MODUL DAN LEMBAR KERJA MAHASISWA

MODUL DAN LEMBAR KERJA MAHASISWA

ANALISIS REAL I

Disusun Oleh :

Luh Putu Ida Harini

JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS UDAYANA 2012

IDENTITAS MAHASISWA PESERTA MATA KULIAH

ANALISIS REAL I Tahun Ajaran 2012/2013

Nama

:______________________________

NIM

:______________________________

ii

LEMBAR PENILAIAN PENGUASAAN MATERI LKM BAB

NILAI

KETUNTASAN MATERI

KETERANGAN

I

II

III

IV

iii

TANDA TANGAN

KATA PENGANTAR

Puji syukur penulis panjatkan kehadapan Tuhan Yang Maha Esa, karena atas berkat rahmat-Nya ringkasan modul yang berjudul “Modul dan Lembar Kerja

Mahasiswa Analisis Real i” dapat diselesaikan dengan baik. Modul ini digunakan sebagai bahan ajar sekaligus bahan penugasan bagi mahasiswa Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana yang sedang mengambil mata kuliah Analisis Real I. Modul ini terdiri atas lima bab yaitu Bab 0 Metode-metode dalam pembuktian, Bab 1 Sistem Bilangan Real, Bab 2 Barisan Bilangan Real, Bab 3 Limit Fungsi dan Bab 4 Relasi Rekursif. Pada awal sub bab akan disajikan beberapa definisi dan materi, sedangkan bagian selanjutnya diteruskan dengan contoh-contoh soal dan soal latihan yang wajib diselesaikan oleh setiap mahasiswa. Dengan modul ini diharapkan proses pembelajaran menjadi lebih terarah dan menumbuhkan keaktifan serta kemandirian siswa dalam belajar baik didalam kelas maupun di luar kelas. Penulis menyadari tulisan ini masih jauh dari sempurna, untuk itu penulis menerima kritik dan saran yang bersifat membangun demi perbaikan tulisan ini.

iv

September, 2012

Penulis

v

DAFTAR ISI COVER .................................................................................................

i

IDENTITAS MAHASISWA

ii

LEMBAR PENILAIAN MAHASISWA

iii

KATA PENGANTAR ..............................................................................

iv

DAFTAR ISI ...........................................................................................

v

PENDAHULUAN

1

BAB 0. METODE-METODE PEMBUKTIAN ……………………

5

BAB I. SISTEM BILANGAN REAL ........................................................

16

BAB II. BARISAN BILANGAN REAL .....................................................

52

BAB III. LIMIT FUNGSI ..........................................................................

78

BAB IV. KEKONTINUAN FUNGSI .........................................................

93

DAFTAR PUSTAKA...............................................................................

129

vi

Analisis Real I 2012

PENDAHULUAN A. MANFAAT MATA KULIAH Mata kuliah Analisis Real I merupakan mata kuliah wajib yang harus diambil oleh semua mahasiswa jurusan matematika. Mata kuliah ini tergolong mata kuliah lanjut yang diperuntukan bagi mahasiswa yang telah mengambil mata Kalkulus I dan Kalkulus II. Secara umum materi pada mata kuliah Analisis Real I sebenarnya sudah dikenal oleh mahasiswa yang telah mengambil kedua mata kuliah prasyarat tersebut. Hanya saja, materi pada Analisis Real I bersifat lebih abstrak, teoritis, dan mendalam. Analisis real merupakan alat yang esensial untuk membentuk pola pikir kritis dan analitis sehingga nantinya dapat digunakan, baik di dalam berbagai cabang dari matematika maupun bidang ilmu-ilmu lain. Apabila mata kuliah ini dapat dipahami dengan baik maka mahasiswa mempunyai modal yang sangat berharga untuk memahami mata kuliah di bidang lain. Setelah mempelajari mata ajar Analisis Real I mahasiswa diharapkan mempunyai kedewasaan dalam bermatematika, yang meliputi: 1. Kemampuan berpikir secara deduktif, logis, dan runtut. 2. Kemampuan menganalisis masalah 3. Kemampuan mensintesis suatu hal yang bersifat khusus ke suatu hal yang bersifat umum (kemampuan mengeneralisasi masalah) sehingga dapat menyelesaikan suatu masalah yang lebih kompleks. 4. Kemampuan mengkomunikasikan penyelesaian suatu masalah secara akurat dan rigorous. B. DESKRIPSI PERKULIAHAN Sebelumnya mari kita simak kata-kata bijak berikut : “Imajinasi lebih penting daripada pengetahuan (Albert Einstein).” Mata Kuliah Analisis Real I mempelajari pendekatan deduktif konsep fundamental matematika yang mencakup sistem bilangan real dan sifatsifatnya,

limit

dan

kekontinuan

serta

teori-teori

1 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Udayana

fungsi

yang

Analisis Real I 2012 dikembangkan melalui konsep limit. Mata kuliah ini menetapkan tujuan akhir agar mahasiswa memiliki kemampuan untuk dapat memahami aturan-aturan

dasar

untuk

memberikan

justifikasi

pada

teori

matematika yang berkaitan dengan bilangan real dan fungsi. Selain itu diharapkan, setelah mempelajari materi Analisis Real I, mahasiswa mempunyai kedewasaan dalam bermatematika, yang meliputi antara lain kemampuan berpikir secara deduktif, logis, dan runtut, serta memiliki kemampuan penyelesaiannya

menganalisis secara

masalah

akurat

dan

dan

mengomunikasikan

rigorous

sehingga

dapat

membangkitkan kemampuan imajinasi yang lebih abstrak. C. STANDAR KOMPETENSI DAN KOMPETENSI DASAR Standar Kompetensi: Mahasiswa mampu dalam memahami aturanaturan dasar untuk memberikan justifikasi pada teori matematika yang berkaitan dengan bilangan real dan fungsi. Kompetensi Dasar : •

Memahami sistem bilangan real dan aturan dasar yang berlaku di dalamnya.

•

Memahami

sifat

kelengkapan

bilangan

real

dan

dapat

menggunakannya untuk menunjukkan eksistensi bilangan irrasional dan bilangan rsional. •

Memahami konsep kekonvergenan barisan bilangan real dan sifatsifatnya serta dapat menerapkannya pada masalah yang memuat limit barisan.

•

Memahami konsep limit fungsi dan dapat menggu-nakannya untuk menyele-saikan masalah yang memuat limit fungsi.

•

Memahami konsep fungsi kontinu dan sifat-sifatnya serta dapat menggunakannya untuk menyelesaikan masalah yang memuat fungsi kontinu.

D. STRATEGI PERKULIAHAN Selama masa pembelajaran berlangsung, mahasiswa diharapkan untuk aktif melakukan perkuliahan. Diskusi di luar sesi tatap muka


Analisis Real I 2012 dapat dilakukan dengan membuat perjanjian terlebih dahulu. Pada setiap topik disiapkan lembar kerja mahasiswa untuk digunakan pada sesi tatap muka. Pengerjaan lembar kerja selama proses pembelajaran bukan dimaksudkan hanya untuk melakukan latihan soal, namun lebih penting lagi, sebagai bagian proses membentuk pengetahuan (construction of knowledge)

dan

pendalaman

(internalisasi)

sehingga

diharapkan

mahasiswa dapat aktif dalam diskusi di kelas. Pertanyaan-pertanyaan pada lembar kerja sudah dirancang untuk menunjang proses pembelajaran. Mahasiswa yang sudah memahami tanpa perlu mengerjakan lembar kerja lebih lanjut dapat meneruskan proses pembelajaran tanpa harus mengerjakan keseluruhan pertanyaan satu demi satu.

Secara singkat, selama pembelajaran mahasiswa

diharapkan ready to think, dan ready to work, tidak sekedar menjadi pembaca

atau

pendengar

untuk

menjamin

terjadinya

proses

pembelajaran yang efektif. Agar Anda berhasil dengan baik dalam mempelajari LKM ini, ikutilah petunjuk-petunjuk berikut ini. 1. Bacalah dengan baik pendahuluan LKM ini sehingga Anda memahami tujuan dalam mempelajari LKM ini dan bagaimana menggunakannya. 2. Bacalah bagian demi bagian materi yang ada dalam LKM ini, kalau perlu tandai kata-kata/kaliamat yang dianggap penting. 3. Pahami pengertian demi pengertian dari isi LKM ini dengan mempelajari contoh-contohnya, dengan pemahaman sendiri, tukar pikiran (diskusi) dengan rekan atau orang lain. 4. Kerjakan soal-soal latihan dalam LKM ini secara individu terlebih dahulu, apabila mendapat jalan buntu, barulah Anda melihat pekerjaan rekanan lain atau bertanya kepada pengampu mata kuliah ini. Perlu ditekankan bahwa jawaban Anda tidak perlu sama dengan petunjuk yang diberikan, karena kadang-kadang banyak cara

yang

dapat

kita

lakukan

dalam

menyelesiakan

permasalahan terutama untuk kasus-kasus diskret.


suatu

Analisis Real I 2012 Beberapa kata mutiara dari ajaran KONFUSIUS (551 – 479 SM.) disajikan disini: “Hidup miskin bukanlah hal yang memalukan, yang memalukan adalah hidup miskin dan tidak mempunyai semangat yang tinggi. Memegang posisi yang rendah tidaklah mengerikan, yang mengerikan adalah memiliki posisi rendah dan tidak meningkatkan kemampuan diri. Menjadi tua tidaklah menyedihkan, yang menyedihkan adalah menjadi tua dan telah menyia-nyiakan hidupmu.” Selamat Nguli, Semangat !!!!! ☺



BAB O METODE-METODE DALAM PEMBUKTIAN Secara kasat mata apabila dibandingkan dengan ilmu lain matematika adalah ilmu yang terdiri atas banyak sekali simbol-simbol yang dirangkai dengan sedikit kata sehingga katanya ”bisa membuat rambut yang lurus jadi keriting”. Namun apa yang sebenarnya terjadi. Matematika merupakan cabang utama dari ilmu filsafat. Yang menjadi ibu dari segala ilmu. Matematika juga dikatakan sebagai bahasa yang sangat universal. Matematika sebagai ilmu pengetahuan dengan penalaran deduktif mengandalkan pernyataan.

logika

Proses

dalam

meyakinkan

penemuan

dalam

akan

matematika

kebenaran dimulai

suatu dengan

pencarian pola dan struktur, contoh kasus dan objek matematika lainnya. Selanjutnya, semua informasi dan fakta yang terkumpul secara individual ini dibangun suatu koherensi untuk kemudian disusun suatu konjektur. Setelah konjektur dapat dibuktikan kebenarannya atau ketidakbenaranya maka selanjutnya ia menjadi suatu teorema. Pernyataan-pernyataan matematika seperti definisi, teorema dan pernyataan lainnya pada umumnya berbentuk kalimat logika, Jadi membuktikan kebenaran suatu teorema tidak lain adalah membuktikan kebenaran suatu kalimat logika. Materi logika sudah diberikan sejak di bangku SLTA. Namun selama ini, sebagian siswa atau guru masih menganggap logika sebagai materi HAPALAN. Tanpa menguasai logika maka sulit untuk terbentuknya apa yang disebut dengan logically thinking. Pola pikIr yang terbentuk pada siswa, mahasiswa, guru atau bahkan dosen selama ini lebih dominan pada algorithm thinking atau berpikir secara algoritma. Cara berpikir algoritmis dalam belajar matematika ini lebih

ditekankan

pada

memahami

langkah-langkah

dalam

menyelesaikan suatu soal, tanpa melihat lebih dalam mengapa langkah-


Analisis Real I 2012 langkah tersebut dapat dilakukan. Apabila algorithm thinking lebih mendominasi maka kita akan menjadi ”robot matematika”. Pada awalnya pekerjaan membuktikan dan memahami bukti bukanlah sesuatu yang menarik karena kita lebih banyak bergelut dengan simbol dan pernyataan logika ketimbang berhadapan dengan angka-angka yang biasanya dianggap sebagai karakter matematika. Kenyataan inilah menjadikan salah satu alasan orang malas untuk memahami bukti dalam matematika. Alasan lainnya adalah pekerjaan membuktikan lebih sulit dan tidak penting. Padahal banyak manfaat yang dapat diperoleh pada pengalaman membuktikan ini, salah satunya adalah melatih logically thinking dalam belajar matematika. Dalam artikel making mathematics yang berjudul Proof, dijelaskan secara rinci mengenai bukti dalam matematika yang meliputi what is proof, why do we prove, what do we prove, dan how do we prove. Menurut artikel tersebut, terdapat enam motivasi mengapa orang membuktikan, 1. to establish a fact with certainty, untuk meyakinkan bahwa apa

yang

selama ini dianggap benar adalah memang benar. 2. to gain understanding, untuk mendapatkan pemahaman. 3. to communicate an idea to others, untuk menyempaikan ide kepada orang lain. 4. for the challenge, untuk tantangan baru 5. to create something beautiful, untuk membuat sesuatu yang bersifat indah. 6. to construct a large mathematical theory, untuk membangun teori matematika yang lebih luas. Metoda Pembuktian Definisi memainkan peranan penting di dalam matematika. Topiktopik baru matematika selalu diawali dengan membuat definisi baru. Berangkat dari definisi dihasilkan sejumlah teorema beserta akibatakibatnya. Teorema-teorema inilah yang perlu dibuktikan. Selanjutnya, untuk memahami materi selanjutnya dibutuhkan prasyarat pengetahuan logika matematika.


Analisis Real I 2012 1. Bukti langsung Bukti langsung ini biasanya diterapkan untuk membuktikan teorema yang berbentuk implikasi p ⇒ q. Dalam hal ini p sebagai hipotesis digunakan sebagai fakta yang diketahui atau sebagai asumsi, dan dengan menggunakan p kita harus menunjukkan q berlaku. Secara logika pembuktian langsung ini ekuivalen dengan membuktikan bahwa pernyataan p ⇒ q benar dimana diketahui p benar. Contoh A Buktikan, jika x bilangan ganjil maka x2 bilangan ganjil. Bukti. Diketahui x ganjil, jadi dapat ditulis sebagai x = 2n - 1 untuk suatu bilangan bulat n. Selanjutnya, x2 = (2n - 1)2 = .......................................... = 2 (2n2 + 2) +1 = 2m + 1: m Karena m merupakan bilangan bulat maka disimpulkan x2 ganjil. 2. Bukti taklangsung Kita tahu bahwa nilai kebenaran suatu implikasi p ⇒ q ekuivalen dengan nilai kebenaran kontraposisinya ¬ q ⇒ ¬ p. Jadi pekerjaan membuktikan kebenaran pernyataan implikasi dibuktikan lewat kontraposisinya. Contoh B Buktikan, jika x2 bilangan ganjil maka x bilangan ganjil. Bukti. Pernyataan ini sangat sulit dibuktikan secara langsung. Mari kita coba saja. Karena x2 ganjil maka dapat ditulis x = ....................... untuk suatu bilangan asli m. Selanjutnya x =

2m + 1 tidak dapat disimpulkan

apakah ia ganjil atau tidak. Sehingga bukti langsung tidak dapat digunakan. Kontraposisi dari pernyataan ini adalah ”....................................................................................”. Selanjutnya diterapkan bukti langsung pada kontraposisinya. Diketahui x genap, jadi dapat ditulis x = 2n untuk suatu bilangan bulat n. Selanjutnya, x2 = ................................. = 2 (2n2) = 2m m yang merupakan bilangan genap.


Analisis Real I 2012 3.

Bukti kosong

Bila hipotesis p pada implikasi p ⇒ q sudah bernilai salah maka implikasi p ⇒ q selalu benar apapun nilai kebenaran dari q. Jadi jika kita dapat menunjukkan bahwa p salah maka kita telah berhasil membuktikan kebenaran p ⇒ q. Contoh C Didalam teori himpunan kita mengenal definisi berikut : ”Diberikan dua himpunan A dan B. Himpunan A dikatakan himpunan bagian dari B, ditulis A ⊂ B jika pernyataan berikut dipenuhi : ”jika x ∈ A maka x ∈ B”. Suatu himpunan dikatakan himpunan kosong jika ia tidak mempunyai anggota. Buktikan, himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari himpunan apapun. Bukti. Tanpa mengurangi keumuman bukti dimisalkan A =.................... suatu himpunan kosong dan B himpunan sebarang. Akan dibuktikan bahwa pernyataan ”jika x ∈ A maka x ∈ B” bernilai benar. Karena A himpunan kosong maka pernyataan p yaitu x 2 A selalu bernilai salah karena tidak mungkin ada x yang menjadi anggota himpunan kosong. Karena p salah maka terbuktilah kebenaran pernyataan ”jika x ∈ A maka x ∈ B”, yaitu A ⊂ B. Karena B himpunan sebarang maka bukti selesai. 4.

Bukti trivial

Bila pada implikasi p ⇒ q, dapat ditunjukkan bahwa q benar maka implikasi ini selalu bernilai benar apapun nilai kebenaran dari p. Jadi jika kita dapat menunjukkan bahwaq benar maka kita telah berhasil membuktikan kebenaran p ⇒ q. Contoh D. Buktikan, jika 0 < x < 1 maka 0 <

Bukti. Karena pernyataan q, yaitu 0 <

x x +1

x x +1 selalu benar untuk setiap x

bilangan real termasuk x di dalam interval (0,1) maka secara otomatis kebenaran pernyataan ini terbukti.


Analisis Real I 2012 5.

Bukti dengan kontradiksi (Reductio ad Absurdum) Metoda ini mempunyai keunikan tersendiri, tidak mudah diterima

oleh orang awam. Dalam membuktikan kebenaran implikasi p ⇒ q kita berangkat dari diketahui p dan ¬ q. Berangkat dari dua asumsi ini kita akan sampai pada suatu kontradiksi. Contoh E Misalkan himpunan A didefinisikan sebagai interval setengah terbuka yang dituliskan dengan A := [0,1). Buktikan maksimum A tidak ada. Bukti. Diketahui A := [0,1) Akan ditunjukkan bahwa maksimum A tidak ada. Andaikan maksimum A ada, katakan p. Maka haruslah 0 < p < 1, dan akibatnya

1 1 1 p < dan (p + 1) < 1. 2 2 2

Diperoleh p =

1 1 p + p 2 2

<

1 1 p + 2 2

=

1 (p + 1) < 1 2

Diperoleh dua pernyataan berikut : • p maksimum A, yaitu elemen terbesar himpunan A. • ada q ∈ A (yaitu q :=

1 (p + 1)) yang lebih besar dari p. 2

Kedua pernyataan ini kontradiktif, jadi pengandaian A mempunyai maksimum adalah salah, jadi haruslah tidak ada maksimum. Latihan Tidak ada bilangan bulat positif x dan y yang memenuhi persamaan Diophantine x2- y2 = 1. Bukti: Diketahui: …………………………………………………………………………. Akan dibuktikan: ………………………………………………………………… Andaikan…………………………………………………………………………... Maka pada ruas kiri dapat difaktorkan sehingga diperoleh ........................................................................................................... Karena x, y bulat maka persamaan terakhir ini hanya dapat terjadi bilamana …………………. dan …………………. atau ……………….. dan ………………………………………….


Analisis Real I 2012 Pada kasus pertama akan dihasilkan x = -1 dan y = 0, sedangkan pada kasus kedua dihasilkan x = 1 dan y = 0. Hasil pada kedua kasus ini bertentangan dengan hipotesis bahwa …………………………. Jadi

pengandaian

diingkar

sehingga

diperoleh…………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………… Apabila dicermati ada kemiripan bukti dengan kontradiksi dan bukti dengan kontraposisi. Namun pada dasarnya adalah berbeda dan perbedaan pada keduanya dapat dijelaskan sebagai berikut : • Pada metoda kontradiksi, kita mengasumsikan p dan ¬ q, kemudian membuktikan adanya kontradiksi. • Pada bukti dengan kontraposisi, kita mengasumsikan

¬ q, lalu

membuktikan ¬ p. Asumsi awal kedua metoda ini sama, pada metoda kontraposisi tujuan akhirnya sudah jelas yaitu membuktikan kebenaran p, sedangkan pada metoda kontradiksi tujuan akhirnya tidak pasti pokoknya sampai bertemu kontradiksi. Secara khusus jika kita sampai pada pernyataan :p maka

kontradiksi

sudah

ditemukan.

Jadi

metoda

kontraposisi

merupakan kasus khusus dari metoda kontraposisi. 6. Bukti eksistensial Ada dua tipe bukti eksitensial ini, yaitu konstruktif dan takkonstruktif. Pada metoda konstruktif, eksistensinya ditunjukkan secara eksplisit. Sedangkan

pada

metoda

takkonstruktif,

eksistensinya

tidak

diperlihatkan secara eksplisit. Contoh F Buktikan, ada bilangan irrasional x dan y sehingga xy rasional. Bukti. Sudah diketahui bahwa

2 irrasional, anggaplah kita sudah

dapat membuktikannya. Sekarang perhatikan

( 2)

2

( 2)

2

Bila ternyata

rasional maka bukti selesai, dalam hal ini diambil x = y =


2 . Bila


( 2)

2

( 2)

2

bukan rasional (yaitu irrasional), diperhatikan bahwa ⎛⎜ 2 ⎝

⎞ ⎟ ⎠

2

=

= 2 merupakan bilangan rasional.

Jadi salah satu pasangan (x,y), dengan x = y = =

2

2 , atau x =

( 2)

2

dan y

2 pasti memenuhi pernyataan yang dimaksud. Pada bukti ini hanya ditunjukkan eksistensi bilangan irrasional x

dan y tanpa memberikannya secara eksplisit. Ini dikenal dengan istilah pembuktian eksistensi non konstruktif. Contoh G (Bartle and Sherbert, 1994). Bila a dan b bilangan real dengan a berlaku nb - na > 1

1 . Untuk n ini b−a

(*)

Sekarang ambil m sebagai bilangan bulat pertama yang lebih besar dari na, dan berlaku m - 1 ≤ na < m

(**)

Dari (*) dan (**) diperoleh na < m ≤ na + 1 < nb: Bentuk terakhir ini dapat ditulis na < m < nb, dan dengan membagi semua ruas dengan n, didapat a<

m
dan dengan mengambil r :=

m maka bukti Teorema selesai. n

Dalam mebuktikan eksistensi bilangan rasional r, ditempuh dengan langkah-langkah konstruktif sehingga bilangan rasional yang dimaksud dapat

dinyatakan

secara

eksplisit.

Ini

bukti

konstruktif. 7. Bukti ketunggalan


eksistensial

dengan

Analisis Real I 2012 Dalam membuktikan ketunggalan, pertama harus ditunjukkan eksistensi suatu objek, katakan objek itu x. Ada dua pendekatan yang dapat ditempuh untuk membuktikan bahwa x hanya satu-satunya objek yang memenuhi, yaitu • Diambil objek sebarang, katakan y maka ditunjukkan y = x, atau • Misalkan y objek sebarang lainnya dengan y ≠ y, ditunjukkan adanya suatu kontradiksi. cara ini tidak lain menggunakan metoda kontradiksi seperti yang sudah dibahas sebelumnya. Contoh H Diberikan definisi limit barisan sebegai berikut : Misalkan (xn : n ∈ N) suatu barisan bilangan real. Bilangan real x dikatakan limit dari (xn : n ∈ N), dan ditulis lim(xn) = x jika dan hanya jika untuk setiap ε > 0 yang diberikan terdapat bilangan asli K sehingga x n − x < ε untuk setiap n ≥ K:

Buktikan bahwa jika limit barisan (xn) ada maka ia tunggal. Bukti. Di sini tidak diperlukan bukti eksistensi karena kita hanya akan membahas barisan yang mempunyai limit, atau eksistensinya sudah diasumsikan. Sekarang kita gunakan pendekatan kedua. Andaikan barisan X := (xn) mempunyai dua limit yang berbeda, katakan xa dan xb dengan xa ≠ xb. Diberikan ε :=

1 xb − x a 3

Karena lim(xn) = xa maka untuk ε ini terdapat Ka sehingga x n − x a < ε untuk setiap n ≥ Ka:

Juga, karena lim(xn) = xb maka terdapat Kb sehingga x n − xb < ε untuk setiap n ≥ Kb:

Sekarang untuk n ≥ maks {K a , K b } maka berlaku x a − xb = x a − x n + x n − xb

≤ x n − x a + x n − xb < ε + ε =

2 x a − xb 3


Analisis Real I 2012 Akhirnya

diperoleh

x a − xb <

2 x a − xb 3

suatu

pernyataan

yang

kontradikstif. Pengandaian xa ≠ xb salah dan haruslah xa = xb , yaitu limitnya mesti tunggal. 8.

Bukti dengan counter example

Pembuktian ini dilakukan dengan cara menemukan satu saja kasus yang tidak memenuhi konjektur tersebut maka selesailah urusannya dengan kata lain konjektur terbukti. n

Contoh I Untuk setiap n bilangan asli maka 2 2 + 1 merupakan bilangan prima. Bukti. Pernyataan ini berlaku untuk setiap bilangan asli n. Tapi bila bila n0

ditemukan satu bilangan asli, katakan n 0 dan 2 2 + 1 tidak prima (komposit) maka konjektur ini tidak benar. Diperhatikan beberapa kasus berikut, untuk n = 1 diperoleh bilangan 5, n = 2 menghasilkan 17, n = 3 menghasilkan 257 dan n = 4 menghasilkan 65537. Keempat bilangan ini prima. Coba perhatikan untuk n = 5, diperoleh 225 + 1 = 4294967297 = (641)(6700417). Ternyata bukan prima. Nah, n = 5 merupakan contoh penyangkalan (counter example). Akhirnya disimpulkan bahwa konjektur ini salah. 9.

Bukti dengan induksi matematika

Induksi matematika adalah cara standar dalam membuktikan bahwa sebuah pernyataan tertentu berlaku untuk setiap bilangan asli. Misalkan untuk setiap bilangan asli n kita mempunyai pernyataan P (n ) . Pembuktian dengan induksi matematika terdiri dari dua langkah yaitu: 1. Basis Induksi. Menunjukkan bahwa pernyataan yang akan dibuktikan berlaku untuk bilanganDengan kata lain tunjukkan bahwa P (1) benar. 2. Langkah Induksi Menunjukkan bahwa jika pernyataan itu berlaku untuk bilangan n maka pernyataan itu juga berlaku untuk bilangan ( n + 1) . Caranya :


Analisis Real I 2012 a. Asumsikan bahwa pernyataan tersebut benar untuk n = k . P (k ) untuk suatu k tertentu dalam kasus ini disebut hipotesa induksi. b. Tunjukkan bahwa jika pernyataan tersebut benar untuk n = k , maka pernyataan tersebut juga benar untuk n = (k + 1) . c.

Dengan terbukti (a) dan (b) maka dengan induksi matematika dapat disimpulkan bahwa pernyataan tersebut berlaku untuk setiap bilangan asli n.

10. Bukti dua arah Ada kalanya suatu pernyataan berupa bi-implikasi, p ⇔ q. Ada dua kemungkinan bi-implikasi bernilai benar p ⇔ q yaitu p benar dan q benar, atau p salah dan q salah. Dalam prakteknya, pernyataan ini terdiri dari p ⇒ q dan q ⇒ p. Membuktikan kebenaran bi-implikasi p ⇔ q berarti membuktikan kebenaran kedua implikasi p ⇒ q dan q ⇒ p. Selanjutnya dapat menggunakan bukti langsung, taklangsung atau mungkin dengan kontradiksi. Contoh J Buktikan, suatu bilangan habis dibagi sembilan jika hanya jika jumlah angka-angka pembangunnya habis dibagi sembilan. Bukti. Sebelum kita buktikan, dijelaskan terlebih dulu maksud dari pernyataan ini dengan contoh berikut. Ambil bilangan 135, 531, 351, 513, 315, 153, maka semuanya habis dibagi 9. Coba periksa satu per satu. Misalkan p suatu bilangan bulat, maka dapat disajikan dalam bentuk p = xnxn-1xn-2..... x2x1 x0 dimana xn ≠ 0; xn-1,.....,x0 bilangan bulat taknegatif. Sedangkan nilai p ini dapat ditulis dalam bentuk berikut : p = x0 + x1101 + x2102 + . . . + xn10n Jumlah angka-angka pembangunnya adalah s = x0 + x1 + x2 + . . . + xn. Pertama dibuktikan ( ⇒ ), yaitu diketahui p habis dibagi 9, dibuktikan s habis dibagi 9. Karena p habis dibagi 9 maka dapat ditulis p = 9k untuk suatu bilangan bulat k. Diperhatikan selisih p - s, p - s = x0 + x1101 + x2102 + . . . + xn10n – (x0 + x1 + x2 + . . . + xn)


Analisis Real I 2012 = (10 - 1)x1 + (102 - 1)x2 + . . . + (10n - 1)xn Diperhatikan bilangan pada ruas kanan selalu habis dibagi sembilan, misalnya ditulis 9m untuk suatu bilangan bulat m. Jadi diperoleh 9k - s = 9m ⇒ s = 9(k - m) yaitu s habis dibagi 9. Selanjutnya dibuktikan ( ⇐ ), yaitu diketahui s habis dibagi 9, dibuktikan p habis dibagi 9. Diperhatikan p = x0 + x1101 + x2102 + . . . + xn10n = x0 + x1 (101-1) + x2 (102 -1)+ . . . + xn (10n -1) + x1 + x2 + . . . + xn. = [x0 + x1 + x2 + . . . + xn ] + [x1 (101-1) + x2 (102 -1)+ . . . + xn (10n -1)] s Karena bilangan pada kelompok pertama dan kelompok kedua habis dibagi 9 maka terbukti p habis dibagi 9. Metode-metode

pembuktian

tersebut

nantinya

yang

dapat

digunakan dalam memahami mata kuliah Analisis Real I ini. Tak bisa dipungkiri bahwa belajar matematika dengan cara memahami bukti tidaklah mudah. Dibutuhkan waktu untuk memahami matematika sebagai bahasa logika. Juga, dibutuhkan wawasan matematika yang luas untuk belajar membuktikan fakta-fakta yang lebih rumit. Oleh karena itu, awalilah dengan memahami hal-hal yang bersifat dasar, terutama pahami definisi, sehingga kebelakangnya anda dapat menyelesaikan halhal yang lebih kompleks.



BAB I SISTEM BILANGAN REAL KOMPETENSI DASAR 1. Memahami sistem bilangan real dan aturan dasar yang berlaku di dalamnya. 2. Memahami sifat kelengka-pan bilangan real dan dapat menggunakannya untuk menunjukkan eksistensi bilangan irrasional dan bilangan rsional INDIKATOR: Setelah melakukan proses belajar mengajar mahasiswa mampu : 1. Menyebutkan aksioma bilangan real 2. Memahami teorema dasar yang langsung diturunkan dari aksioma 3. Memahami operasi dan himpunan bagian pada bilangan real. 4. Memahami sifat urutan pada bilangan real 5. Memahami ketidaksamaan akar & kuadarat 6. Memahami rata-rata aritmatika-geometri 7. Memahami ketaksamaan Bernoulli dan Cauchy. 8. Memahami definisi dan sifat harga mutlak 9. Memahami pengertian himpunan terbatas. 10.

Memahami pengertian supremum dan infimum dan

sifatnya. SUB POKOK BAHASAN : 1.1.

Konsep dan Struktur Bilangan

1.2.

Himpunan Bilangan Real

1.3.

Aksioma Bilangan Real dan Beberapa Aturan Dasar

1.1. Konsep dan Struktur Bilangan


Analisis Real I 2012 Bilangan real yang biasa dinotasikan dengan ℜ memainkan peranan yang sangat penting dalam Kalkulus. Untuk itu, pertama kali akan diberikan beberapa fakta dan terminologi dari bilangan real. Namun sebelum membahas bilangan real lebih lanjut, ada baiknya diingat kembali definisi bilangan-bilangan yang lain. Pengertian macam-macam bilangan secara umum dapat diuraikan sebagai berikut: 1. Bilangan kompleks Himpunan

bilangan

yang terbesar di dalam

matematika

adalah himpunan bilangan komleks. Himpunan bilangan real yang kita pakai sehari-hari merupakanhimpunan bagian dari himpunan bilangan kompleks ini.Secara umum bilangan kompleks terdiri dari dua bagian: bagian real dan bagian imajener (khayal). 2. Bilangan Real (Bilangan Nyata) Bilangan nyata adalah semua bilangan yang dapat ditemukan pada garis bilangan dengan cara penghitungan, pengukuran, atau bentuk geometrik. Bilangan-bilangan tersebut ada di dunia nyata. Ada berbagai macam bilangan yang termasuk dalam bilangan nyata. Bilangan Real juga dikenal sebagai suatu bilangan yang terdiri dari bilangan rasional dan bilangan irasional. Bilangan real biasanya disajikan dengan sebuah garis bilangan.

3. Bilangan Imajiner Bilangan

imajiner adalah

apabila

sebuah

bilangan

bukan

merupakan bilangan nyata (dalam artian bilangan tersebut bukan merupakan bilangan rasional maupun irasional), maka bilangan tersebut dikatakan imajiner. 4. Bilangan Rasional Bilangan rasional adalah bilangan Real yang dapat disusun ulang dalam bentuk pecahan

di mana a dan b harus merupakan bilangan


Analisis Real I 2012 bulat. Jadi, Bilangan irasional adalah bilangan Real yang TIDAK dapat disusun ulang dalam bentuk pecahan

.

5. Bilangan Irasional Bilangan irasional adalah suatu bilangan yang terdapat pada suatu garis bilangan yang tidak dapat di alokasikan dengan cara biasa karena bilangan ini tidak dapat digambarkan seperti halnya bilangan rasional. 6. Bilangan Bulat Bilangan bulat adalah bilangan non pecahan yang terdiri dari bilangan: Bulat positif (1, 2, 3, 4, 5, …), Nol (0), dan Bulat Negatif ( …,-5,-4,-3,-2,-1) Di dalam bilangan bulat terdapat bilangan genap dan ganjil :

•

Bilangan bulat genap adalah bilangan yang habis dibagi dengan 2 yaitu { …, -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, … }

•

Bilangan bulat ganjil adalah bilangan yang apabila dibagi 2 tersisa -1 atau 1 yaitu { …, -5, -3, -1, 1, 3, 5, … }

7. Bilangan Pecahan

•

Bilangan pecahan merupakan bilangan yang mempunyai jumlah kurang atau lebih dari utuh.

•

Terdiri dari pembilang dan penyebut.

•

Pembilangan merupakan bilangan terbagi.

•

Penyebut merupakan bilangan pembagi

Macam-macam pecahan ; a. Pecahan biasa Bilangan pecahan yang hanya terdiri atas pembilang dan penyebut. b. Pecahan Campuran Bilangan pecahan yang terdiri atas bilangan utuh, pembilang dan penyebut. c. Pecahan Desimal Merupakan bilangan yang didapat dari hasil pembagian suatu bilangan dengan 10, 100, 1.000, 10.000 dst.


Analisis Real I 2012 d. Pecahan Persen Persen artinya perseratus. Merupakan suatu bilangan dibagi dengan seratus. e. Pecahan Permil Permil artinya perseribu. Merupakan suatu bilangan dibagi seribu, ditulis dengan tanda ‰ 8. Bilangan Cacah a. Menurut Kamus Besar Bahasa Indonesia (1990:116) “bilangan cacah adalah satuan dalam sistem matematis yang abstrak dan dapat diunitkan, ditambah atau dikalikan”. “Himpunan bilangan cacah” adalah himpunan yang semua unsur-unsurnya bilangan cacah {0, 1, 2, 3, 4, 5, ….}. (Cholis Sa’dijah, 2001: 93). b. Menurut Muchtar A. Karim, Abdul Rahman As’sari, Gatot Muhsetyo dan Akbar Sutawidjaja (1997: 99) bilangan cacah dapat didefinisikan menyatakan

sebagai cacah

bilangan

anggota

yang

suatu

digunakan

himpunan.

Jika

untuk suatu

himpunan tidak mempunyai anggota sama sekali, maka cacah anggota himpunan itu dinyatakan dengan “nol” dan dinyatakan dengan lambang “0”. Jika anggota suatu himpunan hanya terdiri atas satu anggota saja, maka cacah anggota himpunan tersebut adalah “satu” dan dinyatakan dengan lambang “1”. Demikian seterusnya

sehingga

kita

mengenal

barisan

bilangan

hasil

pencacahan himpunan yang dinyatakan dengan lambing 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, . . . sebagai bilangan cacah. c. Menurut ST. Negoro dan B. Harahap (1998: 41) menyatakan bahwa “bilangan cacah adalah himpunan bilangan yang terdiri atas semua bilangan asli dan bilangan nol”. 9. Bilangan Asli Bilangan asli merupakan salah satu konsep matematika yang paling sederhana dan termasuk konsep pertama yang bisa dipelajari dan dimengerti oleh manusia. Bilangan asli adalah suatu bilangan yang mulamula dipakai untuk membilang. Bilangan asli dimulai dari 1,2,3,4,... 10.

Bilangan Prima


Analisis Real I 2012 Bilangan prima yaitu bilangan yang hanya dapat dibagi oleh bilangan 1 dan bilangan itu sendiri. Semua anggota bilangan prima adalah bilangan ganjil kecuali 2. 11.

Bilangan Komposit

Bilangan komposit adalah bilangan asli lebih besar dari 1 yang bukan merupakan bilangan

prima.

Bilangan

komposit

dapat

dinyatakan

sebagai faktorisasi bilangan bulat, atau hasil perkalian dua bilangan prima atau lebih. Sepuluh bilangan komposit yang pertama adalah 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, dan 18. Atau bisa juga disebut bilangan yang mempunyai faktor lebih dari dua. Beberapa hubungan antar bilangan di atas dapat digambarkan dalam diagram berikut:

Bilangan Komplek

Bilangan Khayal

Bilangan Real (R)

Bilangan Rasional (Q)

Bilangan Irasional (I)

Bilangan Pecahan

Bilangan Bulat (Z)

Bilangan Bulat Negatif

Bilangan Cacah (C)

Nol (0)

Bilangan Asli (N)

Secara umum dalam sistem bilangan, himpunan semua bilangan asli

dilambangkan

dengan

N.

Himpunan

semua


bilangan

cacah

Analisis Real I 2012 dilambangkan dengan C. Himpunan semua bilangan bulat dilambangkan dengan himpunan Z. Bilangan-bilangan real yang dapat ditulis dalam bentuk

p dengan p,q ∈ Z disebut bilangan pecahan. Gabungan antara q

himpunan bilangan bulat dengan bilangan pecahan disebut bilangan rasional

atau

terukur

dan

himpunan

semua

bilangan

rasional

dilambangkan dengan Q. Bilangan-bilangan real yang bukan bilangan rasional disebut bilangan irasional atau tak terukur dan himpunan semua bilangan dilambangkan (I). Bilangan diluar bilangan real disebut bilangan khayal atau imajiner, dan gabungan antara bilangan real dan imajiner inilah yang dikenal sebagai bilangan kompleks. Lembar Kerja 1 1. Gambarkan hubungan ke sebelas jenis bilangan yang telah dipaparkan dalam sub bab ”Konsep dan Struktur Bilangan” dalam diagram Venn. Jawab:


Analisis Real I 2012 2. Buatlah gambar himpunan jenis bilangan tersebut dalam garis bilangan! Jawab: ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. 3. Selain jenis bilangan di atas apakah ada jenis bilangan lain yang pernah anda kenal? Jawab: ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. .................................................................................................................


Analisis Real I 2012 .................................................................................................................



1.2. Himpunan Bilangan Real Sub bab ini menjelaskan tentang hal-hal yang berkaitan dengan dengan himpunan dan sistem bilangan real sebagai suatu sistem matematika yang memiliki sifat-sifat sebagai suatu lapangan yang terurut dan lengkap yaitu bahwa pada himpunan semua bilangan real R yang dilengkapi dengan operasi penjumlahan dan perkalian berlaku sifat-sifat aljabar dari lapangan. Sifat terurut dari R berkaitan dengan konsep kepositifan dan ketidaksamaan antara dua bilangan real, sedangkan sifatnya yang lengkap berkaitan dengan konsep supremum atau batas atas terkecil. Teorema-teorema dasar dalam kalkulus elementer, seperti Teorema Eksistensi Titik Maksimum dan Minimum, Teorema Nilai Tengah, Teorema Rolle, Teorema Nilai Rata-Rata, dan sebagainya, didasarkan atas sifat kelengkapan dari R ini. Sifat ini berkaitan erat dengan konsep limit dan kekontinuan. Dapat dikatakan bahwa sifat kelengkapan dari R mempunyai peran yang sangat besar di dalam analisis real. 1.3. Aksioma Bilangan Real dan Beberapa Aturan Dasar Definisi 1.1 (Sifat Aljabar dari Bilangan Real) Sistem bilangan R adalah suatu sistem aljabar yang terhadap operasi jumlahan (+) dan operasi perkalian ( o ) mempunyai sifat-sifat sebagai berikut: A. (R, +) Grup komutatif, yaitu: (A1). ∀a, b ∈ ℜ, a + b ∈ ℜ

(Tertutup)

(A2). ∀a, b, c ∈ ℜ, a + (b + c ) = (a + b ) + c

(Assosiatif)

(A.3). ∃!o ∈ ℜ, ∀a ∈ ℜ, a + o = o + a = a

(ada elemen Netral ⊕)

(A.4). ∀a ∈ ℜ, ∃!−a ∈ ℜ, a + (− a ) = o = −a + a

(Ada elemen Invers ⊕)

(A.5). ∀a, b ∈ ℜ, a + b = b + a

(Komutatif)

B. (R-{0}, o ) Grup Komutatif, yaitu

(M1). ∀a, b ∈ ℜ − {0}, a o b ∈ ℜ − {0}

(Tertutup)

(M2). ∀a, b, c ∈ ℜ − {0}, a o (b o c ) = (a o b ) o c

(Assosiatif)

(M3). ∃!1 ∈ ℜ − {0}, ∀a ∈ ℜ − {0},1 o a = a o 1 = a

(Ada elemen satuan)


Analisis Real I 2012 1 1 1 (M4). ∀a ∈ ℜ − {0}, ∃! ∈ ℜ − {0}, a o = o a = 1 (Ada el invers ditulis a −1 ) a a a

(M5). ∀a, b ∈ ℜ − {0}a o b = b o a

(komutatif)

C. (ℜ,+,o) distributif

∀a, b, c ∈ ℜ, a o (b + c ) = a o b + a o c Selanjutnya anggota ℜ disebut sistem bilangan Real / bilangan nyata. Teorema 1.2 (a). Jika z dan a ∈ ℜ, z + a = a, maka z = 0 (b). Jika u, b ∈ ℜ dengan b ≠ o dan u o b = b, maka u = 1 Bukti: (a). Diketahui z , a ∈ ℜ, z + a = a Akan ditunjukkan bahwa z = 0 Menurut

(A4)

(z + a ) + (− a ) = a + (− a )

(A2)

z + (a + (− a )) = a + (− a )

(A4)

z+0

(A3)

=0 z

=0

(b). Diketahui u , b ∈ ℜ, b ≠ 0, u ⋅ b = b (M4) (u o b ) o b −1 = b o b −1

(

)

(M2) u o b o b −1 = b o b −1 (M4) u o 1

=1

(M3) u

=1

Teorema 1.3. (a). Jika a, b ∈ ℜ, a + b = 0 maka b = −a (b). Jika a ≠ 0, b ∈ ℜ, a o b = 1 maka b =

1 a

Bukti : (a). Diketahui a, b ∈ ℜ, a + b = 0 (A4)

(− a ) + (a + b) = (− a ) + 0

(A2)

((− a ) + a ) + b = (− a ) + 0

(A4)

0 + b = (− a ) + 0

(A3)

b = −a


Analisis Real I 2012 (b). Latihan! Diketahui.................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ...................................................................................... Teorema 1.4 Misal a, b ∈ ℜ , maka (a). Persamaan a + x = b mempunyai penyelesaian tunggal x = (− a ) + b (b). Jika a ≠ 0, persamaan a o x = b mempunyai penyelesaian tunggal ⎛1⎞ x = ⎜ ⎟ob ⎝a⎠

Bukti: (a). Dengan (A2) (A4) & (A3) didapat

a + ((− a ) + b ) = (a + (− a )) + b = 0 + b = b

Q

a + x = b mempunyai penyelesaian x = (− a ) + b

Misal x1 juga penyelesaian, maka diperoleh:

a + x1 = b (A4) (− a ) + (a + x1 ) = (− a ) + b (A2) (− a + a ) + x1 = (− a ) + b (A4)

0 + x1 = (− a ) + b

(A3)

x1 = (− a ) + b


Analisis Real I 2012 (b). Latihan ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. .............................................................. Teorema 1.5. Jika a ∈ ℜ sebarang, maka (a). a o 0 = 0

(c). − (− a ) = a

(b). (− 1) o a = −a

(d). (− 1) o (− 1) = 1

Bukti: (M 3)

(a). a ∈ ℜ ⇒

a o1 = a

⇒

a + a o 0 = a o1+ a o 0

(c )

= a o (1 + 0 ) A3

= a o1 = a

Q

a+ao0 = a

Th (1a )

⇒

ao0 = 0

(M 3)

(b). a + (− 1) o a = 1 o a + (− 1) o a (c )

= (1 + (− 1)) o a

( A4 )

=

0oa

(a )

=

Q

a + (− 1) o a = 0

0 Th ( 2 a )

⇒

(− 1) o a = −a


Analisis Real I 2012 (c). Dari A4 ⇒ (− a ) + a = 0 Th 2 a

⇒ a = −(− a )

(d). Dari b, a diganti − 1 ⇒ (− 1) o (− 1) = −(− 1) (c )

⇒(− 1) o (− 1) = 1 Teorema 1.6 Diberikan a, b, c ∈ ℜ (a). Jika a ≠ 0 maka

1 1 ≠ 0 dan =a 1 a a

(b). Jika a o b = a o c, a ≠ 0, maka b = c (c). Jika a o b = 0

, maka a = 0 atau b = 0

Bukti: (a). a ≠ 0 ⇒

1 ada a

Andaikan

(M 3) 1 1 = 0 , maka 1 = o a = 0 o a = 0 Kontradiksi. a a 2b

Jadi

Th 1 1 o a =1⇒ a = 1 a a

(b). a ≠ 0 ⇒

1 ≠ 0 sehingga dari yang diketahui: a

aob = aoc 1 1 o (a o b ) = o (a o c ) a a

1o b = 1o c b=c (c). Misalkan a ≠ 0 ⇒ harus dibuktikan b = 0 . Karena a ≠ 0 , maka

1 1 ⎛1⎞ ≠ 0 . Oleh karena itu ⎜ ⎟ o (a o b ) = o 0 a a ⎝a⎠

(diketahui) 1o b = 0

b=0

Sifat Terurut dari ℜ Sifat

terurut

dari

R

berkaitan

dengan

konsep

kepositifan

dan

ketidaksamaan antara dua bilangan real. Seperti apa kedua konsep


Analisis Real I 2012 tersebut? Di sini, kita akan membahasnya. Terlebih dahulu kita akan membahas konsep kepositifannya. (Sifat Kepositifan). Terdapat himpunan bagian tak kosong dari R , yang dinamakan himpunan bilangan real positif Ρ ∈ ℜ sehingga memenuhi: (1). a, b ∈ Ρ ⇒ a + b ∈ Ρ (2). a, b ∈ Ρ ⇒ a o b ∈ Ρ (3). ∀a ∈ ℜ , tepat satu berlaku : a ∈ Ρ, a = 0, − a ∈ Ρ (sifat Trichotomi) Selanjutnya P disebut himpunan bilangan real positif. Sifat Trichotomy ini mengatakan bahwa R dibangun oleh tiga buah himpunan yang disjoin. Tiga buah himpunan tersebut adalah himpunan

{− a : a ∈ P}

yang merupakan himpunan bilangan real negatif, himpunan

{0} , dan himpunan bilangan real positif

.

Kesepakatan : a ∈ Ρ ⇒ a disebut bilangan Real Positif, ditulis a > 0 − a ∈ Ρ ⇒ a disebut bilangan Real Negatif, ditulis a < 0

a ∈ Ρ ∪ {0} ⇒ a disebut bilangan real non negatif, ditulis a ≥ 0 − a ∈ Ρ ∪ {0} ⇒ a disebut bilangan real non positif, ditulis a ≤ 0

a − b ∈ Ρ ⇒ ditulis a > b atau b < a a − b ∈ Ρ ∪ {0} ⇒ a ≥ b atau b ≤ a

a < b < c ⇒ a < b dan b < c a ≤ b ≤ c ⇒ a ≤ b dan b ≤ c Penjumlahan

k

buah suku elemen 1 menghasilkan bilangan

k.

Himpunan bilangan k yang dikonstruksi dengan cara demikian disebut sebagai himpunan bilangan asli, dinotasikan dengan N . Himpunan N ini merupakan himpunan bagian dari himpunan

. Himpunan ini memiliki

sifat fundamental, yakni bahwa setiap himpunan bagian tak kosong dari N memiliki elemen terkecil. Sifat yang demikian disebut sebagai sifat

well-ordering dari N . Selanjutnya, jika kita ambil sembarang k ∈ N maka − k ∈ N− . Gabungan himpunan N ,

{0} ,

dan

{−k : k ∈ N}

membentuk suatu

himpunan yang disebut sebagai himpunan bilangan bulat, dinotasikan dengan Z . Himpunan bilangan asli N disebut juga sebagai himpunan


Analisis Real I 2012 bilangan bulat positif, dinotasikan dengan Z + , sedangkan himpunan

{−k : k ∈ Z}

disebut juga himpunan bilangan bulat negatif, dinotasikan

dengan Z − . Dari himpunan Z , kita bisa mengonstruksi bilangan dalam bentuk m / n , dengan n ≠ 0 . Bilangan real yang dapat direpresentasikan dalam

bentuk

yang

demikian

disebut

sebagai

bilangan

rasional.

Sebaliknya, bilangan real yang tidak dapat direpresentasikan dalam bentuk itu disebut sebagai bilangan irasional. Himpunan bilangan rasional dinotasikan dengan Q . Dapat dikatakan bahwa himpunan bilangan real R merupakan gabungan dua himpunan disjoin, himpunan bilangan rasional dan himpunan bilangan irasional. Bilangan 2 dan 0 merupakan contoh bilangan-bilangan rasional, dan dapat ditunjukkan bahwa

2 , akar dari persamaan x 2 = 2 , merupakan contoh bilangan

irasional. Sekarang, kita sampai kepada penjelasan tentang konsep ketidaksamaan antara dua bilangan real, sebagai salah satu konsep yang berkaitan dengan sifat terurut dari R . Teorema 1.7 Diberikan a , b, c ∈ ℜ (1). a > b dan b > c ⇒ a > c (2). Tepat satu berlaku : a > b, a = b, a b dan b > c , maka a − b ∈ Ρ dan b − c ∈ Ρ , sehingga menurut (1) didapat (a − b ) + (b − c ) = a − c ∈ Ρ . D.k.l a > b (2). Dengan Trichotomi, tepat satu berlaku :

a −b∈Ρ

,a − b = 0

,−(a − b ) ∈ Ρ

a>b

a=b ,

a
,

(3). Andaikan a ≠ b , maka a b , kontradiksi dengan yang diketahui. Teorema 1.8 Diberikan a ∈ ℜ (1). a ≠ 0 ⇒ a 2 > 0 (2). 1 > 0 (3). ∀n ∈ Ν ,

n>0


Analisis Real I 2012 Bukti: (1). Menurut sifat Trichotomi, untuk a ≠ 0 , maka a ∈ Ρ atau − a ∈ Ρ Dengan sifat urutan (2) a o a = a 2 ∈ Ρ atau (− a ) o (− a ) = a 2 ∈ Ρ. Jadi a 2 > 0 (2). Dari (1) : 1 ≠ 0 ⇒ 12 ∈ Ρ. Jadi 1 > 0 1o1 = 1

(3). Dengan induksi matematika: i) n = 1 ⇒ 1 > 0

benar karena (2)

ii) Dianggap benar untuk n = k Karena 1 ∈ Ρ & k ∈ Ρ maka dengan sifat urutan (1) :

k + 1 ∈ Ρ Q k + 1 > 0 . Jadi n > 0, ∀n Teorema 1.9 Diketahui a, b, c, d ∈ ℜ (1). a > b ⇒ a + c > b + c (2). a > b ∧ c > d ⇒ a + c > b + d (3). a > b ∧ c > 0 ⇒ ac > bc

a > b ∧ c < 0 ⇒ ac < bc (4). a > 0 ⇒ 1 > 0 a

a<0⇒ 1 <0 a Bukti: (1). Dari a > b, maka a − b ∈ Ρ. a −b

(a + c ) − (b + c ) = ∈ Ρ ⇒ a + c > b + c (2). Karena a > b ∧ c > d maka a − b ∈ Ρ dan c − d ∈ Ρ Dengan sifat urutan (1) : (a − b ) + (c − d ) = (a + c ) − (b + d ) ∈ Ρ Q a+c >b+d

(3). Dari a > b dan c > 0 , maka a − b ∈ Ρ dan c ∈ Ρ Dengan sifat urutan (2) : (a − b ) o c ∈ Ρ

ac − bc ∈ Ρ Q ac > bc

(4). Latihan.


Analisis Real I 2012 ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. .............................................................. Teorema 1.10 Jika a 0 ⇒ dan

1 1 1 > 0 ⇒ ⋅ 2a < (a + b ) 1 2 2 2 a < (a + b ) 0 maka a = 0 Bukti: Andaikan a ≠ 0, a > 0 . Dengan Teorema sebelumnya, 0 < bilangan ε 0 =

1 a < a . Diambil 2

1 a , maka 0 < ε 0 < a . Kontradiksi dengan yang diketahui : 2

0 ≤ a ≤ ε , ∀ε > 0 Q Pengandaian a ≠ 0 salah

Teorema 1.12 (Teorema Ketidaksamaan Bernoulli)

x ∈ ℜ dan x > −1 maka (1 + x ) ≥ 1 + nx, ∀n ∈ Ν n


Analisis Real I 2012 Bukti: Dengan induksi matematika: i) n = 1 ⇒ (1 + x ) ≥ 1 + x benar ii) Dianggap benar untuk n = k :

(1 + x )k

≥ 1 + kx

iii) n = k + 1

(1 + x )k +1 = (1 + x )k ⋅ (1 + x ) ≥ (1 + kx )(1 + x ) = 1 + (k + 1)x + kx 2 ≥ 1 + (k + 1)x

(1 + x )n ≥ 1 + nx .

Q

HARGA MUTLAK Definisi 1.13 (Nilai Mutlak) Nilai mutlak dari bilangan real

a,

dinotasikan dengan a , didefinisikan dengan

⎧ a, a ≥ 0 a := ⎨ ⎩−a, a < 0. Nilai mutlak dari bilangan-bilangan real ini memiliki sifat-sifat tertentu, di antaranya seperti yang tertuang dalam fakta berikut ini. Teorema 1.14 1. a = 0 ⇔ a = 0 2. − a = a 3. ab = a b untuk setiap a, b ∈ R . 4. Misalkan c ≥ 0 dan a ∈ R , a ≤ c jika dan hanya jika −c ≤ a ≤ c . 5. Misalkan c ≥ 0 dan a ∈ R , a ≥ c jika dan hanya jika a ≥ c atau a ≤ −c . 6. − a < a < a

,

∀a ∈ ℜ

Bukti: 1. Jelas dari definisi 2. a ∈ ℜ i) a = 0 ⇒ −a = 0 ⇒ − a = a ii) a > 0 ⇒ −a < 0 ⇒ a = a = −(− a ) = − a iii) a < 0 ⇒ −a > 0 ⇒ − a = −a = a


Analisis Real I 2012 3. Diberikan a, b ∈ ℜ . Jika a = 0 atau b = 0 maka ab = 0 = 0 dan a b = 0 . Jika a, b > 0 maka ab > 0 , a = a , dan b = b , sehingga ab = ab dan a b = ab . Jika

a > 0 dan b < 0 maka ab < 0 ,

a = a , dan

b = −b ,

sehingga ab = − ab dan a b = a ( −b ) = − ab . Untuk kasus a < 0 dan b > 0 , penyelesaiannya serupa dengan kasus sebelumnya. 4. Misalkan a ≤ c . Untuk a ≥ 0 , kita peroleh a = a ≤ c , sehingga didapat

0 ≤ a ≤ c . Untuk a ≤ 0 , kita peroleh a = − a ≤ c atau a ≥ −c , sehingga didapat −c ≤ a ≤ 0 . Dengan menggabungkan hasil dari kedua kasus tersebut, kita peroleh − c ≤ a ≤ c . Untuk sebaliknya, misalkan − c ≤ a ≤ c . Hal tersebut mengandung arti −c ≤ a dan a ≤ c . Dengan kata lain, − a ≤ c dan a ≤ c . Lebih sederhana,

yang demikian dapat dituliskan sebagai a ≤ c . 5. Misalkan a ≥ c . Untuk a ≥ 0 , kita peroleh a = a ≥ c . Untuk a ≤ 0 , kita peroleh kedua

a = − a ≥ c atau a ≤ −c . Dengan menggabungkan hasil dari

kasus

tersebut,

kita

peroleh

a≥c

atau

a ≤ −c .

Untuk

sebaliknya, jika a ≥ c atau a ≤ −c maka a ≥ c atau − a ≥ c . Dengan kata lain, a ≥ c . 6. Jelas bahwa

a ≥ 0 dan oleh karena itu menurut (4) diperoleh

− a
dengan

Ketidaksamaan

Segitiga.

Ketidaksamaan

ini

mempunyai kegunaan yang sangat luas di dalam matematika, khususnya di dalam kajian analisis dan aljabar. Teorema 1.15 (Teorema Ketaksamaan Segitiga) Untuk a, b,∈ ℜ, a + b ≤ a + b Bukti: Untuk a, b ∈ ℜ

: − a ≤a≤ a − b ≤b≤ b


Analisis Real I 2012 Diperoleh : − a − b ≤ a + b ≤ a + b (4 )

− (a + b ) ≤ a + b ≤ a + b ⇒ a + b ≤ a + b Akibat 1.16 (1). a − b ≤ a − b (2). a − b ≤ a + b Bukti: 1). Untuk a, b ∈ ℜ (i) a = a − b + b ≤ a − b + b (ii) b − b − a + a ≤ b − a + a = − (a − b ) + a = a − b + a Sehingga

a − b ≤ a −b

dari (i)

b − a ≤ a −b

atau − a − b ≤ a − b

dari (ii)

Jadi

− a −b ≤ a − b ≤ a−b D.k.l a − b ≤ a−b

2). a − b = a + (− b ) ≤ a + − b = a + b

Contoh 1.17 Tentukan Μ > 0 sehingga f ( x ) ≤ Μ, ∀x ∈ [1,4] dengan f ( x ) = Jawab: f (x ) =

2 x 2 + 3x + 4 2 x 2 + 3x + 4 = 5x − 1 5x − 1

2 x 2 + 3x + 4 ≤ 2 x 2 + 3x + 4 = 2 x 2 + 3x + 4

≤ 2 ⋅ 16 + 3 ⋅ 4 + 4 = 48 5x − 1 ≥ 5 ⋅1 − 1 = 4


2 x 2 + 3x + 4 5x − 1

Analisis Real I 2012 f (x ) =

2 x 2 + 3x + 4 48 ≤ = 12 = Μ, ∀x ∈ [1,4] . 15 x − 1 4

Lembar Kerja 2. 1. Cari semua penyelesaian dari ketidaksamaan x 2 − x < 6 . Jawaban. Perhatikan bahwa x 2 − x < 6 ⇔ x 2 − x − 6 < 0 ⇔ ( x + 2 )( x − 3 ) < 0 .

Dari sini diperoleh bahwa x + 2 > 0 dan x − 3 < 0 , atau ……………. dan ………………………. Untuk kasus yang pertama kita dapatkan x > −2 dan x < 3 , atau dengan kata lain ………………. Untuk kasus yang kedua kita peroleh bahwa x < −2 dan x > 3 . Perhatikan bahwa pada kasus kedua tersebut tidak ada nilai x yang memenuhinya. Dengan demikian,

ketidaksamaan

x2 − x < 6

dipenuhi

oleh

semua

x ∈ {x ∈ R : −2 < x < 3} . ■ 2. Selidiki apakah ketidaksamaan

x−2 >2 2x + 3 memiliki penyelesaian. Jawaban: ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………….. 3. Cari himpunan penyelesaian dari 2 x + 1 < 5 .


Analisis Real I 2012 Jawaban: ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………….. 4. Tentukan himpunan penyelesaian dari

.

Jawaban: ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………


Analisis Real I 2012 ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………… 5. Selidiki apakah ketidaksamaan x − 3 + x + 2 ≤ 4 memiliki penyelesaian. Jawaban: ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………


Analisis Real I 2012 Sifat Kelengkapan ℜ Sifat kelengkapan berkaitan dengan konsep supremum atau batas atas terkecil. Untuk itu, kita akan bahas terlebih dahulu apa yang dimaksud dengan batas atas dari suatu himpunan bilangan real, dan kebalikannya, yaitu batas bawahnya. Definisi 1.18 Himpunan A ⊂ R dan A ≠ φ dikatakan terbatas ke atas (bounded

(i).

above) jika ada bilangan real k sehingga berlaku a ≤ k untuk setiap a ∈ A . Selanjutnya k disebut batas atas (upper bound) himpunan A .

(ii). Himpunan A ⊂ R dan A ≠ φ dikatakan terbatas ke bawah (bounded below) jika ada bilangan real l sehingga berlaku l ≤ a untuk setiap a ∈ A . Selanjutnya l disebut batas atas (lower bound) himpunan A .

(iii). Himpunan A ⊂ R dikatakan terbatas (bounded) jika A terbatas ke atas dan terbatas ke bawah. Definisi 1.19 (i). Bilangan real M ∈ R disebut batas atas terkecil (supremum) atas himpunan A ⊂ R jika memenuhi: a. a ≤ M untuk setiap a ∈ A . b. Jika a ≤ M ′′ untuk setiap a ∈ A maka M ≤ M ′′ (ii).

Bilangan real m ∈ R disebut batas bawah terbesar (infimum) atas

himpunan A ⊂ R jika memenuhi: c. m ≤ a untuk setiap a ∈ A . d. Jika m′′ ≤ a untuk setiap a ∈ A maka m′′ ≤ m Teorema 1.20 (i). M supremum himpunan A jika dan hanya jika memenuhi a. M batas atas himpunan A b. Untuk

setiap

bilangan

ε >0

terdapat

a′ ∈ A

M − ε < a′ ≤ M

(ii).

m infimum himpunan A jika dan hanya jika memenuhi c. m batas bawah himpunan A


sehingga

Analisis Real I 2012 d. Untuk

setiap

bilangan

ε >0

terdapat

a′′ ∈ A

sehingga

m ≤ a′′ ≤ m + ε .

Bukti (i). (⇒ )

Karena M supremum (batas atas terkecil) himpunan A maka untuk setiap a ∈ A dan untuk setiap bilangan ε > 0 , M − ε

a≤M

bukan batas atas himpunan A . Berarti ada a′ ∈ A sehingga M − ε < a′ . Karena M batas atas terkecil himpunan A maka untuk setiap a ∈ A khususnya a′ ∈ A berlaku a′ ≤ M . Jadi terbukti ada a′ ∈ A sehingga M − ε < a′ ≤ M .

(⇐ )

Diketahui bahwa a ≤ M dan untuk setiap bilangan ε > 0 terdapat

a′ ∈ A sehingga M − ε < a′ ≤ M . Hal ini berarti tidak ada batas atas M 1

sehingga M 1 < M . Andaikan ada batas atas M 1 dengan

M1 < M .

Kemudian diambil ε o = M − M 1 maka diperoleh kontradiksi

M 1 = M − (M − M 1 ) = M − ε o < a .

Dengan kata lain terbukti bahwa M

supremum himpunan A (ii).

(⇒ )

Karena m infimum (batas bawah terbesar) himpunan A maka

a ≥ m untuk setiap a ∈ A dan untuk setiap bilangan ε > 0 , m + ε bukan batas atas himpunan A . Berarti ada a′′ ∈ A sehingga a′′ < m + ε . Karena

m batas bawah terbesar himpunan A maka untuk setiap a ∈ A khususnya a′′ ∈ A berlaku m ≤ a′′ . Jadi terbukti ada a′′ ∈ A sehingga m ≤ a′′ < m + ε .

(⇐ )

Diketahui bahwa m ≤ a dan untuk setiap bilangan ε > 0 terdapat

a′′ ∈ A sehingga m ≤ a′′ < m + ε . Hal ini berarti tidak ada batas bawah m1

sehingga m < m1 . Andaikan ada batas bawah m1 dengan

m < m1 .

Kemudian diambil ε o = m1 − m maka diperoleh kontradiksi

a′′ < m + ε o = m + (m1 − m ) = m1 . Dengan kata lain terbukti bahwa m infimum himpunan A . Selanjutnya jika A ⊂ R , A ≠ φ dan A terbatas maka supremum atau infimumnya ada di R .


Analisis Real I 2012 Teorema 1.21 (Aksioma Supremum) Jika A ⊂ R , A ≠ φ dan A terbatas ke atas maka A mempunyai

M ∈R

supremum di R , yaitu terdapat

sehingga M = sup A . Akibat

1.22

A⊂ R, A≠φ

Jika

maka A mempunyai

dan

A

terbatas

infimum di R , yaitu terdapat

ke

bawah

m ∈ R sehingga

m = inf A .

Sering muncul pertanyaan, apakah perbedaan antara supremum (infimum) dengan maksimum (minimum)? Contoh sebelumnya tentang himpunan {x ∈ R : 0 < x < 1}, bisa menjadi ilustrasi untuk menjelaskan hal ini. Himpunan

{x ∈ R : 0 < x < 1}

tidaklah mempunyai minimum dan

maksimum, karena tidak ada m, M ∈ {x ∈ R : 0 < x < 1} sedemikian sehingga m≤x

dan M ≥ x , untuk setiap x ∈ {x ∈ R : 0 < x < 1} . Sedangkan untuk

supremum dan infimum, himpunan {x ∈ R : 0 < x < 1} memilikinya, yaitu 1 dan

0,

masing-masing

secara

berurutan.

Elemen

minimum

dan

maksimum haruslah elemen dari himpunan yang bersangkutan, tetapi elemen infimum dan supremum tidaklah harus demikian. Jadi elemen infimum dan supremum bisa termasuk atau tidak termasuk ke dalam himpunan

yang

bersangkutan.

Himpunan

{x ∈ R : 0 ≤ x ≤ 1}

memiliki

infimum dan supremum, yaitu elemen 1 dan 0, yang termasuk ke dalam himpunan {x ∈ R : 0 ≤ x ≤ 1}. Catatan : 1). Inf & sup tidak perlu jadi anggota → Contoh : S 3 = {x : 0 < x < 1} 2). Suatu himpunan bisa jadi punya batas bawah tapi tidak punya batas atas, dan sebaliknya punya batas atas, tidak punya batas bawah. Misal:

S1 = {x ∈ ℜ : x ≥ 0} → Punya batas bawah tapi tidak punya batas atas S1 = {x ∈ ℜ : x < 0} → Punya batas atas tapi tidak punya batas bawah Sifat Kelengkapan ℜ 1. Setiap himpunan tak kosong dan terbatas di atas dalam ℜ mempunyai supremum dalam ℜ


Analisis Real I 2012 2. Setiap himpunan tak kosong dan terbatas di bawah dalam ℜ mempunyai infimum dalam ℜ Selanjutnya, mungkin kita mempertanyakan apakah elemen supremum atau infimum tunggal atau tidak. Mari kita kaji masalah ini. Misalkan

u, v ∈ R adalah supremum dari himpunan yang terbatas atas U . Untuk menunjukkan bahwa supremum dari U adalah tunggal, berarti kita harus menunjukkan bahwa u = v . Untuk menunjukkannya, perhatikan bahwa u ≤ w dan v ≤ w , untuk setiap w , batas atas dari U . Karena u dan v juga batas atas dari U , kita memiliki u ≤ v dan v ≤ u . Yang demikian

berarti u = v atau supremum dari U adalah tunggal. Dengan mudah, dapat pula kita tunjukkan bahwa infimum dari suatu himpunan yang terbatas bawah juga tunggal. Berdasarkan semua penjelasan pada subbab ini, kita mempunyai suatu aksioma yang sangat esensial. Aksioma inilah yang dimaksud dengan sifat Kelengkapan dari R Aksioma 1.23 (Sifat Kelengkapan dari R ). Setiap himpunan bagian dari R yang terbatas atas memiliki supremum di R .

Aksioma tersebut mengatakan bahwa R , digambarkan sebagai himpunan titik-titik pada suatu garis, tidaklah “berlubang”. Sedangkan himpunan bilangan-bilangan rasional Q , sebagai himpunan bagian dari R yang juga memenuhi sifat aljabar (lapangan) dan terurut, memiliki

“lubang”.

Inilah

“berlubang”

yang

inilah,

membedakan

R,

selain

R

dengan

merupakan

Q.

lapangan

Karena

tidak

terurut,

juga

mempunyai sifat lengkap. Oleh karena itu, R disebut sebagai lapangan terurut

{

yang

lengkap.

}

T := t ∈ Q : t ≥ 0, t 2 < 2

Penentuan

bisa

dijadikan

supremum ilustrasi

dari

untuk

himpunan menjelaskan

terminologi “lubang” pada himpunan Q . Supremum dari T ∈ Q yaitu

2,

yang merupakan akar dari persamaan x 2 = 2 , bukanlah bilangan rasional. Bilangan

2 ini merupakan salah satu “lubang” pada Q . Maksudnya,

supremum dari T ∈ Q adalah

2 yang bukan merupakan elemen dari Q .

Sehingga dapat dikatakan bahwa aksioma kelengkapan tidak berlaku


Analisis Real I 2012 pada Q . Tetapi jika kita bekerja pada R , yang demikian tidak akan terjadi. Lembar Kerja 3. 1). S ⊆ ℜ, S ≠ φ , terbatas dalam ℜ Buktikan Sup S = − inf {− s : s ∈ S } Bukti:

Misalkan T = {− s : s ∈ S } Dengan sifat kelengkapan, S mempunyai ................................... dalam ℜ Mislkan u = sup S , sehingga berlaku ............................................................................ Oleh karena itu –u adalah ....................................................... dari T . Dengan sifat kelengkapan, T mempunyai ........................................ dalam ℜ Misalkan l = inf T Dalam hal ini: − u ≤ l atau − l ≤ u ................ (1) Di pihak lain : l ≤ − s , ∀s ∈ S sehingga berlaku s ≤ −l , ∀s ∈ S yaitu − l batas atas dari S dan u ≤ −l ........ (2). Dari (1) & (2) didapat u = −l atau sup S = − inf T 2). S ≠ φ , u batas atas S dengan u ∈ S . Buktikan u = sup S Bukti : ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. 3). S ≠ φ , u = sup S . Buktikan : (1). u − 1

2

bukan batas atas S .


Analisis Real I 2012 (2). u + 1

n

batas atas S , ∀n ∈ N

Bukti: ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. Teorema 1.24 (i). Jika A ⊂ B ⊂ ℜ , B terbatas ke atas, maka sup( A) ≤ sup (B ) (ii). Jika A ⊂ B ⊂ ℜ , B terbatas ke bawah, maka inf ( A) ≥ inf (B ) Bukti: (i). Karena A ⊂ B dan B terbatas ke atas, maka A juga terbatas ke atas. Diambil k sebarang batas atas himpunan B . Karena A ⊂ B , maka k juga merupakan batas atas A . Jadi sup (B ) merupakan batas atas himpunan A . Akibatnya : Sup ( A) ≤ sup (B ) (ii). Latihan Bukti: ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. .................................................................................................................


Analisis Real I 2012 ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. Teorema 1.25 Diberikan A, B ⊂ ℜ & x ∈ ℜ. Didefinisikan A + B = {a + b : a ∈ A & b ∈ B} Jika A, B ⊂ ℜ dan terbatas, maka (i). sup ( A + B ) ≤ sup ( A) + sup (B ) (ii). Inf

( A + B) ≥

inf ( A) + inf (B )

Bukti : (i). Misal M 1 = sup ( A) dan M 2 =sup (B ) . Berdasarkan definisi supremum diperoleh bahwa ∀a ∈ A, a ≤ M 1 dan ∀b ∈ B, b ≤ M 2 . Akibatnya

∀a + b ∈ A + B ,

a + b ≤ M1 + M 2 ⇒ M1 + M 2

batas

atas

A+ B

sehingga sup ( A + B ) ≤ M 1 + M 2 = sup ( A) + sup (B ) (ii) Latihan Bukti: ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. .................................................................................................................


Analisis Real I 2012 ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. Teorema 1.26 (Sifat Archimedes) Jika x ∈ R

maka terdapat n ∈ N

sehingga x < n . Bukti : Diambil sebarang x ∈ R . Andaikan tidak ada n ∈ N sehingga x < n , berarti n ≤ x untuk setiap n ∈ N . Akibatnya N terbatas ke atas dengan salah satu batas atasnya adalah x . Dengan menggunakan aksioma supremum berarti N mempunyai supremum. Namakan u = sup N . Jika diambil ε = 1 maka u − 1 bukan batas atas N . Jadi terdapat m ∈ N dengan sifat u − 1 < m , akibatnya u < m + 1 . Karena u < m + 1 dan m + 1 ∈ N maka terjadi kontradiksi dengan asumsi bahwa u merupakan batas atas N . Jadi pengandaian diingkar. Dengan kata lain terbukti bahwa jika x ∈ R maka terdapat n ∈ N sehingga x < n . Akibat 1.27 Diberikan y dan z bilangan real positif, maka (i). ∃n ∈ N ∋ z < ny (ii). ∃n ∈ N ∋ 0 < 1 < y n (iii). ∃n ∈ N ∋ n − 1 ≤ z < n Bukti : Diketahui y dan z bil real positif. (i). Ambil x = z

y

> 0 . Dengan sifat archimedes, ∃n ∈ N sehingga x = z < n y

Q z < ny

(ii). Khususnya z = 1 , (i) menjadi 1 < ny atau 0 < 1 < y n (iii). Misal S = {m ∈ N : z < m} S ≠ φ , karena sifat archimedes

S ⊆ N , karena N mempunyai elemen terkecil maka S mempunyai elemen terkecil. Misal n elemen terkecil, maka n −1 ≤ z < n . Teorema 1.28 (eksistensi

2 ) : ∃ bilangan real positif x sehingga x 2 =2.

Teorema Kerapatan 1.29 Jika x dan y bilangan real sehingga x < y , maka ∃ bilangan rasional r sehingga x < r < y


Analisis Real I 2012 Bukti : Misalkan x > 0 . Ambil z = y − x > 0 . Dengan sifat archimedes, ∃n ∈ N sehingga 1 < y − x = z . Jadi 1 < ny − nx atau nx + 1 < ny . n Untuk nx > 0 , maka ∃m ∈ N sehingga m −1 ≤ nx < m atau m ≤ nx + 1 < m + 1 Oleh karena itu : nx < m ≤ nx + 1 < ny . Jadi x <

m < y. n

Akibat 1.30 Jika x dan y bilangan real sehingga x < y , maka ∃ bilangan irasional p sehingga x < p < y .

x

Bukti: Dari x < y maka

2

<

y 2

yang masing-masing di ℜ . Menurut

teorema kerapatan, ∃ bilangan rasional r sehingga

x 2

y 2

. Sehingga

x
Lembar Kerja 4.

{

}

1. Diberikan S = 1 ; n ∈ Ν . Buktikan inf S = 0 n Bukti: ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. .................................................................................................................



{

}

2. Diberikan S = 1 + 1 ; m, n ∈ Ν . Buktikan sup S = 2 , inf S = 0 n m Bukti: ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. .................................................................................................................

{

}

3. Diberikan S = 1 − 1 ; m, n ∈ Ν . Buktikan 1 = sup S , -1 = inf S m n Bukti: ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. .................................................................................................................


Analisis Real I 2012 ................................................................................................................. ................................................................................................................. 4. Diberikan S ⊆ ℜ, S ≠ φ , u ∈ ℜ . Buktikan (i). u + 1

n

(ii). u − 1

n

batas atas S bukan batas atas

Bukti: ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. 5. Diberikan S ≠ φ , S terbatas ke atas. Didefinisikan, a ∈ ℜ ,

a + S = {a + s, s ∈ S } Buktikan : sup (a + S ) = a + sup S Bukti: ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. .................................................................................................................


Analisis Real I 2012 ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. Pada saat membahas himpunan bilangan real R kurang lengkap rasanya apabila belum membahas tentang interval. Interval adalah suatu himpunan bagian dari R yang dikonstruksi berdasarkan sifat terurut dari R . Definisi 1.31 Misalkan a, b ∈ R dengan a < b . a. Interval terbuka yang dibentuk dari elemen

a

dan

b

adalah

a

dan

b

adalah

himpunan (a, b ) := {x ∈ R : a < x < b} . b. Interval tertutup yang dibentuk dari elemen himpunan [a, b] := {x ∈ R : a ≤ x ≤ b} . c. Interval setengah terbuka (atau setengah tertutup) yang dibentuk dari elemen

a

dan b adalah

himpunan

[a, b) := {x ∈ R : a ≤ x < b}

atau

(a, b] := {x ∈ R : a < x ≤ b}. Semua jenis interval pada Definisi 1.34 merupakan himpunan yang terbatas dan memiliki panjang interval yang didefinisikan sebagai b − a . Jika

a =b

maka himpunan buka

( a, a ) = { }

dan himpunan tutup

[ a, a ] = {a} , yang dinamakan dengan himpunan singleton. Elemen

a dan b

disebut titik ujung interval. Selain interval terbatas, terdapat pula interval tak terbatas.

Pada interval tak terbatas ini, kita dikenalkan dengan

simbol ∞ dan −∞ yang berkaitan dengan ketak terbatasannya.


Analisis Real I 2012 Definisi 1.32 Misalkan a ∈ R . a. Interval buka tak terbatas adalah himpunan (a, ∞ ) := {x ∈ R : x > a} atau

(− ∞, a ) := {x ∈ R : x < a}. b. Interval tutup tak terbatas adalah himpunan [a, ∞ ) := {x ∈ R : x ≥ a} atau

(− ∞, a] := {x ∈ R : x ≤ a} . Himpunan bilangan real R merupakan himpunan yang tak terbatas dan dapat dinotasikan dengan

( −∞, ∞ ) .

Perlu diperhatikan bahwa simbol ∞

atau −∞ bukanlah bilangan real. Karenanya, dapat dikatakan bahwa R ini tidak mempunyai titik-titik ujung. Berikut akan diberikan definisi berbagai himpunan terkait dengan cacah keanggotaannya. Definisi 1.33 Diberikan himpunan tidak kosong 1. 2.

dikatakan berhingga (infinite) jika terdapat

Himpunan sehingga

.

terdiri dari

Himpunan

elemen.

dikatakan denumerable jika himpunan tersebut

ekuivalen dengan himpunan bilangan asli. 3.

Himpunan

dikatakan tak berhingga apabila keanggotaannya tidak

dapat dipadankan dengan bilangan asli. Himpunan tak berhingga ada dua jenis yaitu tak berhingga denumerable dan tak berhingga non denumerable. Lembar Kerja 5. 1. Berikan 2 contoh himpunan berhingga Jawab: ........................................................................................................... ........................................................................................................... ........................................................................................................... ........................................................................................................... ........................................................................................................... ........................................................................................................... ........................................................................................................... ........................................................................................................... ........................................................................................................... ...........................................................................................................


Analisis Real I 2012 2. Berikan 2 contoh himpunan denumerable Jawab: ........................................................................................................... ........................................................................................................... ........................................................................................................... ........................................................................................................... ........................................................................................................... ........................................................................................................... ........................................................................................................... ........................................................................................................... ........................................................................................................... ........................................................................................................... 3. Berikan contoh himpunan tak berhingga denumerable. Jawab: ........................................................................................................... ........................................................................................................... ........................................................................................................... ........................................................................................................... ........................................................................................................... ........................................................................................................... ........................................................................................................... ........................................................................................................... 3. Berikan contoh himpunan tak berhingga non denumerable. Jawab: ........................................................................................................... ........................................................................................................... ........................................................................................................... ........................................................................................................... ........................................................................................................... ........................................................................................................... ...........................................................................................................


Analisis Real I 2012 ........................................................................................................... ........................................................................................................... ...........................................................................................................



BAB II BARISAN BILANGAN REAL KOMPETENSI DASAR Memahami konsep kekonvergenan barisan bilangan real dan sifat-sifatnya serta dapat menerapkannya pada masalah yang memuat limit barisan. INDIKATOR: Setelah melakukan proses belajar mengajar mahasiswa mampu : 1. Memahami definisi barisan bilangan real. 2. Memahami definisi kekonvergenan barisan dan limitnya. 3. Memahami maksud, bukti dan penggunaan TKD 4. Memahami hubungan keterbatasan dan kekonvergenan barisan 5. Memahami sifat-aljabar barisan konvergen 6. Memahami teorema kekonvergenan terjepit 7. Mengidentifikasi barisan monoton dan terbatas (BMT). 8. Memahami sifat konvergensi BMT dan barisan bagian. SUB POKOK BAHASAN : 2.1. Barisan Bilangan Real 2.2. Barisan Cauchy 2.3. Barisan Monoton 2.4. Barisan Bagian

2.1. Barisan Bilangan Real Definisi 2.1 Barisan bilangan real X adalah fs dari N ke ℜ . Notasi barisan : X , (xn ) atau ( xn : n ∈ N ) . Bilangan-bilangan real yang dihasilkan disebut unsur barisan, ditulis xn (atau α n atau z n ) . Contoh 2.2 (Contoh barisan) 1). a ∈ ℜ, A = (a, a,.......) → barisan konstan a (semua unsurnya a ).



(

) (

)

2). S = 1 : n ∈ N = 1, 1 , 1 ,....... . n 2 3 3). Y = ( y n ),

y n = (− 1) , n ∈ N ;

4). W = (wn ),

wn =

n

( y n ) = (− 1,1,−1,......., (− 1)n ,.......).

5n + 1 5n + 1 ⎛ 6 11 16. ⎞ ,....... ⎟ , n ∈ N ; (wn ) = ⎜ , , ,......, 5 7 9 2 n + 3 2n + 3 ⎝ ⎠

Berikan contoh lain: ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. Definisi 2.3 Jika X = ( xn ) dan Y = ( yn ) barisan bilangan real. Didefiniskan : •

Jumlah barisan X + Y = ( xn + yn ; n ∈ N )

•

Selisih barisan X − Y = (xn − yn ; n ∈ N )

•

Hasil kali barisan X ⋅ Y = (xn ⋅ yn ; n ∈ N ) Jika c ∈ ℜ, cX = (cxn ; n ∈ N )

•

Jika Z = ( zn ; n ∈ Ν ), zn ≠ 0, ∀n ∈ N , maka hasil bagi X dan Z adalah barisan

⎞ X ⎛ xn = ⎜⎜ ; n ∈ N ⎟⎟ Z ⎝ zn ⎠ Definisi 2.4 Barisan bilangan real X = ( xn ) dikatakan konvergen dalam

ℜ , jika terdapat

x ∈ℜ

sehingga

∀ε > 0, ∃k = k (ε ) ∈ N ∋ ∀n ≥ k

xn − x < ε . Notasi: xn → x, lim xn = x . Note:

xn − x < ε ⇔ −ε < xn − x < ε ⇔ x − ε < xn < x + ε ⇔ xn ∈ ( x − ε , x + ε )


berlaku

Analisis Real I 2012 Contoh 2.5. 1). xn =

1 , n ∈ N . xn → 0 n

Bukti: xn − 0 =

1 n

− 0 = 1 . Diberikan sebarang bilangan ε > 0. Dengan sifat n

archimedes, ∃ k ∈ N sehingga

1 < ε . Untuk n ≥ k , berlaku k xn − 0 =

1 1 ≤ <ε n k

Q xn → 0

2). xn = 3 +

1 , n ∈ N . xn → 3 2n

xn − 3 = 3 +

Bukti

1 1 −3 = 2n 2n

Diberikan sebarang bilangan ε > 0. Dengan

sifat archimedes, ∃ k ∈ Ν sehingga

1 1 < 2ε atau < ε , untuk n ≥ k , diperoleh k 2k

xn − 3 =

1 1 ≤ <ε . 2n 2k

Q xn → 3

3). xn =

5n + 1 , n ∈ N. 2n + 3

xn → 5

2

Bukti : ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. .................................................................................................................


Analisis Real I 2012 Definisi 2.6 Barisan bilangan real

(xn )

dikatakan terbatas jika

∃M > 0 sehingga

xn ≤ M , ∀n ∈ N Contoh 2.7 1. x n = 1 , n ∈ N n

xn = 1 = 1 ≤ 1, ∀n ∈ N n n Q (x n ) terbatas. 2. x n = (− 1)n , n ∈ N

xn ≤ 1, n ∈ N 3. y n =

n+2 ,n∈ N 2n + 1

=

n+ 1 + 3 2 2 = 1 + 3 ≤ 1 + 3 =1 2 4n + 2 2 4 + 2 2n+ 1 2

(

)

Q yn ≤ 1, ∀nN Berikan contoh lain! ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. .................................................................................................................


Analisis Real I 2012 Catatan:

(xn ) tidak terbatas jika

∀M > 0, ∃n ∈ N , xn > M

Contoh 2.8 1)

xn = 2 n , n ∈ N

x n = 2 n = 2 n = (1 + 1) ≥ 1 + n ≥ n n

∀M > 0, ∃n ∈ N ∋ n > M (sifat archimedes)

Jadi ∀M > 0, ∃n ∈ N sehingga

xn ≥ n > M Dengan kata lain (x n ) tak terbatas. 2)

xn = n 2 , n ∈ N

xn = n 2 Tidak ada M > 0 sehingga xn = n 2 ≤ M , ∀n ∈ N Jadi ( xn ) tidak terbatas. Teorema 2.9 Jika ( x n ) konvergen, maka ( xn ) terbatas. Bukti Misal x n → x . Hal ini berarti untuk ε = 1 , terdapat k ∈ N sehingga jika n ≥ k berakibat

xn − x < 1 Untuk n ≥ k :

xn = xn − x + x ≤ xn − x + x < 1 + x Diambil M = maks { x1 , x2 ,....., xk −1 ,1 + x }, akibatnya:

xn ≤ M , ∀n ∈ N Teorema 2.10 Jika (x n ) dan ( y n ) konvergen, maka (1)

(α xn )

konvergen dan lim (α x n ) = α lim ( x n ), α skalar

(2)

(xn + y n ) konvergen dan

(3)

(xn y n )

lim ( x n + y n ) = lim (x n ) + lim ( y n )

konvergen dan lim ( x n y n ) = lim( x n ) ⋅ lim( y n )


Analisis Real I 2012 ⎛ xn ⎜⎜ ⎝ yn

(4)

⎞ ⎛ x ⎞ lim (xn ) ⎟⎟ konvergen dan lim ⎜⎜ n ⎟⎟ = , asal lim ( yn ) ≠ 0, yn ≠ 0 ⎠ ⎝ yn ⎠ lim ( yn )

Bukti Misal x n → x dan y n → y (1)

α xn − α x = α (xn − x ) = α xn − x , α skalar Diambil sebarang bilangan ε > 0 . Karena x n → x , maka terdapat bilangan k = k (ε ) ∈ N sehingga jika n ≥ k berlaku

xn − x <

ε α +1

Akibatnya

α xn − α x = α xn − x < α Q

(2)

ε α +1

<ε

α x n konvergen ke α x .

(xn + y n ) − (x + y ) = (xn − x ) + ( y n − y ) ≤

xn − x + y n − y

Diberikan bilangan ε > 0 sebarang

•

Karena x n → x , maka terdapat k1 ∈ N sehingga jika n ≥ k1 berlaku xn − x <

•

ε 2

y n → y , maka terdapat k 2 ∈ N

Karena

sehingga jika

berlaku yn − y <

ε 2

Pilih k = maks {k1 , k 2 } , akibatnya untuk n ≥ k berlaku

(xn + y n ) − (x + y ) ≤ Q

(3)

xn − x + y n − y <

ε 2

+

ε 2

=ε

xn + y n → x + y .

xn y n − xy = xn y n − xn y + x n y − xy = xn ( y n − y ) + (xn − x ) y ≤ xn ( y n − y ) + (xn − x ) y = xn y n − y + xn − x y Diberikan ε > 0 sebarang


n ≥ k2

Analisis Real I 2012 Karena x n → x , maka terdapat k1 ∈ N sehingga untuk setiap n ≥ k1 :

xn − x <

(xn )

ε

2( y + 1)

.

konvergen, maka

(xn )

terbatas. Jadi ada M > 0 sehingga

xn ≤ M , ∀n ∈ N . Karena y n → y maka terdapat k 2 ∈ N sehingga untuk setiap n ≥ k 2 :

ε

yn − y <

2M

.

Dipilih k = maks {k1 , k 2 } . Akibatnya jika n ≥ k :

xn yn − xy ≤ M <

ε 2M

ε 2

+

ε 2

+

ε

2( y + 1)

y

=ε .

Contoh 2.11 xn = 2 + yn =

1 →2 n

3n + 4 3 → 2n − 1 2

1⎞ 4 ⎛ 4 x n = 4⎜ 2 + ⎟ = 8 + → 8 n⎠ n ⎝

xn + y n = 2 +

1 3n + 4 7n 2 + 4n − 1 7 + = → 2 n 2n − 1 2 2n − n

1⎞ ⎛ 1 1 ⎜ 2 + ⎟(2n − 1) 4n − xn n ⎝ ⎠ n = n →4 = = y n 3n + 4 3n + 4 3n + 4 3 2n − 1 2

Berikan contoh lain! ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. .................................................................................................................


Analisis Real I 2012 ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. Teorema 2. 12 (Teorema Uji Rasio) Diberikan

(xn )

xn +1 = L (ada). n → ~ xn

barisan bilangan real positif sehingga lim

Jika L < 1 maka ( x n ) konvergen dan lim(x n ) = 0 . n→ ~

Contoh 2.13 1).

(xn ), x n

=

n ,n ∈ N . 3n

xn +1 n + 1 3n n +1 1 = lim n +1 ⋅ = lim = <1 n → ~ xn n→~ 3 3 n n → ~ 3n lim

Jadi ( xn ) konvergen dan lim n→ ~

n = 0. 3n

z n = n + 1, n ∈ N

2).

zn + 1 n + 2 = →1 zn n +1 Jadi ( z n ) tidak konvergen. Teorema 2.13 Jika x n → x, x n ≥ 0, ∀n ∈ N maka x ≥ 0 Bukti: Andaikan

x < 0 , maka

− x > 0 . Diketahui

x n → x . Diambil bilangan

ε = − x > 0 , maka terdapat k ∈ N sehingga jika n ≥ k berlaku xn − x < − x ⇔ x < xn − x < − x ⇔ 2 x < xn < 0 Kontradiksi dengan x n ≥ 0 .


Analisis Real I 2012 Teorema 2.14 Jika x n → x, y n → y, x n ≤ y n , ∀n ∈ N maka x ≤ y Bukti: Diketahui x n ≤ y n , maka y n − x n ≥ 0 . Akibatnya lim( y n − x n ) ≥ 0 n→ ~

⇔ lim y n − lim x n ≥ 0 n→ ~

n→ ~

⇔ y−x≥0

⇔ y ≥ x atau x ≤ y .

Teorema 2.15 (Teorema Apit) Jika xn ≤ yn ≤ z n , ∀n ∈ N , xn → x dan zn → x, maka yn → x . Bukti: Dengan teorema sebelumnya: x = lim xn ≤ lim yn dan lim yn ≤ lim z n = x n→ ~

n→ ~

n→ ~

n→ ~

x ≤ lim yn dan lim yn ≤ x n→ ~

n→ ~

Jadi lim y n = x . n →~

Definisi 2.16 Barisan ( xn ) dikatakan : (a) Naik monoton (monotonic increasing/non decreasing/tidak turun) jika

x n ≤ x n +1 , ∀n ∈ N . (b) Turun monoton (monotonic decreasing/non increasing/tidak naik) jika

x n ≥ x n +1 , ∀n ∈ N . (c) Monoton jika (x n ) naik monoton/turun monoton. Contoh 2.17 1).

xn =

1 n

x n +1 =

1 n +1

x n ≥ x n +1 , ∀n ∈ N Jadi ( xn ) turun monoton.


Analisis Real I 2012 2).

xn =

=

(

2n + 1 ,n∈ N 3n + 5

)− 7 3 = 2 − 7 ( 3 ) 3 9n + 15

2n+ 5

3 3n+ 5

x n +1 =

2 7 − 3 9n + 24

x n ≤ x n +1 , ∀n ∈ N . Jadi ( xn ) naik monoton.

3).

⎧⎪ 1 , n ≤ 100 yn = ⎨ n ⎪⎩ n + 1, n〉100

( yn )

tidak monoton

Berikan contoh lain ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. Teorema 2.18 (Teorema Kekonvergenan Monoton) Misal ( xn ) barisan monoton. Barisan ( xn ) konvergen jika dan hanya jika

(xn ) terbatas. Dalam hal ini: (a).

Jika ( xn ) naik monoton, maka lim ( xn ) = sup ( xn ; n ∈ N ) .

(b).

Jika ( xn ) turun monoton, maka lim ( xn ) = inf ( xn ; n ∈ N ) .

n→ ~

n→ ~


Analisis Real I 2012 Bukti:

(⇒) Diketahui (xn )

konvergen.

Menurut

teorema

sebelumnya,

(xn )

terbatas.

(⇐)

Diketahui ( xn ) monoton dan terbatas. Misal ( x n ) naik monoton ,

jadi x n ≤ x n +1 , ∀n ∈ N Misalkan x = sup {x n : n ∈ N } , maka untuk setiap ε 〉 0 , terdapat k ∈ N sehingga

x − ε < xk Karena ( xn ) naik monoton, maka untuk n ≥ k berlaku

x − ε < xk ≤ xn ≤ x < x + ε Diperoleh untuk n ≥ k berlaku xn − x < ε Jadi x n → x . Catatan: Untuk menyelidiki kekonvergenan suatu barisan, maka kita cukup memperhatikan ekor dari barisan tersebut, yaitu barisan bagian dari barisan tersebut yang dimulai dari suatu urutan tertentu. Definisi 2.19 Misal Y = ( y1 , y 2 ,....., y n ,.....) barisan bilangan real. M : bilangan asli, Ekor – M dari Y adalah barisan: YM = ( yM + n ; n ∈ N ) = ( y M +1, yM + 2 ,.....) Contoh 2.20

Y = (1, 3, 5, 7, 9,11,13,....., 2n − 1,.....) Y5 = ( y 5+ n : n ∈ N ) = ( y 6 , y 7 , y8 ,......) = (11,13,15, ....., 2n + 1,.....) . Teorema 2.21 Misal Y = ( y n ; n ∈ N ) barisan bilangan real dan M ∈ N . Ekor – M dari Y, YM konvergen ⇔ Y konvergen. Dalam hal ini Lim Y = Lim YM . Contoh 2.22 1).

xn = 1 , n ∈ N n menurut TKM :

( xn )

terbatas

{

dan

turun

}

Lim x n = inf 1 ; n ∈ N = 0 n


monoton,

maka

Analisis Real I 2012 Diketahui barisan ( y n ) dengan y1 = 1, yn +1 =

2).

1 (2 yn + 3), n ∈ N 4

Tunjukkan ( y n ) konvergen. Bukti: y1 = 1, y 2 =

1 (2 ⋅ 1 + 3) = 5 , y3 = 1 ⎛⎜ 2 ⋅ 5 + 3 ⎞⎟ = 11 ,..... 4⎝ 4 4 4 ⎠ 8

Claim y n ≤ y n +1 (naik monoton). Dibuktikan dengan induksi matematika

n = 1 → y1 = 1〈 y2 = 5

4

(benar)

Dianggap benar untuk n = k. Jadi y k ≤ y k +1 Dibuktikan benar untuk n = k + 1 y k +1 =

1 (2 y k + 3) = 1 y k + 3 ≤ 1 yk +1 + 3 = 1 (2 yk +1 + 3) = yk + 2 4 4 2 4 2 4

Jadi ∀n ∈ N , y n ≤ y n +1 . Claim 1 ≤ y n ≤ 2 (terbatas)

n = 1 → 1 ≤ y1 = 1 ≤ 2 (benar) Dianggap benar untuk n = k. Jadi 1 ≤ y k ≤ 2 Dibuktikan benar untuk n = k + 1 y k +1 =

1 (2 y k + 3) = 1 y k + 3 4 ≤ 1 ⋅ 2 + 3 4 = 1 3 4 2 2 4

1 ≤ yk +1 ≤ 2 .

Q

Jadi ∀n ∈ N , 1 ≤ yn ≤ 2. Dengan kata lain ( y n ) terbatas. Karena

( yn )

naik monoton dan terbatas, maka menurut TKM,

( yn )

konvergen dan y = Lim yn = sup {yn : n ∈ N } . Ekor – 1 dari Y = Y1 = ( y1+ n : n ∈ N ) . Karena Y = ( y n ) konvergen ke y, maka Y1 = ( y n +1 ) juga konvergen ke y. Jadi,

y = Lim ( yn ) = Lim ( yn +1 ) ⎛1 ⎞ = Lim ⎜ (2 yn + 3)⎟ 4 ⎝ ⎠ = Lim y=

3 1 3 1 yn + Lim = Lim yn + . 4 2 4 2

1 3 1 3 y+ → y= → y= 3 . 2 2 4 2 4


Analisis Real I 2012 Definisi 2.23 Diketahui X = ( x n ) barisan bilangan real dan (rn ) barisan bilangan asli naik monoton, yaitu rn ≤ rn +1 , ∀n .

(

)

X 1 = x r1 , xr2 , x r3 ,......., x rn ,....... disebut barisan bagian dari X . Contoh 2.24

(

)

X = 1, 1 , 1 , 1 , 1 ,......., 1 ,....... 2 3 4 5 n

( ) = (1, 1 , 1 ,......., 1 ,.......) barisan bagian X 3 5 2n − 1 = (1 ,1, 1 , 1 , 1 ,.......) bukan barisan bagian X 2 4 3 6

X 1 = 1 , 1 , 1 ,......., 1 ,....... barisan bagian X n+2 3 4 5 X1 X 11

Catatan: Ekor barisan merupakan barisan bagian. Teorema 2.25 Jika X = ( x n ) konvergen ke x, maka sebarang barisan bagian X konvergen ke x. Bukti:

ε >0

Diambil

sebarang.

Karena

xn → x ,

maka

∃k ∈ N , ∀n ≥ k : xn − x < ε .Karena rn barisan bilangan asli naik, maka rn ≥ n . Akibatnya ∀n ≥ k , rn ≥ n ≥ k sehingga xrn − x < ε . Teorema 2.26 (Teorema Kriteria Divergen) Jika X = ( x n ) barisan bilangan real, maka pernyataan-pernyataan berikut ekuivalen: (i). X = ( x n ) divergen (tidak konvergen ke x ∈ ℜ ) (ii). ∃ε o > 0, ∀k ∈ N , ∃rn ∈ N ∋ rn ≥ k dan xr n − x ≥ ε

( )

(iii). ∃ε o > 0 dan X ' = xrn ∋ xrn − x ≥ ε o , ∀n ∈ N Contoh 2.27 Tunjukkan bahwa Bukti: Andaikan konvergen

((− 1) ) n

ke

((− 1) ) divergen n

konvergen ke x, maka barisan bagian x,

tetapi

(

n

n

X 1 = (− 1,−1,−1,−1,.......) → −1

sedangkan X 1 = (1,1,1,1,.......) → 1 Q (− 1)

((− 1) )

) divergen


Analisis Real I 2012 Ingat : ( xn ) konvergen ⇒ ( x n ) terbatas

(xn ) terbatas

⇒ ( xn ) belum tentu konvergen, contoh (− 1) terbatas n

tetapi tidak konvergen. Teorema 2.28 (Teorema Bolzano Weierstrass): Setiap barisan bilangan real terbatas mempunyai barisan bagian konvergen. Contoh 2.29 X = (x n ) = (− 1) , n ∈ N , X terbatas, X 1 = (− 1,−1,−1,.......) → −1 . n

Teorema 2.30 Diketahui ( x n ) terbatas. Jika x rn → x , maka x n → x . 2.2. Barisan Cauchy (BC) Definisi 2.31 Barisan (x n ) disebut BC jika ∀ε > 0, ∃H ∈ N sehingga ∀m, n ≥ H

xm − xn < ε Contoh 2.32 1).

xn = 1 , n ∈ N n Diambil ε > 0 sebarang

xm − xn = 1 − 1 ≤ 1 + 1 = 1 + 1 m n m n m n Dipilih H ∈ N sehingga 1

H

<ε

2

Akibatnya untuk m, n ≥ H :

xm − xn ≤ 1

H

+1

H

<ε +ε =ε . 2 2

Q ( x n )BC

2).

yn =

(

2n + 5 ,n∈ N 3n + 1

)

2 n + 1 + 13 3 3 = 2 + 13 = 3 9n + 3 3n+ 1 3

(

)

Diambil ε > 0 sebarang

13 ⎞ ⎛ 2 13 ⎞ ⎛2 ym − yn = ⎜ + ⎟−⎜ + ⎟ ⎝ 3 9m + 3 ⎠ ⎝ 3 9n + 3 ⎠ =

13 13 − 9m + 3 9n + 3


Analisis Real I 2012 ≤

13 13 + 9m + 3 9n + 3

=

13 13 + 9m + 3 9n + 3

≤

13 13 + 9 m 9n

Dipilih H ∈ N sehingga

1 9ε < H 26

Akibatnya ∀m, n ≥ H : ym − y n <

13 9ε 13 9ε ⋅ + ⋅ =ε 9 26 9 26

Q ( y n )BC .

z n = (− 1) , n ∈ N n

3).

z m − z n = (− 1) − (− 1) m

n

Diambil ε = 1 ∀H ∈ N , ∃m, n ∈ N , m genap, n ganjil sehingga m, n ≤ H

Diperoleh:

z m − z n = (− 1) − (− 1) m

n

= 1 − (− 1) = 2 > ε Q ( zn ) bukan BC Teorema 2.33

(a). ( x n )BC ⇒ (x n ) terbatas (b). (xn ) BC ⇒ (xn ) konvergen

Bukti: (a).

Karena ( x n )BC , maka untuk ε = 1 , ∃H ∈ N , ∀m, n ≥ H

xm − xn < 1 Akibatnya ∀n ≥ H

xn = xn − x H + x H

≤ x n − x H + x H < 1 + xH

Diambil M = maks { x1 , x2 ,......., x H −1 , x H + 1} Diperoleh ∀n ∈ N

xn ≤ M .


Analisis Real I 2012 (b). Diambil ε > 0 sebarang. Karena ( xn )BC , maka ∃H ∈ N , ∀m, n ≥ H :

xm − xn < ε 2 .

(xn )BC ,

maka ( x n ) terbatas. Menurut teorema BW, ∃ barisan bagian

(x ) dari (x ) sehingga n

rn

( )

x rn → x, x ∈ ℜ .

Karena xrn → x, maka ∃ k ∈ N , k ≥ H

dan k ∈ (r1, r2 ,.......) sehingga ∀rn ≥ k :

xrn − x < ε . 2 Akibatnya untuk n ≥ k :

xn − x = xn − xk + xk − x

≤ xn − xk + xk − x

<ε +ε =ε . 2 2

Contoh 2.34 Diketahui X = ( xn ) dengan x1 = 1, x2 = 2, xn =

1 (xn−2 + xn−1 ), n > 2 2

Tunjukkan ( xn ) konvergen dan selanjutnya tentukan konvergen ke mana. Jawab:

x1 = 1, x2 = 2, x3 = 3 , x4 = 7 , x5 = 13 dst 2 4 8

1 ≤ x n ≤ 2, ∀n ⇒ ( x n ) terbatas TKM tidak dapat digunakan (xn ) tidak monoton Perhatikan bahwa:

x1 − x2 = 1 − 2 = 1 x 2 − x3 = 2 − 3

2

=1

2

x3 − x 4 = 3 − 7 = 1 = 1 2 2 4 4 2 : : x n − x n +1 =

1 2 n −1

(cek dengan induksi).

Diperoleh:

xn − xm = xn − xn+1 + xn+1 − xn+2 + xn+ 2 + ....... + xm−1 − xm ≤ xn − x n +1 + xn +1 − x n+ 2 + xn + 2 − xn +3 + ....... x m−1 − xm


Analisis Real I 2012 = =

1 2

n −1

+

1 2

n +1−1

+

1 2

n + 2 −1

+ ....... +

1 2

m −1−1

1 ⎛ 1 1 1 ⎞ + ....... + m − n −1 ⎟ ⎜1 + + 2 n −1 ⎝ 2 2 2 2 ⎠

1 ⎛⎜ 1 ⎞⎟ 4 = n −1 ⎜ = n 2 1− 1 ⎟ 2 2⎠ ⎝ Diberikan ε > 0 sebarang. Pilih H ∈ N dengan

ε 1 < . H 4 2

Akibatnya ∀m, n ≥ H :

xn − xm =

ε 4 4 ≤ H < 4⋅ = ε n 4 2 2

Q ( x n )BC . Menurut teorema sebelumnya, ( x n ) konvergen.

Perhatikan untuk barisan bagian suku ganjil ( x 2 n +1 ) x1 = 1 x3 = 3 = 1 + 1 2 2 x5 = 13 = 1 + 1 + 1 2 8 2 2 x7 = 53 = 1 + 1 + 1 3 + 1 5 32 2 2 2 : : 1 1 1 + 3 + ....... + 2 n −1 2 2 2 n ⎛ 1 ⎞ 1 ⎜1− 4 ⎟ = 1+ ⎜ 2 ⎜ 1 − 1 ⎟⎟ 4 ⎠ ⎝ 1 ⎞ 1 4⎛ = 1 + ⋅ ⎜1 − n ⎟ 2 3⎝ 4 ⎠

x 2 n +1 = 1 +

( )

2⎛ 1 ⎞ 2 = 1 + ⎜1 − n ⎟ → 1 + = 5 3 3⎝ 4 ⎠ 3

Jadi x n → 5

3

menurut teorema (#)

2.3. Barisan Monoton Berikut ini diberikan pengertian mengenai barisan naik dan turun monoton.


Analisis Real I 2012 Definisi 2.35 Diberikan barisan bilangan real X = (xn) (i) Barisan X dikatakan naik (increasing) jika xn

xn+1, untuk semua n

(ii) Barisan X dikatakan naik tegas (strictly increasing) jika xn

xn+1 ,

untuk semua n (iii)Barisan X dikatakan turun (decreasing) jika xn

xn+1 , untuk semua

n (iv) Barisan X dikatakan turun tegas (strictly decreasing) jika xn

xn+1 ,

untuk semua n Definisi 2.36 Barisan dikatakan monoton jika berlaku salah satu X naik atau X turun. Contoh 2.37 a. Barisan berikut ini naik (monoton).

b. Barisan berikut ini turun (monoton).

c. Barisan berikut ini tidak monoton.

Definisi 2.38 Teorema Konvergensi Monoton a. Jika X = (xn) naik (monoton) dan terbatas ke atas, maka X =(xn) konvergen dengan


Analisis Real I 2012 b. Jika X = (

) Turun (monoton) dan terbatas ke bawah, maka X =(xn)

konvergen dengan

Bukti. a) Karena X = (

) terbatas ke atas, maka terdapat untuk semua

hingga maka Lengkap

sedemikian

. Namakan A =

,

R, terbatas ke atas dan tidak kosong. Menurut Sifat maka supremum A ada, namakan x = sup A. Diambil

, maka terdapat

sedemikian hingga

Karena X naik monoton, maka untuk

.

berlaku

atau

Jadi, terbukti bahwa X = (

) konvergen ke x = lim(

)=

b) Gunakan cara yang hampir sama dengan pembuktian (a). ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. ............................................................................................................. 2.4. Barisan Bagian Pada bagian ini akan diberikan konsep barisan bagian (subsequences) dari suatu barisan bilangan real.


Analisis Real I 2012 Definisi 2.39 Diberikan barisan bilangan real X = ( naik tegas n1< n2<….. nk<…... Barisan X’ = (

) dan bilangan asli

) dengan

disebut dengan barisan bagian atau sub barisan (subsequences) dari X. Contoh 2.40 Diberikan X :=

Teorema 2.41 Jika X = ( X’ = (

) konvergen ke x, maka setiap barisan bagian

) dari X juga konvergen ke x.

Bukti Diambil sebarang

. Karena

sedemikian hingga untuk setiap n untuk setiap

berlaku nk+1

, maka terdapat K( )

K( ) berlaku

Karena

nk Maka untuk setiap

Sehingga

Terbukti bahwa X’ = (

) Konvergen ke x.

Teorema 2.42 Diberikan barisan bilangan real pernyataan berikut ini ekuivalen.

Bukti


X = (

), maka

Analisis Real I 2012 (i)

(ii) Jika

tidak konvergen ke , maka untuk suatu

tidak

sedemikian hingga untuk setiap

mungkin ditemukan

berlaku

Akibatnya tidak benar bahwa untuk setiap memenuhi

Dengan kata lain, untuk setiap

terdapat (ii)

sedemikian hingga

(iii) Diberikan

sedemikian

(iii)

dan

Selanjutnya, diberikan

dan

hingga

diperoleh

berlaku

dan

sehingga memenuhi (ii) dan diberikan

sedemikian hingga

sehingga

,

suatu

.

barisan

bagian

Demikian X’

=

(

seterusnya )

sehingga

untuk semua

(i) Misalkan X = (

) mempunyai barisan bagian X’ = (

) yang

memenuhi sifat (iii). Maka X tidak konvergen ke x, sebab jika konvergen ke x, maka X’ = ( =(

) juga konvergen ke x. Hal ini tidak mungkin, sebab X’

) tidak berada dalam persekitaran

Teorema 2.43 (Kriteria Divergensi) jika barisan bilangan real X =

)

memenuhi salah satu dari sifat berikut, maka barisan X divergen. (i) X mempunyai dua barisan bagian konvergen X’ = ( (

) dan X ’’ =

) dengan limit keduanya tidak sama.

(ii) X tidak terbatas. divergen.

Contoh 2.44 Tunjukkan bahwa barisan Jawab. Namakan barisan di atas dengan

, dengan

jika n genap,

jika n ganjil. Jelas bahwa Y tidak terbatas. Jadi, barisan

dan

, divergen. Berikut ini diberikan sebuah teorema yang menyatakan bahwa barisan bilangan real X =

)

pasti mempunyai barisan bagian yang

monoton. Untuk membuktikan teorema ini, diberikan pengertian puncak (peak),

disebut puncak jika

. Titik

untuk semua n sedemikian hingga

tidak pernah didahului oleh sebarang elemen barisan

setelahnya. Perhatikan bahwa pada barisan yang menurun, setiap elemen adalah puncak, tetapi pada barisan yang naik, tidak ada elemen yang menjadi puncak.


Analisis Real I 2012 Teorema 2.45 (Teorema Barisan Bagian Monoton) Jika X =

) barisan

bilangan real, maka terdapat barisan bagian dari X yang monoton. Bukti. Pembuktian dibagi menjadi dua kasus, yaitu X mempunyai tak hingga banyak puncak, dan X mempunyai berhingga banyak puncak. Kasus I: X mempunyai tak hingga banyak puncak. Tulis semua puncak berurutan

naik,

yaitu Oleh

Maka

karena

itu,

(

merupakan

barisan

bagian yang turun (monoton). Kasus II: X mempunyai berhingga banyak puncak. Tulis semua puncak berurutan naik, yaitu

. Misalkan

indeks pertama dari puncak yang terakhir. Karena sedemikian hingga

maka terdapat puncak, maka terdapat

adalah bukan puncak,

. Karena

sedemikian hingga

bukan

.. Jika proses

yang naik (monoton).

ini diteruskan, diperoleh barisan bagian

Teorema 2.46 (Teorema Bolzano-Weiertrass) Setiap barisan bilangan real yang terbatas pasti memuat barisan bagian yang konvergen. Bukti. Diberikan barisan bilangan real terbatas X =

)

. Namakan

range barisan, maka S mungkin berhingga atau tak berhingga. Kasus I: Diketahui S berhingga. Misalkan, dengan

maka terdapat

dan barisan

dengan

. Hal ini berarti terdapat barisan bagian

sehingga

yang konvergen ke Kasus II: Karena S tak berhingga dan terbatas, maka S mempunyai titik cluster

atau

titik

limit,

namakan

x

titik

limit

persekitaran titik x. Untuk k = 1, maka terdapat

,

sehingga

Untuk k = 2, maka terdapat

,

sehingga

Untuk k = 3, maka terdapat

,

sehingga

Demikian seterusnya, sehingga diperoleh:


S.

Misalkan

Analisis Real I 2012 Untuk k = n, maka terdapat

,

sehingga

. Menurut Sifat Archimedes, maka terdapat

Ambil

Maka untuk setiap

hingga

berlaku

konvergen ke x dengan

Terbukti bahwa

sedemikian

barisan bagian

Teorema 2.47 Diberikan barisan bilangan real terbatas X = diberikan

)

dan

yang mempunyai sifat bahwa setiap barisan bagian dari X

konvergen ke x. Maka barisan X konvergen ke x. adalah batas dari barisan X sehingga

Bukti. Misalkan untuk

.

semua

Andaikan

X

menggunakan Teorema 2.4.4 terdapat sedemikian hingga

tidak

konvergen

ke

x,

maka

dan barisan bagian X’ = (

untuk semua

)

. Karena X’ barisan

bagian dari X, maka M juga batas dari X’. MenggunakanTeorema Bolzano-Weierstrass berakibat bahwa X’memuat barisan bagian X’’. Karena X’’ juga barisan bagian dari X, maka X’’uga konvergen ke x. Dengan demikian, akan selalu berada dalam persekitaran

. Timbul

kontradiksi, yang benar adalah X selalu konvergen ke x. Lembar Kerja 6 1. Buktikan

barisan

{(− 1) } n

n ≥1

divergen

dengan

metode

bukti

pengandaian. Bukti: ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. .................................................................................................................


Analisis Real I 2012 ................................................................................................................. ................................................................................................................. 2. Tuliskan definisi barisan Cauchy dengan definisi tersebut buktikan setiap barisan Cauchy pasti terbatas. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. 3. Tuliskan definisi himpunan terbuka dan himpunan tertutup dalam ℜ . n

Dengan definisi tersebut buktikan jika A1 , A2 ,...., An terbuka maka U Ai i =1

n

terbuka dan I Ai i =1

C

tertutup.

................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. .................................................................................................................


Analisis Real I 2012 ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. .................................................................................................................

⎧ 2n ⎫ 4. Buktikan barisan bilangan real ⎨ 2 ⎬ konvergen ke 0. ⎩ n + 1⎭n ≥1 ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. .................................................................................................................


Analisis Real I 2012 5. Jika barisan {xn }n ≥1 konvergen ke x dan barisan {yn }n ≥1 konvergen ke y , buktikan barisan xn yn konvergen ke xy . ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. .................................................................................................................



BAB III LIMIT FUNGSI KOMPETENSI DASAR Memahami konsep limit fungsi dan dapat menggunakannya untuk menyelesaikan masalah yang memuat limit fungsi. INDIKATOR: Setelah melakukan proses belajar mengajar mahasiswa mampu : 1. Memahami pengertian titik limit, titik terasing suatu himpunan. 2. Memahami pengertian limit fungsi dan ilustrasinya. 3. Memahami kriteria sekuensial limit dan penggunaannya. 4. Memahami hubungan konvergen dan keterbatasan fungsi 5. Memahami beberapa teorema limit fungsi dan penggunaannya SUB POKOK BAHASAN : 3.1. Topologi pada bilangan real 3.2. Pengertian limit fungsi 3.3. Beberapa teorema limit fungsi

3.1. Topologi pada Bilangan Real Sebelum membicarakan tentang limit suatu fungsi ada baiknya kita mengenal terlebih dahulu tentang topologi pada bilangan real. Topologi pada Bilangan Real meliputi

persekitaran, titik dalam, titik

limit, titik batas, titik terasing, himpunan terbuka dan tertutup serta definisi topologi pada R. Definisi 3.1 Setiap anggota R disebut titik (point) dan jarak (distance) antara dua titik rumus

dan

pada R dilambangkan dengan

dengan

.

Definisi 3.2 Diberikan

dan bilangan

. ,

Himpunan persekitaran (neighberhood) titik

. Dalam hal ini

(radius) persekitaran tersebut.


disebut

disebut jari-jari

Analisis Real I 2012 Contoh 3.3 1.

merupakan persekitaran di titik 1 dengan jari-jari

2.

merupakan persekitaran di titik ...... dengan jari-jari

3.

. .

merupakan persekitaran di titik ........................ dengan jari-jari .

Definisi 3.4 Diberikan A ⊆ R dan c ∈ R , dengan c tidak harus di

. Titik

di sebut

titik limit A jika ∀δ > 0,Vδ (C ) = (c − δ , c + δ ) memuat paling sedikit satu anggota A yang tidak sama dengan c, atau (Vδ (c) /{c}) ∩ A ≠ ∅ . Contoh 3.5. 1. Diberikan A = ( 2 , 3 ), tentukan titik limit A. Penyelesaian: 2 titik limit A, karena dengan mengambil sebarang δ = ½ , dimana V1 / 2 (2) = (1 12 ,2 12 ) maka (V1 / 2 (2) /{2}) ∩ A ≠ ∅ . Sehingga dengan mengambil

δ > 0 dapat disimpulkan (Vδ (2) /{2}) ∩ A ≠ ∅ . 2 ½ juga titik limit A, karena ∀δ > 0, (Vδ (2 12 ) /{2 12 }) ∩ A ≠ ∅ . 3 juga titik limit A, karena ∀δ > 0, (Vδ (3) /{3}) ∩ A ≠ ∅ . Jadi dapat disimpulkan bahwa setiap titik pada interval [2 , 3] merupakan titik limit A. 2. Diberikan B = {1, 2, 3, 4, 5 }, tentukan titik limit B. Penyelesaian: Ambil δ = ½ , sehingga V1 / 2 (1) = ( 12 ,1 12 ) . Tetapi (V1 / 2 (1) /{1}) ∩ B = ∅ . Jadi 1 bukan titik limit B. Begitu juga dengan titik yang

lain.

Jadi dapat disimpulkan bahwa B = {1, 2, 3, 4, 5 } tidak mempunyai titik limit. Definisi 3.6 Diberikan A ⊆ R dan c ∈ R , dengan c harus di dalam (interior point) A jika himpunan

. Titik

sehingga

di sebut titik . Selanjutnya

dikatakan terbuka (open) jika setiap anggotanya merupakan

titik dalam. Himpunan

dikatakan tertutup (closed) jika


terbuka.

Analisis Real I 2012 Definisi 3.7 Diberikan A ⊆ R dan c ∈ R , dengan c harus di . 1. Titik

disebut titik batas (boundary point) A jika dan

2. Titik

.

disebut titik luar (exterior point) A jika ada bilangan

sehingga 3. Titik

berlaku

.

disebut titik terasing (isolated point) A jika ada bilangan

sehingga

.

Selanjutnya himpunan titik-titik tersebut dilambangkan dengan lambang berikut: 1. 2.

adalah himpunan semua titik dalam himpunan . adalah himpunan semua titik limit himpunan .

3.

adalah himpunan semua titik luar himpunan .

4.

adalah himpunan semua titik batas himpunan .

5.

adalah irisan semua himpunan tertutup yang memuat .

Latihan Diberikan himpunan

.

1. Tentukan titik dalam . ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. 2. Tentukan titik limit . ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. 3. Tentukan titik batas . ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. .................................................................................................................


Analisis Real I 2012 4. Tentukan titik luar . ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. 5. Tentukan titik terasing . ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. 6. Apakah

merupakan himpunan terbuka atau tertutup?

................................................................................................................. Alasan:...................................................................................................... ................................................................................................................. ................................................................................................................. Teorema 3.8 Diberikan

A⊆R

dan

c ∈ R , c titik limit A jika dan hanya jika

∃(an ), an ≠ c, ∀n ∈ N ∋ lim ( an ) = c . n→∞

Bukti: (⇒ ) Misal c titik limit A. Sehingga V 1 (c ) memuat sedikitnya satu titik di A n

yang berbeda

dari

c.

Jika

a n titik

tersebut,

maka

an ∈ A, an ≠ c, ∀n ∈ N ∋ lim ( an ) = c . n→∞

(⇐) Diserahkan kepada pembaca sebagai latihan.

................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ...............................................................................................


■

Analisis Real I 2012 3.2 Pengertian Limit Fungsi Definisi 3.9 Diberikan A ⊆ R , f : A → R dan c ∈ R , dengan c titik limit A. Diberikan L limit dari f di titik c, ditulis lim f ( x) = L jika ∀ε > 0, ∃δ > 0, ∋ x →c

untuk x ∈ (Vδ (c) /{c}) ∩ A berlaku f ( x) ∈ Vε ( L) . Definisi

limit

di

atas

dapat

ditulis

lim f ( x) = L

jika

x →c

dan

hanya

jika ∀ε > 0, ∃δ > 0, ∋ untuk 0 < x − c < δ dan x ∈ A berlaku f ( x) − L < ε . Contoh 3.10 ⎫ ⎧1 1. Diberikan A = ⎨ : n ∈ R ⎬, f : A → R , f ( x) = 2 x . Buktikan lim f ( x) = 0 . x →0 ⎭ ⎩n

Bukti:

Ambil

ε >0

sebarang.

Pilih

δ =

ε 2

,

Sehingga

jika

ε 0 < x − 0 = x < δ dan x ∈ A berlaku f ( x) − L = 2x − 0 = 2x = 2 x < 2δ = 2 = ε . 2 Jadi terbukti lim 2 x = 0 . x →0

2. Buktikan lim x 2 = c 2 . x →c

Analisa pendahuluan: Tujuan pembuktian ini mencari δ > 0 sehingga untuk ∀ε > 0, 0 < x − c < δ , x ∈ A berlaku x 2 − c 2 < ε . Perhatikan bahwa x 2 − c 2 = ( x + c)( x − c) = x + c x − c . Jika diambil δ = 1 maka x − c < 1 . Menurut pertidaksamaan segitiga x − c < x − c < 1 atau x < 1 + c . Sehingga x 2 − c 2 = x + c x − c < (1 + 2 c ) x − c , Dengan mengambil δ =

ε 1+ 2c

maka diperoleh x 2 − c 2 < ε .

⎧⎪ ε ⎫⎪ Bukti: Ambil ε > 0 sebarang. Pilih δ = min ⎨1, ⎬, ⎪⎩ 1 + 2 c ⎪⎭

Sehingga jika 0 < x − c < δ dan x ∈ R berlaku x 2 − c 2 = x + c x − c ≤ (1 + 2 c ) x − c < ε

Jadi terbukti lim x 2 = c 2 . x →c


■

Analisis Real I 2012 Teorema 3.11 Jika f : A → R dan c titik limit A , c ∈ R maka f hanya mempunyai satu limit di titik c. Selanjutnya akan dibicarakan kaitan antara barisan dengan limit fungsi dan kriteria kedivergenan. Teorema 3.12 (Kriteria Barisan untuk Limit). Diberikan f : A → R dan c titik limit A , maka lim f ( x) = L jika dan hanya x →c

jika untuk setiap barisan (xn) di A yang konvergen ke c dimana

xn ≠ c, ∀n ∈ N, ( f ( xn ) ) konvergen ke L. Contoh 3.13 Buktikan lim x 2 = 4 dengan menggunakan kriteria barisan. x →2

1 Bukti: Ambil ( x n ) = 2 − , n ∈ ℵ . Akan ditunjukkan ( f ( x n ) ) konvergen ke 4. n 4 1 ⎛ Perhatikan bahwa lim f ( x n ) = lim⎜ 4 − + 2 x→2 x→2 n n ⎝

⎞ ⎟ = 4. ⎠

Jadi terbukti bahwa lim x 2 = 4 .

■

x →2

Teorema 3.14 (Kriteria Kedivergenan). Diberikan A ⊆ R , f : A → R dan c ∈ R , dengan c titik limit A. a) Jika L ∈ R maka f tidak punya limit L di c jika dan hanya jika ada barisan (xn) di A yang konvergen ke c dimana x n ≠ c, ∀n ∈ ℵ, tetapi

( f ( xn )) tidak konvergen ke L. b) f tidak punya limit di c jika dan hanya jika ada barisan (xn) di A yang konvergen ke c dimana xn ≠ c, ∀n ∈ N, tetapi

( f ( xn ))

tidak konvergen ke

. Contoh 3.15. 1. Buktikan lim sgn( x) tidak ada. x→ 0

Bukti:

⎧ 1, x > 0 ⎪ Diberikan f(x) = sgn (x). Perhatikan bahwa sgn( x) = ⎨ 0, x = 0 . ⎪− 1, x < 0 ⎩


Analisis Real I 2012 Sehingga fungsi sgn (x) dapat ditulis menjadi sgn( x) = Ambil ( xn ) =

x ,x ≠ 0. x

(−1) n , n ∈ N . Tetapi n (−1) n xn n = (−1) n , = f ( x n ) = sgn( x n ) = n xn (−1) n

sehingga ( f ( x n ) ) divergen.

■

1 tidak ada di R . x→0 x

2. Buktikan lim Bukti: f ( xn ) =

Diberikan 1 = n2 1 2 n

f ( x) =

,sehingga

1 . x

( xn ) =

Ambil

( f ( xn ))

1 ,n ∈ N . n2

Tetapi

tidak konvergen karena tidak 1 tidak ada di R . x→0 x

terbatas di ℜ . Jadi terbukti bahwa lim

3.3 Beberapa Teorema Limit Fungsi Definisi 3.16. Diberikan A ⊆ R , f : A → R dan c ∈ R , dengan c titik limit A. f dikatakan terbatas pada persekitaran c jika ada persekitaran δ

dari c, yaitu

Vδ (c) dan konstanta M > 0 sehingga f ( x) ≤ M , ∀x ∈ A ∩ Vδ (c). Teorema 3.17. Diberikan A ⊆ R , f : A → R dan f mempunyai limit di c ∈ R , maka f terbatas pada suatu persekitaran dari c. Definisi 3.18 Diberikan A ⊆ R , f : A → R , g : A → R . Definisikan ( f + g )( x) = f ( x) + g ( x ) ( f − g )( x ) = f ( x) − g ( x) (bf )( x) = bf ( x), b ∈ ℜ

f ( x) ⎛f ⎞ , h( x ) ≠ 0 ⎜ ⎟( x ) = h( x ) ⎝h⎠

, ( fg )( x ) = f ( x) g ( x ) , ∀x ∈ A


Analisis Real I 2012 Teorema 3.19. Diberikan A ⊆ R , f : A → R , g : A → R dan c ∈ R , dengan c titik limit A. Jika lim f ( x ) = L dan lim g (x ) = M , maka x→c

x →c

(1)

lim( f + g )( x ) = L + M

(2)

lim(α f )( x ) = α L, α ∈ ℜ

(3)

lim( fg )(x ) = LM

(4)

⎛f⎞ L lim⎜⎜ ⎟⎟(x ) = ,M ≠ 0 x →c g M ⎝ ⎠

x →c x →c

x →c

Bukti: 1. Ambil ε > 0 sebarang. Misal lim f ( x) = L , artinya ∃δ 1 > 0, ∋ untuk 0 < x − c < δ 1 dan x →c

berlaku

f ( x) − L <

ε 2

x∈ A

.

Misal lim g ( x ) = M , artinya ∃δ 2 > 0, ∋ untuk 0 < x − c < δ 2 dan x ∈ A x→c

berlaku g ( x ) − M <

ε 2

.

Akan ditunjukkan lim( f + g )( x) = L + M . x →c

Pilih δ = min(δ 1 , δ 2 ) , sehingga untuk 0 < x − c < δ dan x ∈ A berlaku

( f + g )( x) − ( L + M ) = ( f ( x) − L) + ( g ( x) − M ) ≤ f ( x) − L + g ( x) − M <

ε 2

+

ε 2

=ε

Jadi terbukti lim( f + g )( x) = L + M . x →c

■

Bukti selanjutnya diserahkan kepada pembaca sebagai latihan. 2. ............................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. .................................................................................................................


Analisis Real I 2012 ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. 3. ............................................................................................................. ........................................................................................................... ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. 4. ............................................................................................................. ........................................................................................................... ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. .................................................................................................................


Analisis Real I 2012 ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. Contoh 3.20

⎛ x2 − 4 ⎞ ⎛ x + 4⎞ ⎟ Hitung a). lim⎜ 2 ⎟ b). lim⎜⎜ x →2 x →2 3 x − 6 ⎟ ⎝ x ⎠ ⎝ ⎠ Jawab. a) Misalkan f(x) = x + 4 dan h(x) = x2 , h( x) ≠ 0, ∀x ∈ ℜ, lim h( x ) = H ≠ 0 maka x→2

⎛ x + 4 ⎞ lim( x + 4) 6 3 diperoleh lim⎜ 2 ⎟ = x→2 = = x→2 4 2 lim x 2 ⎝ x ⎠ x→2

b) Tidak dapat menggunakan teorema 3.19 (4), karena jika dimisalkan

f ( x) = x 2 − 4, h( x) = 3 x − 6, ∀x ∈ ℜ

H = lim h( x ) = lim(3 x − 6) = 0 maka

tetapi

x→2

(

x→2

)

⎛ x2 − 4 ⎞ 1 1 1 4 ⎟ = lim ( x + 2) = lim x + 2 = (2 + 2) = . untuk x ≠ 2, lim⎜⎜ x→2 3x − 6 ⎟ x→2 3 x → 2 3 3 3 ⎝ ⎠


■

Analisis Real I 2012 Teorema 3.21 A ⊆ R, f : A → R

Diberikan

a ≤ f ( x) ≤ b

dan c ∈ R , dengan c titik limit A. Jika

∀x ∈ A, x ≠ c dan jika lim f ( x) ada maka a ≤ lim f ( x) ≤ b . x →c

x→ c

Teorema Apit 3.22 Diberikan A ⊆ R , f , g , h : A → R dan c ∈ R , dengan c titik limit A. Jika

f ( x ) ≤ g ( x ) ≤ h( x )

∀x ∈ A, x ≠ c

dan

lim f ( x) = L = lim h( x)

jika

x →c

maka

x →c

lim g ( x ) = L . x →c

Contoh 3.23 ⎛1⎞ ⎛1⎞ Buktikan bahwa lim cos⎜ ⎟ tidak ada tetapi lim x cos⎜ ⎟ = 0 . x →0 x → 0 ⎝ x⎠ ⎝ x⎠ ⎛1⎞ ⎛1⎞ Bukti. Akan dibuktikan lim cos⎜ ⎟ tidak ada . Misalkan f ( x) = cos⎜ ⎟ . x →0 ⎝ x⎠ ⎝ x⎠

Ambil subbarisan

(xn ) =

1 , n ∈ ℵ dan subbarisan 2 nπ

1 1 = 0 , lim =0 n →∞ 2nπ n →∞ ( 2n − 1)π

dimana

lim

.Tetapi

( yn ) =

1 , n ∈ℵ , (2n − 1)π

f ( x n ) = cos 2nπ = 1

dan

f ( y n ) = cos(2n − 1)π = −1 , sehingga lim ( f ( x n )) ≠ lim ( f ( y n )) . n →∞

n →∞

⎛1⎞ ⎛1⎞ Jadi lim cos⎜ ⎟ tidak ada. Akan dibuktikan lim x cos⎜ ⎟ = 0 . x→0 x → 0 ⎝x⎠ ⎝ x⎠ ⎛1⎞ Perhatikan bahwa − x ≤ x cos⎜ ⎟ ≤ x ⎝ x⎠

dan lim x = 0 = lim − x maka menurut x →0

x→0

⎛1⎞ teorema apit lim x cos⎜ ⎟ = 0 . x →0 ⎝ x⎠

■

Teorema 3.24 Diberikan

A ⊆ R, f : A → R

dan c ∈ R , dengan c titik limit A. Jika

lim f ( x) > 0 maka ∃Vδ (c) ∋ f ( x) > 0, ∀x ∈ A ∩ Vδ (c), x ≠ c . x→c

Bukti: Diberikan definisi f ( x) − L <

limit

L = lim f ( x ) > 0 . Pilih

fungsi

x →c

ε=

L > 0 , sehingga menurut 2

∃δ > 0 ∋ 0 < x − c < δ , x ∈ A ⇒ f ( x ) − L <

L . 2

Karena

L L L L maka − < f ( x ) − L < atau f ( x) > > 0, ∀x ∈ A ∩ Vδ (c ), x ≠ c ■ 2 2 2 2


Analisis Real I 2012 Lembar Kerja 7 1. Diberikan fungsi f : A ⊆ ℜ → ℜ dan lim f ( x) = l ada dengan c titik limit x →c

di A. Buktikan bahwa jika lim f ( x) = l ada maka lim f ( x) = l . x →c

x →c

Bukti ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. 2. Sesuai definisi dan menggunakan dasar logika matematika buktikan bahwa i. A - b(A) terbuka. ii. A ∩ B ⊂ A ∩ B Bukti


Analisis Real I 2012 ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. 3. Tentukanlah titik dalam, titik batas, titik luar, titik limit dan sifat himpunan (terbuka atau tertutup) dari himpunan A berikut!

{

A = ( x1 , x2 ) ∈ ℜ 2 x1 − a1 + x2 − a 2 < r

}

Jawaban ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. .................................................................................................................


Analisis Real I 2012 ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. 4. Buktikan bahwa

( x 2 − 5 x + 4) = −3 dengan menggunakan definisi x →c ( x − 1)

lim

limit. Bukti ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. .................................................................................................................


Analisis Real I 2012 ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. .................................................................................................................



BAB IV KEKONTINUAN FUNGSI KOMPETENSI DASAR Memahami konsep fungsi kontinu dan sifat-sifatnya serta dapat menggunakannya untuk menyelesaikan masalah yang memuat fungsi kontinu. INDIKATOR: Setelah melakukan proses belajar mengajar mahasiswa mampu : 1. Memahami pengertian kontinu titik, kontinu pada himpunan. 2. Menggunakan konsep limit pada fungsi kontinu. 3. Menggunakan kriteria diskontinuitas. 4. Mengkonstruksi fungsi kontinu 5. Memahami sifat-sifat aljabar fungsi kontinu. 6. Memahami pengertian fungsi terbatas, dan ekstrim mutlak. 7. Memahami sifat-sifat fungsi yang kontinu pada interval. SUB POKOK BAHASAN : 4.1 Definisi Fungsi Kontinu 4.2 Sifat-Sifat Fungsi Kontinu 4.3 Fungsi Kontinu pada Interval 4.4 Kekontinuan Seragam 4.5 Fungsi Monoton 4.6 Fungsi Invers

4.1 Definisi Fungsi Kontinu Definisi 4.1. Diberikan A ⊆ R , f : A → R dan c ∈ A . f dikatakan kontinu di titik c jika untuk setiap persekitaran Vε ( f (c)) dari f(c) terdapat persekitaran Vδ (c) dari c sehingga jika x ∈ A ∩ Vδ (c) maka f ( x) ∈ Vε ( f (c)) . Berikut ini ada beberapa hal yang perlu diperhatikan dalam pengambilan titik c;


Analisis Real I 2012 1. Jika c ∈ A , dimana c titik limit A, maka dari definisi limit dan definisi fungsi f

kontinu

kontinu

dapat

disimpulkan

bahwa

di c ⇔ f (c) = lim f ( x ) . x→ c

Dengan kata lain, jika c titik limit A maka f dikatakan kontinu di titik c jika memenuhi syarat •

f terdefinisi di titik c

•

lim f ( x ) ada

•

f (c) = lim f ( x)

x→ c

x→ c

2. Jika c ∈ A , dimana c bukan titik limit A, maka ada persekitaran Vδ (c) dari c sehingga A ∩ Vδ (c) = {c} . Jadi dapat disimpulkan bahwa fungsi f jelas kontinu di titik c ∈ A walaupun c bukan titik limit A. Seperti yang telah dibahas pada bab III, titik ini disebut ”titik terisolasi dari A”. Definisi selanjutnya akan membicarakan kekontinuan fungsi pada suatu himpunan. Definisi 4.2. Diberikan A ⊆ R , f : A → R Jika B ⊆ A , f dikatakan kontinu pada B jika f kontinu di setiap titik pada B. Teorema 4.3 Diberikan A ⊆ R , f : A → R dan c ∈ A . Pernyataan berikut ekuivalen : 1) f dikatakan kontinu di titik c jika untuk setiap persekitaran Vε ( f (c)) dari f(c) terdapat persekitaran Vδ (c) dari c sehingga jika x ∈ A ∩ Vδ (c) maka f ( x) ∈ Vε ( f (c)) . 2) Untuk ∀ε > 0, ∃δ > 0 ∋ ∀x ∈ A, x − c < δ ⇒ f ( x) − f (c) < ε . 3) Jika (xn) barisan bilangan riil, ∋ xn ∈ A, ∀n ∈ R dan (xn) konvergen ke-c maka barisan f((xn)) konvergen ke f(c). Dengan kata lain dapat disajikan sebagai berikut: f kontinu di c ⇔ ∀(x n ) ⊆ A, x n → c ⇒ f (x n ) → f (c ) .

•

f : A → ℜ dan c ∈ A ;

•

f : A → ℜ dan c ∈ A ; f diskontinu di c ⇔ ∃( x n ) ⊆ A, x n → c ⇒ f ( x n ) → f (c )


Analisis Real I 2012 Contoh 4.4 1).

⎧1, x rasional f (x ) = ⎨ ⎩0, x irrasional Untuk c rasional, f (c ) = 1 Diambil barisan bilangan irrasional (x n ) dengan x n → c

x n irrasional ⇒ f ( x n ) = 0, ∀n ∈ N . Akibatnya f ( x n ) → 0 ≠ f (c ) Jadi f diskontinu di c rasional. Untuk c irrasional, f (c ) = 0 Diambil barisan bilangan rasional ( y n ) dengan y n → c

y n rasional ⇒ f ( y n ) = 1, ∀n ∈ N . Akibatnya f ( y n ) → 1 ≠ f (c ) Jadi f diskontinu di c irrasional. 2).

f : ℜ → ℜ kontinu

f (r ) = 0, ∀r rasional Buktikan f ( x ) = 0, ∀x ∈ ℜ Bukti: Cukup dibuktikan f (x ) = 0, ∀x irrasional Diambil sebarang x irrasional. Karena f kontinu pada ℜ , maka f kontinu di x.

Diambil barisan bilangan rasional

Akibatnya f (rn ) → f ( x ) . Di lain pihak, f (rn ) = 0

∀n . Jadi f (rn ) → 0

Dengan ketunggalan limit, maka f ( x ) = 0 , x irrasional. 3).

f :ℜ → ℜ

⎧ x + 3, x rasional f (x ) = ⎨ ⎩8 − 3 x, x irrasional Tentukan titik-titik kekontinuan dari f Jawab: Misal f kontinu di c. Diambil sebarang barisan ( x n ) ⊆ ℜ, x n → c


(rn ), rn → x .

Analisis Real I 2012 ⎧ x + 3, x n rasional f (xn ) = ⎨ n ⎩8 − 3x n , x n irrasional Karena

xn → c

maka

konvergen ke c.

(xn )

rasional dan

(xn )

irrasional juga

Dengan demikian:

y n = xn + 3 → c + 3 z n = 8 − 3 x n → 8 − 3c Di lain pihak, ( y n ) dan ( z n ) barisan bagian dari

( f (xn )) .

Karena f

kontinu di c, maka y n → f (c ) dan z n → f (c ) Dengan ketunggalan limit barisan :

f (c ) = c + 3 = 8 − 3c sehingga c = 5 . 4 Teorema 4.5 (Kriteria Ketakkontinuan) Diberikan A ⊆ R , f : A → R dan c ∈ A . f tidak kontinu di titik c jika dan hanya jika ∃( x n ) ∈ A ∋ ( x n ) konvergen ke c, f((xn)) tidak konvergen ke f(c). Contoh 4.6 1. Diberikan f(x) = 2x. Buktikan f(x) kontinu pada R . Bukti: Ambil ε > 0 sebarang dan c ∈ R sebarang. Pilih δ =

ε 2

∋ x − c < δ , x ∈ D f ⇒ f ( x) − f (c ) = 2 x − 2c = 2 x − c < 2δ = ε .

Sehingga menurut definisi kekontinuan f(x) kontinu pada R . 2. Diberikan A = R , dan f ”fungsi Di richlet” yang didefinisikan sebagai

, x ∈Q ⎧1 berikut: f ( x) = ⎨ ⎩0 , x ∈ ℜ \ Q Buktikan bahwa f(x) tidak kontinu di R . Bukti:

•

Diberikan

c∈Q ,

Karena f ( xn ) = 0, ∀n ∈ N

ambil maka

( xn ) ∈ ℜ \ Q, ( xn ) → c, ∀n ∈ N .

lim ( f ( x n )) = 0 , tetapi n →∞

Akibatnya f tidak kontinu pada c ∈ Q .


f(c) = 1.

Analisis Real I 2012 •

Diberikan

b∈R \ Q,

Karena f ( yn ) = 1, ∀n ∈ N

ambil

maka

( yn ) ∈ Q, ( yn ) → b, ∀n ∈ N .

lim ( f ( y n )) = 1 ,

tetapi f(b) = 0.

n →∞

Akibatnya f tidak kontinu pada b ∈ R \ Q . Dari kedua kasus di atas dapat disimpulkan f tidak kontinu pada R . Selanjutnya ada beberapa hal tentang perluasan fungsi kontinu. Terkadang ada fungsi f : A → R yang tidak kontinu di titik c karena f(c) tidak terdefinisi.Tetapi, jika fungsi f mempunyai limit L di titik c maka dapat didefinisaikan fungsi baru

F : A ∪ {c} → R

yang didefinisikan

sebagai berikut:

,x = c ⎧ L F( x ) = ⎨ ⎩ f ( x ) ,x ∈ A Maka F kontinu di titik c. Contoh 4.7 ⎛1⎞ 1) Diberikan f ( x ) = x sin⎜ ⎟ , x ≠ 0 . Karena f(0) tidak terdefinisi dan f ⎝ x⎠ ⎛1⎞ tidak kontinu di titik x = 0 tetapi lim x sin⎜ ⎟ = 0 , maka kita dapat x→0 ⎝x⎠

memperluas fungsi f(x) menjadi

F :R →R

yang didefinisikan

sebagai berikut:

,x = 0 ⎧ 0 ⎪ ⎛1⎞ F( x ) = ⎨ . x sin⎜ ⎟ , x ≠ 0 ⎪⎩ ⎝ x⎠ Sehingga F kontinu di x = 0. ⎛1⎞ 2) Diberikan g ( x ) = sin⎜ ⎟ , x ≠ 0 . Karena lim g ( x ) tidak ada, maka kita x →0 ⎝ x⎠

tidak dapat memperluas fungsi g(x) di titik x = 0. 4.2 Sifat-sifat Fungsi Kontinu Pada sub bab ini akan membahas penjumlahan, selisih, perkalian dua fungsi, dan perkalian fungsi dengan skalar serta pembagian fungsi kontinu.


Analisis Real I 2012 Teorema 4.8 Diberikan A ⊆ R , f , g : A → R , b ∈ R . Diberikan c ∈ A dan f dan g kontinu di titik c, (i) f ± g kontinu di c (ii) b f kontinu di c, b skalar (iii) fg kontinu di c (iv)

f kontinu di c, g (c ) ≠ 0 g

Bukti: (hampir sama dengan limit. Coba dilanjutkan sebagai latihan). (i). Bukti ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. .................................................................................................................


Analisis Real I 2012 ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. (ii) Bukti ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. .................................................................................................................


Analisis Real I 2012 ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. (iii) Bukti ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. .................................................................................................................


Analisis Real I 2012 ................................................................................................................. (iv) Bukti ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. .................................................................................................................


Analisis Real I 2012 Teorema 4.9. Diberikan A ⊆ R , f : A → R , dan diberikan | f | didefinisikan sebagai

f ( x) = f ( x) , ∀x ∈ A . a) Jika f kontinu di titik c ∈ A maka | f | kontinu di titik c. b) Jika f kontinu pada A maka | f | kontinu pada A. Bukti a)............................................................................................................... ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. .................................................................................................................


Analisis Real I 2012 ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. Bukti b).............................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. .................................................................................................................


Analisis Real I 2012 Teorema 4.10. Diberikan A ⊆ R, f : A → R, f ( x) ≥ 0 ∀x ∈ A , dan diberikan sebagai ( f )( x) =

f didefinisikan

f ( x) , ∀x ∈ A

a) Jika f kontinu di titik c ∈ A maka b) Jika f kontinu pada A maka

f kontinu di titik c.

f kontinu pada A.

Bukti. a) Ambil ε > 0 sebarang. Diberikan c ∈ A . Jika f (c ) = 0 maka

f (c ) = 0 .

Karena f kontinu di c ∈ A maka

∃δ > 0 ∋ ∀x ∈ A, x − c < δ ⇒ f ( x) = f (x ) < ε 2 atau f (x ) − 0 =

f (x ) −

f (c ) < ε .

Sekarang diberikan c ∈ A dan f (c ) ≠ 0 . Karena Karena f kontinu di

c ∈ A maka ∃δ > 0 ∋ ∀x ∈ A, x − c < δ ⇒ f ( x) − f (c ) < ε f (c ) . Perhatikan bahwa ∀x ∈ A, x − c < δ berlaku f ( x) −

f (c ) = =

Jadi terbukti

(

f ( x) −

(

f (c )

f ( x) +

f ( x ) − f (c ) f ( x) +

)(

f (c )

<

f ( x) + f (c )

)

f (c )

f ( x ) − f (c ) f (c )

)=

<

(

( f ( x ) − f (c ) ) f ( x) +

ε f (c ) f (c )

f (c )

)

=ε

f kontinu di titik c.

■

Selanjutnya akan dibahas tentang komposisi fungsi kontinu. Komposisi Fungsi Kontinu Teorema 4.11. Misal A, B ⊆ R , f : A → R , g : B → R , ∋ f ( A) ⊆ B . Jika f kontinu di titik c ∈ A dan g kontinu pada b = f ( c ) ∈ B maka g o f : A → R kontinu di titik c. Bukti ................................................................................................................. .................................................................................................................


Analisis Real I 2012 ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. Teorema 4.12. Misal A, B ⊆ R , f : A → R , g : B → R , ∋ f ( A) ⊆ B . Diberikan f kontinu pada A dan g kontinu pada B . Jika f ( A) ⊆ B maka g o f : A → R kontinu pada A.


Analisis Real I 2012 Bukti ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. .................................................................................................................


Analisis Real I 2012 4.3 Fungsi Kontinu pada Interval Definisi 4.13. Misal f : A → R .f dikatakan terbatas pada A jika ∃M > 0 ∋ f ( x) ≤ M , ∀x ∈ A . Dari definisi di atas dapat disimpulkan bahwa suatu fungsi dikatakan terbatas jika range fungsi tersebut terbatas di R . Ingat bahwa fungsi kontinu tidak selalu terbatas, contohnya pada f ( x) =

1 , A = {x ∈ R : x > 0} , f x

kontinu pada A tetapi tidak terbatas pada A. Jika f ( x) =

1 , B = {x ∈ R : 0 < x < 1} juga f kontinu pada B tetapi x

terbatas pada B. Sedangkan jika f ( x) =

f

tidak

1 , C = { x ∈ R : x ≥ 1} f kontinu pada x

C dan f terbatas pada C, meskipun C tidak terbatas. Teorema 4.14 (Keterbatasan). Misal I = [a,b] interval tertutup terbatas dan diberikan f : I → R kontinu pada I. Maka f terbatas pada I. Bukti: Andaikan f tidak terbatas pada I, maka ∃xn ∈ I ∋ f ( xn ) > n, ∀n ∈ N . Karena I terbatas maka X = (xn) terbatas, sehingga menurut teorema BolzanoWeistrass

ada

subbarisan

yang

konvergen,

sebut

X ′ = ( x nr )

yang

konvergen ke x. Karena X ′ ∈ I maka menurut teorema x ∈ I . Dari hipotesis di atas diketahui

f

kontinu pada I, sehingga menurut

teorema 4.3 ( f ( x nr )) konvergen ke f(x). Menurut teorema suatu barisan konvergen adalah terbatas, maka ( f ( x nr )) terbatas. Hal ini bertentangan dengan kenyataan bahwa f ( xn r ) > nr ≥ r

, r ∈ R . Jadi pengandaian salah

haruslah f terbatas pada I.■ Definisi 4.15 Diberikan A ⊆ R , f : A → R . f mempunyai maksimum absolut pada A jika ada x* ∈ A ∋ f ( x*) ≥ f ( x ), ∀x ∈ A dan f mempunyai minimum absolut pada A jika ada x* ∈ A ∋ f ( x* ) ≤ f ( x), ∀x ∈ A .


Analisis Real I 2012 Note: x* disebut titik maksimum absolut dan x* disebut titik minimum absolut. Teorema 4.16 (Maksimum-Minimum). Misal I = [a,b] interval tertutup terbatas dan diberikan f : I → R kontinu pada I. Maka f

mempunyai maksimum absolut dan minimum absolut

pada I. Bukti : Diberikan f ( I ) = { f ( x), x ∈ I } . Karena I interval tertutup terbatas maka f(I) juga terbatas pada R , sehingga f(I) mempunyai supremum dan infimum, sebut

s*

=

sup

f(I)

dan

s* = inf f ( I ) .

Akan

dibuktikan

∃x*, x* ∈ I ∋ s* = f ( x*) & s* = f ( x* ) . Karena

1 s* = sup f(I) maka s * − , n ∈ N bukan batas atas f(I). Sehingga n

∃xn ∈ I ∋ s * −

1 < f ( xn ) ≤ s*, n ∈ N . n

Karena I terbatas maka X = (xn) juga terbatas, sehingga menurut Teorema Bolzano-Weistrass ada subbarisan

X ′ = ( x nr )

Karena

maka

s*−

f

kontinu

di

x*

yang konvergen ke x*. lim f ( x nr ) = f ( x*) n→∞

sehingga

1 < f ( x nr ) ≤ s*, r ∈ ℵ . nr

Karena

⎛ 1 lim⎜⎜ s * − n →∞ nr ⎝

⎞ ⎟⎟ = s* = lim s * n →∞ ⎠

maka

menurut

teorema

apit

lim ( f ( x nr )) = s * . Sehingga f ( x*) = lim ( f ( x nr )) = s* = sup f ( I ) . n→∞

n→∞

Akibatnya f(x) mempunyai absolut maksimum.

■

Teorema 4.17 (Lokasi Akar). Misal I = [a,b] interval tertutup terbatas dan diberikan f : I → R kontinu pada I. Jika α < β , α , β ∈ I ∋ f (α ) < 0 < f ( β ) atau

f (α ) > 0 > f ( β ) maka

∃c ∈ (α , β ) ∋ f (c ) = 0 .

Bukti ................................................................................................................. .................................................................................................................


Analisis Real I 2012 ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. Teorema 4.18 (Niai Tengah Bolzano’s). Misal I = [a,b] interval dan diberikan f : I → R kontinu pada I. Jika

a, b ∈ I

dan

jika

k ∈R

yang

memenuhi f (a) < k < f (b)

∃c ∈ (a, b) ∋ f (c) = k . Bukti:


maka

Analisis Real I 2012 Misal a, b ∈ I dan f (a) < k < f (b) , k ∈ R .

•

Diberikan a < b dan diberikan g(x) = f(x) – k. Karena f (a) < k < f (b) maka g (a) < 0 < g (b) . Karena kontinu

pada

I,

f(x) kontinu pada I maka g(x) juga

sehingga

menurut

teorema

lokasi

akar

∃c ∈ (a, b), a < c < b ∋ 0 = g (c) = f (c) − k .Jadi f(c) = k. •

Diberikan b < a dan diberikan h(x) = k - f(x). Karena f (a) < k < f (b) maka h(b) < 0 < h(a) . Karena kontinu

pada

I,

f(x) kontinu pada I maka h(x) juga

sehingga

menurut

teorema

lokasi

∃c ∈ (a, b), b < c < a ∋ 0 = h(c) = k − f (c) .Jadi f(c) = k.

akar ■

Akibat 4.19. Misal I = [a,b] interval tertutup terbatas dan diberikan f : I → R kontinu pada

I.

Jika

k ∈ℜ

yang

memenuhi inf f ( I ) ≤ k ≤ sup f ( I )

maka

∃c ∈ I ∋ f (c) = k . 4.4 Kekontinuan Seragam Definisi 4.20. Diberikan A ⊆ R, f : A → R. f dikatakan kontinu seragam pada A jika untuk ∀ε > 0, ∃δ (ε ) > 0 ∋ ∀x, u ∈ A, x − u < δ (ε ) ⇒ f ( x ) − f (u ) < ε . Selanjutnya akan dibicarakan beberapa kriteria ketakkontinuan seragam, salah satunya dengan menggunakan barisan. Definisi 4.21 (Ketak Kontinuan Seragam). Diberikan A ⊆ R, f : A → R. Pernyataan berikut ekuivalen : 1) f tidak kontinu seragam pada A 2) ∀δ > 0, ∃ε 0 > 0, ∃xδ , u δ ∈ A ∋ xδ − u δ < δ ⇒ f ( xδ ) − f (u δ ) ≥ ε 0 3) ∃ε 0 > 0, ∃( xn ), (un ) ∈ A ∋ lim ( xδ − uδ ) = 0 & f ( xn ) − f (un ) ≥ ε 0 , ∀n ∈ N n →∞

Dari definisi kekontinuan fungsi jelas bahwa jika f kontinu seragam pada A maka f kontinu di setiap titik dari A. Tetapi jika f kontinu di setiap titik dari A tidak mengakibatkan f diberikan g ( x) =

kontinu seragam pada A. Contohnya

1 , A = {x ∈ R : x > 0} . Fungsi g kontinu pada A ( lihat x


Analisis Real I 2012 contoh ), tetapi g tidak kontinu seragam pada A karena dengan mengambil ε 0 = 12 , x n =

1 1 , un = ∋ lim( x n − u n ) = 0 dan n n + 1 n →∞

g ( xn ) − g (u n ) =| n − ( n + 1) |= 1 ≥

1 2

= ε 0 , ∀n ∈ R .

Selanjutnya jika f kontinu pada suatu interval tertutup terbatas, sebut I maka f kontinu seragam pada I. Teorema 4.22 (Kekontinuan Seragam). Diberikan I

adalah interval tertutup terbatas, dan

f : I → R kontinu

pada I maka f kontinu seragam pada I. Bukti ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. .................................................................................................................


Analisis Real I 2012 ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. Pada teorema 4.22 suatu fungsi kontinu akan kontinu seragam jika intervalnya tertutup dan terbatas. Apabila intrervalnya tidak tertutup dan terbatas akan sulit menentukan kekontinuan seragam. Untuk itu diperlukan kondisi lain, yaitu kondisi Lipschitz . Definisi 4.23 (Fungsi Lipschitz). Diberikan A ⊆ R, f : A → R. Jika ∃K > 0 ∋ f ( x ) − f (u ) ≤ K x − u , ∀x, u ∈ A maka f dikatakan fungsi Lipschitz pada A atau memenuhi kondisi Lipschitz. Teorema 4.24. Jika f : A → R dan f fungsi Lipschitz maka f kontinu seragam pada A. Bukti: Ambil ε > 0 sebarang. Diberikan f fungsi Lipschitz maka ∃K > 0 ∋ f ( x ) − f (u ) ≤ K x − u , ∀x, u ∈ A . Akan

ditunjukkan

f

kontinu

seragam

pada

A

atau

∃δ > 0 ∋ ∀x, u ∈ A, x − u < δ ⇒ f ( x ) − f (u ) < ε .

Pilih δ =

ε K

f ( x) − f (u ) ≤ K x − u < Kδ = K

, sehingga ∀x, u ∈ A,

ε K

=ε .

Jadi f kontinu seragam pada A.

■

Kebalikan dari teorema di atas tidak benar, artinya tidak setiap fungsi kontinu

seragam

adalah

g : I → ℜ, I = [0,2], g ( x ) =

fungsi

Lipschitz.

Contohnya,

diberikan

x . Menurut teorema 4.10 g kontinu pada I,

sehingga menurut teorema 4.22 g kontinu seragam pada I. Tetapi g bukan

fungsi

Lipschitz

karena

K > 0 ∋ g ( x ) − g (u ) ≤ K x − u , ∀ x , u ∈ I .


tidak

ada

Analisis Real I 2012 Contoh 4.25. 1. Diberikan f(x) = x2 pada A = [0,b] dengan b konstanta positif. Tunjukkan bahwa f kon tinu seragam. Jawab: Ambil x, u ∈ [0, b] sebarang. Perhatikan bahwa f ( x) − f (u ) = x 2 − u 2 = x + u x − u ≤ 2b x − u .

Sehingga dengan mengambil K = 2b , f merupakan fungsi Lipschitz. Menurut teorema 4.24 f kontinu seragam. 2. Diberikan g ( x ) = x ,

A = [1, ∞ ) . Tunjukkan bahwa g kon tinu seragam.

Jawab: Ambil x, u ∈ A sebarang. Perhatikan bahwa

g ( x) − g (u ) =

x− u =

x−u x+ u

≤

1 x−u . 2

Sehingga dengan mengambil K = ½ , g merupakan fungsi Lipschitz. Menurut teorema 4.24 g kontinu seragam. 4.5 Fungsi Monoton dan Fungsi Invers Definisi 4.26. 1. Diberikan

f : A → R, f dikatakan naik pada A jika ∀x1 , x 2 ∈ A dan

x1 ≤ x2 maka f ( x1 ) ≤ f ( x2 ) . Fungsi f dikatakan naik sejati pada A jika ∀x1 , x 2 ∈ A dan x1 < x2 maka f ( x1 ) < f ( x2 ) . 2. Diberikan f : A → R, f dikatakan turun pada A jika ∀x1 , x 2 ∈ A dan

x1 ≤ x2 maka f ( x1 ) ≥ f ( x2 ) . Fungsi f dikatakan naik sejati pada A jika ∀x1 , x 2 ∈ A dan x1 < x2 maka f ( x1 ) > f ( x2 ) . Selanjutnya jika f : A → R, naik pada A maka g = -f

turun pada A,

sedangkan jika f : A → R, turun pada A maka g = -f naik pada A.

Fungsi yang monoton belum tentu konitnu, sebagai contoh

⎧0 , x ∈ [ 0 ,1 ] Diberikan f ( x ) = ⎨ ⎩1, x ∈ ( 1,2 ] Pada fungsi di atas, f naik pada [0,2] tetapi tidak kontinu di x = 1.


Analisis Real I 2012 Teorema 4.27. Misal I ⊆ R, f : I → R, f naik pada I. Misal

c ∈ I dimana c bukan titik

ujung dari I, maka

( i ). lim− f ( x ) = sup{ f ( x ) : x ∈ I , x < c } x →c

( ii ). lim+ f ( x ) = inf{ f ( x ) : x ∈ I , x > c } x →c

Bukti: (i). Ambil ε > 0 sebarang. Diberikan x ∈ I dan x < c. Karena f naik maka f ( x ) ≤ f ( c ) . Sehingga

{ f ( x ) : x ∈ I , x < c } terbatas di atas oleh f(c). Karena { f ( x ) : x ∈ I , x < c } terbatas

di

atas

maka

mempunyai

supremum,sebut

L = sup{ f ( x ) : x ∈ I , x < c } . Maka ∀ε > 0, L − ε bukan batas atas { f ( x ) : x ∈ I , x < c } , sehingga ∃y ε ∈ I dimana y ε < c ∋ L − ε < f ( y ε ) ≤ L. Pilih δ = c − y ε ∋ 0 < c − y < δ maka Akibatnya

y ε < y < c dan L − ε < f ( y ε ) ≤ f ( y ) ≤ L .

f( x)− L < ε

jika

0
atau

f ( x ) − sup{ f ( x ) : x ∈ I , x < c} < ε untuk 0 < c − y < δ .

Karena

ε >0

sebarang,

maka

dapat

disimpulkan

lim f ( x) = sup{ f ( x) : x ∈ I , x < c} .

x →c −

(ii). Bukti ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. .................................................................................................................


Analisis Real I 2012 ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. Akibat 4.28. Misal I ⊆ R, f : I → R, f naik pada I. Misal

c ∈ I dimana c bukan titik

ujung dari I, maka pernyataan berikut equivalent: a) f kontinu di c b) lim− f ( x ) = f ( c ) = lim+ f ( x ) x →c

x →c

c) sup{ f ( x ) : x ∈ I , x < c } = f ( c ) = inf{ f ( x ) : x ∈ I , x > c } Misal I interval dan

f : I → R, f fungsi naik. Misal a titik ujung kiri dari

I, dan f kontinu di a jika dan hanya jika f ( a ) = inf{ f ( x ) : x ∈ I , x > a }, atau f kontinu pada a jika dan hanya jika f ( a ) = lim+ f ( x ) . x→a


Analisis Real I 2012 Misal I interval dan

f : I → R, f fungsi naik. Misal b titik ujung kanan

dari I, dan f kontinu di b jika dan hanya jika f ( b ) = sup{ f ( x ) : x ∈ I , x 

0

yang

memenuhi

, x, y ∈ R . Buktikan bahwa f kontinu di setiap

titik c ∈ R . Bukti ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. .................................................................................................................


Analisis Real I 2012 ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. Diberikan A ⊆ R, f : A → R , dan diberikan | f | didefinisikan sebagai

2.

f ( x ) = f ( x ) , ∀x ∈ A . Buktikan jika f kontinu di titik c ∈ A maka |f|

kontinu di titik c. Bukti ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................ ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. .................................................................................................................


Analisis Real I 2012 ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. 3.

Berikan contoh fungsi f dan g yang tidak kontinu di titik c, tetapi (f + g) dan (fg) kontinu di titik c.

Bukti ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. .................................................................................................................


Analisis Real I 2012 ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. Berikan contoh fungsi f : [0,1] → R yang tidak kontinu di setiap titik

4.

dari [0,1], tetapi |f| kontinu pada [0,1]. Bukti ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. .................................................................................................................


Analisis Real I 2012 ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. 5.

Misal I = [a,b] dan diberikan

f : I → R kontinu pada I , dan

diberikan f (a) < 0, f (b) > 0 . Diberikan W = {x ∈ I : f ( x) < 0} dan w = sup{W}. Buktikan f(w) = 0. Bukti ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. .................................................................................................................


Analisis Real I 2012 ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. 6.

Diberikan

g ( x) =

x,

A = [0, ∞) .

Tunjukkan

bahwa

g

kontinu

seragam pada A. Bukti ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. .................................................................................................................


Analisis Real I 2012 ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. 7.

Diberikan

g ( x) =

1 , A = [a, ∞) dengan x

a

konstanta

positif.

Tunjukkan bahwa g kon tinu seragam pada A. Bukti ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. .................................................................................................................


Analisis Real I 2012 ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. 8.

Buktikan jika f kontinu seragam pada A maka f terbatas pada A.

Bukti ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. .................................................................................................................


Analisis Real I 2012 ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. 9.

Diberikan f(x) = x dan g(x) = sin x, tunjukkan bahwa f(x) dan g(x) kontinu seragam pada ℜ , tetapi (fg)(x) tidak kontinu seragam pada

ℜ. Bukti ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. .................................................................................................................


Analisis Real I 2012 ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. 10.

Diberikan

g ( x) =

1 , A = [1, ∞) . Tunjukkan bahwa g kon tinu x2

seragam pada A, tetapi g tidak kontinu seragam pada B = (0, ∞) . Bukti ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. .................................................................................................................


Analisis Real I 2012 ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. 11.

Buktikan jika f dan g kontinu seragam pada R maka f o g kontinu seragam pada R .

Bukti ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. .................................................................................................................


Analisis Real I 2012 ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. 12.

Diberikan A ⊆ R, f : A → R, g : A → R, b ∈ R . Diberikan c ∈ A dan f dan g kontinu di titik c, buktikan (f + g), f - g, fg, bf kontinu di c dengan menggunakan definisi fungsi kontinu.

Bukti ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. .................................................................................................................


Analisis Real I 2012 ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................ ................................................................................................................. ................................................................................................................. ................................................................................................................. .................................................................................................................



DAFTAR PUSTAKA

Apostol, T.M, 1957, Mathematical Analysis, Addison-Wesley Publishing Company. Bartle, R.G., 2001, A Modern Theory of Integration, Mathematical Society, Vol. 32., Providence, Rhode Island.

American

Burk, F.E., 2007, A Garden of Integrals, The Mathematical Association of America, Number Thirty-One. Burkill,J.C. & Burkill, H, 1970, A Second Course in Mathematical Analysis, Cambridge University Press, London. Darmawijaya, Soeparna, Pengantar Analisis Real, UGM, Yogyakarta, 2006. DePree, J., Swartz, C., Introduction to Real Analysis, John Wilwey & Sons, Inc., 1988. Goldberg, R. R., Methods of Real Analysis, John Wiley & Sons, Second Edition. Guswanto, B.H, & Siti, R.N, Lecture Note Analisis Real, Jurusan MIPA, Universitas Jenderal Soedirman, Purwokerto, 2006. Julan H, 2007. Materi kuliah Logika Matematika, jurusan matematika FMIPA, UAD, Yogyakarta. http:/www2.edc.org/makingmath http:/www.cut-the-knot.org


DAFTAR PUSTAKA

Apostol, T.M, 1957, Mathematical Publishing Company.

Analysis,

Addison-Wesley

Bartle, R.G., 2001, A Modern Theory of Integration, American Mathematical Society, Vol. 32., Providence, Rhode Island. Burk, F.E., 2007, A Garden of Integrals, The Mathematical Association of America, Number Thirty-One. Burkill,J.C. & Burkill, H, 1970, A Second Course in Mathematical Analysis, Cambridge University Press, London. DePree, J., Swartz, C., Introduction to Real Analysis, John Wilwey & Sons, Inc., 1988. Goldberg, R. R., Methods of Real Analysis, John Wiley & Sons, Second Edition. Julan H, 2007. Materi kuliah Logika Matematika, jurusan matematika FMIPA, UAD, Yogyakarta. http:/www2.edc.org/makingmath http:/www.cut-the-knot.org

MODUL DAN LEMBAR KERJA MAHASISWA

Recommend Documents