Model SIR Penyakit Tidak Fatal Husni Tamrin, M. Zaki Riyanto*, Akhid, Ardhi Ardhian Jurusan Matematika FMIPA UGM Yogyakarta 2007
Intisari Model SIR dapat digunakan untuk memodelkan penyebaran suatu penyakit yang tidak fatal atau tidak menimbulkan kematian dalam suatu populasi tertutup berdasarkan asumsi-asumsi tertentu. Selanjutnya, dari model tersebut dapat diperoleh dua titik kesetimbangan. Menggunakan titik kesetimbangan dapat diperoleh suatu interpetasi dalam kehidupan nyata, khususnya yang berkaitan dengan eksistensi atau keberadaan penyakit dalam populasi, yaitu titik kesetimbangan bebas penyakit dan titik kesetimbangan endemik. Pada titik kesetimbangan bebas penyakit terjadi jika proporsi subpopulasi rentan adalah 1 dan laju terserang kurang dari laju kesembuhan ditambah dengan laju kelahiran/kematian.
Kata kunci: SIR, stabil asymtotik, titik kesetimbangan bebas penyakit, titik kesetimbangan endemik
1. Pendahuluan Model matematika merupakan salah satu alat yang dapat membantu mempermudah penyelesaian masalah dalam kehidupan nyata. Masalah-masalah tersebut dapat di bawa ke dalam model matematis dengan menggunakan asumsi-asumsi tertentu. Selanjutnya, dari model yang didapat dicari solusinya, baik dengan cara analitis maupun secara numerik. Salah satu permasalahan di kehidupan nyata adalah mengenai penyebaran suatu penyakit yang tidak menimbulkan kematian (fatal) dan individu yang terinfeksi akan mempunyai kekebalan dalam jangka waktu tertentu, contohnya adalah penyakit campak, influenza, dan sebagainya. Selanjutnya, masalah penyebaran penyakit ini
*
E-mail:
[email protected] http://zaki.math.web.id
1
akan dimodelkan ke dalam bentuk matematis menggunakan tipe model penyebaran penyakit SIR. Model
SIR
(Susceptibles,
Invectives,
Recovered)
pada
awalnya
dikembangkan untuk mengetahui laju penyebaran dan kepunahan suatu wabah penyakit dalam populasi tertutup dan bersifat epidemik. Pada paper ini dibahas mengenai pembentukan model SIR pada penyakit yang tidak fatal dan berdasarkan asumsi-asumsi yang dibuat. Setelah model terbentuk, kemudian dicari solusi analitis dan titik kesetimbangannya, yang selanjutnya diinterpetasikan dalam permasalahan yang sesungguhnya dalam kehidupan nyata. Dalam hal ini adalah mengenai perilaku penyebaran penyakit dan eksistensinya, yaitu titik kesetimbangan bebas penyakit dan titik kesetimbangan endemik. Titik kesetimbangan bebas penyakit adalah suatu kondisi di mana sudah tidak ada lagi penyakit yang menyerang atau dalam arti tidak ada lagi individu yang terserang penyakit. Titik kesetimbangan endemik adalah suatu kondisi di mana penyakit selalu ada dalam populasi tersebut, maksudnya adalah bahwa selalu saja ada individu yang terserang penyakit.
2. Teori Kestabilan Diberikan sistem persamaan diferensial non linear dx1 = f1 ( x1 ,..., xn ) dt ⋮
(1)
dx1 = f n ( x1 ,..., xn ) dt dengan kondisi awal xt0 (t0 ) = xi , i = 1, 2,..., n . Sistem (1) di atas dapat ditulis sebagai
dx = f ( x) , dt
2
dengan
dx = ( x1 ,..., xn )T ∈ ℝ n , dt
f ( x) = ( f1 ( x), f 2 ( x),..., f n ( x))T ,
dan
memenuhi
kondisi awal x(t0 ) = ( x01 , x02 ,..., x0 n )T . Selanjutnya, notasi x(t ) = x( x0 , t ) menyatakan solusi sistem (1) di atas yang melalui x0 .
Definisi 1. (Perko, 1991) Titik x ∈ ℝ n disebut titik kesetimbangan (titik equilibrium) sistem (1) jika f ( x ) = 0 .
Definisi 2. (Finizio & Ladas, 1988) 1) Titik kesetimbangan x dikatakan stabil jika untuk setiap bilangan ε > 0 terdapat bilangan δ > 0 sedemikian hingga untuk setiap solusi y (t ) yang memenuhi y (t0 ) − x < δ berlaku x(t ) − x < ε untuk t ≥ t0 . 2) Titik kesetimbangan x dikatakan stabil asymtotik jika x stabil dan terdapat bilangan δ 0 > 0 sedemikian hingga untuk setiap setiap solusi y (t ) yang memenuhi y (t0 ) − x < δ 0 berlaku y (t ) − x → 0 untuk t → ∞ .
Diberikan sistem persamaan diferensial non linear
dx = f ( x) dt
(2)
dengan f adalah fungsi non linear dan kontinu, f : E → ℝ n , E ⊂ ℝ n . Perilaku solusi pada persekitaran titik kesetimbangan sistem non linear (2) dapat ditentukan setelah dilakukan pelinieran pada persekitaran titik kesetimbangan sistem.
Definisi 3. (Kocak, 1991) Diberikan f = ( f1 ,..., f n ) pada sistem (2) di atas dengan f i ∈ C 1 ( E ), i = 1, 2,.., n . Matriks
3
∂f1 ∂f1 ∂x ( x) ⋯ ∂x ( x) n 1 J ( f ( x)) = ⋮ ⋱ ⋮ ∂f n ( x) ⋯ ∂f n ( x) ∂x ∂xn 1
(3)
dinamakan matriks Jacobian dari f di titik x.
Definisi 4. (Perko, 1991) Sistem
dx = J ( f ( x )) x disebut linearisasi sistem (2) di x . dt
Teorema 5. (Wiggins, 1990) Jika semua nilai eigen dari matriks Jacobian J ( f ( x )) mempunyai bagian real negatif, maka titik kesetimbangan x pada sistem (2) stabil asymtotik.
3. Model SIR Penyakit Tidak Fatal Penyebaran penyakit yang tidak fatal (tidak menimbulkan kematian) dalam suatu populasi yang diasumsikan memiliki jumlah tetap dan dalam satu periode waktu wabah. Pada saat t misal dalam satu populasi terdiri dari : •
S(t) : susceptibles : adalah subpopulasi di mana anggotanya terdiri dari orang-orang yang rentan terkena penyakit tersebut.
•
I(t) : infectives : adalah subpopulasi dimana anggotanya tersiri dari orangorang yang sudah terjangkit penyakit tersebut.
•
R(t) : Recovered : adalah orang-orang yang telah sembuh dari penyakit tersebut.
Dengan proporsi S + I + R = 1. Asumsi – asumsi : 1) Populasi tertutup (tidak ada proses migrasi). 2) Terjadi proses kelahiran dan kematian. 3) Laju kelahiran sama dengan laju kematian (jumlah populasi tetap). 4) Penyakit dapat disembuhkan.
4
5) Setiap individu yang belum terserang penyakit masuk ke subpopulasi
susceptibles (rentan terserang). 6) Individu yang sembuh mempunyai kekebalan dalam jangka waktu tertentu. 7) Penyakit menular melalui kontak langsung antara individu rentan dengan penderita. 8) Tidak ada masa inkubasi apabila terjadi proses penularan. 9) Masa terjangkit yang cukup lama. Diasumsikan terdapat kontak yang tetap dari subpopulasi S dan I dalam populasi tersebut dan angka susceptible S(t) ditambah dengan bilangan konstan µ. Bilangan konstan µ melambangkan kondisi di mana muncul kelahiran baru dan bayi yang baru lahir otomatis masuk dalam kondisi rentan. Karena laju kelahiran sama dengan laju kelahiran, maka nilai kedua laju sama yaitu µ. Misalkan laju penularan penyakit adalah β, maka dalam satu waktu laju dari susceptibles menjadi infective adalah :
dS = − β SI + µ − µ S dt
(4)
dengan β, µ adalah konstan positif dan µS adalah jumlah kematian pada subpopulasi
S. Jika α > 0 adalah laju kesembuhan dari infected menjadi recovered, maka dI = β SI − α I − µ I dt
(5)
dengan µI adalah jumlah kematian pada subpopulasi I, dan laju perubahan subpopulasi recovered menjadi
dR = α R − µR dt
(6)
dengan µR adalah jumlah kematian dari subpopulasi R.
µ β α → S → I →R
↓µ
↓µ
↓µ
Gambar 1. Model SIR dengan kelahiran dan kematian 5
4. Kestabilan Sistem Dari persamaan (4), (5) dan (6) di atas, diperoleh sistem persamaan diferensial dS = µ − β SI − µ S , dt dI = β SI − α I − µ I (7) dt dR = α I − µR dt Karena persamaan pertama dan kedua tidak dipengaruhi oleh persamaan ketiga, maka persamaan ketiga dapat diabaikan terlebih dahulu sehingga sistem persamaan (7) menjadi
dS = µ − β SI − µ S , dt dI = β SI − α I − µ I dt
(8)
Dari sistem persamaan (8) diperoleh titik kesetimbangan (S,I) = (1,0) dan
α + µ µ µ − . (S,I) = , β α +µ β Misalkan f ( S , I ) = µ − β SI − µ S g ( S , I ) = β SI − α I − µ I Untuk menyelediki kestabilan titik kesetimbangan dilakukan linearisasi terhadap persamaan non linear di atas
∂f ( S , I ) ∂ ( µ − β SI − µ S ) = = −β I − µ ∂S ∂S ∂f ( S , I ) ∂ ( µ − β SI − µ S ) = = −β S ∂I ∂I ∂g ( S , I ) ∂ ( β SI − α I − µ I ) = = βI ∂S ∂S ∂g ( S , I ) ∂ ( β SI − α I − µ I ) = = β S −α − µ ∂I ∂I
6
Proposisi 6. Jika β < α + µ, maka titik kesetimbangan (S,I) = (1,0) stabil asymtotik. Bukti: Untuk titik kesetimbangan di (S,I) = (1,0) diperoleh matrik Jacobian
−µ J = 0
−β
. β − α − µ
Sehingga diperoleh sistem linear
dS dt − µ = dI 0 dI
−β
S . β − α − µ I
Det (λI-J) = 0 ⇔
λ+µ
β
=0
λ − β +α + µ ⇔ (λ + µ )(λ − β + α + µ ) = 0. 0
Diperoleh λ1 = -µ dan λ2 = β – α – µ. Jelas bahwa λ1 = -µ < 0 dan diperoleh bahwa nilai λ2 = β – α – µ < 0 ⇔ β < α + µ. Jika β < α + µ, maka menggunakan Teorema 5 di atas diperoleh bahwa titik kesetimbangan (S,I) = (1,0) stabil asymtotik. ■
α + µ µ µ Proposisi 7. Titik kesetimbangan (S,I) = , − stabil asymtotik. β α +µ β Bukti: α + µ µ µ Untuk titik kesetimbangan di (S,I) = , − maka diperoleh matriks β α +µ β Jacobian
− βµ α +µ J = βµ α + µ − µ
−α − µ 0
sehingga diperoleh sistem linear
7
dS − βµ dt α + µ = dI βµ − µ dI α + µ
−α − µ S . I 0
Selanjutnya, Det (λI-J) = 0
βµ α +µ α +µ ⇔ =0 βµ µ− λ α +µ λ+
⇔ λ2 +
βµ λ + µ (β − α − µ ) = 0 α +µ
βµ βµ ⇔ λ + =0 (λ ) − (α + µ ) µ − α +µ α + µ 2
⇔ λ1,2 =
βµ βµ − ± − 4µ ( β − α − µ ) α +µ α + µ
dengan bagian real Re(λ1,2) = −
2
,
1 βµ < 0. Akibatnya, menggunakan Teorema 5 di 2α +µ
α + µ µ µ atas, diperoleh bahwa titik kesetimbangan (S,I) = , − stabil β α +µ β asymtotik. ■
5. Kesimpulan Berdasarkan hasil yang diperoleh dari perhitungan di atas, diperoleh dua titik α + µ µ µ kesetimbangan, yaitu (S,I) = (1,0) dan (S,I) = , − . β α +µ β Jika diperoleh titik kesetimbangan (1,0) dan jika β < α + µ, berdasarkan Proposisi 6 maka titik kesetimbangan (1,0) stabil asymtotik. Artinya jika terjadi kondisi seperti ini maka dalam waktu yang lama tidak ada penyebaran penyakit atau
8
tidak ada individu yang masuk ke subpopulasi infectives atau dapat disebut titik ini adalah titik kesetimbangan bebas penyakit. Jika diperoleh titik kesetimbangan
α + µ µ µ , − , berdasarkan β α +µ β
Proposisi 7 maka stabil asymtotik. Artinya kondisi ini dalam waktu yang lama, maka penyakit akan selalu ada dalam populasi tersebut dan selalu ada individu yang masuk ke subpopulasi infectives. Kondisi seperti ini dapat disebut sebagai titik kesetimbangan endemik.
Daftar Pustaka Diekmann, O and Heesterbeek, J.A.P, 2000, Mathematical Epidemology of Infectious Diseases: Model Building, Analysis and Interpretation, John Wiley, New York Finizio, N. and Ladas, G., 1998, Persamaan Diferensial Biasa dengan Penerapan Modern, Erlangga, Jakarta Haberman, Richard, 1977, Mathematical Model in Mechanical Vibrations, Population Dynamics, and Traffic Flow, Prentice-Hall, New Jersey Lawrance, P., 1991, Differential Equation and Dynamical System, Springer-Verlag, Berlin Olders, G.J. and Vonder Woude, J.W., 1994, Mathematical System Theory, First Edition, Delftse Witgevers Maatschappij, The Netherlands
9
