Moderní metody optimalizace mechanických soustav Eduard Rohan Katedra mechaniky ZČU Moderní metody v mechanice, 13.12.2006, kurz ÚCV/KME – ZČU
1. Témata přednášky • Co je optimální konstrukce? • Jak měnit konstrukci? • Optimalizace prutových soustav
Kritéria ???
• Layout optimization • Optimální topologie těles
Vývoj . . .
• Volná materiálová optimalizace • Využití metody homogenizace • Tvarová optimalizace (úlohy s prouděním) • Optimalizační metody používané v SO • Jak vše spolu souvisí ???
. . . již 300 let se nemění. Optimální ???
2. Co je optimální konstrukce? • Kritéria optimality (Statika): Minimální hmotnost, Minimální poddajnost, maximální tuhost, Minimální napětí, (limitní design), Speciální: lokalizace plastické zóny, rovnoměrnost kontaktních napětí • Některá výše uvedená kritéria jsou protichůdná ⇒ • Základní úlohy (Solid Mechanics): Kritérium: Omezení: min. hmotnost max. napětí min. hmotnost max. poddajnost min. poddajnost max. hmotnost • Speciální úlohy : Optimalizace rozložení dané veličiny (teplotní pole, kontaktní napětí). Optimalizace dynamických vlastností – ladění vlastních frekvencí. Úlohy z oblasti interakce (Fluid dynamics) – proudění, aerodynamika (Shape Optimization)
Jak měnit konstrukci? • Sizing optimization — optimalizace „rozměrůÿ geometricky jednoduché části (prut, nosník), soustavy parametry: průřezové charakteristiky, délky, průměry, . . . • Shape optimization — tvarová optimalizace 3D / 2D / (1D) tělesa parametry: popis části hranice (B-spline) • Topology optimization — topologická optimalizace zobecněná tvarová optimalizace — vznik nových hranic parametry: „hustotaÿ — {0/1} design • Topology & free material optimization navíc: optimalizace matriálových parametrů parametry: „hustota, parametry mikrostrukturyÿ • Speciální: optimalizace prolisu skořepin (Topography opt.) optimální orientace vláken kompozitu
Maximalizace tuhosti — minimalizace poddajnosti Nejčastěji používaná úloha (Minimum compliance design) • Stavová úloha (pro daný design) 1 u = arg min{Φ(v) ≡ vT Av − vT f } v 2 • Kritérium: Minimalizace práce vnějších sil ψ(u) = uT f • Stav u Au = f • A závisí na designu t, . . . . . . A = A(t),
⇒
• Optimalizační úloha
min ψ(u(t)) t∈D
⇔
1 T max min{ v A(t)v − vT f } , t∈D v 2
D . . . množina přípustných designů (hmotnostní omezení)
(1)
3. Optimalizace prutových soustav
Optimální topologie – maximální tuhost Michell, 1904 • Konstrukce — soustava elastických prutů. • Základní struktura (Ground structure):
Designové parametry: objemy prutů ti, i = 1, . . . , m Velký počet designových proměnných: n . . . počet uzlů m . . . počet prutů ⇔ design. prom. n m= , n = 10 × 10 ⇒ m = 4950 2
• Topologie ovlivněna změnou objemu prutů ti, pro ti → 0 prut zanikne.
Formulace úlohy optimální topologie Maximalizace tuhosti
MODEL: Index prutu i = 1, . . . , m Objem prutu ti = liAi (délka × průřez) Posuvy: u. Deformace prutu: uT bi Matice tuhosti prutu (diáda) E tiAi = ti 2 bibTi (li) Pm Celková matice tuhosti: A(t) = i=1 tiAi Stavová úloha: A(t)u = f
ψ(u) = uT f −→ min Hmotnostní omezení: objem ≤ V D ≡ {t ∈ IRm|
m X
ti = V, ti ≥ 0}
i=1
Úloha sedlového bodu: ( ! ) m X 1 T u tiAi u − uT f max min u t∈D 2 i=1 konvexní v u, lineární v t.
Úlohy s několika zatíženími (robustní design) Různé zátěže: fk , k = 1, . . . , M , multiplikátor λk ≥ 0. Optimalizace „nejhoršího případuÿ ⇒ maxt minλk (M X max min min λk uk t∈D λ ≥0 k=1 Pk k λk = 1
1 T u 2 k
m X i=1
!) tiAiuk − uTk fk
Efektivní metody řešení • Snaha o snížení počtu „provázanýchÿ optimalizačních proměnných. • Eliminace ti — reformulace: Převod na „hladkou optimalizaciÿ m
1X ϕ(t, u) = ti uT Aiu − uT f 2 i=1
minu, α −α − uT f s. t. : V2 uT Aiu + α ≤ 0 , i = 1, . . . , m
Platí:
Konvexní programování: x = [u; α] m X
T
T
ti u Aiu ≤ V max u Aiu
minx −xT c s. t.: gi(x) ≤ 0, i = 1, . . . , m,
i
i=1
Lze přeformulovat (Ai 0) V T T u Aiu − u f min max u i 2 | {z } −α
⇒ nehladká konvexní optimalizace
Používané numerické metody: (2)
• Metody s vnitřní penaltou (Penalty-Barrier-Multiplier methods), multiplikátor = design • Primárně duální, • Semidefinitního programování.
Příklady optimálních topologií — maximální tuhost Př. 1 Zákl. strukt.: N = 2(4 × 3) = 24 Pruty: N = 66 Redukce účelové funkce: 43.65% Metoda: PBM (1 restart)
Př. 2 – hustší zákl. str. Zákl. strukt.: N = 2(7 × 5) = 70 Pruty: m = 595 Redukce účelové funkce: 26.25% Metoda: PBM (1 restart)
Př. 3 Zákl. strukt.: N = 2(8 × 4) = 64 Pruty: m = 408 Redukce účelové funkce: 21.21% LABILNÍ KONSTRUKCE!
4. „Layout optimizationÿ
„full stress configurationÿ Podmínky optimality — princip Michellových konstrukcí Princip pro Topologickou optimalizaci těles Maximalizace tuhosti — optimální volba průřezu ai ≥ 0 compliance =
m X
aiEli2i
i=1
Omezení hmotnosti ⇔ multiplikátor Λ ≥ 0 Omezení průřezu ⇔ multiplikátory λi ≥ 0 Karush–Kuhn–Tuckerovy podmínky ⇒ E2i = Λ − λi λ i ai = 0 Λ(
m X i=1
aili − V 0) = 0
• Kriteria optimality: (OC) r E ai > 0 ⇒ |i| = 1 Λ r E ai = 0 ⇒ |i| ≤ 1 Λ ⇒ všechny pruty mají optimální (stejnou) deformační energii Λ. • Rozšíření na kontinuum: (COC) ai −→ a(x, y, θ) i −→ (x, y, θ)
5. Optimální topologie těles —
{0; 1}
design
Zdá se, dokonalosti není dosaženo tenkrát, když už není co přidat, ale když už není, co ubrat. (Antoine de Saint-Exupéry, Země lidí)
Základní rozvržení
Optimální topologie
Metody – relaxovaný problém • Volná materiálová optimalizace SIMP (Solid Isotropic Material with Penalization) → black & white design • Homogenizace – materiál s mikrostrukturou • Zobecněná tvarová otimalizace – level set methods
Volná materiálová optimalizace
M. Kočvara MOPED —
http://www.utia.cas.cz/user_data/kocvara/
semidefinitní
programování.
Určit: ρ & Eijkl • Maximalizace tuhosti • Cena materiálu – lokálně limitována hustotou ρ Eijkl −→ ψ(E)
cena materiálu
...
• Vazba: maximální přípustná hmotnost 1 max max min aE (u, u) − L(u) , density ρ elast.E 0 u∈U 2 0 ≤ ρmin R ≤ ρ ≤ ρmax ≤ ∞ Ψ(E) ≤ ρ Ω ρ dΩ ≤ V kde
Z aE (u, v) =
Eijkl ekl (u)eij (v) dΩ ,
L(v) . . . funkcionál vnějších zátěží
Ω
• Lokální optimalizace — anizotropní materiál s proměnnou tuhostí Realizace ???
(3)
Lokálně extrémní materiály • Pro dané deformační pole eij v každém bodě oblasti Ω • Pro lokální limit hustoty ρ hlavice femuru – idealizace (Wolf 1800) • Určit optimální elastickou tuhost Eijkl 1 max Eijkl ekl eij 2 E0 Ψ(E) ≤ ρ • Řešení: Eijkl = ρ
eij ekl kek kek
(4)
(5)
v maticovém zápisu e2I eI eII 0 ρ eI eII e2II 0 , E= 2 2 eI + eII 0 0 0
(6)
⇒ jen 1 nenulové vlastní číslo — materiál je nestabilní pro jinou deformaci (úloha s jedinou zátěží). • Silně ortotropní materiál — osy ortotropie ≡ osy hlavních deformací. • Konstrukce kosti — remodelace ???
{0, 1} design — topologická optimalizace • Topologická optimalizace – E = ρE0, kde ρ ∈ {0, 1} • Takto nelze řešit ⇒ Relaxace: měnící se mikrostruktura ρ ∈ (0, 1] — „šedivý materiálÿ Alternativy: ◦ SIMP – materiál s malou hustotou je cenově nevýhodný – penalizace, např. 0.0? . . . void E = (ρ)p E0 , p > 1(= 3) ⇒ ρ = 1 − 0.0? . . . solid ◦ Homogenizace — šedivý materiál: ρ = 0.235 , . . . existuje mikrostruktura ??? Problémy: G-uzávěr — omezení topologií mikrostruktury
Topologická optimalizace — penalizace (SIMP) • SIMP — izotropní materiál „s penalizacíÿ E = (ρ)p E0 ,
kde p > 1 , (p = 3)
• Designové proměnné: ρe pro každý element e velmi mnoho designových proměnných • Omezení: Z ρ dΩ ≤ V , 0 < ρmin ≤ ρ(x) ≤ 1 Ω
• Nežádoucí efekty — checkerboard effect
nevýhoda malé hustoty ρ
→ omezení perimetru souvislých oblastí → multigrid — filtrování → nekonformní FEM aproximace
Inverzní homogenizace — identifikace mikrostruktury pro lib. ρ ∈ (0, 1) — materiálové inženýrství? Optimalizace desek, skořepin (2D geometrie): hustota = tloušťka ⇒ bez penalizace!
Optimální kompozity – homogenizace v topologické optimalizaci • Parametrizace mikrostruktury 3 typy: ◦ Vrstvený kompozit + iterovaná homogenizace: higher rank materials — optimální materiál ◦ Ortogonální mikrostruktura: obdélníkové kavity ◦ Čtvercové kavity — “sub-optimální materiál” (???) • Design = mikrostruktura pro každý strukturální element e (≈ FEM) geometrie: µe, γe, rotace: θe • Lokální úloha: najít „extrémníÿ materiál E(x), x ∈ Ω E(x) = EH (µe, γe, θe), . . . homogenizace, ρe = ρe(µe, γe), . . . hustota, (7) X e
ρeVe ≤ V ,
0 ≤ ρe ≤ 1, . . . omezení.
Příklad: použití metody homogenizace v topologické optimalizaci Optimalizace uložení ložisek převodovky – Maximalizace tuhosti
Ground structure
Síť konečných prvků
Vývoj optimální topologie (M. Hajžman – semestrální práce)
Varianty v topologické optimalizaci Co je cílem ? A
black & white design — standardní materiál
B
„strukturovanýÿ materiál — mikrostruktura
6. Optimalizační metody používané v SO
Obecná forma úlohy SO: min f (x) , x ∈ IRn gi(x) ≤ 0 , i = 1, . . . , m subject to x ∈ [xmin, xmax] . . . „box constraintsÿ Lagrangeova funkce úlohy: L(x, λ) = f (x) +
m X
λigi(x) ,
(8)
(9)
i=1
Úloha sedlového bodu: L(x∗, λ∗) = max min L(x, λ)
(10)
L(λ∗) = max D(λ)
(11)
λi ≥0
x
Duální funkce: D(λ) = minx L(x, λ) λi ≥0
Princip duálních metod: • primární subproblém (mnoho designových proměnných xk ) se aproximuje ⇒ „efektivní metodouÿ • duální subproblém – standardní metody (málo proměnných λi), jen triviální omezení λi ≥ 0
Gradientní metody & lokální aproximace Známe x0 a f (x0), gi(x0) a gradienty, chceme aproximovat f a omezení g, abychom určili další iteraci x1. • Metody založené na kritériích optimality (OC) • Metody matematického programování Standardní: SLP (optimalizace prutových soustav), SQP obecná metoda pro „hladkou optimalizaciÿ, Konzervativní metody, speciálně pro SO, ⇒ duální formulace CONLIN (C. Fleury) konvexní linearizace, MMA (K. Svanberg) pohyblivé asymptoty, SACA (Chung) aproximace vyššího řádu, PBM (Ben-Tal) vnitřní penalta s multiplikátorem
7. Konzervativní aproximace, duální subproblémy
lokální aproximace v IRn • lineární – Taylorův rozvoj 1. řádu (SQP — aproximace aktivních omezení) • kvadratická – kvazinewtonovské metody – aproximace Hessovy matice (SQP) • konvexní linearizace (CONLIN) – hybridní aproximace – linearizace v reciprokých proměnných yi = f˜(x) = f (x0) +
(+) X ∂f (x0) i
∂xi
(xi −
f˜(x) = r +
i
+
i
• pohyblivé asymptoty (MMA) – linearizace v yi = (+) X
x0i )
(−) X ∂f (x0)
∂xi
(xi −
1 xi
0 0 xi xi ) xi
1 xi −Ai (−)
X qi pi + , Ui − x i x − L i i i
kde r, pi, qi závisí na x0, f (x0), ∇f (x0) a asymptotách Li, Ui. CONLIN a MMA separovatelnost v souřadnicových směrech . . .
⇒ n nezávislých prim. úloh
konzervativni: g˜(x) ≤ g(x) . . .
⇒ vnitřní aproximace vazeb
Aproximace — konvexní? — konzervativní? CONLIN aproximace:
MMA aproximace: (volba asymptot)
konvexní? ANO (x > 0)
konvexní? ANO
konzervativní? NE VŽDY
konzervativní? ANO
Reciproká aproximace & mechanika • V mechanice ⇒ „exaktní aproximaceÿ „Intermediate Variablesÿ: Iz , A, . . . průřezové charakteristiky
E A u = F l 1 Fl u = AE m = lA • KONVEXITA vs. KONKAVITA poddajnosti (K. Svanberg): Poddajnost je K(t) =
X i
tiKi ,
⇒
◦ konvexní (ti) ◦ konkávní (1/ti) ⇒ význam pro minimalizaci hmotnosti (⇒ vnitřní aproximace omezení, projekce)
Sekvenční programování ??? xk −→ xk+1 Subproblémy: optimální pokles cílové funkce ⇒ nová iterace xk+1. SQP – sekvence kvadratických úloh • kvadratická aprox. cílové funkce f (x) • lineární aprox. omezení gi(x)
CONLIN / MMA a duální metoda • konvexní aprox. cílové funkce f (x) a omezení gi(x) • ⇒ separace do n podúloh v xi
• formulace úlohy QP – KKT podmínky kvazi-newtonovská metoda (BFGS) ⇒ směr poklesu f projekce směru ⇒ přípustnost linesearch ⇒ délka kroku je-li „n mÿ, tvarová optimalizace
• analyt. řešení podúloh ⇒ duální funkce D(λ) • úloha v λj , j = 1, . . . , m max D(λ) λj ≥0
je-li „n mÿ, topologická optimalizace
OptiStruct: adaptivní aproximace, CONMIN / CONLIN
8. Optimalizace tvaru
Základní charakteristika Využívána paralelně s topologickou: ⇒ zefektivnění optimalizačního procesu
Dána topologie, hledá se část hranice Nevznikají „nové hraniceÿ – designová hranice definována Jakákoliv účelová funkce – ve spojení s citlivostní analýzou. Nekonvexní (špatně podmíněná) optimalizace mnoho lokálních minim Většinou nutné přesíťování (adaptivní FEM) ⇒ náročnost Omezení: hladkost hranice (B-spline, . . . )
Příklady — optimalizace páky (2D) Optimalizace celé hranice, metoda konečných prvků (autor: Dr. Ing. Petr Kočandrle, 1994)
počáteční design
optimalizovaný design – minimalizace hmotnosti
Příklady — optimalizace háku (3D) Optimalizace profilu háku, metoda hraničních prvků (autor: Dr. Ing. Petr Koška, 1997)
počáteční a optimalizovaný design
napětí – počáteční design
napětí – optimální design, minimalizace hmotnosti
Příklady — optimalizace kontaktní hranice Plasticita, velké deformace, variační nerovnice (autor: E. Rohan, 1999) rozložení kontaktních napětí
designová a kontaktní hranice optimální design – plastická zóna
počáteční design – deformace
optimální design – deformace
9. Závěr • Optimalizace konstrukcí — syntéza znalostí mechaniky kontinua
Některé zdroje – autoři:
matematické optimalizace
◦ Bendsoe M.P., Pedersen P, Olhoff N. (Denmark)
numerických metod
◦ Cherkaev A.V. (USA)
• Prolínání typů optimalizace (např. topologická – tvarová) • Aplikace: zcela nepostradatelná při vývoji nových konstrukcí využitelná i v oblasti biomechaniky (inverzní úlohy): stavba kostí – optimální topologie, mikrostruktura design implantátů – dřík endoprotéz ergonomie a komfort – optimální svalové zatížení
◦ Allaire G. (France) ◦ Neitaanmaki P. (Finland) ◦ Rozvany G.I.N., Zowe J. (Germany) ◦ Nemirovski A., Ben-Tal A., Hassani (Israel) ◦ Haslinger J., Hlaváček I., Kočvara M. (Česká republika)
