MOJE OBLÍBENÉ PŘÍKLADY Z PP II 1. Tenký křivý prut ve tvaru čtvrtkružnice je v bodě A uložen kloubově a v bodě B posuvně. Prut je zatížen osamělým momentem MA v bodě A. Dáno: MA, R, E⋅Jz = konst. Určit: 1. Reakce v uložení (RAx, RAy, RBx a RBy). 2. Moment v místě (popsáno obecným úhlem β). 3. Maximální ohybový moment maxMo. 4. Svislý posuv vB bodu B.
MA A y
R
β
B
x 2. Tenký křivý prut ve tvaru čtvrtkružnice je v bodě A uložen kloubově a v bodě B posuvně. Prut je zatížen osamělým momentem MB v bodě B. A Dáno: MB, R, E⋅Jz = konst. Určit: 1. Vypočtěte pomocí zadaných veličin reakce v uložení (RAx, RAy, RBx a RBy). R 2. Vypočtěte moment v místě (popsáno obecným úhlem β). 3. Vypočtěte maximální ohybový moment max Mo . 4. Vypočtěte svislý posuv vB bodu B. x
y
B
3. Tenký křivý prut tvořený polokružnicí je uložen na dvou kloubových podpěrách a ohřátý. Dáno: α, ∆t, R, E a c. Určete: 1. Reakce v bodě A (RAx a RAy) C 2. Reakce v bodě B (RBx a RBy) R 3. Místo a velikost maximálního ohybového momentu Mo max B 4. Lomený křivý prut je uložený na dvou kloubových podpěrách. Dáno: F, a, E, ∅d Určete: 1. Reakce v bodě A (RAx a RAy), 2. Reakce v bodě B (RBx a RBy), 3. Místo a velikost maximálního ohybového momentu Mo max.
MB
β
∆t
c A
2⋅a
F 2⋅a
∅d y x
A
5. Silnostěnná uzavřená nádoba je namáhána vnějším přetlakem (p2 > p1). Dáno: r1 = 50 mm, r2 = 80 mm, p1 = 5 MPa a σD = 100 N⋅mm-2. Určete: 1. Odvoďte vztah pro výpočet dovoleného tlaku p2D působícího na poloměru r2, 2. Vypočtěte číselně velikost tlaku p2D, 3. Vypočtěte změny poloměrů ∆r1 a ∆r2, p1 4. Načrtněte přibližně průběhy všech napětí σt(x), σr(x) a σo(x), která vznikajících ve stěně řešené silnostěnné nádoby.
B
p2
r1 r2
6. Vypočtěte maximální přípustný tlak p1max a potřebný přesah ∆r2 silnostěnné nalisované otevřené nádoby, je-li dáno: p3 = 5 MPa, r1 = 100 mm, r2 = 150 mm, r3 = 200 mm, E = 2⋅105 MPa, σD = 240 MPa (pro obě nádoby shodné) 7. Vypočtěte maximální přípustný tlak p1max a potřebný přesah ∆r2 silnostěnné nalisované otevřené nádoby, je-li dáno: p3 = 0 MPa, r1 = 150 mm, r2 = 180 mm, r3 = 200 mm, E = 2⋅105 MPa, σD = 220 MPa (pro obě nádoby shodné)
2013/2014
Jan Řezníček
MOJE OBLÍBENÉ PŘÍKLADY Z PP II qo
absolutně tuhý válec
8. Tenká, kruhová rotačně symetrická deska je zatížená a uložená podle obrázku. Dáno: r1, r2, r3 a r4, qo, h, E a µ. Určete: 1. Rozdělte desku na příslušný počet polí 2. Napište diferenciální rovnice pro jednotlivá pole 3. Napište okrajové podmínky pro určení integračních konstant 4. Naznačte obecně vztah pro určení průhybu desky w(x)
h
r1 r2 r3 r4
9. Tenká, kruhová rotačně symetrická deska je na svém obvodu vetknutá a zatížená konstantním zatížením qo. x Dáno: r, qo, h, E a µ. qo Určit: 1. Průhyb tenké desky w(x) jako funkci souřadnice x 2. Maximální průhyb wmax uprostřed desky. h r
10. Tenká, kruhová rotačně symetrická deska je na svém obvodu vetknutá a zatížená konstantním zatížením qo. Dáno: r, qo, h, E a µ. x qo Určete: 1. Určete natočení tenké desky ϕ(x) jako funkci zadaných hodnot a souřadnice x 2. Určete průhyb tenké desky w(x) jako funkci h zadaných hodnot a souřadnice x r 3. Maximální průhyb wmax uprostřed desky. w(x)
11. Vypočtěte dovolenou tlakovou sílu FD, kterou může být zatížen svislý přímý prut obdélníkového průřezu Dáno: b = 20 mm; h = 30 mm; l = 500 mm; E = 2,1⋅105 MPa; σu = 210 MPa a σK = 350 MPa pro k = 4.
FD
l
b×h
12. Vypočtěte dovolenou tlakovou sílu FD, kterou může být zatížen svislý přímý prut kruhového průřezu Dáno: ∅D = 25 mm; l = 600 mm; E = 2,1⋅105 MPa; σu = 210 MPa a σK = 350 MPa pro k = 3. l
FD
2013/2014
∅D
Jan Řezníček
MOJE OBLÍBENÉ PŘÍKLADY Z PP II 13. Určete přesně i přibližně velikost maximálního ohybového momentu Mo max při kombinaci vzpěru s ohybem přímého prutu čtvercového průřezu o straně a délky l zatíženého na krajích momenty M a osovou silou N. Dáno: a = 25 mm, l = 800 mm, N = 20 000 N, M = 10 000 N⋅mm, E = 2,1⋅105 MPa a σu = 210 MPa.
M
M
N
N
l a
14. Určete přesně i přibližně velikost maximálního ohybového momentu Mo max při kombinaci vzpěru s ohybem přímého prutu čtvercového průřezu Dáno: a = 25 mm, l = 800 mm, N = 20 000 N, qo = 2 N⋅mm-1, E = 2,1⋅105 MPa a σu = 210 MPa. qo N
N
l
a
15. Přímý prut je zatížen konstantním spojitým zatížením qo a osovou tlakovou silou N: x Dáno: qo = 0,2 N⋅mm-1; N = 600 N; a = 10 mm; l = 800 mm E = 2⋅105 N⋅mm-2 a σK = 220 N⋅mm-2. Určit: 1. Odvoďte výraz pro určení průběhu výsledného ohybového momentu Mo(x) po celé délce prutu. 2. Vypočtěte přesně velikost max. ohybového momentu Mo max. 3. Vypočtěte číselně velikost bezpečnosti prutu kK vůči mezi kluzu.
8
N l
Pomocný vzorec: 2
MKD
c=−
6.
50
16. Prut uvedeného průřezu je namáhán volným krutem. Dáno: τD = 80 N⋅mm-2. Určete: Maximální dovolený krouticí moment MKD , který tento profil je schopen přenést s ohledem na možnou koncentraci napětí v rohu.
qo
(
G ⋅ ϑ ⋅ ρ 22 − ρ12 ρ 2 ⋅ ln 2 ρ1
)
17. Stanovte velikostí dovoleného krouticího momentu, který přenese tenkostěnný uzavřený profil MKU a dovoleného krouticího momentu, který přenese tenkostěnný otevřený profil MKO podle obrázků, znáte-li Rs, t (Rs >> t) a τD – neprovádějte žádnou z kontrol.
2013/2014
MKO
MKU
Rs
Rs t
δ→0
100
t
Jan Řezníček
MOJE OBLÍBENÉ PŘÍKLADY Z PP II 18. Absolutně tuhý trám je v bodě B ideálně kloubově uložen a v bodech C a D je zavěšen na dvou prutech délky l a v bodě C je zatížen svislou silou F. Pruty mají průřez A, délku l a jsou vyrobeny z materiálu, který 1 2 má modul pružnosti E a mez kluzu σK. E; A; l E; A; l Určete: 1. velikost síly F1 = Fel. , kdy končí elastický stav soustavy. 2. velikost síly F2 = Fmez. , kdy nastává mezní stav plasticity B a C a D soustavy (vznikne plastický mechanizmus). F 3. velikost zbytkového napětí σ2 zb., které vznikne v prutu 2 po odlehčení soustavy z mezní síly Fmez.. 4. graficky naznačte závislosti napětí v prutech na zatěžující síle a naznačte vznik zbytkového napětí 19. Hřídel kruhového průřezu o průměru ∅D je zatížen krouticím momentem MK pl. (pracovní diagram materiálu τ = τ(γγ) je aproximován dle Prandtla – viz obrázek). MK pl. Dáno: ∅D = 40 mm a τK = 60 N⋅mm-2. Určit: 1. Odvodit elasticko-plastický průřezový modul v krutu WK el.- pl. τ (velikost pružného jádra uvažujte o průměru ∅d). τK 2. Vypočítat plně plastický moment MK pl.. 3. Velikost zbytkového napětí, které zůstane na vnějším ≈G povrchu hřídele τzb(D/2) po odlehčení z MK pl.. γ 4. Nakreslit (stačí orientačně) průběh zbytkových napětí τzb v celém průřezu.
∅D
20. Stanovte velikost mezní síly Fmez, která na zobrazeném nosníku vyvolá mezní stav plasticity a naznačte příslušný plastický mechanismus., Fmez Dáno: l, a, t a σK (ideálně elasticko-plastický materiál). 3⋅ l 4
a
σ
a
t
σK
l 4
ε t
21. Přímý nosník je uložený a zatížený podle obrázku a má průřez (viz obrázek). Dáno: t, l a σK (pracovní diagram σ = σ(εε) je aproximován dle Prandtla – viz obrázek). Určete: 1. Velikost plastického modul průřezu v ohybu Wo pl. = f(t), 2. Velikost plastického ohybového moment Mo pl. = f(t ; σK), 3. Velikost mezní síly Fmez. = f(t ; σK ; l), 4. Naznačte tvar plastického mechanizmu s vyznačením plastických kloubů y σ
F B
z
1/3⋅l
σK ε
2⋅t
2/3⋅l
t
10⋅t
A
C
4⋅t
2013/2014
Jan Řezníček
MOJE OBLÍBENÉ PŘÍKLADY Z PP II 22. Přímý nosník je uložen, zatížen a má průřez dle obrázku. Dáno: t a σK. Pracovní diagram σ = σ(εε) je aproximován dle Prandtla (viz obr.) Určete: 1. Velikost plastického modul průřezu v ohybu Wo pl. = f(t), 2. Velikost plastického ohybového moment Mo pl. = f(t ; σK), 3. Velikost mezní síly Fmez. = f(t ; σK ; l), 4. Naznačte tvar plastického mechanizmu s vyznačením plastických kloubů y 2⋅t
σ
A
B
t
z
σK ε
1/3⋅l 2⋅t
2/3⋅l
C
14⋅t
F
7⋅t 23. Obdélníkový průřez je namáhán ohybovým momentem Mo el.- pl. Dáno: σK = 200 MPa, b = 40 mm a h = 100 mm. Určete: 1. Odvoďte obecně velikost Wo el- pl = f(b ; h ; a) obdélníkového průřezu 2. Vypočtěte číselně velikost Wo el- pl, pro velikost elastického jádra a = h/2 3. Vypočtěte číselně velikost Mo el- pl, pro velikost elastického jádra a = h/2 –σK
Mo el- pl
a h
Mo el- pl
+σK
b 24. Přímý nosník vetknutý a podepřený je na převislém konci zatížen silou F. Dáno: l = 800 mm; a = 200 mm; c = 24 mm a σK = 200 N⋅mm−2. Určit: Fmez odpovídající meznímu stavu plasticity dané soustavy.
Fmez
a
a
l
25. Soustava tvořená třemi pruty je ve společném styčníku zatížena svislou silou F. Dáno: l = 1000 mm; a = 577,35 mm; c = 14 mm a σK = 220 N⋅mm−2. Určit: Fmez odpovídající meznímu stavu plasticity dané soustavy.
c
a
l
c Fmez 2013/2014
Jan Řezníček
