ( K r ) a (18.2) és (18.3) egyenletek felhasználásával a következő érték adódik: Kr =

K u ms ( N sξ s ) 2 = K i mr ( N rξ r ) 2

(18.4)

Csúszógyűrűs motoroknál a fázisazonosság ( m s = mr = 3 ) miatt a forgórész ellenállásainak és induktivitásainak redukálási tényezője a következőképpen módosul: Nξ  K r =  s s   N rξ r 

2

(18.5)

A (18.4)egyenletből kiindulva a forgórész ellenállása és szórási induktivitása redukált értékeinek meghatározására a következő egyenleteket írhatjuk: ms ( N sξ s ) 2 Rr = K r R2 = R2 mr ( N rξ r ) 2

(18.6)

ms ( N sξ s )2 Lrσ = K r L2 = L2 mr ( N rξ r )2

(18.7)

Ezekben az egyenletekben R2 és L2 jelölések a forgórész valódi fázisonkénti ellenállását és szórási induktivitását képviselik. A kalickás forgórészű gépeknél a művelet kissé összetettebb. A kalickás forgórészt olyan sokfázisú tekercselésnek tekinthetjük, melynek fázisszáma ( mr ) megegyezik a forgórész horonyszámával ( mr = Z 2 ), fél menetszámot feltételezve fázisonként ( N r = 1 / 2 ). Ilyen feltételezés mellett, a (18.4) egyenletből kiindulva, a kalickás forgórész ellenállásának és szórási induktivitásának redukálási tényezőjére a következő kifejezést kapjuk.

- 70 -

VILLAMOS GÉPEK Kr =


4ms ( N sξ s ) 2 2 Z 2ξ r

(18.8)

A (18.8) egyenlet felhasználásával a kalickás forgórész ellenállásának és szórási induktivitásainak redukált értékei a következő alakot veszik fel: Rr = K r ( Rst +

2 R pr

)=

4m s ( N s ξ s ) 2

( Rst +

2 R pr

) β β2 Z 2ξ r 2L 2L 4 ms ( N sξ s )2 Lrσ = K r ( Lσst + σ2pr ) = ( Lσst + σ2pr ) 2 β β Z 2ξ r 2

2

(18.9) (18.10)

A (18.9) egyenletben Rst jelöléssel a kalicka rúdellenállását, R pr jelöléssel gyűrűszegmens ellenállását, β jelöléssel pedig a gyűrűszegmens ellenállásának és szórási induktivitásának ekvivalens rúdra átváltó átszámítási tényezőjét jelöltük. A (18.10) egyenletben , Lσst jelöléssel egy rúd szórási induktivitását, Lσpr pedig egy gyűrűszegmens szórási induktivitását jelöltük. A gyűrűszegmens ellenállásának és szórási induktivitásának rúdra átváltó átszámítási tényezője a következő egyenlet alapján határozható meg.

β = 2 sin

πp Zr

(18.11)

18.2 A zérus rendszer forgórészmennyiségeinek redukálása állórész oldalra Az állórészre redukált zérus sorrendű forgórészáramoknak az állórész tekercsei révén ugyan akkora gerjesztést kell létrehozniuk, mint a valódi zérus sorrendű forgórészáramok a forgórész tekercsei révén. Ebből kiindulva, a forgórész zérus sorrendű áramainak állórészoldali redukálására a következő áramredukálási tényező adódik: K io =

i rok mNξ = r r r3 i ro 2ms N sξ s 3

(18.12)

A (18.12) egyenletben ξ s 3 és ξ r 3 jelölések az állórész és forgórész tekercseinek hármas rendszámú (zérus sorrendű) tekercselési tényezőit képviselik. A forgórész zérus sorrendű feszültségvektorának állórész oldalra átváltó redukálási tényezőjének értéke: K uo =

u rok N sξ s 3 = u ro N rξ r 3

(18.13)

A forgórész zérus sorrendű ellenállásának és szórási induktivitásának redukálási tényezőjére a (18.12 és 18.13) egyenletek alapján a következő érétk adódik: K ro =

K uo 2 ⋅ m s ( N sξ s 3 ) 2 = K io mr ( N r ξ r 3 ) 2

(18.14)

- 71 -

VILLAMOS GÉPEK


A (18.14) egyenlet felhasználásával a háromfázisú forgórész zérus sorrendű redukált ellenállása ( Rro ) és redukált szórási induktivitása ( Lrσ 0 ) az alábbi egyenletek szerint határozhatók meg: 2m s ( N sξ s 3 ) 2 R2 mr ( N r ξ r 3 ) 2

(18.15)

2 m s ( N sξ s 3 ) 2 = K ro L2 = L2 mr ( N r ξ r 3 ) 2

(18.16)

Rro = K ro R2 =

L rσ 0

Kalickás forgórészű aszinkron motoroknál a zérus sorrendű ellenállások és szórási induktivitások redukálási tényezője a következőképpen határozható meg: 8ms ( N sξ s 3 ) 2 K ro = 2 Z 2ξ r 3

(18.17)

Így, a kalickás forgórész zérus sorrendű redukált ellenállására, és redukált szórási induktivitására az alábbi érétkek adódtak: Rro = K ro ( Rst +

2 R pr

βo2

Lrσ 0 = K ro ( Lσst +

)=

2 Lσpr

βo2

2 R pr 8 ms ( N sξ s 3 )2 ( Rst + ) 2 Z rξ r 3 βo2

)=

2L 8 ms ( N sξ s 3 )2 ( Lσst + σ2pr ) 2 Z rξ r 3 βo

(18.18)

(18.19)

A (18.18) és (18.19) egyenletekben, β o jelölés a gyűrűszegmens rúdra átváltó zérus sorrendű átszámítási tényezőjét jelöltük. E tényező értéke a következő egyenlet alapján határozható meg: πp 3πp β o = 2 sin o = 2 sin (18.20) Zr Zr

19.

VILLAMOS GÉPEK EGYSÉGEKBEN

EGYENLETEI

VISZONYLAGOS

A térvektoros módszerrel vizsgált villamos gépeknél gyakran használunk úgynevezett viszonylagos egységeket. Ez azt jelenti, hogy a paramétereket nem saját természetes fizikai egységeiben, hanem egy kiválasztott vonatkozási értékhez viszonyítva használjuk. Vonatkoztatási vagy más néven bázisértéknek általában a névleges fázismennyiségeket vesszük alapul. Ilyen megfontolásból az átmeneti jelenségek vizsgálata során, vonatkoztatási értéknek a névleges feszültségek és áramok maximális értékeit választjuk ( Uˆ n , Iˆ n ). Vonatkoztatási, illetve bázis szögsebességnek a hálózati körfrekvenciát ( ω b = 2πf1 ) kell alapul venni, bázis időnek pedig annak reciprok értékét ( tb = 1 / ω b ).

- 72 -

VILLAMOS GÉPEK


Az elmondott felvett szabályokból kiindulva meghatározására a következő egyenleteket használhatjuk: - bázisfeszültség: U b = Uˆ n = 2U n - bázisáram: I = Iˆ = 2 I b

n

bázisimpedancia ( ellenállás és reaktancia ) : Z b =

-

bázis villamos szögsebesség: ω b = ω1 = 2πf1 1 1 bázisidő: tb = =

-

bázis fluxuskapcsolódás: ψ b =

-

vonatkoztatási

n

-

ωb

a

U b Uˆ n U n = = Ib In Iˆ n

ω1

Ub

ωb

=

2U n

ω1

3 bázisteljesítmény: Sb = 3U n I n = Uˆ n Iˆ n 2 S 3 Uˆ Iˆ bázisnyomaték: M b = b p = p n n 2 ω1 ωb

(bázis)

értékek (19.1) (19.2) (19.3) (19.4) (19.5) (19.6)

(19.7) (19.8)

Az azonos jelölésekből fakadó esetleges tévedési lehetőség elkerülése érdekében, a viszonylagos egységekben kifejezett mennyiségeket átmenetileg „r” (relatív) indexel látjuk el. Ezek az indexek kitevőszerűen lesznek az alapmennyiség jeleire elhelyezve, megkülönböztetésül a többi indexektől, amelyek az alapjelölés lenti jobb oldalán vannak elhelyezve.

19.1 A gép paraméterei viszonylagos egységekben Állórész ellenállás Rsr =

Rs Rs I n = Zb Un

(19.9)

Állórész reaktancia X sr =

ω b Ls ω1 Ls I n = Zb Un

(19.10)

Redukált forgórész ellenállás Rrr =

Rr Rr I n = Zb Un

(19.11)

Redukált forgórész reaktancia

- 73 -

VILLAMOS GÉPEK


ω b Lr ω1Lr I n = Zb Un

X rr =

(19.12)

Mágnesező reaktancia X mr =

ω b Lm ω1Lm I n = Zb Un

(19.13)

Az általános közös „k” koordináta rendszer szögsebessége

ω kr =

ωk ωk = ω b ω1

(19.14)

Forgórész villamos szögsebesség

ωr =

ω ω = ω b ω1

(19.15)

Viszonylagos idő tr = τ =

t = ω b ⋅ t = ω1 ⋅ t tb

(19.16)

Viszonylagos egységekben felirt egyenletekben a változó idő (t) helyett időbeli szögváltozóval ( τ ) számolunk. Megjegyzés: Az időváltozó (t) az egyetlen olyan változó amelyet egyes szerzők a viszonylagos egységeknél meghagynak eredeti állapotában.

19.2 Vektoros változók viszonylagos egységekben A viszonylagos egységekben felirt vektoros változók értékeit az általános „k” közös koordináta-rendszerben adjuk meg. Állórész feszültségvektor: r

u sk =

u sk u sk u = = sk U b Uˆ n 2U n

(19.17)

Forgórész feszültségvektor: r

u rk =

u rk u rk u = = rk U b Uˆ n 2U n

(19.18)

Állórész áramvektor r

i sk =

i sk i sk i = = sk Ib Iˆ n 2In

(19.19)

- 74 -

VILLAMOS GÉPEK


Forgórész áramvektor i rk i rk i = = rk ˆ Ib I n 2In

r

i rk =

(19.20)

Mágnesező áramvektor r

i mk =

i mk i mk i = = mk Ib Iˆ n 2In

(19.21)

Állórész fluxuskapcsolódásainak vektora

ψ sk

ψ rsk =

ψb

=

ωb ω L r ω L r r r ( Ls i sk + Lm i rk ) = 1 s i sk + 1 m i rk = X sr i sk + X mr i rk Ub Zb Zb

(19.22)

Forgórész fluxuskapcsolódásainak vektora

ψ rrk =

ψ rk ω b ωL r ωL r r r = ( Lm i sk + Lr i rk ) = 1 m i sk + 1 r i rk = X mr i sk + X rr i rk Zb Zb ψ b Ub

(19.23)

Mágnesező fluxuskapcsolódás vektora

ψ rmk =

ψ mk ω b ωL r r = Lm i mk = 1 m i mk = X mr i mk Zb ψ b Ub

(19.24)

19.3 Teljesítmények, veszteségek és nyomatékok viszonylagos egységekben Állórész felvett teljesítmény 3 * Re( u sk ⋅ i sk )  u*sk ps 2 r ps = = = Re  ˆ 3ˆ ˆ sb  U n Un In 2

 i sk   Iˆ  n

[

  = Re u rsk* i rsk  

]

(19.25)

Forgórész felvett teljesítmény

[

r*

r

p rr = Re e k ⋅ i sk

]

(19.26)

Állórész tekercsveszteség

r pcus

3 * Re( i sk ⋅ i sk )Rs  i* pcus 2 = = = Re  sk 3ˆ ˆ sb  Iˆ n UnIn 2

 i sk   Iˆ  n

- 75 -

[

]

 r  Rs = Re i rsk* i rsk Rsr  

(19.27)

VILLAMOS GÉPEK


Forgórész tekercsveszteség

r pcur

3 * Re( i rk ⋅ i rk )Rr  i* pcur 2 = = = Re  rk 3ˆ ˆ sb  Iˆ n U nIn 2

 i rk   Iˆ  n

[

]

 r  Rr = Re i rrk* i rrk Rrr  

(19.28)

Általános vektoros nyomatékegyenletek mer = ψ mk × i sk = Im[ψ mk ⋅ i sk ]

(19.29)

mer = ψ sk × i sk = Im[ψ sk ⋅ i sk ]

(19.30)

r* rk

mer = i × ψ mk = Im[ψ mk ⋅ i ]

(19.31)

mer = i rk × ψ sk = Im[ψ rk ⋅ i rk ]

(19.32)

r

r

r rk

r

r

r

r

r

r*

r* r

r

r

r

r*

Súrlódási és ventillációs nyomaték m rfv =

m fv 2ω1m fv = M b 3 pUˆ n Iˆ n

(19.33)

Terhelő nyomaték

mTr =

mT 2ω1mT = M b 3 pUˆ n Iˆ n

(19.34)

19.4 Newton forgási mozgásegyenlete viszonylagos egységekben Newton körforgó mozgásegyenlete (16.9) a következő alakra módosíthatjuk:

ω J Σω1 ω1 me mT m fv ⋅ = − − pM b dt Mb Mb Mb d

(19.35)

Viszonylagos egységek, valamint mechanikai időállandó ( Tm ) bevezetésével a (19.35) egyenlet a következő alakot veszi fel : Tm

dω r = mer − mTr − m rfv dt

(19.36)

A mozgásegyenletben szereplő mechanikai időállandó értéke: J ω 2 J Σ ω12 Tm = Σ 1 = pM b 3 p 2Uˆ n Iˆ n

- 76 -

(19.37)

VILLAMOS GÉPEK


Ha Newton mozgásegyenletében az időt is relatív egységekben fejezzük ki, akkor a (19.36) egyenlet a következő alakot veszi fel.

τm

dω r = mer − mTr − m rfv dτ

(19.38)

A (19.37) egyenletben τ m jelöléssel a viszonylagos mechanikai időállandót jelöltük, melynek értéke:

τ m = ω1 ⋅ Tm =

J Σω12 2 J Σω 13 = pM b 3 p 2 U^ I^ n n

19.5 A villamos forgógépek viszonylagos egységekben

(19.39)

matematikai

modellezésének

egyenletei

A (7.2) vektoros differenciálegyenlet-rendszerből kiindulva, általános tetszőleges ω k szögsebességgel forgó közös Re(k) koordináta-rendszerben, ezeket az egyenleteket kiegészítéssel más alakban is felírhatjuk. Állórész oldalon:  u sk  ˆ  R  Uˆ  i   ω   ψ  Uˆ d  ψ  Uˆ  U n =  s  n  sk  Iˆ n +  sk  n + j  k ω 1  sk  n (19.40) ω   ψ ω  Z  Iˆ  Iˆ   Uˆ  dt  ψ b  ω 1  1  b  1  d n  n  n Forgórész oldalon:  u rk  ˆ  R  Uˆ  i   ω − ω   ψ rk  Uˆ n d  ψ  Uˆ    U n =  r  n  rk  Iˆ n +  rk  n + j  k (19.41)  ω ω 1  ψ  ω  Z  Iˆ  Iˆ   Uˆ  dt  ψ b  ω 1 1    b  1  d n  n  n Ha az így kiegészített (19.40) és (19.41) egyenletekben a paraméterek és változók értékeit viszonylagos értékekkel helyettesítjük, ezek az egyenletek a következő alakot veszik fel: r dψ sk r r r r u sk = Rs i sk + + jω kr ψ sk dτ (19.42) r d ψ r r r rk u rk = Rrr i rk + + j( ω kr − ω r )ψ rk dτ Ki kell hangsúlyozni, hogy a további vizsgálataink során az „r” kitevőt, amely a viszonylagos egységeket szimbolizálja, elhanyagoljuk. A viszonylagos egységekben felirt egyenletek ugyanis, a bevezetett τ időbeli szögváltozó miatt, a megkülönböztető indexek elhagyása után is felismerhetők lesznek. A viszonylagos egységek a fluxuskapcsolódások (19.22,19.23,19.24) egyenleteinél is felismerhetők lesznek az egyenletekben szereplő viszonylagos reaktanciák miatt. 19.5.1 Egyenletek viszonylagos egységekben állórészhez kötött közös koordináta-rendszerben ( α,β – rendszer , ω k =0 ) A (19.42) általános vektoros egyenletrendszer veszi fel:

- 77 -

ω k =0 feltételezéssel a következő alakot

VILLAMOS GÉPEK u s = Rs i s + u r = Rr i r +


dψ s dτ dψ r dτ

,

ψ s = X s is + X m ir

Állórész (19.43)

− jωψ r ,

ψ r = X m is + X r ir

Forgórész

Ebből kiindulva a következő skaláris egyenletrendszerhez jutunk: u sα = Rs i sα +

u sβ = Rs i sβ +

u rα = Rr irα

dψ sα dτ

,

Állórész

dψ sβ

,

dτ

dψ rα + + ωψ rβ dτ

u rβ = Rr irβ +

dψ rβ dτ

ψ sα = X s i sα + X m irα

ψ sβ = X s i sβ + X m i rβ (19.44)

,

ψ rα = X m i sα + X r irα Forgórész

− ωψ rα

ψ rβ = X m i sβ + X r irβ ,

A létrehozott nyomatékok pillanatértékeinek egyenletei viszonylagos egységekben: me = ψ mα isβ − ψ mβ isα me = ψ sα isβ − ψ sβ isα

(19.45)

me = ψ mβ irα − ψ mα irβ me = ψ rβ irα − ψ rα irβ Newton körforgó mozgásegyenlete viszonylagos egységekben:

τm

dω = ψ sα isβ − ψ sβ isα − mT − m fv dτ

(19.46)

Ki kell hangsúlyozni, hogy Newton körforgó mozgásegyenletében (19.38), elvben a (19.45) nyomatékegyenletek bármelyik alakja felhasználható. 19.5.2 Egyenletek viszonylagos egységekben szinkron forgó közös koordináta-rendszerben ( x,y – rendszer , ω k = ω1 ) A (19.42) általános vektoros egyenletrendszer ω k = ω1 feltételezéssel a következő alakot veszi fel:

- 78 -

VILLAMOS GÉPEK u s = Rs i s + u r = Rr i r +

dψ s dτ dψ r dτ

TÉRVEKTOROK ELMÉLETE + jω 1ψ s

,

+ j( ω 1 − ω )ψ r

,

ψ s = X s is + X m ir

Állórész (19.47)

ψ r = X m is + X r ir

Forgórész

Ha e vektoros egyenleteket skaláris egyenletekre csatoljuk szét, a következő skaláris egyenletrendszert kapjuk: dψ sx − ω 1ψ sy dτ dψ sy u sy = Rs i sy + + ω 1ψ sx dτ dψ rx u rx = Rr irx + − ( ω 1 − ω )ψ ry dτ dψ ry + ( ω 1 − ω )ψ rx u ry = Rr iry + dτ u sx = Rs i sx +

,

ψ sx = X s i sx + X m irx

,

ψ sy = X s i sy + X m iry

Állórész

(19.48) ,

ψ rx = X m i sx + X r irx Forgórész

,

ψ ry = X m i sy + X r iry

A létrehozott nyomatékok pillanatértékeinek egyenletei viszonylagos egységekben: me = ψ mxisy − ψ myisx me = ψ sxisy − ψ sy isx

(19.49)

me = ψ my irx − ψ mxiry me = ψ ry irx − ψ rxiry Newton forgási mozgásegyenlete viszonylagos egységekben

τm

dω = ψ sxisy − ψ sy isx − mT − m fv dτ

(19.50)

Newton relatív egységekben kifejezett forgási mozgásegyenletében (19.38) elvileg a (19.49) nyomaték egyenletek bármelyike felhasználható. 19.5.3 Egyenletek viszonylagos egységekben forgórészhez kötött, közös koordinátarendszerben ( d,q – rendszer , ω k = ω ) A (19.42) általános vektoros egyenletrendszer ω k = ω feltételezéssel a következő alakot veszi fel: u s = Rs i s + u r = Rr i r +

dψ s dτ dψ r dτ

+ jωψ s , ψ s = X s i s + X m i r , ψ r = X m is + X r ir

- 79 -

Állórész (19.51) Forgórész

VILLAMOS GÉPEK


A (19.51) vektoros egyenletrendszernek a következő skaláris egyenletrendszer felel meg: dψ sd − ω ψ sq dτ dψ sq u sq = Rs i sq + + ω ψ sd dτ dψ rd u rd = Rr ird + dτ dψ rq u rq = Rr irq + dτ u sd = Rs i sd +

,

ψ sd = X sisd + X mird

,

ψ sq = X sisq + X mirq

Állórész

(19.52)

ψ rd = X misd + X r ird

,

Forgórész

ψ rq = X misq + X r irq

,

A létrehozott nyomatékok pillanatértékeinek egyenletei viszonylagos egységekben felirt egyenletei a következők. me = ψ md isq − ψ mqisd me = ψ sd isq − ψ sqisd

(19.53)

me = ψ mqird − ψ md irq me = ψ rqird − ψ rd irq Newton forgási mozgásegyenlete viszonylagos egységekben:

τm

dω = ψ sd isq − ψ sqisd − mT − m fv dτ

(19.54)

A (19.54) egyenletben elvileg a (19.53) nyomatékegyenlet bármelyike felhasználható. Figyelem: A szinkron gépek 16.3.2 fejezetben ismertetett egyenleteinél, az itteni ismeretek alapján úgyszintén be lehet vezetni a viszonylagos egységekben kialakítható tárgyalási módot.

20.

KALICKÁS FORGÓRÉSZŰ DINAMIKUS FELFUTÁSA

ASZINKRON

MOTOROK

A térvektoros elmélet használatát, konkrét példával, egy kalickás forgórészű aszinkron motor dinamikus felfutása során jelentkező átmenti jelenségek szimulációjával fogjuk szemléltetni. A szimuláció folyamatát először állórészhez kapcsolt közös koordináta-rendszerben fogjuk bemutatni, majd ugyanezt a folyamatot megismételjük szinkron forgó közös koordinátarendszerben, és forgórészhez kötött közös koordináta-rendszerben is. A differenciálegyenlet-rendszer megoldására mindhárom esetben a Runge-Kutta féle numerikus módszert fogjuk alkalmazni.

20.1 A motor és munkagép műszaki adatai A dinamikus felfutás vizsgálatának tárgya egy „SEVER” villamos gépgyárban, IEC szabvány szerint gyártott, kalickás forgórészű aszinkron motor, melynek névleges műszaki adatai a következők:

- 80 -

VILLAMOS GÉPEK


• • • • • • • • • • • • • • •

Tipus:1ZK160L-6 Fázisszám:m=3 Pólusszám :2p=6 Teljesítmény:P=11000W Feszültség:U=380V Frekvencia:f=50Hz Kapcsolás: D Áram: I=25.72 A Teljesítménytényező: cos ϕ =0.78 Fordulatszám: n = 957 perc −1 Szigetelés osztály: F Mechanikai védelem: IP54 Beépítési alak: B3 Forgórész tehetetlenségi nyomaték: J M = 0.07 kgm 2 Súrlódási és ventillációs nyomaték: m fv = 0.0088ω

•

A többi, számítógép útján nyert paraméterek értékei a következők: Az állórésztekercs fázisonkénti ellenállása meleg állapotban: Rs = 1.2Ω

• •

Forgórész redukált fázisonkénti ellenállása meleg állapotban: Rr = 1.3Ω Az állórész háromfázisú fázisonkénti szórási induktivitása: Lsσ =6.37mH

•

Forgórész redukált háromfázisú szórási induktivitása: Lr σ =7.64mH

•

Háromfázisú mágnesező induktivitás: : Lm =141.8mH Az állórész tekercsek háromfázisú összinduktivitása fázisonként: Ls = Lsσ + Lm =6.31+141.8=148.17mH A forgórész állórész oldalra redukált háromfázisú összinduktivitása fázisonként: Lr = Lrσ + Lm =7.68+141.8=149.44mH A munkagép olyan keverőgép, melynek fékező nyomatékát jó közelítéssel a következő analitikus egyenlettel tudjuk képviselni: mT = 30 + 0.89 ⋅ 10 −3 ω 2 [ Nm] E keverő tehetetlenségi nyomatéka: J T = 1.1kgm 2 A meghajtó motor és munkagép össztehetetlenségi nyomatéka: J Σ = J M + J T = 0.07 + 1.1 = 1.17 kgm 2

• • • • • •

20.2

A felfutás szimulációja állórészhez kötött közös koordináta-rendszerben

( α,β – rendszer , ω k =0 )

A vizsgálat során feltételezzük, hogy a kapocsfeszültség és a frekvencia értéke a névleges értékeknek felelnek meg. Ilyen feltételezés mellett a villamos szinkron szögsebesség a hálózati körfrekvencia értékét veszi fel:

ω1 = 2πf = 2π 50 = 100π sec −1 20.2.1 A tápfeszültség pillanatértékei u a = 2 ⋅ 380 ⋅ cos(100πt + ϕ ) u b = 2 ⋅ 380 ⋅ cos(100πt + ϕ − 120 o ) u c = 2 ⋅ 380 ⋅ cos(100πt + ϕ − 240 o ) - 81 -

VILLAMOS GÉPEK


Az állórész feszültségvektora, a (16.14) egyenlet alapján, ϕ = 0 feltételezéssel: u s = 2 ⋅ 380e j 100πt Az állórész feszültségvektorának skaláris összetevői: 2 1  ua − (ub + uc ) = 2 ⋅ 380 ⋅ cos( 100πt )  3 2 

usα =

3 [ub − uc ] = 2 ⋅ 380 ⋅ sin( 100πt ) 3

usβ =

20.2.2 Skaláris differenciálegyenletek a felfutás szimulációjára Annak érdekében, hogy a skaláris differenciálegyenleteket meg tudjuk oldani Runge-Kutta módszer segítségével, a (17.7) differenciálegyenlet-rendszert módosított alakban írjuk fel: dψ sα = u sα − R s i sα dt dψ sβ = u sβ − Rs i sβ dt dψ rα = −ωψ rβ − Rr irα dt dψ rβ = ωψ rα − Rr irβ dt

, ( u rα = 0 ) , ( u rβ = 0 )

Tekintettel arra a körülményre, hogy a vizsgálat során a differenciálegyenletek fluxuskapcsolódásos alakját kívánjuk használni, az állórész és forgórész áramvektorainak az összetevőit fluxuskapcsolódások segítségével fejezzük ki: isα =

ψ sα − krψ rα Ls ( 1 − k s k r )

i rα =

ψ rα − k sψ sα Lr ( 1 − k s k r )

, isβ =

ψ sβ − krψ rβ Ls ( 1 − k s kr )

, irβ =

ψ rβ − krψ sβ Lr ( 1 − k s kr )

, imα = i sα + irα

, imβ = i sβ + irβ

, ks =

Lm Ls

, kr =

Lm Lr

A létrehozott pillanatnyomatékok meghatározására a nyomatékegyenlet fluxuskapcsolódásos alakját fogjuk használni. A (13.7) általános nyomatékegyenletből kiindulva, a létrehozott pillanatnyomaték értéke: me =

3 k s kr ( ψ sβψ rα − ψ sαψ rβ ) p 2 Lm ( 1 − k s kr )

A motor tengelyének pillanatnyomatéka: m M = me − m fv = me − 0.0088ω - 82 -

VILLAMOS GÉPEK


Newton forgási mozgásegyenletének alakja: dω p (m M − mT ) p = = (me − 0.0088ω − 30 − 0.89 ⋅ 10 −3 ω 2 ) dt JΣ JΣ 20.2.3 Fluxuskapcsolódások, áramok és teljesítmények pillanatértékei Az állórész és a forgórész fluxuskapcsolódásainak pillanatértékeit a skaláris differenciálegyenlet-rendszer megoldása eredményezi. Ezek értékei alapján számítjuk ki az állórész és forgórész áramvektorainak skaláris összetevőit. Az állórész oldali skaláris áramösszetevők szétcsatolásával határozzuk meg az állórész fázisáramainak pillanatértékeit. A (16.10) egyenletekből kiindulva szétcsatolásra a következő egyenleteket használjuk: ia = i sα i sα 3 i sβ + 2 2 i 3 i b = − sα − i sβ 2 2 ib = −

Mivel az állórész fázistekercsei háromszög kapcsolásúak a vonali áramok pillanatértékeit a fázisáramok pillanatértékeinek különbsége alapján nyerjük: i1 = ia − ib i 2 = ib − i c i3 = i c − i a Felvett teljesítmény pillanatértékek: ps =

3 3 * Re( u s ⋅ i s ) = ( u sα i sα + u sβ i sβ ) 2 2

Az állórész tekercseiben keletkező teljesítményveszteség pillanatértéke: pcus =

3 3 * Re(i s ⋅ i s ) Rs = (i s2α + i s2β ) Rs 2 2

A forgórész tekercseiben keletkező teljesítményveszteség pillanatértéke: p cur =

3 3 * Re(i r ⋅ i r ) Rr = (ir2α + ir2β ) Rr 2 2

20.2.4 A differenciálegyenlet-rendszer megoldásának menete A független változók és a kapocsfeszültség kezdeti értékeinek: ψ sα (0),ψ sβ (0),ψ rα (0),ψ rβ (0), ω (0) ismeretében a szimulációt a következő lépésekben kell elvégezni: - 83 -

VILLAMOS GÉPEK 1*-


Az áramok pillanatértékeinek kiszámítása. Az i = f (ψ ) kapcsolat, valamint az u sα és u sβ feszültség összetevők (kezdeti lépésnél a

kezdeti feltételek alapján) kiszámítjuk az áramok, teljesítmények, veszteségek és nyomatékok pillanatértékeit. 2*-

A derivált mennyiségek kiszámítása.

dψ dω , deriváltakat a felhasznált módosított alakú differenciálegyenletek alapján dt dt számítjuk ki(20.2.2fejezet). A

3*-

Numerikus integrálás.

A módosított differenciálegyenlet-rendszer (20.2.2 fejezet) felhasználásával meghatározzuk az alábbi értékeket :ψ (t + ∆t ); ω (t + ∆t ); ∆t - szimulációs lépés. 4*-

Visszatérés az 1* pontba és a művelet folytatása a hurokban.

A szimuláció műveletének Matlab-Simulink program alapján meghatározott „ AMαβ ” hatásvázlata a függelékben található (21.1.ábra). A tárgyalt aszinkron motor felfutásának szimulációját terhelő gép nélkül és a terhelő gép felfuttatása mellett fogjuk elvégezni. 20.2.5 A felfutás szimulációjának eredményei terhelő gép nélkül ( α,β – rendszer)

20.1.ábra. Állórész feszültségvektorának skaláris összetevői és csúcsának pályája

20.2.ábra. Állórész áramvektorának skaláris összetevői és csúcsának pályája terhelés nélküli felfutás mellett. - 84 -

VILLAMOS GÉPEK


20.3.ábra. Forgórész áramvektorának skaláris összetevői és csúcsának pályája terhelés nélküli felfutás mellett.

20.4.ábra. Mágnesező áramvektor skaláris összetevői és csúcsának pályája terhelés nélküli felfutás mellett. ia

ib

ic

20.5.ábra. Fázisáramok pillanatértékeinek változása terhelés nélküli felfutás mellett.

20.6.ábra. Vonaláramok pillanatértékeinek változása terhelés nélküli felfutás mellett.

- 85 -

VILLAMOS GÉPEK


20.7.ábra.Felvett teljesítmény és a tekercsveszteségek pillanatértékeinek változása terhelés nélküli felfutás mellett.

20.8.ábra. A létrehozott nyomaték és a forgórész villamos szögsebessége pillanatértékeinek változása terhelés nélküli felfutás mellett. 20.2.6. A felfutás szimulációjának eredményei terhelő géppel egybekapcsolva ( α,β – rendszer) A kapocsfeszültség pillanatértékeinek változásai ugyanolyanok, mint az előző esetben, a többi változók azonban különböznek.

20.9.ábra. Állórész áramvektorának skaláris összetevői és csúcsának pályája terhelő géppel egybekapcsolt felfutás mellett.

20.10.ábra. Forgórész áramvektorának skaláris összetevői és csúcsának pályája terhelő géppel egybekapcsolt felfutás mellett.

- 86 -

VILLAMOS GÉPEK


20.11.ábra. Mágnesező áramvektor skaláris összetevői és csúcsának pályája terhelő géppel egybekapcsolt felfutás mellett.

20.12.ábra. Fázisáramok pillanatértékeinek változása terhelő géppel egybekapcsolt felfutás mellett.

20.13.ábra. Vonaláramok pillanatértékeinek változása terhelő géppel egybekapcsolt felfutás mellett.

20.14.ábra. Felvett teljesítmény és a tekercsveszteségek pillanatértékeinek változása terhelőgéppel egybekapcsolt felfutás mellett.

- 87 -

VILLAMOS GÉPEK


20.15.ábra. A létrehozott nyomaték és a forgórész villamos szögsebességének változása terhelőgéppel egybekapcsolt felfutás mellett.

20.3

A felfutás szimulációja szinkron forgó közös koordináta-rendszerben

(x,y- rendszer, ω k = ω1 )

A fázisfeszültségek pillanatértékei és a körfrekvencia értékei azonosak az előző fejezetben (20.2) ismertetett értékekkel. 20.3.1 Az állórész feszültségeinek térvektora és annak skaláris összetevői Szinkron forgó koordináta-rendszerben, szimmetrikus táplálás mellett az állórész feszültségvektorának meghatározására a következő egyenletek irhatók: u s = Uˆ 1 e jϕ = 2U 1 e jϕ = 2 ⋅ 380 e jϕ

;

θ k = ω 1t

Ha a bekapcsolás pillanatában a kezdeti fázisszög értéke nulla ( ϕ = 0 ), e feszültségvektor skaláris összetevői a következők: u sx = Uˆ 1 cos ϕ = 2 ⋅ 380V u = Uˆ sin ϕ = 0V sy

1

20.3.2 Skaláris differenciálegyenletek a felfutás szimulációjára Ha a (16.18) differenciálegyenlet-rendszert a fluxuskapcsolódások deriváltjai alapján átrendezzük, a következő differenciálegyenlet-rendszert kapjuk: dψ sx = u sx − Rs i sx + ω1ψ sy dt dψ sy = u sy − Rs i sy − ω 1ψ sx dt dψ rx = (ω 1 − ω )ψ ry − Rr irx dt dψ ry = −(ω 1 − ω )ψ rx − Rr iry dt

, ( u rx = 0 ) , ( u ry = 0 )

- 88 -

VILLAMOS GÉPEK


A differenciálegyenlet-rendszer megoldásának megkönnyítése érdekében az állórész és forgórész áramvektorok skaláris összetevőit itt is a fluxuskapcsolódások függvényében fejezzük ki:

ψ sx − krψ rx , Ls ( 1 − k s kr ) ψ − k sψ sx irx = rx , Lr ( 1 − k s k r )

isx =

ψ sy − krψ ry , Ls ( 1 − k s kr ) ψ − krψ sy iry = ry , Lr ( 1 − k s kr )

isy =

imx = i sx + irx , imy = i sy + iry ,

ks =

Lm Ls

kr =

Lm Lr

A létrehozott nyomatékok pillanatértékeinek meghatározására itt is a fluxuskapcsolódásos alakot használjuk, a következő egyenlet szerint: me =

3 k s kr (ψ syψ rx − ψ sxψ ry ) p 2 Lm ( 1 − k s k r )

A motor tengelynyomatékának egyenlete és Newton forgási mozgásegyenlete megegyeznek a 20.2.2 fejezetben található egyenletekkel. 20.3.3 Fluxuskapcsolódások, áramok és teljesítmények pillanatértékei Az állórész és forgórész fluxuskapcsolódás vektorainak összetevői a 20.3.2 fejezetben található differenciálegyenlet-rendszer segítségével határozhatók meg. Ezek értékei alapján meghatározzuk a hozzájuk tartozó áramvektorok skaláris összetevőit. Az áramvektorok skaláris összetevőinek szétcsatolása révén meghatározhatók az állórész fázisáramainak pillanatértékei is. A (16.20) egyenletből kiindulva, szétcsatolásra a következő egyenleteket használjuk: i a = i sx ⋅ cos( ω 1t ) − i sy ⋅ sin( ω 1 t ) ib = i sx⋅ cos( ω 1t − 120 o ) − i sy⋅ sin( ω 1t − 120 o ) ic = i sx ⋅ cos( ω 1t − 240 o ) − i sy ⋅ sin( ω 1t − 240 o ) Tekintettel arra, hogy az állórész tekercsei háromszög kapcsolásúak, a vonali áramok értékeit az előző eset szerint (20.2.3fejezet), a fázisáramok pillanatértékeinek különbsége alapján határozzuk meg. Felvett teljesítmény pillanatértékek: ps =

3 (u sx i sx + u sy i sy ) 2

Az állórész tekercseiben keletkező teljesítményveszteség pillanatértéke: p cus =

3 2 (i sx + i sy2 ) Rs 2


3 2 (irx + iry2 ) Rr 2 - 89 -

VILLAMOS GÉPEK


20.3.4 A differenciálegyenlet-rendszer megoldásának menete A szinkron koordináta-rendszerben felirt differenciálegyenletek megoldásának menete azonos a 20.2.4 fejezetben leírtakkal. A szimuláció műveletének Matlab-Simuling program alapján meghatározott „AMXY” hatásvázlata a függelékben található (21.2.ábra). A tárgyalt aszinkron motor felfutásának szimulációit itt is terhelő gép nélkül és terhelő géppel egybekapcsolva végezzük el. A szimuláció mindkét esetének eredményeit csak grafikusan fogjuk szemléltetni. 20.3.5 A felfutás szimulációjának eredményei terhelő gép nélkül (x,y- rendszer) Szinkron forgó koordináta-rendszerben szimmetrikus táplálás mellett az állórész feszültségvektorának összetevői állandók (20.3.1 fejezet) ezért ezek értékeit grafikusan nem fogjuk szemléltetni. A többi változónál grafikusan, csak azokat a skaláris összetevőket fogjuk szemléltetni, amelyek a kiválasztott szinkron forgó közös koordináta-rendszer miatt különböznek az előző vizsgálatok (20.2.fejzetek) eredményeitől. Természetesen a szimuláció végeredményei, az állórész áramainak, felvett teljesítményének és tekercsveszteségének pillanatértékei itt is pontosan azonosak lesznek azokkal az értékekkel amelyeket az álló koordináta-rendszerben elvégzett vizsgálat alapján már szemléltettünk.

20.16.ábra Állórész áramvektorának skaláris összetevői és csúcsának pályája terhelés nélküli felfutás mellett.


- 90 -

VILLAMOS GÉPEK


20.18.ábra Mágnesező áramvektor skaláris összetevői és csúcsának pályája terhelés nélküli felfutás mellett.

20.3.6 A felfutás szimulációjának eredményei terhelő géppel egybekapcsolva (x,y- rendszer)

A szimuláció eredményeit, csak grafikus alakban adjuk meg és csak azokra a változókra vonatkozóan, melyek a kiválasztott szinkron forgó koordináta-rendszer miatt különböznek az álló koordináta-rendszerhez tartozó változóktól.

20.19.ábra Állórész áramvektorának skaláris összetevői és csúcsának pályája terhelő géppel egybekapcsolt felfutás mellett.

20.20.ábra Forgórész áramvektorának skaláris összetevői és csúcsának pályája terhelő géppel egybekapcsolt felfutás mellett.

- 91 -

VILLAMOS GÉPEK


20.21.ábra Mágnesező áramvektor skaláris összetevői és csúcsának pályája terhelő géppel egybekapcsolt felfutás mellett

20.4 A felfutás szimulációja forgórészhez kötött közös koordináta- rendszerben (d,q- rendszer, ω k = ω )

A fázisfeszültségek pillanatértékei és a körfrekvencia értékei azonosak az előző fejezetekben (20.2) ismertetett értékekkel. 20.4.1 Az állórész feszültségeinek térvektora és annak skaláris összetevői Forgórészhez kapcsolt közös koordináta-rendszerben szimmetrikus táplálás mellett az állórész feszültségvektorának meghatározására a következő egyenletek irhatók fel: u s = Uˆ 1e j [ θ 1 −θ +ϕ ]

;

θ = ∫ ωdt

Ha a bekapcsolás pillanatában a kezdeti fázisszög értéke nulla ( ϕ = 0 ), e feszültségvektor skaláris összetevőire a következő értékek adódnak: u sd = Uˆ 1 ⋅ cos[( ω 1t − θ )] = 2 ⋅ 380 ⋅ cos[( 100πt − θ )] u sq = Uˆ 1 ⋅ sin[( ω 1t − θ )] = 2 ⋅ 380 ⋅ sin[( 100πt − θ )] 20.4.2 Skaláris differenciálegyenletek a felfutás szimulációjára Ha a (16.27) differenciálegyenlet-rendszert a fluxuskapcsolódás deriváltjai alapján átrendezzük a következő differenciálegyenlet-rendszert kapjuk: dψ sd = u sd − Rs i sd + ωψ sq dt dψ sq = u sq − Rs i sq − ωψ sd dt dψ rd ( u rd = 0 ) = − Rr ird , dt dψ rq ( u rq = 0 ) = − Rr irq , dt E differenciálegyenlet-rendszer megoldásának megkönnyítése érdekében az állórész és forgórész áramvektorok skaláris összetevőit is a fluxuskapcsolódások függvényében fejezzük ki. - 92 -

VILLAMOS GÉPEK


ψ − krψ rq L ψ sd − krψ rd , , imd = i sd + ird , isq = sq ks = m Ls ( 1 − k s kr ) Ls ( 1 − k s kr ) Ls ψ − krψ sq ψ − k sψ sd L ird = rd , , imq = i sq + irq , irq = rq kr = m Lr ( 1 − k s kr ) Lr Lr ( 1 − k s k r ) A létrehozott nyomaték pillanatértékeinek meghatározására úgyszintén fluxuskapcsolódásos alakot használjuk a következő egyenlet szerint: isd =

me =

a

3 k s kr (ψ sqψ rd − ψ sdψ rq ) p 2 Lm ( 1 − k s k r )

A motor tengely nyomatékának egyenlete és Newton forgási mozgásegyenlete megegyezik a 20.2.2 fejezetben található egyenletekkel. 20.4.3 Fluxuskapcsolódások, áramok és teljesítmények pillanatértékei Az állórész és forgórész fluxuskapcsolódás vektorainak összetevői a 20.4.2 fejezetben található differenciálegyenlet-rendszer alapján határozhatók meg. Ezek értékei alapján meghatározzuk a hozzájuk tartozó áramvektorok skaláris összetevőit. Az áramvektorok skaláris összetevőiből kiindulva, szétcsatolási művelettel meghatározzuk a fázisáramok pillanatértékeit is. A (16.29) egyenletből kiindulva, szétcsatolásra a következő egyenleteket használjuk. i a = i sd ⋅ cos( θ ) − i sq ⋅ sin( θ ) ib = i sd cos( θ − 120 o ) − i sq sin( θ − 120 o ) ic = i sd ⋅ cos( θ − 240 o ) − i sq ⋅ sin( θ − 240 o ) A háromszög kapcsolású állórész tekercsek miatt a vonali áramok pillanatértékeit a 20.2.3 fejezetben ismertetett módon a fázisáramok pillanatértékeinek különbsége alapján határozzuk meg. A felvett pillanatteljesítmény értéke: ps =

3 (u sd i sd + u sq i sq ) 2

Az állórész tekercseiben keletkező teljesítményveszteség pillanatértéke: p cus =

3 2 (i sd + i sq2 ) Rs 2


3 2 (ird + irq2 ) Rr 2

20.4.4 A differenciálegyenlet-rendszer megoldásának menete A forgórészhez kapcsolt közös forgó koordináta-rendszerben felirt differenciálegyenletek megoldásának mente azonos a 20.2.4 fejezetben leírtakkal. - 93 -

VILLAMOS GÉPEK


A szimuláció műveletének Matlab-Simuling program alapján meghatározott „AMdq” hatásvázlata a függelékben található (21.3.ábra). A tárgyalt aszinkron motor felfutásának szimulációit úgyszintén terhelőgép nélkül és terhelőgéppel egybekapcsolva végeztük el. A szimuláció mindkét esetének eredményeit csak grafikusan fogjuk szemléltetni. 20.4.5 A felfutás szimulációjának eredményei terhelő gép nélkül (d,q- rendszer) A szimuláció eredményeit grafikus alakban csak azokra a változókra vonatkozóan adjuk meg, melyek a kiválasztott rotorhoz kötött közös koordináta-rendszer miatt különböznek az álló koordináta-rendszerhez tartozó változatoktól.

20.22.ábra Állórész feszültségvektorának skaláris összetevői és csúcsának pályája terhelés nélküli felfutás mellett.

20.23.ábra Állórész áramvektorának skaláris összetevői és csúcsának pályája terhelés nélküli felfutás mellett


- 94 -

VILLAMOS GÉPEK


20.25.ábra Mágnesező áramvektor skaláris összetevői és csúcsának pályája terhelés nélküli felfutás mellett. 20.4.5 A felfutás szimulációjának eredményei terhelő géppel egybekapcsolva (d,q- rendszer) A szimuláció eredményeit itt is csak grafikus alakban adjuk meg és, csak azokra a változókra vonatkozóan , melyek a kiválasztott forgórészhez kötött közös koordináta-rendszer miatt különböznek az álló koordináta-rendszerhez tartozó változóktól.

20.26.ábra. Állórész feszültségvektorának skaláris összetevői és csúcsának pályája terhelő géppel egybekapcsolt felfutás mellett.

20.27.ábra. Állórész áramvektorának skaláris összetevői és csúcsának pályája terhelő géppel egybekapcsolt felfutás mellett.

- 95 -

VILLAMOS GÉPEK


20.28.ábra. Forgórész áramvektorának skaláris összetevői és csúcsának pályája terhelő géppel egybekapcsolt felfutás mellett.

20.29.ábra. Mágnesező áramvektor skaláris összetevői és csúcsának pályája terhelő géppel egybekapcsolt felfutás mellett.

20.5 A szimuláció eredményeinek összehasonlítása A szimuláció során mindhárom közös koordináta-rendszerben abból a feltételezésből indultunk ki, hogy a kapocsfeszültségek kezdő fázisszöge ϕ = 0 . Ez az a kezdő pillanat (t=0) amikor az első fázis kapocsfeszültségének pillanatértéke éppen maximális. Természetesen a felfutás szimulációja során a ϕ kezdő fázisszög megváltoztatásával más kezdeti bekapcsolási pillanat is megvalósítható. Ha összehasonlítjuk az állórészhez kötött közös koordináta-rendszerben ( α , β ), a szinkron koordináta-rendszerben (x,y) és a forgórészhez kötött közös forgó koordináta-rendszerben (d,q) kapott szimulációs eredményeket, akkor azt tapasztaljuk, hogy a végeredmény mindhárom esetben pontosan ugyanaz. Összegezve: A kiválasztott közös koordináta-rendszer nem befolyásolja a szimuláció végeredményeit. A különbség csupán a kiválasztott koordináta-rendszerekben definiált feszültségvektorok, fluxuskapcsolódási vektorok és áramvektorok skaláris összetevőinél jelentkezik.Afázisáramok, vonali áramok, nyomatékok, teljesítmények, és veszteségek pillanatértékeire azonban minden koordináta-rendszernél azonos értékek adódnak.

- 96 -

VILLAMOS GÉPEK


21. FÜGGELÉK 21.1. AMαβ-Hatásvázlat az aszinkron motor felfutásának szimulációjára állórészhez kötött közös koordináta-rendszerben 21.2. AMxy-Hatásvázlat az aszinkron motor felfutásának szimulációjára szinkron forgó közös koordináta-rendszerben 21.3. AMdq-Hatásvázlat az aszinkron motor felfutásának szimulációjára forgórészhez kötött közös koordináta-rendszerben 21.4 Gyakorlati példák (14 példa)

- 97 -

VILLAMOS GÉPEK


- 98 -


21.1. ábra.

VILLAMOS GÉPEK

- 98 -


21.2. ábra.

VILLAMOS GÉPEK

- 99 -


21.3. ábra.

VILLAMOS GÉPEK

- 100 -

VILLAMOS GÉPEK


21.4. Gyakorlati feladatok 1. Feladat Határozza meg az állórészáramok térvektorának kifejezését i s = ? , ha a háromfázisú tekercselést a 21.4 ábrán vázolt módon i = 2 ⋅ 30 ⋅ sin ωt [ A ] váltakozó árammal tápláljuk. A kapott eredményt értékelje fizikai megfontolások alapján is. Hogyan változik meg e térvektor értéke, ha az "a" fázistekercset fordítva kötjük be az áramkörbe.

21.4. ábra. Megoldás: a)

i = −i a = −ib = i c Ha ezeket az értékeket az alapegyenletbe helyettesítjük: is = =

2 2 2 2 2 (i a + i b + i c ) = (ia + a ⋅ ib + a ⋅ ic ) = (−i − a ⋅ i + a ⋅ i ) = 3 3 3

2 2 2 2 2 4 2 i (−1 − a + a ) = i (−1 − a − a + 2a ) = a i 3 3 3

Mivelhogy: 2

1+ a + a = 0 2 4 2 a 2 ⋅ 30 ⋅ sin ω 1t = a 40 2 ⋅ sin ω 1t = (−1 − j ⋅ 3 ) ⋅ 2 ⋅ 20 ⋅ sin ω 1t 3 Ez a vektor olyan lüktetővektor, melynek tengelye azonos a "c" fázis mágneses tengelyével Ha az "a"fázist foditva kötjük:

is =

- 100 -

VILLAMOS GÉPEK


i = ia = −ib = ic 2 2 2 2 2 2 ⋅ (i − a ⋅ i + a ⋅ i ) = i ⋅ (1 − a + a ) = i ⋅ (1 + a + a − 2 ⋅ a ) = 3 3 3 4 4 1 3 = − a ⋅ i = − ⋅ (− + j ⋅ ) ⋅ 2 ⋅ 30 ⋅ sin ω 1t = (1 − 3 ) ⋅ 2 ⋅ 20 ⋅ sin ω 1t 3 3 2 2

is =

E vektor lüktetési tengelye azonos a „b” fázis mágneses tengelyével. b)

A zérus sorrendű összetevő mindkét esetben megjelenik.Ennek értéke: i so =

1 i mi−i+i ⋅ (ia + ib + ic ) = = m = m 2 ⋅ 10 ⋅ sin ω 1t 3 3 3

2.Feladat Háromfázisú tekercselést a 21.5 ábrán vázolt módon U=15V effektív értékű, f=50Hz frekvenciájú váltakozó feszültséggel tápláljuk. Írja fel a feszültségek térvektorának u s = ? kifejezését. Fellépnek-e a kapcsolásban zérus sorrendű összetevők?

21.5.ábra.

Megoldás: a.)

A feszültségek térvektora: u b = u c = u (t )

ω1 = 2π ⋅ f = 100π

u b = u c = 2 ⋅ 15 ⋅ cos(100π ⋅ t ) ua = 0

- 101 -

VILLAMOS GÉPEK


[

]

2 2 2 2 ⋅ (u a + a ⋅ u b + a ⋅ u c ) = ⋅ 0 + a ⋅ u (t ) + a ⋅ u (t ) = 3 3 2 2 2 = ⋅ u (t ) ⋅ (a + a + 1 − 1) = − ⋅ u (t ) = − 2 ⋅ 10 ⋅ cos(100π ⋅ t ) 3 3

us =

b.)

Zérus sorrendű feszültség ( u s0 ): 1 1 ⋅ ( ua + ub + uc ) = ⋅ [ 0 + u( t ) + u( t )] = 3 3 2 2 = ⋅ u( t ) = ⋅ 2 ⋅ 15 ⋅ cos( 100π ⋅ t ) = 10 ⋅ 2 ⋅ cos( 100π ⋅ t ) 3 3

us0 =

3.Feladat: Szimmetrikus háromfázisú csillag kapcsolású gép állórésztekercselését szimmetrikus háromfázisú feszültséggel tápláljuk, a fázissorrend a-b-c. Megfelelő vezérelt félvezető elemeket tartalmazó kapcsolást alkalmaztunk, így az egyik fázistekercsre jutó feszültség a 21.6 ábrán vázolt alakú. Írja fel a feszültség térvektorának kifejezését és rajzolja fel a kapott eredményt.

21.6. ábra

Megoldás: Az ua, ub, uc feszültségek azonos alakú szimmetrikus háromfázisú feszültségek.Az ub és uc feszültségek lüktetési tengelyei az első fázis tengelyéhez viszonyítva 1200 illetve 2400 szöggel elfordulva követik egymást. A térvektor kifejezését szakaszonként tudjuk kényelmesen megadni. Például a 0<ωt<600 szakaszon: ua=+50V ; ub=-100V ; uc=+50V A definiciós egyenletbe helyettesítve: 0 2 2 2 2 ⋅ (u a + a ⋅ u b + a ⋅ u c ) = ⋅ (50 − 100 ⋅ a + 50 ⋅ a ) = 100 ⋅ e − j⋅60 [V ] 3 3 1 1 u s0 = ⋅ ( ua + ub + uc ) = ⋅ ( 50 − 100 + 50 ) = 0 3 3

us =

- 102 -

VILLAMOS GÉPEK


A következő 600<ωt<1200 szakaszon az alábbi értékek adódnak: ua=+100V ; ub=-50V ; uc=-50V ; us=100V ; us0=0 A fentiekhez hasonlóan a további szakaszokra is felírva a térvektor kifejezését és a kapott eredményeket ábrázolva azt találjuk, hogy a feszültség térvektora egy szabályos hatszög csucspontjaiba mutat (21.7.ábra) és szakaszonként az alábbi kifejezéssel adható meg: k ⋅ 60 0 < ω ⋅ t < (k + 1) ⋅ 60 0 u s = 100 ⋅ e j⋅( k −1)⋅60 u s0 = 0

k=1,2,3...

0

21.7ábra. 4.Feladat Határozza meg a feszültségek térvektorának kifejezését, ha az u a , u b , u c feszültségek szimmetrikus háromfázisú rendszert alkotnak, de az alapharmonikus mellett ötödik harmonikus összetevőt is tartalmaznak. Ábrázolja grafikusan a kapott eredményt. Megoldás: u s = u1 + u 5 2 2 2π 2π u 1 = ⋅ U 1m ⋅ [cos ω1t + a ⋅ cos(ω 1t − ) + a ⋅ cos(ω 1t + )] 3 3 3

- 103 -

VILLAMOS GÉPEK u5 =


 2 2π  ⋅ U 5 m ⋅ cos 5 ⋅ ω1t + a ⋅ cos 5 ⋅ ( ω1t − 3 3  

2π  2  ) + a ⋅ cos 5 ⋅ ( ω 1t + 3  

 )  

U1m–Az alapharmonikus feszültség csúcsértéke. U 5 m − Az ötödik feszültségharmonikus csúcsértéke. e jx + e − jx összefüggés felhasználásával a fenti kifejezés lényegesen egyszerübb 2 alakra hozható: u 1 = U 1m ⋅ e j⋅ω1t

A cos x =

u 5 = U 5 m ⋅ e − j⋅5ω1t u s = u 1 + u 5 = U 1m ⋅ e j⋅ω1t + U 5 m ⋅ e − j⋅5ω1t

Grafikus ábrázolás

+Im 1

us

0.5

+Re -1

-0.5

0.5

1

-0.5 -1

21.8. ábra A feszültség térvektora tehát két,különbözö szögsebességgel,egymással szembe forgó vektorból tehető össze. Ha a kapott eredményt grafikusan ábrázoljuk,azt találjuk,hogy a feszültség térvekor végpontja hatszögű, szimmetriát mutató görbét ir le (21.8.ábra). Zérus sorrendű összetevő nincsen. 5.Feladat: Határozza meg a feszültség térvektor kifejezését, ha az u a , u b , u c feszültségek szimmetrikus háromfázisú rendszert alkotnak, de az alapharmonikuson kívül hetedik harmonikus összetevőt is tartalmaznak. Legyen: u a = U 1m cos ωt + U 7 m cos 7ωt . Ábrázolja grafikusan a kapott eredményt. Megoldás: u s = u1 + u 7 2 2 2π 2π u 1 = ⋅ U 1m ⋅ [cos ω1t + a ⋅ cos(ω 1t − ) + a ⋅ cos(ω 1t + )] = U 1m ⋅ e j⋅ω1t 3 3 3 2 2 2π 2π u 7 = ⋅ U 7 m ⋅ [cos 7 ⋅ ω1t + a ⋅ cos 7 ⋅ (ω1t − ) + a ⋅ cos 7 ⋅ (ω 1t + )] = U 7 m ⋅ e j⋅7⋅ω1t 3 3 3 u s = u 1 + u 7 = U 1m ⋅ e j⋅ω1t + U 7 m ⋅ e j⋅7⋅ω1t - 104 -

VILLAMOS GÉPEK


A feszültségvektor mindkét összetevője azonos irányba forog. u s0 = 0

(Zérus sorrendű összetevő nincsen)

Grafikus ábrázolás

+Im us 1 0.5

-1

-0.5

+Re 0.5

1

-0.5

21.9.ábra.

-1

A feszültség térvektor a 21.9 ábrán látható görbét írja le. 6.Feladat A csúszógyürűs aszinkron motor állórészének szimmetrikus háromfázisú tekercselését a (21.10) ábrán vázolt módon i = 2 ⋅ 10 ⋅ sin 314t [ A ] árammal tápláljuk. Azzal a feltételezéssel,hogy a forgórész tekercsvégei nyitottak( irα = 0, irβ = 0 ) határozza meg: a.) b) c.) d.)

az is , isα , isβ , iso áramokat, az us , usα , usβ , us0 feszültségeket, az ua , ub , uc , u feszültségeket, a hatásos és meddő teljesítmény nagyságát az abc és 0, α, β koordináta-rendszerben.

Rs = 0 Ls = 20 mH Lso = 3 mH

21.10.ábra Megoldás a.) Áramvektor pillanatértékek: - 105 -

VILLAMOS GÉPEK


ia = ib = i = 2 ⋅ 10 ⋅ sin 314t ; ic = 0 2 2 2 2 i s = ⋅ (ia + a ⋅ ib + a ⋅ ic ) = ⋅ (i + a ⋅ i ) = ⋅ i ⋅ (1 + a ) = 3 3 3 2 2 2 1 3 1 3 = − ⋅ i ⋅ a = − ⋅ i ⋅ (− − j ⋅ ) = ( + j⋅ )⋅i 3 3 2 2 3 3 1 3 is = ( + j ⋅ ) ⋅ 2 ⋅ 10 ⋅ sin 314t 3 3 10 2 2 i sα = ⋅ sin 314t ; i sβ = 10 ⋅ sin 314t 3 3 1 1 2 2 i s 0 = ⋅ (ia + ib + ic ) = ⋅ (i + i + 0) = ⋅ i = ⋅ 2 ⋅ 10 ⋅ sin 314t 3 3 3 3 b.) Feszültségvektor pillanatértékek: di 2 2 di 2 2 u s = Ls ⋅ s = − Ls ⋅ ⋅ a ⋅ = −20 ⋅ 10 −3 ⋅ ⋅ a ⋅ 2 ⋅ 10 ⋅ 314 ⋅ cos 314t = dt 3 dt 3 2 1 3 = −41,86 ⋅ 2 ⋅ a ⋅ cos 314t = −41,86 ⋅ 2 ⋅ (− − j ⋅ ) ⋅ cos 314t 2 2 41,86 2 u sα = Re(u s ) = ⋅ cos 314t = 29,60 ⋅ cos 314t 2 41,86 2 u sβ = Im(u s ) = ⋅ 3 ⋅ cos 314t = 51,267 ⋅ cos 314t 2 di 2 di u s 0 = Ls 0 ⋅ s 0 = 3 ⋅ 10 −3 ⋅ ⋅ = 2 ⋅ 10 −3 ⋅ 2 ⋅ 10 ⋅ 314 ⋅ cos 314t = 6,28 2 ⋅ cos 314t dt 3 dt c.) Fázisfeszültség pillanatértékek: 2

u a = Re(u s ) + u s 0 = Re(−41,86 2 ⋅ a ⋅ cos 314t ) + u s 0 = 1 = −41,86 ⋅ 2 ⋅ (− ) ⋅ cos 314t + 6,28 ⋅ 2 ⋅ cos 314t = 27,21 ⋅ 2 ⋅ cos 314t = 38,48 ⋅ cos 314t 2 2

2

2

u b = Re(a ⋅ u s ) + u s 0 = Re(a ⋅ (−41,86 ⋅ 2 ⋅ a ⋅ cos 314t ) + u s 0 = = Re(−41,86 ⋅ 2 ⋅ a ⋅ cos 314t ) + 6,28 ⋅ 2 ⋅ cos 314t = 27,21 ⋅ 2 ⋅ cos 314t = 38,48 ⋅ cos 314t 2

u c = Re(a ⋅ u s ) + u s 0 = Re[a ⋅ (−41,86 ⋅ 2 ⋅ a ⋅ cos 314t ) + u s 0 = = −41,86 ⋅ 2 ⋅ cos 314t + 6,28 ⋅ 2 ⋅ cos 314t = −35,58 ⋅ 2 ⋅ cos 314t = −50,32 ⋅ cos 314t d.) Teljesitmény pillanatértékek: 3 * ⋅ Re[u s ⋅ i s ] + 3 ⋅ u s*0 ⋅ i s 0 2 * u s = −41,86 ⋅ 2 ⋅ a ⋅ cos 314t ps =

- 106 -

VILLAMOS GÉPEK


2 2 2 2 i s = − ⋅ a ⋅ i = − ⋅ a ⋅ 2 ⋅ 10 ⋅ sin 314t 3 3 * u s ⋅ i s = 558,13 ⋅ cos 314t ⋅ sin 314t = 279,06 ⋅ (2 ⋅ sin 314t ⋅ cos 314t ) = 279,06 ⋅ sin 628t 2 u s*0 ⋅ i s 0 = 6,28 ⋅ 2 ⋅ cos 314t ⋅ ⋅ 2 ⋅ 10 ⋅ sin 314t = 83,733 ⋅ sin 314t ⋅ cos 314t = 3 = 41,866 ⋅ (2 ⋅ sin 314t ⋅ cos 314t ) = 41,866 ⋅ sin 628t 3 * p s = ⋅ Re(u s* ⋅ is ) + 3 ⋅ Re(u s 0 ⋅ i s 0 ) = 2 3 = ⋅ 279,06 ⋅ sin 628t + 3 ⋅ 41,866 ⋅ sin 628t = 544,188 ⋅ sin 628t 2 Mivel a felvett teljesitmény pillanatértékének nincs középértéke T

Psr =

1 p s ⋅ dt T ∫0

a meddő teljesitmény azonos a látszólagos teljesitménny pillanatértékével melynek csúcsértéke: Ps = 628[VAr ] 7.Feladat Afluxuskapcsolódások közös koordináta-rendszerben felírható térvektoros egyenletei a következők:

ψ s = L s i s + Lm i r ψ r = Lm i s + Lr i r a.)határozza meg miként számíthatók az állórész és forgórész áramvektorai ezekből a fluxuskapcsolódásokból b.)határozza meg a fenti egyenletekből az állórész Lsσ és forgórész Lrσ. szórási induktivitásait. Megoldás: a.) A fluxusegyenletek mególdásával az is és ir áramvektorokra a következő kifejezések nyerhetők: is =

Lr ⋅Ψ s − Lm ⋅Ψ r Ls ⋅ Lr − L2m

Ls ⋅Ψ r − Lm ⋅Ψ s Ls ⋅ Lr − L2m i m = i s + ir ir =

b.)

Az állórész és forgórész háromfázisú szórási induktivitásai: Lsσ = Ls − Lm Lrσ = Lr − Lm - 107 -

VILLAMOS GÉPEK


8.Feladat Kétpólusú, háromfázisú gép, állórészét az 50 Hz-es hálózatra kapcsolva, n=2940/perc fordulatszámmal, motorként üzemel. Adott üzemi pontban a sztátorfeszültség és áram, valamint a rotoráram térvektora, az állórészhez kötött koordináta-rendszerben: u s = 311 ⋅ e j 314 ⋅ t [ V ] o

i s = 32.5 ⋅ e j ( 314 ⋅ t − 37 ) [ A ] o

i r = 55 ⋅ e j ( 314 ⋅ t − 200 ) [ A ] (Zérus sorrendű összetevők nincsennek) Kérdés: a.)Mekkora a hálózatból felvett hatásos teljesítmény. b.)Mekkora a gép nyomatéka, ha a háromfázisú kölcsönös induktivitás értéke Lm = 41mH . c.)Milyen hatásfokkal üzemel a gép. d.)Adja meg a rotoráram térvektorát a rotorhoz rögzített koordináta-rendszerben. e.)Milyen időbeli lefolyású az állórész és forgórész „a” fázisának árama. Megoldás: a.) ps =

0 3 3 * ⋅ Re(u s ⋅ i s ) = ⋅ Re[311 ⋅ e − j⋅314t ⋅ 32,5 ⋅ e j⋅( 314t −37 ) ] = 2 2

= Re[15161,25 ⋅ e j⋅37 ] = 12108,31[W ] 0

b.)

Ψ m = Lm ⋅ i m = Lm ⋅ ( i s + i r ) Ψ *m = Lm ⋅ ( i*s + i*r ) 3 3 * * * me = ⋅ p ⋅ Im(Ψ m ⋅ i s ) = ⋅ p ⋅ Im[ Lm ⋅ ( i s + i r ) ⋅ i s ] = 2 2 3 3 * * = ⋅ p ⋅ Lm ⋅ Im[ is2 + i r ⋅ i s ] = ⋅ p ⋅ Lm ⋅ Im( i r ⋅ i s ) = 2 2 3 = ⋅ 1 ⋅ 41 ⋅ 10 −3 ⋅ Im[ 55 ⋅ e − j⋅( 314 t −200 ) ⋅ 32 ,5 ⋅ e j⋅( 314 t −37 ) ] = 2 3 = ⋅ 41 ⋅ 10 −3 ⋅ 55 ⋅ 32 ,5 ⋅ Im[ e j⋅163 ] = 109 ,931 ⋅ sin 1630 = 32 ,14[Nm] 2 0

0

0

c.)

[

n 2940 = 314 ⋅ = 307 ,72 sec −1 n1 3000 m ⋅ ω 32 ,14 ⋅ 307 ,72 Pr = e = = 9890 ,1208[W ] p 1 P 9890,1208 η= r = = 0,8168 p1 12108,31

ω = ω1 ⋅ ( 1 − s ) = ω1 ⋅

- 108 -

]

VILLAMOS GÉPEK


d.) i r = i rk ⋅ e j ⋅(ω k −ω ) t ,

ωk=0

feltételezéssel: 0

i r = irk ⋅ e − j⋅ωt = irk ⋅ e − j⋅307, 72t = 55 ⋅ e j⋅( 314t − 200 ) ⋅ e − j⋅307, 72t = 55 ⋅ e j⋅( 6, 28t − 200 e.)

0

)

ia = Re( i s ) = Re[ 32 ,5 ⋅ e j⋅( 314 t −37 ) ] = 32 ,5 ⋅ cos( 314t − 37 0 )[ A] 0

ira = Re( i r ) = Re[ 55 ⋅ e j⋅( 6 ,28 t −200 ) ] = 55 ⋅ cos( 6 ,28t − 200 0 )[A] 0

9. Feladat Irja le a háromfázisú, csillag kapcsolású, kalickás forgórészű aszinkron motor üzemi jellemzőinek meghatározására szolgáló skaláris feszültség differenciálegyenlet-rendszerét, arra az esetre amikor a kapcsoló meghibásodása miatt a csatlakozó kábel harmadik fázisánál szakadás lép fel(21.11.ábra). Az egyenletrendszert és a hozzá tartozó térvektorok skláris összetevőit szinkron forgó koordináta-rendszerben kell meghatározni azzal a feltételezéssel,hogy a tárgyalás során az uab vonalfeszültség pillanatéréke a következő egyenlettel jellemezhető: u ab = 2 ⋅ 380 ⋅ cos(100π ⋅ t + ϕ ) ; ic = 0 (Az állórész és forgórész ellenálásai és induktivitásai ismertek)

21.11.ábra. Megoldás

- 109 -

VILLAMOS GÉPEK


Aszimmetrikus állapotoknál a meglévő egyenlet-rendszert ki kell egésziteni a vizsgált aszimmetriából eredő egyenletekkel. Esetünkben a vizsgált aszimmetria nem tartalmaz zérus sorrendű összetevőket. u ab = 2 ⋅ 380 ⋅ cos(100π ⋅ t + ϕ ) = u a − u b ; ic = 0 Ha ezekben az egyenletekben a pillanatértékeket a térvektorok megfelelő skaláris összetevőivel helyettesitjük az alábbi kifejezéseket nyerjük: u a = u sx ⋅ cos ω1t − u sy ⋅ sin ω 1t u b = u sx ⋅ cos(ω 1t − 120 0 ) − u sy ⋅ sin(ω1t − 120 0 ) ic = i sx ⋅ cos(ω1t − 240 0 ) − i sy ⋅ sin(ω 1t − 240 0 ) = 0 Az aszimmetrikus kapcsolás egyenletei: 2 ⋅ 380 ⋅ cos(100π ⋅ t + ϕ ) = u sx ⋅ [cos ω1t − cos(ω1t − 120 0 )] − u sy ⋅ [sin ω 1t − sin(ω 1t − 120 0 )] 0 = i sx ⋅ cos(ω1t − 240 0 ) − i sy ⋅ sin(ω 1t − 240 0 ) Skaláris feszültségegyenletek: dΨ sx 0 = −usx + Rs ⋅ isx + − ω1 ⋅Ψ sy , Ψ sx = Ls ⋅ isx + Lm ⋅ irx dt dΨ sy 0 = −usy + Rs ⋅ isy + − ω1 ⋅Ψ sx , Ψ sy = Ls ⋅ isy + Lm ⋅ iry dt dΨ rx 0 = Rr ⋅ irx + − ( ω 1 − ω ) ⋅Ψ ry , Ψ rx = Lm ⋅ isx + Lr ⋅ irx dt dΨ ry 0 = Rr ⋅ iry + + ( ω1 − ω ) ⋅Ψ rx , Ψ ry = Lm ⋅ isy + Lr ⋅ iry dt Newton forgási mozgásegyenlete: dω p 3 = ⋅ (me − mT − m fv ) , me = ⋅ p ⋅ (Ψ sx ⋅ isy −Ψ sy ⋅ isx ) 2 dt Jε Az egyenletrendszer megoldása során először a térvektorok skaláris összetevőit határozzuk meg,majd ezek szétcsatolásával meghatározzuk a fázisonkénti pillanatértékeket is. 10. Feladat Irja le a csillagkapcsolású kalickás forgórészű háromfázisú aszinkron motorok egyfázisú Steinmetz kapcsolás (21.12. ábra) átmeneti jelenségei vizsgálatára vonatkozó teljes differeciálegyenlet-rendszerét. Az egyenletrendszert és a hozzá tartozó térvektorok skláris összetevőit állórészhez kötött közös koordináta-rendszerben kell meghatározni beleértve a szétcsatolást is. A tárgyalás során a kapocsfeszültség pillanatértéke a következő egyenlettel jellemezhető: u ab = 2 ⋅ 220 ⋅ cos(100π ⋅ t + ϕ )

ϕ - kezdeti fázisszög C – kondenzátor kapacitás (Az ellenállások és induktivitások ismertek ). - 110 -

VILLAMOS GÉPEK


21.12.ábra

Megoldás A vizsgált aszimmetrikus kötés egyenletei a következők: 1 uab = ua − ub ; u b − u c = u k = ⋅ ∫ ic ⋅ dt C Az aszimmetrikus kötés nem tartalmaz zérus sorrendű összetevőket. Ezért: ib + ib + i c = 0 Ha ezekben az egyenletekben a feszültségek és az áramok pillanatértékeit a térvektorok megfelelő skaláris összetevőivel helyettesítjük a következő kifejezéseket nyerjük:  u 3 u ab = u sα −  − sα + ⋅ u sβ 2 2 

 3 3  = u sα − ⋅ u sβ  2 2   u  u 3 3 u k = u b − u c = − sα + ⋅ u sβ −  − sα − ⋅ u sβ  = 3 ⋅ u sβ 2 2 2  2  Ha a harmadik fázis ic pillanatáramát az állórész áramvektor skaláris összeteőivel helyettesitjük a következő kifejezést nyerjük: 3 ⋅ u sβ =

(

)

1 1 ⋅ ∫ ic ⋅ dt = − ⋅ i sα + 3 ⋅ i sβ dt C 2⋅C ∫

Illetve: 3⋅

du sβ dt

=−

(

1 i sα + 3 ⋅ i sβ 2⋅C

) - 111 -

VILLAMOS GÉPEK


A vizsgált Steinmetz kapcsolás átmeneti jelenségeinek vizsgálatára a következő feszültségegyenlet-rendszert nyerjük: 2 ⋅ 220 ⋅ cos(100π ⋅ t + ϕ ) = du sβ dt

=−

1 2 3 ⋅C

usα = Rs ⋅ isα + u sβ = Rs ⋅ isβ +

(i

sα

dΨ sα dt dΨ sβ dt

3 3 u sα − ⋅ u sβ 2 2

+ 3 ⋅ i sβ

)

;

Ψ sα = Ls ⋅ isα + Lm ⋅ irα

;

Ψ sβ = Ls ⋅ isβ + Lm ⋅ irβ

dΨ rα + ω ⋅Ψ rβ ; Ψ rα = Lm ⋅ isα + Lr ⋅ irα dt dΨ rβ Ψ rβ = Lm ⋅ isβ + Lr ⋅ irβ 0 = Rr ⋅ irβ + − ω ⋅Ψ rα ; dt dω p 3 = ⋅ ( me − mT − m fv ) ; me = ⋅ p ⋅ (Ψ sα ⋅ isβ −Ψ sβ ⋅ isα ) 2 dt JΣ A fázisfeszültségek és fázisáramok pillanatértékeihez a differenciálegyenlet-rendszer megoldása után a skaláris összetevők szétcsatolása révén jutunk A fázisfeszültségek pillanatértékei: u a = u sα 0 = Rr ⋅ irα +

u sα 3 + ⋅ u sβ 2 2 u 3 u c = − sα − ⋅ u sβ 2 2 A kondenzátor feszültségének pillanatértéke: u k = u b − u c = 3 ⋅ u sβ A fázisáramok pillanatétékei: i a = i sα ub = −

i sα 3 + ⋅ i sβ 2 2 i 3 ic = − sα − ⋅ i sβ 2 2

ib = −

11.Feladat Irja le a háromfázisú kalickás forgórészű,állórész oldalon háromszög kapcsolású aszinkron motor differenciálegyenlet-rendszerét arra az aszimmetrikus esetre, amikor a csatlakozó kábel harmadik fázisánál szakadás lép fel (21.13.ábra). Az egyenletrendszert és a hozzátartozó térvekto-rok skláris összetevőit állórészhez kötött közös koordináta-rendszerben kell meghatározni beleértve a szétcsatolást is. A tárgyalás során az uab kapocsfeszültség pillanatétéke a következő egyenlettel jellemezhető:

- 112 -

VILLAMOS GÉPEK


u a = 2 ⋅ 380 ⋅ cos(100π ⋅ t + ϕ ) ; ib = ic ; ϕ -kezdeti fázisszög. (Az ellenállások és induktivitások ismertek ).

21.13.ábra

Megoldás: Ez az aszimmetrikus kapcsolás nem tartalmaz zérus sorrendű összetevőket. A viszgált aszimmetriából adódó egyenletek: u a + u b + u c = 0 ; u b + u c = −u a u 2 1 2 u sα = ⋅ [u a − ⋅ (u b + u c )] = ⋅ [u a + a ] = u a 3 2 3 2 Illetve: u sα = 2 ⋅ 380 ⋅ cos(100π ⋅ t + ϕ ) Ha a fázisáramok pillanatértékeit ( ib = ic ) az állórész áramvektor skaláris összetevőivel helyettesitjük az alábbi kifejezést nyerjük: i sα i 3 3 + ⋅ i sβ = − sα − ⋅ i sβ ebből következit: i sβ = 0 2 2 2 2 A tárgyalt aszimmetria differenciálegyenlet-rendszere: dΨ sα 2 ⋅ 380 ⋅ cos( 100π ⋅ t + ϕ ) = Rs ⋅ isα + , Ψ sα = Ls ⋅ isα + Lm ⋅ irα dt dΨ sβ u sβ = , Ψ sβ = Lm ⋅ irβ dt dΨ rα 0 = Rr ⋅ irα + + ω ⋅Ψ rβ , Ψ rα = Lm ⋅ isα + Lr ⋅ irα dt −

- 113 -

VILLAMOS GÉPEK


dΨ rβ

− ω ⋅Ψ rα

,

Ψ rβ = Lr ⋅ irβ

dω p = ⋅ (me − mT − m fv ) dt Jε

,

me =

0 = Rr ⋅ irβ +

dt

3 ⋅ p ⋅ (Ψ sα ⋅ isβ −Ψ sβ ⋅ isα ) 2

12.Feladat Egy háromfázisú kalickás forgórészű aszinkron motor állórészének háromszög kapcsolású Tekercselésénél a"b" és "c" fázistekercsekben egyidejüleg szakadás lép fel (21.14.ábra). Irja le e motor erre az aszimmetrikus állapotra vanatkozó teljes differenciálegyenlet-rendszerét állórészhez kötött közös koordináta rendszerben azzal a feltételezéssel, hogy az "a"fázistekercs kapocsfeszültsének pillanatértékét a következő egyenlettel jellemezhetjük: u a = U a ⋅ cos(ω 1t + ϕ ) = 2 ⋅ 380 ⋅ cos(100π ⋅ t + ϕ ) ; ib = ic = 0 (Az ellenállások és induktivitások ismertek ).

21.14.ábra

Megoldás: Ez az aszimmetrikus állapot zérus összetevőket is tartalmaz. Ezért szimulációjára két egyenletrendszert kell felirni.

- 114 -

VILLAMOS GÉPEK


A háromfázisú rendszer egyenletrendszerei: 2 2 u sα = ⋅ u a = ⋅ 2 ⋅ 380 ⋅ cos(100π ⋅ t + ϕ ) 3 3 u sβ = 0 ; i sβ = 0 Illetve: 2 dΨ sα ⋅ 2 ⋅ 380 ⋅ cos( 100π ⋅ t + ϕ ) = Rs ⋅ isα + 3 dt

,


,

Ψ sβ = Lm ⋅ irβ

dΨ rα + ω ⋅Ψ rβ , dt dΨ rβ 0 = Rr ⋅ irβ + − ω ⋅Ψ rα , dt dω p = ⋅ (me + me 0 − mT − m fv ) dt Jε 3 me = − ⋅ p ⋅Ψ sβ ⋅ isα 2 Zérus rendszer egyenletei: 1 1 u s 0α = ⋅ u a = ⋅ 2 ⋅ 380 ⋅ cos(100π ⋅ t + ϕ ) 3 3 us0β = 0 ; i s 0α = i s 0 ; is 0 β = 0

0 = Rr ⋅ irα +

1 dΨ s 0α ⋅ 2 ⋅ 380 ⋅ cos( 100π ⋅ t + ϕ ) = Rs ⋅ is 0 + 3 dt dΨ r 0 α + 3 ⋅ ω ⋅Ψ r 0 β dt dΨ r 0 β 0 = Rr 0 ⋅ ir 0 β + − 3 ⋅ ω ⋅Ψ r 0α dt me0 = −3 ⋅ p0 ⋅Ψ s 0 β ⋅ is0 = −3 ⋅ p0 ⋅ Lm0 ⋅ ir 0 β ⋅ is0 0 = Rr 0 ⋅ ir 0α +

Ψ rα = Lm ⋅ isα + Lr ⋅ irα Ψ rβ = Lr ⋅ irβ

,

Ψ s0α = Ls0 ⋅ is0 + Lm0 ⋅ ir 0α

,

Ψ s0 β = Lm0 ⋅ ir 0 β

,

Ψ r 0α = Lm0 ⋅ is 0 + Lr 0 ⋅ ir 0α

,

Ψ r 0 β = Lr 0 ⋅ ir 0 β

Az "a" fázis áramának pillanatértéke: i a = i sα + i s 0 13.Feladat Határozza meg a háromfázisú kalickás forgórészű, állórész oldalon háromszög kapcsolású aszinkron motor, mellékekelt ábrán látható ( 21.15.ábra) egyfázisú Steinmetz kapcsolásának differenciálegyenlet-rendszerét. Az egyenleteket, feszültségek,és áramvektorok skaláris összetevőit, valamint szétcsatolás módját állórészhez kötött közös koordináta-rendszerben kell meghatározni. A tárgyalás során tételezze fel,hogy a kapocsfeszültség pillanatértéke: u a = 2 ⋅ 220 ⋅ cos(100π ⋅ t + ϕ ) ϕ - kezdeti fázisszög C -kondenzátor kapacitás

- 115 -

VILLAMOS GÉPEK


21.15.ábra

Megoldás: A vizsgált aszimetrikus kötés zérus sorrendű összetevőket nem tartalmaz. Az aszimmetriából adódó egyenletek: u a + ub + uc = 0 u sα

u b + u c = −u a u 2 1 2 = ⋅ [u a − ⋅ (u b + u c )] = ⋅ [u a + a ] = u a 3 2 3 2 ;

;

uc = uk

Illetve: u sα = 2 ⋅ 220 ⋅ cos(100π ⋅ t + ϕ ) Másrészt: 1 1 ⋅ ∫ ik ⋅ dt = ⋅ ∫ (ib − ic ) ⋅ dt C C u i i 3 3 3 u c = − sα − ⋅ u sβ ; i b = − sα + ⋅ i sβ ; ic = − sα − ⋅ i sβ 2 2 2 2 2 2 i i 3 3 i k = i b − i c = − sα + ⋅ i sβ + sα + ⋅ i sβ = 3 ⋅ i sβ 2 2 2 2 u 3 3 − sα − ⋅ u sβ = ⋅ i sβ ⋅ dt 2 2 C ∫ A deriválás elvégzése után ez utóbbi egyenlet a következő alakot veszi fel: uc = uk =

- 116 -

VILLAMOS GÉPEK


du dusα 2 3 + 3 ⋅ sβ = − ⋅ isβ dt dt C du sα = 2 ⋅ 220 ⋅ 100π ⋅ sin(100π ⋅ t + ϕ ) dt A fenti egyenletek felhasználásával a tárgyalt egyfázisú Steinmetz kapcsolású motor átmeneti jelenségeinek vizsgálatára az alábbi egyenletrendszert nyertük: 2 ⋅ 220 ⋅ cos( 100π ⋅ t + ϕ ) = Rs ⋅ isα + u sβ = Rs ⋅ isβ +

dΨ sβ

dΨ sα dt

dt

2 ⋅ 220000π ⋅ sin( 100π ⋅ t + ϕ ) + 3 ⋅

du sβ

=−

;


;

Ψ sβ = Ls ⋅ isβ + Lm ⋅ irβ

2 3 ⋅ isβ C

dt dΨ rα Ψ rα = Lm ⋅ isα + Lr ⋅ irα 0 = Rr ⋅ irα + + ω ⋅Ψ rβ ; dt dΨ rβ − ω ⋅Ψ rα ; Ψ rβ = Lm ⋅ isβ + Lr ⋅ irβ 0 = Rr ⋅ irβ + dt dω p 3 = ⋅ (me − mT − m fv ) ; me = ⋅ p ⋅ (Ψ sα ⋅ isβ −Ψ sβ ⋅ isα ) 2 dt Jε Az egyenletrendszer megoldása után a fázisáramok pillanatértékeit a következő kifejezések alapján határozhatjuk meg: i a = i sα i sα 3 + ⋅ i sβ 2 2 i 3 ic = − sα − ⋅ i sβ 2 2 ik = ib − ic = 3 ⋅ i sβ

ib = −

A fázisfeszültségek pillanatétéki: u sα 3 + ⋅ u sβ 2 2 u 3 u c = − sα − ⋅ u sβ = u k 2 2 ub = −

14.Feladat Egy háromfázisú kalickás forgórészű aszinkron motor háromszögkapcsolású állórésztekercselésénél a harmadik (c) fázistekecsnél szakadás lép fel (21.16.ábra). Határozza meg az igy keletkezett aszimmetrikus v-kapcsolás üzemi állapota átmeneti jelenségeinek teljes skaláris differeciáegyenlet-rendszerét állórészhez kötött közös koordináta-rendszerben azzal, hogy a hálózat vonalfeszültségei adottak:

- 117 -

VILLAMOS GÉPEK


u1 = 2 ⋅ 380 ⋅ cos(100π ⋅ t + ϕ ) u 2 = 2 ⋅ 380 ⋅ cos(100π ⋅ t + ϕ − 120 0 ) u 3 = 2 ⋅ 380 ⋅ cos(100π ⋅ t + ϕ − 240 0 ) (Az ellenállások és induktivitások értékei ismertek )

21.16.ábra (V-kapcsolás)

Megoldás: A tárgyalt aszimmetria zérus összetevőket is tartalmaz. Ezért két differenciálegyenletrendszert kell leirnunk. A háromfázisú rendszer egyenletei 2 1 2 1 u sα = ⋅ (u a − ⋅ u b ) = ⋅ 2 ⋅ 380 ⋅ [cos(100π ⋅ t + ϕ ) − ⋅ cos(100π ⋅ t + ϕ − 120 0 )] 3 2 3 2 3 3 u sβ = ⋅ ub = ⋅ 2 ⋅ 380 ⋅ cos(100π ⋅ t + ϕ − 120 0 ) 3 3 Megjegyzés: az uc feszültséget figgyelmen kivül hagytuk. A"c" fázistekercs szakadása miatt ennek feszültsége az eredményeket nem befolyásolja. Figyelembe véve az usα i usβ értékeket, az egyenletrendszer következő alakot veszi fel: 2 1 dΨ sα ⋅ 2 ⋅ 380 ⋅ [cos( 100π ⋅ t + ϕ ) − ⋅ cos( 100π ⋅ t + ϕ − 120 0 )] = Rs ⋅ isα + 3 2 dt dΨ sβ 3 ⋅ 2 ⋅ 380 ⋅ cos( 100π ⋅ t + ϕ − 120 0 ) = Rs ⋅ isβ + 3 dt

- 118 -

VILLAMOS GÉPEK


0 = Rr ⋅ irα +

dΨ rα + ω ⋅Ψ rβ dt

0 = Rr ⋅ irβ +

dΨ rβ − ω ⋅Ψ rα dt

Ψ sα = Ls ⋅ isα + Lm ⋅ irα ; Ψ sβ = Ls ⋅ isβ + Lm ⋅ irβ ;

Ψ rα = Lm ⋅ isα + Lr ⋅ irα Ψ rβ = Lm ⋅ isβ + Lr ⋅ irβ

dω p = ⋅ (me + me 0 − mT − m fv ) dt Jε A zérus rendszer egyenletei: 1 1 ⋅ (u a + u b ) = ⋅ 2 ⋅ 380 ⋅ [cos(100π ⋅ t + ϕ ) + cos(100π ⋅ t + ϕ − 120 0 )] 3 3 =0 , i s 0α = i s 0 , is 0 β = 0

u s 0α = us0β

illetve: 1 dΨ s 0α ⋅ 2 ⋅ 380 ⋅ [cos( 100π ⋅ t + ϕ ) + cos( 100π ⋅ t + ϕ − 120 0 )] = Rs ⋅ is 0 + 3 dt dΨ r 0α 0 = Rr 0 ⋅ ir 0α + + 3 ⋅ ω ⋅Ψ r 0 β dt dΨ r 0 β 0 = Rr 0 ⋅ ir 0 β + − 3 ⋅ ω ⋅Ψ r 0α dt Ψ s0α = Ls0 ⋅ is0 + Lm0 ⋅ ir 0α ; Ψ r 0α = Lm0 ⋅ is 0 + Lr 0 ⋅ ir 0α Ψ s0 β = Lm0 ⋅ ir 0 β ; Ψ r 0 β = Lr 0 ⋅ ir 0 β Zérus rendszer nyomatéka: me0 = −3 ⋅ p0 ⋅Ψ s 0 β ⋅ is 0 Az állórész fázisáramok pillanatértékei: i a = i sα + i s 0 ib = −

i sα 3 + ⋅ i sβ + i s 0 2 2

ic = 0 Vonaláram pillanatérték: i1 = ia − ib = i sα + i s 0 − (−

i sα 3 3 3 + ⋅ i sβ + i s 0 ) = ⋅ isα − ⋅ i sβ 2 2 2 2

A vonaláram nem tatalmaz zérusösszetevőt. - 119 -

VILLAMOS GÉPEK


IRODALOMJEGYZÉK 1. Budig-Peter Klaus,“ DREHZALVARIABLE DREHSTROMANTRIEBE MIT ASYNCHRON MOTOREN ”, Verl Technik, Berlin,1988. 2. I .Boldea, S.A. Nasar, “ ELECTRIC MACHINE DYNAMICS ”, Macmillan Publishing company New York 1986. 3. I.P.Kopilov ,“MATEMATIČESKOE MODELIROVANIE ELEKTRIČESKIH MAŠIN ”, Visšaja škola, Moskva 1987. 4. A. Ivanov-Smolensky, “ELECTRICAL MACHINES 1-3 ”, Mir Publischers Moscow 1988 5. K.P. Kovacs, “ TRANSIENT PHENOMENA IN ELECTRICAL MACHINES ”, Akadémiai Kiadó, Budapest, 1984. 6. Kovács K. Pál, “ VILLAMOS GÉPEK TRANZIENS FOLYAMATAI ”, Műszaki könyvkiadó, Budapest, 1970. 7. Vladan Vučković, “ OPŠTA TEORIJA ELEKTRIČNIH MAŠINA ”, Nauka, Beograd 1992. 8. Vladan Vučković, “ ELEKTRIČNI POGONI ”, Elektrotehnički Fakultet, Beograd 1997. 9. Retter Gyula, “ VILLAMOSENERGIA-ÁTALAKÍTÓK-ASZIMMETRIKUS ÉS TRANZIENS ÜZEME”, Műszaki könyvkiadó, Budapest, 1987. 10. H. Rehaoulia, M. Poloujadoff , “ TRANZIENT BEHAVIOR OF THE RESULTANT AIRGAP FILELD DURING RUN-UP OF AN INDUCTION MOTOR ”, IEEE Transactions on Energy Conversion, Vol. EC-1, No. 4, December 1986. 11. Sayeed Nurul Ghani, “ DIGITAL COMPUTER SIMULATION OF THREE-PHASE INDUCTION MACHINE DYNAMICS-A GENERALIZED APPROACH ”, IEEE Transactions on Energy Conversion, Vol. 24, No. 1, January/February 1988. 12. Gil G. Richards “ REDUCED ORDER MODEL FOR SINGLE AND DOUBLE CAGE INDUCTION MOTORS DURING STARTUP”, IEEE Transactions on Energy Conversion, Vol. 3, No. 2, June 1988. 13. Gil G. Richards, Owen T. Tan “ DECOMPOSED, REDUCED ORDER MODEL FOR DOUBLE-CAGE INDUCTION MOTOR ”, IEEE Transactions on Energy Conversion, Vol. EC-1, No. 3, September 1986. 14. S. Ertem, Y. Baghzouz, “ A FAST RECURSIVE SOLUTION FOR INDUCTION MOTOR TRANSENTS ”, IEEE Transactions on Industry Applications, Vol. 24, No 5, September/October 1988. 15. Paul C. Krause, “THE METOD OF SYMMETRICAL COMPONENTS DERIVED BY REFERENCE FRAME THEORY” , IEEE transactions on Power Apparatus and Systems, Vol. Pas-104, No. 6, June 1985. 16. Thomas A. Lipo, “MODELING AND SIMULATION OF INDUCTION MOTORS WITH SATURABLE LEAKAGE REACTANCES” ,IEEE Translations on Industry Applications, Vol. IA-20, No. 1, January/February 1984. 17. E.F. Fichus, M. Poloujadoff, G. W. Neal “STARTING PERFORMANCE OF SATURABLE THREE-PHASE INDUCTION MOTORS” , IEEE Transactions on Energy Conversion, Vol. 3, September 1988. 18. A. Keyhani, H. Tsai “ IGSPICE SIMULATION OF INDUCTION MACHINES WITH SATURABLE INDUCTANCES” , IEEE Transactions on Energy Conversion, Vol. 4, No. 1, March 1989. 19. P. Vas, K.E. Hallenius, J.E. Brown, “CROSS-SATURATION IN SMOOTH-AIR-GAP ELECTRICAL MACHINES” , IEEE Transactions on energy Conversion, Vol. EC-1, No. 1, March 1986. 20. K.P.Kovacs, “ON THE THEORY OF CYLINDRICAL ROTOR A.C. MACHINES, INCLUDING MAIN FLUX SATURATION ” , IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems, Vol. PAS-103, No. 4, April 1984.

- 120 -

VILLAMOS GÉPEK


21. Vlado Ostović, “ A METHOD FOR EVALUATION OF TRANSIENT AND STEADY STATE PERFORMANCE IN SATURATED SQUIRREL CAGE INDUCTION MACHINES”, IEEE Transactions on Energy Conversion, Vol. EC-1, No. 3,September 1986. 22. Halász Sándor, “AUTOMATIZÁLT VILLAMOS HAJTÁSOK”, Tankönyvkiadó, Budapest, 1989. 23. A.M. El-Serati, …..”EXPERIMENTAL STUDY OF THE SATURATION AND THE CROSSMAGNETIXING PHENOMENOM IN SATURATED SYNCHRONOUS MACHINES” IEEE Transactions on Energy Conversion, Vol. 3.,No. 4, December 1988. 24. M. Jadrić, “ KRITERIJI ZA ODREDJIVANJE OPTIMALNOG BROJA JEDNADŽBI U MATEMATIČKOM MODELU KAVEZNOG ASINHRONOG MOTORA” , Elektrotecnika. 25. M. Jadrić, “ MATEMATIČKI MODEL ASINHRONOG KAVEZNOG MOTORA S VISOKIM ŠTAPOVIMA U ROTORU” , Automatika. 26. Stjepan Štefanko, Veselko Tomljenović, “JEDNOSTAVAN MATEMATIČKI MODEL ZA PRORAČUN DINAMIČKIH STANJA KAVEZNOG ASINHRONOG STROJA” Zbornik radova, Drugo savetovanje o elektromotornim pogonima, Trogir 1984. 27. Martin Jadrić “DINAMIČKI ZAKLET KOLUTNOG ASINHRONOG MOTORA”, Elektrotechnika br. 1, 1971. 28. Martin Jadrić “UDARNO OPTEREĆENJE ASINHRONOG STROJA”, Elektrotechnika br. 6, 1971. 29. Martin Jadrić “DINAMIKA ELEKTROMOTORNA POGONA S ASINHRONIM MOTOROM I IZMENIČNIM MOMENTOM OPTEREĆENJA”, Automatika 5-6, 1982 30. M. Jadrić “REVERZIRANJE I PONOVO UKLAPANJE KOLUTNOG ASINHRONOG MOTORA”, Elektrotechnika 3, 1972. 31. G. Gentlie, V. Isastia, N. Rotondale “EINE METHODE ZUR UNTERSUCHUNG DER TRANSIENTEN VORGÄNGE BEIM ASYNCHRONEN HOCHLAUF DER SYNCHRONSCHENKEL POLMASCHINE ” Elektrie, Berlin 41-12, 1987. 32. Halász Sándor"AUTOMATIZÁLT VILLAMOS HAJTÁSOK"I,Tankönyvkiadó,Budapest,1989 33. Németh Károly,Ládai Ödön "VILLAMOSENERGIA ÁTALAKÍTTÓK PÉLDATÁR" Tankönyvkiadó,Budapest,1992.

- 121 -

Műszaki Főiskola-Szabadka Prof. dr. Varga József VILLAMOS GÉPEK. térvektorok elmélete október Szabadka

Recommend Documents