MODELOVÁNÍ VLASTNOSTI BEZKARDANOVÝCH INERCIÁLNÍCH NAVIGAČNÍCH SYSTÉMU MODELLING OF THE FEATURES OF STRAPDOWN INERTIAL NAVIGATION SYSTEMS

58

Proceedings of the Conference "Modern Safety Technologies in Transportation - MOSATT 2005"

MODELOVÁNÍ VLASTNOSTI BEZKARDANOVÝCH INERCIÁLNÍCH NAVIGAČNÍCH SYSTÉMU MODELLING OF THE FEATURES OF STRAPDOWN INERTIAL NAVIGATION SYSTEMS Jan ČIŽMÁR* Abstract: The paper deals with the simple modelling and simulation of strapdown inertial navigation systems. Attention is focused on comparison of computation methods of attitude and heading angles from the point of view of their precision, under conditions of conical motion. Keywords: inertial navigation, direction cosine, quaternion, Euler’

1 ÚVOD Inerciální navigace dnes patří k nejrozšířenějším navigačním metodám a jednou z jejích nejvýznamnějších předností je autonomnost. Princip inerciální navigace spočívá v měření signálu složek zrychlení pohybu dopravního prostředku v prostoru pomocí akcelerometrů a v jeho následném dvojitém časovém integrování, čímž se získávají signály vektoru trajektorie. Tento princip můžeme popsat diferenciální rovnicí: t t

s t = ∫ ∫ (a t − g ) ⋅ dt 2 + v 0 ⋅ t + s 0 ,

(1)

0 0

kde značí: st a t. v0 s0 g

- okamžitou hodnotu měřeného vektoru trajektorie pohybu, - okamžitou hodnotu měřeného vektoru zrychlení, - počáteční rychlost pohybu, - počáteční hodnotu trajektorie, - vektor tíhového zrychlení.

Vektor tíhového zrychlení g představuje rušivý signál, který musí být odfiltrován od užitečného signálu pohybového zrychlení at.

Obrázek 1 Struktura bezkardanového INS Jednou z možností je použití filtru v podobě stabilizované základny, jejíž rovina je udržována v poloze kolmé na místní vertikálu, tedy i kolmo na vektor tíhového zrychlení g. *

Ing., CSc., Brno, Souběžná 35, PSČ: 63600, Česko, tel.: 604405594, e-mail: [email protected]


59

Takovou základnu je možné realizovat mechanicky, jak je tomu u kardanových INS, či analyticky počítačovým modelem fiktivní základny běžícím v reálné čase, což je případ bezkardanových INS (BINS, anglicky Strapdown INS). Současný technologický standard BINS představuje systém s laserovými snímači úhlových rychlostí rezonátorového typu. Přesnost tohoto typu INS je charakterizována údajem 0,8 NM/h (cca 1,5 km/h). Soudobé BINS obvykle spolupracují se systémem přijímače družicového navigačního systému GPS, se kterým bývá integrován v jediný kompaktní celek. Významnou vlastností inerciálních navigačních systémů je, že kromě zeměpisných souřadnic poskytují řadu dalších informací, důležitých pro řízení letu letadla. Jedná se především o polohové úhly náklon, sklon a kurz a dále také o úhlové rychlosti a lineární zrychlení. V současnosti rychle se rozvíjející mikrotechnologie přinášejí výsledky v podobě řady komerčně dostupných, velmi levných a relativně přesných miniaturních senzorů, z nichž některé, např. akcelerometry, vibrační gyroskopy, tlakoměry, magnetometry apod., jsou vhodné pro použití v inerciální navigaci. Rozměrové i hmotnostní zmenšení přitom přesahuje běžně dva až tři řády. To otevřelo novou oblast miniaturních inerciálních systémů aplikovatelných v navigačních soustavách širokého spektra robotů, miniaturních bezpilotních létajících prostředků, popř. v nejrůznějších střelách i minimální ráže.

2 MODEL BEZKARDANOVÉ INERCIÁLNÍ MĚŘICÍ JEDNOTKY Na našem pracovišti je ve spolupráci s firmou OPROX Brno vyvíjena inerciální měřicí jednotka na bázi senzorů úhlových rychlostí, akcelerometrů a magnetometrů, vyráběných technologií MEMS, pro použití v robotech, bezpilotních létajících prostředcích a ultralehkých letadlech. Její struktura je zřejmá z obrázku 2.

Obrázek 2 Blokové schéma inerciální měřicí jednotky Hlavním měřicím kanálem je kanál senzorů úhlových rychlostí, jejichž signál je integrován pomocí speciálního algoritmu v bloku výpočtu polohových úhlů. Protože spolu s užitečným signálem je integrován i signál rušivý, bude přesnost měření polohových úhlů s časem klesat. Proto je hlavní měřicí kanál doplněn o kanály korekční, tedy o kanály akcelerometrů a magnetometrů. Pro měření úhlových rychlostí byly vybrány tři jednoosé vibrační senzory úhlové rychlosti (tzv. vibrační gyroskopy) firmy Analog Devices ADXR300. Jako senzory zrychlení byly zvoleny dva dvouosé lineární akcelerometry od téže firmy ADXL202 s rozsahem +/- 2g. Jako senzory

60


magnetického kurzu jsou použity magnetometry firmy Philips, dvouosý KMZ52 a jednoosý KMZ51. Inerciální měřicí jednotka měří úhly natočení letadla (či jiného dopravního prostředku) v zemské souřadnicové soustavě (ZSS), přičemž její senzory mají citlivé osy orientovány do os letadlové souřadnicové soustavy (LSS). Základ teorie výpočtu polohových úhlů v zemské souřadnicové soustavě (ZSS), tedy sklonu ϑ , náklonu γ a kursu ψ , na základě úhlových rychlostí měřených v letadlové souřadnicové soustavě, tj. ω x , ω y , ω z , položil Leonhard Euler. Dokázal, že obecnou rotaci lze rozložit na tři postupná natočení kolem tří různých os. Tuto skutečnost lze popsat pro Eulerovy-Krylovovy úhly následujícími vztahy: γ& = ω x + (ω y ⋅ sin γ + ω z ⋅ cos γ ) ⋅ tgϑ , ϑ& = ω y ⋅ cos γ − ω z ⋅ sin γ ,

ψ& = (ω y ⋅ sin γ + ω z ⋅ cos γ ) ⋅ sec ϑ.

(2)

Tyto diferenciální rovnice jsou však nelineární, jejich výpočet v reálném čase v BINS je neefektivní a navíc pro určité úhly nastávají nestability v řešení, nazývané Cardanův zámek („Cardan’s Lock“). Vhodnější a v BINS frekventovanější je užití metody směrových kosinů. Matice směrových kosinů umožňuje transformovat vektor z jedné souřadnicové soustavy do druhé vzhledem k první pootočené. Jednotlivé polohové úhly pak lze snadno vypočítat z prvků matice C. Pro výpočet polohových úhlů v ZSS, na základě měření úhlových rychlostí v LSS, lze odvodit diferenciální rovnici: ) & = C⋅Ω , C

) kde Ω je kososymetrická matice úhlových rychlostí.

(3)

V každém cyklu jsou změřeny úhlové rychlosti ω x , ω y , ω z , proběhne výpočet podle vztahu 3 a získaná matice C je pak využita pro transformaci změřených složek vektoru zrychlení z LSS do ZSS, které jsou pak mikroprocesorovým systémem BINS dále zpracovávány: a ZSS = C ⋅ a LSS

(4) Počítačové řešení Eulerovy úlohy metodou směrových kosinů je efektivnější než řešení původních Eulerových diferenciálních rovnic, avšak příslušný algoritmus je ještě příliš strojově náročný. Teoretický základ nejefektivnější, nejrychlejší a nejrozšířenější metody řešící Eulerovu úlohu položil irský matematik sir William Rowan Hamilton objevem součinu kvaternionů. Na kvaterniony můžeme pohlížet jako na vektory či jako na hyperkomplexní čísla. Kvaternion má jednu reálnou část a tři části imaginární s imaginárními jednotkami i, j, k a můžeme jej zapsat ve tvaru: q = q 0 + q1 ⋅ i + q 2 ⋅ j + q3 ⋅ k = q 0 + q v .

(5) První člen kvaternionu označujeme za skalární část a zbývající členy představují část vektorovou. Pro vztah mezi imaginárními jednotkami kvaternionu platí: i = j ⋅ k , − i = k ⋅ j , j = k ⋅ i, − j = i ⋅ k , k = i ⋅ j , − k = j ⋅ i . Součin dvou kvaternionů a a b, objevený Hamiltonem, je pak dán vztahem:

a o b = (a0 + a1 ⋅ i + a 2 ⋅ j + a3 ⋅ k ) ⋅ (b0 + b1 ⋅ i + b2 ⋅ j + b3 ⋅ k ) = = a0 ⋅ b0 − a v ⋅ b v + a0 ⋅ b v + b0 ⋅ a v + a v × b v

(6)

(7)

Kvaterniony podobně jako matice směrových kosinů umožňují transformovat třídimenzionální vektory (v případě BINS vektor zrychlení a) z jedné souřadnicové soustavy do druhé, vzhledem k první pootočené (aLSS →aZSS): ~, a ZSS = q o a LSS o q ~ kde q je kvaternion komplexně sdružený ke kvaternionu q.

Struktura rotačního kvaternionu q je:

(8)

Proceedings of the Conference "Modern Safety Technologies in Transportation - MOSATT 2005" Θ Θ ⎞ ⎛ q = ⎜ cos , sin ⋅ e ⎟ , 2 2 ⎠ ⎝

61

(9)

kde Θ je úhel natočení a e jednotkový vektor představující osu rotace. Pro výpočet polohových úhlů v ZSS na základě měření úhlových rychlostí v LSS lze odvodit diferenciální rovnici, podobnou rovnici 3, ve tvaru: q& =

) 1 ⋅q o Ω . 2

(10)

Obrázek 3 Blokové schéma modelu Pro ověření vlivu jednotlivých metod výpočtu polohových úhlů, metod numerické integrace a vlastností senzorů byl vytvořen model v programovacím prostředí MATLAB (viz obrázek 3). Jako budicí signál byl vzat kuželový pohyb okolo místní vertikály, neboť matematický popis jeho úhlové trajektorie je jednoduchý a odpovídá i standardním laboratorním provozním testům klasických gyroskopických vertikál. Kuželový pohyb je popsán vztahy: ⎛

ψ = 0 , ϑ = Ak ⋅ cos⎜⎜ 2 ⋅ π ⋅ ⎝

t Tk

⎞ ⎛ t ⎟ , γ 0 = Ak ⋅ sin ⎜ 2 ⋅ π ⋅ ⎜ ⎟ Tk ⎠ ⎝

⎞ ⎛ tgγ 0 ⎞ ⎟⎟ a γ = arctg ⎜ ⎟, ⎝ cos ϑ ⎠ ⎠

(11)

kde Ak je amplituda kuželového pohybu, Tk jeho perioda a γ 0 úhel natočení kolem osy X letadla při ϑ = 0. Této úhlové trajektorii v ZSS snadno určíme první a druhé derivace, tedy úhlové rychlosti a úhlová zrychlení v ZSS. Úhlové rychlosti γ& ,ϑ& ,ψ& a zrychlení γ&&,ϑ&&,ψ&& jsou pak transformovány do LSS, kde představují vstupní signály modelu inerciální měřicí jednotky. Následně jsou tyto signály vedeny do modelu inerciální měřicí jednotky odpovídajícímu struktuře znázorněné na obrázku 2. Pomocí výše popsaných metod aplikovaných v tomto modelu jsou

62


opět vypočteny polohové úhly letadla v zemské souřadnicové soustavě. Chybu výpočtu pak představuje rozdíl mezi zadávanými a vypočítanými hodnotami těchto polohových úhlů. Průběh zadávaných a vypočtených signálů i jejich rozdíl je graficky znázorňován. Dále je vypočtena směrodatná odchylka chyb měření jednotlivých polohových úhlů. Model umožňuje implementovat přenosové funkce senzorů, zatěžovat vstupní signály stochastickými signály představujícími šum měření, volit metodu výpočtu a numerické integrace (obdélníková, Rungeho-Kutty 4. řádu a Simpsonova), volit zesílení korekčních signálů a volit amplitudu, periodu kuželového pohybu, vzdálenost umístění senzorů od vrcholu kužele a délku kroku výpočtu. Na obrázku 4 jsou grafické výsledky 60s simulace výpočtu polohových úhlů za kuželového pohybu kolem místní vertikály o amplitudě 0,5 rad a periodě 10 s, při kroku výpočtu 0,01 s. Celková hodnota jednotlivých chyb výpočtu sklonu, náklonu a kursu je vyjádřena výpočtem směrodatných odchylek těchto chyb.


Obrázek 4 Výsledky simulace

63

64


Obrázek 5 Model BINS Pro analýzu vlastností BINS byl vytvořen jednoduchý model v prostředí MATLAB SIMULINK reprezentující jednu horizontální osu. Model zrychlení je vytvořen složením tří skoků a postupnou integrací je získána rychlost a trajektorie. Signály zrychlení a úhlové rychlosti natáčení místní vertikály při pohybu kolem Země jsou přiváděny do modelu BINS, tedy do bloků představujících akcelerometr a snímač úhlové rychlosti. Do akcelerometru je současně přiváděn signál průmětu tíhového zrychlení. Dvojitou integrací signálu z výstupu akcelerometru je získávána trajektorie, která je porovnávána se zadávanou trajektorií. Rozdíl představuje chybu měření trajektorie, které je průběžně charakterizována směrodatnou odchylkou.

3 ZÁVĚR Prezentované modely jsou vhodné pro rychlé orientační analýzy základních vlastností inerciálních měřicích systémů a jejich komponent a je možné je snadno dále rozvíjet. Vzhledem k dobrým vlastnostem programovacího prostředí MATLAB a MATLAB SIMULINK je možné modely velmi snadno modifikovat. Simulace inerciálních systémů pomocí prezentovaných modelů je snadná a transparentní a je používána nejen při vývoji inerciální měřicí jednotky, ale je začleněna do běžného výukového laboratorního zaměstnání. O aktuálnosti vztahů inerciální technologie a MEMS svědčí velké množství internetových publikací.

LITERATURA 1. Farrell, J., Barth, M.: The Global Positioning System and Inertial Navigation, ISBN 0-07-022045X, 1998 2. Chatfield, A., B.: Fundamentals of High Accuracy Inertial Navigation, Progress in Astronautics and Aeronautics USA, American Institute of Aeronautics and Astronautics ISBN: 1563472430

Recenzent: doc. Ing. Rudolf Jalovecký, CSc., Univerzita obrany, Kounicova 65, 61200 Brno, Česko, phone:+420 973 445 217, [email protected]

MODELOVÁNÍ VLASTNOSTI BEZKARDANOVÝCH INERCIÁLNÍCH NAVIGAČNÍCH SYSTÉMU MODELLING OF THE FEATURES OF STRAPDOWN INERTIAL NAVIGATION SYSTEMS

Recommend Documents