ProsidingPertemuanIlmiah SainsMateri 1996
MODEL ELASTOPLASnC MATERIAL METALIK1 Agus Hadi SantosaWargadipura2
ABSTRAK MODEL ELASTOPLASTIC MATERIAL METALIK. Sifat elastoplastik dari materiallogam merupakan faktor yang penting dalam rancang bangun suatu komponen struktur yang dibuat dari material metalik. Hal ini mengingat bahwa akibat suatu tingkat pembebanan tertentu, suatu material metalik dapat mengalami delonnasi elastik dan plastik (elastoplastik). Tulisan ini membahas suatu model elastoplastik yang dapat digunakan untuk melakukan prediksi kekuatan batas dari suatu komponen metalik. Kiriteria batas leleh material didasarkan pada hukum Van Mises yang mendekati sifat plastisitas dari material metalik. Metoda elemen hingga digunakan untuk melakukan diskritisasi geometri dari material yang dianalisa. Elemen yang digunakan dapat merupakan elemen-elemen plane stress, plane strain dan aksial-simetris. Fonnulasi model defonnasi elastoplastik yang diperoleh berbentuk persamaan non-linear yang diselesaikan dengan teknik iterasi Newton-Rhapson yang memerlukan evaluasi matriks kekakuan tangensial. Prosedur inkrementasi pembebanan digunakan untuk memprediksi beban batas yang dapat bekelja. Pada akhir tulisan dibahas aplikasi model yang dikembangkan untuk memprediksi penyebaran defonnasi plastis dan kekuatan batas dari komponen metalik. ABSTRACT THE ELASTOPLASTIC MODEL OF METALLIC MATERIALS. Elastoplastic behaviour of metallic material is an important factor to be considered in designing structural components made of metallic material. This is due to the fact that under a certain loading conditions, the material could undergo elastic and plastic (elastoplastic) defonnations. This paper discusseselastoplastic models that can be used to predict the IIltimate load for metallic components. Yon Mises yield criteria which closely approximate metal plasticity behaviour is employed herein. The finite element method is used to discretized the geometry of material analyzed. The element type includes plane stress,plane strain and axisymmetric elements. The formulation of elastoplastic deformation model obtained is in the form of nonlinear equation and it is solved using Newton-Rhapson iteration technique which necessitatesthe tangential stiffiless matrices to be evaluated. The loading incrementation procedures is used to progressthe ultimate loading condition. In the final part of the paper, the application of elastoplastic model developed herein is discussedto predict the spreading of plastic deformations and ultimate strength of metallic material components.
PENDAHULUAN Perilaku dari suatu struktur solid akibat suatu beban luar terutama bergantung pada sifat-sifat mekanis dari material yang meyusun struktur tersebut. Sifat-sifat sesungguhnya dari material sangatlah kompleksdan berbagaimodel dapatdigunakan untuk mensimuiasikan sifat yang kompleks tersebut. Salah satu pendekatanyang banyak digunakan dalam perhitungan mekanika rekayasaadalah pendekatancontinuum. Pada model continuum,variabel keadaandinyatakan oleh fungsi yang kontinyu dari koordinat titik pada material. Sifat-sifat mekanis material dengan pendekatan continuum ini dapat dinyatakan dengan menggunakah model material yang dikembangkan berdasarkan eksperimenyang sederhana,seperti: uji tank, uji tekan, uji lentur roomeDataupunuji torsi. Berbagai model material dapat dikembangkan untuk memodelkan satu atau beberapa sifat material. Pemilihan model yang tepat bergantungpada jenis material yang ditinjau, masalah yang akan diselesaikan, tingkat ketelitian yang diperlukan dan juga fasilitas komputasi yang tersedia. Sebagai contoh,
perancangan suatu struktur 'hi-tech' memerlukan evaluasi dan prediksi kekuatan batasnya apabila dihadapkan pada suatu kondisi operasional yang kritis dan untuk melakukanevaluasiini dapat digunakan suatu model material untuk melakukan prediksi perilaku st.rukturpada kondisi dimanamaterial mengalamibaik deforrnasiyang elastis maupun deforrnasi plastis. Contoh lainnya yang memerlukan pengetahuansifat material pada
daerah plastis adalah perancanganproses pembentukan komponen struktur automotif denganprosesdeep-drawing[1]. Model material biasanya dinyatakan
dengan hubungantegangandan regangan selarna pembebanan.Secaraumum, diagram yang menggambarkan hubungan teganganreganganmempunyai bentuk yang non-linear sehinggacukup kompleks untuk diselesaikan dengan suatukomputasisecarapraktis. Untuk mengatasi hal ini, penyederhanaandengan melakukanlinearisasidari hubungantegangan dengan regangan dapat dilakukan dan menghasilkan suatu model material yang linear. Dengan mengabaikan efek laju regangandan temperaturpada daerah elastis
I PaperdipresentasikanpadaPertemuanllmiahSainsMateri '96, PusatPenelitiangainsMateri BATAN, Serpong, 22-23 Oktober1996 2 Peneliti di BadanPengkajiandan PenerapanTeknologi,Jl. M.H. Thamrin No.8 Jakarta 209
dan plastis, maka didapat berbagai model material, yaitu material linearly elastic, material rigid-perfectly plastic, material rigidplastic hardening, material linearly elasticperfectly plastic dan material linearly elasticplastic hardening[2]. Disamping berbagai kemungkinan jells model material yang dapat digunakan, analisa elasto-plastik material dihadapkan kepada berbagai jells kriteria batas plastis (yield) dari material, yaitu kriteria yang berdasarkanhukum dari Tresca, Yon Mises, Mohr-Coulomb dan Drucker-Prager [2,3]. Kriteria yield yang berdasarkanTresca dan Yon Mises sangat mendekati sifat plastisitas dari material metalik/logam,sedangkankriteria yield Mohr-Coulombdan Drucker-Pragerdapat diterapkan untuk model plastisitas beton, batuan dan tanah [2,3,4]. Dalam tulisan ill kriteria dari Von-Mises digunakan untuk memodelkanplastisitas materila metal/logam. Untuk dapat melakukan analisa suatu bentuk struktur yang kompleks, maka model material yang dipilih perin dipetakan pada model deformasidan kinematika dari elemenstruktur dan dalam hat ini digunakan elemen struktur plane stress, plane strain dan aksi-simetris. Formulasi elemen-elemen struktur tersebut dilakukan dengan menggunakan metoda elemenhingga yang menghasilkanpersamaan simultan yang non-linear. Teknik solusi iteratif Newton-Rhapson [5,6,7] digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan non-linear tersebut dan untuk dapat memprediksi konfigurasi beban batas yang dapat bekerja pada struktur digunakan prosedurinkrementasi pembebanan. Formulasi numerik yang diperoleh diimplementasikan pada suatu program komputer, sehingga memungkinkan berbagaibentukkomponenstrukturdianalisa.
TEORI ModelDeformasiPlastis Pada dasamya teori matematis dari plastisitas meropakan uraian teoritis tentang hubunganantara tegangandan regangandari material yang memperlihatkan suatu respons elasto-plastik.Dalam tulisan ini pembahasan akan difokuskan pada model material linearly elastic-perfectly plastic. Dengan anggapan bahwa teganganinitial sama dengan Dol dan pembebananmasihberadapada daerahelastik, maka hukum Hooke [2,3] untuk material dapat dituliskan sebagaiberikut:
210
0" = E I
, untuk
I 0"1 < 0"0
(1)
dimana E dan 0"0 masing-masing adalah modulus Young dan tegangan leleh (yield stress) dari material, sedangkan If adalah regangan elastik. Hubungan ini dinyatakan dengangaris lurus OA pada GambarI. sebagai berikut:
Gambar HubunganTegangan-Regangan untuk modelmaterial linearly elastic-perfectlyplastic Apabila pada material dilakukan regangan lebih lanjut dan tegangannya mencapai tegangan leleh (yield stress), yaitu I 0"I =0-0 daD tegangan dijaga pada tingkat ini, maka material dapat mengalami deformasi plastis tanpa barns pada tegangan konstan sebesar 0"0 daD selama deformasi ini inkrementasi tegangan dO"hams sama dengan Dol, sehingga tidak diperoleh lagi hubungan satu-satu antara regangan dengan tegangan. Dengan demikian inkrementasi regangan plastik dEP harns sarna dengan arab dari tegangan, yang dapat dituliskan sebagai berikut [2,3]: CKit!?; 0, untuk I aI =O"odando=O
(2)
Deformasi plastik pada tegangan yang konstan 0"0 pada Gambar 1. dinyatakan dengan garis AB. Apabila beban ditiadakan setelah terjadi deformasi plastis AB, maka material akan mengalami deformasi elastik murni yang dinyatakan oleh garis BD yang sejajar dengan garis AB dan material akan mengalami
f=
deformasi plastis yang permanensebesargP. Dengan demikian pada waktu unloading ini diperoleh hubungan satu-satu hanya akan diperoleh antara inkrementasi tegangan dan regangan, yang dapat dituliskan sebagai berikut: dE! = do-IE
dan
dtf = 0
untuk I uI ~ UodaD adu
(3)
Jadi pembebanan sembarang, dimana daerah plastik telah tercapai, maka regangan total pada material merupakan jumlah regangan elastik dengan regangan plastik dapat ditulis sebagai berikut : &= b-'+ti'= atE + ti'
f < 0 , materialpadadaerahelastik f= 0 , materialpadadaerahplastik
(7)
Kondisi dimana fungsi leleh f > 0 secarafisik tidak dimungkinkan. Ketidaksamaan pada persamaan(7) tetapberlaku untuk kondisi leleh material pada keadaantegangan multi-aksial, hanya saja fungsi leleh f mempunyaibentuk yang lebih kompleks.Apabila diambil material isotropik, dimana sifat-sifat material adalah sama untuk setiap arab, maka konstanta material tidak bergantungkepadatransformasi koordinat. Sebagai akibatnya, fungsi leleh dapat dinyatakan secara sederhana sebagai fungsi daTi invariant dari tensor tegangan ataupunfungsi dari tegangan-tegangan utama, sebagaiberikut [2,3,4]:
(4) f= f(J} ,J2, J3) a/au
dimana If adalah reganganelastik yang akan hilang apabilabeban ditiadakan dan If adalah reganganplastik yang permanenapabilabeban ditiadakan. Kriteria Leleh (Yield Criterion) Pada model material elasto-plastik, berlakunyahukum Hooke dibatasi oleh adanya defonnasi plastik. Hukum Hooke tidak dapat lagi digunakan dan hams digantikan dengan persamaankonstitutif material plastis apabila material mulai memasukidaerah leleh (yield). Kriteria yang menentukan tingkat tegangan dimanadeformasiplastik mulai berlaku dikenal dengan kriteria leleh (yield criterion). Secara umumkriteria leleh untuk suatumaterial dapat dituliskan sebagaiberikut [2,3,4]: f(uij)=k(K,
(5)
dimana f adalah suatu fungsi dan k adalah suatu parameter material yang ~itentukan secaraeksperimen. Suku k dapat merupakan fungsi dari suatu parameterhardening K dari material. Sebagai contoh untuk kondisi teganganuniaxial, fungsi f dapat didefnisikan dengan mudah dengan menggunakanfungsi leleh (yieldfunction)fsebagai berikut: 0-2 -0-02
(6)
dimana a dan ao masing-masing adalah tegangan saat ini dan tegangan leleh dari material. Kondisi leleh uniaxial tersebutdapat dinyatakandenganketidaksamaan berikut:
f= f(O"}} ,0"22,0"33)
(8)
Pengamatan eksperimental yang dilakukan oleh Bridgeman[8] memperlihatkan bahwa deformasiplastik dari material metalik tidak bergantungkepada tekanan hidrostatik, sehinggafungsi lelehpadapersamaan(5) dapat dituliskan lebih sedehanasebagai: f(J2 .J3) = k (IC)
(9)
dirnana J] dan J3 masing-masinginvariant kedua dan ketiga dari tegangan-tegangan deviatorik, 0" if = 0" ij -(1/3)Oy 0" kk
(10)
Berbagai kriteria leleh (yield) untuk material metaliktelah diajukan, tetapibanyakteori yang diajukan tersebutberlawanan dengan prediksi eksperimental.Hanya dua kriteria leleh yang paling mendekatidengan sifat plastisitasdari metal, yaitu kriteria leleh menurut Trescadan Yon Mises. Dalam tulisan ini kriteria leleh (yield) Yon Mises digunakan untuk memodelkanplastisitas dari material metalik. Hal ini mengingatuntuk kebanyakanmaterial metalik, kriteria leleh Yon Mises lebih cocok dengan data ekperimental dibandingkan dengankriteria Tresca[8,9). Kriteria leleh (yield) Yon Mises Yon Mises mengajukan suatu model yang menyatakanbahwa leleh (yielding) akan terjadi apabila deviatorik kedua dari tegangan mencapainilai kritikalnya [2,3], yaitu:
211
(11)
(J2 )=k(K)
dirnana J2 = Y2 0" ';j 0" ij = 1/6 [(0"1 -0"2Y + (0"2- 0"3Y + (0"3- O"IY]
(12.a)
atau
J2 = Y2 [U'x2 + U'y2 + U'z2] + 'txy2 + 'tyz2+ 'txz2
(12.b)
Kriteriayield Von-Mises pada persamaan(11) dapat Iebih Ianjut dituliskan sebagai berikut [2,3]: 0" = "" 3(J2 )\4 = ",,3 k
(I3.a)
atau:
u = .oJ(3/2) {U 'ij U ij } 'h
(13.b)
dan u dinamakan tegangan efektif atau teganganekuivalen. Interpretasi dari kondisi leleh Yon Mises diberikan oleh Nadai (1937) dengan memperkenalkan tegangan geser oktahedral "oct, yang merupakan tegangan geser pada bidang oktahedral yang pusat bidang tersebutberimpit dengan sumbu-sumbu teganganutama dan nilai dari "octmerupakan fungsidari J] sebagaiberikut [2,3]: 'rOC!= ";(2 J2 /3)
(14)
Kondisi leleh Yon Mises terjadi apabila 'roct mencapainilai kritis atauapabila energi elastik mencapai suatu nilai kritis. Interpretasi geometrisdari kriteria leleh Yon Mises pada bidang2-dimensidapatdilihat pada Gambar2.
0"]+0"2+0"3=0) merupakan suatu lingkaran dengan radius "'(2) k. Interpretasi fisik daTi konstanta k bergantung dari keadaan tegangan. Misalnya untuk masalah yang sederhana, tegangan pada tarik uni-aksial (0"2=0"3=0), nilai "'(3) k merupakan tegangan leleh uniaksial. Untuk dapat melakukan analisa elastoplastik komponen struktur dengan geometri dan pembebanan yang biasa dijumpai dalam rancang bangun komponen rekayasa, maka formulasi deformasi elastoplastik diatas dimasukan kedalam rumusan untuk analisa kekuatan struktur, yang dalam tulisan ini digunakan metoda elemen hingga. Analisa elastoplastik dilakukan dengan prosedur atau tara inkremental. Elemen struktur yang dibahas dalam tulisan ini adalah elemen struktur plane-stress, plane-strain dan aksisimetris.
CARA KERJA Dalam tulisan ini metoda elemen hingga digunakanuntuk melakukandiskritisasi domain ruang .0.. Formulasi elemen hingga dilakukan untuk tegangan dalam elemen kuadratik segiempatdelapantitik pactakondisi plane-stress, plane-strain dan aksi-simetrik [ID,II]. Sifat non-linear material diintegrasikan melalui matriks konstitutir (matriks elastisitas dan elastoplastik). Persamaandeformasielastoplastikdiselesaikan dengan metoda inkrementasi pembebanan. Persamaanyang diperoleh berbentuk sistem persamaanaljabar non-linear. Persamaannonlinear ini diselesaikandengan menggunakan metodaiterasiNewton-Rhapson [6,7].
AnalisaElastoplastikInkremental Tinjau fungsi leleh yang dituliskan pada persamaan (5), dengan memasukan pengertian matriks ataupun vektor, maka persamaan (5) tersebut dapat dituliskan kembalisebagai[11]: f(a)
Gambar 2. Bidang 7[:kriteria leleh Yon Mises
Sepertidapat dilihat pada Gambar 2., permukaan leleh (yield surface) Yon Mises mempakan suatu silinder lingkaran yang proyeksinya pada bidang 7t (bidang dengan
212
= k (K)
(15)
dimana 0"adalahvektor tegangandan K adalah parameterhardening yang mengatur ekspansi dari permukaanleleh. Persamaan(15), yang menyatakan fungsi leleh, dapat dituliskan kembalisebagai: F(O",K) = fro) -k(K) = 0
(16)
Dengan melakukan diferensiasi persamaan (16), makadiperoleh:
dF = (OF/ou) du + (OF/oK) dK = 0
aT dO" -A
(86'*T 0"-8U*T b) dO -8d*T f = 0
(17)
atau
(22)
()
dA = 0
(18.a)
dimana: aT = OF/ou= [(OF/oux ),(oF/ouy ),(OF/ouJ, (OF/atyz),(OF/atzx), (OF/atX)')]
(I8.b)
Dengan melakukandiskritisasi elemenhingga, vektor perpindahan virtual dan regangan virtual dalam setiap elemen, masing-masing dapatdituliskan sebagai[10,11]: 8u*=N 8d*
8i::*=B8d*
(23.a,b)
dan A = -(1/ dA) (oF/oK) dK
(IS.c)
Vektor a adalah vektor aliran. Secaraumum, persamaan inkremental antara tegangan denganreganganuntuk deformasielastoplastik dapatdituliskan sebagai[11 ]: de= [D]-1 dO" + dA (OF/au)
(19)
dimana n adalah matriks konstantaelastisitas. Perkalianawal untuk keduasisi dari persamaan (19) dengan dOT= aTn dan eleminasi aTdu dengan menggunakanpersamaan(18.a), maka diperolehmultiplier plastik dA sebagai: dA.= {1/(A+ aTDa)} aTdDd&
dimana N daD B masing-masing adalah matriks fungsi bentuk daD matriks regangan elastik. Kemudian dengan melakukan proses perakitanelemen,diperoleh[10,11]: 8d*T (BTa -NT b) do. -8d*T f = 0 (1
dimana integrasi volume solid adalah jurnlah daTi kontribusi masing-masing individual elemen. Mengingat persamaan (24) diatas berlaku untuk setiap nilai perpindahanvirtual 8d*, rnakadiperoleh:
(20)
Subsitusipersamaan(20) kedalam persamaan (19), maka akan diperolehhubungantegangan reganganinkrementalelastoplastik,sebagai:
'II = I BTa dO. -(f+I Q
do-=D., dE
(21.a)
dimana; Dep=D -{(dodoT) I (A+dTa)}
dD= Da
(21.b)
(21.c)
Diskritisasi Elemen Hingga Bentuk dasar diskritisasi elemen hingga yang diperlukan untuk menyelesaikan persamaankekuatanstruktur dapatdirumuskan dengan menggunakan prinsip kerja semu (principle of virtual work). Tinjau suatusolid yang berada dalam keseimbangan, dengan tegangandalam solid 0", bebanterbagirata per unit volume solid b dan gaya luar yang bekerja pada solid f Untuk mengalami suatu perpindahan virtual sembarang 8d* dengan regangan yang kompatibel 81i* dan perpindahan 8u*, maka prinsip kerja semu (virtual) memenuhipersamaansebagaiberikut [10,11]:
NT b dO.) * 0
(26)
Q
dimana 'II adalahvektor gaya residual. Untuk kasus analisa dengan model material elastoplastik,matriks kekakuanmaterial selalu berubah secara kontinyu pada setiap tahap komputasi dan pada suatu waktu hubungan tegangan-regangan inkrementaldiberikan pada persamaan(21.a,b dan c). Dengan demikian matriks kekakuan tangensial KT pada setiap tahap dapat dievaluasi dengan menggunakan bentukinkrementaldari persamaan(26) diatas. Jadi pada suatu inkremen pembebanandapat
diperoleh: A'V = I BTAa dQ -(Af + I NT Ab dQ) Q
Q
Subsitusi nilai AD" dari persamaan (21) pada persamaan (26) diatas diperoleh: A'll = KT d -(Af + J NT Ab dQ) (27) n
dimana matriks kekakuan elastoplastikKT adalah KT = J BTDepB dO n
tangensial (28)
213
Formulasi Elemen Struktur Anggapandasardan hubunganantara tegangan-regangan untuk elemen-elemen struktur plane-stress, plane-strain dan aksisimetrik akan ditinjau dalam tulisan ill. Formulasi untuk kondisi plastik telah dibahas pada bagian sebelumnyadan pada bagian ill formulasi ditujukan untuk kondisi elastik Secara umum hubungan tegangan dan regangandapatdituliskan sebagai[11]:
u=De
(29)
dimana u, 6"dan D masing-masingadalah vektor tegangan dan regangan serta matriks konstitutif (elastisitas)material. Untuk kondisi elastik dan berbagai formulasi teganganregangan elemen struktur, maka nilai dari vektor daDmatriks tersebutmempunyaibentuk sebagaiberikut [ 11]: ElemenPlane-stress: 0-=
[CTx .cry
.Txy
]T
1 v
D=E/(I-v
0
Untuk elemenplane-stress0". = 0 Elemen Plane-strain 0-= [ax
.cry
.Txy
]T
D = E I (l+v) (1-2v
; 10= [lOx. lOy .rxy]T
1 v 0
v
0
1
J
0
(1~V)/2
Untuk elemen plane-strain &: = 0 dan 0": = v( O"x + CTy).
ElemenAksi-simetrik: u= [0; , uo. uz, 'l"rz)T; E= [Er ,EO, Ez. ,"ZIT
D = E / (l+v) (1-2v
(I-v) v v (I-v) 0
0
0 0
(1-2v)/2
Vektor aliran plastis pada persamaan(IS.b) untuk elemen plane-stress dan plane-strain dapatdituliskan sebagai:
214
aT =[(OF/oUx ),(OF/ocry),(oF/mxy), (OF/ou.)] dan menggantikansubskripx, y dan z masingmasingdenganr, z dan 8, makaakan diperoleh vektoraliran aT untuk elemenaksi-simetrik. Prosedur Komputasi Elastoplastik Prosedur komputasi untuk analisa tegangandengan model material elastoplastik dapatdirumuskansebagaiberikut: StepI. SetVariabelPerhitungan Step2. Baca datamasukan Step3. Evaluasibebantitik ekivalen Step4. Setnilai variabelakumulatif= 0 Step5. Loop inkrementasibeban Step6. Loop IterasiNon-linear 6.a Hitung kekakuanelemenuntuk sifat materialelastik& elastoplastik 6.b Solusipersamaanaljabar simultan 6.c Hitung vektorgayaresidu'P 6.d Evaluasitingkat teganganefektif 6.e Hitung vektor aliran plastis Step7. PeriksaKonvergensiGayaResidu 7.a Apabila solusibelum konvergen ulangi langkah-langkahStep6. 7.b Apabila solusikonvergenlakukan langkahpada step8 Step8. Outputbasil untuk inkremen pembebanan yang dihitung Step9. Ulangi Step5 danapabila inkrementasibebanselesai,maka prosesdihentikan. BASIL DAN PEMBAHASAN Analisa ElastoplasikPipa Silinder Masalah yang ditinjau disini adalah analisaelastoplastikstruktur pipa silinder tebal yang dibebani oleh tekanan yang secara bertahap meningkat pada dinding sebelah dalam dari pipa tebal tersebut. Diameter luar pipa adalah 200 mm daD diameterdalam pipa adalah 100mm (tebal dinding pipa = 100mm). Sifat-sifat material adalah sebagai berikut moduluselastisitasE=2.1x 104 dN/mm2,nilai Poisson's ratio v = 0,3 , tegangan leleh uniaksial cry = 24 dN/mm2, parameter hardening regangan = O. Dalam kasus ini, kriteria leleh dari Yon Mises digunakanuntuk perhitungan pada kondisi plastis. Mengingat geometridan pembebanan yang simetris, hanya satu kuadran dari domain komputasi yang dianalisa. Diskritisasi domain komputasi dilakukan dengan menggunakan12(dua-belas)
elernensegiernpatkuadratik dengan8(delapan) titik per elernen.Bebantekananpada ruangan pipa rnerupakanbeban yang rneningkatsecara linier Geornetridan diskritisasi elernenhingga dapat dilihat pada Garnbar3. Hasil kornputasi dengan rnenggunakan prosedur elastoplastik yang telah dibahas pada bagian sebelurnnya dapat dilihat pada Garnbar 4. Seperti dapat dilihat pada Garnbar 4. tersebut, dengan rneningkatnya beban tekanan pada pipa, perturnbuhan daerah plastik bergerak secara radial dari perrnukaan bagian dalarn pipa silinder ke arab radial ketebalanpipa silinder tersebut. Analisa Elastoplasik Pelat Berlubang. Masalah yang dibahas dalam bagian ini adalah pembebanantarik pada tepi pelat yang berlubang. Sifat-sifat material adalah sebagai berikut modulus elastisitasE=2.1x 106 kg/cm2,nilai Poisson'sratio v = 0,3 , tegangan leleh material O"y= 2400 kg/cm2, parameter hardening regangan = O. Mengingat sifat simetri dari pembebanan dan geometri permasalahan,analisa dilakukan hanya untuk satu kuadran dari pelat berlubang tersebut. Geometri pelat clan pembebananyang bekerja pada pelat dapat dilihat pada Garnbar5. Hasil komputasi elemen hingga memperlihatkan adanya konsentrasi tegangan pada daerah lubang pelat. Apabila inkremen pembebanan dilanjutkan,maka padapembebanantarik yang meningkat terlihat pertumbuhandan pola alir dari sifat plastis material disekitar lubang. Pertumbuhandaerah plastik berkembangdari daerah dengan konsentrasipembebananyang tinggi dan arab aliran plastik menjalar pada arab transversaldari pelat yang pada akhimya mencapaitepi transversaldari pelat. Distribusi tegangan ekivalen pada pelat sebagaifungsi dari inkrementasi pembebananyang bekerja secaralinear dapatdilihat pada Gambar6. KESIMPULAN Dalam tulisan ini telah dibahasmodel elastoplastik yang dapat digunakan untuk material metalik/logam. Model elastoplastik yang digunakan didasarkan pada teori plastisitasdari Van Mises yang mendekatisifat plastisitas metal/logam. Formulasi sifat material, yang merupakan kombinasi antara sifat elastik dengan plastik, diintegrasikan kedalam hubungan tegangan-regangandari material pada kondisi uniaksial. Konstanta hubungantegangan-regangan ini .1ebihlanjut
dirurnuskandalam bentukmatriks elastoplastik yang dipetakan pada elemen-elemenhingga untuk mendapatkankondisi tegangan-regangan multi-aksial. Rumusan elemen hingga yang diperolehmembentuksistempersamaanaljabar simultan non-linear. Sistem persamaan nonlinear ini diselesaikan dengan menggunakan metoda solusi non-linear Newton-Rhapson.Metoda inkrementasibeban digunakan untuk memprediksi pertumbuhan arabaliran zona plastik dari material. Penerapan dari model material elastoplastik ini dilakukan pada analisa elastoplastikpipa silinder tebal dan pelat yang berlubang dengan beban tekanan yang meningkat intensitasnya secara linear. Dari kedua contoh penerapan tersebut dapat diprediksi bahwa zona plastik akan berkembang pada daerah dengan tingkat konsentrasi tegangan yang tinggi. Arah penyebarandeformasi pastik (aliran plastik) dari material sangat dipengaruhi oleh bentuk geometri komponen yang dianalisa dan arab pembebananyang bekerja pada komponen. Selain penerapannya untuk memprediksi penyebarandeformasiplastis pada komponen yang dianalisa, basil komputasi elastoplastik dengan menggunakanmetoda clemen hingga ini dapatjuga digunakanuntuk memprediksi tingkat pembebanan maksimum (kekuatan barns)dari komponen.Pada dasamya apabila aliran plastis dari material telah terjadi secara dominan, maka komponen telah mencapai kekuatanbatasnya.Dalam sturn numerik ini diamati bahwa kesulitan konvergensi dalam proseduriterasi dijumpai apabila zona plastis telah mendominasi domain komputasi (komponen)dan hal ini dapatdiartikan bahwa material telah mencapai kekuatan batasnya, sehingga inkremen beban pada kondisi ini perlu diperkecil untuk mendapatkan solusi yang akuratdisekitardaerahruntuh. Sebagaipenutup, perlu dicatat disini bahwa biasanyadeformasipada daerahplastis merupakan deformasi yang cukup besar, sehingga perilaku non-liinear tidak hanya berasal dari sifat material saja, tetapi akan dipengaruhijuga oleh perilaku nonlinear dari geometrikal. Dari prosedur solusi terlihat bahwa analisa elastoplastik jauh lebih sulit dibandingkan dengan solusi masalah elastik yang linear.
215
DAFTARPUSTAKA 1. N.M. WANG dan N. SOMARATNA, 'Numerical Simulation of Industrial Sheet Forming Processes',Proc. of the third Int. Conf. on Numerical Methods in Industrial Forming Processes, Colorado State University, Fort Collins, Colorado, USA, June 1989,75- 84 2. S. KALISZKY, 'Plasticity: Theory and Engineering Application', Elsevier Publisher,Amsterdam,1989 3. R.D COOK dan W.C. YOUNG, 'Advanced Mechanics of Materials', CollierMacmillan Publisher,New York, 1989. 4. R. HILL, 'The Mathematical Theory of Plasticity', Oxford UniversityPress,1950. 5. L. LAPIDUS dan G.F. PINDER, 'Numerical Solution ofPartial Differential Equation in Science and Engineering', JohnWiley and Sons,New York, 1982. 6. W.H. PRESSet. al., 'Numerical Recipes, The Art of Scientific Computing', Cambridge University Press, 1988, 121125.
Garnbar 3. Geometri, Mesh Elemen Hingga dan Beban Tekanan Pipa Silinder Tebal.
Gambar 4a. DistribusiTeganganekivalenpadaInkremenNo.1
216
7. A. RALSTON,'Afirstcourse in Numerical Analysis', First Edition, McGraw Hill BookCompany,1965,332-334. 8. P.W. BRIGDEMAN, 'Studies in Large Plastic flow and Fracture', McGraw-Hill, New York, 1953. 9. P.G. HODGE dan G.N. WHITE, 'A quantitative comparison of flow and deformationtheories of plasticity', Journal of Applied Mechanics,Vol. 17, 1950,180184. 10. E. ffiNTON dan D.R.J. OWEN, 'An Introduction to Finite Element Computation', Pineridge Press Ltd., Swansea,United Kingdom, 1979. 11. O.C. ZIENKIEWICZ dan R.L. TAYLOR, 'The Finite Element Methods', Fourth Eds., Vol.2, McGraw-Hill Book Company, London, 1991,228-250.
Gambar4b. Distribusi Tegangan ekivalen pactaInkremen No.8
Gambar 4b. Distribusi Tegangan ekivalen pada Inkremen No.lO
Gambar 5.
Geometri,MeshElemenHinggadanPembebanan Pelat denganLubang
Gambar 6a. OistribusiTeganganekivalenpadaInkremenbebanNo.1
Gambar 6b. DistribusiTeganganekivalenpadaInkremenbebanNo.16
Gambar§.c. DistribusiTeganganekivalenpm InkremenbebanNo.21
Gambar 6d. Distribusi Tegangan ekivalen pada Inkremen beban No.23
Gambar6e. DistribusiTeganganekivalenpadaInkremenbebanNo.24
217
