METODE BOX JENKINS
• Model Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA) adl teknik untuk mencari pola yg paling cocok dari sekelompok data • Model ARIMA dapat digunakan utk semua tipe pola data. • Dapat bekerja dgn baik pada variabel dependen
Notasi Box Jenkins • ARIMA (p,d,q) – p = derajat Autoregresive (AR) – d = derajat differencing (pembedaan) – q = derajat Moving Average
Model Autoregressive ( AR) • Model yg menggambarkan bahwa variabel dependen dipengaruhi oleh variabel dependen itu sendiri pada periode sebelumnya. • Yt = ø0 + ø1Yt-1 +....+ øpYt-p + Ɛt – Yt= nilai variabel dependen pada waktu t = variabel independen yg mrp lag dari variabel dependen periode sebelumnya – ø = intersep – ø1,ø2,ø3 =koefisien autoregresive – Ɛt = residual pada waktu t
• Orde dari model AR ditentukan oleh jumlah periode variabel independen yg masuk dalam model. Contoh : • Yt = ø0 + ø1Yt-1 → model AR orde 1 dgn notasi ARIMA ( 1,0,0) • Yt = ø0 + ø1Yt-1 + ø2Yt-2 → model AR orde 2 dgn notasi ARIMA ( 2,0,0) • Model diatas disebut model autoregressive krn mirip model regresi, tapi yg menjadi variabel independennya adl nilai sebelumnya
Model Moving Average (MA) • Yt = w0 + Ɛt - w1Ɛt-1 - w2Ɛt-2 - ... - wqƐt-q s s s s
Yt = variabel dependen waktu t Ɛt-1 , Ɛt-2 ,...., Ɛt-q = nilai residual sebelumnya (lag) w1,w2, ...., wq = koefisien model MA yg menunjukkan bobot Ɛt = residual
• Orde model MA ( yg di beri notasi q) ditentukan oleh jumlah periode variabel independen yg masuk dalam model • Yt = w0 + Ɛt - w1Ɛt-1 → model MA orde 1 dgn notasi arima (0,0,1) • Yt = w0 + Ɛt - w1Ɛt-1 - w2Ɛt-2 → model MA orde 2 dengan notasi ARIMA (0,0,2)
Model ARIMA
• • • •
• Yt = ø0 + ø1Yt-1 + ø2Yt-2 +...+øpYt-p - w1Ɛt-1 - w2Ɛt-2 -....wqƐt-q + Ɛt Orde model ARIMA ditentukan oleh jumlah periode variabel independen baik dr nilai sebelumnya dari variabel dependen maupun nilai residualnya Yt = ø0 + ø1Yt-1 - w1Ɛt-1 + Ɛt → ARIMA (1,0,1) Yt = ø0 + ø1Yt-1 + ø2Yt-2 - w1Ɛt-1 + Ɛt → ARIMA (2,0,1) Yt = ø0 + ø1Yt-1 - w1Ɛt-1 - w2Ɛt-2+ Ɛt → ARIMA (1,0,2)
Dasar-dasar analisis Box Jenkins 1. Koefisien Autokorelasi nk
rk
(Y t 1
Y )( Y t k Y ) n
(Y Y ) 2
t 1
Ø Koefisien korelasi perlu diuji utk menentukan apakah sec statistik nilainya berbeda secara signifika dari nol atau tidak. Caranya :
1 serk n
contoh • • • •
Jumlah data =36 nilai koefisien autokorelasi time lag 1 =0,5 interval kepercayaan 95%, maka nilai Z =1,96 maka batas signifikasi koefisien autokorelasi adl: Ø -Zα/2*Serk s/d Zα/2*Serk Ø -1,96*0,167 s/d 1,96*0,167 Ø -0,327 s/d 0,327 Ø dimana 0,167 = 1/√36 • Koefisien autokorelasi disimpulkan tidak berbeda scr signifikan dr nol apabila nilainya berada diantara rentang nilai tersebut.
2. Koefisien autokorelasi parsial Ø Mengukur derajat hubungan antara nilai-nilai sekarang dengan nilai-nilai sebelumnya, sedangkan pengaruh nilai variabel time lag yg lain dianggap konstan
Langkah -Langkah Box - Jenkins 1. 2. 3. 4. 5. 6.
Apakah data sudah stasioner? Identifikasi model sederhana Estimasi parameter dari model sementara Uji diagnosa Apakah model memadai? Model siap dipakai untuk peramalan
Menghasilkan Data Stasioner • Data stasioner → data yg mempunyai rata-rata dan varian yg konstan sepanjang waktu • Model box jenkins mengasumsikan data yg menjadi input berasal dr model stasioner • Bila data tidak stasioner, dilakukan modifikasi utk menghasilkan data stasioner dgn cara metode pembedaan ( differencing)
Data Asli
Pembedaan pertama
Data Hasil Transformasi
10 12
12 - 10 = 2
2
14
14 - 12 = 2
2
16
16 - 14 = 2
2
Data Input
Notasi ARIMA
Data asli
ARIMA (p,0,q)
Data hasil transformasi pembedaan pertama
ARIMA (p,1,q)
Data hasil transformasi pembedaan kedua
ARIMA (p,1,q)
Mengidentifikasi model sementara a. Jika koefisien korelasi menurun secara eksponensial menuju nol, maka pada umumnya terjadi proses AR. Estimasi orde AR bisa dilihat dari jumlah koefisien autokorelasi parsial yg berbeda secara signifikan dr nol. b. Jika koefisien autokorelasi parsial mnurun secara eksponensial menuju nol, pada umumnya terjadi proses MA c. Jika baik koefisien korelasi maupun koefisien autokorelasi parsial menurun secara eksponensial menuju nol, maka terjadi proses ARIMA
Estimasi parameter dari model sementara • Misal model sementara yg di estimasi ARIMA (1,0,1) – Yt = ø0 + ø1Yt-1 -w1Ɛt-1 + Ɛt – dgn beberapa alternatif nilai parameter dan nilai MSE ø1
w1
MSE
0,35
-0,1
9,438
0,9
-0.9
35,863
0,3
0,2
8,931
0,4
0.3
10,702
Nilai ø1 = 0,3 dan w1 = 0,2 memberikan nilai MSE yg terkecil sehingga itu merupakan nilai parameter yg optimal
Menentukan apakah model memadai a. Menguji residual Ø Data hasil ramalan - data asli. Jika nilai koefisien autokorelasi dr residual tidak berbeda secara signifikan dr nol, model dianggap memadai utk dipakai sbg model peramalan
a. Melakukan uji dengan statistik Box-Pierce Q m
Q n r k 1
2 k
rk = nilai koefisien autokorelasi time lag k
Jika nilai Q < nilai tabel Chi-Squre dgn derajat kebebasan m-p-q dimana p dan q masing masing menunjukkan orde AR dan MA, model dianggap memadai
Mengakomodasi data musiman • Jika data yg digunakan data bulanan sehingga panjang musim = 12 Kelompok Model AR
Model Musiman Yt =ø12Yt-12 + Ɛt
MA
Yt = Ɛt - ø12*Ɛt-12
ARIMA
Yt = ø12Yt-12 - ø12Ɛt-12 +Ɛt
• Jika data kuartal, sehingga panjang musim = 4
