Bab 4 MODEL LOGISTIK PENGARUH POHON TERHADAP POPULASI BURUNG Seperti dijelaskan pada bagian awal, burung sebagai makhluk hidup memerlukan tempat tinggal. Pohon sebagai salah satu tempat alami yang dapat dijadikan sebagai tempat bersarang juga merupakan makhluk hidup. Pohon memberikan daya dukung bagi burung Kowak untuk dapat membangun sarang serta tempat untuk bertengger. Tidak seperti makhluk hidup lainnya, yang memiliki laju pertumbuhan yang sangat cepat, pohon memakan waktu yang cukup lama untuk tumbuh. Proses pertumbuhan pohon dapat berlangsung bertahun-tahun. Oleh karena itu untuk pengamatan yang sangat singkat, pohon diasumsikan tidak mengalami pertumbuhan. Akibat adanya burung kowak, pohon mengalami kerusakan. Dalam bab ini, akan ditunjukkan beberapa nilai kekuatan interaksi antara burung Kowak dengan pohon. Model yang digunakan adalah:
dK dt
= K(1 −
dP dt
= −βK.
K ), P
(4.0.1)
Telah dijelaskan bahwa pertumbuhan untuk pohon akan mengalami waktu yang sangat pajang. Proses yang terjadi pada pembentukan suatu pohon yang besar
17
BAB 4. MODEL LOGISTIK PENGARUH POHON TERHADAP POPULASI BURUNG18 akan memakan waktu puluhan atau bahkan ratusan tahun. Pengamatan ini dilakukan dalam kurun waktu yang sangat singkat, sehingga tidak terlihat perubahan yang signifikan terjadi pada pohon yang diamati. Asumsi ini menjadikan bentuk pada persamaan yang dijadikan model menjadi sederhana. Dapat dilihat pada Persamaan (4.0.1), laju perubahan pohon
dP dt
hanya dipengaruhi oleh keberadaan bu-
rung Kowak. Pada model ini diasumsikan bahwa laju pertumbuhan pohon konstan. Konstanta β merupakan kekuatan interaksi antar burung dan pohon. Semakin besar nilai β maka kerusakan yang diakibatkan burung kowak akan akan semakin besar. Sebelumnya telah dijelaskan bahwa kerusakan ini dapat berupa: kotoran burung yang menempel pada daun sehingga mengakibatkan fungsi daun untuk berfotosintesis menjadi lambat. Ranting yang dipatahkan oleh burung untuk membuat sarang juga memberi andil pada nilai β. Banyak faktor yang mungkin tidak dapat diketahui menjadikan nilai β tidak eksak. Penulis akan memberikan beberapa nilai parameter β. Model pertama adalah model untuk carrying capacity burung tetap yaitu sebesar 36 ekor. Konstanta positif yang digunakan adalah β = 0.05 dan Ck = 36. dK = K(1 − K ) dt Ck dP = −βK
(4.0.2)
dt
Untuk K(0) = 1 dan P (0) =
P0 . K0
Dalam semua model berlaku K0 = 100 dan
P0 = 1000. Artinya diasumsikan pohon pada saat awal dapat menampung burung sebanyak P0 ekor dengan perbandingan burung pada saat awal sebanyak K0 ekor. Perbandingan ini yang nantinya dapat disubstitusi dengan nilai berapapun. Solusi yang didapat menggunakan metode numerik menghasilkan fungsi interpolasi yang dapat dilihat pada Gambar 4.1 di bawah ini:
BAB 4. MODEL LOGISTIK PENGARUH POHON TERHADAP POPULASI BURUNG19 Jumlah 35 30 25 20 15 10 5 5
10
15
20
25
30
Waktu
Gambar 4.1: Kurva Gabungan Pohon dan Burung Model Pertama dengan β = 0.05 dan Ck = 36.
Pada gambar diatas dapat dilihat bahwa kurva pohon akan mengalami penurunan hingga mencapai titik minimum nol. Sedangkan pada kurva yang lain menunjukan bahwa jumlah burung akan mengejar titik carrying capacity. Hal ini menunjukan bahwa untuk carrying capacity burung yang bernilai tetap yaitu sebesar Ck = 36, pohon tidak mempengaruhi dinamika populasi burung Kowak. Model selanjutnya adalah model yang sama pada model pertama hanya nilai untuk β berubah yaitu sebesar β = 0.15, sedangkan untuk nilai Ck tetap sama, sebesar 36 ekor. Hasil yang diperoleh adalah kecepatan untuk pohon mengalami penurunan. Pada model sebelumnya nilai β lebih kecil dari pada nilai β pada model ini. Parameter β merupakan kekuatan interaksi antara burung dengan pohon. Karena kekuatan interaksi ini bernilai negatif untuk koefisien β yang positif. dP = −βK. dt
(4.0.3)
Akibatnya semakin besar β pada Persamaan (4.0.3) maka semakin besar pula kerusakan yang diakibatkan oleh burung Kowak terhadap pohon. Hasilnya dapat dilihat pada gambar dibawah ini:
BAB 4. MODEL LOGISTIK PENGARUH POHON TERHADAP POPULASI BURUNG20 Jumlah 35 30 25 20 15 10 5 5
10
15
20
25
30
Waktu
Gambar 4.2: Kurva Gabungan Pohon dan Burung Model Pertama dengan β = 0.15 dan Ck = 36.
Perhatikan perbedaan pada Gambar 4.1 dengan Gambar 4.2. Semakin besar β maka samakin cepat pula laju penurunan pohon. Pada Gambar 4.1, pohon turun hingga memotong sumbu koordinat t pada saat t = 9, sedangkan pada Gambar 4.2, pohon memotong sumbu koordinat t lebih cepat. Model berikutnya adalah model kedua. Perbedaan model pertama dengan model ini adalah pada model ini carrying capacity burung Kowak bergantung pada dinamika pohon. Nilai β pertama dicoba untuk β = 0.05. Hasil yang diperoleh dapat digambarkan seperti pada Gambar 4.3.
BAB 4. MODEL LOGISTIK PENGARUH POHON TERHADAP POPULASI BURUNG21 Jumlah 10 8 6 4 2 10
20
30
40
50
Waktu
Gambar 4.3: Kurva Gabungan Pohon dan Burung Model Kedua dengan β = 0.05.
Pada model kedua ini, populasi burung kowak sudah terpengaruh oleh perubahan pohon. Saat awal pohon dapat memberi daya dukung bagi burung Kowak. Namun pada persamaan kedua ini laju perubahan pohon hanya dipengaruhi kerusakan yang diakibatkan oleh burung Kowak. Sehingga dari titik awal pohon sudah mengalami penurunan. Kurva burung pada saat awal mengikuti pola kenaikan secara eksponensial, karena keterbatasan yang di notasikan dengan Ck merupakan fungsi dari pohon maka ketika kurva burung melewati kurva pohon maka penurunan terjadi pada jumlah burung Kowak. Penurunan ini sejalan dengan penurunan pada kurva pohon. Untuk selanjutnya pada model kedua, nilai β diubah menjadi β = 0.15. Substitusi nilai β ini pada Persamaan (4.0.1). Hasil yang diperoleh dapat dilihat pada Gambar 4.7
BAB 4. MODEL LOGISTIK PENGARUH POHON TERHADAP POPULASI BURUNG22 Jumlah 10 8 6 4 2 10
20
30
40
50
Waktu
Gambar 4.4: Kurva Gabungan Pohon dan Burung Model Kedua dengan β = 0.15.
Pola solusi yang dimiliki untuk model kedua dengan β = 0.15 hampir sama dengan untuk β = 0.05. Perbedaan yang terjadi terletak pada kecepatan pada saat menurun. Semakin besar nilai β, maka akan semakin besar pula kerusakan yang terjadi akibat keberadaan burung kowak.
