MODELOVÁNÍ SYSTÉMŮ V OBLASTI SPOLEČENSKÝCH VĚD

Modul: Exaktní metody řešení projektů VaV

Předmět: Modelování systémů v oblasti společenských věd

MODELOVÁNÍ SYSTÉMŮ V OBLASTI SPOLEČENSKÝCH VĚD

Miroslav Pokorný

Moravská vysoká škola Olomouc, o. p. s. Olomouc 2010



Projekt „Aplikovatelný systém dalšího vzdělávání ve VaV“ (dále jen APSYS) OP VK č. CZ.1.07/2.3.00/09.0134 je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky.

Text neprošel jazykovou úpravou. © Moravská vysoká škola Olomouc, o. p. s. Autor:

prof. Dr. Ing. Miroslav POKORNÝ

Recenzovali:

prof. Dr. Zdeněk SOUČEK, DrSc. Mgr. Antonín SEDLÁČEK

Olomouc 2010 ISBN 978-80-87240-30-4



Obsah Úvod ........................................................................................................................................................... 4 1

Základní pojmy systémové teorie .............................................................................................. 6 Cíl ................................................................................................................................................... 6 1.1

Definice systému ............................................................................................................... 6

1.2

Vlastnosti systému .......................................................................................................... 12

1.3

Systémová analýza a návrh ............................................................................................ 13

Shrnutí kapitoly ............................................................................................................................ 17 Literatura ke kapitole .................................................................................................................... 17 2

Abstraktní modelování systémů .............................................................................................. 19 Cíl ................................................................................................................................................. 19 2.1

Matematika a ekonomie .................................................................................................. 19

2.2

Manaţerské rozhodování a modely ................................................................................ 21

Shrnutí kapitoly ............................................................................................................................ 24 Literatura ke kapitole .................................................................................................................... 24 3

Metody modelování systémů v ekonomice ............................................................................. 26 Cíl ................................................................................................................................................. 26 3.1

Lineární programování .................................................................................................... 26

3.2

Síťové grafy ..................................................................................................................... 33

3.3

Modely hromadné obsluhy .............................................................................................. 37

3.4

Modely řízení zásob ........................................................................................................ 39

3.5

Modely kontroly jakosti .................................................................................................... 40

3.6

Modely prognózování ...................................................................................................... 43

3.7

Statistické modely ........................................................................................................... 46

3.8

Znalostní fuzzy modely .................................................................................................... 51

Shrnutí kapitoly ............................................................................................................................ 55 Literatura ke kapitole .................................................................................................................... 56 Literatura ................................................................................................................................................. 58 Seznam obrázků ..................................................................................................................................... 59 Seznam tabulek ...................................................................................................................................... 60



Úvod Rozvoj výpočetní techniky v posledních desetiletích se významně projevil ve všech oblastech našeho ţivota. V profesní oblasti se jiţ neobejdeme bez vyuţívání osobního počítače při řešení všech problémů, které naše odborné aktivity přinášejí. Vyuţíváme celé řady základních i specializovaných počítačových programů, které nám umoţňují získávání nezbytných informací, jejich třídění, zpracování, pouţití v nejrůznějších výpočetních procedurách, přehledné zobrazení výsledků a poskytují podporu při jejich vyhodnocování. S rozvojem naší dovednosti vyuţívat počítače a s rozvojem kvantity i kvality počítačových programů přenášíme stále častěji - aniţ si to mnohdy uvědomujeme – řešení problémů z oblasti experimentování na reálných, skutečných objektech, do oblasti experimentování v oblasti virtuální. Ke studiu chování reálných objektů vyuţíváme jejich počítačových analogonů – abstraktních matematických či jiných modelů. Uvaţujme dva objekty, A a B a pozorovatele. Objektu A říkáme, ţe je modelem objektu B, jestliţe pozorovatel můţe pouţít objekt A k získání odpovědi na otázky, které se týkají objektu B. Formalizace obecných vztahů mezi abstraktním modelem a reálným originálem je středem pozornosti vědního oboru kybernetiky. Modely, kterými se kybernetika zabývá, jsou převáţně určeny k vyšetřování vlastností reálných objektů (reálných soustav) a studiu jejich chování. Pouţívání modelů nám umoţňuje sledování a vyhodnocování následků našich rozhodnutí a opatření, aniţ bychom taková rozhodnutí nebo opatření realizovali na reálném objektu. Provádíme-li nějaká řízená pozorování na reálném objektu, říkáme, ţe jsme provedli experiment. Provedeme-li taková řízená pozorování na modelu, jedná se o simulaci. Práce s modely má oproti experimentování na reálných soustavách řadu výhod. Reálný objekt nemusí být experimentátorům dostatečně přístupný, s jeho modelem se pracuje snáze neţ s originálem, experimentování s objektem je často velmi nákladné, nebezpečné moţností vzniku poruch, ztrát a jiných technických nebo ekonomických rizik. Matematický model je nezničitelný, levný objekt pro experimentování s přímo dostupnými stavovými veličinami. Experimenty na modelech přitom můţeme snadno doplňovat heuristickými postupy, logickými rozbory i simulacemi náhodných vlivů a poruch. Tvorba počítačových modelů objektů reálného světa, vyuţívání takových modelů v procesu simulací, interpretace dosaţených výsledků a jejich zpětná aplikace na reálných soustavách jsou velmi sofistikované činností, které se řídí svými zákony. Kromě zákonitostí kybernetiky se v těchto oblastech uplatňují metody a přístupy dalšího vědního oboru – teorie systémů. Problematika modelování a simulací je nedílnou součástí metod řešení obecných problémů. Systémový přístup je právě v těchto souvislostech velmi často zdůrazňován. Označujeme jím takový způsob myšlení, řešení úloh a jednání, v němţ jsou jevy chápány v jejich vnitřních i vnějších souvislostech, tj. komplexně. Problémy chápeme tak, ţe se důsledně zaměřujeme na respektování vazeb mezi jejich prvky. Jde přitom nejen o vazby vnitřní, uvnitř komplexu, ale i o významné vazby vnější, na jeho okolí. Uvědomujeme si, ţe vlastnost okolí můţe chování studovaného systému významně ovlivňovat. V souvislosti se související problematikou teorie systémů je třeba zmínit i systémovou analýzu jako metodickou disciplínu, která směřuje k poznání systému jeho postupnou dekompozicí na jednodušší části, je zaměřena na zkoumání chování systémů ovlivňovaného vnějšími podněty s vyuţitím jejich modelů. Neméně důleţitou roli hraje také systémová syntéza, která se zabývá -4-



vyhodnocením výsledků simulací a metodami návrhu systémů nebo jejich úprav s cílem dosaţení jejich poţadovaného (optimálního) chování. Nejfrekventovanějším problémy, které jsou v praxi řešeny, jsou problémy rozhodovací. V této souvislosti se hovoří o operační analýze, která při řešení sloţitých ekonomických, organizačních, technických a jiných problémů pouţívá právě matematické modelování. Metody operační analýzy vyuţívají ke konstrukci (syntéze) modelů jak přístupů konvenční matematiky (numerické modely), tak přístupů nekonvenčních, vyuţívajících přístupů jazykových (modely nenumerické, verbální). Pozornost kybernetiky se zaměřuje zvláště na analýzu prakticky velmi významných řídicích a informačních systémů. V ekonomických disciplínách se dnes významně uplatňují i systémy znalostní, které k vytváření abstraktních modelů vyuţívají jazykových popisů studovaných soustav. Je přitom vyuţíváno přístupů vědního oboru umělá inteligence. Studijní texty jsou zaměřeny do oblasti modelování v netechnických oblastech společenských, zvláště ekonomických věd. Kromě přehledu problematiky modelování a simulací z obecnějšího hlediska teorie systémů je cílem těchto textů poskytnout přehled principů a metod, které se pouţívají pro řešení jejich specifických problémů. Pozornost je tak věnována metodám matematickým (metody lineárního programování, tvorby optimalizačních modelů, metodám strukturní analýzy, teorii grafů a síťové analýzy, modelům hromadné obsluhy, modelům obnovy, modelům zásob) i verbálním modelům znalostním. Texty jsou připraveny tak, aby jejich pochopení bylo snadné i pro studenty, kteří disponují pouze znalostí středoškolské matematiky a základů matematické statistiky.

-5-



1 Základní pojmy systémové teorie CÍL Po prostudování budete umět: 

pochopit význam systémové teorie pro řešení obecných problémů a rozumět jejím nejdůleţitějším pojmům,



definovat význam základních vlastností systémů a vysvětlit procesy systémového rozhodování,



pochopit principy aplikace zákonů systémové teorie v procesech systémové analýzy a systémového návrhu,



vyjmenovat a vysvětlit význam etap vyšetřování chování systémů a jejich projektování,



definovat systém a poznat řadu základních pojmů, které jsou náplní obecné systémové teorie.

KLÍČOVÁ SLOVA Systém, teorie systémů, struktura systému, okolí systému, řídicí systém, tvrdý systém, měkký systém, deterministický systém, náhodný systém, statistický systém, dynamický systém, rozhodování v systémech, matematický model, systémová analýza, systémový návrh, optimální systém.

1.1 Definice systému V literatuře pojednávající o teorii systémů se vyskytuje řada různých definic, z nichţ pro naši potřebu nejdůleţitější jsou následující dvě [1]: 

systémem nazýváme takový objekt, který vstupnímu procesu určitého typu přiřazuje výstupní proces téhoţ nebo jiného typu (Behavioristická definice),



systémem nazýváme soubor nějakých prvků a vazeb mezi nimi (Kompoziční definice).

Za systém můţeme povaţovat objekty ţivé i neţivé, reálné i abstraktní. Mohou to být například [2]: 

reálné objekty nebo projekty reálných objektů,



procesy nebo komplexy procesů,



problémy nebo komplexy problémů,



soubor aktivit (např. řídicích) vztahujících se k určitému objektu,



abstraktní

konstrukce

myšlenkové, -6-

výrokové

nebo

konstrukce



matematických výrazů. 

skupina tělesných orgánů, které vykonávají určitou ţivotní funkci (nervová soustava, trávicí soustava),



skupina zařízení a organizací pro distribuci (telefonní síť, kniţní velkoobchod, elektrorozvodná soustava),



organizovaná skupina nebo společenská třída,



způsob popisu a určení vlastností zkoumaných objektů.

Pouhé označení určitého objektu jako systém nemá praktický význam. Pokud např. označíme určitý podnik jako systém, vyplývá z toho, ţe tento podnik povaţujeme za celek, který má určité vlastnosti, skládá se z určitých částí, mezi nimiţ existují určité vazby apod. Pokud však uvedeme, které vlastnosti celku máme na mysli, které a jak vymezené části jeho celku a jaké jejich vazby budeme uvaţovat, pak uţ nepracujeme s objektem, nýbrţ se systémem, který jsme na tomto objektu definovali. Definování (vymezení) popisovaných systémů musí vţdy sledovat nějaký účel, je vţdy účelové. Přitom je nutné, aby definovaný systém reprezentoval (pro náš účel) dostatečně podrobně a věrně vlastnosti toho objektu, na němţ byl definován. Z výroků o vlastnostech a chování na objektu definovaných systémů pak usuzujeme na vlastnosti a chování samotných objektů . V otázce vymezení systému na objektu má důleţitý význam tzv. rozlišovací úroveň vymezení. Základní prvek systému je vţdy definován s ohledem na určitou rozlišovací úroveň. Tak např. v systému řízení národní ekonomiky je prvkem odvětví, v systému řízení odvětví je pak prvkem podnik. Je zřejmé, ţe na jednom objektu můţeme definovat více systémů, podle našeho zájmu a účelu. Například na objektu výrobního podniku můţeme definovat systém zásobovací, systém údrţby, systém skladovací apod. Topologie jednoduchého systému se třemi prvky (P1 – P3) a šesti vazbami (V1 – V6) je uvedena na Obrázku 1.1. V souvislosti s pojmem systém je důleţitým pojmem jeho struktura. Ta je reprezentována výčtem jeho prvků a jejich vazeb. Pokud jsou vazby označeny směrem toků, jde o strukturu orientovanou. Podle stupně znalosti o úplnosti počtu prvků systému a úplnosti počtu jejich vazeb rozeznáváme systémy zcela nestrukturované, částečně strukturované, dobře strukturované, případně úplně strukturované.

-7-



Struktura jednoduchého systému V3

Obrázek 1.1 V1

P1

P2

V4

V2

V5

P3

V6

Definice systému na objektu je spojena s pojmem dekompozice. Obvykle lze rozlišovat v jiţ vymezeném systému jeho části, které tvoří z určitého hlediska uvnitř systému relativně samostatné celky. Takové části jsou nazývány subsystémy a procedura jejich definice je nazývána dekompozicí systému. Ta můţe vést často k velmi sloţitým strukturám. 

Monostrukturou rozumíme strukturu, v níţ jsou sousední prvky spojeny pouze jedinou vazbou dané orientace.



Multistruktura je charakterizována větším počtem prvků a jejich paralelních vazeb různých typů a kaţdý prvek můţe vykazovat několik typů transformace svých vstupních hodnot na hodnoty výstupní.



Násobná struktura systému je typická vnitřním opakováním svých subsystémů.



Je-li účelné integrovat více systémů do jednoho celku, mluvíme o tzv. multisystému.

-8-



Příklad systému S se dvěma subsystémy SS1 a SS2 je uveden na obrázku 1.2. Pro různé typy struktur existuje celá řada názvů:

Systém a podsystémy

Obrázek 1.2



Konglomerát je náhodným seskupením nespolupracujících prvků bez jakýchkoliv vazeb (chodci na náměstí).



Soubor se skládá z podobných prvků, které svoji činnost koordinují (pěvecký sbor).



Decentralizovaná organizace je systém skládající se z prvků provádějících podobnou činnost se společným významem. Činnost prvků je řízena jím samotným nebo jeho blízkým okolím. Centrální řízení je slabé nebo ţádné (fotbalové muţstvo).



Centralizovaná organizace je systémem, která se od předešlých liší způsobem řízení. Obsahuje řídicí prvky, které mohou nebo nemusí být podřízeny jiným řídicím prvkům (jednostupňové nebo vícestupňové řízení).

Značná pozornost je věnována systémům a strukturám hierarchickým. Jsou typické tím, ţe jejich prvky můţeme uspořádat do několika (hierarchických) úrovní. Ţádný z nich však nemůţe patřit do více úrovní. Prvky, patřící do vyšší úrovně, jsou přitom nadřazeny prvkům, patřícím do úrovně niţší. Hierarchické systémy můţeme znázornit pomocí stromové struktury. Příklad takové struktury je uveden na obrázku 1.3. Ukazuje subsystém vyššího stupně řízení VSŘ, tři subsystémy niţšího stupně řízení NSŘ1 – NSŘ3 a pět subsystémů řízení na výkonné úrovni VYK1 – VYK5.

-9-



Hierarchická stromová struktura dvoustupňového řízení

Zvláštním případem systému je tzv. černá skřínka. Jde o systém, jehoţ strukturu buď vůbec neznáme, nebo ji můţeme zanedbat. Chování takové černé skřínky pak můţeme posuzovat pouze na základně informací o velikosti jejích vstupů a výstupů. Okolím systému nazýváme mnoţinu prvků, které sice nejsou přímo prvky daného systému, avšak vykazují k němu významné vazby. Z hlediska systému a jeho vazeb na okolí pak rozeznáváme systémy otevřené (mají alespoň jednu vstupní a jednu výstupní vazbu na okolí) a systémy uzavřené (nemají vůči svému okolí ţádné vazby). Další skupina pojmů souvisí s organizací, strukturou a řízením systémů. Organizací systému rozumíme způsob uspořádání jeho časové a funkční struktury. Úkolem organizace systému je realizace jeho poţadovaného chování. Organizace systému je přitom popsána jeho: 

obsahem,



strukturou,



komunikací,



rozhodovacím procesem.

Zvláštní pozornost zasluhují také systémy, vybavené zpětnou vazbou. Vazbou rozumíme spojení mezi sousedními prvky nebo jejich skupinami. Zpětná vazba je propojení mezi výstupem a vstupem (prvku, subsystému nebo celého systému), které má za následek závislost vstupu na výstupu. Můţe být pozitivní nebo negativní. Cílevědomé působení na systém je moţno realizovat několika způsoby. 

Sledováním (monitorováním) systému rozumíme získávání informací o jeho okamţitém stavu bez současného působení na systém.



Ovládání systému znamená cílevědomé působení na systém, avšak bez zpětné kontroly výsledku takového působení sledováním jeho výstupu.



Regulací systému nazýváme cílevědomé působení na systém, avšak se sledováním výsledku takového působení zavedením zpětné vazby. Regulační systém je pak schopen (automaticky) udrţovat působením zpětných vazeb velikost výstupu v poţadovaných mezích. - 10 -

Obrázek 1.3



Řídicí systém je systém s cílovým chováním, který působí na další systémy s cílem dosáhnout jejich poţadované funkce, jejich cíle. Řídicí systémy v ekonomické oblasti jsou představovány jejich třemi základními typy: 

Systémy strategického (vrcholového) řízení provádějí vymezení cílů objektů, vymezení cílů systému řízení na objektech, vypracování dlouhodobých perspektivních plánů a přijímání strategických (koncepčních) rozhodnutí.



Systémy taktického řízení stanoví cíle pro niţší úroveň systémů řízení operativního a kontrolují jejich plnění. V případě narušení nepředvídanými vlivy provádí změnu cílů.

Systém operativního řízení zajišťuje vlastní řízení systému v souladu s operativními plány. Řízení v reálném čase je charakterizováno tím, ţe reakce na řídicí opatření jsou rychlejší neţ změny chování systému bez řízení. Integrovanými systémy řízení nazýváme takové systémy, které: 

zahrnují jako subsystémy i operativního řízení, nebo



zahrnují subsystémy, které jsou samy řídicími systémy niţší úrovně.

systémy

strategického,

taktického

Velmi frekventovaným pojmem je informační systém, který má především tyto funkce a znaky: 

zahrnuje prostředky pro získání kvalitních informací o systému a jeho okolí,



obsahuje prostředky pro zpracování těchto informací na potřebné úrovni,



má paměť pro jejich uchovávání,



včas vyhledá a ve vhodné formě předá potřebné informace na místo jejich vyuţití,



je dostatečně flexibilní s ohledem na poţadované změny metod zpracování,



je dostatečně spolehlivý s ohledem na poruchy či zkreslení (poškození) informací.

V závislosti na vymezeném počtu prvků a jejich vazeb označujeme systémy jako: 

složité – s velkým počtem vazeb,



rozlehlé (komplexní) – s velkým počtem prvků,



neprůhledné – s mnoţstvím komplikovaných a spletitých vazeb, v nichţ se nelze orientovat bez pouţití speciálních postupů.

V souvislosti s klasifikací systémů uvaţujeme mnohdy způsob a formu jeho popisu, na jejichţ základě můţeme dělit systémy na tvrdé a měkké. Systém označujeme za tvrdý, pokud je jeho chování moţno dostatečně dobře - 11 -



popsat s vyuţitím matematického (numerického) aparátu. Takovým popisem můţe být např. rovnice, nerovnost, logický výrok, soustava rovnic apod. Takto lze dostatečně adekvátně vytvořit popisy chování (modely) systémů jednodušších nebo v případech, kdy připustíme jistá zjednodušení a zanedbání pro daný účel nepodstatných aspektů chování. Je skutečností, ţe téměř všechny systémy, o kterých např. manaţeři uvaţují při svém rozhodování, jsou natolik sloţité, ţe mnohdy není reálné uvaţovat o jejich matematickém popisu. Takové, tzv. měkké systémy, popisujeme speciálními metodami vyuţívajících jazykových (slovních, verbálních) přístupů. Tyto popisy (jazykové modely) a práce s nimi jsou jednou z disciplín vědního oboru umělá inteligence [8]. K formalizaci jazykových popisů v počítači se často pouţívá přístupů fuzzy-logických nebo přístupů pravděpodobnostních [4], [8]. Stěţejním pojmem, souvisejícím s vlastnostmi systému, je pojem chování systému, jímţ rozumíme způsob reakce systému na podněty. Chování systému závisí na jeho vlastnostech. Nejdůleţitější z nich si uvedeme v následující podkapitole.

1.2 Vlastnosti systému První ze základních vlastností systému je vlastnost jejich determinovanosti, náhodnosti a neurčitosti. 

Deterministický systém se vyznačuje tou vlastností, ţe výsledek transformace vstupních podnětů na výstup systému je vţdy jednoznačně určen, nepodléhá ţádným vnějším ani vnitřním vlivům na systém působícím.



Náhodný (stochastický) systém vykazuje závislost svých vlastností na působení vnějších i vnitřních vlivů, které přitom nelze předem stanovit a zohlednit. K popisu jejich chování je nutno pouţít aparát matematické statistiky [3]. Nazývají se také systémy s nejistotou.



Neurčité systémy jsou takové, k jejichţ popisu nemáme dostatek informací (znalostí), informace o jejich vlastnostech jsou neúplné a nepřesné. S ohledem na speciální metody jejich popisu se nazývají také fuzzy systémy [4].

U obecných systémů můţeme nalézt dva druhy jejich vlastností. Vlastnosti statické, které můţeme povaţovat za stálé, nezávislé na čase, a vlastnosti dynamické, které se s časem mění. Stejně tak i systémy rozdělujeme na statické a dynamické. 

Statický systém se vyznačuje časovou stálostí a neměnností své struktury, vazeb i transformačních funkcí svých prvků. Matematicky je lze popsat např. pomocí soustav obyčejných rovnic.



Dynamický systém vykazuje časovou závislost (proměnlivost) svých vlastností, tedy i struktur, vazeb a transformačních funkcí. Matematicky jej lze popsat soustavou diferenciálních rovnic.

Zvláštním typem statických systémů jsou systémy nestacionární, jejichţ - 12 -



vlastnosti se mohou měnit, nikoliv však v závislosti na čase. Kvalitu systému definujeme jako vzdálenost reálného chování systému od jeho chování ideálního nebo poţadovaného (zadavatelem, zákazníkem). Mírou jsou nejrůznější kvalitativní ukazatele. 

Spolehlivost (náhodného) systému je dána pravděpodobností poţadovaného chování. Pokud je tato pravděpodobnost rovna 1, jedná se o systém deterministický. Někdy se místo pravděpodobnosti pouţívají pro hodnocení spolehlivosti různé kvalitativní ukazatele.



Optimalita systému charakterizuje schopnost systému být nejlepším ze všech moţných varant. Je vţdy posuzována podle určitého hlediska jeho chování.

Důleţitým poţadavkem je stabilita systému. Pokud je podmínka stability splněna, nemá systém tendenci zvětšovat jednorázovou, krátkodobým vlivem způsobenou, odchylku od ţádoucího chování nebo nemá tendenci k rozkmitání nepřípustné velikosti. Vlastnost adaptivity systému je zaloţena na schopnosti systému automaticky upravovat svoje chování tak, aby odpovídalo změnám stavu okolí a bylo i ve změněných podmínkách dosaţeno cíle. Tato vlastnost je často získána pouţitím procedury učení. Vlastnost samoučení - učením systému rozumíme procesy, které vedou k účelné změně struktury, organizace nebo vlastností adaptivního systému, vyvolané opakovanými podněty z jeho okolí.

1.3 Systémová analýza a návrh Jednou z nejvýznamnějších aplikační oblastí teorie systémů jsou metody řešení dvou základních problémů [1]: 

je-li dán konkrétní systém, jaké má vlastnosti a jaké je jeho chování?



je-li určeno poţadované chování systému, jak má vypadat odpovídající systém?

Řešení těchto problémů je realizováno prostřednictvím aplikačních oblastí systémové vědy, a to pomocí metod systémové analýzy a pomocí metod systémového návrhu.

Systémová analýza Metodologie systémové analýzy zahrnuje popis rámcové strategie analýzy, kterou je třeba při řešení konkrétních úloh vhodně konkretizovat. Základ tvoří tyto etapy: 1) Rozpoznání problému

Systémová analýza

1. etapa

Úlohy systémové analýzy vznikají v různých oblastech lidské činnosti, např. - 13 -



v technickém projektování, v hospodářské praxi, ve výzkumu a vývoji. Řešení úloh spočívá obvykle v řešení rozhodovacích problémů, kdy hledáme optimální strategii realizace vymezených cílů při daných omezených prostředcích. Správná formulace problému je nejvýznamnějším krokem k jeho úspěšnému vyřešení [1].

2) Vymezení problému

2. etapa

V této etapě je rozpoznaný problém na základě hlubší analýzy situace detailněji definován, je stanoven jeho rozsah a jeho podstata. Jsou vymezena přípustná řešení i omezující podmínky. Na objektu zájmu je definován systém, který je analyzován z hlediska svých vnitřních i vnějších vazeb. Hledají se hlavní aspekty a vlastnosti, které mají význam pro jeho řešení. Identifikují se reálné objekty, ke kterým se daný problém vztahuje (určité podniky, závody podniků, výrobní provozy apod.). Ostatní objekty povaţujeme za okolí. Vymezují se reálné objekty, které budou později středem pozornosti procedur abstraktního modelování.

3) Vymezení cílů a formulace kritérií

3. etapa

V dílčím kroku jsou formulovány cíle řešení a kritéria, které musí řešení problému splňovat, aby bylo dosaţeno daného účelu. Vzniká tzv. strategie řešení. Cíle je v případě manaţerské systémové analýzy třeba definovat jasně a přesně. Jako kritéria jsou nejčastěji pouţívána kritéria ekonomická, nákladově přínosová.

4) Generování alternativních a výběr optimální strategie

4. etapa

Etapa představuje syntézu procesu řešení problému. Jsou sestavovány alternativní strategie jeho řešení jako posloupnosti kroků (myšlenkových pochodů), které končí nalezením řešení. Pouţitím optimalizačních procedur určíme takovou strategii, která řeší problém nejlépe s ohledem na daná kritéria a jejich významnost (váhu).

5) Modelování

5. etapa

Modelování je důleţitou procedurou systémové analýzy. Můţeme formulovat různé hypotézy a předpoklady o vlastnostech objektu (předmětu modelování), sestavovat různé modely a ověřovat jejich chování. Abstraktní (počítačové) modelování systému a simulační experimentování na modelech nám umoţňuje vyhodnocování následků určitých rozhodnutí, aniţ bychom je realizovali (s rizikem) na reálném objektu. Důleţitým poţadavkem na vlastnosti modelu je jeho potřebná adekvátnost s modelovaným objektem. Zmíněná adekvátnost se kontroluje mírou shody výstupu modelu a modelovaného objektu při zavedení stejných vstupních veličin (ztrátová funkce) [5], [6], [7].

6) Vyhodnocení výsledků modelových simulací a jejich aplikace Výsledky, které jsou získány experimentováním na modelech, pouţíváme při - 14 -

6. etapa



rozpracování výsledného řešení daného problému. Tímto řešením můţe být např. určitá strategie dosaţení stanovených cílů, návrh úprav řešení systému, projekt nového systému apod. Realizaci řešení problému nazýváme implementací. Výsledky získané experimenty implementujeme v praxi. Velmi náročná činnost je vlastní interpretace výsledků. Rozbor získaných výsledků a vytvoření racionálních závěrů předpokládá dobrou znalost dané problematiky a také znalost vlastností pouţitých modelů. Přípravě podkladů pro konečné rozhodnutí předchází implementační analýza, v jejímţ rámci jsou zkoumány moţné strategie a jejich pravděpodobné důsledky. Konečným výsledkem implementační analýzy je vlastní návrh realizace řešení.

Systémový návrh Rámcová strategie systémového návrhu zahrnuje několik obecných fází, které jsou při řešení dané úlohy konkretizovány. Strategie systémového návrhu je tvůrčím procesem řídícím se poznatky systémové vědy stejně jako strategie systémové analýzy – proto oba procesy obsahují systémově podobné kroky. Mezi ně patří:

1) Vymezení problému

Systémový návrh

1.krok

Ve fázi je definován účel navrhovaného systému, poţadavky na systém, jeho funkce a základní cíle. K popisu lze pouţít grafických metod, matematický aparát nebo popis verbální (slovní, jazykový). Vymezují se faktory, které mohou a které nemohou návrháři systému ovlivnit. Hledají se prostředky a technologie pro realizaci systému i omezující podmínky systému. Provádí se odhady času a nákladů, potřebných k návrhu systému i jeho realizaci. Stanoví se sloţení projekčního týmu.

2) Stanovení cílů a kritérií

2.krok

Stanoví se cíle řešení projektu a kritéria pro volbu alternativ. Zohledňují se zejména výkon systému, investiční a provozní náklady, spolehlivost a faktor času.

3) Plánování a rozpočtování

3.krok

V této fázi se sestavuje strategie tvorby systému a plán prací. Odhadují se váhy kritérií, potřebné finanční prostředky potřebné pro realizaci projektu. Pouţívají se metody síťové analýzy.

4) Modelování prostředí

4.krok

Zahrnuje analýzu prostředí budoucího systému, vytváří se abstraktní – obvykle stochastický - model tohoto prostředí. Pro vytvoření modelu jsou vyuţívány prostředky matematické, grafické i verbální.

- 15 -



5) Návrh alternativních variant

5.krok

S vyuţitím abstraktního modelování se vytvářejí různé varianty návrhu systému, které jsou v další fázi podrobeny systémové analýze.

6) Systémová analýza navrţených variant

6.krok

Je základním nástrojem návrhu. Metodou analýzy jsou experimenty na modelech variant. Cílem analýzy je nalezení vlastností a způsobu chování jednotlivých variant a stanovení hodnot jejich optimalizačních kritérií.

7) Volba konečné varianty systému

7.krok

Provádí se komplexní vyhodnocení analýzy s uplatněním poznatků teorie rozhodování. Probíhá volba těch variant návrhu, které se budou uvaţovat v dalším postupu návrhu, případně se určí varianta finální. Konečná varianta se hodnotí z hlediska technického, ekonomického, ekologického i sociálního.

8) Dokumentace návrhu konečné varianty

8.krok

Konečná varianta návrhu je popsána v ideovém projektu. Dokumentace obsahuje verbální popisy, grafická zobrazení, technické výkresy a schémata. Dokumentace musí vyhovovat rovněţ budoucímu uţivateli a údrţbě systému.

9) Implementace konečné varianty

9.krok

Není jiţ zahrnována do procesu návrhu. Vypracovává se prováděcí projekt, realizace a testování nového systému. Realizují se práce spojené s uvedením systému do zkušebního i trvalého provozu. Prvním pouţitím systému začíná jeho provoz, který končí s dobou ţivotnosti systému. Konkrétní strategie pak závisí na typu systému, prostředcích a technologiích pouţitých při jeho realizaci. Stejný postup lze pouţít i při návrhu jeho subsystémů. Systémová analýza i systémový návrh jsou procedury, které respektují přístupy obecné teorie systémů [1], [2]. Proto mají jejich postupy i jednotlivé kroky řadu společných rysů. V této souvislosti je třeba si uvědomit jejich odlišné poslání a komplementaritu – systémová analýza dává odpověď na vlastnosti a chování daného systému, zatímco systémový návrh řeší problém, jak má vypadat struktura systému, který bude vykazovat poţadované vlastnosti a chování. Metodám modelování systémů, které podporují i systémový návrh, je věnována další kapitola těchto textů.

- 16 -

systémovou

analýzu



SHRNUTÍ KAPITOLY Systém je obecný pojem, který je definován jako soubor prvků a jejich vazeb. Za systém povaţujeme objekty ţivé i neţivé, reálné i abstraktní. Vlastnostmi systémů se zabývá obecná teorie systémů. Důleţitými pojmy, spojenými se systémem, jsou jeho struktura, organizace a vztah k okolí. Systém má vlastnosti statické nebo dynamické. Důleţitými vlastnostmi systému jsou dále jeho determinovanost, náhodnost nebo neurčitost. Při vyšetřování vlastností nebo návrhu systému nás zajímají jeho kvalita, spolehlivost, stabilita a optimalita. Z hlediska způsobu popisu vlastností systému existují systémy tvrdé a systémy měkké. V systémech společenských organizací jsou velmi důleţité procesy rozhodovací. Rozhodování v systémech se provádí na základě informací, získaných kvantitativními a kvalitativními metodami vyšetřování jejich vlastností. Velmi důleţitou roli hrají abstraktní modely systémů. Speciální metody podporují rozhodování v podmínkách nejistoty a rizika. Významnými oblastmi aplikace metod teorie systémů jsou systémová analýza a systémový návrh. Oba procesy vycházejí z jednotného systémového přístupu, jímţ je vymezení problému řešení, stanovení cílů a formulace hodnotících kritérií, generování alternativních řešení, počítačové modelování a vyhodnocení simulačních experimentů, analýza variant řešení, výběr optimálního řešení a jeho praktické ověření.

ÚKOLY 1.

Vyjmenujte typy objektů, které lze povaţovat za systémy!

2.

Jak jsou děleny systémy podle jejich struktury, typu organizace, jejich vztahu k okolí a způsobu řízení?

3.

Jaké jsou hlavní rysy systémů deterministických, náhodných, statických, dynamických, optimálních a adaptivních?

4.

Uveďte a vysvětlete systémový postup rozhodování!

5.

Jaké jsou základní a společné etapy systémové analýzy a systémového návrhu?

LITERATURA KE KAPITOLE Základní literatura: [1]

ČERNÝ, J. Základy teorie systémů. Praha: VŠE, 2001. ISBN 80-245-0231-3.

[2]

NĚMEC, F., ČEMERKOVÁ, Š. Teorie systémů. Opava: SU, 1997. ISBN 8085897-4-6.

[3]

POKORNÝ, M. Matematické metody vyhodnocování experimentů. Text projektu APSYS. Olomouc: MVSO, 2010. - 17 -



[4]

POKORNÝ, M. Umělá inteligence v modelování a řízení. Praha: BEN, 1996. ISBN 80-901984-4-9.

[5]

MAŇAS, M. aj. Matematické metody v ekonomce. Praha: SNTL, 1991. ISBN 80-7079-157-8

Doporučená literatura: [6]

DËMEOVÁ, L. aj. Matematické metody v ekonomii a managementu [on line]. CZU PeF [cit. 2009-11-09]. Dostupný z WWW: <www.skolaekonom.cz/0X/data/la016/attach/uvod-do-metod-operacnihovyzkumu.ppt?PHPSESSID=drbxccke>.

[7]

SKÁLA, P. Matematické modely v ekonomii [on line]. In 5. Odborná konference doktorského studia s mezinárodní účastí [cit. 2009-11-20]. Brno: VUT, 2003. Dostupný z WWW: <www.fce.vutbr.cz/veda/dk2003texty/pdf/52/rp/skala.pdf>.

[8]

MAŘÍK, V. aj. Umělá inteligence I. Praha: AKADEMIA, 1996. ISBN 80-2000496-3

- 18 -



2 Abstraktní modelování systémů CÍL Po prostudování kapitoly získáte přehled o problematice významu počítačového modelování ekonomických systémů. Seznámíte se s rozdělením ekonomických modelů a významem moderní výpočetní techniky pro abstraktní modelování sloţitých soustav. Budete umět vysvětlit význam modelů v procesu manaţerského rozhodování, princip kvantitativních a kvalitativních modelů i význam informací pro jejich kvalitu. Porozumíte principu manaţerského rozhodování a metodám tvorby variant rozhodnutí. Seznámíte se s pojmy rozhodování v podmínkách jistoty, nejistoty a rizika.

KLÍČOVÁ SLOVA Model systému, adekvátnost modelu, klasifikace ekonomických modelů, výpočetní technika, manaţerské rozhodování, kvantitativní modely, kvalitativní modely, operační analýza, metody intuitivní, metody systematicko-analytické, nejistota, riziko.

2.1 Matematika a ekonomie 2.1.1

Ekonomické modely

Modelem systému rozumíme abstraktní strukturu (počítačový program), který projevuje v určitých směrech stejné (nebo velmi podobné - adekvátní) chování jako reálný objekt, který reprezentuje. Modely tak mohou být reprezentovány matematickými vztahy, grafickými konstrukcemi nebo jazykovými popisy [1], [5]. Tím, ţe sloţité ekonomické soustavy zjednodušují a zachycují vztahy pouze mezi zvolenými (a pro daný účel nejvýznamnějšími) proměnnými, umoţňují studovat ekonomické jevy a vztahy mezi nimi, porozumět jim a činit závěry pro praktická rozhodnutí. V této souvislost je třeba si uvědomit, ţe zjednodušení reality (které je pro vytvoření abstraktního – zvláště matematického - modelu vţdy nezbytné) vede ke konstrukci modelů, které nemohou zachycovat ekonomický systém ve všech detailech a v celé jeho komplexnosti. Zjednodušení předpokladů však vede k moţnosti soustředit se při zkoumání problému pouze na jeho hlavní aspekty (tak např. předpokládáme, ţe spotřebitel vynakládá svůj důchod pouze na nákup statků a nespoří, ţe jediným cílem firmy je maximalizace zisku apod.). Hrozí však nebezpečí, ţe modely vytvořené za příliš zjednodušujících předpokladů nebudou dostatečně adekvátní a závěry vyvozené z jejich simulací nebudou mít pro řešení reálného problému smysl. Většina ekonomických modelů tak můţe být - 19 -



charakterizována dvěma společnými rysy [5]: 

předpokladem neměnnosti podmínek - v případě, ţe zkoumáme vliv změny jedné proměnné a ostatní zanedbáváme, musíme předpokládat, ţe zanedbané proměnné nezmění svoji hodnotu. Tento předpoklad se vyjadřuje latinským doplňkem „ceteris paribus“ – ostatní nezměněno. Např. verbální model „Jestliţe se zvýší příjmy obyvatelstva, zvýší se také jeho spotřeba“ by měl být formulován správně „Jestliţe se zvýší příjmy obyvatelstva, zvýší se ceteris paribus také jeho spotřeba“, protoţe spotřeba obyvatelstva závisí od řady dalších faktorů, které jsou v tomto modelu ignorovány.



předpokladem optimality – řada modelů vychází z představy, ţe všichni ekonomičtí aktéři se chovají racionálně. Chování lidského činitele lze přitom v abstraktních modelech postihnout nejlépe metodami umělé inteligence [5].

Zjednodušování modelů je nezbytné při pouţití prostředků klasické matematické analýzy a numerické matematiky. Často však můţe vyplývat ze skutečnosti, ţe určité vlivy nelze dobře měřit nebo jinak kvantitativně postihnout, nebo ţe jejich působení nelze dobře vyjádřit matematickým vztahem. V tom případě jsou efektivní modely verbální, neboť slovní popisy vyuţívajících kvalitativních pojmů jsou lépe dostupné [2].

2.1.2

Klasifikace abstraktních modelů

Klasifikaci ekonomických modelů lze provést podle různých hledisek. Tak např. lze vzít v úvahu, zda jsou určeny pro popis, studium chování systému a predikci jeho stavů nebo nalezení optimálního řešení daného problému, zda berou či neberou v úvahu náhodné vlivy, působící na systém nebo zda berou či neberou v úvahu časový vývoj stavů modelovaného systému. Přehledně můţeme abstraktní modely rozdělit do následujících skupin [3]. 

Modely symbolické (verbální)



Modely normativní – hledají poţadované, optimální stavy systému



Modely deskriptivní – popsují systém a jeho chování



Modely koncepční – popisují koncepce nově navrhovaných systémů



Modely statické – zobrazují chování modelu bez ohledu na změny v čase



Modely dynamické – zobrazují časové průběhy probíhajících dějů



Modely deterministické – zobrazují chování systémů v ideálních podmínkách



Modely stochastické – respektují nahodilé změny a poruchy působící

–

grafické,

- 20 -

matematicko-analytické,

slovní

1.skupina

2.skupina

3.skupina



na soustavu

2.1.3



Fuzzy modely – znalostní modely reflektující vágnost soustavy



Modely stavové (endogenní) – zobrazují charakteristiky vnitřního stavu systému



Modely přenosové (exogenní) – zobrazují vztahy systému k okolí (vstup/výstupní)

Modelování a výpočetní technika

V oblasti abstraktního modelování přinesl významný posun nástup výpočetní techniky. Především bylo moţno omezit poţadavky na zjednodušování modelů a zvýšit počty uvaţovaných proměnných (dimenze modelu). Vysoký výpočetní výkon posílil aplikaci úloh výpočtově náročných, např. s vyuţitím optimalizačních modelů. Počítače umoţňují shromáţdění rozsáhlých informací a dat (např. statistických souborů), které je moţno při syntéze modelů i jejich vyuţití rozsáhle uplatnit. Významná je také úloha počítačů v řešení úloh, vyuţívajících heuristické přístupy, znalostní přístupy a další metody umělé inteligence.

2.2 Manažerské rozhodování a modely S rostoucí sloţitostí a s rostoucí intenzitou působení stále většího počtu vnitřních a vnějších vlivů na organizace se kaţdý manaţer setkává s velkým mnoţstvím problémů, které musí rychle a kvalifikovaně řešit. Rozhodování je činnost, která je s aktivitami manaţera nerozlučně spjata [4]. Povaţujeme-li organizaci za systém, pak lze v plné míře aplikovat zásady systémové vědy i na procesy řešení problémů – tedy rozhodování. Procesy rozhodování jsou permanentními aktivitami, kterými je naplněn běţný ţivot kaţdého z nás. I kdyţ je jejich charakter velice rozmanitý, směřují vţdy k nalezení řešení určité problémové situace určitého systému. Z tohoto hlediska je můţeme studovat z hledisek systémové vědy a definovat postup rozhodování, který vyuţívá jejích principů. Charakteristickým rysem rozhodovacího problému je to, ţe pro jeho řešení se obvykle nabízí několik přípustných řešení (alternativ, variant) a je třeba se správně rozhodnout pro jednu z nich [5]. Ke stanovení přípustných variant řešení musí být manaţer vybaven vhodnými obecným postupem (algoritmem), který mu umoţňuje tyto alternativy generovat. Přitom můţe jít o jeho vlastní myšlenkové postupy nebo specializovaný počítačový program (kvantitativní nebo kvalitativní model). Tento postup nazýváme obecným řešením problému. Jednotlivé varianty jsou dále oceňovány a hodnoceny z hlediska kriterií aţ je - 21 -

4.skupina



vybráno řešení nejlepší.Toto řešení se nazývá partikulárním řešením problému. Nalezení nejlepší varianty je obvykle prováděno pomocí specializovaných postupů, které představují řešení optimalizačního problému rozhodování. Optimální řešení se obvykle hledá s pomocí kvantitativních výpočtů. Manaţer musí být schopen efektivně rozhodovat na základě logických úvah a důkladných kvantitativních analýz, doplněných o závěry plynoucí z jeho vlastních zkušeností a intuice, představující závěry analýzy kvalitativní. Kaţdý manaţerský problém musí být tedy zkoumán ze dvou hledisek – z hlediska kvalitativního a z hlediska kvantitativního. Klíčové postavení v procesu rozhodování zaujímají informace o objektu rozhodování. Podstatná je skutečnost, ţe kvantitativní (číselné) informace mohou být špatně dostupné, neúplné nebo zatíţené většími či menšími chybami. Naproti tomu informace kvalitativní (slovní) mohou být v mnohých případech dostupnější, správnější a pro rozhodovací proces uţitečnější. Kvantitativní metody (numerické) jsou označovány jako metody konvenční. Jsou dobře pouţitelné v případech, kdy existuje dostatek dat k danému problému, přičemţ jsou známé jejich stochastické vlastnosti. Naproti tomu metody kvalitativní (nenumerické) jsou efektivnější v případech nedostatku numerických dat a dat silně poškozených chybami s nedostatečnou znalostí jejich statistických charakteristik, přičemţ jsou k dispozici jazykové popisy, slovní informace a expertní znalosti. Jsou určeny pro řešení obtíţně algoritmizovatelných úloh. Nenumerické metody jsou řazeny do oblasti vědního oboru umělá inteligence [6]. V souvislosti s rozhodovacími procesy se často pouţívá termín operační analýza [5]. Je to metoda systémové vědy, která při řešení sloţitých ekonomických a organizačních problémů pouţívá kvantitativních přístupů, zejména matematického modelování a vyuţívá řady matematických metod. Cílem je obvykle nalezení optimální varianty rozhodnutí podle vybraných kritérií. Operační analýza zavádí pojem účelové funkce, hodnotící zpravidla ekonomii systému a zahrnuje metody, vedoucí k nalezení optimálního řešení z mnoţiny přípustných řešení. Dosahuje-li přitom účelová funkce maxima, vyjadřuje např. maximalizaci zisku. Dosahuje-li v případě optimálního řešení minima, jde např. o minimalizaci nákladů. Rozhodovací situace můţe být v manaţerské praxi velmi rozmanitá. Některé problémy jsou jednoduché a můţe je úspěšně řešit i jednotlivec (rozhodování individuální). V jiných, zvláště komplexních případech, rozhoduje nebo alespoň rozhodování připravuje skupina zainteresovaných osob (rozhodování skupinové, kolektivní, týmové, participativní). Míra účasti jednotlivých osob můţe být podle konkrétní situace různá. Členy interdisciplinárního řešitelského týmu tak mohou být: 

technik nebo technolog - specialista na detaily uvaţovaného procesu.



ekonom - odhaduje ekonomické stránky procesu a případně stanoví kritéria kvality řešení. Vyţaduje se, aby ekonom byl současně dokonale obeznámen s procesem.



systémový analytik - ovládající systémové postupy, matematické metody rozhodování a jejich algoritmické ztvárnění. - 22 -

Kvantitativní a kvalitativní metody





další odborníci - podle povahy problému (psycholog, právník apod.).

Řešitelský tým sestavuje jeho vedoucí (odpovědný řešitel), kterého jmenuje buď řídicí pracovník podniku (pokud podnik řeší problém vlastními silami) nebo manaţer konzultační firmy (dostala-li firma řešení problému jako zakázku). K výběru stylu rozhodování mohou být vyuţity různé metody vyuţívající matematických modelů [3], [5], [6]. Tvorba přípustných variant řešení problému je velmi důleţitou fází rozhodovacího procesu – na jejich úplnosti a kvalitě závisí kvalita výsledného rozhodnutí. Rozhodování v případě existence pouze jediné varianty (jediné moţné řešení) nese nebezpečí zvýšeného rizika. Rozhodovat bychom měli alespoň mezi dvěma variantami. Čím více variant je k dispozici, tím vyšší je pravděpodobnost správného rozhodnutí. Z hlediska varianty mohou nastat dva případy. U některých rozhodovacích problémů mohou být známy předem (většinou rutinní záleţitosti – rozhodnutí o objednávce zboţí), u jiných problémů varianty známé nejsou (např. řešení technického problému). Metody tvorby variant pak mohou být dvojí: 

metody intuitivní – subjektivní intuice a intelektuální potenciál členů týmu (brainstorming, Gordonova metoda, braiwriting, synektická nebo podnětová analýza).



metody systematicko-analytické – kvantitativní objektivní metody matematické (metoda analogie, metoda agregace, metoda dimenzování, metoda kinematického obrácení).

Metody rozhodování spolu s počítačovými modely usnadňují manaţerům proces rozhodování. Jak jiţ bylo uvedeno výše, můţeme je rozdělit na metody kvantitativní (numerické) a kvalitativní (jazykové, slovní). Jinak je lze dělit na metody, vhodné při rozhodování za podmínek jistoty a ty, které jsou vhodné pro podporu rozhodování v podmínkách nejistoty a rizika. Je třeba si uvědomit, ţe uvedené metody pomáhají hlavně při hledání přijatelných řešení – konečné rozhodnutí a odpovědnost za výběr finální varianty leţí vţdy na manaţerovi. Příklady pouţití uvedených metod lze nalézt v [8].

2.2.1

Úlohy modelování systémů v ekonomice

V dalších podkapitolách budou uvedeny některé vybrané techniky modelování ekonomických a manaţerských problémů. Patří mezi ně modely vyuţívající lineární programování, síťové analýzy a síťových grafů, modely hromadné obsluhy, modely řízení zásob, modely kontroly jakosti, modely prognózování a některé modely rozhodování v podmínkách neurčitosti. Jazykové nenumerické modely umělé inteligence jsou reprezentovány znalostními fuzzy modely. V podkapitole jsou vybrány takové varianty modelů uvedených kategorií, které jsou zvládnutelné se znalostí středoškolské matematiky a základů statistky [7].

- 23 -



SHRNUTÍ KAPITOLY Ekonomické modely umoţňují studovat ekonomické jevy a vztahy mezi nimi, porozumět jim a činit závěry pro praktická rozhodnutí. Abstraktní modely jsou vţdy zjednodušující a nepostihují všechny aspekty chování modelované soustavy. Problém nutného zjednodušení matematických modelů řeší v mnohých případech pouţití modelů jazykových. V realizaci abstraktních modelů hraje velkou roli moderní a výkonná výpočetní technika. Praktické úlohy modelování v ekonomice zahrnují různé oblasti ekonomických a manaţerských problémů. Významnou roli hrají abstraktní modely v procesech řešení problémů – rozhodování. Podporují jak vytváření variant řešení problémů, tak vyhledávání varianty optimální. V modelování rozhodovacích procesů hrají velkou roli jak modely vytvořené konvenčními metodami systematické-analytickými, tak nekonvenčními metodami znalostními a intuitivními. Zvláštní pozici zaujímají modely, podporující rozhodování v podmínkách neurčitosti a rizika.

ÚKOLY 1.

Jaké jsou společné rysy ekonomických modelů?

2.

Vyjmenujte typy ekonomických modelů!

3.

Charakterizujte proces rozhodování a popište postup rozhodovací procedury!

4.

Jaké je sloţení interdisciplinárního řešitelského týmu?

5.

Uveďte hlavní rysy analytických a intuitivních metod tvorby modelů!


MAŇAS,M. aj. Matematcké metody v ekonomce. Praha: SNTL, 1991. ISBN 80-7079-157-8

[2]

POKORNÝ, M. Umělá inteligence v modelování a řízení. Praha: BEN, 1996. ISBN 80-901984-4-9

[3]

DËMEOVÁ, L. aj. Matematické metody v ekonomii a managementu [on line]. CZU PeF [cit. 2009-11.09]. Dostupný z WWW: <www.skolaekonom.cz/0X/data/la016/attach/uvod-do-metod-operacnihovyzkumu.ppt?PHPSESSID=drbxccke>.

[4]

FOTR, J. aj. Manažerské rozhodování. Praha: EKOPRESS, 2000. ISBN 8086119-20-3

- 24 -




SKÁLA, P. Matematické modely v ekonomii [on line]. In 5. Odborná konference doktorského studia s mezinárodní účastí [cit. 2009-11-20]. Brno: VUT, 2003. Dostupný z WWW: <www.fce.vutbr.cz/veda/dk2003texty/pdf/52/rp/skala.pdf>.

[6]


[7]

POKORNÝ, M. Matematické metody vyhodnocování experimentů. Texty APSYS. Olomouc: MVSO, 2010

[8]

HRŮZOVÁ, H. aj. Manažerské rozhodování – cvičebnice s řešenými příklady. Praha: VŠE, 2004. ISBN 80-245-0486-3

- 25 -



3 Metody modelování systémů v ekonomice CÍL Po prostudování této kapitoly získají studenti přehled o praktickém modelování v ekonomice. Budou seznámeni s vybranými typy modelů pouţívaných při řešení vybraných ekonomických a manaţerských problémů a budou je umět pouţít. Na praktických příkladech se naučí sestrojovat a vyuţívat modely lineárního programování, síťové grafy, modely hromadné obsluhy, modely řízení zásob, modely kontroly jakosti a modely prognózování. Naučí se pouţívat modelů rozhodování v podmínkách neurčitosti, postavené na principech statistické analýzy, rozhodovacích stromů a znalostního fuzzy modelování.

KLÍČOVÁ SLOVA Ekonomické modely, lineární programování, vícekriteriální lineární programování, síťový graf, kritická cesta grafu, modely hromadné obsluhy, modely řízení zásob, modely kontroly jakosti, Paterův diagram, Išikavův diagram, modely prognózování, lineární regrese, statistická analýza, konfidenční interval, rozhodovací stromy, znalostní modely, pravidlové fuzzy modely, fuzzy logika.

3.1 Lineární programování Metody lineárního programování řeší problém, se kterým se setkáváme při řešení rozhodovacích úloh. Jedná se obvykle o hledání plánu výroby při respektování řady omezujících podmínek nebo předpokladů, kladeným na disponibilní zdroje. Tyto poţadavky vymezují prostor reálného řešení. Očekává se, ţe při plném respektování omezujících faktorů bude nalezeno nejlepší moţné (optimální) řešení [1].

Firma vyrábí tekutý čisticí prostředek ze dvou chemických sloţek A a B. Vyrábí se ve dvou provedeních – pro malo- a velkoodběratele [6]. Sloţení obou prostředků, balených v pětilitrových lahvích, je uvedeno v tabulce 3.1.

- 26 -

Příklad



Složení čisticích prostředků

Tabulka 3.1

Balení pro maloodběratele (H) Balení pro velkoodběratele (C) Sloţka A

4 litry

2 litry

Sloţka B

1 litr

3 litry

Pro výrobu má firma k dispozici týdně maximálně 20 000 litrů sloţky A a 15 000 litrů sloţky B. Omezené jsou dodávky plastových obalů – pro balení H týdně maximálně 4000 ks a pro balení B 4500 ks. Etiket, společných pro balení H i C, je týdně k dispozici maximálně 4000 ks. Zisk firmy z jednoho balení typu H je přitom 30 pencí, z balení typu B je 25 pencí. Otázka zní – jaké (optimální) mnoţství uvedených balení musí firma týdně produkovat, aby vyhověla podmínkám a přitom dosáhla maximálního moţného zisku? Při matematické formulaci problému a jeho řešení metodou lineárního programování budeme respektovat tyto omezující podmínky: 

disponibilita 20 000 litrů sloţky A



disponibilita 15 000 litrů sloţky B



disponibilita 4000 ks obalů pro balení H



disponibilita 4500 ks obalů pro balení C



disponibilita 4000 ks etiket společných pro balení H i C



minimální nutná (kontrahovaná) týdenní produkce balení C 2500 ks

Pro výrobu určitého počtu produktu H a C je potřeba mnoţství sloţky A o velikosti: 4.H + 2.C

Pro týdenní produkci však musíme respektovat omezené mnoţství sloţky A (20 000 litrů), proto musíme splnit podmínku nerovnosti 4.H + 2.C  20 000

Pro další omezující podmínky, tj. s ohledem na maximální disponibilní mnoţství sloţky B, obalů pro produkt H a produkt C, omezený počet etiket, minimální nutnou produkci balení C a samozřejmou podmínku, aby týdně vyrobený počet balení byl větší neţ nula (záporné hodnoty produkce nemají z podnikatelského hlediska smysl), můţeme formulovat další omezovací podmínky ve tvaru 

1.H + 3.C  15 000

(sloţka B)



1.H  15 000

(obaly H)



1.C  4 500

(obaly C)



1.H + 1.C = 4000

(etikety)

- 27 -

Formulace problému





1.C ≥ 2 500

(týdenní produkce balení C)



H≥0

(kladná produkce balení H)



C≥0

(kladná produkce balení C)

Matematická formulace cíle – dosaţení maximálního moţného zisku – je následující. Zisk v pencích, dosaţený z jakékoliv kombinace uvaţované produkce, je roven 0,30.H + 0,25.C

Podmínka maximalizace takového zisku – tzv. kriteriální funkce – má tvar 0,30.H + 0,25.C  max.

Omezující podmínky mohou být formalizovány jak nerovnostmi, tak rovnostmi. Poznamenejme dále, ţe u některých úloh můţe být vyţadována minimalizace kriteriální funkce – např. minimalizace výrobních nákladů. Úlohu lineárního programování řešíme pomocí specializovaných programů. Úlohu s naším zadáním lze názorně řešit metodou grafickou. Formulace úlohy totiţ obsahuje výrazy (nerovnosti a rovnosti), které mají lineární tvar a lze je graficky vyjádřit pomocí přímek a polorovin v pravoúhlé souřadnicové soustavě. Příslušné přímky pak na ploše grafu vymezí plochu přípustných řešení, z nichţ (opět graficky) vybereme řešení optimální. Graf omezujících podmínek získáme grafickým zobrazením všech omezujících podmínek. Postup si ukáţeme na podmínce první.

Přímku omezující podmínky 4.H + 2.C  20 000

Získáme jako spojnici dvou bodů v pravoúhlých souřadnicích, kdy na osu x budeme vynášet počet velkost produkce balení H a na osu y velikost produkce balení C (Obr.11). Dva její body získáme tak, ţe postupně poloţíme rovnu nule proměnnou H a proměnnou C, přičemţ souřadnice bodu získáme jako hodnotu druhé, nenulové proměnné. Dostaneme tak souřadnice dvou bodů - [H = 0, C = 10 000] a [C = 0, H = 5 000]. Jejich spojením dostaneme přímku (1) na obrázku 3.1.

- 28 -

Graf omezujících podmínek



Oblast přípustných řešení

Obrázek 3.1

Přímka obsahuje body, jejichţ souřadnice H a C představují produkce, které vyţadují přesně celkem 20 000 litrů sloţky A (týkající se omezující podmínky ve formě =). Polorovina pod přímkou přitom obsahuje body moţných kombinací, které vyţadují méně než 20 000 litrů sloţky – vyhovují tedy formě nerovnosti <. Jde o oblast přípustných řešení, která podmínku disponibility 20 000 litrů splňuje. Polorovina nad přímkou pak představuje oblast řešení nepřípustných. Prakticky to znamená, ţe optimální řešení musí leţet výhradně v oblasti přípustných řešení. Nakreslíme-li stejným postupem do grafu i přímky ostatních omezujících podmínek (na Obrázek 3.1 přímky (2) aţ (4), průnik oblastí jejich přípustných řešení vymezí výslednou oblast,která splňuje všechny podmínky současně. Na Obr.1 je vyznačena šedou barvou. Kaţdý bod této plochy (včetně jejich přímkových hranic, kromě os x a y !) představuje kombinaci produkce H a C a je plochou přípustných řešení. K nalezení přípustného řešení, které je řešením nejlepším, tedy optimálním, pouţijeme kriteriální funkci. Grafickým znázorněním kriteriální funkce je opět přímka, jejíţ dva body získáme pouţitím výrazu ZISK = 0,30.H + 0,25.C

Tento vztah platí pro jakoukoliv hodnotu H a C. Dosaďme tedy H = C = 1000 a získáme zisk ve výši 750 pencí.s rovnicí přímky 0,30.H + 0,25.C = 750

Její dva body získáme opět postupným poloţením H = 0 a C = 0, čímţ obdrţíme body [H = 0, C = 3000] a [C = 0, H = 2500]. Spojením těchto bodů dostaneme přímku, označenou na Obr.3.2 písmenem z. Přímky, odpovídající jiným kombinacím hodnot H a C (jiným hodnotám zisku) jsou s přímkou z rovnoběţné. Čím - 29 -



je hodnota zisku větší, tím je přímka více vzdálena od počátku souřadnic.

Optimální řešení

Obrázek 3.2

Z

Přímka, odpovídající maximu zisku, musí být co nejvíce vzdálena od počátku souřadnic, nesmí ale současně opustit oblast přípustných řešení. Z obrázku 3.2 plyne, ţe se jedná o přímku procházející bodem D. Tento bod představuje hledané optimální řešení úlohy lineárního programování. Jeho souřadnice a tím i velkosti optimální produkce jsou H = 3000 (balení produktu A), C = 4000 (balení produktu B).

Prakticky to znamená, ţe při numerickém řešení úlohy musíme identifikovat všechny rohové body oblasti přípustných řešení a zkoumat, který z nich je od počátku souřadnic nejvíce vzdálen.

Předpoklady použití metody lineárního programování Model předpokládá, ţe uvaţované vztahy mají lineární charakter. Tento předpoklad nemusí být vţdy splněn. Pokud mají proměnné spojitý (nikoliv diskrétní) charakter, existuje druhý předpoklad, který se týká dělitelnosti. Prakticky to znamená, ţe nemůţeme vyrábět zlomky výrobků a vyuţívat pouze části zdrojů. Třetí předpoklad se týká určitosti vztahů – je třeba naprosto jednoznačně kvantifikovat lineární vztahy mezi proměnnými. Korektnost úlohy také předpokládá, ţe její řešení sleduje pouze jeden cíl – uvaţujeme pouze jednu kriteriální funkci.

- 30 -



Počítačová řešení Hlavní důvod vyuţití počítačových programů pro řešení úloh lineárního programování spočívá v tom, ţe praktické problémy obsahují více neţ dvě proměnné (a větší mnoţství omezovacích podmínek) a není moţno je řešit pomocí dvojrozměrných grafů. Princip řešení však zůstává stejný jako v předchozí úloze. V případě více uvaţovaných proměnných u rozsáhlých úloh vyuţívají počítačové programy k modelování úlohy tzv. simplexovou metodu. Její algoritmus umoţňuje systematicky vyhodnocovat rohové body vícerozměrné oblasti přípustných řešení a vyhledávat takový, v němţ kriteriální funkce nabývá maxima (nebo minima) své hodnoty [2].

Modifikace základního modelu lineárního programování Modifikace uvedené úlohy lineárního programování umoţňují její pouţití i při nesplnění některých výše uvedených předpokladů. Na základě principu lineárního programování pracuje tzv. celočíselné programování, které pracuje s proměnnými, nabývajícími pouze celočíselných hodnot. Další modifikací je nelineární programování, které rozšiřuje řešení na úlohy, v nichţ se vyskytují nelineární vztahy mezi proměnnými [1].

Lineární vícekriteriální programování Častým rysem úloh v ekonomické a sociální sféře je jejich vícekriterálnost. Jednotlivá přípustná řešení nelze dobře charakterizovat jedinou kriteriální funkcí. Takovým případem jsou např. úlohy, kdy přípustné varianty jsou charakterizovány ukazatelem zisku a vedle toho i rizikem s tímto ziskem spojeným. Jsou to stavy, kdy jeden ukazatel můţe být zlepšen pouze na úkor druhého. V takových případech je třeba pouţít metod teorie vícekriteriální optimalizace, která zavádí pojem tzv. paretovské optimality [2]. Synonymem termínu vícekriterální optimalizace je termín vícekriteriálního rozhodování. Pro řešení těchto úloh lze pouţít metody lineárního vícekriteriálního programování, kdy optimální varianta řešení je hledána na základě nejmenší vzdálenosti od tzv. varianty ideální [1]. Uvaţujme úlohu, u níţ nejsou přípustné varianty řešení předem známy, jsou ale určeny podmínky, které musí přípustná varianta splňovat. Proces tvorby variant je součástí optimalizačního procesu. Charakteristiky variant se vyjadřují hodnotami proměnných (x1, x2, … , xn) a předpokládá se, ţe pro přípustnou variantu musí tyto proměnné vyhovovat soustavě podmínek.Všechna x jsou čísla kladná nenulová.

- 31 -



g 1 ( x1 , x 2 ,....., x n )  b1

Rovnice 3.1

g 2 ( x1 , x 2 ,....., x n )  b2 ................................. g m ( x1 , x 2 ,....., x n )  bm , x1  0,..........., x n  0 kde (g1, g2, … ,gm) jsou známé funkce proměnných (x1, x2, … , xn). Hodnoty sledovaných kritérií jsou pak funkcemi proměnných (x 1, x2, … , xn) , coţ lze napsat ve tvaru

y1  f1 ( x1 , x 2 ,....., x n )

Rovnice 3.2

y 2  f 2 ( x1 , x 2 ,....., x n ) .................................... y k  f k ( x1 , x 2 ,....., x n ) kde y1, y2, … ,yk jsou hodnoty sledovaných kritérií. Rozhodovací úloha pak spočívá v tom, ţe máme najít takové hodnoty (x 1, x2, … , xn), které vyhovují podmínkám (1) a současně jsou jim soustavou funkcí (2) přiřazeny nejvýhodnější hodnoty sledovaných kritérií. Vícekriteriální optimalizace, která se zabývá takovými situacemi, se nazývá vícekriteriální programování. Jsou-li všechny funkce (g1, g2, … ,gm) a (f1, f2, … ,fk ) ze vztahů (1) a (2) lineární, pak hovoříme o úloze lineárního vícekriterálního programování. V takové úloze můţeme napsat omezení ve tvaru

a11 x1  a12 x 2  .....  a1n x n  b1

Rovnice 3.3

a 21 x1  a 22 x 2  .....  a 2 n x n  b2 ................................................ a m1 x1  a m 2 x 2  .....  a mn x n  bm x1  0,..........., x n  0 a kriteriální funkce ve tvaru

y1  c11 x1  c12 x 2  .....  c1n x n

Rovnice 3.4

y 2  c 21 x1  c 22 x 2  .....  c 2 n x n ............................................... y k  c k1 x1  c k 2 x 2  .....  c kn x n S vyuţitím symboliky maticového počtu vícekriteriálního programování zapsat ve tvaru:

Cx  max - 32 -

můţeme

úlohu

lineárního

Rovnice 3.5



při omezeních x  X  x; Ax  b, x  0



Matice C je maticí koeficientů kriteriálních funkcí

c (1)   ( 2)  c  C  .    .   (k )  .c  kde c (i ) je řádkový vektor koeficientů i-té kriteriální funkce. Postupy takové lineární vícekriterální optimalizace lze nalézt v [7], [8], [9]

3.2 Síťové grafy Síťové grafy jsou modely, určené k podpoře projektového plánování a řízení realizace projektu [1], [2]. Takovým grafem je např. automapa – síťový graf silnic nebo plán městské dopravy – síťový graf dopravních linek. Základním úkolem takových grafů je nalezení optimální cesty z jednoho místa do druhého, v případě projektového managementu pak nalezení optimální posloupnosti činností, vedoucích k dosaţení daného cíle. Charakteristickými prvky síťového grafu jsou uzly, reprezentující události a jejich spojnice, reprezentující činnosti. Dva po sobě následující uzly představují zahájení a ukončení této činnosti. Z hlediska času reprezentují uzly dobu zahájení a ukončení činnosti. Pro konstrukci síťového grafu platí tato pravidla: 

síťový graf musí mít jeden výchozí a jeden koncový uzel



kaţdému uzlu (s výjimkou uzlu výchozího) musí předcházet alespoň jedna činnost



po kaţdém uzlu (s výjimkou uzlu koncového) musí následovat alespoň jedna činnost



kterékoliv dva uzly můţe spojovat jen jedna činnost

Síťový graf zobrazuje veškeré činnosti projektu v jejich vzájemných souvislostech. Ilustrační příklad síťového grafu je uveden na obrázku 3.3.

- 33 -

Rovnice 3.6



Síťový graf

Obrázek 3.3

Uzel startu projektu a jeho ukončení jsou vyznačovány kosočtverci. Uzel 1 představuje dokončení činnosti A, která projekt zahajuje. Uzel 1 označuje současně okamţik zahájení činností B, C a D, které mohou být zahájeny po ukončení činnosti A. Činnost F vychází z uzlu 3, v němţ je ukončena činnost C. Nechť činnost E můţe být zahájena po ukončení činností B a D. Na obrázku 3.3 je její zahájení představováno uzlem 4, v němţ končí činnost D. Tomuto uzlu, ale nemůţe současně předcházet činnost B, protoţe uzly 1 a 4 můţe podle pravidel spojovat pouze činnost jediná. K řešení tohoto problému pouţijeme tzv. činnost fiktivní – pomyslnou projektovou činnost, která má nulovou dobu trvání a nevyţaduje ţádné zdroje (existuje pouze v nakresleném grafu). Zobrazuje se pomocí přerušované čáry a na obrázek 3.3 spojuje uzel 2 dokončení činnosti B s uzlem 4 dokončení činnosti D. V uzlu 4 je činnost B i D dokončena a můţe být zahájena činnost E. Jako příklad sestavme síťový graf projektu průzkumu, jehoţ činnosti a předpokládané doby jejich trvání jsou uvedeny v tabulce 3.2 [2].

- 34 -



Přehled činnosti plánu průzkumu

Činnost

Název činnosti Stanovení projektových cílů Návrh dotazníku Stanovení metody získání výběrového souboru dat Ověřovací průzkum Úpravy postupu průzkumu Nábor dotazovatelů Školení dotazovatelů Tisk dotazníků Výběr respondentů Uskutečnění průzkumu Shromáţdění informací Hlášení dotazovatelů Analýza informací Vypracování zprávy

A B C D E F G H I J K L M N

Tabulka 3.2

Závisí na dokončení činnosti

Doba trvání činnosti

ţádné A A

3 dny 6 dní 4 dny

B, C D D E, F E E G, H, I J J K L, M

10 dní 5 dní 10 dní 1 den 5 dní 8 dní 15 dní 5 dní 2 dny 10 dní 2 dny

Výchozí verze síťového grafu je nakreslena na obrázku 3.4. Graf vyţaduje zakreslení tří fiktivních činností.

Výchozí síťový graf projektu výzkumu

Obrázek 3.4

Abychom mohli síťový graf vyuţít pro řízení projektu, musíme do něj zahrnout další doplňkové informace: 

časové informace



informace o nejdříve moţném ukončení činností



informace o nejpozději nutném ukončení činností



identifikovat kritickou cestu síťového grafu.

Časové informace zahrneme do grafu tak, ţe k jednotlivým činnostem udáme doby jejich trvání zápisem časového údaje ke spojnicím uzlů (obrázek 3.5) - 35 -



Čas nejdříve možného zahájení činnosti (EST – Earlest Start Time). Čas nejdříve možného ukončení činnosti (EFT – Earleast Finish Time) zapisujeme do levé dolní poloviny krouţku uzlu. Tak např. činnost spojená s uzlem 1 je dána činností A. Ta bude zahájena v den 0 a doba jejího trvání je 3 dny. Toto číslo zapíšeme do uzlu 1. Činnost C, trvající 4 dny, můţe být zahájena aţ po ukončení činnosti A, tedy za 7 dní, atd. pro všechny uzly. Pokud lze uzlu dosáhnout prostřednictvím dvou činností (uzel 4 - činnosti B, C), zapíšeme logicky jako výsledný čas ten delší (9 dnů). Délka trvání fiktivní činnosti je přitom 0. Uzly, ohodnocené údajem EFT, vidíme na obrázku 3.5.

Finální forma síťového grafu projektu výzkumu

Čas nejpozději nutného ukončení činnosti (LFT – Latest Finish Time) jsou časové limity, v nichţ musí být nutně dosaţeno jednotlivých uzlů nejpozději, má-li být celý projekt dokončen za 64 dnů. Postupujeme přitom od koncového uzlu směrem k výchozímu. LFT uzlu 11 určíme jako rozdíl termínu realizace projektu 64 dnů a doby trvání činnosti N (2 dny), tedy 62 dnů, coţ je údaj uvedený v pravé části spodní poloviny uzlu 11. Pokud opět existuje více moţností, jak uzlu dosáhnout, zapisujeme vţdy časovou hodnotu nejvyšší. Výsledek je uveden opět na Obrázku 3.5. Posledním krokem je určení kritické cesty grafu. Je totiţ třeba určit činnosti, jejichţ časové plnění je kritické z hlediska plánovaného dokončení projektu (64 dní). Z tohoto pohledu je např. kritickou činnost A a B. Nekritickou je však činnost C. Ta můţe být zahájena nejdříve 3 den a trvá 4 dny. Ukončena však být musí nejpozději 9 den (LFT činnosti B a tím i uzlu 3). Tím vzniká časová rezerva, která říká, o kolik je moţno posunout okamţik jejího nejdříve moţného zahájení nebo o kolik lze prodlouţit dobu jejího trvání, aniţ bychom ohrozili koncový termín realizace projektu. Kritická cesta je pak sloţena z kritických činností a na Obr.3.5 je vyznačena tučně. Takový model se pak také nazývá modelem kritické cesty (CPM – Critical Path Model).

- 36 -

Obrázek 3.5



3.3 Modely hromadné obsluhy V oblasti výroby i sluţeb se velmi často setkáváme se situacemi, kdy vznikají fronty obrobků nebo klientů čekajících na provedení výrobní operace nebo obslouţení. Jedná se o tzv. systémy hromadné obsluhy [1]. Čas čekání ve frontách je ve většině případů ztracený, takţe má smysl hledat cesty jeho minimalizace. Zvýšení kapacity obsluhy (zvýšení počtu obsluţných jednotek nebo zkrácení doby obsluhy) je spojeno s určitými náklady, takţe je třeba takové situace analyzovat s vyuţitím vhodných kvantitativních metod a modelů. Prvky, které jsou obsluhovány, se nazývají požadavky a prvky, které obsluhu poskytují, se nazývají obslužné kanály (linky). Teorie hromadné obsluhy (teorie front) zkoumá kvalitu procesu obsluhy poţadavků v síti obsluţných linek. Modely systémů hromadné obsluhy lze přitom pouţívat při řešení praktických úloh, zaměřených buď na stanovení pracovních charakteristik systémů (doba čekání, mohutnost front) nebo na návrh obsluţného systému s poţadovanými vlastnostmi. Proměnné veličiny, které se v systémech obsluhy vyskytují, mají většinou náhodný charakter a k výpočtu pracovních charakteristik systémů obsluhy pouţíváme metod statistiky [3]. Klíčovým problémem při řešení modelů hromadné obsluhy je stanovení tzv. stacionárních pravděpodobností pn – pravděpodobností, ţe systém obsluhy se nachází ve svém určitém ustáleném stavu n. Pravděpodobnost pn je pravděpodobností stavu, ţe ve frontě čeká na obsluhu n objektů (obecně poţadavků obsluhy), přičemţ n = 0, 1, 2, … . Pro stanovení těchto pravděpodobností musíme znát typ rozloţení hustoty pravděpodobnosti intervalů mezi po sobě následujícími příchody poţadavků do fronty. Na jejich základě pak vypočítáváme hledané charakteristiky systému. Postup modelování ukáţeme na příkladu [1]. Bylo zjištěno, ţe intervaly příchodu pacientů k pohotovostnímu lékaři Tp mají exponenciální rozloţení hustoty pravděpodobnosti [3] se střední hodnotou E(Tp) = 45 min. Doby nutné k ošetření mají To rovněţ exponenciální rozloţení se střední hodnotou E(To ) = 20 min. Úkolem je stanovit 

průměrnou dobu čekání na ošetření,



průměrnou délku fronty čekajících pacientů



průměrné vytíţení lékaře.

Příklad

Úlohu budeme řešit pomocí jednokanálového modelu systému hromadné obsluhy. Pro sestavení modelu obsluhy vyuţijeme zadané informace. Časový interval dvou po sobě přicházejících pacientů Tp (vstupní tok poţadavků) je náhodná veličina s exponenciálním rozloţením hustoty pravděpodobnosti.

f (T p )  .e

 T p

Pro specifikaci takové funkce potřebujeme stanovit její parametry, který je v tomto případě jeden, označený symbolem  . - 37 -

Rovnice 3.7



Doba ošetření jednoho pacienta To je s exponenciálním rozloţením, vyjádřená vztahem:

f (To )  .e jehoţ parametr je označen symbolem

rovněţ

náhodná

veličina

 Tof

Rovnice 3.8

.

Střední hodnota náhodné veličiny s exponenciálním rozloţením je rovna převrácené hodnotě parametru funkce rozloţení [3]. Uvaţujme dále časové intervaly v hodinách. V případě funkce rozloţení intervalů příchodů pacientů Tf je pak velikost jejího parametru rovna:



1 4  Tp 3

Rovnice 3.9

V případě intervalu ošetření To je parametr funkce jeho rozloţení roven:



1 3 To

Rovnice 3.10

Zavedeme označení:

   V našem případě, kdy

Rovnice 3.11

 = 4/9 < 1, vypočteme pravděpodobnosti pn podle

vztahu:

pn   n (1   )  ( 4 ) n . 5 pro n = 1, 2, … 9 9

Rovnice 3.12

Tak můţeme stanovit pravděpodobnost, ţe bude pacient obslouţen bez čekání ve frontě (n = 0), ţe ve frontě bude jeden pacient (n = 1), dva pacienti (n = 2) atd. Průměrnou dobu čekání ve frontě na ošetření To vypočítáme ze vztahu [1]:

To 

  4 hod, tedy 16min 15  (   )

Rovnice 3.13

Průměrný počet pacientů ve frontě (délka fronty) N p je dána vztahem [1]:

N p  .To  16

45

hod, tedy 0,355 hod.

Rovnice 3.14

Průměrné vytížení lékaře je moţno určit podle vztahu:



 4   0,444 9 

Můţeme tedy říci, ţe přibliţně polovinu doby, kterou lékař stráví ve sluţbě, - 38 -

Rovnice 3.15



věnuje na ošetřování pacientů.

3.4 Modely řízení zásob Problém řízení zásob spočívá v nalezení optimální výše zásob, které zajistí pohotovou reakci na poţadavky zákazníků [1]. Ve většině případů nelze uvaţovat o přímém řízení poptávky (např. manipulací s cenami), předmětem rozhodování je proto proces objednávání dodávek do skladu. Poptávka můţe být charakterizována náhodnou veličinou, stejně tak i délky intervalů mezi objednávkami, odchylky od objednaných mnoţství apod. V dalším textu ukáţeme řešení jednodušší úlohy vyuţívající modelu zásob deterministického (nenáhodného).

Uvaţujme skladovací náklady na tunu produktu c1 = 2Kč/den, náklady na jednu dodávku produktu (nezávisle na jeho mnoţství) cs = 1000Kč. Naším úkolem je zásobovat nepřetrţitý výrobní proces po dobu T = 100 dnů, přičemţ celková spotřeba produktu je Q = 4000tun. Cílem řešení je nalézt optimální velikost jedné dodávky produktu q a optimální délku intervalu mezi dodávkami t tak, aby celkové náklady byly minimální. Skladovací náklady na dobu t je dána lineární funkcí velikosti zásoby v závislosti na čase. Celkové náklady na 1 cyklus t mezi dodávkami jsou dány součtem skladovacích nákladů a nákladů na pořízení jedné dodávky

N (1) 

c1 .t.q  cs 2

Rovnice 3.16

Jelikoţ počet zásobovacích cyklů za období T je Q/q, jsou celkové náklady dány vztahem:

N (q) 

c Tq Q Q Q c .t.q .N (1)  ( 1  cs ) = 1  cs 2 q q q 2

Rovnice 3.17

Cílem je minimalizovat celkové náklady, tj. nalézt takovou hodnotu q*, pro níţ tak nabývá funkce (3) minima. Řešením diferenční rovnice podmínky minima funkce:

dN (q) 0 dQ

Rovnice 3.18

získáme optimální hodnotu q* ve tvaru:

q* 

2c s q c1T

V našem případě vypočítáme velikost optimální dávky q* = 200t. - 39 -

Rovnice 3.19



Pro výši minimálních nákladů N(q*) získáme dosazením (4) do (3) výraz: Rovnice 3.20

N (q * )  2c1cs QT Z něhoţ pro náš příklad vypočteme hodnotu N(q*) = 40000Kč. Pro optimální délku intervalu mezi dodávkami t* platí:

Tq * T 2c s Q t    Q Q c1T *

2c s T c1Q

Rovnice 3.21

Po dosazení hodnot z našeho příkladu dostaneme hodnotu t* = 5dnů. Vypočteme-li celkové náklady pro velikost jedné dodávky 400t dostaneme hodnotu 50000Kč, pro dodávku 100t by náklady činily opět 50000Kč. Odchýlení velikosti dodávky od optimální velikosti 200t na obě strany skutečně zvýšení celkových nákladů přinese. Hodnota q* = 200t je optimální.

3.5 Modely kontroly jakosti Všechny organizace, poskytující zákazníkům výrobky a sluţby, se snaţí nalézt a vyuţívat faktory, které vedou k získání konkurenční výhody [6]. Vyuţívají v tomto směru různých strategií, mezi něţ patří strategie nákladů a strategie odlišení. Nákladové zaměření firem spočívá přitom ve snaze dosáhnout co nejmenších nákladů a konkurovat cenou. Strategie odlišení pak vede k získání konkurenčních výhod v tom, ţe výrobky se budou od konkurenčních výrazně odlišovat. Jedním ze znaků výrobků můţe být v tomto směru jejich jakost. Kvalitní výrobní technologie a jakostní produkce vede rovněţ ke sníţení nákladů (náklady na odstraňování nekvalitních nebo vadných výrobků). Řešením problémů jakosti výrobků se zabývá management jakosti, jehoţ hlavními nástroji jsou plánování jakosti, kontrola jakosti a zdokonalování jakosti. Management jakosti pouţívá různé techniky, z nichţ uvedeme techniku modelování pomocí tzv. kontrolních diagramů [2].

Uvaţme příklady, kdy firma potřebuje zvýšit kvalitu proplácení faktur (proplácely se např. faktury za zboţí, které dosud nebylo dodáno, nebo bylo dodáno v menším neţ poţadovaném mnoţství atd.). Management potřebuje identifikovat příčiny nízké jakosti a zaměřit se především na ty nejvýznamnější. Kaţdý týden se proto kontroloval výběrový soubor 100 proplacených faktur a hledaly se příčiny jejich přeplácení. Výsledek je uveden v tabulce 3.4.

- 40 -

Paretův diagram



Analýza faktur

Tabulka 3.3

Faktor

Procento výskytu

Chybně fakturovaná cena dodavatelem Nesprávně stanovená cena Nesprávné mnoţství dodaného zboţí Změna objednaného mnoţství Zboţí bylo placeno jiným způsobem Zboţí bylo vráceno dodavateli Chybný příkaz k proplacení faktury Celkem

20 6 10 8 36 2 18 100

Graficky a názorně tuto situaci zachycuje Paretův diagram na Obrázku 3.6. Ukazuje příčiny, které je třeba řešit přednostně (v našem případě to, ţe zboţí bylo zaplaceno jiným způsobem a to, ţe dodavatel fakturoval nesprávnou cenu).

Paretův diagram

Obrázek 3.6

100

80

%

60

40

20

0 Jiţ proplaceny

Cena

Chybný příkaz

Mnoţství

Změna objedávky

Slevy

Vráceno

Faktor

Išikavův diagram (diagram „rybí kost“). umoţňuje analyzovat problém jakosti z hlediska jeho příčin (diagram „příčina – důsledek“). Jeho konstrukce začíná důsledkem – vlastností nebo faktorem, který je z hlediska jakosti středem zájmu. V souvislosti s ním jsou identifikovány jeho příčiny. Kaţdá z nich představuje jednu hlavní větev diagramu (Obrázek 3.7).

- 41 -

Išikavův diagram



Išikavův diagram

Obrázek 3.7

Jako příklad uveďme konstrukci Išikavova diagramu pro případ kontroly jakosti proplácení faktur. Podrobme podrobné analýze faktor, který je příčinou určitého procenta přeplácených faktur – chybné příkazy k jejich proplácení. Jde o faktor interní, jehoţ působení je snadno odstranitelné. Na obrázku 3.8 je uveden tvar Išikavova diagramu, kde jako faktory chybných příkazů jsou uvedeny příčiny spočívající v podílu dodavatelů, zaměstnanců, metod a systémů.

Išikavův diagram pro problém chybných proplácení faktur

Diagram ukazuje, ţe jednou z hlavních příčin jsou dodavatelé, kteří reprezentují tyto subfaktory: špatně vyplněné faktury, postupné fakturování zakázky, příliš mnoho dodavatelů stejných poloţek. Mezi subfaktory faktoru „zaměstnanci“ patří nízká kvalifikace fakturantů, špatné řízení fakturantů, nedostatečná komunikace mezi fakturanty při řešení sporných případů. Faktor „metody“ zahrnuje neexistenci kontrolní zpětné vazby, absence kontrolních mechanizmů kvality práce fakturantů a nedostatek technických zařízení. Pod faktor „systémy“ pak patří subfaktory - 42 -

Obrázek 3.8



nedostatek technických zařízení podporujících práci fakturantů, nevhodný ruční systém vyhotovování platebních příkazů a nárůst počtu faktur připadajících na jednoho úředníka.

3.6 Modely prognózování Obchodní organizace kladou velký význam spolehlivosti informací, které se týkají výhledu do budoucnosti. Proto je třeba věnovat pozornost metodám, které umoţňují prognózování vývoje nejrůznějších ukazatelů. Kvantitativní přístupy spočívají v analýze historických trendů sledovaných parametrů a jejich následné časové extrapolace. Z metod matematického modelování zde uvedeme metodu klouzavých průměrů a metodu lineárního regresního modelu.

Klouzavé průměry Potřebujeme předpovědět budoucí vývoj proměnné, přičemţ máme informaci o jejím dosavadním průběhu. Jako příklad uveďme průběh velikosti týdenního prodeje v kusech [2], uvedený v tabulce 3.5 v jejím druhém sloupci.

Klouzavé průměry

Z hlediska jednotlivých týdnů vykazuje prodej výkyvy. Pomocí metody klouzavého průměru můţeme tyto výkyvy vyhladit, určit převaţující trend prodeje a pouţít jej pro předpověď na příští období. Na základě logické úvahy lze předpokládat, ţe velikost prodeje v následujícím týdnu (t + 1) označený Ft+1 je moţno stanovit z průměrného prodeje v týdnech předchozích Dt, Dt-1, … . Problém takového řešení spočívá v tom, ţe pro předpověď v následujícím týdnu pouţíváme stále většího počtu údajů z týdnů předchozích a tím ztrácíme ohled na změny, ke kterým dochází v posledním období (předpověď prodeje ve 12. týdnu nelze zřejmě spolehlivě stanovit z průměrné hodnoty za všech 11 týdnů předchozích). Proto pouţijeme tzv. průměr klouzavý, kdy prognózu stanovíme pouze z předepsaného počtu posledních týdnů, nikoli z průměru zahrnujícího veškeré předchozí údaje. Počítáme podle vztahu:

Ft 1 

 (D

1

 Dt 1  Dt 2  ...  Dt n 1 ) n

kde počet průměrovaných období n volíme. Předpověď pro následující týden pak počítáme vţdy jako průměr z pouze n- týdnů předchozích.

V Tabulce 3.5 je uveden výpočet klouzavých průměrů z našeho příkladu pro n = 2. Uvedené výsledky ukazují, ţe tento jednoduchý způsob prognózování je vhodný pro krátkodobé předpovědi. - 43 -

Rovnice 3.22



Týdenní prodej a dvoutýdenní klouzavý průměr Týden Prodej 1 2 3 4 5 6 7 8

246 256 255 248 263 254 256 258

Tabulka 3.4

Dvoutýdenní Dvoutýdenní Týden Prodej průměr průměr

251 255,5 251,5 255,5 258,5 255

9 10 11 12 13 14 15

249 257 259 255 251 243 253

257 253,5 253 258 257 253 247 248

Lineární regrese Potřebujeme předpovědět vývoj prodeje a zisku obchodu (v librách). Logicky lze předpokládat, ţe zisk poroste, bude-li objem prodeje stoupat a naopak. Stanovit tuto závislost a vyuţít ji pro prognózu růstu zisku při růstu prodeje je moţno provést na základě analýzy dat grafickou formou [6].

Lineární regrese

Předpokládejme, ţe dosavadní stav v tisících liber je zachycen daty uvedenými v tabulce 3.6.

Prodej a zisk obchodu

Tabulka 3.5

Prodej (tis. Ł) 748,8 140,8 702,1 41,54 96,85 166,9 109 263,9 50,84 90,08 Zisk (tis. Ł) 42,13 6,32 38,47 -0,32 3,65 7,77 4,31 4,53 -2,69 3,22 Prodej (tis. Ł) 190,6 91,75 141,6 377 198,7 62,78 265,3 91,8 231,6 548,3 Zisk (tis. Ł) 9,03 -2,59 6,39 24,39 13,92 2,13 17,48 7,21 15,62 33,61

Vyneseme-li do grafu závislost zisku (osa y) na objemu prodeje (osa x), dostaneme bodový diagram na Obrázku 3.9. Je patrné, ţe mezi ziskem a prodejem existuje funkční vztah přímé závislosti (čím větší je prodej, tím větší je zisk).

- 44 -



Bodový diagram a regresní přímka

Obrázek 3.9

500

Zisk (tis. Ł)

400 300 200 100 0 -100 0

2000

4000

6000

8000

Prodej (tis. Ł)

Předpokládejme, ţe vztah mezi ziskem a prodejem je lineární – ţe tedy existuje funkční závislost vyjádřená obecným vztahem přímky

y  a  bx kde a, b jsou parametry této lineární závislosti. Tato závislost se nazývá regresní přímka. Budeme-li znát její parametry, můţeme ji pouţít pro prognózování. Tyto parametry vypočítáme podle vztahů regresní analýzy:

b

 xy  ( x y) / n  x  ( x ) / n 2

a

2

 y bx n

n

V našem případě dostaneme hodnoty b = 0,0614 a a = -2,421. Hledaná lineární závislost mezi ziskem a prodejem má pak tvar:

Tato přímka je vynesena v grafu (Obrázek 3.9). Vidíme, ţe dobře nahrazuje (aproximuje) závislost, vynesenou původně ve formě bodového diagramu. Prodlouţíme-li tuto přímku směrem vyšších hodnot prodeje, můţeme odečtením na ose y prognózovat odpovídající zisk.

- 45 -

Rovnice 3.23



3.7 Statistické modely Celá řada kvantitativních metod řešení problémů vychází ze statistických metod. Princip spočívá v tom, ţe jevy, které nám slouţí jako zdroj informací o vlastnostech objektů jako objektech našeho rozhodování, mají téměř vţdy náhodný charakter. Jejich naměřené hodnoty jsou narušeny náhodnými chybami, které mohou zkreslit skutečnost. Statistika poskytuje postupy, jimiţ lze takové náhodné jevy, kdyţ ne eliminovat, tak alespoň kvantifikovat stupeň jejich vlivu na přesnost a spolehlivost naměřených hodnot. Jsou to metody tzv. statistické analýzy. Popis následujících metod statistického modelování vyţaduje základní znalost pojmů teorie pravděpodobnosti a matematické statistiky [3].

Statistická analýza Statistické analýze podrobujeme soubor dat, která jsme získali statistickým šetřením. Jedná se o tzv. výběrový soubor, spolehlivost ověřujeme určením jeho statistických parametrů. Vztahy pro jejich výpočet vybíráme na základě odhadu typu jeho náhodnosti – typu funkce rozloţení hustoty pravděpodobnosti. Dále budeme předpokládat, ţe pracujeme se soubory s normálním (Gaussovým) rozloţením a ţe zpracovávaný výběrový soubor je reprezentativní [5].

Statistická analýza

Provádíme průzkum věkové kategorie zákazníků obchodu [2]. Předpokládejme, zapíšeme věk 100 zákazníků, tedy získáme výběrový statistický soubor o n = 100 prvků. Rovnice 3.24

Střední (nejpravděpodobnější) hodnota souboru Věk, který bude reprezentovat tento vzorek zákazníků, vypočítáme jako střední (nejpravděpodobnější) hodnotu ze všech prvků souboru (aritmetický průměr) n

x

 xi i 1

n

Rovnice 3.25

100



x i 1

i

100

Variabilita (rozkolísanost) hodnot souboru Nechť střední hodnota našeho souboru činí x  42 let. K tomu, abychom doplnili tento údaj mírou rozkolísanosti věku zákazníků kole jeho hodnoty, stanovíme velikost rozptylu (disperze) výběrového souboru podle vztahu. n

s2 

 (x i 1

i

Střední hodnota souboru

 x)2

n 1 - 46 -

Variabilita hodnot souboru

Rovnice 3.26



Nechť vypočtená velikost rozptylu hodnot souboru je s = 25. Rozměr rozptylu s však není [léta věku] ale [(léta věku)²]. Abychom získali parametr variability souboru se stejným rozměrem jako má jeho střední hodnota, vypočítáme druhou odmocninu rozptylu – směrodatnou odchylku:

s  s 2 , tedy s  25  5 let.

Rovnice 3.27

Jak lze tento výsledek, získaný analýzou výběrového vzorku 100 zákazníků, přenést na všechny zákazníky, kteří kdy obchod navštíví? Řekneme-li, ţe věk zákazníků obchodu leţí v intervalu:

x  s , tedy 42 ± 5 let

Rovnice 3.28

potom platí, ţe v tomto intervalu leţí průměrný věk asi 60% všech zákazníků, kteří obchod navštíví. Pokud řekneme, ţe věk zákazníků leţí v intervalu:

x  2s , tedy 42 ± 10 let,

Rovnice 3.29

platí, ţe v tomto intervalu leţí průměrný věk asi 90% všech zákazníků, kteří obchod navštíví.

Konfidenční interval Můţe nás zajímat, jaké jsou hranice intervalu, v němţ leţí (ovšem opět pouze s jakousi pravděpodobností, protoţe pracujeme pouze s prvky výběrového souboru!) průměrný věk 100% všech našich zákazníků? K tomu potřebujeme určit tzv. konfidenční interval CI [3]. Pro 95% platnost tvrzení vypočítáme konfidenční interval 95%CI vypočítáme podle vztahu: 95%CI =  1,96

s n

 1,96

5 100

 0,98 roku.

Můţeme tedy předpokládat, ţe průměrný věk všech zákazníků se s pravděpodobností 95% nebude lišit od vypočteného výběrového průměru 42let o vice neţ ±0,98 roku.

Testování statistických hypotéz Často řešíme problém, zda bude nebo nebude splněn některý náš předpoklad o parametru výběrového soboru. Tak např. firma se rozhodla financovat reklamu v televizním vysílání pouze za předpokladu, ţe reklamu bude sledovat více neţ 55% diváků. Takový problém řešíme metodou testování hypotéz [2], [3]. Na základě statistického průzkumu byl získán výběrový soubor o rozsahu n = 250 diváků. Jeho statistickou analýzou jsme zjistili, ţe podíl diváků, kteří reklamu sledují, je 63%. Zdálo by se, ţe poţadavek je splněn. Musíme však brát v úvahu, ţe tento výsledek byl získán pouze analýzou vzorku diváků, nikoliv všech. Označme podíl reklamu sledujících diváků ze souboru všech diváků symbolem  . Naším - 47 -

Konfidenční interval

Rovnice 3.30



poţadavkem je určit, zda  můţe nabýt hodnoty větší neţ 55%, jestliţe podíl p vypočítaný z výběrového souboru je 63%? Formulujme v tomto směru dvě hypotézy – nulovou a alternativní: Rovnice 3.31

(reklamu sleduje méně neţ 55% diváků), Rovnice 3.32

(reklamu sleduje více neţ 55% diváků). Pro rozhodnutí o přijetí nulové hypotézy a zamítnutí hypotézy alternativní (či naopak) musíme napřed stanovit pravděpodobnost, se kterou bude výsledek platit. Tu volíme na základě tzv. hladiny významnosti testu α. Budeme-li poţadovat, aby pravděpodobnost platnosti rozhodnutí byla 99%, zvolíme α = 0,01. Pravděpodobnost platnosti rozhodnutí bude pak: Rovnice 3.33

Stanovíme nyní velkost tzv. kritické hodnoty Zα. Tuto hodnotu nalezneme pro dané α ve statistických tabulkách [12] jako: Rovnice 3.34

Nyní vypočteme velikost tzv. testovacího kriteria:

Z

p 

Rovnice 3.35

 (100   ) n

Po dosazení získáme hodnotu Z = 2,54. Porovnáním vypočtené hodnoty testovacího kritéria a kritické hodnoty rozhodneme takto: 

je-li Z > Zα pak musíme H0 s pravděpodobností 99% zamítnout a přijmout H1



je-li Z < Zα pak nemůţeme H0 s pravděpodobností 99% zamítnout.

V našem případě to znamená, ţe naši hypotézu (nulovou) musíme zamítnout, čímţ je potvrzeno, ţe podmínka financování reklamy je splněna.

Rozhodovací stromy Modelem rozhodovacích problémů můţe být tzv. rozhodovací strom. Je to grafická forma, která je vhodná pro řešení situací, kdy k dosaţení cíle je třeba realizovat postupně řadu rozhodnutí, přičemţ následující rozhodnutí závisí na předchozím rozhodnutí a jeho důsledcích.

- 48 -

Rozhodovací stromy



Počítačová firma připravuje výrobu série specializovaných počítačových sestav, vyţadujících nestandardní označení některých klávesnic [2]. Rozhoduje se mezi třemi variantami: 

vlastní výroba a montáţ klávesnic (M – to Manufacture)



nakupovat upravené klávesnice od domácího výrobce (BD - to Buy Domestically)



nakupovat klávesnice z dovozu (BA - to Buy Abroad).

Příklad

Pro potřebu rozhodování uvaţuje firma moţný budoucí prodej počítačů ve třech úrovních: Nízký – Průměrný – Vysoký. Úroveň prodeje firma ovlivnit nemůţe. Základní problém spočívá v tom, ţe ve skutečnosti můţeme zvolit pouze jednu ze tří variant rozhodnutí, i kdyţ v budoucnosti můţe nastat kterákoliv z uvedených situací na trhu. Jde o rozhodování v neurčitých podmínkách, pro které jsou potřebné další informace. Jsou to předně odhady ekonomických výsledků, vyplývajících z kombinací výskytu jednotlivých typů odbytu (situací) a moţných variant rozhodnutí (strategií) pomocí očekávaného zisku (Tabulka 3.7). Podle ní se finanční výsledky alternativní volby strategií pohybují v rozmezí -15000 do +55000.

Odhady očekávaného zisku

Strategie

Tabulka 3.6 Úroveň budoucího prodeje (tis Ł) NÍZKÁ

Vlastní výroba Zahraniční výrobce Domací výrobce

PRŮMĚRNÁ VYSOKÁ

-15

10

55

10

30

25

5

20

40

Předpokládejme dále, ţe firma je schopna stanovit pravděpodobnost výskytu jednotlivých situací trhu (marketingový průzkum, statistické údaje, expertní odhad). Ten je stanoven pro úroveň budoucího prodeje Nízký 0.2, Průměrný 0.5 a Vysoký 0.3 (součet musí být jednotkový, tj. 100%.). Konstrukce rozhodovacího stromu řešení tohoto problému je nakreslen na obrázku 3.10.

- 49 -



Rozhodovací strom pro řešení problému klávesnic

Obrázek 3.10

Čtverec představuje rozhodovací uzel - bod rozhodovacího stromu, v němţ je třeba rozhodnout. Větve představují moţné deterministické varianty rozhodování – M, BA a BD. Kaţdá varianta vede do krouţku - náhodného uzlu, ve kterém dochází k dalšímu větvení, tentokrát náhodnému. Na konci kaţdé náhodné větve (prodej Nízký – Průměrný – Vysoký) je zapsán zisk, který bude jejím výsledkem. V dalším kroku doplníme rozhodovací pravděpodobnostmi výskytu jednotlivých situací.

strom

dalšími

informacemi

–

Pro kaţdou alternativu lze dále stanovit její očekávaný výsledek a do větví grafu jej zapsat. Tak např. pro variantu BD bude očekávaný průměrný výsledek (očekávaná hodnota EV - Expected Value) při uvaţování všech tří moţných situacích na trhu

EV = (50000 x 0,2) + (20000 x 0,5) + (40000 x 0,3) = 23000 Tento výsledek je moţno chápat pouze jako dlouhodobý průměr očekávaného výsledku. Hlavním smyslel EV je však umoţnit porovnání variant jednotlivých rozhodnutí. Pro další varianty: M:

EV = 18500

BA:

EV = 24500

Na základě vyhodnocení situace je moţné doporučit větev BA, přestoţe je zřejmé, ţe konečný výsledek rozhodnutí je do určité míry nejistý. Předpokládejme, ţe manaţer v důsledku nejistoty přijatelné varianty BA uvaţuje variantně i o moţnosti vlastní výroby klávesnic s tím, ţe v případě nízkého - 50 -

Rovnice 3.36



prodeje počítačů uplatní marketingovou kampaň (reklamy, propagační materiály). Náklady na toto kampaň jsou předpokládány ve výši 10000. Současně se odhaduje, ţe úspěšnost marketingové kampaně bude 85%. Tento dodatečný návrh lze v rozhodovacím stromu zobrazit (obrázek 3.11). Na konec větve M – Nízký umístíme nový rozhodovací uzel, v němţ se bude rozhodovat o dvou moţných variantách – uskutečnit (MC) nebo neuskutečnit marketingovou kampaň (NMC). V případě jejího uskutečnění bude kampaň úspěšná (S) nebo neúspěšná (F). V případě úspěšné kampaně by byl celkový zisk z prodeje sníţen o náklady na reklamu, tedy pouze 30000. V případě, ţe kampaň úspěšná nebude, pak mírně zvýšený prodej zabezpečí pokrytí nákladů na zavedení výroby, zisk však bude nulový. Nové větve doplníme údaji EV.

Rozšířený rozhodovací strom pro řešení problému klávesnic

Obrázek 3.11

Z výsledku je patrné, ţe v případě selhání prodeje je moţno marketingovou kampaň doporučit, protoţe její EV je vyšší neţ v případě, kdybychom ji nerealizovali.

3.8 Znalostní fuzzy modely Informace a znalosti Rostoucí výkon a kvalita informačních technologií a informačních systémů jsou zdrojem růstu mnoţství informací, které jsou při řešení sloţitých rozhodovacích problémů manaţerům k dispozici. I kdyţ jsou relevantní informace podmínkou pro správné rozhodování, nejsou podmínkou jedinou. Dalšími podklady, podmiňujícími výkon manaţerů, jsou v naší souvislosti jejich znalosti. - 51 -

Informace a znalosti



Znalosti představují jasnou a zaručenou představu o věci nebo události, nejčastěji ve formě praktických expertních zkušeností, dovedností, vědomostí a poznání [2], [5].

Znalosti a rozhodování V procesu rozhodování musíme uplatnit jak informace, tak i znalosti. Role informací spočívá v tom, ţe díky jim se dovídáme o nových a konkrétních faktech a skutečnostech, které jsou pro rozhodování nezbytné. Důleţitost znalostí pak spočívá v tom, ţe teprve na jejich základě můţeme informacím přiřadit určitý význam. Aby informace splnily svoji roli, je nezbytné mít potřebné znalosti pro jejich vlastní interpretaci.

Znalosti a rozhodování

Mezi znalostmi a informacemi můţeme nalézt vztah komplementarity. Ten je dán tím, ţe znalosti se formulují na základě informací, které získáváme procesem vnímání. Znalosti je přitom potřeba neustále modifikovat a aktualizovat, aby odráţely současnou realitu. Znalosti z určité problémové oblasti je moţno povaţovat za mentální model, který v naší mysli tuto oblast (realitu) reprezentuje (takové znalosti lze pak vyuţít ik popisu chování reálného objektu formou jazykových popisů. Charakteristiky objektů vnímáme pomocí pozorování a měření. Proces modelování znalosti o určité realitě probíhá buď podvědomě, nebo na základě systematické činnosti. V prvním případě můţeme hovořit o expertních zkušenostech (subjektivní znalosti), ve druhém pak o procesu teoretického učení (objektivní, obecné znalosti). Zkušenosti jsou základem daleko detailnějších a kvalitnějších modelů, neţ jaké lze získat a v paměti uchovat teoretickým učením. Mentální modely můţeme dobře vyuţít k myšlenkovému popisu vlastností i myšlenkové predikci chování objektu. Můţeme provádět simulace v procesu myšlení. Manaţer, který je vybaven takovým mentálním aparátem, můţe mnohem lépe předpovídat vliv jednotlivých alternativ rozhodnutí na vlastní objekt a tím s mnohem větší pravděpodobností pak vybrat alternativu optimální [5]. Znalosti manaţerů (know-how) představují významný potenciál, který je moţno povaţovat za zdroj zvýšení jejich výkonu. Otázkou je systematické vyuţívání takového zdroje – jeho řízení, správa a vyuţívání takovým způsobem, aby přispíval k rychlejšímu a kvalitnějšímu řešení manaţerských úloh. Tímto problémem se zabývá odvětví systémové vědy - management (správa) znalostí.

Znalostní modelování Dosud jsme hovořili o modelech matematických, numerických, jsou postaveny na základě obecně platných zákonů, vyjádřených matematickým vztahy (rovnice, soustavy rovnic, nerovnosti, formule klasické logiky). Takové modely vycházejí rovněţ ze znalostí dané problematiky – jde však o znalosti obecné, všeobecně dostupné, které lze získat studiem ve škole nebo z odborné literatury (znalosti objektivní) [3]. - 52 -

Znalostní modelování



Znalostní modely jsou postaveny na základě znalostí odborníků (expertů), které lze získat pouze dlouhodobou praxí. Jde o zkušenosti, osobní názory na problém aţ heuristiky, u nichţ mnohdy ani nelze dokázat jejich obecnou platnost – expert pouze ví, ţe jejich pouţití v mnohých případech vedlo k úspěchu. Znalosti tohoto typu nelze popsat matematickými vztahy – k jejich formální reprezentaci se nejlépe hodí popisy slovní – věty přirozeného jazyka (znalosti subjektivní). Jazykové modely vyuţívají k popisům chování soustav speciálních pravidel typu JESTLIŢE – PAK (anglicky IF – THEN) [3]. Obecný tvar pravidla je IF (A) THEN (K) kde část A je výrok o velikosti vstupní proměnné a nazývá se antecedent (podmínka), část K je odpovídající výrok o velikosti výstupní proměnné a nazývá se konsekvent (důsledek). V případě modelu s více vstupními proměnnými jsou tvrzení o jejich velikosti v tzv. sloţném (vícenásobném) antecedentu vázána logickou spojkou konjunkce (and). IF (A1) and (A2) and … and (An) THEN (K) Dvě vybraná pravidla, popisující např. chování psa (soustava organizmus) mohou mít tvar:

typu ţivý

IF (PES je HLADOVÝ) THEN (PES je AGRESIVNÍ) IF (PES je UNAVENÝ) THEN (PES je OSPALÝ) Takových pravidel, popisující chování psa, můţe jistě kaţdý zkušený kynolog vyslovit celou řadu. Všechny společně (soustava IF-THEN pravidel) tvoří jazykový model psa. Je evidentní, ţe vyjádřit takové vztahy mezi stavem psa a jeho chováním pomocí matematických rovnic je prakticky nemoţné. Abstraktní modely jsou určeny k simulačním experimentům. Takovým experimentem můţe být v našem případě např. zájem o zjištění, jak se bude chovat pes, bude-li HODNĚ HLADOVÝ? Poloţíme-li takový dotaz kynologovi (který náš model sestavoval a má jej tedy ve svém mozku jako model mentální), odpoví asi, ţe bude HODNĚ AGRESIVNÍ. Stejně tak musí „odpovědět“ na takový „dotaz “ i náš model. Je samozřejmé, ţe takové simulace s modelem psa bude potřebovat provádět jen člověk, který o chování psa nemá ani ponětí. Jazykový model tedy nahrazuje (supluje) experta – tato funkce je podstatou tzv. expertních systémů [4], [6]. Pro pouţití takových jazykových modelů musíme vyřešit dva základní problémy: prvním je počítačová reprezentace lidských znalostí a druhým je vhodný algoritmus, který dovede jazykový model vyuţít obdobným způsobem, jakým pouţívá svůj mentální model člověk. Jak jsme jiţ ukázali, vhodnou formou vyjádření lidských znalostí o chování nějakého objektu je soustava nenumerických, jazykových IF-THEN pravidel. Pro jejich počítačovou (a tedy nutně numerickou) reprezentaci se často pouţívá aparátu fuzzy mnoţinové matematiky. Taková struktura se pak nazývá jazykový fuzzy model (báze znalostí). Algoritmy, operující nad takovou bází znalostí a provádějící simulační - 53 -



výpočty vyuţívají aparátu vícehodnotové jazykové fuzzy logiky (inferenční nebo řídicí mechamizmy). Detailnější popis příslušných fuzzy procedur je nad rámec tohoto textu a lze jej nalézt např. v [4], [6].

Sestavme ilustrační jazykový model společenské odpovědnosti firmy SOF (výstupní jazyková proměnná modelu). Úroveň takové odpovědnosti budeme vypočítávat (vyvozovat) na základě jejích tří aktivit (tří jazykových vstupních proměnných modelu): UPZ (úroveň péče o zaměstnance), IET (výše investic do ekologických technologií), DOV (úroveň dodavatelsko-odběratelských vztahů). Mají-li numerické proměnné matematického modelu hodnoty číselné (obyčejná čísla), jazykové proměnné jazykového modelu mají hodnoty jazykové. Jejich jména a identifikátory jsou následující: SOF

Společenská odpovědnost firmy Nízká (NIZ) – Sníţená (SNI) – Uspokojivá (USP) – Dobrá (DOB) – Velmi dobrá (VED) – Výborná (VYB) – Špičková (SPI)

UPZ

úroveň péče o zaměstnance Nízká (NIZ) – Střední (STR) – Vysoká (VYS)

IET

výše investic do ekologických technologií Nízká (NIZ) – Střední (STR) – Vysoká (VYS)

DOV

úroveň dodavatelsko-odběratelských vztahů Uspokojivá (USP) – Dobrá (DOB) – Výborná (VYB)

Jazykové hodnoty jazykových proměnných fuzzy modelu jsou v počítači reprezentovány fuzzy množinami [4]. Pravidla jazykového modelu jsou formulována pro tři vstupní proměnné (UPZ, IET a DOV) a jednu proměnnou výstupní, kterou je SOF. Jazykový model (typu Mandami) tvoří bázi znalostí fuzzy systému, nad níţ operují algoritmy fuzzy logiky (inferenční – řídicí mechanizmus) který provádí proceduru výpočtu (vyvození) tvaru výstupní fuzzy mnoţiny SOF. Hodnoty vstupních veličin mohou být zadávány jako hodnoty číselné (v rozsahu 0 – 100). Pro získání výstupní veličiny ve formě čísla (z rozsahu 0 – 100) je pouţita metoda COG (Center of Gravity) [4]. Úplný jazykový model společenské odpovědnosti firmy SOF obsahuje 27 pravidel. Jejich tvar je uveden v Tabulce 3.9. Simulační výpočty provádíme tak, ţe jako vstupy modelu dosazujeme číselné hodnoty vstupních proměnných a model vypočítává odpovídající hodnotu společenské odpovědnosti. Číselné hodnoty všech proměnných jsou normovány do rozsahu 0-100. Příklady simulací a jejich výsledků jsou uvedeny v tabulce 3.8.

- 54 -

Příklad



Příklady simulačních výpočtů

UPZ 10 30 50 70 70

Tabulka 3.7

IET 20 40 50 60 70

DOV 20 50 50 80 90

SOF 26,4 38,5 50,0 67,2 71,2

Tabulka pravidel báze znalostí

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27

Tabulka 3.8

IF (UPZ is VYS) and (IET is VYS) and (DOV is VYB ) THEN (SOF is SPI ) IF (UPZ is VYS) and (IET is VYS) and (DOV is DOB) THEN (SOF is VYB) IF (UPZ is VYS) and (IET is VYS) and (DOV is USP) THEN (SOF is VED) IF (UPZ is VYS) and (IET is STR) and (DOV is VYB) THEN (SOF is VYB) IF (UPZ is VYS) and (IET is STR) and (DOV is DOB) THEN (SOF is VED) IF (UPZ is VYS) and (IET is STR) and (DOV is USP ) THEN (SOF is DOB) IF (UPZ is VYS) and (IET is NIZ) and (DOV is VYB) THEN (SOF is VED) IF (UPZ is VYS) and (IET is NIZ) and (DOV is DOB) THEN (SOF is DOB) IF (UPZ is VYS) and (IET is NIZ) and (DOV is USP) THEN (SOF is USP) IF (UPZ is STR) and (IET is VYS) and (DOV is VYB ) THEN (SOF is VYB) IF (UPZ is STR) and (IET is VYS) and (DOV is DOB) THEN (SOF is VED) IF (UPZ is STR) and (IET is VYS) and (DOV is USP) THEN (SOF is DOB) IF (UPZ is STR) and (IET is STR) and (DOV is VYB) THEN (SOF is VED) IF (UPZ is STR) and (IET is STR) and (DOV is DOB) THEN (SOF is DOB) IF (UPZ is STR) and (IET is STR) and (DOV is USP) THEN (SOF is USP) IF (UPZ is STR) and (IET is NIZ) and (DOV is VYB) THEN (SOF is DOB) IF (UPZ is STR) and (IET is NIZ) and (DOV is DOB ) THEN (SOF is USP) IF (UPZ is STR) and (IET is NIZ) and (DOV is USP ) THEN (SOF is SNI) IF (UPZ is NIZ) and (IET is VYS) and (DOV is VYB) THEN (SOF is VED ) IF (UPZ is NIZ) and (IET is VYS) and (DOV is DOB ) THEN (SOF is DOB) IF (UPZ is NIZ) and (IET is VYS) and (DOV is USP) THEN (SOF is USP) IF (UPZ is NIZ) and (IET is STR) and (DOV is VYB ) THEN (SOF is DOB) IF (UPZ is NIZ) and (IET is STR) and (DOV is DOB) THEN (SOF is USP) IF (UPZ is NIZ) and (IET is STR) and (DOV is USP) THEN (SOF is SNI) IF (UPZ is NIZ) and (IET is NIZ) and (DOV is VYB) THEN (SOF is USP) IF (UPZ is NIZ) and (IET is NIZ) and (DOV is DOB) THEN (SOF is SNI) IF (UPZ is NIZ) and (IET is NIZ) and (DOV is USP) THEN (SOF is NIZ)

Pro editaci jazykových fuzzy modelů a provádění simulačních výpočtů existuje celá řada počítačových programových nástrojů. Jako příklad uveďme Fuzzy Tool Box a Simulink balíku programového balíku MATLAB [10].

SHRNUTÍ KAPITOLY Modelem systému rozumíme abstraktní strukturu, která projevuje v určitých směrech stejné chování jako reálný objekt, který model reprezentuje. Významné jsou modely ekonomických systémů. Ekonomické modely lze klasifikovat z hlediska cíle jejich - 55 -



pouţití, dynamiky a determinovanosti. Významný pokrok v technologii abstraktního modelování přinesl rozvoj výpočetní techniky. Metody modelování ekonomických a manaţerských problémů jsou velmi rozsáhlé. Hledání optimálního řešení v rozhodovacích úlohách lze řešit metodami lineárního a vícekriteriálního lineárního programování. Síťové grafy jsou modely, určené podpoře projektového plánování a řízení realizace projektu. Modely hromadné obsluhy pomáhají řešit problémy optimalizace v oblasti výroby a sluţeb s procesy čekání na provedení výrobní operace nebo obslouţení. Stanovení optimální výše zásob pomáhají řešit modely řízení zásob. Řešení problémů plánování, kontroly a zvyšování jakosti výrobků je podporováno modely kontroly jakosti. Pouţívají se diagramy Paterovy nebo diagramy Išikavovy. Prognózování budoucího vývoje nejrůznějších ekonomických ukazatelů je prováděno metodami prognózování – pomocí statistických modelů klouzavých průměrů nebo regresních modelů. Rozhodování v podmínkách neurčitosti je podporováno matematickými modely vyuţívajícími metod statistické analýzy nebo metod rozhodovacích stromů. Zvláštní význam mají znalostní modely, spadající do oblasti vědního oboru umělá inteligence. S vyuţitím expertních znalostí lze sestavovat nenumerické pravidlové modely, které vyuţívají metod fuzzy mnoţinové matematiky a fuzzy logiky.

ÚKOLY 1.

Vysvětlete význam abstraktního modelování ekonomických systémů!

2.

Vyjmenujte hlediska klasifikace ekonomických modelů!

3.

Vysvětlete grafický postup hledání optimálního řešení problému v metodě lineárního programování!

4.

Co je to kritická cesta grafu?

5.

Popište jednokanálový model systému hromadné obsluhy!

6.

Jaký je význam optimální délky intervalu dodávky v modelu řízení zásob?

7.

Vysvětlete postup konstrukce Paretova a Išikavova diagramu kontroly jakosti!

8.

Nakreslete a vysvětlete prognózovaného ukazatele!

9.

Vysvětlete význam konfidenčního intervalu ve statistickém modelování!

10.

Napište tvar jednoduchého odměněného pravidla znalostního fuzzy modelu!

jednoduchý

model

regresní

závislosti


MAŇAS, M. aj. Matematické metody v ekonomice. Praha: SNTL, 1991. ISBN 80-7079-157-8

- 56 -



[2]

WISNIEWSKI, M. Metody manažerského rozhodování. Praha: Grada Publishing, 1996. ISBN 80-7169-089-9

[3]


[4]

POKORNÝ, M. Umělá inteligence v modelování a řízení. Praha: BEN, 1996. ISBN 80-901984-4-9

[5]

DOSTÁL, P. aj. Pokročilé metody manažerského rozhodování. Praha: Grada Publishing, 2005. ISBN 80-247-1338-1



[7]

JABLONSKÝ, J.; FIALA, P.; MAŇAS, M. Vícekriteriální optimalizace. 1.vyd. Praha: Státní pedagogické nakladatelství, 1986.

[8]

RAMÍK, J. Vícekriteriální rozhodování - analytický hierarchický proces (AHP), 1. vyd. Opava: Slezská univerzita, 1999. ISBN 80-7248-047-2

[9]

ČERNÝ, M.; GLÜCKAUFOVÁ, D. Vícekriteriální vyhodnocování v praxi. Praha: Nakladatelství technické literatury, 1982

[10]

MATLAB - The MathWorks - MATLAB and Simulink for Technical Computing [cit. 2009-12-05]. Dostupný z WWW: <www.mathworks.com/>.

- 57 -



Literatura Základní literatura: [1]

ČERNÝ, J. Základy teorie systémů. Praha: VŠE, 2001. ISBN 80-245-0231-3.

[2]

DOSTÁL, P. aj. Pokročilé metody manažerského rozhodování. Praha: Grada Publishing, 2005. ISBN 80-247-1338-1

[3]

FOTR, J. aj. Manažerské rozhodování. Praha: EKOPRESS, 2000. ISBN 80-86119-20-3

[4]

MAŇAS, M. aj. Matematické metody v ekonomice. Praha: SNTL, 1991. ISBN 80-7079-157-8

[5]

NĚMEC, F.; ČEMERKOVÁ, Š. Teorie systémů. Opava: SU, 1997. ISBN 80-85897-4-6.

[6]


[7]

POKORNÝ, M. Umělá inteligence v modelování a řízení. Praha: BEN, 1996. ISBN 80-9019844-9

[8]

WISNIEWSKI, M. Metody manažerského rozhodování. Praha: Grada Publishing, 1996. ISBN 80-7169-089-9


ČERNÝ, M.; GLÜCKAUFOVÁ, D. Vícekriteriální vyhodnocování v praxi. Praha: Nakladatelství technické literatury, 1982

[10]

DËMEOVÁ, L. aj. Matematické metody v ekonomii a managementu [on line]. CZU PeF [cit. 2009-11-9]. Dostupný z WWW: <www.skolaekonom.cz/0X/data/la016/attach/uvod-do-metodoperacniho-vyzkumu.ppt?PHPSESSID=drbxccke>.

[11]

HRŮZOVÁ, H. aj. Manažerské rozhodování – cvičebnice s řešenými příklady. Praha: VŠE, 2004. ISBN 80-245-0486-3

[12]

JABLONSKÝ, J.; FIALA, P.; MAŇAS, M. Vícekriteriální optimalizace. 1.vyd. Praha: Státní pedagogické nakladatelství, 1986.

[13]

MAŘÍK, V. aj. Umělá inteligence I. Praha: AKADEMIA, 1996. ISBN 80-200-0496-3

[14]

MATLAB - The MathWorks - MATLAB and Simulink for Technical Computing [cit. 2009-12-05]. Dostupný z: http://www.mathworks.com/.RAMÍK, J. Vícekriteriální rozhodování - analytický hierarchický proces (AHP), 1. vyd. Opava: Slezská univerzita, 1999. ISBN 80-7248-047-2

[15]

SKÁLA, P. Matematické modely v ekonomii [on line]. In 5.Odborná konference doktorského studia s mezinárodní účastí [cit. 2009-11-20]. Brno: VUT, 2003. Dostupný z WWW: <www.fce.vutbr.cz/veda/dk2003texty/pdf/5-2/rp/skala.pdf>.

- 58 -



Seznam obrázků

Obrázek 1.1: Struktura jednoduchého systému ............................................................................... 8 Obrázek 1.2: Systém a podsystémy................................................................................................. 9 Obrázek 1.3: Hierarchická stromová sturktura dvoustupňového řízení ......................................... 10 Obrázek 3.1: Oblast přípustných řešení......................................................................................... 29 Obrázek 3.2: Optimální řešení ....................................................................................................... 30 Obrázek 3.3: Síťový graf ................................................................................................................ 34 Obrázek 3.4: Výchozí síťový graf projektu výzkumu...................................................................... 35 Obrázek 3.5: Finální forma síťového grafu projektu výzkumu ....................................................... 36 Obrázek 3.6: Paretův diagram ....................................................................................................... 41 Obrázek 3.7: Išikavův diagram ....................................................................................................... 42 Obrázek 3.8: Išikavův diagram pro problém chybných proplácení faktur ...................................... 42 Obrázek 3.9: Bodový diagram a regresní přímka .......................................................................... 45 Obrázek 3.10: Rozhodovací strom pro řešení problému klávesnic ............................................... 50 Obrázek 3.11: Rozšířený rozhodovací strom pro řešení problému klávesnic ............................... 51

- 59 -



Seznam tabulek

Tabulka 3.1: Sloţení čisticích prostředků....................................................................................... 27 Tabulka 3.2: Přehled činnosti plánu průzkumu .............................................................................. 35 Tabulka 3.3: Analýza faktur ............................................................................................................ 41 Tabulka 3.4: Týdenní prodej a dvoutýdenní klouzavý průměr ....................................................... 44 Tabulka 3.5: Prodej a zisk obchodu ............................................................................................... 44 Tabulka 3.6: Odhady očekávaného zisku ...................................................................................... 49 Tabulka 3.7: Příklady simulačních výpočtů .................................................................................... 55 Tabulka 3.8: Tabulka pravidel báze znalosti .................................................................................. 55

- 60 -

MODELOVÁNÍ SYSTÉMŮ V OBLASTI SPOLEČENSKÝCH VĚD

Recommend Documents