MODEL KONTROL GENETIK OLEH REPRESSOR PADA SEL EUKARIOT
TUGAS AKHIR Diajukan untuk Memenuhi Persyaratan Sidang Sarjana Program Studi Matematika ITB
Disusun oleh: Muhammad Islahuddin 10103003
Program Studi Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Teknologi Bandung 2007
MODEL KONTROL GENETIK OLEH REPRESSOR PADA SEL EUKARIOT
TUGAS AKHIR Diajukan untuk Memenuhi Persyaratan Sidang Sarjana Program Studi Matematika ITB
Disusun oleh: Muhammad Islahuddin 10103003
Bandung, Juni 2007 Telah diperiksa dan disetujui oleh Pembimbing Tugas Akhir
Nuning Nuraini, M.Si
Program Studi Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Teknologi Bandung 2007
Katakanlah : ”Sesungguhnya dalam penciptaan langit dan bumi dan silih bergantinya malam dan siang terdapat tanda-tanda bagi orang-orang yang berakal”. ...”Ya Tuhan kami, tiadalah Engkau menciptakan ini dengan sia-sia. Maha Suci Engkau, maka peliharalah kami dari siksa neraka”. (QS. Ali ’Imran, 3 : 190-191)
”Barangsiapa mengamalkan apa yang diketahuinya, maka Allah akan memberikan ilmu dari apa yang tidak ia ketahui ....” -Imam Malik
”Keberhasilan tidak datang begitu saja..., melainkan diraih dengan kemauan, optimis, kerja keras dan kesabaran ... landasi dengan niat yang tulus dan ketakwaan kepada-Nya”.
Untukmu kupersembahkan : Umi, Apa, Mamah, dan Bapak Kakak-kakak dan Keluarga Besar KH. Chudlori Semua Orang yang Menyayangiku Serta, Semua Orang yang Kusayangi
Prakata Alhamdulillah, segala puji hanya milik Allah, Dzat yang Maha Mengetahui. Shalawat dan salam semoga dilimpahkan kepada rasul-Nya, Muhammad SAW, penunjuk jalan kebenaran. Tugas akhir ini berjudul ”Model Kontrol Genetik Oleh Repressor Pada Sel Eukariot” disusun untuk memenuhi persyaratan Sidang Sarjana Program Studi Matematika Institut Teknologi Bandung. Dalam menjalani masa perkuliahan di Institut Teknologi Bandung, khususnya saat menyusun tugas akhir, penulis mendapat banyak bantuan dari berbagai pihak dalam menghadapi berbagai masalah yang dihadapi. Oleh karena itu, penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada : 1. Umi, Apa, Mamah dan Bapak atas segala doa, ilmu, kesabaran, dan kasih sayangnya kepada penulis. Semua kakak-kakak yang telah banyak membantu dan mendukung dengan segala macam bentuk perhatiannya. 2. Nuning Nuraini, M.Si. sebagai dosen pembimbing yang telah sangat membantu dengan membimbing penulis selama pengerjaan tugas akhir dengan penuh dedikasi dan kesabaran. 3. Dr. Johan M. Tuwankotta, sebagai dosen wali penulis yang telah mengiringi dan mengawasi penulis selama kuliah di ITB.
iv
PRAKATA
v
4. Seluruh staf pengajar Matematika ITB yang telah mendidik dan mengenalkan indahnya matematika kepada penulis. Oleh karenanya, (setidaknya) saya tahu satu hal bahwa saya tidak tahu. Untuk itu, saya akan terus mencari tahu ! 5. Ibu Diah, Kang Dedi, Kang Yana serta seluruh staf Tata Usaha dan Perpustakaan Matematika ITB yang telah membantu penulis terutama dalam hal yang berkaitan dengan masalah administrasi. 6. Viska, Imel, Bowo, Fiska, Uma, Gita, Agus, Manez, Tamie, Tim Pemodelan, Tim KS Terapan II, Tim MCM, serta seluruh teman-teman MA-03 atas segala bantuan serta pengalaman yang kita lalui bersama. 7. Tim Pengurus Inti Kokesma ITB 2005-2006, HRD’ers, DESF ’04, dan temanteman KK’ers atas kerjasama dan sejuta pengalaman baru yang tak terlupakan. 8. Pak Witarto, Mbak Kristin dan Resnanti atas diskusi dan pinjaman bukunya yang sangat membantu dalam tugas akhir ini. 9. Kang Acung, Kang Agus, Kang Dengdeng, Mbak Silvy, Kang Birry dan Kang Tatan atas info-info dan konsultasinya. Kang Fajar atas keterangan dan kerjasamanya selama kuliah PDP. 10. Surya, Yanuar, Oke, Sarah, Heri, Yeni, Sabeth, Tatan dan seluruh ’Barudak KMT’ atas perjuangan, kebersamaan dan leluconnya. 11. Fika, Riskie, Farah, Muhidin, Nisa, Bahrul, Jemmy dan semua teman-teman SD atas silaturrahmi yang terus terjalin. Terutama untuk Ibu Ening yang penuh dedikasi telah mendidik kami sehingga bisa seperti saat ini. 12. Kawan-kawan T-03, KM3 ITB, dan seluruh kawan yang telah sudi berteman dengan saya.
PRAKATA
vi
13. Serta seluruh pihak yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu yang ikut andil dalam membantu penulis selama hidup ini, khususnya guru-guruku yang telah mengamalkan ilmunya kepada ku. Semua perhatian, dukungan, dan bantuan dari bapak, ibu, serta seluruh rekanrekan sangat berarti bagi penulis. Balasan yang terbaik pasti hanya akan datang dari Allah SWT. Semoga Allah SWT meridlai kita semua. Hasil yang baik dan memuaskan merupakan harapan dari penulis dalam menyusun tugas akhir ini. Namun, hal tersebut tidak akan terwujud tanpa saran dan kritik dari pembaca untuk lebih menyempurnakan tugas akhir ini. Akhirnya, penulis persilahkan pembaca untuk membaca dan mengkaji buku ini dengan harapan agar dapat mengambil manfaat yang sebesar-besarnya.
Bandung, Juni 2007 Penulis
Muhammad Islahuddin
Abstrak Sesuatu yang terjadi pada tubuh, merupakan efek dari sesuatu yang terjadi pada level mikro yaitu dalam level sel. Lebih jauh, sel dikoordinasikan oleh materi genetik dengan suatu mekanisme tertentu. Salah satu mekanisme genetik yang terjadi adalah mekanisme kontrol genetik oleh protein repressor yaitu suatu mekanisme pengaturan kadar substansi kimia di dalam sel. Hal ini kemudian dimodelkan dengan menggunakan teori analisis kompartemen dan kinetika biokimia yang mempertimbangkan waktu transkripsi dan translasi sebagai faktor delay (tunda) dalam model matematika yang berupa sistem persamaan diferensial dengan waktu tunda. Analisa kestabilan dan kesetimbangan dilakukan untuk model tanpa waktu tunda. Untuk model dengan waktu tunda, analisa dilakukan sampai pada persamaan karakteristik yang berupa persamaan polinom quasi. Selanjutnya, analisa dilakukan dengan simulasi numerik untuk mengetahui pengaruh setiap parameter terhadap sistem. Kata kunci : Kontrol genetik, kinetika biokimia, sistem persamaan diferensial dengan waktu tunda.
vii
Abstract Everything that happen in the body are the effect of things that happen in micro scale, which is the cell. Moreover, cells are coordinated by genetic materials using some certain mechanisms. One of the mechanisms that occurs is the genetic control mechanism using repressor protein, that is, a mechanism to regulate the chemical substances in a cell. The mathematical model then formed as a system of differential equation with time delays using standard theory from compartmental analysis and biochemical kinetics by considering the time of transcription and translation as a time delays. Stability and steady-state problems are analyzed for the model without time delays. For the model with time delays, the analysis is done until the characteristic equation, which is the quasi polynomial equation, is found. Furthermore, the analysis is done by numerical simulations to find the effect of each parameter to the system. Key words : Genetic control, biochemical kinetics, system of differential equation with time delays.
viii
Daftar Isi Prakata
iv
Abstrak
vii
Abstract
viii
Daftar Isi
ix
Daftar Tabel
xi
Daftar Gambar
xi
Daftar Notasi
xv
1 PENDAHULUAN
1
1.1
Latar Belakang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2
Rumusan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.3
Tujuan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.4
Manfaat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.5
Kerangka Teori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.6
Teknik Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.7
Sistematika Penulisan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2 TINJAUAN MIKROBIOLOGI DAN BIOKIMIA 2.1
Mikrobiologi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ix
5 5
DAFTAR ISI
2.2
x
2.1.1
Sel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.1.2
Gen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2.1.3
Asam Amino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.1.4
Protein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.1.5
Ekspresi Gen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1.6
Kontrol Genetik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Kinetika Reaksi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2.1
Reaksi Enzimatik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2.2
Regulasi dari Pembentukan Enzim . . . . . . . . . . . . . . . 20
3 MODEL DAN ANALISA MATEMATIKA
22
3.1
Model Matematika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.2
Analisa Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.2.1
Analisa Masalah Steady-State . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.2.2
Kestabilan Lokal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4 SIMULASI NUMERIK
29
4.1
Analisa Model tanpa Waktu Tunda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.2
Analisa Model Menggunakan Waktu Tunda . . . . . . . . . . . . . . 30
4.3
Analisa Parameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 4.3.1
Parameter ρ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.3.2
Parameter k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.3.3
Parameter τ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.3.4
Parameter a1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.3.5
Parameter a2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.3.6
Parameter a3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.3.7
Parameter a4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.3.8
Parameter b1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.3.9
Parameter b2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.3.10 Parameter c0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
DAFTAR ISI 5 KESIMPULAN DAN SARAN
xi 45
5.1
Kesimpulan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.2
Saran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
Daftar Pustaka
47
Lampiran A
48
Lampiran B
54
Daftar Tabel 2.1
Jenis protein beserta fungsi dan contohnya . . . . . . . . . . . . . . . 10
4.1
Ringkasan Analisa Parameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
xii
Daftar Gambar 2.1
Sel eukariot dan prokariot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2.2
DNA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2.3
mRNA yang merupakan salinan dari DNA . . . . . . . . . . . . . . .
8
2.4
Struktur asam amino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.5
Ekspresi gen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.6
Struktur gen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.7
Proses Translasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.1
Model dengan 2 kompartemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.1
Grafik model tanpa waktu tunda merepresentasikan konsentrasi mRNA dan repressor yang menuju kestabilan . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.2
Grafik a) fungsi awal (kiri) dan b) model dengan waktu tunda (kanan) 31
4.3
Simulasi parameter ρ pada model dengan waktu tunda . . . . . . . . 34
4.4
Simulasi parameter k pada model dengan waktu tunda . . . . . . . . 35
4.5
Simulasi parameter τ pada model dengan waktu tunda . . . . . . . . 36
4.6
Simulasi parameter a1 pada model dengan waktu tunda . . . . . . . . 37
4.7
Simulasi parameter a2 pada model dengan waktu tunda . . . . . . . . 38
4.8
Simulasi parameter a3 pada model dengan waktu tunda . . . . . . . . 39
4.9
Simulasi parameter a4 pada model dengan waktu tunda . . . . . . . . 40
4.10 Simulasi parameter b1 pada model dengan waktu tunda . . . . . . . . 41 4.11 Simulasi parameter b2 pada model dengan waktu tunda . . . . . . . . 42 4.12 Simulasi parameter c0 pada model dengan waktu tunda . . . . . . . . 43 xiii
DAFTAR GAMBAR
xiv
5.1
Simulasi parameter ρ pada model tanpa waktu tunda . . . . . . . . . 54
5.2
Simulasi parameter k pada model tanpa waktu tunda . . . . . . . . . 55
5.3
Simulasi parameter τ pada model tanpa waktu tunda . . . . . . . . . 56
5.4
Simulasi parameter a1 pada model tanpa waktu tunda . . . . . . . . 57
5.5
Simulasi parameter a2 pada model tanpa waktu tunda . . . . . . . . 58
5.6
Simulasi parameter a3 pada model tanpa waktu tunda . . . . . . . . 59
5.7
Simulasi parameter a4 pada model tanpa waktu tunda . . . . . . . . 60
5.8
Simulasi parameter b1 pada model tanpa waktu tunda . . . . . . . . . 61
5.9
Simulasi parameter b2 pada model tanpa waktu tunda . . . . . . . . . 62
5.10 Simulasi parameter c0 pada model tanpa waktu tunda . . . . . . . . . 63
Daftar Notasi NOTASI DN A R R ∗ DN A k±i
ARTI
SATUAN
Molekul DNA
mol
Molekul protein repressor
mol
Senyawa kompleks R ∗ DN A
mol
Konstanta laju reaksi
Satuan tergantung pada orde reaktan
NTP
Molekul nukleotida trifosfat
mol
Molekul messenger RNA
mol
AA
Molekul asam amino
mol
Ki
Konstanta kesetimbangan reaksi
Satuan tergantung pada
mRN A
orde produk dan reaktan DN AT u1
Total molekul DNA
mol
Konsentrasi molar mRNA di komparte-
Molar (M =
men 1 v1
Konsentrasi molar repressor di kom-
Molar
partemen 1 u2
Konsentrasi molar mRNA di komparte-
Molar
men 2 v2
Konsentrasi molar repressor di kompartemen 2
xv
Molar
mol liter )
DAFTAR NOTASI NOTASI u˙ 1
xvi
ARTI Laju
SATUAN perubahan
konsentrasi
molar
Molar/detik
Laju perubahan konsentrasi molar re-
Molar/detik
mRNA di kompartemen 1 v˙ 1
pressor di kompartemen 1 u˙ 2
Laju
perubahan
konsentrasi
molar
Molar/detik
Laju perubahan konsentrasi molar re-
Molar/detik
mRNA di kompartemen 2 v˙ 2
pressor di kompartemen 2 (v1 )
Laju pembentukan mRNA
Molar/detik
f (v1 )
Fraksi dari DNA yang dapat ditran-
-
skripsi S(u2 )
Laju pembentukan repressor
Molar/detik
ρ
Jumlah molekul repressor
-
k
Konstanta yang terkait pembentukan u1
τ
Konstanta yang terkait pembentukan u1
a1
Konstanta
permeabilitas
membran
1 detik
membran
1 detik
membran
1 detik
membran
1 detik
yang terkait dengan u1 a2
Konstanta
permeabilitas
yang terkait dengan v1 a3
Konstanta
permeabilitas
yang terkait dengan u2 a4
Konstanta
permeabilitas
yang terkait dengan v2 b1
Konstanta laju penghancuran mRNA
1 detik
b2
Konstanta laju penghancuran repressor
1 detik
c0
Konstanta laju pembentukan v2
1 detik
r1
Durasi waktu transkripsi
detik
r2
Durasi waktu translasi
detik
