Modern fejlem´ enyek a kvantumelm´ eletben
Bevezet´ es ´ am P´eter, Di´osi Lajos Ad´
Elm´ eleti Fizikai Iskola Tihany, 2010. augusztus 30. - szeptember 3.
Iskola t´em´aja, bevezet´es c´elja
Iskola t´em´aja kvantumoptika ´es kvantuminformatika koherencia, dekoherencia, ¨ osszefon´ od´as, m´er´es, fundament´alis probl´em´ak
Bevezet´es c´elja tudom´anyter¨ ulet t´argya, viszonya m´as ter¨ uletekhez, k´ıs´erlet-elm´elet kapcsolata bevezet´es a kvantumoptik´aba ´es kvantuminformatik´aba, alapok, ´attekint´es (bepillant´as) fundament´alis kvantummechanikai probl´em´ak ´es k´ıs´erletek, ´attekint´es
1 / 17
Tartalomjegyz´ek
1
tudom´anyter¨ ulet fejl˝od´ese, fundament´alis probl´em´ak
2
bevezet´es a kvantumoptik´aba
3
Nyitott alapk´erd´esek Kvantum vs. klasszikus: terhes dichot´ omia K¨ ul¨on¨os kvantum korrel´aci´ ok
4
A kvantuminformatik´ar´ ol
2 / 17
Nyitott alapk´erd´esek Kvantum⇐⇒Klasszikus viszony Dichot´om XX.sz.-i fizika: terhes kett˝oss´eg (Bohr, Neumann) Csak metafizikai probl´ema? Nem! — emiatt nincs kvantum-gravit´aci´ os elm´elet Megold´as: =⇒ vagy ⇐= vagy ⇐⇒ Zeilinger k´ıs´erlet: C60 interferencia (1999)
Kvantum nonlokalit´as: izgalmas kvantum-korrel´aci´ok ¨ Osszefon´ odotts´ag: ψ(x, y) 6= ψ(x)ψ(y) Bell nemlokalit´as elm´elete (1964) Aspect k´ıs´erlet: Bell-lokalit´as t´enyleg s´er¨ ul laborban (1981) Gisin/Salart k´ıs´erlet: k´et v´aros k¨ oz¨ ott is (2008) 3 / 17
Terhes dichot´omia 1 - Bohr, (von) Neumann Z´art kvantum rendszer ρˆ ´allapota determinisztikusan ´es reverzibilisen fejl˝ odik: dˆ ρ i ˆ = − [H, ρˆ] . dt ~ Csakhogy a ρˆ(t) ´allapot ´ertelmez´es´ehez egy k¨ ul¨ on recept kell, ez a (von) Neumann m´er´eselm´elet, mely statisztikus ´es irreverzibilis. Egy Aˆ fizikai mennyis´eg m´er´ese ´altal´aban v´eletlenszer˝ enyre vezet a P u eredm´ ˆ ˆ ˆ ρˆ ´allapotban. Legyen A spektr´alfelbont´asa A = λ Aλ Pλ , ´ıgy pλ = tr(Pˆλ ρˆ) val´osz´ın˝ us´eggel a m´ert ´ert´ek valamelyik Aλ saj´at´ert´ek, ´es a szelekt´ıv m´er´es ut´ani ´allapot 1 ρˆ → Pˆλ ρˆPˆλ kollapszus, pλ a nem-szelekt´ıv (´atlagolt) m´er´es ut´ani pedig X ρˆ → Pˆλ ρˆPˆλ ’´aldott’ dekoherencia. λ
Ezt ma projekt´ıv m´er´esnek h´ıvjuk, mert ... 4 / 17
Terhes dichot´omia 2 - Bohr, (von) Neumann ... m´ar Neumann is tudta, hogy ezzel egyen´ert´ek˝ u az ´altal´anos´ıtott (nem-projekt´ıv, ill. ‘´eletlen’) m´er´es. Ez lehet egy adott Aˆ mennyis´eg ‘elkent’ m´er´ese, de az is lehet, hogy a m´er´esi inform´aci´o nem k¨othet˝o egyetlen fizikai mennyis´eghez. ˆ λ } oper´atorhalmaz defini´al, ahol λ ak´ar Egy ´altal´anos´ıtott m´er´est egy {M diszkr´et, ak´ar folytonos index is lehet, az oper´atorok lehetnek nem-Hermitikusak is, az egyetlen megk¨ ot´es a norm´al´as: X † ˆ M ˆ ˆ M λ λ =I λ
ˆ λ ρˆ) Az ´ıgy megadott ´altal´anos´ıtott m´er´es a ρˆ ´allapoton pλ = tr(Mλ† M val´ osz´ın˝ us´eggel valamely λ m´ert ´ert´ekre vezet, ´es a m´er´es ut´ani ´allapot X 1 ˆ ˆ† ˆ λ ρˆM ˆ † ´aldott dekoherencia M ˆMλ kollapszus; ρˆ → ρˆ → M λρ λ pλ λ
ˆ λ = Pˆλ speci´alis eset. De: minden ´altal´anos´ıtott A projekt´ıv m´er´es az M m´er´es megkonstru´alhat´o, mint projekt´ıv m´er´es egy, az eredeti kvantum 5 / 17 rendszerhez csatolt ’ancilla’ rendszeren.
Terhes dichot´omia 3 - Felold´asok, Q=⇒C A m´er´eselm´elet egy t¨ok´eletes kvantum=⇒klasszikus recept, ha a kvantum rendszer¨ unk egy klasszikus kimenet˝ u m´er˝ oh¨ oz csatoljuk. Jobb lenne egy Lorentz invari´ans dinamikai formalizmus a recept helyett. Ha az eg´esz Univerzum kvant´alt (pl. kvantumgravit´aci´ o) akkor nem marad hely a klasszikus kimenet˝ u m´er˝onek. Ez ut´ obbi a v´egs˝ o (´es egyetlen komoly) bajunk a (von) Neumann recepttel.
Felold´as, rengeteg javaslat: Bohm: determinisztikus trajekt´ ori´ak, de v´eletlen kezdeti felt´etelek Everett: egy |Ψi ´allapotvektor az Univerzumra de: sok-vil´ag Zeh-Zurek: k¨ornyezeti dekoherencia ut´anozza a m´er´est GRW,Gisin,Dsi: vmely egyetemes dekoherencia ut´anozza a m´er´est Gell-Mann—Hartle: z´art kvantum rendszerben dekoherens hist´ori´ak Fman,Kh´aziF L ,Dsi,Prose: gravit´aci´ os dekoherencia ut´anozza a m´er´est Dsi,Prose,Geszti: gravit´aci´ os saj´at-´atlagt´er ’ut´anozza’ a m´er´est 6 / 17
Terhes dichot´omia 4 - Nyitott rendszer paradigma A (von) Neumann m´er´es sor´an ρˆ blokk-diagon´aliss´a v´alik (´aldott dekoherencia), ezt le lehet vezetni a term´eszetes k¨ ornyezeti vagy egy egyetemes (hipotetikus) hat´ask´ent szok´asos unit´er dinamik´ab´ol. A paradigma: rendszer—tart´aly ¨ osszetett dinamika, m´asn´even
Nyitott (kvantum) rendszer ˆ ⊗ IˆR + Iˆ ⊗ H ˆ R + P Aˆk ⊗ R ˆk ⇒ U ˆt H k † ˆt ρˆ ⊗ ρˆR U ˆ → trR (U ˆt ρˆ ⊗ ρˆR U ˆ † ) = ρˆ(t) ρˆ → ρˆ ⊗ ρˆR → U t t Born-Markov k¨ozel´ıt´esben a LindbladGKS (1976) m´aszter egy. ad´odik: i ˆ0 1 X dˆ ρ = Lˆ ρ = − [H , ρˆ] − 2 Dkl 2Aˆk ρˆAˆl − {Aˆl Aˆk , ρˆ} dt ~ ~ kl
Dkl ≥ 0 dekoherencia m´atrix. Ha diagonaliz´alom: 1 X ˆ ˆ† 1 ˆ† ˆ − 2 Lα ρˆLα − {Lα Lα , ρˆ} ~ α 2 7 / 17
Terhes dichot´omia 5 - Kvantumos k´ıs´erletek ’neh´ez’ testekkel Everett (1957): egyetlen |Ψi ´allapotvektor az Univerzumra. De mi a legnehezebb test, amire igazoltuk a kvantummechanik´at? C60 molekulasug´ar diffrakci´ oja r´acson A Zeilinger (1999) k´ıs´erlet az addigi legnagyobb t¨omeg˝ u test t´erbeli mozg´as´ara igazolta a Schr¨ odinger egyenletet. C60 nyal´abot (200m/s) r´acson (0.1µm) diffrakt´altattak, a k¨ ornyezeti dekoherencia ellen´eben is. Ha egy C60 egyetlen infra-fotont lesug´arozna, vagy egyetlen k¨ornyezeti g´azmolekul´aval u ¨tk¨ozne, m´ar nem j´arul hozz´a az ´eszlelt interferencia k´ephez. Nano mechanikai oszcill´ator alap´allapotban Nano rezg˝onyelv, membr´an, ’gy˝ ur˝ u’ (ng/µm/GHz vagy m´eg nagyobb/ /lassabb) valamilyen kvantum-csatolt rendszerrel leh˝ uthet˝o alap´allapot k¨ozel´ebe (mK, s˝ot µK). Jelenleg l´ezeres h˝ ut´es a leg´ıg´eretesebb, nagy a verseny ezen bel¨ ul is. Ha siker¨ ul igazolni a kvantumos viselked´est a k¨ornyezeti dekoherencia ellen´eben, akkor ker¨ ulhet sor az egyetemes dekoherencia hipot´ezisek igazol´as´ara/elvet´es´ere. 8 / 17
K¨ul¨on¨os kvantum korrel´aci´ok 1 ¨ Hozz´aval´ok: Osszetett kvantum rendszer, pl. HAB = HA ⊗ HB , tiszta |ψAB i, vagy ´altal´anos (kevert) ρˆAB ´allapotban, ahol: |ψAB i = 6 |ψA i ⊗ |ψB i illetve ρˆAB 6= ρˆA ⊗ ρˆB ... Lehet A ´es B ugyanannak az elektronnak pl. a t´erbeli illetve a spin mozg´asa. De nem-lokalit´as akkor ´ertelmezhet˝o, ha az A ´es B k´et, t´erben elv´al´ o, s˝ ot t´avoli kvantum rendszer. ¨ Osszefon´odotts´ag - ink´abb form´alis elm´elet Schr¨odinger ´eszleli ´es ¨ osszefon´ odotts´agnak kereszteli. Werner (1989) adja meg a v´egleges defin´ıci´ ot a szeparabilit´as fogalm´ara ´ep´ıtve. Peres (1996): az egyetlen direkt ¨ osszefon´ od´asi teszt. M¨og¨ottes matematika: Stinespring (1955). Bell nem-lokalit´as - ink´abb fizikai elm´elet EPR (1935) szerint |ψi nem ad teljes le´ır´ast, |ψAB i lok´alis m´er´es´en kereszt¨ ul ´ervelnek. Felmer¨ ul: Lehetnek rejtett param´eterek? Bell (1964): rejtett param´eterek lehetn´enek, de s´ertik a lokalit´as elv´et melyet ´eppen Bell ¨ont a Bell-egyenl˝ otlens´eg alakj´aba. Aspect (1981): 2 t´avoli (6.5m) foton s´erti a BellCHSH egyenl˝otlens´eget Gisin/Salart (2008): 2 t´avoli (18km) foton s´erti a BellCHSH 6=-et
9 / 17
K¨ul¨on¨os kvantum korrel´aci´ok 1 ¨ Osszefon´ odotts´ag=non-szeparabilit´as ´ anos Tiszta ´allapot akkor ¨osszefon´ odott, ha |ψAB i = 6 |ψA i ⊗ |ψB i. Altal´ (kevert) ´allapotra el˝obb defini´aljuk a szeparabilit´ast. Minden ρ(xA , xb ) ¨osszetett klasszikus s˝ ur˝ us´eg szepar´abilis, vagyis el˝ o´all´ıthat´o korrel´alatlan ρA (xA )ρB (xB ) s˝ ur˝ us´egek s´ ulyozott kever´ekek´ent.
A ρˆAB o¨sszetett s˝ur˝us´egm´atrix szepar´abilis, ha ´ıgy ´ırhat´o: ρˆAB =
X λ
wλ ρˆAλ ⊗ ρˆBλ ;
wλ > 0,
X
wλ = 1
λ
Ha ρˆAB nem szepar´abilis, akkor ¨ osszefon´ odott (Werner, 1989). Kapcsolat: nem-teljesen pozit´ıv lek´epez´esek l´etez´ese (Stinespring, 1955). szepar´abilis=klasszikusan korrel´alt=nem ¨ osszefon´ odott nem-szepar´abilis=kvantum korrel´alt=¨ osszefon´ odott Tiszta ´allapotra visszkapjuk Schr¨ odinger egyszer˝ u krit´erium´at. Hogyan kelthet˝o ´es hogyan nem kelthet˝ o¨ osszefon´ od´as? 10 / 17
¨ K¨ul¨on¨os kvantum korrel´aci´ok 1 - Osszefon´ odotts´ag E m´ert´eke
. . . Benedict Miska?
11 / 17
Bell non-lokalit´as 1 - Az EPR t´ıpus´u ´allapot
. . . Szab´o Laci?
12 / 17
A kvantuminformatik´ar´ol A kvantumvil´ag megk¨ul¨onb¨oztet˝o jegye Kezdetben: diszkr´ets´eg (innen a n´ev) K´es˝obb: x, p hat´arozatlans´ag, statisztikuss´ag, etc. (megszoktuk) Ut´obb: kvantum-korrel´aci´ ok, ψ-ben rejtett inform´aci´o, Alice+Bob Manaps´ag: inform´aci´ o t´arol´as, k´ odol´as, ´atvitel, titkos´ıt´as ... u ´j t´avlatai A rossz h´ır: a k´ıs´erlet/technol´ ogia lemaradt (´atkozott dekoherencia)
Kvantuminform´aci´os v´alogat´as Hozz´aval´ok (qubit, logikai m˝ uveletek, ¨ osszefon´ od´as, ...) ’No-cloning’ t´etel: kvantum bankjegy, kriptogr´afia ¨ Osszefon´ od´as, mint er˝ oforr´as: szupers˝ ur˝ u k´ odol´as, teleport´aci´o Kvantum adatt¨om¨or´ıt´es elm´elete (Shannon→Schumacher) Kvantum sz´am´ıt´og´ep, algoritmusok 13 / 17
Kvantum informatika 1 - Hozz´aval´ok: Qubit Qubit=absztrakt TLS, sz´am´ıt´asi b´azis: |0i, |1i Megfeleltet´es Pauli b´azissal: |0i = | ↑i = |Li, |1i = | ↓i = |Ri S˝ ur˝ us´egm´atrix (´erdemes Pauliban): 1 1 ˆ ; |~s| ≤ 1 ρˆ = Iˆ + ~s~σ 2 2 ˆ ρˆ) ~s=polariz´aci´os vagy Bloch vektor=tr(~σ 1 1 ˆ P´elda: ρˆ = I/2 = 2 |0ih0| + 2 |1ih1| - hogyan prepar´alhatom? 2-qubit b´azis: |00i = |0i⊗|0i, |01i = |0i⊗|1i, |10i = |1i⊗|0i, |11i = |1i⊗|1i ¨ √ Osszefon´ od´as egys´ege=1 Bell p´ar, pl. a szinglet: |01i−|10i . 2 √ √ Bell-b´azis: |01i±|10i ´es |00i±|11i . 2 2 n-qubit b´azis: |xi = |x1 x2 . . . xn i = |x1 i ⊗ |x2 i ⊗ . . . ⊗ |xn i Ha |xi egy n-qubites t´ar, az ¨ osszes kezd˝ o´allapot szuperpon´alhat´o bele: N −1 1 X √ |Si = |xi; N x=0
N = 2n . 14 / 17
A kvantuminformatik´ar´ol 2 - ’N´okl´oning’ Ismeretlen qubit nem m´asolhat´ o le (Wootters-Zurek 1982). Hi´aba keres¨ unk unit´er lek´epez´est: |?i ⊗ |0i → |?i ⊗ |?i. Nincs, mert a kl´onoz´as nem sz¨ogtart´o. M´asik bizony´ıt´as: Alice v´eletlenszer˝ uen v´altakozva H/V -polariz´alt fotonokat dob´al 1. urn´aba, elkeveri ˝oket. Ugyanezt teszi 2. urn´aban L/R-polariz´alt ˆ a fotonokkal. A k´et urn´at megkapja Bob, mindk´et urn´aban ρˆ = I/2 fotonok polariz´aci´os ´allapota, Bob nem tudhat k¨ ul¨ onbs´eget tenni a k´et urna k¨oz¨ott a (von) Neumann m´er´eselm´elet szerint. Ha k´epes lenne ismeretlen ´allapotok kl´onoz´as´ara, akkor viszont igen! Ez ellentmond´as lenne. Tov´abbi ´erv: Kl´ onoz´assal σ ˆx , σ ˆy , σ ˆz egym´ast´ ol f¨ uggetlen¨ ul, tetsz˝ oleges pontoss´aggal lenne ’m´erhet˝o’, mintha ugyanazon a qubiten m´ern´em. Minden elromlik, ha b´arhol felfejted a kvantummechanika sz¨ovet´et. 15 / 17
A kvantuminformatik´ar´ol 3 - Kvantum adatt¨om¨or´ıt´es Shannon 1948: Ha egy hossz´ u x1 x2 x3 . . . v´eletlenszer˝ uu ¨zenet minden x bet˝ uj´enek eloszl´asa f¨ uggetlen ´es azonosan ρ(x), akkor az u ¨zenet legjobb h˝ us´eges t¨ om¨ or´ıt´ese ´atlagban bet˝ unk´ent S bitet ig´enyel: X S(ρ) = − ρ(x) log ρ(x) Shannon entr´opia. x
(von) Neumann 1927: S(ˆ ρ) = −tr(ˆ ρ log ρˆ) Schumacher 1995: Ha egy hossz´ u v´eletlenszer˝ u ’kvantum’ u ¨zenet |x1 i ⊗ |x2 i ⊗ |x3 i ⊗ . . . minden |xi bet˝ uj´enek eloszl´asa f¨ uggetlen ´es azonosan ρ(x), akkor a kvantum u ¨zenet legjobb h˝ us´eges t¨ om¨ or´ıt´ese ´atlagban P bet˝ unk´ent S(ˆ ρ) qubitet ig´enyel, ahol ρˆ az 1-bet˝ u s˝ ur˝ us´egm´atrix: ρˆ = x ρ(x)|xihx|.
16 / 17
A kvantuminformatik´ar´ol 4 - Kvantum sz´am´ıt´og´ep
t
|x3 i t
|x2 i |x1 i
H
π/2 π/4
t
H
π/2
H
√1 2
|0i + e2iπ0.x3 |1i
√1 2
|0i + e2iπ0.x2 x3 |1i
√1 2
|0i + e2iπ0.x1 x2 x3 |1i
17 / 17
