Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Terapannya 2016 p-ISSN : 2550-0384; e-ISSN : 2550-0392
MODUL
ATAS RING MATRIKS
( )
Arindia Dwi Kurnia Universitas Jenderal Soedirman
[email protected] Ari Wardayani Universitas Jenderal Soedirman Suroto Universitas Jenderal Soedirman ABSTRACT. This paper discusses about the mathematical system that is formed by ( ) In this case, is a commutative ring with unit element. and ring of matrices ( ) By investigating the The result showed that, is module over ring of matrices existence of torsion element, it is obtained that module over ring of matrices ( ) is a torsion module. By investigating the existence of basis, it is obtained that module ( )is not free module. over ring of matrices Keywords: ring of matrices, module, torsion module, free module. ABSTRAK. Artikel ini membahas tentang sistem matematika yang dibentuk dari dan ( ). Dalam hal ini, adalah ring komutatif dengan elemen satuan. ring matriks ( ) Hasil kajian menunjukkan bahwa merupakan modul atas ring matriks Dengan menyelidiki eksistensi elemen torsi, diperoleh bahwa modul atas ring matriks ( ) merupakan modul torsi. Dengan menyelidiki eksistensi basis, diperoleh bahwa ( ) bukan merupakan modul bebas. modul atas ring matriks Kata kunci: ring matriks, modul, modul torsi, modul bebas.
1. PENDAHULUAN Sistem matematika yang dibentuk dari suatu grup Abel dan ring dengan elemen satuan yang dilengkapi dengan operasi perkalian skalar dan memenuhi sifat-sifat tertentu disebut modul. Suatu modul dikatakan modul torsi jika setiap elemennya merupakan elemen torsi. Apabila suatu modul memiliki basis, maka modul tersebut dikatakan modul bebas. Menurut Kinanti, dkk (2013), himpunan matriks atas ring komutatif dengan elemen satuan membentuk struktur aljabar modul atas ring komutatif dengan elemen satuan. Sementara itu, himpunan ( ) adalah himpunan matriks berukuran
atas
dengan
adalah ring
Modul
( )
atas Ring Matriks
2
komutatif dengan elemen satuan. Menurut Abdurrazzaq (2015), himpunan ( ) yang dilengkapi dengan operasi penjumlahan dan perkalian matriks
merupakan ring dengan elemen satuan. Himpunan matriks yang berukuran merupakan ruang Euclid berdimensipenelitian ini,
atas himpunan bilangan riil dan dinotasikan dengan
diperumum menjadi
dengan
. Pada
adalah sembarang ring
komutatif dengan elemen satuan. Artikel ini membahas sistem matematika yang dibentuk dari
( ) beserta sifat-sifatnya. Sistem
dan ring matriks
matematika yang dibahas pada artikel ini terkait modul atas suatu ring. Adapun manfaat dari penelitian ini yaitu sebagai landasan teori untuk penelitian-penelitian yang terkait.
2. METODE PENELITIAN Metode yang digunakan adalah studi pustaka dengan cara mengkaji bukubuku teks, jurnal dan beberapa artikel ilmiah yang berkaitan dengan materi penelitian. Adapun langkah-langkah yang dilakukan dalam penelitian ini adalah sebagai berikut: 1. Mendefinisikan
dengan memperumum entri-entri pada
merupakan
elemen pada 2. Membuktikan
grup Abel.
3. Membuktikan
modul atas ring matriks
( )
4. Membuktikan modul
atas ring matriks
( ) adalah modul torsi.
5. Membuktikan modul
atas ring matriks
( ) bukan modul bebas.
3. HASIL DAN PEMBAHASAN Pada hasil dan pembahasan ini diuraikan mengenai struktur modul yang terbentuk dari
dan ring matriks
( ). Selanjutnya, pada artikel ini dibahas
mengenai modul torsi dan modul bebas dari modul yang terbentuk.
Purwokerto, 3 Desember 2016
3
A. D. Kurnia d.k.k.
3.1 Ruang- atas Ring Komutatif dengan Elemen Satuan Misalkan adalah
merupakan ring komutatif dengan elemen satuan. Elemen nol pada dan elemen satuannya adalah
. Pembahasan diawali dengan
mendefinisikan ruang- dengan -tupel merupakan elemen pada ring .
Definisi 3.1 Misalkan
adalah ring komutatif dengan elemen satuan. Himpunan
matriks berukuran
disebut ruang- atas
tersebut merupakan elemen pada
jika elemen-elemen pada matriks
dan dinotasikan
Menurut Cullen (1998), himpunan matriks
dengan elemennya bilangan riil
merupakan ruang Euclid dan dinotasikan
Pada artikel ini, elemen pada
matriks tersebut diperumum menjadi elemen pada
Bentuk umum dari
adalah {(
Operasi penjumlahan standar pada (
(
untuk setiap pada (
)
)|
}
didefinisikan sebagai berikut )
(
( )
)
(
)
( )
diperoleh
)
Operasi tersebut terdefinisi dengan baik
Diambil sembarang )
(
dengan (
) Karena
dan
dimana
dan
, maka
dan
Dengan
demikian, berlaku
(
)
(
)
Purwokerto, 3 Desember 2016
(
)
(
)
( )
(
)
Modul
( )
atas Ring Matriks
4
Hal ini berarti operasi penjumlahan tersebut terdefinisi dengan baik pada Berikut diberikan lemma untuk
yang disertai dengan operasi
penjumlahannya.
Lemma 3.2 Himpunan tak kosong penjumlahan standar pada
yang dilengkapi dengan sebuah operasi
merupakan grup Abel.
Bukti. Berikut ditunjukkan bahwa himpunan tak kosong
yang dilengkapi
dengan operasi penjumlahan standar merupakan grup Abel. a)
Operasi
bersifat tertutup pada (
adalah
(
)
)
(
)
Karena
karena hasil dari operasi (
) untuk setiap
, maka
(
pada ) dan
untuk
Sedemikian sehingga diperoleh b) Sifat asosiatif operasi (
dengan
(
)
)
[(
(
c)
(
)
)
dengan
) dan
, karena untuk setiap
( ) berlaku
(
)]
( )
[(
)
( )]
( ) pada
Elemen
(
terpenuhi pada
(
)
(
( )
(
)
)
adalah elemen identitas terhadap operasi
,
merupakan elemen nol pada , sedemikian sehingga untuk setiap )
berlaku
Purwokerto, 3 Desember 2016
5
A. D. Kurnia d.k.k.
(
(
d) Setiap
)
( )
)
(
)
(
elemen
dengan
(
)
)
(
)
adalah invers dari
masing-masing
merupakan
terhadap operasi penjumlahan pada
invers
,
dari
, sedemikian sehingga
berlaku (
)
(
)
Dengan demikian e)
(
)
(
)
(
)
) )
(
)
)
merupakan invers dari
Sifat komutatif operasi
dan
(
( (
(
)
terhadap operasi
terpenuhi pada
( )
pada
karena untuk setiap
(
)
berlaku
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
Semua aksioma pada grup dan sifat komutatif terpenuhi, maka terbukti bahwa (
) merupakan grup Abel.
3.2 Modul
( )
atas Ring Matriks
Telah dibuktikan bahwa himpunan tak kosong
yang dilengkapi sebuah
operasi biner penjumlahan standar merupakan grup Abel. Menurut Abdurrazzaq (2015), himpunan matriks berukuran
atas
yang dilengkapi dengan operasi
penjumlahan dan perkalian pada matriks merupakan ring dengan elemen satuan dan dinotasikan
( ). Berikut adalah lemma yang membahas sistem
matematika yang dibentuk dari Purwokerto, 3 Desember 2016
dan ring matriks
( ).
Modul
( )
atas Ring Matriks
Lemma 3.3 Grup Abel
6 ( ) dan
merupakan modul atas ring matriks
( )-modul.
cukup ditulis
Bukti. Telah diketahui bahwa (
) merupakan grup Abel dan (
( )
)
merupakan ring dengan elemen satuan. Berikut ini ditunjukkan bahwa ( ) modul. Operasi perkalian skalarnya didefinisikan sebagai berikut (
)(
(
Untuk setiap
)
( ) dan
)
(
)
Berikut akan ditunjukkan terpenuhinya aksioma-aksioma pada modul. Diambil (
sembarang
)
(
dan untuk setiap
a)
(
)
)
(
( )
berlaku
(
) [(
(
)(
(
(
( )
)
)
( )]
)
( (
) )
( (
) )
( (
) )
(
)
(
)
(
)
)
)
Purwokerto, 3 Desember 2016
7
A. D. Kurnia d.k.k.
(
)
(
)
(
b) (
)
[(
)(
)
)
(
(
)
(
)(
)] (
(
)(
) )
( (
) )
( (
) )
(
)
(
)
(
)
(
)
)
( (
(
)
)
(
)
(
(
Purwokerto, 3 Desember 2016
)
)
)(
)
(
(
)
)(
)
Modul
c)
(
atas Ring Matriks
)
( )
[(
8
)
(
)] (
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑ (
∑
∑
(
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
(
)
)
∑
(
)
)
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
)
∑
(
) ∑
∑ (
)
Purwokerto, 3 Desember 2016
9
A. D. Kurnia d.k.k.
(
) (
)(
( (
)
)
(
d)
)
)(
)
adalah elemen satuan pada ring
(
)
(
dengan
)
( )
Semua aksioma pada modul terpenuhi, dengan demikian terbukti bahwa ( ) modul.
3.3 Sifat Modul atas Ring Matriks
( ) ( ) modul yakni
Berikut dibahas sifat-sifat yang terkait dari
modul torsi dan modul bebas. Untuk mengkaji modul torsi, terlebih dahulu diselidiki eksistensi elemen torsi pada
( ) modul.
( ) modul adalah modul torsi.
Teorema 3.4 Suatu
Bukti. Terdapat dua kasus untuk menunjukkan bahwa
( ) modul
adalah modul torsi. Kasus 1. Untuk
(
( )
)
(
Jadi,
( )
selalu dapat ditemukan sembarang elemen tak nol
( ) sehingga berlaku
)( )
merupakan elemen torsi pada
Purwokerto, 3 Desember 2016
( )
( ) modul.
Modul
( )
atas Ring Matriks
(
Kasus 2. Untuk setiap
)
dengan
( ) yakni
elemen tak nol invers dari
10
selalu dapat ditemukan
(
) dengan
terhadap operasi penjumlahan pada
dan
adalah
merupakan ring
komutatif dengan elemen satuan, maka berlaku ( (
)( (
)
(
Jadi, untuk setiap
)
(
( (
)
(
)
dengan
) )
) )
( )
merupakan elemen torsi pada
( ) modul. Berdasarkan kedua kasus tersebut diperoleh bahwa untuk
setiap
( ) modul
merupakan elemen torsi. Terbukti bahwa
adalah modul torsi. Selanjutnya, dengan menyelidiki ada atau tidaknya basis modul yang termuat pada
( ) modul diperoleh teorema berikut.
( ) modul bukan merupakan modul bebas.
Teorema 3.5 Suatu Bukti.
( ) modul.
Diketahui
subhimpunan tak kosong dari {(
Misalkan
adalah
sembarang
dengan, )|
}
Purwokerto, 3 Desember 2016
11
A. D. Kurnia d.k.k. ( ) modul merupakan modul torsi dan
Karena setiap
maka untuk ( ) modul.
merupakan elemen torsi pada
Dengan demikian, persamaan (1) dapat
dipenuhi
( )
oleh
(
)
hanya dipenuhi oleh
bukan
untuk
Jadi,
Secara
bukan kombinasi
. Berdasarkan definisi bebas linier pada
tidak bebas linier. Selanjutnya, karena basis.
dimana
( ) Dengan kata lain, pada persamaan (1) tidak
linier secara tunggal dari modul, maka
untuk
umum,
untuk
tidak bebas linier, maka
setiap
( ) modul merupakan modul torsi, maka
dengan bukan basis. Hal ini
( ) modul tidak memiliki basis. Dengan demikian menurut
berarti
( ) modul bukan merupakan
definisi modul bebas, terbukti bahwa modul bebas.
4. KESIMPULAN Jika
adalah ring komutatif dengan elemen satuan, maka himpunan
yang dilengkapi dengan operasi penjumlahan standar membentuk sistem matematika grup Abel. Dari operasi
perkalian
skalar
dan ring matriks membentuk
( ) modul diperoleh bahwa
akan tetapi
( ) yang dilengkapi dengan ( ) modul.
Dari
( ) modul adalah modul torsi,
( ) modul bukan merupakan modul bebas.
DAFTAR PUSTAKA Abdurrazzaq, A., Ring Matriks Atas Ring Komutatif. Skripsi. Purwokerto: Universitas Jenderal Soedirman, 2015. Cullen, C. G., Aljabar Linier dengan Aplikasi : Diterjemahkan oleh Ir. Bambang Sumantri, Gramedia, Jakarta, 1988.
Purwokerto, 3 Desember 2016
Modul
atas Ring Matriks
( )
12
Kinanti, F., Kusumastuti, N., dan Noviani, E., Diagonalisasi Matriks
Atas
Ring Komutatif dengan Elemen Satuan, Buletin Ilmiah Mat. Stat. dan Terapannya (Bimaster). 2(3) (2013), 183 190.
Purwokerto, 3 Desember 2016
